torção

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Resistência dos Materiais II
UNIDADE 3 - TORÇÃO
PROF. M.ª KACIÊ TRINDADE 1
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A tensão de torção e o ângulo de torção desta perfuratriz 
dependem do torque do motor que gira a broca, bem como da 
resistência do solo em contato com o eixo da broca.
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O eixo preso ao centro dessa roda é submetido a um torque, e a 
tensão máxima que ele cria deve ser resistida pelo eixo para evitar 
falhas.
1. Definição de Torque
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 Torque ou momento torçor é o momento que tende a torcer a
peça em torno de seu eixo longitudinal
 Seu efeito é de interesse principal no projeto de eixos ou eixos
de acionamento usados em veículos e maquinaria.
2.1 Deformação por torção de um eixo circular
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 Quando um eixo com seção transversal circular é submetido a um
torque, a seção transversal permanece plana, enquanto as linhas radiais
giram.
2.1 Deformação por torção de um eixo circular
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 Observe a deformação do elemento retangular quando esta barra de
borracha é submetida a um torque.
2.2 Fórmula da Torção
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 Isso provoca uma deformação por
cisalhamento no interior do material, a qual
varia linearmente, ao longo de qualquer linha
radial, de zero na linha central do eixo a um
máximo em seu contorno externo.
𝜏𝑚á𝑥 =
𝑇𝑟
𝐽
Onde:
𝜏𝑚á𝑥 = a tensão de cisalhamento máxima no eixo, que ocorre na superfície externa.
𝑇 = torque interno resultante que age na seção transversal. Seu valor é determinado pelo 
método das seções e pela equação de equilíbrio de momento aplicada ao redor da linha 
central longitudinal do eixo.
𝐽 = momento polar de inércia da área da seção transversal.
𝑟 = raio externo do eixo.
2.2 Fórmula da Torção
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 A tensão de cisalhamento na distância
intermediária 𝜌 pode ser determinada por um
equação semelhante:
𝜏 =
𝑇𝜌
𝐽
Onde:
𝜏𝑚á𝑥 = a tensão de cisalhamento máxima no eixo, que ocorre na superfície externa.
𝑇 = torque interno resultante que age na seção transversal. Seu valor é determinado pelo 
método das seções e pela equação de equilíbrio de momento aplicada ao redor da linha 
central longitudinal do eixo.
𝐽 = momento polar de inércia da área da seção transversal.
𝜌 = distância intermediária qualquer.
2.2 Fórmula da Torção
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A fórmula da torção só é válida se:
a) O eixo for circular (maciço ou tubular);
b) O material do eixo for homogêneo e
comportamento linear elástico.
“Pela Lei de Hooke, para um material homogêneo 
com comportamento linear elástico, a tensão de 
cisalhamento ao longo de qualquer linha radial do 
eixo também varia linearmente.”
Isso ocorre porque a dedução da fórmula se
baseia no fato de a tensão de cisalhamento ser
proporcional à deformação por cisalhamento.
2.2 Fórmula da Torção
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Momento Polar do Eixo Maciço
𝐽 =
𝜋𝑟4
2
Onde:
𝐽 = momento polar de inércia da área da seção 
transversal, é uma propriedade geométrica da área 
circular e é sempre positivo. As unidades de medidas 
comuns são mm4 ou pol4.
𝑟 = raio externo do eixo maciço.
2.2 Fórmula da Torção
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Momento Polar do Eixo Maciço
Para um ponto qualquer entre o centro do eixo e a
extremidade do eixo.
2.2 Fórmula da Torção
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Falha de um eixo maciço de madeira por torção
2.2 Fórmula da Torção
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Momento Polar do Eixo Tubular
𝐽 =
𝜋(𝑟𝑒𝑥𝑡
4 − 𝑟𝑖𝑛𝑡
4)
2
Onde:
𝐽 = momento polar de inércia da área da seção 
transversal, é uma propriedade geométrica da área 
circular e é sempre positivo. As unidades de medidas 
comuns são mm4 ou pol4.
𝑟𝑒𝑥𝑡= raio externo do eixo tubular.
𝑟𝑖𝑛𝑡 = raio interno do eixo tubular
2.2 Fórmula da Torção
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Falha de eixo de transmissão tubular de caminhão devido a um torque 
excessivo.
Os engenheiros projetam deliberadamente os eixos de transmissão para que 
ocorram falhas antes que possam ocorrer danos de torção em partes do motor 
ou da transmissão.
2.2 Fórmula da Torção
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PROCEDIMENTO DE ANÁLISE:
1. Secione o eixo perpendicularmente à sua lina central do ponto onde a
tensão de cisalhamento deve ser determinada.
2. Use o diagrama de corpo livro e as equações de equilíbrio estático
necessárias para obter o torque interno na seção.
3. Calcule o momento polar de inércia da área da seção transversal.
4. Aplique a fórmula da tensão onde quiser determinar a tensão de
cisalhamento.
2.2 Fórmula da Torção
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Exercício 1: A distribuição de tensão em um eixo foi representada em um
gráfico ao longo de três linhas radiais arbitrárias, como mostra a figura.
Determine o torque interno resultante na seção.
2.2 Fórmula da Torção
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Exercício 2: O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado para transmitir os
torques aplicados às engrenagens. Determine a tensão de cisalhamento
máxima absoluta no eixo.
2.2 Fórmula da Torção
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Exercício 3: O conjunto é composto por duas seções de tubo de
aço galvanizado interligadas por uma redução em B. O tubo menor
tem diâmetro externo de 18,75 mm e diâmetro interno de 17 mm,
enquanto o tubo maior tem diâmetro externo de 25 mm e diâmetro
interno de 21,5 mm. Se o tubo estiver firmemente preso à parede
em C, determine a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida
em cada seção do tubo quando o conjugado mostrado na figura for
aplicado ao cabo da chave.
2.2 Fórmula da Torção
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Exercício 4: O poste de madeira, o qual está
enterrado no solo até a metade de seu
comprimento, é submetido a um momento de torção
de 50 N.m que o faz girar a uma velocidade angular
constante. Esse momento enfrenta a resistência de
uma distribuição linear de torque desenvolvida pelo
atrito com o solo, que varia de zero no solo a 𝑡0
N.m/m na base do poste. Determine o valor de
equilíbrio para 𝑡0 e, então, calcule a tensão de
cisalhamento nos pontos A e B que se encontram na
superfície externa no poste.
2.3 Transmissão de Potência
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 Eixos e tubos de seções transversais circulares são frequentemente usados
para transmitir potência desenvolvida por uma máquina. Quando usados
para essa finalidade, estão sujeitos a torques que dependem da potência
gerada pela máquina e da velocidade angular do eixo.
Potência é definida como o trabalho realizado por unidade de tempo. O trabalho
transmitido por um eixo rotativo é igual ao produto entre o torque aplicado e o
ângulo de rotação. Portanto, se durante um instante dt um torque aplicado T
provocar a rotação 𝑑𝜃 no eixo, então a potência instantânea será:
𝑃 =
𝑇 𝑑𝜃
𝑑𝑡
Visto que a velocidade angular do eixo 𝜔 = 𝑑𝜃/𝑑𝑡, também podemos expressar
a potência como:
𝑃 = 𝑇 ∙ 𝜔
No SI, potência é expressa por
watts quando o torque é medido
em N.m e 𝜔 é medido em rad/s.
1 W = 1 N.m/s
2.3 Transmissão de Potência
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Quando se trata de máquinas rotativas, costuma-se informar a frequência de
rotação de um eixo, 𝑓.
Frequência é a medida do número de revoluções ou ciclos que o eixo faz por
segundo e é expressa em herts (1 Hz = 1 ciclo/s). Visto que 1 ciclo = 2𝜋 rad,
então 𝜔 = 2𝜋𝑓, e a equação para potência torna-se:
𝑃 = 𝑇 ∙ 2𝜋 ∙ 𝑓
No SI, potência é expressa por
watts quando o torque é medido
em N.m e 𝑓 é medido em Hz.
1 W = 1 N.m/s
2.3 Transmissão de Potência
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Projeto de Eixo
Quando a potência transmitida por um eixo e sua frequência
de rotação são
conhecidas, o torque desenvolvido no eixo pode ser determinado.
Se a tensão de cisalhamento admissível, 𝜏𝑎𝑑𝑚, para o material for conhecida,
pode-se determinar as dimensões da seção transversal do eixo pela fórmula de
torção, contanto que o comportamento do material seja linear elástico.
2.2 Fórmula da Torção
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Exercício 5: Se o eixo tubular for feito de material com uma tensão de
cisalhamento admissível de 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 85 𝑀𝑃𝑎 , determine a espessura mínima
exigida para a parede do eixo. O eixo tem um diâmetro externo de 150 mm.
2.3 Transmissão de Potência
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Exercício 6: A bomba opera usando o motor que tem uma potência de 85 W.
Se o impulsor em B estiver girando a 150 rot / min, determine a tensão máxima
de cisalhamento desenvolvida no eixo de transmissão de 20 mm de diâmetro
em A.
2.3 Transmissão de Potência
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Exercício 7: O projeto prevê que o eixo de transmissão AB de um automóvel
será um tubo de parede fina. O motor transmite 125 kW quando o eixo está
girando a 1500 rpm (rot/minuto). Determine a espessura mínima da parede do
eixo se o diâmetro externo for 62,5 mm. A tensão de cisalhamento admissível
do material é 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 50 𝑀𝑃𝑎.
2.3 Transmissão de Potência
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Exercício 8: O motor A desenvolve potência de 300 W e gira a polia acoplada a
90 rot/min. Determine os diâmetros exigidos para os eixos de aço (maciços) nas
polias em A e B se a tensão de cisalhamento admissível for 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 85 𝑀𝑃𝑎.
2.4 Ângulo de Torção
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Às vezes, o projeto de um eixo depende de restrições à quantidade de rotação
ou torção que pode ocorrer quando o eixo é submetido a um torque.
O ângulo de torção (𝜙) de uma extremidade de um eixo em relação à sua outra
extremidade (medido em radianos) é determinado por:
Essa equação é deduzida levando em consideração a
Lei de Hooke, portanto, é válida quando os torques
não provocarem escoamento do material e quando o
material é homogêneo e se comporta de maneira
linear elástica.
𝝓 = 
𝑻 ∙ 𝑳
𝑱 ∙ 𝑮
Onde:
T = torque do eixo
J = momento polar de inércia
G = módulo de elasticidade ao 
cisalhamento do material
L = comprimento do eixo
2.4 Ângulo de Torção
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A equação de ângulo de torção pode ser usada para determinar o módulo de
elasticidade ao cisalhamento do material (G). Para tal, colocamos um corpo de
prova de comprimento e diâmetro conhecidos em um máquina de ensaio de
torção (mostrada abaixo). Então, um torque T é aplicado e o ângulo de torção
(𝜙) é medido entre o comprimento de referência L. Em geral, para se obter um
valor de G confiável, realizam-se diversos desses ensaios e utiliza-se o valor
médio.
2.4 Ângulo de torção
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Exercício 9: O eixo da hélice do hidrofólio é de aço A-36 e tem 30 m de
comprimento. Está acoplado a um motor diesel em linha, o qual transmite um
potência máxima de 2000 kW e provoca rotação de 1700 rpm no eixo. Se o
diâmetro externo do eixo for 200 mm e a espessura da parede for 10 mm,
determine a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida no eixo. Determine
também o ângulo de torção no eixo à potência total. (Gaço = 75 GPa)
2.4 Ângulo de torção
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Exercício 10: Determine o ângulo de torção da polia B em relação à polia A. O
eixo tem um diâmetro de 40 mm e é feito de aço (G = 75 GPa).
2.4 Ângulo de torção
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Exercício 11: A engrenagem B fornece 15 kW de potência, enquanto as
marchas A, C e D retiram 6 kW, 4 kW e 5 kW, respectivamente. Se o eixo for
feito de aço (Gaço = 75 GPa), determine o diâmetro mínimo requerido do eixo se
a tensão admissível for 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 75 MPa. O eixo está girando a 600 rpm.
Determine também o ângulo de torção da engrenagem A com relação a D.
2.5 Eixos maciços não circulares
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Eixos cujas seções transversais não são circulares não serão simétricos em
relação às respectivas linhas centrais e, como a tensão de cisalhamento é
distribuída de um modo muito complexo nas seções transversais, elas ficarão
abauladas ou entortarão quando o eixo sofre torção.
2.5 Eixos maciços não circulares
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Observe a deformação do elemento quadrado quando esta barra de borracha é 
submetida a um torque.
2.5 Eixos maciços não circulares
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L
2.5 Eixos maciços não circulares
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Exercício 12: O eixo de alumínio 6061-T6 mostrado na figura abaixo tem área
de seção transversal na forma de um triângulo equilátero. Determine o maior
torque T que pode ser aplicado à extremidade do eixo se a tensão de
cisalhamento admissível for 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 56 𝑀𝑃𝑎 e o ângulo de torção na
extremidade estiver restrito a 𝜙𝑎𝑑𝑚 = 0,02 𝑟𝑎𝑑. Qual é a intensidade do torque
que pode ser aplicado a um eixo de seção transversal circular feito com a
mesma quantidade de material? 𝐺𝐴𝑙 = 26 𝐺𝑃𝑎.
1,2 m
40 mm
2.5 Eixos maciços não circulares
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Exercício 13: A barra de alumínio 6061-T6 tem uma seção quadrada de 25 mm
por 25 mm. Se tiver 2 m de comprimento, determine a tensão máxima de
cisalhamento na barra e a rotação de uma extremidade em relação à outra
extremidade. 𝐺𝐴𝑙 = 26 𝐺𝑃𝑎.
2.5 Eixos maciços não circulares
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Exercício 14: O eixo de aço tem 300 mm de comprimento e é parafusado na
parede usando uma chave. Determine as maiores forças conjugadas F que
podem ser aplicadas ao eixo sem provocar o escoamento do aço. 𝜏𝑒 = 56 𝑀𝑃𝑎.
2.6 Eixos de parede fina não circulares
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Tubos de parede fina de forma não circular são usados frequentemente para
construir estruturas leves como as utilizadas em aviões.
Em algumas aplicações, elas podem ser submetidas a um carregamento de
torção.
A tensão de cisalhamento média desenvolvida em um tubo de parede fina com
seção transversal fechada é determinada por:
Onde:
𝜏𝑚é𝑑 = tensão de cisalhamento média que age sobre a espessura do tubo.
T = torque interno resultante na seção transversal, determinado pelo método das seções
e equações de equilíbrio.
t = espessura do tubo no local onde 𝜏𝑚é𝑑 deve ser determinada.
Am = área média contida no contorno da linha central de espessura do tubo.
𝜏𝑚é𝑑 =
𝑇
2 ∙ 𝑡 ∙ 𝐴𝑚
2.6 Eixos de parede fina não circulares
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Exercício 15: O tubo é feito de bronze C86100 e tem seção transversal
retangular, como mostrado na figura. Se for submetido aos dois torques,
determine a tensão de cisalhamento média no tubo nos pontos A e B.
2.6 Concentração de tensão
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Ocorrem concentrações de tensão em eixos quando a seção transversal muda
repentinamente, tais como: acoplamentos, rasgos de chaveta e filetes de
rebaixo.
Quanto mais severa a mudança, maior a concentração de tensão.
2.6 Concentração de tensão
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A tensão de cisalhamento máxima é determinada com a utilização de um fator
de concentração de tensão K que, por sua vez, é determinado por meios
experimentais e representado em forma gráfica (e depende somente da
geometria). Uma vez obtido o fator:
𝜏𝑚á𝑥 = 𝐾
𝑇𝑟
𝐽
Essa tabela ampliada está no slide seguinte.
2.6 Concentração de tensão
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2.6 Concentração de tensão
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Exercício 16: O eixo deve ser projetado para girar a 720 rpm enquanto
transmite 30 kW de potência. Isso é possível? A tensão de cisalhamento
admissível é 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 12 𝑀𝑃𝑎 e o raio na transição no eixo é de 7,5 mm.
2.6 Concentração de tensão
PROF. M.ª KACIÊ TRINDADE 44
Exercício 17: O eixo construído é projetado para girar a 540 rpm. Se o raio na
transição no eixo for 4 mm e a tensão de cisalhamento permitida para o material
for 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 55 𝑀𝑃𝑎, determine a potência máxima que o eixo pode transmitir.