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Profa. Ma.: Juliana Rodrigues de Oliveira Disciplina : Dinâmica dos Sistemas Professora: Ma. Juliana Rodrigues de Oliveira e-mail: juliana.oliveira3@docente.unip.br Disciplina : Teoria das Estruturas Mecânicas Profa. Ma.: Juliana Rodrigues de Oliveira Aula 03 – Flambagem Objetivos : • Definição de Flambagem • Aplicação • Exercícios Disciplina : Teoria das Estruturas Mecânicas Profa. Ma.: Juliana Rodrigues de Oliveira Disciplina : Teoria das Estruturas Mecânicas Definição Flambagem é um fenômeno que ocorre em peças onde a área de secção transversal é pequena em relação ao seu comprimento, quando submetidas a um esforço de compressão axial. Falhas por flambagem são frequentemente súbitas e catastróficas, o que faz com que seja ainda mais importante preveni-la. Um exemplo para melhor compreensão: Pegue ou imagine a aplicação de uma carga carga axial de compressão sobre uma régua, ao aumentar essa força, a régua, não permanece mais reta, ou seja, deflete lateralmente de modo súbito, fletindo como o que ocorre em uma viga. Esta deflexão lateral devida à compressão axial é denominada Flambagem. Profa. Ma.: Juliana Rodrigues de Oliveira Disciplina : Teoria das Estruturas Mecânicas Os sistemas mecânicos e estruturas em geral quando estão submetidos a carregamentos, podem falhar de várias formas, o que vai depender do material usado, do tipo de estrutura, das condições de apoio, entre outras considerações. Quando se projeta um elemento, é necessário que ele satisfaça requisitos específicos de tensão, deflexão e estabilidade. (a) (b) Figura 1- Flambagem de uma coluna devido a um carregamento axial de compressão P Em geral a flambagem leva a uma falha repentina e dramática da estrutura. Profa. Ma.: Juliana Rodrigues de Oliveira Disciplina : Teoria das Estruturas Mecânicas Estabilidade das Estruturas Figura 2- Bola em equilibro estável, neutro e instável. Profa. Ma.: Juliana Rodrigues de Oliveira Disciplina : Teoria das Estruturas Mecânicas Cálculo da carga Crítica (Pcr) A carga crítica Pcr ou carga de Euler ou carga de flambagem é o valor da carga P que provoca o fenômeno da mudança do estado de equilíbrio estável para o instável. Inicialmente a barra está num estado de equilíbrio estável P P P P P Estabilidade das Estruturas Figura 3- Comportamento da barra ao sofrer um aumento na carga axial aplicada. Profa. Ma.: Juliana Rodrigues de Oliveira Disciplina : Teoria das Estruturas Mecânicas Logo: Se P < Pcr , a coluna está em equilíbrio estável na posição reta. Se P = Pcr , a coluna está em equilíbrio neutro tanto na posição reta quanto na posição levemente flexionada. Se P > Pcr , a coluna está em equilíbrio instável na posição retilínea e irá flambar sobre a menor Profa. Ma.: Juliana Rodrigues de Oliveira Disciplina : Teoria das Estruturas Mecânicas Tensão- Deformação Figura – 4 Diagrama tensão-deformação do aço, material dúctil (sem escala). Profa. Ma.: Juliana Rodrigues de Oliveira Disciplina : Teoria das Estruturas Mecânicas Determinando Pcr (Fórmula de Euler) para colunas Biarticuladas: Pcr - Carga crítica ou carga axial máxima na coluna imediatamente antes da flambagem, essa carga não deve permitir que a tensão na coluna exceda o limite de proporcionalidade. E - módulo de elasticidade do material I - O menor momento de inércia da área da seção transversal. L - Comprimento da coluna sem apoio, cujas extremidades são apoiadas por pinos.Figura 5- Modo de flambagem em colunas Biarticuladas com n=1 Profa. Ma.: Juliana Rodrigues de Oliveira Disciplina : Teoria das Estruturas Mecânicas Em projeto em que se utiliza a equação anterior em função do raio de giração, onde o momento de inércia será: Onde A e a área da seção transversal e r o raio de giração da área da seção transversal. Dessa forma tem-se: r = 𝐼 𝐴 Sendo que o raio de giração R corresponde à distância do eixo na qual devemos concentrar toda a massa para obtermos o mesmo momento de inércia. Profa. Ma.: Juliana Rodrigues de Oliveira Disciplina : Teoria das Estruturas Mecânicas Dessa forma, o menor valor de P é obtido que n=1, portanto a tensão critica é dada pela seguinte expressão: Onde σcr - Tensão critica que é a tensão média na coluna imediatamente antes de a coluna flambar, essa tensão é uma tensão elástica e, portanto, σcr ≤ σE. E - módulo de elasticidade do material L - comprimento da coluna (para peças biarticuladas) r – menor raio de giração da coluna ( no caso em que I é o menor momento de inércia da área da seção transversal A da coluna). A razão de L/ r é o índice esbeltez (λ) (finura) da coluna • A análise feita aqui é limitada a cargas centradas. Profa. Ma.: Juliana Rodrigues de Oliveira Disciplina : Teoria das Estruturas Mecânicas A Fórmula de Euler pode ser aplicada para outras condições de extremidades Cálculo do comprimento de flambagem ➢ Peças biarticuladas – comprimento da flambagem (comprimento efetivo, Le), é igual ao da peça. ➢ Peças com articuladas e engastada – Le=0,7L. ➢ Peças com engaste na extremidades – Le=0,5L ➢ Peças engastadas e livres. – Le=2L Uma coluna com uma extremidade engastada e a outra livre, terá o mesmo comportamento quanto à flambagem que uma coluna biarticulada de comprimento duas vezes o comprimento desta. Le = K.L, em que k, fator de comprimento efetivo K=1 K= 0,5K= 0,7 K=2 Profa. Ma.: Juliana Rodrigues de Oliveira Disciplina : Teoria das Estruturas Mecânicas Sendo assim L é substituído por Le Índice de esbeltez - λ = Le/r Profa. Ma.: Juliana Rodrigues de Oliveira Disciplina : Teoria das Estruturas Mecânicas 1 - Qual é a carga compressiva máxima que pode ser aplicada ao elemento da Figura em liga de alumínio submetido à compressão, com 4 m de comprimento e fator de segurança 1,5, tendo o elemento carregado de uma maneira que permite rotação livre nas suas extremidades. Qual o valor da carga aplicada ? Descreva, de acordo com os resultados encontrados, se o material sofrerá flambagem. Justifique. I= πr4 4 . R: Pcr: 52,25 KN σcr: 39,13 Mpa Calcule: 1º I 2º Pcr 3º σcr = Pcr/A Profa. Ma.: Juliana Rodrigues de Oliveira Disciplina : Teoria das Estruturas Mecânicas 2 - Uma coluna de extremidades articuladas tem seção transversal quadrada de 2 m de comprimento. Esta coluna é constituída de pinho com E = 13 Gpa e tensão admissível de 12 Mpa para compressão na direção paralela às fibras. Usando um coeficiente de segurança de 2,5 no cálculo da carga crítica de Euler para flambagem, determinar a dimensão da seção transversal, de modo que a coluna possa resistir com segurança a uma força de 100 KN. Essa força de 100 KN seria uma boa escolha ? Justifique. Pcr = Padm.FS I = a. a3 12 σ = P 𝐴 3 – Porque o emprego de estruturas com seções transversais maiores, vazadas e quadradas seriam mais adequados para evitar a flambagem ? R: Pcr = 250 KN I = 7,794.106 mm4 a=+-100 mm σ = 10 Mpa σ = P/A Profa. Ma.: Juliana Rodrigues de Oliveira Disciplina : Teoria das Estruturas Mecânicas 4 - No gráfico abaixo apresenta a tensão crítica versus índice de esbeltez, o comportamento do aço estrutural e da liga de alumínio está caracterizado através das seguintes curvas de flambagem: Analise o gráfico e responda : a) Porque o modulo de elasticidade é relacionado na formula de Euler ? b) Pode-se afirmar que a formula de Euler vale para todos os tipos de colunas tanto longa quanto curta? Justifique. Profa. Ma.: Juliana Rodrigues de Oliveira Disciplina : Teoria das Estruturas Mecânicas 4 - O elemento estrutural de aço mostrado na figura abaixo deve ser usado como uma coluna acoplada por pinos. Determinea maior carga axial que ele pode suportar antes de começar a sofrer flambagem ou antes que o aço escoe. R: Profa. Ma.: Juliana Rodrigues de Oliveira Disciplina : Teoria das Estruturas Mecânicas Carga Excêntrica - Fórmula da Secante ➢ A carga P aplicada, figura a, a coluna não é perfeitamente no centro. Denomina-se “e” a excentricidade da carga, ou seja, é a distância entre a linha de ação de P e o eixo da coluna. a b ➢ Uma carga excêntrica é equivalente a uma carga centrada e um momento. Profa. Ma.: Juliana Rodrigues de Oliveira Disciplina : Teoria das Estruturas Mecânicas ➢ Flexão ocorre quando existe excentricidade. Questões de flambagem devem levar em conta também o efeito da flexão. Equação diferencial de 2ª ordem da Linha Elástica Solução Geral da Equação diferencial da Linha Elástica Profa. Ma.: Juliana Rodrigues de Oliveira Disciplina : Teoria das Estruturas Mecânicas ➢ A deflexão tende a infinito quando: P = Pcr Tensão Máxima ➢ A tensão não varia linearmente com a carga. Deflexão máxima (ymax) Profa. Ma.: Juliana Rodrigues de Oliveira Disciplina : Teoria das Estruturas Mecânicas Figura – Carga por unidade de área versus índice de esbeltez 2,4 m 19 mm Profa. Ma.: Juliana Rodrigues de Oliveira Disciplina : Teoria das Estruturas Mecânicas 1 - Uma coluna uniforme de 2,4m de comprimento é feita de tubo estrutural com a seção transversal mostrada na figura. a) Usando a fórmula de Euler e um coeficiente de segurança de dois, determine a carga centrada admissível e a correspondente tensão normal. 100 mm 100 mm 2,4 m 19 mm 19 mm Profa. Ma.: Juliana Rodrigues de Oliveira Disciplina : Teoria das Estruturas Mecânicas b) Supondo que a carga admissível encontrada no item a, é aplicada com uma excentricidade de 19mm do eixo axial da coluna, determine a deflexão horizontal no topo da coluna e a tensão normal máxima na mesma. Dados: E=200 Gpa; A=2284mm2 ; I=3,3x106mm4; r=38mm e c=50mm. R: a) Padm=141,36 KN e σ= 61,9 Mpa (σ = Padm/A) b) ymax= 23,79 mm e σmax= 153,6 MPa 100 mm 100 mm 19 mm 23,79 mm
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