Sistemas de Controle II

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ 
INSTITUTO DE TECNOLOGIA 
FACULDADE DE ENGENHARIA 
ELÉTRICA 
 
 
 
 
 
Sistemas de Controle II 
 
 
 
 
 
Belém – Maio - 2017 
 
Capítulo I Introdução aos Sistemas Discretos 
1.Histórico de sistemas de controle 2. Estrutura básica de controle digital: tipos de sinais, elementos 
fundamentais: clock, amostrador e segurador, conversores AD e DA 3. Equações de diferenças 4. A 
transformada Z 5. A função de transferência discreta. 
Capítulo II Análise de sistemas amostrados 
1. Equivalentes Discretos de Modelos Contínuos: a) método da integração numérica (forward, backward, 
trapezoidal) b) MPZ c) ZOH 2. Mapeamento Entre o Plano S e o Plano Z 3. Amostragem de sinais 
contínuos no tempo 4. Estabilidade de sistemas discretos: critérios de Jury e de Routh 5. LGR para 
sistemas discretos 6. Especificações para projeto de controladores digitais: precisão em regime 
permanente e no transitório. 
Capítulo III Espaço de Estados 
1. Introdução 2. Conceitos 3. Realizações ou Formas canônicas: Obtenção de uma Representação de 
Estados dada uma G(s): diagonal, Controlador, Observador 4. Solução de Equação de Estados Invariante 
no Tempo 5. Relação entre Equações de Estado e Funções de Transferência: Obtenção de G(S) dada uma 
representação de Estados 6. Auto Valor e Auto Vetor 7. Transformações no Espaço de Estados 8. 
Controlabilidade e Observabilidade 
Capítulo IV Projeto de sistemas de Controle usando Espaço de Estados 
Objetivo. Formulação do problema. Situações possíveis. Problema da Regulação com vetor X(t) 
disponível. Problema do Rastreamento com vetor X(t) disponível. 
Capítulo V Sistemas Discretos Representados no Espaço de Estados 
Equação de estado discreta. Realizações canônicas. Funções de Transferência a partir das Equações de 
Estado. Controlabilidade e Observabilidade. Posicionamento de Polos via Realimentação de Estados 
Discreta. Projeto de Regulador para Sistemas Discretos. Servo Sistema Discreto quando a Planta Possui 
um Integrador. Servo sistema Discreto quando a Planta não Possui um Integrador. 
 
Referências Bibliográficas: 
1. Charles L. Phillips, Royce D. Harbour, “Feedback Control Systems”. Prentice-Hall, 1988. 
2. Charles L.Phillips, H.Troy Nagle Jr.“Digital Control Systems Analysis and Design”.Prentice-Hall 
1984 
3. Gene F. Frankling, J. David Powell, Michael L. Workman, “Digital Control of Dynamic 
Systems”.Addison-Wesley, 1997. 
4. Katsuhiko Ogata, “Engenharia de Controle Moderno”. Prentice-Hall do Brasil Ltda., 1993. 
 
Leituras extras: 
1) Ioan D. Landau and Gianluca Zito. “Digital Control Systems: Design, Identification and 
Implementation (Communications and Control Engineering)” Springer, 2006. 
3) Coelho, A.A.R. e Coelho, L.S., “Identificação de Sistemas Dinâmicos Lineares”. Editora da UFSC, 
2004. 
4) Paraskevopoulos, P.N. “Digital Control Systems”, 1a. Edição, Prentice Hall, 1996. 
5) Aström, K.J.; Wittenmark,B. Computer Controlled Systems: Theory and Design, Prentice-Hall 
International Editions, 1990. 
 
 
 
 
 
 
1. Histórico de Sistemas de Controle 
A idéia de usar computadores digitais como componentes de sistemas de controle surgiu 
por volta de 1950. 
Aplicações em mísseis e aviões foram as primeiras a serem investigadas e os estudos 
mostraram que não havia potencial para uso de forma geral pois os computadores da 
época eram muito grandes e consumiam demasiada potência. 
Computadores de uso específico foram desenvolvidos inicialmente para aplicações 
espaciais. 
O maior desenvolvimento em controle por computador ocorreu nas industrias de 
processos. Pode-se distinguir quatro períodos : 
1. Pioneiro 1955 
2. Controle digital direto 1962 
3. Minicomputadores 1967 
4. Microcomputdores 1972 
 
a. Aplicações, Vantagens e Exemplos 
O controle de sistemas físicos, com computador digital, está se tornando cada vez mais 
comum. Entre os muitos exemplos de aplicação existentes, podemos citar: 
pilotos automáticos de aeronaves, máquinas de fazer papel, refinarias de petróleo, 
automóveis e outros. 
Algumas vantagens da utilização de computadores digitais em sistemas de controle são: 
baixo custo, maior flexibilidade, maior capacidade de decisão, maior confiabilidade, 
melhor sensibilidade, menos efeitos devido a ruídos e distúrbios, mais compactos e leves, 
maior versatilidade, etc. 
Observa-se que os processos de amostragem e quantização tendem a introduzir erros, 
contudo, com a tecnologia dos atuais microcontroladores tais erros são desprezíveis na 
maioria das aplicações práticas. 
Num sistema controlado por computador, as classes de leis de controle que podem ser 
usadas pode ser aumentada. Por exemplo, é fácil usar cálculos não lineares, incorporar 
lógicas e realizar cálculos exaustivos no controlador. Tabelas podem ser usadas para 
armazenar dados e acumular conhecimento sobre propriedades do sistema. 
Os processos de amostragem e quantização tendem a introduzir erros, contudo, com a 
tecnologia dos atuais microcontroladores estes são desprezíveis na maioria das aplicações 
práticas. 
 
 
b. Diferenças em Relação aos Sistemas Contínuos – Teoria Própria 
Existem muitos aspectos de sistemas amostrados que podem ser entendidos pela 
teoria de SLIT contínuos. Entretanto, tais sistemas não podem ser completamente 
entendidos nesse contexto, necessitando de outras ferramentas de análise. 
Por exemplo, a resposta de um sistema amostrado não é invariante no tempo, pois 
depende do instante em que o ocorre a entrada. Se a entrada é atrasada, então a saída tem 
o mesmo atraso somente se este é um múltiplo do período de amostragem, ou seja, a 
resposta depende de como o evento está sincronizado com o relógio. 
Exemplo 01: Dependência do tempo – seja a implementação de um compensador lag de 1ª ordem. Esse 
compensador pode ser implementado usando um conversor A/D, um computador digital e um conversor 
D/A. A equação diferencial de 1ª ordem é aproximada por uma equação de diferença de 1ª ordem. A 
resposta ao degrau desse sistema, fig. 1, mostra que o sistema discreto não é invariante no tempo, pois a 
resposta depende do instante em que o degrau ocorre. Se a entrada é atrasada, então a saída tem o mesmo 
atraso somente se este é um múltiplo do período de amostragem. 
 
O fenômeno ilustrado depende do fato que o sistema é sincronizado por um relógio. A resposta do 
sistema a um estímulo externo dependerá de como o evento está sincronizado com o relógio do 
computador. 
 
Outro aspecto é que um sistema amostrado com amostragem periódica é um sistema 
periódico. Assim é necessário considerar tal natureza pois, fenômenos como batimento 
(harmônicos de ordem elevada) podem aparecer na saída do sistema amostrado devido à 
interferência entre a frequência de entrada e a gerada no processo de amostragem. 
Exemplo 02: Harmônicos de ordem elevada – A fig. 2 mostra o que pode acontecer quando um sistema 
controlado por computador está sujeito a uma excitação periódica. Um sinal senoidal de frequência 4,9 Hz 
é aplicado ao sistema do Ex.1. O fenômeno visto na fig. 2-b não pode ser explicado em termos de SLIT. 
Por fim, sistemas controlados por computador podem se comportar muito melhor 
que seus equivalentes contínuos no tempo, sendo esta a principal razão pela qual uma 
teoria para sistemas amostrados é útil. 
Figura 1 
Figura 2 
2. Estrutura Básica de Controle Digital 
 
Tipos de Sinais 
 
a) Contínuo: É definido sobre uma variável independente contínua (tempo, t Є ) 
 a.1) Analógico: A amplitude do sinal assume uma faixa contínua de valores. 
 a.2) Quantizado: A amplitude do sinal assume um conjunto finito de valores 
distintos (quantizada).b) Discreto: É definido sobre uma variável independente discreta (instantes 
específicos do tempo, kT, onde T Є  e k = 0, 1, 2, 3, ...) 
b.1) Amostrado: A amplitude do sinal assume uma faixa contínua de valores 
b.2) Digital: A amplitude do sinal assume um conjunto finito de valores 
distintos (quantizada) 
a)Aanalógico b)Contínuo,quantizado
 na amplitude
c)Amostrado d)Digital
 
Fig. 1 - Exemplos de diversos sinais 
 
 
Tipos de Sistemas 
 
a) Discretos (Contínuos): Contêm apenas sinais discretos (contínuos) 
b) Amostrados: Contêm sinais contínuos que são discretizados (sistemas a dados 
amostrados). 
Topologia 
O controle digital a ser estudado é para sistemas dinâmicos em malha fechada onde 
as características da resposta da planta, y(t), e da ação de controle, u(t), são as 
considerações principais no projeto. Uma topologia típica é mostrada na Fig. 2: 
A/D
COMPUTADOR
DIGITAL
D/A ATUADOR PLANTA
SENSOR
w(t)
r(t) ê(t) m(kT)
u(kT) u(t)
+
y(t)
v(t)
-
y(t)
RELÓGIO
^
 
Fig. 2: Topologia típica de um sistema de controle digital 
 Notação: 
 r(t) - Entrada de referência 
 u(t) - Ação de controle (sinal de entrada de controle) 
 ^
)(ty
 - Saída do Sensor (normalmente contaminada por ruído) 
 y(t) - Resposta da planta (saída) 
 ê(t) - Erro aproximado 
 e(t) - Erro do sistema (r(t)-y(t)) 
 w(t) - Distúrbio na planta 
 v(t) - Ruído no sensor 
 A/D - Conversor analógico-digital 
 D/A - Conversor digital-analógico 
 m(kT) - Erro discretizado (digitalizado) 
 u(kT) - Ação de controle discretizada (digital) 
 
A planta a ser controlada é um sistema físico cuja resposta satisfatória, de acordo 
com algum critério de projeto, requer uma ação de controle. Por resposta satisfatória 
entende-se que a saída da planta, y(t), deve rastrear a entrada de referência, r(t), 
independentemente de perturbações internas ou externas. 
São considerados a seguir as características dos elementos introduzidos pelo uso de um dispositivo 
digital para gerar a ação de controle. 
Elementos Fundamentais 
►Relógio interno do procesador: Produz um pulso a cada T segundos, intervalo de 
tempo denominado período de amostragem e considerado constante. A cada pulso do 
relógio o conversor A/D envia um número para o computador que efetua o cálculo da 
ação de controle e envia um número para o conversor D/A. O inverso do período de 
amostragem é denominado frequência de amostragem, ou seja: 
f = 1/ T (1) 
 
►Amostrador e segurador (sample and hold): Circuitos eletrônicos que realizam, 
respectivamente, as seguintes operações: colher amostras de um sinal analógico e manter 
constante o valor de uma amostra a cada período de amostragem. 
 
►Conversor D/A: Realiza a função de decodificar um sinal de entrada digital, u(kT), num 
sinal de saída analógico, u(t), usualmente na forma de uma corrente ou uma voltagem. É 
necessário como interface entre um computador digital e um dispositivo analógico. 
Também é conhecido como decodificador. Sempre contém um dispositivo HOLD. 
 
► Computador digital: É um dispositivo que processa o sinal de erro digitalizado m(kT) 
para gerar o sinal de controle digital u(kT), de acordo com o algoritmo de controle nele 
implementado num programa. 
 
► Conversor A/D: Converte um sinal analógico, ê(t), em um sinal de código digital, 
m(kT). É necessário como interface para um dispositivo analógico cuja saída deve ser 
processada por um computador digital. Sempre contém um circuito SAMPLE/HOLD 
 
 Na conversão A/D primeiro ocorre a amostragem do sinal contínuo e(t) para gerar 
um sinal discreto, m(kT), depois ocorre a quantização do sinal discreto (Fig.3). Visto que, 
uma palavra digital possuí um número finito de “bits”, ocorre então um arredondamento 
no valor do sinal analógico resultando no que se denomina de erro de quantização. 
 
1.25 2.5 3.75 5.0 6.25 7.5 8.75
111
110
101
100
011
010
001
000
0
Q
10 e(t)
e(kT)
 
Fig. 3 - Erro de quantização 
3. Equações de diferenças lineares 
 
O computador pode ser visto como um componente de controle dinâmico linear. Na 
Fig. 4, assumindo que o conversor A/D captura amostras do sinal analógico em instantes 
de tempo discretos (kT = 0, T, 2T,...) e as envia para o computador tal que m(kT) = ê(kT). 
O trabalho do computador é calcular o sinal de controle u(kT), a cada período de 
amostragem, para ser aplicado na planta via conversor D/A. Serão ignoradas as 
características específicas dos conversores A/D e D/A para dar atenção ao tratamento dos 
dados no computador. 
 
 
A/D 
COMPUTADOR 
 
DIGITAL 
D/A 
ê(t) 
m(kT) u(kT) 
RELÓGIO 
u(t) 
 
Fig. 4 - Computador digital e interfaces 
 
Sejam os valores do sinal de entrada até a m-ésima amostra anterior ao instante k, 
e(k), e(k-1), e(k-2), ...,e(k-m), e os valores do sinal de saída anteriores ao instante k até a 
n-ésima amostra, u(k-1), u(k-2), ..., u(k-n). Então, a saída no instante k, pode ser calculada 
no computador por uma função expressa em forma simbólica na Equação 2. 
 
u(k) = f[u(k-1), u(k-2),...,u(k-n), e(k), e(k-1), e(k-2), ...,e(k-m)] (2) 
 
Supondo f(.) linear, invariante no tempo e causal (n  m), pode-se escrever a 
Equação 3, chamada de equação de recorrência linear ou de diferenças e que tem muitas 
similaridades com uma equação diferencial linear. Os ai’s e bi’s são números reais. 
 
u(k) = a1u(k-1) + a2u(k-2) +...+ anu(k-n) + b0e(k) + b1e(k-1) + b2e(k-2)+...+ bme(k-m) (3) 
 
Para resolver uma equação como a Eq. (3), precisa-se de um instante de partida e 
das condições iniciais neste instante. Uma ferramenta conveniente para estudar tais 
equações é a transformada Z. 
 
4. A transformada Z 
 A transformada Z unilateral mapeia uma sequência semi infinita de valores em 
instantes discretos em uma função de uma variável complexa. 
 Seja um sinal contínuo f(t) que passa por um amostrador ilustrado na Fig. 5. 
 
t 
f(t) 
 
f
*
(t) 
 0 T 2T 3T 4T 5T 
kT 
AMOSTRADOR 
f(t) 
 0 T 2T 3T 4T 5T kT 
1 
f*(t) 
 oo 
  (t-kT) 
k=0 
  
f(t) f*(t) 
T 
a) 
b) c) 
 
 Fig. 5: a. – Amostrador b. Representação matemática c. Representação física 
 
 Seja f*(t) o sinal amostrado dado pela equação 7, onde “k” é um inteiro, Ts é o 
período de amostragem e δ(.) é a função impulso unitário. Só os valores de kTs são 
significativos para f(t). 
 


=
−=
0
* )()()(
k
ss kTtkTftf 
 (4) 
 
A transformada de Laplace de f*(t) é dada na equação 8. 
sskT
k
s
st
k
ss ekTfdtekTtkTfsFtfL
−

=
−
 
=
  =





−==
00 0
** )()()()()]([  (5) 
 
 Como F*(s) contém o fator 
sskTe
− , ao contrário da maioria das funções de 
transferência e dos sinais em sistemas contínuos, ela não é uma função racional de “s”. 
Assim, podem surgir dificuldades na obtenção da transformada inversa de Laplace. 
Portanto, é desejável que transformemos primeiro a função irracional F*(s) em uma função 
racional, digamos F(z), através de uma transformação da variável complexa “s” em uma 
outra variável complexa “z”. Uma escolha para esta transformação é dada na Equação 6. 
 
 z = e sTs (6) 
p(t) 
Definição 
Seja o sinal discreto no tempo {f(kTs):k=0, 1, ...}, sua transformada Z é definida como: 
 
 
  

=
−==
0
).()()(
k
k
ss zkTfzFkTfZ
 (7) 
 
onde“z” é uma variável complexa. A transformada z inversa é dada por: 
 
 

−= dzzzF
j
ktf k 1
2
1
).()(

 (8) 
 
 
Propriedades da transformada z (seja Ts = T) 
Sejam: F1(z) = Z[f1(kT)], F2(z) = Z [f1(kT)] e F(z) = Z[f(kT)]. 
1. Linearidade: 
RezFzFkTfkTfZ +=+  );()()]()([ 2121 (9) 
2. Convolução de sequência no tempo: 


=
=−
0
2121 )().()]().([
l
zFzFlkflfZ
 (10) 
3. Deslocamento no tempo: 
Seja e 
+n
. Então: 
 
]).()([)]([
1
0

−
=
−−=+
n
k
kn zkTfzFznkfZ
 (11) 
 e 
 
)()]([ zFznkfZ n−=−
 (12) 
 
4. Escalonamento no plano-Z (Translação em z): 
Sejam a, r  R, então: 
)()]([ zrFkTfrZ aTakT =−
 (13) 
 
5. Teorema valor inicial: 
Seja F(z) = Z[f(kT)], então: 
)(lim)0( zFf
z →
=
 (14) 
 
6. Teorema do valor final: Se (1-z-1)F(z) tem todos os polos com módulo menor que um: 
)()1(lim)(lim 1
1
zFzkTf
Zk
−
→→
−=
 (15) 
 
Transformada de Laplace e Transformada Z 
0
( ) ( ) stX s x t e dt
+
−= 
 
  

=
−==
0
).()()(
k
kzktfzFkTfZ
 
 
( )x t
 
( )X s
 
)(zX
 
Impulso unitário 
( )t
 
1
 1 
Degrau unitário 
( )u t
 
1
s
 
1−z
z
 
Rampa unitária 
( )r t
 
2
1
s
 
2)1( −z
Tz
 
Potência de 
t
 
nt
 
1
!
n
n
s +
 
2 ;
)1(
)1(
3
2
=
−
+
npara
z
zzT
 
Exponencial 
te −
 
1
s +
 
Tez
z
−−
 
Sinal cossenoidal 
( )cos t
 
2 2
s
s +
 
1cos2
)cos(
2 +−
−
wTzz
wTzz
 
Sinal senoidal 
( )sen t
 
22 ws +

 
1cos2
sin
2 +− wTzz
wTz
 
 ak 
az
z
−
 
 akcoskπ 
az
z
+
 
 1- te − 
( )

+ss
 
( )
( )( )T
T
ezz
ze


−
−
−−
−
1
1 
 t te − 
( )2
1
+s
 
( )2
 
T
T
ez
eTz


−
−
−
 
Cosseno amortecido 
te −
( )cos t
 
( ) 22 ws
s
++
+


 
TT
T
eTzez
Tzez




22
2
cos2
cos
−−
−
+−
−
 
Seno amortecido 
te −
( )sen t
 
( ) 22 ws ++

 
TT
T
eTzez
Tze




22 cos2
sin
−−
−
+−
 
Transformada z inversa 
Assim como na solução de equações diferenciais utiliza-se a Transformada de Laplace e 
sua inversa, a Transformada Z e sua inversa são usadas na solução de equações de 
diferenças. 
 
 
 
 
 
Métodos: 
i) Integral de Inversão: Utiliza a equação 11. Extremamente trabalhoso (não será visto); 
ii) Expansão por série Infinita de Potência: Não fornece uma expressão geral para x(kT) 
a partir de X(z); 
iii) Expansão em frações parciais: Mais simples e direto. 
 
a) Expansão por Série Infinita de Potência: Da definição 10 tem-se (T=1): 
...)(...)()()()()()]([ +++++=== −−−

=
−

n
k
k znfzfzffzkfzFkfZ 21
0
210
 (16) 
 
Os valores de f(k) são obtidos por inspeção direta. Se F(z) é dada na forma de função 
racional (Função de Transferência), a expansão em série infinita é obtida simplesmente 
pela divisão do numerador pelo denominador. Neste caso, tanto o numerador quanto o 
denominador devem ser escritos como potências ascendentes de z–1. 
 
b) Expansão em Frações Parciais: 
 Normalmente, nas tabelas de transformada Z, o fator z aparece no numerador dos 
termos. Assim, para obtermos 
)]([)( zFZkf 1−=
, expande-se 
z
zF )(
 em frações parciais, 
multiplica-se ambos os lados da expansão por z e utiliza-se uma tabela de 
transformadas. 
 
 
 
X(z) x(kT) 
Z 
Z-1 
Fig. 6 
5. A FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DISCRETA 
Considere o sistema discreto descrito pela Eq. (3) repetida a seguir: 
u(k) = a1u(k-1) + a2u(k-2) +...+ anu(k-n) + b0e(k) + b1e(k-1) + b2e(k-2)+...+ bme(k-m) 
 (17) 
Tomando a transformada Z desta equação: 
)(...)()()(...)()()( zEzbzEzbzEbzUzazUzazUzazU mm
n
n
−−−−− +++++++= 110
2
2
1
1
 
 
Analogamente ao caso contínuo, a função de transferência discreta é definida como sendo 
a relação entre e transformada Z da saída U(z), e a transformada Z da entrada E(z). Assim, 
 
n
n
n
n
m
m
m
m
zazazaza
zbzbzbb
zE
zU
zH
−−−
−
−−
−−−
−
−
−−−−−
++++
=
)(
)(
...
...
)(
)(
)(
1
1
2
2
1
1
1
1
1
10
1
 (18) 
e se 
mn 
, podemos escrevê-la como uma relação de polinômios em z da seguinte forma: 
)(
)(
...
...
)(
za
zb
azazazaz
zbzbzb
zH
nn
nnn
mn
n
nn
=
−−−−−
+++

−
−−
−−
1
2
2
1
1
1
10
 (19) 
 
Significado físico para a variável Z. 
Supondo todos os coeficientes na equação (18) nulos, exceto b1 = 1. Então H(z) = z 
-1. 
Como H(z) representa a Transformada de (17), a equação de diferenças se reduz a: 
u(k) = e(k-1) (20) 
Assim, a função de Transferência G(z) = z-1 corresponde a um atraso de uma unidade de 
tempo. 
 
1+= kk ue
 
1−= kk eu
 
 
)(zE
 
)()( zEzzU 1−=
 Fig. 7 
Relação Entre a função de Transferência Discreta e a Resposta ao impulso 
Para uma H(z) arbitrária, podemos também ter um significado físico no domínio do 
tempo. Como
 −= kzkezE )()(
e sendo a entrada e a saída relacionadas por 
)()()( zEzHzU =
, 
Eq. 18, se e(k) é um impulso discreto unitário definido por:



→
=→
==
00
01
)(
k
k
ke k
 (21) 
Então, E(z) = 1 e portanto: U(z) = H(z) (22) 
Logo a função de transferência H(z) é vista como sendo a transformada Z da resposta u(k) 
do sistema a uma entrada impulso unitário. 
1−Z
 
Capítulo II Análise de sistemas amostrados 
1.Equivalentes Discretos de Modelos Contínuos (ou filtros digitais) 
O objetivo desta seção é apresentar diferentes maneiras para se obter um equivalente 
discreto de um sistema contínuo, ou seja, dada uma G(s) determinar uma G(z) que tenha 
resposta temporal próxima a do sistema contínuo para uma entrada de mesma natureza. 
 
Filtros são dispositivos que permitem a passagem de determinadas componentes de 
frequência de um sinal e rejeição de outras, ou ainda, que possuem características 
específicas de transmissão de amplitude e fase. Como a teoria de filtros analógicos é bem 
estabelecida, deseja-se obter filtros digitais, a partir de analógicos que tenham senão as 
mesmas características, mas características muitos próximas destes, ou seja, obter 
equivalentes discretos. 
 
Os equivalentes discretos se aplicam também no projeto de controladores digitais. Para 
tanto têm-se duas situações possíveis: 
 
Caso 1: Considerando que um compensador contínuo foi projetado e produz um bom 
desempenho para o sistema em malha fechada, deseja-se obter seu equivalente 
discreto com as mesmas características. Neste caso pode-se usar um dos seguintes 
métodos: 
a. Integração Numérica: Retangular; Retangular Avançada; Trapezoidal (ou 
Bilinear, ou de Tustin) 
b. Mapeamento de Polos e Zeros (M.P.Z) 
 
Caso 2: Considerando que se deseja projetar diretamente um controlador discreto (digital), 
deve-se obter o equivalente discreto da planta. Neste caso deve-se usar o método do 
Hold-Equivalente (Z.O.H.) 
 
a. Método da Integração Numérica 
Seja o sistema:s
1
H(s)
E(s)
U(s)
==
 (23) 
Sua equação diferencial correspondente é: eu =• (24) 
cuja solução é dada por: 
,)()(
0
=

 detu (25) 
que, na versão discreta, é aproximada por : 
 kTTkTsobreedeáreaTkTuededkTu
kT
TkT
TkT
−+−=+= 
−
−  )()()(
0
 
Então, podemos desenvolver muitas regras baseadas na escolha da aproximação para o 
termo de área incremental. Definindo 
e(t)x(t) =
, as escolhas da aproximação são as 
descritas no exemplo 5 a seguir e ilustradas na Fig. 8. 
Exemplo 05: Suponha que tenhamos um sinal contínuo e(t), mostrado na Fig. 8, e desejamos encontrar 
uma aproximação para a integral da Eq. 4, usando somente os valores discretos e(0),...e(kT-T), e(kT). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 8: Aproximações para a integral 
 
=
t
dtteI
0
)(
ou 
ssEsI /)()( =
 (26) 
Seja u(kT-T) uma aproximação para a integral de zero até t = kT-T. O problema é obter u(kT) a partir 
desta informação. Sendo a integral a área sob a curva entre kT-T e kT, tem-se: O retângulo de altura 
e(kT-T); o retângulo de altura e(kT); e o trapézio formado por uma reta ligando e(kT-T) a e(kT). 
a1. Aproximação retangular direta (forward): a área do retângulo de altura e(kT-T) é 
 A = e(kT-T)*[kT-(kT-T)] = e(kT-T)*T (5a) 
A integral fica: u(kT) = u(kT-T) + A; 
Tomando a transformada Z: U(z)[1-z-1] = Tz-1E(z) ou seja: H(z)= Tz-1/[1-z-1] 
Igualando as integrais (discreta e contínua): U(z) = [1-z-1]-1Tz-1E(z)  I(s) = E(s)/s; 
O equivalente discreto neste método é obtido por: s= [1-z-1]T-1z = (z-1)/T (27) 
 
a2. Aproximação retangular reversa (backward): a área do retângulo de altura e(kT) é: 
 A = e(kT)*[kT-(kT-T)] = e(kT)*T (5b) 
A integral fica: u(kT) = u(kT-T) + A; 
Tomando a transformada Z: U(z)[1-z-1] = TE(z) ou seja: H(z)= T/[1-z-1] 
Igualando as integrais (discreta e contínua): U(z) = [1-z-1]-1TE(z)  I(s) = E(s)/s; 
O equivalente discreto neste método é obtido por: s = [1-z-1]/T = (z-1)/zT (28) 
 
a3. Aproximação Trapezoidal (ou Tustin): a área do trapézio é: 
A = [e(kT-T) + e(kT)][kT-(kT-T)]/2 =[e(kT-T) + e(kT)][T/2] (5c) 
A integral fica: u(kT) = u(kT-T) + A; 
A transformada Z: U(z)[1-z-1] = (T/2)[E(z)(z-1+1)] ou H(z)= (T/2) (z-1+1) /(1-z-1) 
Igualando as integrais: U(z) = (T/2) (z-1+1) /(1-z-1)E(z)  I(s) = E(s)/s; 
O equivalente discreto é obtido por: s = (2/T)(1-z-1)/(z-1+1) = (2/T)(z-1)/(z+1) (29) 
O mapeamento no plano Z do semi-plano esquerdo do plano S, por essas aproximações, é: 
 
 
a) b) c) 
 Real 
 
 
 
Fig. 9: a) Retangular direta ; b) Retangular Reversa ; c)Trapezoidal (ou Tustin) 
1 
Real 1 
j 
Real 
Imag.. 
A 
kT-T kT 
e(kT) 
e(kT-T) 
Retangular direta 
Trapezoidal 
Retangular 
Reversa 
t=kT 
e(t) e(kT) 
Imag.. 
Imag.. 
b. Método do Mapeamento de Polos e Zeros (MPZ) 
A transformação z = esT permite que um polo em H(s) possa ser mapeado para um 
polo em H(z). Entretanto isto gera uma questão: Como os zeros de H(s) seriam então 
mapeados para H(z). A idéia do M.P.Z. é que a transformação z = esT possa ser aplicada 
também aos zeros. Assim, o M.P.Z. consiste de um conjunto de regras heurísticas para 
alocar os zeros e o ganho DC de uma função de transferência H(s) para uma 
correspondente H(z). Estas regras são (heurísticas): 
1. Todos os polos de H(s) são mapeados de acordo com z = esT. 
Polo em s = a Polo em z = e-aT 
2. Todos os zeros finitos e H(s) são mapeados por z = esT.. 
Zero em s = -b Zero em z = e-bT 
3. Todos os zeros no infinito de H(s) são mapeados para o ponto z = -1 
 
OBS. Se, por alguma razão, é desejável uma unidade de atraso na função de transferência 
discreta (p. ex., o tempo necessário para processar cada amostra), então é adicionado a 
H(z) um zero no infinito. 
4. O ganho de H(z) é determinado por 
1z0s
H(z)H(s)
==
=
 (30) 
 
c. Método do “Hold Equivalente” (Z.O.H. – Segurador de ordem zero) 
ZOH é o dispositivo mais simples e causal para a reconstrução de um sinal contínuo. 
Matematicamente: f(t) = f(kTs); kTs ≤ t < kTs+Ts (31) 
A filosofia da aproximação por ZOH é determinar um sistema discreto que, com uma 
entrada consistindo de amostras e(k), do sinal contínuo e(t), tenha uma saída que 
aproxime a saída discretizada de H(s), u(k), cuja entrada é o sinal contínuo e(t). Isto é 
realizado pelo esquema da Fig. 10 considerando que o ZOH mantém constante e(k) por 
um período de amostragem. 
 
e(t) e(k) e(t) u(t) u(k) 
 
 e*(k) u*(k) 
Fig. 10 
 
 
Z. H .O H(s) 
A Fig. 11, ilustra a saída de um ZOH para a sequência f(kT) = { 0, 1.5, 2, 2.5, 2, 1.5, 1.5, 
1.5, 1.5....}. Mantém constante o valor da amostra do sinal durante um período de 
amostragem , T. 
t o 1 2 3 4 5 6 7 8
3
2.5
2
1.5
1
o
f(t)
 
Fig. 11 - Segurador de ordem zero 
 
Um ZOH pode ser representado pela Fig. 12. É visto como um pulso de amplitude igual 
ao valor da amostra. 
 (a) 
 
 f(kT) f(t) 
 T t 
 
 
 
 T 
 
 - 
 T t 
 
 
 
A função de transferência do dispositivo ZOH fica: 
s
e
e
ss
sG
Ts
Ts
ZHO
−
− −=−=
1
.
11
)(
 (32) 
Então a função de transferência discreta de uma planta precedida por um ZOH é: 
 
 





 −
==
−
.H(s)
s
)e(1
E(z)
U(z)
H(z)
Ts
Z
 (33) 
 
Como que 1Ts ze −− = , obtemos: 






−= −
s
H(s)
)Zz(1H(z) 1
 (34) 
 
OBS. Segurador de 1ª. ordem: 
  TkTtkTparakTt
T
TkTfkTf
kTftf +−
−−
+= ,
)()(
)()(
 
Com função de transferência: 
.
11
)(
2
1 




 −+
=
−
s
e
T
Ts
sG
Ts
H
 
s
1Z.O.H 
s
1
 
Tse−
 
Fig. 12 Representação de um ZOH 
2. Mapeamento Entre o Plano S e o Plano Z 
Considerando um sinal discreto, u(kT), como amostras de um sinal contínuo, u(t), então, os polos da 
transformada de Laplace do sinal contínuo se relacionam com os polos da transformada Z do sinal 
discreto pela equação z = esT . 
Ou ainda, se para um dado polo no plano S se conhece as características temporais (resposta no 
tempo), a equação z = esT permite descobrir onde se situa um polo no plano Z com mesmas características 
de resposta no tempo. 
Desta forma, podemos explorar os conhecimentos das características do plano S e então transferi-las 
para propriedades equivalentes no Plano Z. 
 O mapeamento z = esT é de muitos para um. Existem muitos valores de s para um mesmo z. 
 
Se so = σ + jw, e sn = so + j(ws/2)n = σ + j[w+(ws/2)n], com ws = 2πf = 2π/T e n = 1, 2, 3, ... 
Então, zo = e
soT = e(σ + jw)T = eσTe jwT = eσT(coswT + j senwT) ou 
wTzez o
T
o == ;

 ; 
Se n = 1 s1 = σ + j[w+(ws/2)] 
Então, z1 = e
s1T = e{σ + j[w+(ws/2)]}T = eσTe j[w+(ws/2)]T ou 
 +=+== 0101 ; zwTzzz
 ; 
Se n = 2 s2 = σ + j(w+ws) 
Então, z2 = e
s2T = e[σ + j(w+ws)]T = eσTe j(w+ws)T ou 
00202 22; zzwTzzz =+=+==  ; 
Se n = 3 s3 = σ + j(w+3ws/2) 
Então, z3=e
s3T = e[σ+j(w+3ws/2)]T = eσTej(w+3ws/2)T ou 
10303 33; zzwTzzz =+=+== 
 ; 
Se n = 4 s4 = σ + j(w+2ws) 
Então, z4=e
s4T = e[σ+j(w+2ws)]T = eσTej(w+2ws)T ou 
0404 4; zwTzzz =+== 
 ; 
 
 
Assim, o plano S é definido em um número infinito de faixas periódicas. A faixa primária se estende 
de 
2
sWW
−
=
 a 
2
sWW
+
=
, e as faixas complementares se estendem de 
2
sW−
 a 
2
3 sW−
, 
2
3 sW−
 
a 
2
5 sW−
, ... , para frequências negativas, e de 
2
sW
 a 
2
3 sW
 , 
2
3 sW
 a 
2
5 sW
 ,... , para frequências 
positivas, conforme mostra a Fig. 13. 
jw
 
7Ws/2
5Ws/2
3Ws/2
Ws/2
-Ws/2
-3Ws/2
-5Ws/2
-7Ws/2
 s + j3Ws
 s + j2Ws
 s + jWs
 s
 s - jWs
 s - j2Ws
 s - j3Ws
FAIXA
PRIMARIA
 
Considerando apenas a faixa primária mostrada na Fig. 14a, o caminho descrito por 
(1)→(2)→(3)→(4)→(5)→ (1) no semi-plano esquerdo do plano S é mapeado no círculo unitário centrado 
na origem no plano Z pela transformação z = e sT, conforme o caminho descrito na Fig. 14b. 
Fig. 13 
2
1
5
3
4
o
jw
Ws/2
-Ws/2

jIm(z)
Re(z)
12 3
5 4
PLANO S PLANO Z
 Fig. 14a Fig. 14b 
 
Todas as outras faixas complementares são também mapeadas dentro do círculo unitário no plano Z. 
Assim, todos os pontos no semi-plano esquerdo do plano s são mapeados dentro da região interna do 
círculo unitário no plano Z. 
Os pontos no semiplano direito do plano S são mapeados na região externa ao círculo unitário no plano Z. 
Tais características são ilustradas na Fig. 15 e as devidas correspondências são descritas na Tabela 2.2. 
Fig. 15 
Podemos também predizer qual será a resposta natural do sistema (resposta ao pulso unitário) pela 
localização do(s) polo(s) no plano Z, tal como é feito no plano S para o caso contínuo. Isto é mostrado na 
Fig. 16. 
 
 
Fig. 16 - Resposta transitória característica em função da posição dos polos no plano Z. 
 
3 AMOSTRAGEM DE SINAIS CONTÍNUOS NO TEMPO 
Até agora, consideramos apenas o tratamento dos dados no computador, desprezando as 
características das conversões A/D e D/A. Nesta seção, estudaremos basicamente o 
processo de amostragem de sinais contínuos, para que estes possam ser discretizados e 
tratados pelo computador, e também o processo de reconstrução do sinal a partir de sinais 
discretos, para que este possa ser aplicado à parte contínua do sistema. 
 
O mecanismo de amostragem 
Na seção anterior, observamos que o mapeamento do plano S para o Z é de muitos para 
um. Isto se deve ao fato do processo de amostragem provocar a geração de harmônicos. 
 
Análise espectral 
A função p(t), Fig. 11, é periódica, logo ela pode ser expandida em série de Fourier. 


−=
=
n
s
n
tjnw
eCtp )(
 onde: tjnωp(t)e
Τ
1
C
sΤ/2
Τ/2
n
−
=
−
 
Como, 
 
f*(t) = f(t) p(t), 
 então: 
)()(* tf
tjnw
eCtf
n
s
n

−=
=
 
 
A transformada de Fourier do sinal amostrado, f*(t), é obtida da seguinte maneira: 
 

−

−
−−

−=
−

−=

−
− === dtetxCdtetfeCdtetffF tnwwj
n
n
jwttjnw
n
n
jwt ss )( * )()()()( 
Mas, 
)()(
)(
s
tnwwj
nffXdtetx s −=

−
−− 
 
Logo, 
)()( s
n
n nffFCfF −= 

−=
 (35) 
 
Portanto, o espectro de frequências do sinal amostrado, f*(t), é dado pelo espectro do 
sinal analógico x(t) mais o espectro de x(t) deslocado para todas as frequências múltiplas 
da frequência de amostragem fs. 
A Eq. (35) indica que o amostrador ideal reproduz em sua saída o espectro da entrada 
contínua f(t) bem como as componentes complementares em frequências que são 
múltiplas inteiras da freqüência de amostragem. Assumindo que o espectro de amplitude 
do sinal contínuo f(t) é como o mostrado na Fig. 17 (a), o correspondente espectro de 
amplitude do sinal amostrado f*(t) , quando Ws > 2Wc, é mostrado na Fig. 17 (b), onde Wc 
é a frequência mais alta contida em f(t) e Ws é a frequência de amostragem. 
 
 
Fig. 17 
 
Se a frequência de amostragem é menor que 2Wc, então ocorrerá distorção no espectro 
de saída devido a superposição na banda de passagem em 
)(* jWF
 
 
O teorema da amostragem de Shannon 
Uma função do tempo e(t) que não contém componentes de frequência maiores que fo, Hz, 
(wo=2πfo) é unicamente determinada pelos valores amostrados de e(t) para qualquer 
conjunto de amostras equidistantes se a frequência de amostragem é maior que 2fo 
(Ws>2wo). A frequência Ws = 2Wo, que desempenha um papel importante, é chamada de 
frequência de Nyquist. Na prática outras considerações também ditam a escolha da 
freqüência de amostragem e podem exigir uma taxa muito maior que este mínimo teórico. 
 
Regra prática para especificação do período de amostragem (T) 
Independente do método a ser utilizado para o projeto do controlador digital, a escolha 
adequada do período de amostragem é fundamental. Esta, por sua vez, está intimamente 
relacionada à dinâmica da planta. Dentre os critérios para especificação tem-se: 
a. 5 a 10 amostras por tempo de subida: tr/10 ≤ T ≤ tr/5 
b. 5 a 10 vezes menor que a menor constante de tempo do sistema: τmin/10 ≤ T ≤ τmin/5 
 c. Obter a resposta ao degrau unitário em malha fechada do sistema contínuo a ser 
controlado e partir desta, estabelecer de 5 a 10 amostras para o intervalo de tempo 
correspondente ao tempo de subida. 
 
4. ESTABILIDADE DE SISTEMAS DISCRETOS 
A condição necessária e suficiente para que um sistema discreto (linear e invariante no 
tempo) seja estável, é que todos os seus polos estejam situados no interior, ou no máximo 
em cima do círculo de raio unitário no plano z. 
Seja o seguinte sistema discreto, 
 
 G(z) 
b
1
z
1
b
2
z
2
...... b
m
z
m
1 a
1
z
1
a
2
z
2
a
3
z
3
...... a
n
z
n
=
− + − + + −
− − − − − − − − −
 (36) 
 
considerando, sem perda de generalidade, que todos os seus polos sejam reais, e usando 
expansão em frações parciais, tem-se que, 
 
 
G(z)
N(z)
D(z)
zA1
z p1
zA2
z p2
.....
zAn
z pn
= =
−
+
−
+ +
−
 (37)sendo a entrada impulsiva e o período de amostragem unitário, a aplicação da 
transformada Z inversa, resulta. 
 
 
y(k) A1(p1)k A2(p2)k ....... An(pn)k= + + +
 (38) 
 
Da equação (1.8.3), resulta que se todos os polos tem módulo menor ou igual a um, a 
resposta jamais tende para infinito (sistema estável). Caso contrário, se pelo menos um 
dos polos tem módulo maior que um, a resposta tenderá para infinito (sistema instável). 
Dois métodos para análise de estabilidade são apresentados a seguir. 
 
CRITÉRIO DE JURY 
Dado o polinômio característico de um sistema na forma da Eq. 39, onde os ais são 
coeficientes reais e an é positivo (senão, multiplica-se F(z) por menos um), constrói-se a 
Tabela 1 usando as Eq. 40 a 43 para obter seus elementos e as condições necessárias e 
suficientes para estabilidade são as relacionados nos itens de (a) a (n). 
 
F(z) = a
n
zn a
n-1
zn 1 ..... a
2
z2 a
1
z a
o
+ − + + + +
 (39) 
 
Linha zo z1 z2 zn-3 zn-2 zn-1 zn 
 1 ao a1 a2................an-3.......an-2 an-1 an 
 2 an an-1 an-2.............a3..........a2 a1 ao 
 3 bo b1 b2................bn-3.......bn-2 bn-1 
 4 bn-1 bn-2 bn-3..............b2..........b1 bo 
 5 co c1 c2................cn-3.........cn-2 
 6 cn-2 cn-3 cn-4..............c1............co 
 
2n-5 po p1 p2 p3 
2n-4 p3 p2 p1 po 
2n-3 qo q1 q2 
 TABELA 1 - ARRANJO PARA CRITÉRIO DE JURY 
 
 b
k
 
a
o 
a
n k
a
n
 a
k
= − k = 0, 1, ..., n-1 (40) 
 c
k
 
b
o 
b
n-1 k
b
n-1
 b
k
= − k = 0, 1, ..., n-2 (41) 
 q
o
 
p
o 
p
3
p
3
 p
o
= (42) 
 q
2
 
p
o 
p
1
p
3
 p
2
= (43) 
 
Condições necessárias e suficientes para estabilidade pelo critério de Jury. 
 a) F( 1) > 0 
b) F(-1) > 0 para “n” par 
 < 0 para “n” ímpar 
 c) 
a
o
 a
n

 
d) 
b
o
 > b
n-1
 
 e) 
c
o
 > c
n-2
 
... 
n) 
q
o
 > q
2
 
CRITÉRIO DE ROUTH 
A estabilidade para sistemas lineares, invariantes no tempo e contínuos, é garantida se os 
polos se situam no semi-plano esquerdo do plano “S” Como foi visto anteriormente, nos 
sistemas discretos a estabilidade está associada ao interior do círculo unitário. Desde que, 
a transformação bilinear (Tustim) faz o mapeamento do semi-plano esquerdo do plano “S” 
no interior do círculo unitário no plano “Z”, então, pode-se utilizar diretamente o critério 
de estabilidade de Routh para sistemas discretos, desde que, converta-se o polinômio 
característico do sistema discreto F(z) num polinômio característico em “s”, F(s), usando a 
transformação bilinear, que é dada por: 
 
 
s
2
T
.
z 1
z 1
=
−
+
 (44) 
ou ainda, 
 
z
1 (T/2)s
1 (T/2)s
=
+
−
 (45) 
 
Assim, dado um polinômio F(z), utiliza-se a Eq. 45 para converte-lo num polinômio F(s), 
e em seguida aplica-se o critério de Routh-Hurwitz exatamente da mesma maneira como 
este é estabelecido para sistemas contínuos. 
 
5. LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES PARA SISTEMAS DISCRETOS 
Seja o sistema discreto da Fig. 18 
Gp(z)Gc(z)
Y
-
R
0
 
Fig. 18: Sistema discreto em malha fechada. 
 
Sua função de transferência de malha fechada é: 
)()(1
)()(
)(
)(
zGzKG
zGzKG
zR
zY
pc
pc
+
=
 
Portanto o polinômio característico de malha fechada é: 1 + KGc(z)Gp(z) = 0 (46) 
 
Def. I: O LGR são os pontos no plano “z” para sistemas discretos (ou no plano “s” para 
sistemas contínuos) onde se encontram as raízes do polinômio característico do sistema 
em malha fechada, conforme algum parâmetro varia de zero até infinito. Os pontos no 
LGR são os polos do sistema de malha fechada. 
Def. II: O LGR de 1 + K Gc(z)Gp(z) = 0 é o lugar dos pontos no plano “z” onde a fase de 
Gc(z)Gp(z) é 180
o, ou seja:  Gc(z)Gp(z) = 180o 
 
Sendo a Eq. 1.10.1 a mesma encontrada para sistemas contínuos, então as mesmas regras 
para construção do LGR em sistemas contínuos valem para os Sistemas discretos. Muda o 
significado, pois nos discretos, o LGR deve ser interpretado em relação ao círculo 
unitário. 
 
Resumo das regras de construção de um LGR. 
1: Marcar no plano “Z” os polos (X) e zeros (O) de malha aberta. Definir: n= número de 
polos de malha aberta e m = número de zeros de malha aberta. 
2: O LGR só existe no eixo real em regiões à esquerda de um número ímpar de polos mais 
zeros. Marcar estas regiões. 
3: Os possíveis pontos de ramificação são obtidos por: 
0
)]()([
=
dz
zGpzGcd
 
4: O número de assíntotas, suas inclinações e ponto de encontro, são obtidos, 
respectivamente, por: 
q = 0, 1, 2, ..., n-m-1 
 
nm
q
q
−
+

)12(
 
 = 
nm
zerospolos
−
− 
5: A intercessão com o círculo unitário (que corresponde a intercessão com o eixo 
imaginário no plano “s”), pode ser obtida pelo critério de Routh usando a transformação 
bilinear. 
6: Ângulos de partida dos polos (ou chegada dos zeros) podem ser obtidos pela condição 
de fase, isto é: Gc(z)Gp(z) = 180o 
7: O LGR inicia nos polos de malha aberta e termina nos zeros de malha aberta 
K 
6. ESPECIFICAÇÕES PARA PROJETO DE CONTROLADORES DIGITAIS 
O problema de projeto de controladores digitais tem a mesma formulação do caso 
analógico, isto é, dada uma planta e um conjunto de especificações, deve-se determinar 
um controlador tal que, o sistema total (planta e controlador) em malha fechada, atenda as 
especificações. Para controladores digitais, existem duas abordagens: 
 
Discretização de um controlador analógico 
 
Gp(s) Gc(s) 
Y 
- 
R
0 
 
 
Fig. 19: Sistema analógico em malha fechada. 
 
a. Projeta-se o compensador Gc(s) de acordo com alguma técnica de modo a atender as 
especificações. 
b. Especifica-se o período de amostragem de acordo com uma das regras práticas (item 8) 
c. Determina-se o equivalente discreto Gc(z) de Gc(s) de acordo com uma das técnicas do 
item 6. Sendo recomendável apenas os métodos bilinear ou Hold equivalente. 
 
Discretização da planta seguida do projeto do controlador 
 
Gp(s)Gc(z)
Y
-
R
0 ZOH
 
 
Fig. 20 - Sistema digital em malha fechada 
 
a. Especifica-se o período de amostragem de acordo com uma das regras práticas (item 8) 
b. Determina-se o equivalente discreto Gp(z) da planta Gp(s) pelo método ZOH. 
c. Projeta-se o compensador Gc(z) de acordo com alguma técnica (métodos analíticos, 
LGR, resposta em frequência, alocação de polos, etc.) de modo a atender as 
especificações. 
 
Dentre as técnicas para projeto de controladores (analógico ou digital) tem-se: 
a. Tentativa e erro 
b. Métodos analíticos 
c. Root Locus (LGR) 
d. Resposta em frequência 
e. Alocação de polos: Por espaço de estados ou função de transferência 
f. Critérios de otimização: Por espaço de estados ou função de transferência 
 
Especificações de Projeto 
De um modo geral as especificações de projeto podem ser dadas como: 
a. Precisão na resposta em regime permanente: Coeficientes de erro. 
b. Precisão na resposta transitória: Tempo de subida, sobre sinal, tempo de 
estabilização. 
c. Rejeição de distúrbio: Em regime permanente, na resposta transitória. 
d. Esforçode controle requerido: Máxima magnitude, energia mínima. 
e. Sensibilidade a mudança de parâmetros. 
f. Modelo de referência: O sistema em malha fechada deve ter um comportamento 
equivalente ao de um modelo pré-estabelecido (normalmente de segunda ordem). 
 
Precisão da resposta em regime permanente 
Via de regra, esta especificação é feita em termos de coeficientes de erro estático 
definidos a seguir. 
 
Gp(z)Gc(z)
Y
-
R
0
 
Fig. 21: Sistema discreto em malha fechada. 
 
Para o sistema da Fig. 21, tem-se: E(z) = R(z) – Y(z); 
)()(1
)()(
1
)(
)(
1
)(
)(
zGzG
zGzG
zR
zY
zR
zE
pc
pc
+
−=−=
 
Logo a transformada Z do erro e(kT) é: 
R(z)
zGpzGc
zE
)()(1
1
)(
+
=
 (47) 
Supondo: 
N
ba
z
z
zTzT
zTzTK
zGpzGc 





−++
++
=
1
.
)...1)(1(
)...1)(1(
)()(
21
 
Tipo de um sistema: É dado pelo número de integradores, ”N”, no caminho direto (polos 
situados em z = 1) para um sistema com realimentação unitária negativa. 
N=0➔tipo zero➔Gc(z)Gp(z) não tem nenhum integrador 
N=1➔tipo um ➔Gc(z)Gp(z) tem um integrador 
O valor final de e(kT), se as raízes de 1+Gc(z)Gp(z) = 0, estão dentro do círculo unitário é: 
e Lim z
R z
Gc z Gp zz
( ) ( ).
( )
( ) ( )
. = −
+→1
1
1
 
 (48) 
Degrau:
1)(;
1
)( =
−
= kTr
z
z
zR
 
Rampa:
kTkTr
z
Tz
zR =
−
= )(;
)1(
)(
2
 
Parábola:
2
3
2
)()(;
)1(
)1(
)( kTkTr
z
zzT
zR =
−
+
=
 
Coeficiente de erro de posição estático (Kp): 
Para uma entrada degrau unitário: 
KpzGpzGcz
z
zLime
z +
=
+−
−=
→ 1
1
))()(1(
1
)1(
)1( )(
1
 (49) 
Onde: Kp =
)()(
1
zGzGLim pc
z→
= Gc(1)Gp(1) (50) 
 
Para sistemas do tipo zero Kp é um número finito ➔
Kp
e
+
=
1
1
)(
 
Para sistemas do tipo um ou maior, 
Kp →
.➔
0)( =e
 
 
Coeficiente de erro de velocidade estático (Kv): 
Para uma entrada rampa unitária: 
Kv
T
zGpzGcz
Tz
zLime
z
=
+−
−=
→ ))()(1(
1
)1(
)1( )(
2
1
 
onde : 
)]()(1)[1(
1v
K zGpzGcz
z
Lim +−
→
=
 (79) 
Para sistemas do tipo zero Kv = 0 ➔
=)(e
 
Para sistemas do tipo um Kv é um número finito➔
Kv
T
e =)(
 
Para sistemas do tipo dois ou maior, 
Kv → 
➔
0)( =e
 
 
Coeficiente de erro de aceleração estático (Ka): 
Para uma entrada parábola: 
Ka
T
zGpzGcz
zzT
zLime
z
2
3
2
1
2
))()(1(
1
)1(
)1(
)1( )( =
+−
+
−=
→
 
 
onde : 
)]()(1[)1(
1
2 zGpzGcz
za
LimK +−
→
=
 (51) 
Para sistemas do tipo zero Ka = 0➔
=)(e
 
Para sistemas do tipo um Ka = 0➔
=)(e
 
Para sistemas do tipo dois ou maior, Ka= Ka ➔
Ka
T
e
22
)( =
 
 Degrau Rampa Parábola 
Tipo zero 
Kp+1
1
 
  
Tipo um 0 
Kv
T
  
Tipo dois 0 0 
Ka
T 22 
 
 
 
Precisão da resposta transitória 
Diz respeito a habilidade do sistema em manter o erro pequeno durante variações do sinal 
de referência. As especificações de transitório podem ser feitas no domínio do tempo, e 
então mapeadas para o domínio da frequência em termos da localização de polos, seja no 
plano S ou no plano Z. Sejam: tr*: Tempo de subida desejado; 
ts*: Tempo de estabilização desejado; 
Mp*: Sobre sinal máximo desejado. 
 
Estas especificações podem ser expressas em termos de desigualdades relacionando a 
frequência natural (wn), e o coeficiente de amortecimento (

) para um par desejado de 
polos complexos dominantes (expressões válidas para um sistema de 2a ordem sem zeros). 
wn  1.8 / tr
* 
(52) 

 

 0.6 (1 - Mp*) (53) 
σ=

wn  4.6/ts
* 
(54) 
Sendo os polos definidos por: 
21...  −−=
n
wj
n
ws
 (55) 
 
As inequações 52 a 53 caracterizam regiões no plano S, conforme mostra a Fig. 22a e 22b. 
 
Fig. 22a: Regiões do plano S definidas pelas inequações 80, 81 e 82 Fig.22b: Intercessão. 
 
Usando o mapeamento z = esT , é possível expressar as especificações em termos de polos 
dominantes situados no plano Z, ou seja: 
)(cos
)21( 22 11  −−−=−−= TjsinwTw nnTnweTnjwnwez (56) 
ou, 
21;  −=−= TwnzTnwez
 (57) 
De modo análogo, as inequações 52 a 54 caracterizam regiões no plano Z, conforme 
mostrado nas Fig. 23a e 23b. 
 
Fig. 23a: Regiões do plano Z definidas pelas inequações 80, 81 e 82 Fig. 23b: Intercessão. 
Re(s) 
Im(s) 
Wn 
Im(s) 
cos=ξ 
Re(s) 
Im(s) 
σ 
Re(s) 
Im(s) 
Re(s) 
 
 
 
 
   
Re(z) 
Im(z) Im(z) 
Re(z) 
Im(z) 
Re(z) 
Im(z) 
Re(z) 
   
 
 
 
 
 
ESPAÇO DE ESTADOS 
 
1. Introdução 
Um sistema linear, invariante no tempo, relaxado, a parâmetros concentrados e mono variável 
pode ser descrito por uma equação diferencial da forma: 
 
)()(...)()()()(...)()(
0
1
2
2
1
1
0
1
1
1 tubtubtubtubtyatyatyaty nn
nn
nn
nn
++++=++++ −
−−
−
− (1) 
 
n➔ ordem do sistema 
 
A eq. (1) pode ser representada no domínio da frequência, pelo uso da transformada de Laplace, 
em termos da seguinte função de transferência: 
 
nn
nn
nn
nn
aSaSaS
bSbSbSb
SU
SY
SG
++++
++++
==
−
−
−
−−
1
1
1
1
2
2
1
1
...
...
)(
)(
)(
 (2) 
 
A análise (projeto de controlador) do sistema pode ser feita a partir da eq. (2), pelo uso de técnicas 
clássicas de controle como: Critério de Routh, Lugar Geométrico das Raízes, Diagrama de Bode, 
Diagrama de Nyquist . . . 
A eq. (1) pode ainda ser representada no domínio do tempo, por um conjunto de n equações 
diferenciais de 1a ordem da forma: 
 




+=
+=
•
saídadeEquaçãotuDtXCtY
estadodeEquaçãotuBtXAtX
 )(.)(.)(
 )(.)(.)(
 (3) 
 
onde, 
A: Matriz n x n X(t): Vetor de Estados n x 1 
B: Vetor n x 1 u(t): Ação de Controle 1 x 1 
C: Vetor 1 x n y(t): Saída 1 x 1 
D: Escalar 1 x 1 
 
Obs. Sistema Mono variável. 
 
A descrição (3) é conhecida como representação de estados, e toda análise (projeto de controlador) 
realizada a partir da mesma é denominada de técnica moderna de controle. Tal descrição tem como 
características: 
a) Permitir a descrição de modelos mais gerais como: sistemas multivariáveis, variantes no tempo ou 
não-lineares. 
b) Descrição completa do sistema. 
 
 
2. Conceitos 
• Estado: O estado de sistema dinâmico é o menor conjunto de variáveis tal que, o 
conhecimento destas em t = t0, juntamente com a entrada u(t) para t  t0, determina completamente o 
comportamento do sistema para qualquer instante t  t0. 
 
• Variáveis de Estado: São o menor conjunto de variáveis que determinam o estado de um 
sistema dinâmico. 
Ex1: Obter o modelo de estados para o sistema descrito por: 
uyyyy 6116 =+++
•••••• 
 
 
Solução: Desenhar um diagrama de simulação 
 
u
S
1
S
1
S
1 y
6
11
6
•
y
••
y
•••
y
 
As variáveis de estado são definidas como as saídas dos integradores i.e. 
uxxxxyx
xxyx
xxyx
6611 32133
3
.
22
21
+−−−==
==
==
•••
••
•
 
Então: 
( )xy
x
x
x
xondeuxx
001
6
0
0
6
6111
100
010
3
2
1
=









=










+










−−
=
•
 
OBS: n=3 3 variáveis de estado. 
 
As variáveis de estado não necessariamente são grandezas físicas. Na prática, contudo, é 
conveniente escolhê-las como grandezas mensuráveis. 
 
• Vetor de estado: É um vetor contendo todas as variáveis de estado. 
 
• Espaço de estados: É o espaço n dimensional cujos eixos de coordenadas são constituídos 
pelas variáveis de estado (x1, x2, ..., xn). Qualquer estado pode ser representado por um ponto no 
espaço de estados. 
 
OBS: A escolha das variáveis de estado não é única, assim, um mesmo sistema pode ter mais de uma 
representação de estados. Seja o exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex2: 
 
 
 
 
Solução: 
( ) )(10)( 
)(
0
1
)(
0
1
1
)( 
/)()()( )()(
/)]()()([)()( )()(:)
)(
)(
)(
)(
)()(
122
2111
txty
tVLtx
C
LL
R
tx
CtxtVtxtVtx
LtxtRxtVtitxtitxDefinindoa
dt
tdV
Cti
tV
dt
tdi
LtRitV
cc
c
c
=








+












−−
=
===
−−===
=
++=
•
••
••
 
 
( )












=





==
=








+








−−
=
−−===
==
•
•
•••
•
)(
)(
C 0
0 1
 
)(
)(
:,)()( )(: 
)(01)( 
)(1
0
)(1
10
)( 
/)]()()([)()( 
)(
)(
)()( )()(:)
2
1
2
1
1
1222
211
tx
tx
ty
ty
YentãotVcCtietVcsaídasduasmosconsiderarSe
txty
tV
LC
tx
L
R
LC
tx
LCtxtRCxtVtVtx
dt
tdV
tx
txtxtVtxDefinindob
c
c
c
 
 
LCtxtVtVtx
dt
tdV
tx
txRCtxtiRtxtxtRitVtxDefinindoc
c
c
c
/)]()([)()( 
)(
)(
)()()()()( )()()(:)
122
22211
−===
+=+=+=
•••
•••
 
 
( ) )(1)(
)(
1
)(
0
1
1
)(
txRCty
tV
LC
L
R
tx
LC
L
R
tx
−=












+












−
−
=
•
 
 
 
 
 
R L 
C 
 
Vc(t) 
+ 
V(t) 
- 
i(t) 
3. Realizações ou Formas canônicas: Obtenção de uma Representação de Estados dada uma G(s) 
3.1. Realização Paralela ou Diagonal ou de Soma 
Aplica-se quando G(s) possui polos reais e distintos e resulta numa matriz “A” na forma diagonal. 
Ex4: Obter uma representação de estados para 
86
8
)(
2 ++
=
ss
sG
. 
Solução: 
)(
)(
4
4
2
4
)4)(2(
8
)(
sU
sY
ssss
sG =
+
−
+
=
++
=
 
2S
4
+
4S
4
+
U(S) Y(S)
+
+
U(S)
4
-4
S
1
S
1
-2
-4
Y(S)
+
+
+
+
+
+
21
22
.
11
.
xxy
u4x4x
u4x2x
+=
−−=
+−=
 ou 
( )X11y
u
4
4
X
40
02
X
.
=






−
+





−
−
= 
3.2. Forma de Jordan 
Aplica-se quando G(s) possui polos reais e repetidos resultando numa matriz “A” quase diagonal. 
Ex4: Obter uma representação de estados para 
( ) ( ) ( ) )(
)(
5.2
160
2
160
2
80
5.22
40
10145.6
40
)(
2223 sU
sY
ssssssss
sG =
+
+
+
−
+
=
++
=
+++
=
. 
2S
4
+
4S
4
+
U(S) Y(S)
+
+
U(S)
4
-4
S
1
S
1
-2
-4
Y(S)
+
+
+
+
+
+
3.3. Realização na Forma Canônica de Controlador 
Aplica-se para uma G(s) qualquer, desde que o grau do denominador seja maior que o do 
numerador. 
 
Ex5: Obter uma representação de estados para 
32
2
1
3
32
2
1)(
asasas
bsbsb
sG
+++
++
=
. 
Solução: 
U(S) Y(S))S(
32
2
1 bSbSb ++
32
2
1
3 aSaSas
1
+++
 
uaaa
asasassU
s
=+++
+++
=
••••••  321
32
2
1
3
1
)(
)(
 
 3213221
)(
)(
bbbybsbsb
sU
sY
++=++=
•••
 
b
1
b
2
U(S)
S
1
S
1
S
1
b
3
Y(S)
-a
1
-a
2
-a
3
..

...

.
 
 
Definindo: 
3321211
233
1
.
22
332121111
xbxbxby
xxx
xxx
uxaxaxaxx
++=
==
==
+−−−==
•
••
•••



 
Assim: 
( )xbbby
ux
aaa
x
321
321
0
0
1
010
001
=










+









 −−−
=
•
 
 
 
3.4- Realização na forma canônica de observador 
Pode ser obtida diretamente da forma canônica de controlador, com as seguintes substituições: 
t
c0
t
c0
t
c0 BCCBAA 
 
Para o exemplo anterior, tem-se: 
( )x001y
u
b
b
b
x
01a
10a
01a
x
3
2
1
3
2
1
.
=










+










−
−
−
=
 
 
OBS: Se o grau do denominador for igual ao grau do numerador, deve-se reescrever a função de 
transferência realizando uma divisão polinomial. O termo constante formará a matriz “D” da 
representação de estados. 
Ex6: 
32
2
1
13131212
1
1
32
2
1
32
2
1 )/()/()(
asasa
aabbsaabb
a
b
asasa
bsbsb
sG
++
−+−
+=
++
++
=
. 
u
a
x
aa
y
uxa
a
a
a
x
aabbaabb
a
b
asasa
aabbsaabb
a
b
sG
aabbSaabb
a
b
asasa
a
a
b
sa
a
b
sb
bsbsb
1
1
1
3
1
2
1
3
1
2.
1313312122
1
1
1
32
2
1
13131212
1
1
_______________________________________________
13131212
1
1
32
2
1
3
1
1
2
1
12
1
32
2
1
0
1
01
)/()/(
)/()/(
)(
)/()/(


+





=






+










−−
=
−=−==
++
−+−
+=
−+−
++
−−−
++
•
 
 
4. Solução de Equação de Estados Invariante no Tempo. 
 
4.1- Equação de Estados Homogênea 
 
 Dada a equação diferencial matricial , sua solução pode ser obtida por analogia com o 
caso escalar, ou seja: 
)0(...)
!3!2
1()(:
...
!3!2
:
)0()(:tanRe
)0()()()()0()(:
)()(
3322
3322
1
x
tata
attxEntão
tata
atecomo
extxquedosul
xassxsaxxssxoLaplaceand
taxtx
at
at
++++=
++++=
=
−==−
=
−
•
1
 
 
Para o caso matricial: 
}){()(
).(exp:
.....
!3!2
:
}){(:
)0(}){()(:
)0()()()0()()()()0()(:
)()(
11
3322
11
11
1
−−
−−
−−
−
•
−==

++++=
=−
−=
−==−=−
=
AsILet
testadosdetransiçãomatrizcomodefinidaonencialmatrize
tAtA
AtIeaindae
eAsILescalarcasocomoComparando
xAsILtxinversaaTomando
xAsIsxxsxAsIsAxxssxoLaplaceand
tAxtx
At
At
At
At
 
 
 
(t) possui as seguintes propriedades: 
 
)tt()tt().tt(
)nt()]t([
)t()t(eee)tt(
)]t([)e(e)t(
I)0(
020112
n
21
AtAt)tt(A
21
11AtAt
2121
+=−−
=
===+
−===
=
+
−−−
 
 
4.2. Eq. de Estados Não Homogênea 
Caso escalar: 
)()()( tbutaxtx+=
• 
Laplaceando: 
)()()0()( sbUsaXxssX +=−
 
)()()0()()( 11 sbUasxassX −− −+−=
 
)()( tAxtx =
• 
Tomando L-1: 






−
+= −
as
sbU
Lxetx at
)(
)0()( 1
; 
com 





=
−
=
)()(
1
)(
2
1
sUsF
as
sF (Integral de Convolução) 
 +=
−t
0
)t(aat d).(u.b.e)0(xe)t(x
 
de modo análogo ao caso matricial: 
)(.)(.)(
.
tuBtXAtX +=
• 
Resulta que: 

−+=
t
tAAt duBeXetX
0
)( ).(..)0()( 
 
Caso o instante inicial seja diferente de zero, tem-se: 
 +=
−t
t
)t(A
0
At
0
d).(u.B.e)t(Xe)t(X
 
 
 
 
ou considerando a definição da matriz transição de estados: 
 −+=
t
t0 0
d).(u.B).t()t(X)t()t(X
 
 
5. Relação entre Equações de Estado e Funções de Transferência 
BuAXX
.
+=
DuCXy +=
G(S)
(1)
(2)
 
 
Dada uma representação de Espaço de Estados, existe uma única função de transferência associada 
a mesma (1). O problema inverso, como já foi visto, admite mais de uma solução e é denominado 
Problema das Realizações. 
Resposta as 
condições 
iniciais 
Resposta a 
entrada u() 
5.1. Obtenção de G(S) dada uma representação de Estados 
Seja 




+=
+=
•
DuCXy
BuAXX
 
Então: 
)()()0()( sBUsAXXssX +=−
 
)(..)()0(.)()( 11 sUBAsIXAsIsX −− −+−=
 
Considerando: X(0)  0, condições iniciais nulas. 
Então: 
)()()( sDUsCXsY +=
 
)(].).([ 1 sUDBAsIC +−= −
 
Logo: 
DBAsIC
sU
sY
sG +−== − .).(
)(
)(
)( 1
 
 
Ex3: Obter a função de transferência do sistema descrito por: 
)(
0
/1
)(
0/1
/1/
)(
.
tu
L
tX
C
LLR
tX 





+




 −−
=
•
 
( ) )t(X10)t(Y =
 
Solução:






−
+
=




 −−
−





=−
sC
LLRs
C
LLR
s
s
AsI
/1
/1/
0/1
/1/
0
0 
( )
LCL
R
ss
LRsC
Ls
AsI
1
1
//1
/1
2
1
++






+
−
=−
−
 
( ) ( ) 





−==
−
0
/1
10
)(
)(
)(
1 L
AsI
sU
sY
sG
 
( )
LCL
R
ss
LC
LCL
R
ss
L
LRsC
sU
sY
sG
1
/1
1
1
0
/1
//1
)(
)(
)(
22 ++
=
++






+==
 
Do exemplo 2, tem-se que: 
)t(v
dt
)t(vd
LC
dt
)t(dv
RC)t(v C2
C
2
C ++=
 
Logo: 
)()1()( 2 sVLCsRCssV C++=
 
21
1
)(
)(
LCsRCssV
sVC
++
=
 
LCL
R
ss
LC
sV
sVC
1
/1
)(
)(
2 ++
=
 
6. Auto Valores e Auto Vetores 
 
Def. 1: Polinômio Característico: É o polinômio do denominador de uma função de transferência 
Def. 2: Equação Característica: É obtida quando se iguala a zero o polinômio característico. 
 
Seja: 
n1n
1n
1
n
n1n
2n
2
1n
1
aSa...SaS
bSb...SbSb
)S(G
++++
++++
=
−
−
−
−− . Assim, a equação característica será: 
n1n
1n
1
n aSa...SaS ++++ −
−
=0 
 
Em termos de variáveis de estado, sabe-se que para: 
)det(
)det()(
0
)det(
)(
0)()(
1
ASI
DASIBASICAdj
DuCxy
BuAxxB
ASI
ASIAdj
CBASICSG
−
−+−
=




+=
+=+
−
−
=+−=
•
−
 
Logo, a equação característica é obtida por: 
0)ASIdet( =−
 
 
Def.2: Autovalores: São as raízes da equação característica. Coincidem com os polos do sistema. 
Simbologia: 
i
 
 
Def.3: Denomina-se auto vetor de uma matriz “A”, associado ao auto valor i, o vetor pi (nx1) que 
satisfaz: 
 
0).( =− piAIi
 ou 
piApii .. =
 
 
Ex7: Dado o sistema, obter sua equação característica, seus autovalores e auto vetores 
 
( )xy
uxx
10
0
8
01
86
=






+




 −−
=
•
 
 
Solução: a) Equação característica: 
086
1
86
det
0
01
86
0
0
det0)det(
2 =++=





−
+
=










 −−
−





=−
ss
s
s
s
s
ASI
 
 
b) Autovalores: 



−=
−=
=++
4
2
086
2
12


ss
 
 
c) Auto vetores: Para 
111 . p 
 seja 






=
12
11
1
p
p
p
 
 



=−
−−=−











 −−
=





−
1112
121111
12
11
12
11
2
862
01
86
.2
pp
ppp
p
p
p
p 
 



−=
−=

1211
1211
2
84
pp
pp



 É verdadeira para qualquer 
11p
 ou 
12p
 
Arbitrando 
2/11 1211 −== pp
 , logo 






−
=
2/1
1
1p
 É um auto vetor associado ao auto valor –2. 
Para 
2222 .. pAp = 
 seja 






=
22
21
2
p
p
p
 



=−
−−=−











 −−
=





−
2122
222121
22
21
22
21
4
864
01
86
4
pp
ppp
p
p
p
p 



−=
−=

2222
2221
4
8
pp
pp



É verdadeiro para qualquer 
21p
 ou 
22p
 
Arbitrando 
4/91 2221 −== pp
 , logo 






−
=
4/1
1
2p
É um auto vetor associado ao autovalor –4. 
 
7. Transformações no Espaço de Estados. 
 
Como já foi visto anteriormente, a representação de sistemas no espaço de estados não é única, assim, 
uma particular definição do vetor de estados x(t), pode ser redefinida por qualquer transformação linear 
não-singular deste vetor, ou seja, 
)(.)( tzPtx =
, onde: z(t) representa o novo vetor de estados e P é uma 
matriz não-singular qualquer. 
 
Seja a representação de estados: 




=
+=
•
)(.)(
)()(.)(
txCty
tButxAtx
 
 
Aplicando a transformação: 
)(.)( tzPtx =
 
 
Tem-se que: 
)(.)( tzPtx
••
=
 
Assim, 




=
+=
•
)(..)(
)(.)(..)(.
tzPCty
tuBtzPAtzP
 
Ou ainda, 




=
+= −−
•
)(..)(
)(..)(...)(
11
tzPCty
tuBPtzPAPtz
 
Que é a nova representação de estados obtida a partir da transformação. 
 
OBS 1: A equação característica, os autovalores e os auto vetores não se alteram após uma transformação 
linear não singular. 
OBS 2: Uma transformação linear é deita invariante se não altera o polinômio característico de uma 
realização. 
 
OBS 3: Sendo a Matriz de transformação “P” formada pelos auto vetores do sistema, a nova 
representação de estados recai na forma paralela, isto é, a nova matriz “A” do sistema 
)..(
1
PAP
−
 é 
diagonal, sendo os elementos da diagonal principal, os autovalores do sistema. 
 
8.Controlabilidade e Observabilidade 
São propriedades qualitativas de sistemas dinâmicos lineares e são importantes quando se considera: 
• Projeto de compensadores por realimentação de estados. 
• Projeto de observadores de estado 
• Projeto de compensadores baseado na minimização ou maximização de um dado índice de 
desempenho. 
 
8.1. Controlabilidade 
Definição: Um sistema <A,B> é de estado completamente controlável, se existe um sinal de controle 
u(t), tal que, o estado do sistema pode ser levado de qualquer estado inicial x(0), para qualquer estado 
final desejado x(tf), num intervalo de tempo finito. 
 
Teorema: O sistema




+=
+=
•
)()()(
)()()(
tDutCxty
tButAxtx
de dimensão (ordem) n, é controlável se, e somente se, a 
matriz de controlabilidade ℭ , conforme definida a seguir,tem posto (rank) igual a m, ou seja, ℭ é não 
singular. 
ℭ
 BABABAB n ... 12 −

= 
 
 
Ex8: Verificar se o sistema é controlável: 
( )



=






+





−
−
=
•
xy
xx
01
0
1
10
12 
Solução: ℭ =








 −
lcontrolávenão
Singular
00
21
 
 
8.2. Observabilidade 
Definição: O sistema <A,C> é de estado completamente observável se, para qualquer estado inicial 
x(0), existir um tempo finito , tal que x(0) pode ser determinado (de forma única) a partir de u() e y(). 
Teorema: O sistema:




+=
+=
•
)()()(
)()()(
tDutCxty
tButAxtx
de dimensão n, é de estado se, e somente se, a matriz de 
observabilidade , definida a seguir, tem posto (rank) n, ou seja, é não singular. 















=
−

1
2
.
.
.
n
AC
AC
AC
C

 
Ex9: Verificar se o sistema é observável: 
( )



=






+





−
−
=
•
xy
xx
01
0
1
10
12 
 
Solução: =









− observável
singularnão
12
01
 
 
9 PROJETO DE SISTEMAS DE CONTROLE USANDO ESPAÇO DE ESTADOS 
Objetivo 
Mostrar como se realiza o projeto de controladores baseado na formulação de espaço de estados e mostrar 
como se realiza o projeto de observadores de estado. As vantagens desta abordagem se evidenciam 
quando se tem sistemas multivariáveis. 
 
Formulação do problema 
Seja um sistema linear invariante no tempo contínuo representado na forma de espaço de estados de 
acordo com a equação (1). 
)()(
)(1)()()(
tCXtY
twGtButAXtX
=
++=
•
 (1) 
onde: X (nx1), A (nxn), B(nx1),C(1xn) e G1 (nx1) 
 u(t) : ação de controle 
 w(t): entrada de perturbação 
 
Deseja-se determinar uma lei de formação para a ação de controle u(t) em função do vetor de estados X(t), 
tal que, o sistema <A,B,C,D> em malha fechada, tenha um desempenho que atenda um conjunto de 
especificações pré estabelecidas. 
 
Situações possíveis 
No problema formulado tem-se duas possibilidades para as variáveis de estado do vetor X(t): 
– Todas disponíveis: Existe um sensor para cada variável. Neste caso vai-se direto ao projeto do 
controlador que é subdividido em: 
1 - Regulação: A referência é zero para todo o tempo. 
2 - Rastreamento: A referência é uma função do tempo. 
 
– Algumas não disponíveis: Algumas não possuem sensor. 
 Primeiramente deve-se projetar um estimador (observador) de estados e depois o controlador para 
Regulação ou Rastreamento. 
 
Problema da Regulação com vetor X(t) disponível 
A lei de formação para a ação de controle pode ser obtida simplesmente pela realimentação negativa da 
combinação linear de todas as variáveis de estado, devidamente ponderadas por ganhos, a serem 
determinados de modo a satisfazer as especificações do problema, como mostrado na equação (2). 
tknkkkKonde
tKXtu
]...321[:
)()(
 =
−= (2) 
Tal solução é denominada de realimentação completa de estados e a condição necessária e suficiente para 
que possa ser realizada é que o sistema <A,B,C,D> seja controlável. Havendo controlabilidade, a 
realimentação de estados permite que se posicione os polos de malha fechada em qualquer região do 
plano S. Portanto, o problema de projeto se resume em: 
- Imposição dos polos de malha fechada que satisfazem as especificações do problema, ou ainda, o 
polinômio característico de malha fechada desejado, d(s); 
- Determinação do vetor de realimentação K, que gere os polos do item anterior. 
 
Visualizações do problema: 
 Gráfica: Diagrama de simulação 
 Analítica / Paramétrica: 
1. Controlabilidade do sistema em malha aberta <A,B,C,D>: 
0det
]12[

−=
C
BnABAABBC ....  (3) 
2. Alocação dos polos de malha fechada desejados 
Uma maneira de se escolher estes polos consiste no uso dos protótipos ITAE (integral of the 
time multiplied by the absolute value of the error) ou de Bessel. Tais protótipos foram 
avaliados numericamente e a localização dos polos resultantes e repostas ao degrau são 
mostradas na tabela 1 e Fig. 2 e 3. 
Tabela 1 – Localização dos polos para funções de transferência ITAE e de Bessel 
B s-1 C
K
u(t)
+
+
X(t) y(t)
A
-
0
 
Fig. 2 – Resposta ao degrau do protótipo ITAE para Wo=1 rad/sec 
 
Fig. 3 – Resposta ao degrau do protótipo de Bessel para Wo=1 rad/sec 
 
3. Determinação de K para alocação dos polos 
Substituindo a equação (2) na (1), o sistema em malha fechada fica, 
CX(t)Y(t)
w(t)GBK)X(t)(Aw(t)GKX(t)]B[AX(t)(t)X
=
+−=+−+=
•
11(4) 
O polinômio característico de malha fechada é obtido como 
 BK)](A[sI (s) 
mf
−−= det (5) 
igualando ao polinômio desejado d(s) pode-se calcular K. 
(s)
d
 (s) 
mf
 =
 (6) 
Outra maneira é usando a fórmula de Ackermann 
(A)
d
.αB] AB A][B AB [K n- 1100 12 −= 
 (7) 
Problema do Rastreamento com vetor X(t) disponível 
Lembrando que os tipos de sistemas podem ser definidos de acordo com o número de integradores na 
função de transferência do ramo direto, e que o sistema do tipo 1 tem um integrador e não exibirá nenhum 
erro em regime permanente na resposta ao degrau, o problema do rastreamento usando realimentação de 
estados, será apresentado inicialmente para o projeto de sistemas do tipo 1. 
 
 – Rastreamento quando a planta já tem um integrador 
Admitindo que a saída y seja igual a variável de estado x1, e que a referência é um degrau unitário, a 
Fig. 4 ilustra uma configuração para o uso da realimentação de estados. 
 
Fig. 4 – Rastreamento quando a planta já tem um integrador 
Tem-se portanto que: 
rkKX)x(r k 
xn
x
x
] ... kn k k[u 111
2
1
320 +−=−+−=























 (8) 
e ainda: 
rBkBK)X (A Bu AX X 1+−=+=
• (9) 
A equação (9) é do mesmo formato da equação (4) e K pode ser obtido usando a mesma metodologia 
de imposição de polos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 – Rastreamento quando a planta não tem um integrador (tipo zero) 
Pode-se inserir um integrador no ramo direto, como na Fig. 5. 
 
Fig. 5 – Rastreamento quando a planta não tem um integrador 
Sistema em malha aberta: 
CXryrξ
CXy
BuAXX
−=−=
•
=
+=
•
 
 (10) 
Definindo o vetor de estado aumentado:  t
^
 XX = 
O sistema em malha aberta com o vetor aumentado fica: 
ru
X
C
AX






+





+











−
=










•
•
1
0
0
B
 
0 
0 


 
Sem perda de generalidade, seja r = 0, então: uBXAX
^^^^
 +=
•
 
 
Se < ^^
,BA
> é controlável e não tendo nenhum zero na origem, pode-se usar imposição de polos e 
como lei de controle: 
 
^^
21 - XK
X
kkkkξkKXu ini −=





−=+−= 
 
O sistema em malha fechada fica: 
+





−
−
=
•
•




































r 
X
 C 
BK BkA
ξ
X i
1
0
0 
 
mfmfmf
mfmfmfmf
XCy
uBXAX
^^^
^^^^
 
=
+=
•
 (11) 
 
Algoritmo para projeto: 
1. Teste de controlabilidade: 1^^^^2^^^^^
 
−









= CBABABABC