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VETORES E PRODUTO ESCALAR 
 
1. A figura abaixo representa um losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, sendo 
O, o ponto de interseção das diagonais desse losango. Determine determinar os 
vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A: 
 
 
AF2AE2)c
FGEH)b
CHOC)a
+
+
+
 
OC2OE2)f
BGEO)e
EFEH)d
+
+
+
 
FGFE)h
EHBC
2
1
)g
+
+ 
AOFOAF)j
HOOG)i
++
− 
2. Determine x para que se tenha 
DCBA

=
, sendo A (x,1), B(4,x+3), C(x,x+2) e 
D(2x,x+6). 
3. Dados A (–1, –1) e B (3,5), determinar C, tal que: 
 a)
AB
2
1
AC =
 b)
BA
3
2
CA

=
. 
4. Dados os vetores 
a
 =( 2,–1 ) e 
b
 =( 1,3) , determinar um vetor 
x
 , tal que: 
 a) 
 
2
xa
b)ax(2
2
1
x
3
2
 +
=−++
 b) 
2
ax
b
3
1
x2a4
 +
−=−
 
Universidade Federal Rural do Semi-Árido 
Departamento de Ciências e Tecnologia 
Disciplina: Geometria Analítica Período: 2019.1 
Aluno (a): ____________________________________ Turma: 
5. Sendo A (–2,1,3) e B (6, –7,1) extremidades de um segmento, determinar: 
 a) os pontos C, D e E, nesta ordem, que dividem o segmento AB em quatro partes 
de mesmo comprimento; 
 b) os pontos F e G, nesta ordem que dividem o segmento AB em três partes de 
mesmo comprimento. 
6. Sejam os pontos M(1,−2,−2) e P(0,−1,2), determine um vetor 
v
 colinear à PM e 
tal que 
.3v =
 
7. No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B (–2,3) e C (0,5): 
a) determinar a natureza do triângulo; 
 b) calcular o comprimento da mediana AM. Sendo M o ponto médio do lado BC. 
8. Num paralelogramo ABCD sabe-se que A (1,3,–2) e que as diagonais são 
CA
 =(4,2,–3) e 
DB
 =(–2,0,1).Calcule as coordenadas dos outros três vértices. 
 
 
PRODUTO ESCALAR 
 
1. Sejam os vetores 
a
 =(1,–m,–3),
b
 =(m+3,4–m,1)e 
c
 =(m,–2,7).Determinar m para 
que 
a
 •
b
 =(
a
 +
b
 )•
c
 . 
2. Determinar a, de modo que o ângulo  do triângulo ABC, seja 600. Dados: A 
(1,0,2), B (3,1,3) e C (a+1, –2,3). 
3. Dados os pontos A (4,0,1), B (5,1,3) C (3,2,5) e D (2,1,3). Determine: 
a) se eles foram alguma figura. Em caso afirmativo, qual? 
b) O ângulo entre as retas paralelas aos vetores 
AC e BD
. 
4. Os vetores 
u
 e v formam um ângulo de 60
0. Sabe-se que 
u
 =8 e v =5, 
calcule: 
 a)
u
 + v  b) u – v  c)  2u +3 v  d) 4u – 5v  
5. Determinar o valor de x para que os vetores 
1v
 = x i –2
j
 +3k e 
2v
 =2 i –
j
 +2k , 
sejam ortogonais 
6. Dados 
a
 =(2,1,–3) e 
b
 =(1,–2,1), determinar o vetor 
v
 ⊥
a
 ,v ⊥b e v =5. 
7. Dados dois vetores 
a
 =(3,–1,5) e 
b
 =(1,2,–3), achar um vetor 
x
 , sabendo-se que 
ele é perpendicular ao eixo OZ , e que verifica as seguintes relações: 
x
 •
a
 =9, e 
x
 •
b
 =–4. 
8. O vetor 
( )2,1,1v −−−=
 forma um ângulo de 600 com o vetor 
BA
 , onde A (0,3,4) 
e B(m, −1,2). Calcular o valor de m. 
9. Os vetores 
a
 e 
b
 formam um ângulo = 
6

, calcular o ângulo entre os vetores 
p

=
a
 +
b
 e 
q

= 
a
 – 
b
 , sabendo que 
a
 = 
3
 e 
b
 = 1. 
10. Dados 
u
 =(2,–3,–6) e v =3 i –4
j
 –4k , determine: 
 a) a projeção algébrica de 
v
 sobre 
u
 ( norma do vetor projeção de v sobre u ); 
b) 0 vetor projeção de 
v
 sobre 
u
 . 
11. Os vértices de um triângulo são M(1,1,2) ,N(5,1,3) e Q(–3,9,3). Calcule as 
coordenadas do vetor 
HM
 , onde H é o pé da altura relativa ao lado NQ.