carga axial

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Resistência dos Materiais II
CARGA AXIAL
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Resumo do capítulo
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Discutiremos como:
 Determinar a deformação de elementos carregados
axialmente (sujeitos à tensão normal).
 Determinar as reações nos apoios quando tais reações não
puderem ser determinadas estritamente pelas equações de
equilíbrio.
 Analisar os efeitos da tensão térmica (dilatação térmica).
 Analisar os efeitos de concentradores de tensões.
 Determinar deformação inelástica.
1. Princípio de Saint-Venant
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 Uma barra deforma-se elasticamente quando submetida a uma carga
P aplicada ao longo do seu eixo geométrico.
 Para o caso representado,
a barra está fixada rigidamente
em uma das extremidades, e a
força é aplicada por meio de um
furo na outra extremidade.
 Devido ao carregamento, a
barra se deforma como indicado
pelas distorções das retas antes
horizontais e verticais, da grelha
nela desenhada.
1. Princípio de Saint-Venant
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2. Deformação axial de um elemento submetido a
esforço normal
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Considere-se o elemento de barra em equilíbrio submetido aos 
carregamentos axiais como se segue:
Onde:
δ → Alongamento do elemento de barra de comprimento L;
dδ → Alongamento do elemento infinitesimal na seção genérica distante “x” do extremo 
esquerdo da barra.
Considerando-se o material no regime elástico linear (Lei de Hooke), a 
tensão e a deformação no elemento infinitesimal são dadas por:
2. Deformação axial de um elemento submetido a
esforço normal
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 Desde que essas quantidades não excedam o limite de
proporcionalidade, as mesmas podem ser relacionadas utilizando-se a lei de
Hooke, ou seja:
Onde:
𝛿 = deslocamento de um ponto da barra em relação a outro.
L = distância entre pontos.
P(x) = Força axial interna da seção, localizada a uma distância x de uma
extremidade.
A(x) = área da seção transversal da barra expressa em função de x.
E = módulo de elasticidade do material.
𝜎 = 𝐸 ∙ 𝜀 ∴
𝑃 𝑥
𝐴 𝑥
= 𝐸
𝑑𝛿
𝑑𝑥
∴ 𝑑𝛿 =
𝑃 𝑥 𝑑𝑥
𝐸𝐴𝑥
2. Deformação axial de um elemento submetido a
esforço normal
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 Em muitos casos a barra tem área da seção transversal constante A e o
material é homogêneo, logo E é constante.
 Além disso, se uma força externa constante for aplicada em cada
extremidade como mostra a figura, então a força interna P ao longo de todo o
comprimento da barra também será constante.
Unidades 𝑚𝑚 =
𝑁 ∙ [𝑚𝑚]
𝑁
𝑚𝑚²
∙ [𝑚𝑚2]
IMPORTANTE: Geralmente o “E” é fornecido em GPA. Portanto, lembre-se que:1GPa = 
1.10³ Mpa = 1.10³ N/mm²
2. Deformação axial de um elemento submetido a
esforço normal
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 Na grande maioria das aplicações em engenharia, as peças apresentam
trechos homogêneos com esforço normal e área de seção reta constantes, ou
seja:
𝛿𝑇 = 𝛿1 + 𝛿2 =
𝑃1𝐿1
𝐸1𝐴1
+
𝑃2𝐿2
𝐸2𝐴2
∴ 𝛿𝑇 = 
𝑖=1
𝑛
𝑃𝑖𝐿𝑖
𝐸𝑖𝐴𝑖
2. Deformação axial de um elemento submetido a
esforço normal
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PROCEDIMENTO DE ANÁLISE
Força Interna
1. Use o método das seções para determinar a força axial interna P no elemento.
2. Se vária forças externas constantes agirem sobre o elemento, então em cada
segmento do elemento se deve determinar a força interna entre quaisquer
duas forças externas.
3. Para qualquer segmento, uma força de TRAÇÃO interna é POSITIVA e uma
força de COMPRESSÃO interna é NEGATIVA.
Deslocamento
1. A equação de deslocamento deve ser aplicada a cada segmento quando a
área da seção transversal, o módulo de elasticidade ou carregamento interno
mudar repentinamente.
2. Para qualquer segmento, se o deslocamento for POSITIVO indica
ALONGAMENTO, se for NEGATIVO indica uma CONTRAÇÃO.
3. Exemplos de deformação axial
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Exercício 1: A barra de aço A-36 mostrada ao
lado é composta por dois segmentos, AB e BD,
com áreas de seção transversal AAB = 600 mm² e
ABD = 1200 mm², respectivamente. Determine o
deslocamento vertical da extremidade A e o
deslocamento de B em relação a C.
Considerar: E(aço) = 210 GPa
3. Exemplos de deformação axial
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Exercício 2: O conjunto mostrado na figura consiste de um tubo de alumínio 
AB com área da seção transversal de 400 mm². Uma haste de aço de 10 mm 
de diâmetro está acoplada a um colar rígido que passa através do tubo. Se for 
aplicada uma carga de tração de 80 kN à haste, qual será o deslocamento da 
barra de aço 𝛿𝐶/𝐵 e do tubo de alumínio 𝛿𝐴/𝐵? 
Considerar E(aço) = 200 GPa e E(alumínio) = 70 GPa.
3. Exemplos de deformação axial
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Exercício 3: O navio é impulsionado na água pelo eixo de uma hélice de aço 
A-36 com 8 m de comprimento medido desde a hélice até o mancal de 
encosto D no motor. Se o eixo tiver diâmetro externo de 400 mm e espessura 
de parede de 50 mm, determine a quantidade de contração axial do eixo 
quando a hélice exercer uma força de 5 kN sobre o eixo. Os apoios em B e C 
são mancais de deslizamento (ou seja, não exercem reações axiais).
4. Princípio de superposição de efeitos
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 É frequentemente usado para determinar a tensão ou o deslocamento
em um ponto de um elemento quando este estiver sujeito a um
carregamento complicado.
 Afirma que a tensão ou deslocamento resultante é determinado pela
soma algébrica das contribuições causadas por cada uma das
componentes das cargas.
Exemplo ilustrativo:
4. Princípio de superposição de efeitos
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Para fazer o uso desse princípio deve-se atender as duas condições
descritas:
1. A carga deve estar relacionada linearmente com a tensão ou o
deslocamento a ser determinado.
𝜎 =
𝑃
𝐴
, P tem relação linear com 𝜎
𝛿 =
𝑃𝐿
𝐸𝐴
, P tem relação linear com 𝛿
2. A carga não deve provocar grandes mudanças na geometria ou
configuração original do elemento.
5. Elemento com carga axial estaticamente
indeterminado
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 Um elemento está estatisticamente indeterminado se as equações de
equilíbrio não forem suficientes para determinar as reações no elemento.
 Para estabelecer uma equação adicional necessária para a solução,
temos que considerar a geometria da deformação.
 As equações que indique as condições para o deslocamento é
denominada CONDIÇÃO DE COMPATIBILIDADE.
Exemplo: DCL (do ponto A ao B)
Pelas Equações da Estática, tem-se
Σ𝐹𝑦 = 0
𝐹𝐴 + 𝐹𝐵 = 𝑃 (Eq.1)
5. Elemento com carga axial estaticamente
indeterminado
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Pelo Princípio da Superposição, sabe-
se que:
A Equação de Compatibilidade deve 
elemento é: 𝛿𝐴/𝐵 = 0, uma vez que o 
deslocamento do corpo é impedido pelo 
engaste em ambos os lados A e B.
𝛿𝐴/𝐶 + 𝛿𝐶/𝐵 = 0
𝐹𝐴𝐿𝐴𝐶
𝐴𝐸
−
𝐹𝐵𝐿𝐵𝐶
𝐴𝐸
= 0 ∴
𝐹𝐴𝐿𝐴𝐶
𝐴𝐸
=
𝐹𝐵𝐿𝐵𝐶
𝐴𝐸
𝐹𝐴𝐿𝐴𝐶 = 𝐹𝐵𝐿𝐵𝐶
Substituindo a Eq. 2 na Eq. 1, temos
que:
𝐹𝐴 =
𝑃𝐿𝐵𝐶
𝐿
e 𝐹𝐵 =
𝑃𝐿𝐴𝐶
𝐿
(Eq.2)
5. Elemento com carga axial estaticamente
indeterminado
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Exercício 4: A haste de aço mostrada na Figura 4.12a tem diâmetro de 5 mm
e está presa à parede fixa em A. Antes de ser carregada, há uma folga de 1
mm entre a parede em B' e a haste. Determine as reações em A e B' se a
haste for submetida a uma força axial P = 20 kN como mostra a figura.
Despreze o tamanho do colar em C. Considere E = 200 GPa.
6. Tensões e deformações térmicas
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Quando há variação de temperatura, os materiais se dilatam, quando essa
variação é positiva, e se comprimem, quando a variaçãoé negativa. Para uma
barra de comprimento L, submetida a uma variação ΔT, seu alongamento é dado
por:
Desajustes ocorrem por erros de fabricação ou de montagem. Tais erros 
provocam tensões em estruturas hiperestáticas, exemplo:
6. Tensões e deformações térmicas
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Exercício 5: A chave elétrica fecha quando a as hastes de 
ligação CD e AB se aquecem, o que provoca a translação e a 
rotação do braço rígido BDE até fechar o contato em F. A 
posição original de BDE é vertical e a temperatura é 20ºC. Se 
AB for feita de bronze C86100 e CD, de alumínio 6061-T6, 
determine o espaço s exigido entre os contatos para a chave 
fechar quando a temperatura alcançar 110ºC.
7. Concentradores de tensão
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7. Concentradores de tensão
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 Concentrações de tensão ocorrem em seções onde a área da seção
transversal muda repentinamente (Ex: Furos, Entalhes, Rasgos de chaveta,
Ranhuras, Redução de área, Cantos vivos, etc).
 Quanto mais severa a mudança, maior a concentração de tensão.
 Essa mudança de seção provoca uma redistribuição do campo de tensões e
deformações nas suas proximidades.
7. Concentradores de tensão
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 Para projeto ou análise, basta determinar a tensão máxima que age sobre a
menor área de seção transversal.
 Para tanto, utiliza-se um fator de concentração de tensão, K, que foi
determinado por meios experimentais e é função apenas da geometria do corpo
de prova.
𝜎𝑚á𝑥 = 𝐾𝜎𝑚é𝑑
OBS1: Normalmente, a concentração de tensão em um corpo de prova dúctil
submetido a um carregamento estático não terá de ser considerada no projeto.
OBS2: Todavia, se o material for frágil ou estiver sujeito a carregamentos de
fadiga, as concentrações de tensão se tornarão importantes.
7. Concentradores de tensão
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 Para projeto ou análise, basta determinar a tensão máxima que age sobre a
menor área de seção transversal.
 Para tanto, utiliza-se um fator de concentração de tensão, K, que foi
determinado por meios experimentais e é função apenas da geometria do corpo
de prova.
𝜎𝑚á𝑥 = 𝐾𝜎𝑚é𝑑
OBS1: Normalmente, a concentração de tensão em um corpo de prova dúctil
submetido a um carregamento estático não terá de ser considerada no projeto.
OBS2: Todavia, se o material for frágil ou estiver sujeito a carregamentos de
fadiga, as concentrações de tensão se tornarão importantes.
7. Concentradores de tensão
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7. Concentradores de tensão
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7. Concentradores de tensão
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Exercício 6: Se a tensão normal admissível para a barra for 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 120 𝑀𝑃𝑎,
determine a força axial máxima P que pode ser aplicada à barra.
8. Deformação inelástica
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É aplicada para materiais elastoplásticos ou elástico perfeitamente plástico.
𝑃𝑝 = 𝜎𝑒 ∙ 𝐴
Carga plástica: representa a carga 
máxima que pode ser suportada por 
um material elastoplástico.
8. Deformação inelástica
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𝝈𝒎á𝒙 = 𝝈𝟏 𝝈𝒎á𝒙 = 𝝈𝒆
8. Deformação inelástica
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Exercício 7: A barra abaixo é feita de aço e consideramos que seja elástica 
perfeitamente plástica, com 𝜎𝑒 = 250𝑀𝑃𝑎. Determine:
(a) O valor máximo da carga P que pode ser aplicada sem provocar o 
escoamento do aço.
(b) O valor máximo de P que a barra pode suportar. 
Exercícios para entregar dia 25/03 (turma 3001)
e dia 26/03 (turma 3002)
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Exercício 1: Um tubo de vapor com 1,8 m de comprimento é feito de aço com
𝜎𝑒 = 280 𝑀𝑃𝑎 e está ligado diretamente a duas turbinas A e B, como mostra a
figura. O diâmetro externo do tubo é 100 mm e a espessura da parede é 6
mm. A ligação foi feita a T1 = 20ºC. Considerando que os pontos de
acoplamento das turbinas são rígidos, determine a força que o tubo exerce
sobre elas quando o vapor e, portanto, o tubo, atingem uma temperatura de
T2= 160ºC.
Exercícios para entregar dia 25/03 (turma 3001)
e dia 26/03 (turma 3002)
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Exercício 2: Determine a tensão normal máxima desenvolvida na barra
quando sujeita a uma carga P = 30 kN.
Exercícios para entregar dia 25/03 (turma 3001)
e dia 26/03 (turma 3002)
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Exercício 3: Dois cabos de aço A-36 são usados para suportar o motor de 4,1
kN (≈ 410 kg). O comprimento original de AB é 800 mm e de A’B’ é 800,4 mm.
Determine a força suportada por cada cabo quando o motor é suspenso por
eles. Cada cabo tem área de seção transversal de 6,25 mm².