APOSTILA joaquim DE CALCULO PARA ENGENHARIAS

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 1
 
 
 
 
 
PARTE I 
 
 
PRÉ-CÁLCULO 
 
 
 
 
 
NÚMEROS 
FUNÇÕES E LOGARITMO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SUMÁRIO 
 
 
Teoria dos números 05 
Conjunto dos números naturais 05 
Operações com números naturais 06 
Expressões numéricas 09 
Exercícios 12 
Conjunto dos números inteiros 14 
Conjunto dos números racionais 14 
Operações com frações 15 
Regras para transformação de decimal exato em fração 17 
Regras para transformação de uma dízima em fração 18 
Conjunto dos números irracionais 18 
Conjunto dos números reais 18 
Racionalização de denominadores 20 
Igualdades em IR 21 
Identidades notáveis 21 
Fatoração de polinômios 21 
Equações 25 
Equação de 1º grau 26 
Sistemas de 1º grau 26 
Problemas 26 
Equação de 2º grau 29 
Relações entre coeficientes e raízes 30 
Estudo das funções 31 
Exercícios 43 
Função de 1º grau 53 
Zero ou raiz da função de 1º grau 54 
Gráfico da função de 1º grau 55 
Coeficiente angular 56 
Exercícios 62 
Função de 2º grau 69 
Cálculo dos zeros da função quadrática 70 
Gráfico 71 
Coordenadas do vértice 72 
Exercícios 73 
Função exponencial 79 
Exercícios 82 
Logaritmo 97 
Consequências da definição 99 
Sistemas de logaritmos 100 
Condição de existência 100 
Propriedades operatórias 100 
Cologaritmo 100 
Mudança de base 100 
Exercícios 101 
 
 
 
 
 4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TEORIA DOS NÚMEROS 
 
 
Número: é o resultado da comparação de uma grandeza com a unidade. 
Grandeza: é tudo aquilo que pode ser pesado, medido ou contado. 
Unidade: é uma grandeza que serve para medir outras grandezas da mesma espécie. A grandeza es-
colhida é arbitrária, mas é necessário que seja perfeitamente definida. 
Algarismos: são símbolos que representam os números. 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS 
 
 
Número natural é um conceito primitivo, originário da necessidade dos homens contarem quantidade 
de coisas ou objetos. 
Posteriormente foi estabelecida a sucessão dos números naturais, que se constitui num conjunto infi-
nito de números, denominado conjunto dos números naturais. 
 
 IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 
 
Esse conjunto tem as seguintes características: 
• é representado pela letra N (maiúscula) 
• é um conjunto infinito 
• todo número natural tem um sucessor 
• todo número natural, exceto o zero, tem um antecessor 
• zero é o menor dos números naturais 
 
NOTA: 
� sucessor de um número natural é outro número natural acrescido de um (1) 
Exemplos: 
O sucessor de 0 é 1 
O sucessor de 1 é 2 
etc 
� antecessor de um número natural, exceto o zero, é outro número natural, subtraído de um (1) 
Exemplos: 
O antecessor de 1 é 0 
O antecessor de 2 é 1 
etc 
 
 
 
 
 
 
 
Importante: não confundir algarismo com número. 
(Por exemplo: 738 é um número representado pelos algarismos 7, 3 e 8; 
já 6 é um número representado pelo único algarismo 6). 
 6
 
 
 
 
Exemplos: 
7, 8 e 9 são consecutivos 
1 e 2 são consecutivos 
 
O algarismo zero (0) é o único número natural que não possui antecessor, isto é, não há nenhum nú-
mero natural antes dele. 
 
Observações 
1. Quando se exclui o zero do conjunto dos números naturais, obtém-se o conjunto 
IN* = {1, 2, 3, ...} 
 
2. Os números que usamos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} são chamados algarismos indo-arábicos e a 
partir deles, podemos formar qualquer outro número. 
Exemplos: 
7 é um número formado pelo algarismo 7 
21 é um número formado pelos algarismos 2 e 1 
103 é um número formado pelos algarismos 1, 0 e 3 
etc 
 
3. Lembre-se que número é uma ideia de quantidade, mas numeral é simplesmente o símbolo que 
representa essa ideia. 
Exemplo: 
 
ideia de quantidade numeral indo-arábico 
cinco bolas 5 bolas 
 
 
 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS 
 
1. ADIÇÃO: adição é a operação que determina um número natural para representar o total de obje-
tos de duas ou mais coleções. 
2. SUBRAÇÃO: é a operação inversa da adição 
3. MULTIPLICAÇÃO: é uma soma de parcelas iguais. 
Observe: 3 + 3 + 3 + 3 = 12 
Podemos representar a mesma igualdade de uma forma diferente, assim: 4 x 3 = 12 ou 4 ▪ 3 = 12 
que se lê, quatro vezes três igual a doze. 
Essa operação chama-se multiplicação e é indicada pelo sinal x ou ▪ 
Na multiplicação 4 x 3 = 12, dizemos que: 
• 4 e 3 são os fatores 
• 12 é o produto 
 
 
 
 
 
 
 
IMPORTANTE: Um número natural e seu sucessor ou o seu antecessor são chamados consecu-
tivos 
 
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4. DIVISÃO: é a operação inversa da multiplicação 
 
 
 
Quando o resto da divisão for igual a zero, dizemos que a divi-
são é exata. 
 
 
 
 
 
 
 
Quando o resto da divisão for diferente de zero, a divisão não é 
exata. 
 
 
 
Algumas observações importantes: 
� No conjunto IN não se pode dividir um número menor por um número maior. 
Exemplo: ∃/=÷105 (ou seja, 5 dividido por 10 não existe) 
� Zero dividido por qualquer número (diferente de zero) dá sempre zero. 
0100 =÷ 
� Mas, é impossível dividir qualquer número por zero, ou seja, não existe divisão por zero. 
∃/=÷ 010 
 
 
 
5. POTENCIAÇÃO: Consideremos uma multiplicação em que todos os fatores são iguais: 
 
5 x 5 x 5, que vamos indicar por 35 , ou seja: 12555553 =××= 
 
 
 
Desta forma, temos que: 
 
 
 
 
Onde: 
• 5 é a base (que é o fator que se repete) 
• 3 é o expoente (o número de vezes que repetimos a base) 
• 125 é a potência (que é o resultado da operação) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 3 
4 0 
dividendo 
divisor 
quociente 
resto 
17 3 
5 2 
dividendo 
divisor 
quociente 
resto 
5 3 = 125 
base 
potência 
expoente 
 8
Casos particulares: NÃO ESQUEÇA VIU!!! 
� qualquer número elevado ao expoente 1 é igual a ele próprio. 
Exemplos: a) 771 = 
 b) 20201 = 
 
� qualquer número (exceto o zero) elevado a zero é igual a 1. 
Exemplos: a) 180 = 
 b) 12350 = (viu, não importa o tamanho do número) 
 
� para resolver uma potência de base 10, basta repetir o número 1 e acrescentar tantos zeros quantas 
forem as unidades do expoente. 
Exemplos: a) 10101 = (1 zero) 
 b) 100102 = (2 zeros) 
c) 000.100105 = (5 zeros) 
 
 
INFORMAÇÕES COMPLEMENTARES 
� Não é preciso escrever o expoente quando o número é elevado a 1, pois fica subentendido. 
� Quando o expoente é 2, lê-se ao quadrado. 
� Quando o expoente é 3, lê-se ao cubo. 
� Quando o expoente é 4, lê-se à quarta potência. 
� etc 
 
Assim, podemos dizer que a POTENCIAÇÃO EM IN, é definida como: 
 
2,... ≥∈⋅⋅⋅⋅= neINnaaaaa
vezesn
n
4434421
 
• Se n = 0 ⇒ )0(10 ≠= aa 
• Se n = 1 ⇒ )(1 aaa ∀= 
 
 
PROPRIEDADES 
1. nmnm aaa +=⋅ 
2. )0( nmeaa
a
a nm
n
m
≥≠= − 
3. ( ) nmnm aa ⋅= 
4. nnn baba ⋅=⋅ )( 
5. )0( ≠=




 b
b
a
b
a
n
nn
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. RADICIAÇÃO: Consideremos o caso particular de um númeronatural elevado ao quadrado. 
Por exemplo: quanto dá o número 3 elevado ao quadrado? 
932 = 
 
E se fizermos agora, a pergunta inversa: qual é o número que elevado ao quadrado dá 9? 
A resposta é 3. 
 
 
 
E sua operação é chamada de radiciação e indicada assim: 
 
 
 
 
 
• o símbolo chama-se radical 
• o número 9 é o radicando 
• o número 3, que é o resultado da operação chama-se raiz quadrada de 9 
 
Obs.: quando o índice do radical é 2, como nesse caso que examinamos, a raiz chama-se quadrada 
e não há a necessidade de se escrevê-la. Então podemos fazer simplesmente assim: 39 = 
 
 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS 
Numa expressão numérica com adição e subtração, o que devemos fazer primeiro? 
Devemos efetuar essas operações na ordem em que aparecem na expressão. 
Exemplos: 
1) 35 − 18 + 13 = 17 + 13 = 30 
2) 57 + 35 − 42 − 15 = 92 − 42 − 15 = 50 − 15 = 35 
 
E se a expressão tiver parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }? 
Em primeiro lugar, devemos resolver as operações indicadas entre parênteses, depois as operações 
entre colchetes e por último as operações entre chaves. 
 
Exemplos: 
1) 35 + [80 − (42 + 11)] = 35 + [80 − 53] = 35 + 27 = 62 
 
2) 18 + {72 − [43 + (35 − 28 + 13)]} = 18 + {72 − [43 + 20]} = 18 + {72 − 63} = 
= 18 + 9 = 27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 9 = 3 
índice do radical 
radicando 
raiz 
 10
Para calcular o valor de expressões numéricas com as operações de adição, subtração e multiplicação: 
1º ) efetuamos as multiplicações. 
2º ) efetuamos as adições e as subtrações, na ordem em que aparecerem, da esquerda para a direita. 
 
Exemplos: 
1) 341852184012928543 =−=−+=⋅−⋅+⋅ 
 
2) 201461448542712469 =+=+−=⋅+⋅−⋅ 
 
3) =⋅+⋅++−⋅−⋅−⋅− )}76()]53()4810(212[7)618{(75 
=++−⋅−−=++⋅−⋅−−= }42]151212[7108{75}42]156212[7108{75 
304575}42105108{75}42157108{75 =−=+−−=+⋅−−= 
 
4) =−−+++=⋅−⋅−⋅+⋅++ }72]21)3648[(12{22}98)]73()9486[(12{22 
25322}726312{22}72]2184[12{22 =+=−++=−−++= 
 
Para calcular o valor das expressões numéricas com as quatro operações: 
1º ) efetuamos as multiplicações e divisões na ordem em que aparecem. 
2º ) efetuamos as adições e as subtrações, também na ordem em que aparecem. 
 
Exemplos: 
1) 49445936153 =+=÷+⋅ 
 
2) 1732038121030826105682318 =−=−+=÷−+⋅=÷⋅−+⋅÷ 
 
3) =+++=+⋅+÷+⋅ 16)]728(144[16)]126972()436[( 2401622416]80144[ =+=++= 
 
4) =÷−+⋅−÷⋅+÷− )}10120()]143()452[(3)246{(11 
=−+−⋅+−= }12)]112(13[323{11 =−⋅+−=−−⋅+−= }120323{11}12]1313[323{11 
01111}1223{11}12023{11 =−=−−=−+−= 
 
IMPORTANTE: não se esqueça da ordem de resolução numa expressão numérica 
1º) potenciação 
2º) multiplicação e divisão 
3º) adição e subtração 
 
Obs.: Ao resolver uma expressão numérica, devemos eliminar parênteses, colchetes e chaves, nessa 
ordem. A ordem de resolução das operações deve ser, potenciação e radiciação, na ordem em que 
aparecerem, multiplicação e divisão, na ordem em que aparecerem e finalmente, adição e subtração, 
na ordem em que aparecerem. Para ficar mais fácil, começamos pelas expressões que estão dentro 
dos parênteses, colchetes ou chaves, a partir do mais interno, no caso de estar um dentro do outro. 
 
IMPORTANTE 
Veja que, em uma expressão numérica, a posição dos parênteses, colchetes e chaves alteram o resul-
tado da expressão. 
 
 
 
 
 
 
 
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 11
EXEMPLOS 
Resolva as expressões: 
a) 271885 22 ⋅−−+ 
Resolução 
57328914186425 =−=−−+ 
 
b) ( ) 271885 22 ⋅−−+ 
Resolução 
1282642)2589(2)7186425( =⋅=⋅−=⋅−−+ 
 
c) ]3)2:6(7[83 222 −+++ 
Resolução 
816417]367[17]31849[17]3)2:36(49[89 =+=−+=−++=−+++ 
d) )]}89(2064[285{237 −⋅−⋅−÷+⋅− 
Resolução 
=−⋅−=−−⋅−=⋅−−+⋅− }49{237]}2024[9{237]}12024[45{237 
2710375237 =−=⋅−= 
 
e) [ ]{ }5)233(27321 22 ⋅⋅−+−⋅⋅+ 
Resolução 
=+−⋅+=⋅+−⋅+=⋅−+−⋅+ ]}154[21{21]}534[21{21]}5)69(4[21{21 
541221}1921{21 =+=⋅+=−⋅+ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12
EXERCÍCIOS 
Questão 01 
Calcule o valor das expressões: 
a) 9 + 7 − 2 
b) 18 + 12 − 13 
c) 23 − 14 + 35 
d) 320 − 150 + 230 − 270 
e) 10 − 1 + 8 − 4 
f) 12 − 8 + 9 − 3 
g) 25 − 1 − 4 − 7 
h) 45 − 18 + 3 + 1 − 2 
i) 75 − 10 − 8 + 5 − 1 
j) 10 + 5 − 6 − 3 − 3 + 1 
 
 
Questão 02 
Calcule o valor das expressões: 
a) 12 − (6 + 4) 
b) (12 − 6) + 4 
c) (15 + 9) − 8 
d) 15 + (9 − 8) 
e) 30 − (5 + 3) 
f) 15 + (8 + 2) 
g) 25 − (10 −1 − 3) 
h) 23 − (2 + 8) − 7 
i) (10 + 5) − (1 + 6) 
j) 7 − (8 − 3) + 1 
k) 9 + [13 − (6 + 4 − 7)] 
l) 57 − [64 − (23 + 7 − 8) + 15] 
m) 17 + {42 + [26 − (9 + 5)] − 10} 
n) 72 − {25 + [34 − (18 + 9 − 5)] + 15} 
 
 
Questão 03 
Calcule o valor das expressões: 
a) 1770 −÷ 
b) 2320 ×+ 
c) 101030 ÷+ 
d) 127150 ×− 
e) 4201648 ÷+÷ 
f) 13220 +×− 
g) 32810 +÷− 
h) 321530 ×+−÷ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão 04 
Calcule o valor das expressões: 
a) )89()43( −×+ 
b) )43()820( +÷+ 
c) )32(815 +×+ 
d) 1)235( −×+ 
e) 1)128(25 −+÷+ 
f) )]268(5[15 ÷−×+ 
g) ]2)210(13[50 ÷−−− 
h) 202)]57(240[ −×−×+ 
 
Questão 05 
Calcule o valor das expressões: 
a) ]5)2318(10[16 ++÷−+ 
b) )]123(12[25 +×−− 
c) ]3)125(25[90 +−×+− 
d) )]2618()21058[(45 −÷+÷−×+ 
e) }])45(39[287{250 −×−−÷+×− 
f) }])67(38[285{3100 −×−−÷+×− 
g) )25(35}]6)1735[(21060{ +÷−÷−⋅+÷ 
 
 
Questão 06 
Calcule o valor das expressões: 
a) 472 − 
b) 1023 + 
c) 652 − 
d) 02 74 + 
e) 30 55 + 
 
Questão 07 
Calcule o valor das expressões: 
a) )52(104 32 −+− 
b) 32 2)12(30 ++− 
c) ]1)35(6[30 2 +−÷+ 
d) 1)310(46[20 2 +−×−− 
e) ]34)21(3[50 3 ×++÷+ 
f) ]12)510(5[100 42 ×+−÷− 
g) 332 )79(])35(4[ −÷−+ 
h) ]14)13([27 322 ×−+×+ 
i) }])52(353[93{25 1323 −×−×+÷+ 
 
 
 
 
 
 14
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS 
 
Os números inteiros formam um conjunto que se indica por 
Z = { ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} 
 
OPERAÇÕES EM Z 
1. Adição e subtração 
 
2. Multiplicação e divisão 
Regra de sinais 
Sinais iguais (resultado positivo) Ex.: 6)3()2( +=+⋅+ e 6)3()2( +=−⋅− 
Sinais opostos (resultado negativo) Ex.: 6)3()2( −=+⋅− e 6)3()2( −=−⋅+ 
 
3. Potenciação com expoente natural 
• Base positiva (expoente par ou ímpar) dá resultado positivo; 
Ex.: 4)2( 2 +=+ e 8)2( 3 +=+ 
• Base negativa (expoente par) dá resultado positivo; 
Ex.: 4)2( 2 +=− 
Obs.: cuidado, pois 4)2( 2 +=− , mas 422 −=− , pois nesse caso, somente o 2, é que está ele-
vado ao quadrado, o sinal de menos não. 
• Base negativa (expoente ímpar) dá resultado negativo. 
Ex.: 8)2( 3 −=− 
 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS 
 
Os números racionais formam um conjunto que se indica por: 






∈∈== *,/ ZqeZp
q
p
xxQ 
 Um número racional )0( ≠q
q
p
, ele pode ser: 
i. um número inteiro 
Ex.: ...
4
12
3
9
2
6
1
33 ===== 
 
ii. um número decimal exato 
Ex.: 5,3
2
7
= 
 
iii. um número decimal periódico (dízima periódica) 
Ex.: ...333,0
3
1
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 15
OPERAÇÕES EM Q (COM FRAÇÕES) 
1. Adição e subtração (com o mesmo denominador) 
Conserve o denominador e efetue a operação indicada no numerador 
Ex.: 
a) 
3
7
3
52
3
5
3
2
=
+
=+ 
b) 
5
4
5
711
5
7
5
11
=
−
=− 
 
 
2. Adição e subtração (com os denominadores diferentes) 
É só tirar o mmc dos denominadores; depois dividir o novo denominador, que é o mmc, por cada 
um dos denominadores e o resultado multiplicar pelo numerador de cada fração correspondente. 
Ex.: 
a) 
5
1
12
5
3
2
−+ tirando o mmc (3, 12,5) encontramos 60, assim: 
 
60
23
60
122510
60
112
60
55
60
25
5
1
12
5
3
2
=
−+
=
⋅
−
⋅
+
⋅
=−+ 
 
b) 
12
52
8
3
+− , note que podemos fazer 
12
52
8
3
+− igual a 
12
5
1
2
8
3
+− 
 e tirando o mmc (8, 1, 12) encontramos 24, logo: 
 
24
29
24
10489
24
52
24
224
24
33
12
5
1
2
8
3
−=
+−
=
⋅
+
⋅
−
⋅
=+− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16
3. Multiplicação e divisão 
Na multiplicação, devemos multiplicar numerador com numerador e denominador com denomi-
nador. 
Ex.: 
a) 
21
10
73
52
7
5
3
2
=
⋅
⋅
=⋅ 
 
b) 
4
5
3
2
⋅ (note que nesse caso, é possível simplificar antes o 2 com o 4) 
 
6
5
2
5
3
1
4
5
3
2
=⋅=⋅ 
 
c) 7
3
2
5
3
⋅⋅ (vamos simplificar 3 com 3) 
 
1
7
1
2
5
17
3
2
5
3
⋅⋅=⋅⋅ (veja que temos 
1
22 = e 
1
77 = ) 
 
5
14
1
7
1
2
5
17
3
2
5
3
=⋅⋅=⋅⋅ 
 Obs.: veja que essa fração 
5
14
 pode ser escrita como uma fração mista, assim: 
 
5
42
5
14
= (o que significa que são 2 inteiros e 
5
4 ) 
 e para retornar à fração, basta fazer 
5
14
5
410
5
425
5
42 =+=+⋅= 
 
 
Na divisão, devemos conservar a primeira fração e multiplicar pelo inverso da outra. 
Ex.: 
a) 
15
14
5
7
3
2
7
5
:
3
2
=⋅= 
 
b) 
9
7
3
7
3
1
7
3
:
3
1
=⋅= 
 
c) 
7
9
1
3
7
3
3
1
:
7
3
=⋅= 
 
d) 
7
1
3
1
7
3
1
3
:
7
33:
7
3
=⋅== 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Joaquim Rodrigues 
 
 17
4. Potenciação 
• com expoente natural 
Basta elevar o numerador e o denominador ao expoente, seguindo a propriedade 
n
nn
b
a
b
a
=





 
Ex.:
9
4
3
2
3
2
2
22
==





 
 
• com expoente inteiro negativo 
Nesse caso, devemos inverter a fração para depois elevar ao mesmo expoente com o sinal tro-
cado, conforme a propriedade 
nn
a
b
b
a






=





−
 
Ex.: 
a) 
4
9
2
3
3
2 22
=





=





−
 
b) 273
1
3
3
1 3
33
==





=





−
 
c) 23− note que nesse caso, 3 é o mesmo que 
1
3
, logo: 
 
9
1
3
1
1
33
22
2
=





=





=
−
−
 
 
 
 
 
REGRAS PARA TRANSFORMAÇÃO DE DECIMAL EXATO EM FRAÇÃO 
Devemos colocar um traço de fração, em seguida, escrevemos no numerador, o número sem a vírgula 
e no denominador o número 1 seguido de tantos zeros quantos forem as casas após a vírgula. 
Ex.: 
a) 
10
133,1 = (1 casa após a vírgula, colocamos 1 zero) 
b) 
100
23737,2 = (2 casas após a vírgula, colocamos 2 zeros) 
c) 
000.1
171
1000
0171171,0 == (3 casas após a vírgula, colocamos 3 zeros) 
d) 
10
55,0 = (veja que nesse caso, é possível simplificar) 
2
1
10
55,0 == 
e) 
000.1
3
000.1
0003003,0 == 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 18
REGRAS PARA TRANSFORMAÇÃO DE UMA DÍZIMA EM FRAÇÃO 
 
Dízima simples: uma dízima periódica simples é igual à parte inteira mais uma fração cujo numera-
dor é o período e cujo denominador é um número formado de tantos noves quantos forem os algaris-
mos do período. 
Ex.: 
a) 
3
1
9
3
9
30...333,0 ==+= 
b) 
99
122
99
2399
99
231...232323.1 =+=+= 
c) 
999
454.3
999
457997.2
999
4573999
999
4573457,3 =+=+⋅=+= (observe que o traço acima do número nas 
casas decimais, indica que ele é o número que repete, ou período) 
 
Dízimas compostas: uma dízima periódica composta é igual à parte inteira mais uma fração cujo 
numerador é formado pelo ante-período, seguido de um período, menos o ante-período e cujo deno-
minador é formado de tantos noves quantos forem os algarismos do período, seguidos de tantos zeros 
quantos forem os algarismos do ante-período. 
Ex.: 
a) 
990
229
990
22310...23131,0 =−+= 
b) 
900.99
218.235
900.99
418.352900.99
900.99
418.352
99900
35354532...35453453,2 =+⋅=+=−+= 
 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS 
São todos os números decimais não exatos e não periódicos. 
Ex.: 
a) ...41421,12 = 
b) ...1413,3=pi 
c) ...7182,2=e 
 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 
É a união entre os racionais e os irracionais 
 
Expoentes fracionários: n mn
m
aa =
 
Ex.: 
a) 5 35
3
22 = 
b) 333 2 12
1
==
 
c) 3
2
3
2
3
2
2
3
2
3
3
2






=





=





−
 
 
 
 
 
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 19
PROPRIEDADES DOS RADICAIS 
1. nnn baba ⋅=⋅ 
2. )0( ≠= b
b
a
b
a
n
n
n
 
3. mnn m aa ⋅= 
4. ( ) n ppn aa = 
5. pn pmn m aa ⋅ ⋅= 
6. n mn
m
aa =
 
 
Obs.: As propriedades 1 e 2 só valem se os índices forem iguais, caso contrário, é preciso tirar o mmc 
dos índices para depois aplicarmos as propriedades, assim: 
 
523 ⋅ observe que os índices são 3 e 2 e o mmc entre eles é 6 (este será o novo índice) 
 
2 13 13 5252 ⋅=⋅
 devemos pegar o mmc que é 6, dividir pelo índice do primeiro radical e multi-
plicar pelo expoente do respectivo radicando e fazer o mesmo com o segundo radical. 
 
6 36 26 316 212 13 13 52525252 ⋅=⋅=⋅=⋅ ⋅⋅
 agora já temos os índices iguais. 
 
Então, nos valemos da propriedade 1 ( nnn baba ⋅=⋅ ) 
 
666 326 36 26 316 212 13 13 50012545252525252 =⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅ ⋅⋅ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES 
Quando o denominador é irracional, é útil transformar a fração numa equivalente de denominador 
racional. Essa transformação denomina-se racionalização do denominador. 
A racionalização é obtida multiplicando-se ambos os termos da fração por uma expressão convenien-
temente escolhida e denominada fator racionalizante. 
 
1º caso: o denominador é um radical de 2º grau. Multiplicaremos os dois termos da fração pelo de-
nominador. 
Ex.: Racionalizar o denominador de 
3
2
 
multiplicamos o numerador e o denominador por 3 , assim: 
23
32
33
32
3
3
3
2
=
⋅
⋅
=×
 aqui devemos simplificar o índice do radical com o expoente do radican-
do 332 2 = , logo: 
3
32
3
32
33
32
3
3
3
2
2
==
⋅
⋅
=×
 
 
 
2º caso: o denominador é um radical de grau qualquer. Multiplicaremos os dois termos da fração pela 
potência do denominador que tornar o expoente do radicando igual ao índice. 
Ex.: Racionalizar o denominador de 
7 23
2
 
multiplicamos o numerador e o denominador por 3 , assim: 
3
32
3
32
33
32
33
32
3
3
3
2 7 5
7 7
7 5
7 52
7 5
7 57 2
7 5
7 5
7 5
7 2
==
⋅
=
⋅
⋅
=×
 
 
 
 
3º caso: denominador binômio em que um só termo, ou ambos, são radicais de 2º grau. Multiplicare-
mos os dois temos da fração pela expressão conjugada do denominador, baseando-se no princípio: 
“o produto da soma pela diferença de dois termos é igual à diferença de seus quadrados”. 
Ex.: Racionalizar o denominador de 
35
2
−
 
A expressão conjugada de 35 − é 35 + 
logo ( ) ( )
( ) ( ) 35
2
352
35
352
35
)35(2
35
35
35
2
22 +=
+
=
−
+
=
−
+
=
+
+
×
−
 
Note que ao racionalizarmos uma expressão como 
35
2
−
, estamostransformando essa expressão 
numa equivalente que nesse caso é: 35 + 
 
 
 
 
 
 
 
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 21
IGUALDADES EM IR 
 
Uma relação muito importante definida em IR (conjunto dos números reais) é a relação de igualdade. 
Na igualdade BA = , A é o primeiro membro e B é o segundo membro. 
As igualdades entre duas expressões algébricas podem se de dois tipos: 
1. Identidades: são igualdades que se verificam quaisquer que sejam os valores atribuídos às variá-
veis. 
2. Equações: são igualdades condicionais que se verificam apenas para determinado(s) valor(es) 
atribuído(s) às variáveis. 
 
 
 
IDENTIDADES NOTÁVEIS 
 
As igualdades entre expressões algébricas que independem das variáveis são chamadas de identida-
des. Dada a frequência com que são usadas, algumas identidades são ditas notáveis. 
 
1. Quadrado da soma: 222 2)( bababa ++=+ 
2. Quadrado da diferença: 222 2)( bababa +−=− 
3. Produto da soma pela diferença: 22))(( bababa −=−+ 
4. Cubo de uma soma: 32233 33)( babbaaba +++=+ 
5. Cubo de uma diferença: 32233 33)( babbaaba −+−=− 
6. Soma de dois cubos: ))(( 2233 babababa +−+=+ 
7. Diferença de dois cubos: ))(( 2233 babababa ++−=− 
 
FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS 
Fatorar um polinômio é escrevê-lo na forma de um produto, cujos fatores devem ser os mais simples 
possíveis. 
 
Casos de fatoração: 
1. Fator evidência 
2. Fatoração por agrupamento 
3. Diferença de dois quadrados 
4. Quadrado da soma ou da diferença 
5. Trinômio quadrado perfeito 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22
Questão 01 
Desenvolva: 
a) 2)23( yx + 
Resolução 
Temos um quadrado da soma de dois termos 
22222 4129)2(232)3()23( yxyxyyxxyx ++=+⋅⋅+=+ 
 
 
b) 2)3( ba − 
Resolução 
Agora, temos um quadrado da diferença de dois termos 
22222 96)3(32)()3( bababbaaba +−=+⋅⋅−=− 
 
 
c) )23)(23( −+ bb 
Resolução 
Agora, temos um produto da soma pela diferença de dois termos 
492)3()23)(23( 222 −=−=−+ bbbb 
 
 
d) )469)(23( 22 bababa ++− 
Resolução 
Diferença de dois cubos 
333322 89)2()3()469)(23( bababababa −=−=++− 
 
 
e) )255)(5( 22 ymymym +−+ 
Resolução 
Soma de dois cubos 
333322 125)5()()255)(5( ymymymymym +=+=+−+ 
 
 
f) 3)32( b+ 
Resolução 
Cubo da soma 
32233 )3()3()2(3)3()2(3)2()32( bbbb +⋅⋅+⋅⋅+=+ 
32323 2754368279233438)32( bbbbbbb +++=+⋅⋅+⋅⋅+=+ 
 
 
g) 32 )25( y− 
Resolução 
Cubo da diferença 
322222332 )2()2()5(3)2()5(3)5()25( yyyy −⋅⋅+⋅⋅−=− 
64264232 86015012584532253125)25( yyyyyyy −+−=−⋅⋅+⋅⋅−=− 
 
 
 
 
 
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 23
Questão 02 
Fatore as expressões: 
a) yzxyxyx 2232 52015 −+ 
Resolução 
Colocamos x, y e 5 em evidência 
)43(552015 22232 xzyxxxyyzxyxyx −+=−+ 
 
 
b) 3223 xyayxa + 
Resolução 
Colocamos 2a , x e y em evidência 
)( 223223 yaxxyaxyayxa +=+ 
 
 
c) yxyx 3155 −+− 
Resolução 
Fatoramos por agrupamento 
)5)(3()3()3(53155 yxxyxyxyx +−=−+−=−+− 
 
 
d) yxyyxxxx 624936 223 −+−+− 
Resolução 
Fatoramos mais uma vez por agrupamento, só que agora, agrupamos de 3 em 3 
)32(2)32(3624936 22223 +−−+−=−+−+− xxyxxxyxyyxxxx e agora colocamos 
32 2 +− xx em evidência; 
)23)(32(624936 2223 yxxxyxyyxxxx −+−=−+−+− 
 
 
e) 249 x− 
Resolução 
Diferença de dois quadrados 
)23)(23()2(349 222 xxxx +−=−=− 
 
 
f) 62 16
81
25 ba n − 
Resolução 
Diferença de dois quadrados 






+





−=−





=− babababa nnnn 4
9
54
9
5)4(
9
516
81
25 2
2
62
 
 
 
g) 22 96 yxyx ++ 
Resolução 
Trinômio quadrado perfeito 
222 )3(96 yxyxyx +=++ 
 
 
 24
h) 632 9124 nmnm +− 
Resolução 
Trinômio quadrado perfeito 
2632 )32(9124 nmnmnm −=+− 
 
 
i) 222 164129 nbaba −++ 
Resolução 
Note que nesse caso, temos uma mistura de duas fatorações. Primeiro, um trinômio quadrado per-
feito e depois uma diferença de dois quadrados. 
22222222 16)23(16)4129(164129 nbanbabanbaba −+=−++=−++ 
[ ][ ]nbanbanbaba 2)23(4)23(164129 222 ++−+=−++ 
)423)(423(164129 222 nbanbanbaba ++−+=−++ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Joaquim Rodrigues 
 
 25
EQUAÇÕES 
 
Sentença é um conjunto de palavras que tem sentido completo. 
Por exemplo: “Eu estudo para passar no concurso” 
Quando uma sentença envolve números, ela é chamada de sentença matemática. 
Por exemplo: “3 + 2 = 5” 
As sentenças matemáticas podem ser fechadas ou abertas. 
 
Sentença matemática fechada: são aquelas que apresentam valores desconhecidos, podendo ser 
falsas ou verdadeiras. 
Por exemplo: 
a) 4 = 7 
b) 15 − 7 = 5 
 
Sentença matemática aberta: são aquelas que apresentam valores desconhecidos e, por isso, não 
podemos dizer se são verdadeiras ou falsas. 
Por exemplo: 
a) x − 7 = 13 
b) 1432 =+ yx 
 
EQUAÇÃO é, portanto, uma sentença matemática aberta expressa por uma igualdade. 
Variável ou incógnita é um símbolo que está ocupando o lugar de um elemento desconhecido em 
uma expressão ou equação. 
 
 
PROPRIEDADES DAS EQUAÇÕES 
1. Princípio aditivo: quando adicionamos ou subtraímos o mesmo número aos dois membros de 
uma equação, obtemos outra equação equivalente à anterior, ou seja: se ba = , então 
kbka +=+ . Esta propriedade permite: 
i. cancelar um termo comum aos dois membros de uma equação. 
10571075 22 =⇔−=− xx 
ii. transpor um termo de um membro para outro, trocando seu sinal. 
426246 +=⇔=− xx 
 
NOTA: 
Por que princípio aditivo quando estamos subtraindo? 
Porque matematicamente subtrair é o mesmo que somar o oposto. 
353353 −=−+∴=+ xx 
E como a soma de dois números opostos é igual a zero, que é o elemento neutro da adição, temos 
que: 2350 =∴−=+ xx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 26
2. Princípio multiplicativo: quando multiplicamos ou dividimos ambos os membros de uma equa-
ção por um mesmo número, diferente de zero, encontramos uma nova equação, equivalente à an-
terior, ou seja: se ba = , então kbka ⋅=⋅ )0( ≠k . 
Esta propriedade permite: 
i. cancelar um fator não nulo comum aos dois membros de uma equação. 
2)2( 22 +=⇔+= xxxaax , para 0≠a 
 
ii. transpor um fator não nulo de um membro para o denominador do outro membro 
3
663 =⇔= xx 
 
iii. eliminar os denominadores de uma equação, multiplicando ambos os membros pelo mmc dos 
denominadores. 
 
2
162
3
26
2
12
3
2 +
⋅=





−⋅⇔
+
=−
xxxx
 
 
 
NOTA: 
Por que princípio multiplicativo quando estamos dividindo? 
Porque matematicamente dividir é o mesmo que multiplicar pelo inverso. 
3
16
3
1363 ⋅=⋅⇔= xx 
E como o produto de um número pelo seu inverso é igual a 1, que é o elemento neutro da multi-
plicação, temos que:: 2
3
61 =∴=⋅ xx 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÃO DE 1º GRAU COM UMA VARIÁVEL 
 
Chamamos de equação de 1º grau com uma variável, a toda equação que após efetuadas todas as 
simplificações possíveis, se reduz à forma: 0=+ bax . Resolver essa equação é encontrar sua raiz, ou 
seja, o valor de x que a satisfaz. 
 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DE 1º GRAU 
 
Sistema de equações é um conjunto de duas ou mais equações que são satisfeitas para os mesmos 
valores das incógnitas, isto é, que admitem pelo menos uma solução comum. 
 
PROBLEMAS DE 1º GRAU 
 
São problemas que podem ser resolvidos com equações ou ainda com sistemas de equações de 1º 
grau. Para resolver problemas de 1º grau, devemos seguir os seguintes passos: 
1. traduzir o problema do português para o “matematiquês” 
2. resolver a equação (ou o sistema)3. verificar se as raízes são compatíveis com o problema 
 
CONCLUSÃO: Você percebeu que resolver uma equação significa isolar a incógnita, por que 
quando ela fica sozinha de um dos lados da igualdade e do outro conseguimos um único valor, 
neste momento encontramos o valor da incógnita daquela situação. 
Prof. Joaquim Rodrigues 
 
 27
Exemplos: 
1. Resolver as equações: 
a) 
5
34
3
15
−=
−
− x
x
x 
Resolução 
Devemos tirar o mmc entre 1, 3, 1 e 5 que nesse caso é 15 
Multiplicamos os dois lados da igualdade pelo mmc que é 15, assim: 






−⋅=




 −
−⋅
5
3415
3
1515 xxx ∴ 
5
31560
3
151515 ⋅−=




 −
⋅− x
x
x 
3360)15(515 ⋅−=−⋅− xxx ∴ 96052515 −=+− xxx 
)1(1470596010960510 −−=−∴−−=−−∴−=+− xxxxx multiplicamos ambos os 
membros por (−1) e temos: 
70
141470 =∴= xx , que simplificando dá: 
5
1
=x 
 
 
b) 0(2 ≠=−+− ab
a
bx
b
ax
 e )ba ≠ 
Resolução 
Tiramos o mmc entre b, a e 1 e temos ab. Multiplicamos os dois membros por ab. 
ab
a
bx
b
ax
ab 2=




 −
+
−
⋅ ∴ abbxbaxa 2)()( =−+− 
abbbxaax 222 =−+− ∴ 22 2 bababxax ++=+ , note que a expressão do segundo membro 
é um produto notável 222 )(2 bababa +=++ , e colocando x em evidência no primeiro mem-
bro, temos: 
22 2 bababxax ++=+ ∴ 2)()( babax +=+ ∴ 
ba
ba
x
+
+
=
2)(
 ∴ bax += 
 
 
c) )1(
1
3
1
1
1
2
2 ±≠
−
=
−
−
+
x
xxx
 
Resolução 
Tiramos o mmc( 1,1 −+ xx e 12 −x ) que nesse caso é o próprio 12 −x , pois 
)1)(1(12 −+=− xxx 
Vamos dividir o mmc pelo denominador da primeira fração e multiplicar pelo numerador, em ca-
da um dos membros, assim: 
)1)(1(12 −+=− xxx dividimos por 1+x , encontramos 1−x e multiplicamos por 2 
)1)(1(12 −+=− xxx dividimos por 1−x , encontramos 1+x e multiplicamos por 1 
)1)(1(12 −+=− xxx dividimos por 12 −x , encontramos 1 e multiplicamos por 3 
Agora, temos o seguinte resultado, após as operações: 
31)1(1)1(2 ⋅=+⋅−−⋅ xx (aqui cancelamos os denominadores, que é o mmc, dos dois lados da 
igualdade) 
3122 =−−− xx ∴ 33 =−x ∴ 6=x 
 
 
 
 
 28
d) 0)3)(12)(13( =−+− xxx 
Resolução 
Nesse caso, temos um produto que é igual a zero, e daí temos que, se um produto é igual a zero, 
então os seus fatores também serão nulos. 
3
113013 =∴=∴=− xxx 
2
112012 −=∴−=∴=+ xxx 
303 =∴=− xx 
E então, temos três soluções para a equação que são: 
2
1
− , 
3
1
 e 3 
 
 
2. Resolver os sistemas: 
a) 



=−
=+
332
165
yx
yx
 
Resolução 
Podemos usar o método da substituição, e isolamos a variável y na primeira equação 
xy 516 −= , agora, substituímos essa variável na segunda equação, assim 
3154823)516(32332 =+−∴=−−∴=− xxxxyx 
3511748317 =∴=∴+= xxx encontrado o valor de x, é só substituir em y 
115163516516 =∴−=⋅−=∴−= yyxy 
)1,3(:S 
 
 
 
b) 



=−
=+
125
832
yx
yx
 
Resolução 
Agora, vamos usar o método da adição 



=−
=+
∴



=−
=+
3615
1664
)3(125
)2(832
yx
yx
yx
yx
 somando membro a membro, temos: 
 
11919 =∴= xx 
Substituindo o valor de x em alguma das equações, temos: 
8328312832 =+∴=+⋅∴=+ yyyx 
263 =∴= yy 
)2,1(:S 
 
3. Se a um número somarmos o seu dobro e subtrairmos a sua terça parte, encontramos 16. Qual é 
esse número? 
Resolução 
648848916
3
316
3
2 =∴=∴=−∴=−∴=−+ xxxxxxxxx 
 
 
 
 
 
Prof. Joaquim Rodrigues 
 
 29
EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
É toda equação da forma 02 =++ cbxax . As equações do 2º grau podem ser completas ou incom-
pletas. 
Por exemplo: 
Resolver as equações: 
a) 05 2 =x 
Resolução 
Note que essa equação do 2º grau, falta o termo b e c 
Ela pode ser resolvida facilmente assim: 
0000
5
005 222 =∴±=∴±=∴=∴=∴= xxxxxx 
Assim, quando a equação do 2º grau for incompleta e faltar os termos b e c, então ela terá uma ú-
nica raiz que é {0} 
 
b) 063 2 =− xx 
Resolução 
Nesse caso, falta o termo c. Podemos resolver essa equação, colocando alguns termos em evidên-
cia. 
0)2(3063 2 =−∴=− xxxx 
003 =′∴= xx e 202 =′′∴=− xx 
Note que quando faltar o termo c, numa equação do 2º grau, uma das raízes sempre será igual a 0. 
 
c) 0364 2 =−x 
Resolução 
Agora, falta o termo b. 
393640364 222 ±=∴=∴=∴=− xxxx 
Veja que quando faltar o termo b e o termo c for negativo (c < 0), numa equação de 2º grau, as ra-
ízes sempre serão simétricas. 
 
 
EQUAÇÃO COMPLETA 
Quando a equação de 2º grau for completa, isto é, da forma 02 =++ cbxax , com todos os termos 
diferentes de zero, então podemos usar a fórmula de Bháskara: 
a
b
x
2
∆±−
= , onde acb 42 −=∆ é o 
discriminante, isto é, ele é responsável pelo número de raízes da equação: 
• Se 0>∆ , então teremos duas raízes reais e diferentes; 
• Se 0=∆ , então teremos duas raízes reais e iguais ou uma única raiz real; 
• Se 0<∆ , então não teremos nenhuma raiz real. 
 
Exemplos: 
Resolver as equações: 
a) 0253 2 =+− xx 
Resolução 
12425234)5( 2 =−=⋅⋅−−=∆ , como 0>∆ , então teremos duas raízes reais 
Aplicamos a fórmula de Bháskara 
3
2
6
4
6
15
6
15
32
1)5(
==
−
=′∴
±
=
⋅
±−−
= xx e 1
6
6
6
15
==
+
=′′x 
 
 30
b) 09124 2 =++ xx 
Resolução 
014414494412 2 =−=⋅⋅−=∆ , como 0=∆ , então teremos apenas uma raiz real 
2
3
8
12
8
012
42
012
−=′′=′∴
−
=
±−
=
⋅
±−
= xxx 
 
c) 0853 2 =−+− xx 
Resolução 
719625)8()3(452 −=−=−⋅−⋅−=∆ , como 0<∆ , então não temos raiz real 
 
 
RELAÇÕES ENTRE COEFICIENTES E RAÍZES 
 
SOMA DAS RAÍZES: 
a
b
xxS −=′′+′= 
PRODUTO DAS RAÍZES: 
a
c
xxP =′′⋅′= 
 
Observe que dada uma equação do segundo grau da forma 02 =++ cbxax , podemos dividir ambos 
os membros por “a”, assim: 
00)(0 2
2
2
=++∴=++∴÷=++
a
c
x
a
b
x
aa
c
a
bx
a
ax
acbxax 
Agora, perceba que podemos fazer 02 =+





−−
a
c
x
a
b
x assim 02 =+− PSxx . 
 
Importante 
Temos ainda que a forma fatorada da equação do segundo grau é: ))(( 212 xxxxacbxax −−=++ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Joaquim Rodrigues 
 
 31
ESTUDO DAS FUNÇÕES 
 
 
É muito comum ouvirmos que as fórmulas matemáticas só servem para dificultar a nossa vida, mas 
ao contrário, elas existem com a única finalidade de facilitar e simplificar o nosso trabalho. Em mui-
tas situações, precisamos relacionar um determinado valor com um outro. Quando fazemos isso, es-
tamos utilizando função, que matematicamente significa uma correspondência entre os elementos de 
dois conjuntos, de tal forma que alguma lei (ou regra) possa ser estabelecida. Na matemática esses 
dois conjuntos serão chamados de domínio e contradomínio. Os elementos usados na situação em 
questão são as variáveis, pois podem variar de acordo com a necessidade da situação, e como o valor 
de uma interfere no valor da outra, temos que uma variável é dependente e a outra independente. 
 
Os matemáticos e os profissionais nas mais diversas áreas buscam encontrar fórmulas que modelem 
determinados fenômenos ou experimentos. 
 
O uso da matemática para traduzir relações entre variáveis do nosso dia-a-dia permite-nos estudar 
determinados comportamentos, identificar e padronizar essas relações quanto à sua linearidade, para 
que seja possível por um lado, controlar a sua evolução ao longo do tempo e por outro, prever evolu-
ções futuras. Em muitas ocasiões acreditamos que ficaria muito mais fácil, resolver alguma situação 
baseado apenas na nossa intuição, masé nessa hora que devemos nos valer de conhecimentos mate-
máticos para modelar essa situação e fazer uma previsão do que de fato possa vir a acontecer. As 
empresas estão cada vez mais interessadas nesse tipo de modelagem, uma vez que evita o desperdício 
de tempo e de recursos. 
 
Alguns modelos se encontram associados a cada uma das funções já conhecidas, outros nem tanto. 
Então é importante ter uma boa dose de ferramentas matemáticas que nos permita estabelecer regras 
e leis para encontrar a fórmula mais adequada. 
 
 
Se considerarmos uma pequena empresa e verificarmos como as vendas de determinado produto va-
ria com os investimentos feitos em marketing durante um período de 12 meses, estamos estabelecen-
do uma função. Resta agora analisar qual será o tipo de função mais adequada a essa situação. Aqui, 
queremos demonstrar que mesmo em pequenas empresas, as vendas de um produto estão fortemente 
influenciadas pelo seu marketing e isso com o auxílio de uma ferramenta matemática, de forma que a 
partir dessa situação, o gerente da empresa possa tomar uma decisão baseada na nossa estratégia. 
 
Veja que as questões colocadas aqui são basicamente três: 
• Qual seria a função que melhor representaria a lei de dependência entre o investimento feito em 
marketing e o seu respectivo retorno em venda? 
• Se a empresa tivesse R$ 2.000, 00 (o máximo que ela poderia dispor) para investir a cada mês em 
marketing, qual seria a venda esperada? 
• Qual seria o menor valor a ser investido em marketing para que a empresa mantivesse um mínimo 
de vendas? 
 
Estas e outras perguntas poderão ser solucionadas a partir dos nossos conhecimentos sobre função. 
 
 
 
 
 
 
 32
Veja, por exemplo, a seguinte situação: 
 
 
Os engenheiros eletricistas e físicos constataram que a fun-
ção ttE 05,0)( = descreve a energia consumida em função do 
tempo para uma televisão de 50w (0, 05 kw) de potência. 
Se uma televisão ficar ligada 8 horas por dia, em um mês terá 
consumido 12 kwh. 
Observe os cálculos: 
 
KwhE 4,0805,0)8( =⋅= 
Em um mês (30 dias), temos: Kwh12304,0 =× 
E sabendo que a Companhia de Energia Elétrica de Minas 
Gerais, cobra, aproximadamente R$ 0,57 por Kwh consumi-
do, então o preço a pagar por esse consumo será: 
84,657,012 =× 
ou seja, aproximadamente R$ 7,00 por mês, só de televi-
são!!! 
 
 
 
Note que a energia consumida (E) é uma função do tempo (t). 
Agora, vamos organizar essa relação: 
Se a TV ficar ligada por 1 hora, o consumo será 05,0105,0)1( =⋅=E 
Se a TV ficar ligada por 2 horas, o consumo será 10,0205,0)2( =⋅=E 
Se a TV ficar ligada por 3 horas, o consumo será 15,0305,0)3( =⋅=E 
E daí, teremos a seguinte tabela: 
 
Tempo (h) Consumo (Kwh) 
1 0, 05 
2 0, 10 
3 0, 15 
4 0, 20 
 
Ou podemos ainda colocar esses dados em forma de diagrama, assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Joaquim Rodrigues 
 
 33
Também, podemos fazer uma representação gráfica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que as variáveis, nessa situação, são o tempo e o consumo, que são os nossos dois conjun-
tos, onde a variável tempo será o domínio e a variável consumo, o contradomínio. Veja que o con-
sumo depende do tempo de uso. Assim, o consumo é a variável dependente, enquanto que o tempo é 
a variável independente. 
 
Veja que a partir desse modelo, é possível fazer uma previsão de consumo e evitar um gasto maior na 
conta de luz. 
Se uma família decide gastar R$ 60, 00 por mês, com uma tolerância de R$ 4,00 para mais ou para 
menos, qual será a faixa de consumo para que o custo fique dentro do padrão estabelecido. Algumas 
perguntas podem ser feitas. 
• Qual será o tempo de uso da TV? 
• Qual será o tempo de uso do chuveiro elétrico? 
• Qual será o tempo de uso do computador? 
• etc 
 
E se transferimos esse modelo para uma situação maior, uma indústria, por exemplo, será se não po-
demos verificar certos desperdícios e criar um modelo, tal qual foi feito com a casa em questão? 
Será se não podemos aumentar a produtividade dessa empresa, a partir de certos cortes no desperdí-
cio? 
 
Assim, temos que a função pode ser aplicada a várias situações: 
• Filas de banco: quantos caixas seriam necessários para se ter uma fila de tamanho médio x 
qualquer? 
• Projetos de circuitos elétricos 
• Quais os pontos ótimos (otimização) de produção numa indústria? 
• Que quantidade de ônibus da mesma frota, deve estar circulando de maneira que o passa-
geiro espere no máximo 5 minutos no ponto de ônibus no horário de “rush” à tarde? 
 
Então, são várias as aplicações de função. Resta agora, fazer uma definição matemática (formal) de 
função e encontrar os possíveis modelos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,05 
0,10 
0,15 
0,20 
Consumo (Kwh) 
1 2 3 4 Tempo (h) 
 34
Para isso, vamos considerar dois conjuntos A e B e analisar: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B A 
Não é função, pois nem todo elemento de A corresponde a 
algum elemento de B. Note que o elemento 3 de A ficou so-
brando. 
 
a 1 
b 2 
c 3 
d 
 
4 
B 
b 2 
A 
1 
3 
a 
c 
d 
Não é função, pois existe um elemento de A, que está corres-
pondendo a mais de um elemento de B, e a definição diz que 
todo elemento de A, deve estar correspondendo a um único 
elemento. 
É função, pois todo elemento de A, está correspondendo a um 
único elemento de B. 
Note que não há nenhum problema em sobrar elementos em 
B. 
Nesse caso, como é função, temos: 
Domínio: D = {1, 2, 3, 4} 
Contradomínio: CD = {a, b, c, d, e} 
Imagem: Im = {a, b, c, d} 
 
a 
b 
c 
d 
4 
2 
1 
3 
A B 
e 
É função, pois todo elemento de A, está correspondendo a um 
único elemento de B. 
Note que não há nenhum problema em ter mais de um ele-
mento de A, correspondendo a um elemento de B. 
Nesse caso, como é função, temos: 
D = {1, 2, 3, 4, 5} 
CD = {a, b, c, d} 
Im = {a, b, c, d} 
 
 
4 
A B 
1
 2
 
3 
a 
b 
c 
d 
5 
Prof. Joaquim Rodrigues 
 
 35
Graficamente, podemos fazer a seguinte representação: 
 
 
 
Não é função, no intervalo de a até b, pois existem elemen-
tos, o k, por exemplo, que não possui imagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Não é função, no intervalo de a até b, pois existem elemen-
tos, o k, por exemplo, que possui mais de uma imagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É função, pois no intervalo de a até b, todo elemento possui 
uma única imagem. 
 
 
 
 
 
 
 
No plano cartesiano, o domínio será representado pelo eixo x, enquanto que a imagem será represen-
tada pelo eixo y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x b a k 
y 
a k b x 
y 
a b x 
De maneira geral, para caracterizar uma função precisamos de: 
1) dois conjuntos A e B não vazios; 
2) uma lei de correspondência (que é a fórmula que estabelece a lei de correspondência) 
 
 36
Observe a seguinte situação: 
“Uma caixa de remédios custa R$ 3, 00. Quanto custa 8 caixas do mesmo remédio? 
 
Trata-se de um problema simples de multiplicação: 
 8 caixas de remédio a $ 3, 00 cada uma, dá: 8 x 3 = 24 
Mas note que existe uma correspondência entre o preço a pagar e a quantidade comprada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos observar que o preço a pagar depende da quantidade com-
prada, logo, o preço a pagar será chamado de variável dependente, 
enquanto que a quantidade decaixas será a variável independente. 
 
 
 
 
 
 
Agora, já temos condições de estabelecer uma fórmula para esta situação, baseado na observação da 
correspondência entre o preço a pagar e a quantidade comprada: 
 
Quantidade 
de caixas 
Preço 
a pagar 
1 313 =⋅ 
2 623 =⋅ 
3 933 =⋅ 
4 
 1243 =⋅ 
. . . 
x xx 33 =⋅ 
 
 
Assim, temos que o preço a pagar P em função da quantidade x, pode ser representada por: 
xxP 3)( = que é a fórmula matemática para representar essa situação. 
Nessa fórmula, xxP 3)( = , o domínio é x, a imagem é P(x) e a lei de associação é 3x. 
 
 
 
 
 
 
Quantidade 
de caixas 
Preço 
a pagar 
1 3 
2 6 
3 9 
4 12 
 
1 
2 
3 
4 
3 
6 
9 
1
Preço 
a pagar 
Quantidade 
de caixas 
Preço a pagar 
1 2 3 4 
3 
6 
9 
12 
Quantidade 
de caixas 
Prof. Joaquim Rodrigues 
 
 37
Assim, quando o domínio x for igual a 1, a imagem será 313 =⋅ . 
Veja: 
P(1) = 3 
P(2) = 6 
P(3) = 9 
 
Note que também poderíamos calcular 6)2()2(3)2( −=−⇒−⋅=− PP 
mas observe que nesse caso, não faz sentido comprar −2 caixas de remédio e pagar R$ −6, 00. 
Com isso, estamos estabelecendo a condição de existência (C.E.) ou simplesmente domínio (D) da 
função. 
É nesse momento que iremos verificar em qual conjunto a função irá existir. 
Observe outros exemplos: 
 
Exemplo 01 
Uma função é definida por 
x
xf 10)( = , calcule: 
a) )2(−f b) )1(−f c) )0(f d) )2(f e) 





2
1f 
 
Resolução: 
a) 5
2
10)2( −=
−
=−f ou seja, a imagem de x = −2 é 5−=y 
b) 10
1
10)1( −=
−
=−f ou seja, a imagem de 1−=x é 10−=y 
c) 
0
10)0( =f (veja que neste caso, não existe a divisão por zero) 
d) 5
2
10)2( ==f 
e) 20
1
20
1
210
2
1
10
2
1
==⋅==




f
 
Então, aqui, o domínio será }0/{ ≠∈= xIRxD ou seja, queremos dizer que x pode ser qualquer 
número, exceto o zero. 
 
Exemplo 02 
Dada a função 62)( −= xxf , obtenha o seu domínio. 
 
Resolução: 
Podemos perceber que qualquer número pode ser colocado sob o radical, exceto algum número nega-
tivo, logo, a expressão 2x − 6 deve ser positiva ou até mesmo igual a zero, só não pode ser negativa. 
Assim, temos que: 
362062 ≥⇒≥⇒≥− xxx 
E finalmente }3/{ ≥∈= xIRxD 
 
 
 
 
 
 38
Algumas aplicações práticas nos mostram que as funções podem ser modeladas no nosso dia a 
dia, veja: 
NOTA: Observe que, em situações práticas, nem sempre iremos usar as letras x e y, mas sim, letras 
que sugerem as grandezas em questão. 
 
Exemplo 01 
Veja esse modelo sobre o custo total de fabricação de um produto: 
Suponha que o custo total de fabricação de q unidades de certa mercadoria seja dada pela função 
20050030)( 23 ++−= qqqqC . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Calcule o custo de fabricação de 10 unidades. 
b) Calcule o custo de fabricação da 10ª unidade da mercadoria. 
 
Resolução 
a) O custo de fabricação de 10 unidades é o valor da função custo total quando q = 10 
logo, 200500010030100020010500103010)10( 23 ++⋅−=+⋅+⋅−=C 
200.3200000.5000.3000.1)10( =++−=C 
assim, o custo para fabricar 10 unidades da mercadoria é R$ 3.200, 00 
 
b) O custo da fabricação da 10ª unidade, é a diferença entre o custo de fabricação de 10 unidades e o 
custo de fabricação de 9 unidades. 
então, como 999.220095009309)9( 23 =+⋅+⋅−=C , temos: 
201999.2200.3)9()10( =−=− CC 
o custo para fabricar a 10ª unidade é de R$ 201, 00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 02 
O processo mais rigoroso para determinar a frequência cardíaca máxima (FC
(número de batimentos do coração por minuto 
nhado por um profissional. 
 
 
Quando realizamos algum esforço físico, para não termos dores (musculares e/ou articulares) nem 
problemas cardíacos, a freqüência cardíaca, não deve ultrapassar 85% de nossa FC
 
Nessas condições, se uma pessoa tem 20 anos e é sedentário, qual será o limite máximo de bpm que 
deve atingir para não se sentir mal ao realizar alguma atividade física?
 
 
Resolução 
xxFCMax −= 220)( ⇒ 20(MaxFC
⇒ 85% de 220 = 17020085,0 =⋅
Logo, 170)20( =MaxFC , ou seja, deverá atingir um máximo de 170 bpm
Veja que estamos lidando com uma fórmula, onde o número de bpm é 
Nesse caso, o domínio é a idade e a 
 
 
Exemplo 03 
Os dermatologistas definiram uma fórmula para calcular aproximadamente, a área 
poral de uma pessoa. A área, em m
3
2
11,0)( mmA ⋅= . 
 
 
 
 
 
 
Prof. Joaquim Rodrigues
39
O processo mais rigoroso para determinar a frequência cardíaca máxima (FC
(número de batimentos do coração por minuto – bpm) é realizar um teste de esforço físico, acomp
Mas, os fisiologistas, estabeleceram uma fórmula que permite qua
quer pessoa conhecer o valor aproximado de sua freqüência cardí
ca máxima, em função de sua idade. 
xxFCMax −= 220)( 
ou 
2
205)( xxFCMax −= (esta deve ser usada por pessoas que praticam 
atividades físicas com regularidade) 
Onde x é a idade da pessoa, em anos. 
 
Quando realizamos algum esforço físico, para não termos dores (musculares e/ou articulares) nem 
problemas cardíacos, a freqüência cardíaca, não deve ultrapassar 85% de nossa FC
e uma pessoa tem 20 anos e é sedentário, qual será o limite máximo de bpm que 
deve atingir para não se sentir mal ao realizar alguma atividade física? 
20020220)20 =−= 
170 
, ou seja, deverá atingir um máximo de 170 bpm 
tamos lidando com uma fórmula, onde o número de bpm é função
é a idade e a imagem será o número de batimentos cardíacos por minuto.
Os dermatologistas definiram uma fórmula para calcular aproximadamente, a área 
poral de uma pessoa. A área, em m2 é calculada em função da massa (
 
Se uma pessoa possui 70 kg de massa, por exemplo, então 
sua área de superfície corporal será: 
23
2
87,17011,0)70( mA =⋅= , 
onde o domínio é a massa (m) e a imagem
 
 
 
Prof. Joaquim Rodrigues 
 
O processo mais rigoroso para determinar a frequência cardíaca máxima (FCMax) de um indivíduo 
bpm) é realizar um teste de esforço físico, acompa-
Mas, os fisiologistas, estabeleceram uma fórmula que permite qual-
proximado de sua freqüência cardía-
(esta deve ser usada por pessoas que praticam 
Quando realizamos algum esforço físico, para não termos dores (musculares e/ou articulares) nem 
problemas cardíacos, a freqüência cardíaca, não deve ultrapassar 85% de nossa FCMax. 
e uma pessoa tem 20 anos e é sedentário, qual será o limite máximo de bpm que 
função da idade. 
será o número de batimentos cardíacos por minuto. 
Os dermatologistas definiram uma fórmula para calcular aproximadamente, a área da superfície cor-
é calculada em função da massa (m) e é dada por: 
Se uma pessoa possui 70 kg de massa, por exemplo, então 
 
imagem será a área. 
 
Veja a situação: 
“ O Sr. Mário, 57 anos, apresenta diagnóstico de câncer de pulmão, estágio III B. O protocolo pr
posto para essa patologia nesse estágio é CISPLATINA 50 mg/m
mg/m2. 
Se o Sr. Mário, na última consulta estav
tos. 
 
Veja que esse um problema simples de função, onde devemos inicialmente encontrar a área da s
perfície corporal do Sr. Mário, para em seguida, com o uso de mais uma ferramenta matemática 
(regra de três simples) ter a condição para a prescrição médica.
 
Resolução 
Vamos calcular a sua área de superfície corporal
23
2
11,28411,0)84( mA =⋅= 
 
Agora, resta calcular a dosagem para cada medicamento, u
 
 
CISPLATINA 
 
 
 
2, 11 m
 
 
 
 
 
 
 
 
ETOPOSIDO 
 
Nos dois casos, deve ser administrado, aproximadamente105,5 mg
 
 
 
 
 
 
 
 
40
“ O Sr. Mário, 57 anos, apresenta diagnóstico de câncer de pulmão, estágio III B. O protocolo pr
posto para essa patologia nesse estágio é CISPLATINA 50 mg/m2 e ETOPOSIDO também 50 
Se o Sr. Mário, na última consulta estava com 84 kg, calcular a dosagem de cada um dos medicame
Veja que esse um problema simples de função, onde devemos inicialmente encontrar a área da s
perfície corporal do Sr. Mário, para em seguida, com o uso de mais uma ferramenta matemática 
e três simples) ter a condição para a prescrição médica. 
calcular a sua área de superfície corporal 
calcular a dosagem para cada medicamento, usando regra de três simples.
 1 m2 50 mg 
2, 11 m2 x 
 x = 105,5 mg 
 
 
 1 m2 50 mg 
 2, 11 m2 y 
 
 y = 105,5 mg 
 
 
 
 
Nos dois casos, deve ser administrado, aproximadamente 105,5 mg 
“ O Sr. Mário, 57 anos, apresenta diagnóstico de câncer de pulmão, estágio III B. O protocolo pro-
e ETOPOSIDO também 50 
a com 84 kg, calcular a dosagem de cada um dos medicamen-
Veja que esse um problema simples de função, onde devemos inicialmente encontrar a área da su-
perfície corporal do Sr. Mário, para em seguida, com o uso de mais uma ferramenta matemática 
regra de três simples. 
Prof. Joaquim Rodrigues 
 
 41
Exemplo 04 
Em muitas ocasiões, o profissional, habituado a manejar o seu arsenal terapêutico no atendimento de 
adultos, pode ter dúvidas no estabelecimento das doses adequadas ao paciente infantil. Nesses casos, 
ele deve se valer de regras estabelecidas para o cálculo da dosagem em crianças, como: 
FÓRMULA DE CLARK (em função do peso da criança) 
Dppd ⋅=
70
)( 
onde: 
d é a dosagem da criança, em mg 
p é o peso da criança, em kg 
D é a dosagem do adulto, em mg 
 
 
FÓRMULA DE YOUNG (em função da idade da criança) 
D
i
iid ⋅
+
=
12
)( 
onde: 
d é a dosagem da criança, em mg 
i é a idade da criança, em anos 
D é a dosagem do adulto, em mg 
 
 
FÓRMULA DE SHYRKEY (em função da área da superfície corporal) 
DAAd ⋅=
73,1
)( 
onde: 
d é a dosagem da criança, em mg 
A é área da superfície corporal, em m2 
D é a dosagem do adulto, em mg 
 
 
a) Foi prescrito sulfato de codeina para uma criança de 3 anos de idade, sexo feminino e com desen-
volvimento aparentemente normal. Sabendo-se que a posologia para adulto é de 30mg, calcular a 
posologia da criança. 
 
Resolução 
D
i
iid ⋅
+
=
12
)( ⇒ 6
15
9030
123
3)3( ==⋅
+
=d ⇒ mgd 6)3( = 
 
Veja que, o domínio é 3 e a imagem é 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 42
b) Foi prescrito amoxil suspensão para uma criança de 3 anos de idade, pesando 13 kg e do sexo 
feminino. Sabendo-se que a posologia para adulto é de 500mg, calcular a posologia para essa cri-
ança, em função de seu peso. 
 
 
Resolução 
Dppd ⋅=
70
)( ⇒ 86,92500
70
13)13( =⋅=d ⇒ mgd 93)13( ≅ 
 
Veja que o domínio é 13 e a imagem é 93. 
 
 
c) Calcular a posologia do ácido acetilsalicílico para uma criança de 4 anos de idade pesando 18kg 
em função de sua área de superfície corporal sabendo que a posologia para um adulto é de 500mg. 
 
Resolução 
3
2
11,0)( mmA ⋅= 
7555,01811,0)18( 3
2
=⋅=A 
 DAAd ⋅=
73,1
)( 
 mgd 36,218500
73,1
7555,0)7555,0( =⋅= 
 
Veja que o domínio é 0,7555 e a imagem é 218,36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Joaquim Rodrigues 
 
 43
EXERCÍCIOS 
 
Questão 01 
Analise as relações abaixo, definidas por diagramas, e assinale com um X as letras correspondentes 
às funções. Nas funções, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
9 
11 
4 
A B 
c) 
2 
6 
5 
4 
7 
10 
13 
15 
21 
A B 
b) 
2 
3 
4 
5 
8 
15 
A B 
a) 
1 7 
11 
 44
a) b) 
c) d) 
1 
2 
3 
4 
a 
b 
c 
A B A B 
A B 
1 
2 
3 
4 
a 
b 
c 
5 
d 
1 
2 
3 
 
a 
b 
c 
d 
e 
1 
2 
3 
4 
a 
b 
c 
A B 
Questão 02 
Verifique se os diagramas abaixo definem função de A em B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 03 
Sejam os conjuntos dados A = {−1, 0, 1, 2} e B = { −3, 0, 3, 6, 9, 10}. Quais das relações a seguir são 
funções de A em B? 
a) {(−1, −3); (0, 0); (1, 3); (2, 6)} 
b) {(−1, 10); (0, 10); (1, 10); (2, 10)} 
c) {(−1, 0); (0, 0); (−1, 9); (2, 10); (1, 6)} 
d) {(−1, −3); (1, 3); (2, 9)} 
e) {(−1, 4); (2, 0); (0, 3); (3, 6); (1, 9)} 
 
 
Questão 04 
Sejam A = {a, b, c, d} e B = {1, 2, 3, 4, 5}. Assinale a ÚNICA alternativa que define uma função de 
A em B. 
a) {(a, 1); (b, 3); (c, 2)} 
b) {(a, 3); (b, 1); (c, 5); (a, 1)} 
c) {(a, 1); (b, 1); (c, 1); (d, 1)} 
d) {(a, 1); (a, 2); (a, 3); (a, 4); (a, 5)} 
e) {(1, a); (2, b); (3, c); (4, d); (5, a)} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Joaquim Rodrigues 
 
 45
a) b) 
c) d) 
y 
x 
y 
y y 
x 
x x 
a b a b 
a b a b 
Questão 05 
Das figuras a seguir, a ÚNICA que representa o gráfico de uma função real )(xfy = , sendo 
[ ]bax ,∈ é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 06 
Qual dos gráficos abaixo constitui função no intervalo [1, 5]? 
 
 
 
Questão 07 
Considere os conjuntos A = {−2, −1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. 
Determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem da função f = {(x, y) ∈ A x B / 2xy = } 
 
 
Questão 08 
Se 353)( 2 +−= xxxf , calcule: 
a) f(2) b) f(−1) c) f(0) 
 
 
Questão 09 
Dadas as funções f e g, reais, definidas por 53)( 2 −= xxf e 14)( += xxg , determine o valor de 
)1()2( −− gf . 
 
 
 
 46
0 1 3 9 10 
y 
6 
1 
x 
Questão 10 
Se 
1
12)(
+
−
=
x
x
xf , então f(1): 
a) não existe 
b) é 2 
c) é 
2
1
 
d) vale zero 
 
Questão 11 
Seja a função dada por 12)( 3 −= xxf . Nessas condições f(0) + f(−1) + f(1) vale: 
a) −3 
b) −1 
c) 0 
d) 1 
e) 3 
 
Questão 12 
A figura abaixo mostra o gráfico de uma função real cujo domínio e imagem são, respectivamente: 
 
 
 
 
a) [ ]10,1 e [ ]6,1 
b) ] ]10,1 e [ [6,1 
c) [ [10,1 e ] ]6,1 
d) ] ]10,1 e [ ]6,1 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 13 
Considere a função cuja lei é dada pela fórmula xxxf += 2)( . 
Obtenha: 
a) f(0) 
b) f(−1) 
c) o valor de x, tal que f(x) = 6 
 
 
Questão 14 
Dada a função 124)( 2 −−= xxxf , determine os valores reais de x para que se tenha: 
a) f(x) = 0 
b) f(x) = −15 
 
 
 
 
 
Prof. Joaquim Rodrigues 
 
 47
Questão 15 
Seja 






−
=∈= 24
2/),(
x
yIRxIRyxf uma relação. 
O domínio desta relação é igual a: 
a) IR+ 
b) IR 
c) 






−≠∈
2
1/ xIRx 
d) {x ∈ IR / x ≠ 2} 
e) {x ∈ IR / x ≠ 2 e x ≠ −2} 
 
 
Questão 16 
O domínio real da função 23)( += xxf é: 
a) IR+ 
b) 






−>∈
3
2/ xIRx 
c) 






−≥∈
3
2/ xIRx 
d) 






−<∈
3
2/ xIRx 
e) 






−≠∈
3
2/ xIRx 
 
 
Questão 17 
Considere o gráfico da função f: A → B, e os conjuntos A = {−1, 0, 1, 2} e B = {−3, −1, 0 1}. 
Determine: 
 
 
 
a) f(−1) 
b) f(0) 
c) f(1) 
d) f(2) 
e) )1()2(
)1(3
−+ ff
f
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 1 2 −1 
−3 
1 
 48
y 
7 
6 
−3 
−4 
45 
x 0 
Questão 18 
O gráfico abaixo é de uma função de [ ]5,3− . Classifique como V ou F cada uma das afirmações: 
 
a) f(−3) = 7 
b) f(0) = 0 
c) f(4) = 0 
d) f(5) = 0 
e) 0
2
9
<




f 
f) f(3) < 0 
g) f(5) − f(−3) = −11 
h) [ ]7,4)(Im −=f 
 
 
 
Questão 19 
Um estudo sobre a eficiência de operários do turno da manhã de certa fábrica indica que um operário 
médio, que chega ao trabalho às 8 horas da manhã, monta, x horas depois 
de iniciado o expediente, um número de rádios transistores, que é determi-
nado pela função xxxxf 156)( 23 ++−= . 
 
a) Quantos rádios o operário terá montado às 10 horas da manhã? 
b) Quantos rádios o operário terá montado entre 9 e 10 horas da manhã? 
 
 
 
 
 
 
Questão 20 
Durante a última campanha de vacinação, representantes do Ministério da Saúde constataram que o 
custo para vacinar x% da população infantil era de aproximadamente 
x
x
xf
−
=
200
150)( milhões de 
reais. 
 
 
a) Qual o domínio da função f? 
b) Para que valores de x, no contexto do problema, f(x) tem interpretação prática? 
c) Qual foi o custo para vacinar os primeiros 50% das crianças? 
d) Qual foi o custo para que os 50% restantes fossem vacinados? 
e) Que porcentagem foi vacinada, ao terem sido gastos 37, 5 milhões de reais? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Absorção (mg / dia) 
Ingestão (mg / dia)20 
18 
A B
Questão 21 
Uma instituição iniciou um programa para arrecadação de fundos. Estima
x
x
xf
−
=
150
10)( semanas para arrecadar 
a) Qual o domínio da função f? 
b) Para que valores de x, no contexto do problema, 
c) Qual o tempo necessário para arrecadar 50% do valor desejado?
d) Qual o tempo necessário para arrecadar 100% do valor desejado?
 
 
Questão 22 
Através de um estudo sobre o consumo de energia elétrica de uma fábrica, chegou
C = 400t, em que C é o consumo em kWh e t é o t
 
 
 
 
a) Qual o consumo de energia elétrica dessa fábrica em oito dias?
b) Quantos dias são necessários para que o consumo atinja 4800 kWh?
c) Se a empresa adquirir uma nova máquina que consuma 200 kWh diários, qual deve ser a equação 
que descreve o consumo total da fábrica em função do tempo?
 
 
Questão 23 
Observe o gráfico, em que o segmento AB é paralelo ao eixo das abscissas.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esse gráfico representa a ingestão de certo composto, em mg/dia, e sua absorção pelo organi
mo,também em mg/dia. 
A única afirmativa FALSA relativa ao gráfico é
a) A razão entre a quantidade absorvida e a quantidade ingerida é constante.
b) A absorção resultante da ingestão de mais de 20 mg/dia é igual a absorção resultante da ingestão 
de 20 mg/dia. 
c) Para ingestão acima de 20 mg/dia, quanto maior a ingestão, menor a porcentagem absorvida do 
composto ingerido. 
d) Para ingestão de até 20 mg/dia, a absorção é proporcional à quantidade ingerida.
 
 
Prof. Joaquim Rodrigues
49
Ingestão (mg / dia) 
B 
iciou um programa para arrecadação de fundos. Estima-se que serão necessários 
semanas para arrecadar x% do valor desejado. 
 
, no contexto do problema, f(x) tem interpretação prática?
para arrecadar 50% do valor desejado? 
Qual o tempo necessário para arrecadar 100% do valor desejado? 
Através de um estudo sobre o consumo de energia elétrica de uma fábrica, chegou
C = 400t, em que C é o consumo em kWh e t é o tempo em dias. 
Qual o consumo de energia elétrica dessa fábrica em oito dias? 
Quantos dias são necessários para que o consumo atinja 4800 kWh? 
Se a empresa adquirir uma nova máquina que consuma 200 kWh diários, qual deve ser a equação 
e o consumo total da fábrica em função do tempo? 
Observe o gráfico, em que o segmento AB é paralelo ao eixo das abscissas. 
 
Esse gráfico representa a ingestão de certo composto, em mg/dia, e sua absorção pelo organi
A única afirmativa FALSA relativa ao gráfico é 
A razão entre a quantidade absorvida e a quantidade ingerida é constante. 
A absorção resultante da ingestão de mais de 20 mg/dia é igual a absorção resultante da ingestão 
de 20 mg/dia, quanto maior a ingestão, menor a porcentagem absorvida do 
Para ingestão de até 20 mg/dia, a absorção é proporcional à quantidade ingerida.
Prof. Joaquim Rodrigues 
 
se que serão necessários 
tem interpretação prática? 
Através de um estudo sobre o consumo de energia elétrica de uma fábrica, chegou-se à equação 
 
 
 
 
 
Se a empresa adquirir uma nova máquina que consuma 200 kWh diários, qual deve ser a equação 
Esse gráfico representa a ingestão de certo composto, em mg/dia, e sua absorção pelo organis-
 
A absorção resultante da ingestão de mais de 20 mg/dia é igual a absorção resultante da ingestão 
de 20 mg/dia, quanto maior a ingestão, menor a porcentagem absorvida do 
Para ingestão de até 20 mg/dia, a absorção é proporcional à quantidade ingerida. 
 50
Questão 24 
A densidade do ar seco à pressão de uma atmosfera e à temperatura de T graus centígrados é dada 
pela expressão litrogramas
T
D /
0036,01
308,1
+
= 
Nessas condições, uma densidade de 1, 2 grama / litro corresponde a uma temperatura de: 
a) 24, 5º C 
b) 25º C 
c) 25, 5º C 
d) 26º C 
 
 
Questão 25 
O comprimento de uma barra de metal varia com a temperatura T de acordo com a equação 
TTL ⋅+= 001,0100)( , sendo T em graus Celsius (º C) e L em centímetros (cm). 
Com base na informação acima, responda: 
a) Qual é o comprimento dessa barra a 10º C 
b) A que temperatura o comprimento é de 100, 01 cm? 
 
 
Questão 26 
Uma caixa d’água tem capacidade para 1.000 litros. Quando ela está com 200 litros, uma torneira é 
aberta e despeja na caixa 25 L/min. 
a) Obtenha uma fórmula que relaciona a quantidade de água na caixa y (em litros) em função do 
tempo x ( em minutos). 
b) Quanto tempo transcorre do momento em que a torneira é aberta até o enchimento total da caixa? 
 
 
Questão 27 
Um clínica de fisioterapia cobra R$ 50, 00 de matrícula e mais R$ 10, 00 por sessão de fisioterapia. 
Qual a expressão que representa a quantia y (em reais) a ser paga por um paciente que fez x sessões 
de fisioterapia? 
a) xy )1050( += 
b) 5010 += xy 
c) 1050 += xy 
d) 5010 += xy 
e) 1050 −= xy 
 
 
Questão 28 
Em uma experiência com camundongos foi observado que o tempo requerido para um camundongo 
percorrer um labirinto era dado pela função 





+=
n
nf 123)( minutos. Com relação a essa experiên-
cia, pode-se afirmar que um camundongo: 
a) consegue percorrer o labirinto em menos de três minutos; 
b) gasta 5 minutos e 40 segundos para percorrer o labirinto na quinta tentativa; 
c) gasta 8 minutos para percorrer o labirinto na terceira tentativa; 
d) percorre o labirinto em 4 minutos na décima tentativa; 
e) percorre o labirinto, numa das tentativas, em 3 minutos e 30 segundos. 
 
 
 
Prof. Joaquim Rodrigues 
 
 51
Questão 29 
O índice de massa corporal, indicado por IMC, é dado pela fórmula: 2)(altura
pesoIMC = (peso em kg e 
altura, em m). 
Considere a seguinte tabela: 
 
IMC Situação 
18, 5 a 24, 9 peso normal 
25 a 29 sobrepeso (acima do peso) 
30 a 39 Obeso 
Maior que 40 obesidade grave 
 
Com base nas informações anteriores, se uma pessoa pesa 60 kg e tem altura igual a 1,60m, então 
essa pessoa: 
a) está com obesidade grave 
b) está com sobrepeso 
c) está com peso normal 
d) é obesa 
 
Questão 30 
A área da superfície corporal pode ser calculada aproximadamente pela fórmula de Mosteller, 
60
hp
A
⋅
= , onde A é a área em m2, p é o peso em kg e h, é a estatura em cm. Assim sendo, calcule: 
a) a área da superfície corporal de uma pessoa que pesa 80 kg e tem 1,8 m de altura. 
b) o percentual de aumento da área corporal de uma pessoaadulta, caso o seu peso altere de 70 kg 
para 84,7 kg. 
 
Questão 31 
No que se refere a dosagem de medicamentos para crianças, a informação mais segura é a fornecida 
pelo fabricante e que está contida na bula. Na ausência de uma dose específica poder-se-á fazer uma 
aproximação com base na idade, peso ou superfície corporal. 
A fórmula de Clark, Dppd ⋅=
70
)( , onde d é a dosagem da criança, em mg, p é o peso da criança, 
em kg e D é a dosagem do adulto em mg, calcula a dose em função do peso. 
Um médico receitou à Ana, que tem 6 anos, 30 mg de um medicamento em que a dosagem para um 
adulto é de 84 mg. Qual o peso de Ana? 
 
Questão 32 
Pesquisas desenvolvidas por matemáticos e indústrias de calçados determinaram que existe uma fun-
ção, relacionado o número do calçado e o tamanho do pé da pessoa. A função tem a seguinte expres-
são matemática 
4
285 +
=
pN (onde N representa o número do calçado e p o tamanho do pé). 
a) De acordo com a função, qual seria o número do calçado de uma pessoa cujo pé mede 24 cm (a-
proximadamente)? 
b) Ainda pela fórmula, qual o tamanho do pé (aproximadamente) de uma pessoa que calça 42? 
 
 
 
 
 
 
 52
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Joaquim Rodrigues 
 
 53
FUNÇÃO DE 1º GRAU 
 
 
Veremos, a partir daqui algumas funções elementares, a primeira delas é a função de 1º grau, que 
estabelece uma relação de proporcionalidade. 
Podemos então, definir a função de 1º grau ou função afim, como sendo aquela função que tem a 
forma nmxxf +=)( , sendo m e n números reais. 
 
Exemplos: 
a) f(x) = −3x + 12 onde m = −3 e n = 12 
b) y = 2x − 6 onde m = 2 e n = −6 
 
NOTA 
� Se m ≠ 0 e n = 0, então f(x) = mx é denominada função linear. 
� Se m = 1 e n = 0, então f(x) = x é denominada função identidade. 
� Se m = 0, então f(x) = n é denominada função constante. 
 
Questão 01 
Dadas as funções f de IR em IR, identifique com um X, aquelas que são do 1º grau. 
a) ( ) 173)( −= xxf 
b) ( ) 17)( +−= xxf 
c) ( ) 123)( 2 −= xxg 
d) ( ) xxf 1734)( −= 
e) ( ) 
3
23)( −= xxh 
f) ( ) 
5
7
3
2
−= xy 
g) ( ) 
5
12)( +=
x
xf 
h) ( ) 53 += xy 
 
Questão 02 
Identifique como (A) afim, (L) linear, (I) identidade ou (C) constante, cada uma das funções a seguir: 
a) ( ) 53 += xy 
b) ( ) xy 17−= 
c) ( ) xy 33 −= 
d) ( ) xy
5
2
= 
e) ( ) xxf =)( 
f) ( ) 13=y 
g) ( ) 1)( −=xf 
h) ( ) 
3
)( xxf −= 
i) ( ) xxf −=)( 
j) ( ) 7)( −=xf 
k) ( ) 
5
173)( +−= xxf 
 54
Questão 03 
Dada a função 23)( −= xxf , calcule: 
a) )1(f 
b) )2(f 
c) )0(f 
d) )2(−f 
e) 





3
2f 
f) )3(f 
 
 
 
 
ZERO OU RAIZ DA FUNÇÃO DE 1º GRAU 
 
Como o próprio nome diz zero ou raiz da função de 1º grau f(x) = mx + n é o valor de x que anula 
esta função, isto é, que torna f(x) = 0 ou 0=y . 
 
Exemplo: 
Calcular o zero (ou raiz) de 82)( += xxf . 
Resolução: 
basta igualar a função f(x) a zero, assim: 
f(x) = 0 ⇒ 082 =+x ⇒ 82 −=x ⇒ 4−=x 
 
Note que o valor encontrado (−4) é o que torna a função nula, observe: 
82)( += xxf ⇒ 0888)4(2)4( =+−=+−⋅=−f ⇒ 0)4( =−f 
Perceba que nesse caso, para 4−=x , temos 0=y ou )0,4(− 
 
Questão 04 
Calcular o zero (ou raiz) das seguintes funções: 
a) 3)( −= xxf 
b) 42)( +−= xxf 
c) xxf 3)( = 
d) xy 5−= 
e) xy = 
f) 
6
5
3
2
+=
xy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Joaquim Rodrigues 
 
 55
GRÁFICO DA FUNÇÃO DE 1º GRAU 
 
A representação gráfica de uma função de 1º grau é feita através de uma reta. Para fazer o esboço 
desse gráfico, basta determinar dois pontos quaisquer no plano cartesiano. Para uma melhor comodi-
dade, procuramos tomar pontos mais fáceis de trabalhar, de forma que favoreça o esboço. 
 
Exemplo 
Fazer o esboço do gráfico da função 62)( −= xxf 
Resolução: 
A função é 62 −= xy 
Podemos tomar aleatoriamente dois pontos quaisquer, mas é claro que não vamos tomas valores pe-
quenos demais, ou grandes demais, ou com radicais, etc, para não termos o trabalho de fazer muitas 
contas. Assim, vamos escolher 2 e 4, por exemplo. 
Para 2=x ⇒ 264622 −=−=−⋅=y ⇒ 2−=y , cujo ponto será )2,2( − 
Para 4=x ⇒ 268642 =−=−⋅=y ⇒ 2=y , cujo ponto será )2,4( 
Veja que agora, temos a seguinte tabela de valores, com o respectivo gráfico: 
 
 
 
x y 
2 
−2 
4 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTA: Se calcularmos o zero (ou raiz) desta função 62)( −= xxf , teremos: 
062 =−x ⇒ 62 =x ⇒ 3=x 
cujo ponto será )0,3( e que é, exatamente onde a reta corta o eixo x. 
 
 CONCLUSÃO: A raiz de uma função é o ponto onde o seu gráfico corta o eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
−2 
−1 
1 
2 
1 2 3 4 x 
y 
 56
COEFICIENTE ANGULAR 
Vamos considerar a função 62)( −= xxf e o seu gráfico, e vamos ampliar um pouco a tabela de 
valores: 
 
 
x y 
−2 −10 
−1 −8 
0 
−6 
1 
−4 
2 
−2 
3 0 
4 2 
 
 
 
 
Agora, vamos chamar de variação de y, a diferença entre dois valores quaisquer de y e representar por 
∆y. 
Exemplo: 
2108)10(8 =+−=−−−=∆y 
286)8(6 =+−=−−−=∆y 
264)6(4 =+−=−−−=∆y 
242)4(2 =+−=−−−=∆y 
 . . . 
 . . . 
 . . . 
 
Note que, também nesse caso, a diferença é sempre uma constante. 
 
Se dividirmos a variação de y, pela variação de x, temos 
1
2
=
∆
∆
x
y
 ⇒ 2=
∆
∆
x
y
. 
Essa razão 
x
y
∆
∆
 é uma taxa, chamada taxa de variação. 
Perceba que uma característica particular das funções de 1º grau, é que elas crescem sempre a uma 
taxa constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos chamar de variação de x, à diferença entre dois valores 
quaisquer de x e vamos representar por ∆x. 
Exemplo: 
121)2(1 =+−=−−−=∆x 
110)1(0 =+=−−=∆x 
101 =−=∆x 
112 =−=∆x 
 . 
 . 
 . 
Note que essa diferença é sempre constante. 
Prof. Joaquim Rodrigues 
 
 57
Veja o gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Veja que α é o ângulo formado entre o eixo x e a reta no sentido anti-horário (esse ângulo é chamado 
inclinação da reta). 
 
 
No triângulo APB formado, podemos observar que o ângulo α=BAP ˆ , já que são ângulos corres-
pondentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesse triângulo APB, a taxa de variação 
1
2
=
∆
∆
x
y
, nada mais é que a tangente do ângulo α, observe: 
x
y
PA
PB
tg
∆
∆
===α
1
2
 e como AB yyy −=∆ e AB xxx −=∆ , então 
AB
AB
xx
yy
tg
−
−
=α . 
Se representarmos αtg por m, temos α= tgm , e dizemos que m é o coeficiente angular da reta. 
Veja, então, que o coeficiente angular da reta é a taxa de variação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
4 
y 
3 4 5 
∆x = 5 − 4 = 1 
∆y = 4 − 2 = 2 
x 
P 
A 
B 
α 
y 
x 
α 
α 
P 
A 
B 
3 
 58
Vamos analisar as seguintes situações: 
 
Situação 1 
Sabe-se que a função baxxf +=)( , passa pelos pontos (2, 4) e (5, 13). 
a) Escreva essa função 
b) Calcule f(4) 
 
Resolução 
a) a função baxxf +=)( ou baxy += passa pelos pontos (2, 4) e (5, 13), cuja taxa de variação ou 
coeficiente angular é: 
3
9
25
413
=
−
−
=a ⇒ 3=a 
agora,