Matrizes, Vetores e Geometria Analitica
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Matrizes, Vetores e Geometria Analitica


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MATRIZES, VETORES E
GEOMETRIA ANAL´ITICA
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matema´tica-ICEx
Universidade Federal de Minas Gerais
http://www.mat.ufmg.br/\u2dcregi
Marc¸o 2010
Matrizes, Vetores e Geometria Anal\u131´tica
Copyright c\u20dd 2010 by Reginaldo de Jesus Santos (100225)
´E proibida a reproduc¸a\u2dco desta publicac¸a\u2dco, ou parte dela, por qualquer meio, sem a pre´via
autorizac¸a\u2dco, por escrito, do autor.
Editor, Coordenador de Revisa\u2dco, Supervisor de Produc¸a\u2dco, Capa e Ilustrac¸o\u2dces:
Reginaldo J. Santos
ISBN 85-7470-014-2
Ficha Catalogra´fica
Santos, Reginaldo J.
S237m Matrizes, Vetores e Geometria Anal\u131´tica / Reginaldo J. Santos - Belo
Horizonte: Imprensa Universita´ria da UFMG, 2010.
1. Geometria Anal\u131´tica I. T\u131´tulo
CDD: 516.3
Conteu´do
Prefa´cio vii
1 Matrizes e Sistemas Lineares 1
1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Operac¸o\u2dces com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Propriedades da ´Algebra Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Aplicac¸a\u2dco: Cadeias de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Ape\u2c6ndice I: Notac¸a\u2dco de Somato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2 Sistemas de Equac¸o\u2dces Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.2.1 Me´todo de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.2.2 Matrizes Equivalentes por Linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.2.3 Sistemas Lineares Homoge\u2c6neos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.2.4 Matrizes Elementares (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
iii
iv Conteu´do
Ape\u2c6ndice II: Unicidade da Forma Escalonada Reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2 Inversa\u2dco de Matrizes e Determinantes 79
2.1 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.1.1 Propriedades da Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.1.2 Matrizes Elementares e Inversa\u2dco (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.1.3 Me´todo para Inversa\u2dco de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.1.4 Aplicac¸a\u2dco: Interpolac¸a\u2dco Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.1.5 Aplicac¸a\u2dco: Criptografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.2.1 Propriedades do Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2.2.2 Matrizes Elementares e o Determinante (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.2.3 Matriz Adjunta e Inversa\u2dco (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Ape\u2c6ndice III: Demonstrac¸a\u2dco do Teorema 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3 Vetores no Plano e no Espac¸o 150
3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a\u2dco por Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.2 Produtos de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3.2.1 Norma e Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3.2.2 Projec¸a\u2dco Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
3.2.3 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
3.2.4 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Ape\u2c6ndice IV: Demonstrac¸a\u2dco do item (e) do Teorema 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 216
4 Retas e Planos 224
4.1 Equac¸o\u2dces de Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Matrizes Vetores e Geometria Anal\u131´tica Marc¸o 2010
Conteu´do v
4.1.1 Equac¸o\u2dces do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
4.1.2 Equac¸o\u2dces da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
4.2 \u2c6Angulos e Dista\u2c6ncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
4.2.1 \u2c6Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
4.2.2 Dista\u2c6ncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
4.3 Posic¸o\u2dces Relativas de Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
5 Sec¸o\u2dces Co\u2c6nicas 314
5.1 Co\u2c6nicas Na\u2dco Degeneradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
5.1.1 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
5.1.2 Hipe´rbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
5.1.3 Para´bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
5.1.4 Caracterizac¸a\u2dco das Co\u2c6nicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
5.2 Coordenadas Polares e Equac¸o\u2dces Parame´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
5.2.1 Co\u2c6nicas em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
5.2.2 Circunfere\u2c6ncia em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
5.2.3 Equac¸o\u2dces Parame´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
6 Superf\u131´cies e Curvas no Espac¸o 380
6.1 Qua´dricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
6.1.1 Elipso´ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
6.1.2 Hiperbolo´ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
6.1.3 Parabolo´ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
6.1.4 Cone El\u131´ptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
6.1.5 Cilindro Qua´drico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
6.2 Superf\u131´cies Cil\u131´ndricas, Co\u2c6nicas e de Revoluc¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
Marc¸o 2010 Reginaldo J. Santos
vi Conteu´do
6.2.1 Superf\u131´cies Cil\u131´ndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
6.2.2 Superf\u131´cies Co\u2c6nicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
6.2.3 Superf\u131´cies de Revoluc¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
6.3 Coordenadas Cil\u131´ndricas, Esfe´ricas e Equac¸o\u2dces Parame´tricas . . . . . . . . . . . . . 451
6.3.1 Coordenadas Cil\u131´ndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
6.3.2 Coordenadas Esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
6.3.3 Equac¸o\u2dces Parame´tricas de Superf\u131´cies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
6.3.4 Equac¸o\u2dces Parame´tricas de Curvas no Espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
7 Mudanc¸a de Coordenadas 479
7.1 Rotac¸a\u2dco e Translac¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
7.1.1 Rotac¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
7.1.2 Translac¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
7.2 Identificac¸a\u2dco de Co\u2c6nicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
7.3 Identificac¸a\u2dco de Qua´dricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
Respostas dos Exerc\u131´cios 539
Bibliografia 700
´Indice Alfabe´tico 703
Matrizes Vetores e Geometria Anal\u131´tica Marc¸o 2010
Prefa´cio
Este texto cobre o material para um curso de Geometria Anal\u131´tica ministrado para estudantes da a´rea
de Cie\u2c6ncias Exatas. O texto pode, mas na\u2dco e´ necessa´rio, ser acompanhado um programa como o
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O conteu´do e´ dividido em sete cap\u131´tulos. O Cap\u131´tulo 1 trata das matrizes e sistemas lineares. Aqui
todas as propriedades da a´lgebra matricial sa\u2dco demonstradas. A resoluc¸a\u2dco de sistemas