Aula_Flambagem_TEM_ProfaJulianaROliveira

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Profa. Ma.: Juliana Rodrigues de Oliveira
Disciplina : Dinâmica dos Sistemas
Professora: Ma. Juliana Rodrigues de Oliveira
e-mail: juliana.oliveira3@docente.unip.br
Disciplina : Teoria das Estruturas Mecânicas
Profa. Ma.: Juliana Rodrigues de Oliveira
Aula 03 – Flambagem
Objetivos :
• Definição de Flambagem
• Aplicação
• Exercícios
Disciplina : Teoria das Estruturas Mecânicas
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Disciplina : Teoria das Estruturas Mecânicas
Definição
Flambagem é um fenômeno que ocorre em peças onde a área de secção transversal é pequena em relação ao
seu comprimento, quando submetidas a um esforço de compressão axial.
Falhas por flambagem são frequentemente súbitas e catastróficas, o que faz com que seja ainda mais
importante preveni-la.
Um exemplo para melhor compreensão:
Pegue ou imagine a aplicação de uma carga carga axial de compressão sobre uma régua, ao aumentar essa força, a
régua, não permanece mais reta, ou seja, deflete lateralmente de modo súbito, fletindo como o que ocorre em uma
viga. Esta deflexão lateral devida à compressão axial é denominada Flambagem.
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Os sistemas mecânicos e estruturas em geral quando estão submetidos a carregamentos, podem falhar de várias
formas, o que vai depender do material usado, do tipo de estrutura, das condições de apoio, entre outras
considerações. Quando se projeta um elemento, é necessário que ele satisfaça requisitos específicos de tensão,
deflexão e estabilidade.
(a) (b)
Figura 1- Flambagem de uma coluna devido a um carregamento axial de compressão P 
Em geral a flambagem
leva a uma falha repentina
e dramática da estrutura.
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Estabilidade das Estruturas
Figura 2- Bola em equilibro estável, neutro e instável. 
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Cálculo da carga Crítica (Pcr)
A carga crítica Pcr ou carga de Euler ou carga de flambagem é o valor da carga P que provoca o fenômeno da
mudança do estado de equilíbrio estável para o instável.
Inicialmente a barra está num estado de equilíbrio estável P
P P P
P
Estabilidade das Estruturas
Figura 3- Comportamento da barra ao sofrer um aumento na carga axial aplicada.
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Logo:
Se P < Pcr , a coluna está em equilíbrio estável na posição reta.
Se P = Pcr , a coluna está em equilíbrio neutro tanto na posição reta quanto na posição levemente flexionada.
Se P > Pcr , a coluna está em equilíbrio instável na posição retilínea e irá flambar sobre a menor
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Tensão- Deformação
Figura – 4 Diagrama tensão-deformação do aço, material dúctil (sem escala).
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Determinando Pcr (Fórmula de Euler) para colunas Biarticuladas:
Pcr - Carga crítica ou carga axial máxima na coluna imediatamente antes da
flambagem, essa carga não deve permitir que a tensão na coluna exceda o limite de
proporcionalidade.
E - módulo de elasticidade do material
I - O menor momento de inércia da área da seção transversal.
L - Comprimento da coluna sem apoio, cujas extremidades são apoiadas por pinos.Figura 5- Modo de flambagem em colunas 
Biarticuladas com n=1
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Em projeto em que se utiliza a equação anterior em função do raio de giração, onde o momento de inércia 
será: 
Onde A e a área da seção transversal e r o raio de giração da área da seção transversal. Dessa forma tem-se: 
r = 
𝐼
𝐴
Sendo que o raio de giração R corresponde à distância do eixo na qual devemos concentrar toda a massa para
obtermos o mesmo momento de inércia.
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Dessa forma, o menor valor de P é obtido que n=1, portanto a tensão critica é dada pela seguinte expressão: 
Onde
σcr - Tensão critica que é a tensão média na coluna imediatamente antes de a
coluna flambar, essa tensão é uma tensão elástica e, portanto, σcr ≤ σE.
E - módulo de elasticidade do material
L - comprimento da coluna (para peças biarticuladas)
r – menor raio de giração da coluna ( no caso em que I é o menor momento
de inércia da área da seção transversal A da coluna).
A razão de L/ r é o 
índice esbeltez (λ) 
(finura) da coluna
• A análise feita aqui é limitada 
a cargas centradas. 
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A Fórmula de Euler pode ser aplicada para outras condições de extremidades 
Cálculo do comprimento de flambagem
➢ Peças biarticuladas – comprimento da
flambagem (comprimento efetivo, Le), é
igual ao da peça.
➢ Peças com articuladas e engastada –
Le=0,7L.
➢ Peças com engaste na extremidades –
Le=0,5L
➢ Peças engastadas e livres. – Le=2L
Uma coluna com uma extremidade
engastada e a outra livre, terá o mesmo
comportamento quanto à flambagem que
uma coluna biarticulada de comprimento
duas vezes o comprimento desta.
Le = K.L, em que k, fator de comprimento efetivo
K=1 K= 0,5K= 0,7 K=2
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Sendo assim L é substituído por Le
Índice de esbeltez - λ = Le/r 
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1 - Qual é a carga compressiva máxima que pode ser aplicada ao elemento da Figura em liga de alumínio
submetido à compressão, com 4 m de comprimento e fator de segurança 1,5, tendo o elemento carregado de
uma maneira que permite rotação livre nas suas extremidades. Qual o valor da carga aplicada ? Descreva, de
acordo com os resultados encontrados, se o material sofrerá flambagem. Justifique.
I=
πr4
4
.
R: Pcr: 52,25 KN
σcr: 39,13 Mpa
Calcule: 
1º I
2º Pcr
3º σcr = Pcr/A
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2 - Uma coluna de extremidades articuladas tem seção transversal quadrada de 2 m de comprimento. Esta 
coluna é constituída de pinho com E = 13 Gpa e tensão admissível de 12 Mpa para compressão na direção 
paralela às fibras. Usando um coeficiente de segurança de 2,5 no cálculo da carga crítica de Euler para 
flambagem, determinar a dimensão da seção transversal, de modo que a coluna possa resistir com 
segurança a uma força de 100 KN. Essa força de 100 KN seria uma boa escolha ? Justifique. 
Pcr = Padm.FS I = 
a. a3
12
σ = 
P
𝐴
3 – Porque o emprego de estruturas com seções transversais maiores, vazadas e quadradas seriam mais adequados 
para evitar a flambagem ? 
R: Pcr = 250 KN
I = 7,794.106 mm4
a=+-100 mm
σ = 10 Mpa
σ = P/A
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4 - No gráfico abaixo apresenta a tensão crítica versus índice de esbeltez, o comportamento do aço estrutural e da liga de
alumínio está caracterizado através das seguintes curvas de flambagem:
Analise o gráfico e responda :
a) Porque o modulo de elasticidade é relacionado na formula de Euler ? 
b) Pode-se afirmar que a formula de Euler vale para todos os tipos de colunas tanto longa quanto curta? Justifique. 
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4 - O elemento estrutural de aço mostrado na figura abaixo deve ser usado como uma coluna acoplada por
pinos. Determinea maior carga axial que ele pode suportar antes de começar a sofrer flambagem ou antes que o
aço escoe.
R:
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Carga Excêntrica - Fórmula da Secante 
➢ A carga P aplicada, figura a, a coluna não é perfeitamente no
centro. Denomina-se “e” a excentricidade da carga, ou seja,
é a distância entre a linha de ação de P e o eixo da coluna.
a b
➢ Uma carga excêntrica é equivalente a uma carga
centrada e um momento.
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➢ Flexão ocorre quando existe excentricidade. Questões de flambagem devem
levar em conta também o efeito da flexão.
Equação diferencial de 2ª ordem da 
Linha Elástica
Solução Geral da Equação 
diferencial da Linha Elástica
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➢ A deflexão tende a infinito quando: P = Pcr
Tensão Máxima
➢ A tensão não varia linearmente com a carga. 
Deflexão máxima (ymax) 
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Figura – Carga por unidade de área 
versus índice de esbeltez 
2,4 m
19 mm
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1 - Uma coluna uniforme de 2,4m de comprimento é feita de tubo
estrutural com a seção transversal mostrada na figura.
a) Usando a fórmula de Euler e um coeficiente de segurança de dois,
determine a carga centrada admissível e a correspondente tensão
normal.
100 mm
100 mm
2,4 m
19 mm
19 mm
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b) Supondo que a carga admissível encontrada no item a, é aplicada com
uma excentricidade de 19mm do eixo axial da coluna, determine a
deflexão horizontal no topo da coluna e a tensão normal máxima na
mesma. Dados: E=200 Gpa; A=2284mm2 ; I=3,3x106mm4; r=38mm e
c=50mm.
R: a) Padm=141,36 KN e σ= 61,9 Mpa (σ = Padm/A)
b) ymax= 23,79 mm e σmax= 153,6 MPa
100 mm
100 mm
19 mm
23,79 mm