Cálculo I (Básico)

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FATEC 
 
 
FACULDADE DE TECNOLOGIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA PARA ACOMPANHAR A 
 
DISCIPLINA CÁLCULO I 
 
 
 
 
 
 
 
PROFª. Drª. FÁTIMA AHMAD RABAH ABIDO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Garça - SP 
1º Semestre / 2011 
 
Apostila de Cálculo I – FATEC 
1 
Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido 
 
EMENTA 
 
 Matemática Elementar 
 
 Limite e Continuidade 
 
 Derivada 
 
 
OBJETIVO 
 
 Raciocinar lógica e organizadamente; 
 
 Aplicar com clareza e segurança os conhecimentos adquiridos; 
 
 O aluno deverá ser capaz de construir gráficos de funções reais de uma variável real, 
calcular limites e derivadas; 
 
 Utilizar estes conhecimentos em outras situações que surgirão a longo de sua atividade 
acadêmica. 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
 BOULOS, Paulo. Pré-Cálculo. Makron Books - SP 1999. 
 
 COELHO, Flávio. Curso básico de Cálculo. São Paulo: Saraiva, 2005. 
 
 EDWARDS, Jr.,C. & Penney,D. Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 1 Rio de Janeiro 
– LTC Editora, 1999. 
 
 FLEMMING, Diva Marília - Cálculo A - Makron Books - SP 1999. 
 
 HOFFMANN, Laurence. Cálculo - Vol. 1 LTC, 1990.LEITHOLD. Louis - O Cálculo 
com Geometria Analítica –Vol.1 Ed. Harper & Row do Brasil Ltda-SP 
 
 SILVA, Sebastião Medeiros. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 
2001. 
 
 SIMMONS, George. Cálculo com Geometria Analítica. Vol.1 São Paulo – Mcgraw-Hill 
1987. 
 
 SWOKOWSHI. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Editora Makron Books. 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Cálculo I – FATEC 
2 
Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido 
 
REVISÃO 
 
1. Conjuntos Numéricos 
1.1 Números Naturais 
1.2 Números Inteiros 
1.3 Números Racionais 
1.4 Números Irracionais 
1.5 Números Reais 
2. Números reais – resumo operacional 
2.1 Cálculo do valor de expressões numéricas 
2.2 Potenciação 
2.2.1 Potência de expoente inteiro 
2.2.2 Potência de expoente racional 
2.3 Racionalização 
3. Valor numérico de expressões algébricas 
4. Operações com expressões algébricas 
4.1 Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão de expressões Literais 
4.2 Produtos Notáveis 
4.3 Fatoração 
4.4 Simplificação 
4.5 Identidades envolvendo Divisão de Polinômio por Polinômio 
5. Equações do 1º grau 
6. Inequações do 1º grau 
7. Equações do 2º grau 
7.1 Equações incompletas 
7.2 Equações completas 
8. Sinal do trinômio do 2º grau 
9. Inequações do 2º grau 
10. Funções 
 10.1 Definição 
 10.2 Domínio, Imagem e Contradomínio 
 10.3 Tipos de Funções 
 10.3.1 Função Constante 
 10.3.1.1 Gráfico de uma Função Constante 
10.3.2 Função do 1º Grau 
 10.3.2.1 Gráfico de uma Função do 1º Grau 
10.3.3 Função do 2º Grau 
 10.3.3.1 Gráfico de uma Função do 2º Grau 
 10.3.3.2 Zeros da Função do 2º Grau 
 10.3.3.3 Vértice da Parábola 
 10.3.3.4 Coordenadas do Vértice 
10.3.4 Função Modular 
10.3.5 Função Exponencial 
10.3.6 Função Logarítmica 
10.3.7 Funções Trigonométricas 
10.3.8 Funções Trigonométricas Inversa 
 
 
 
 
 
Apostila de Cálculo I – FATEC 
3 
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1. Conjuntos Numéricos 
 
1.1 Números Naturais 
 
Os números naturais surgiram de uma necessidade do ser humano em fiscalizar os seus 
bens. Os símbolos que representam os números naturais são chamados de algarismos. 
 
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } 
 Números Inteiros 
 
Os números inteiros são todos os números naturais e também os seus opostos. 
 
Z = {... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } 
 
1.2 Números Racionais 
 
Os números racionais são aqueles que podem ser obtidos como quociente de dois 
números inteiros. 
 
Q = {p/q , onde p, q  Z e q  0} 
 
1.3 Números Irracionais 
 
Os números irracionais são aqueles que não podem ser obtidos como o quociente de dois 
números inteiros. 
 
Exemplo: São números irracionais: 
 
   3,1415929... 
 
2
  1,4142135... 
 
3
  1,7320508... 
 e  2,7182818... 
 
 
1.4 Números Reais 
 
O conjunto dos números reais é definido como a união entre os conjuntos dos números 
irracionais e racionais. 
 
 
OBSERVAÇÃO - Módulo de um Número 
 
 
 O módulo, ou valor absoluto, de um número real qualquer é a distância deste número à 
origem (zero). O módulo de um número real x pode ser definido também por: 
 






0 x se ,
0 x se ,
x
x
x
 
 
 
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Exemplos 
 
(a) 
  101010 
 (b) 
777 
 
 
 
2. Números Reais – Resumo Operacional 
 
2.1 Cálculo do valor de expressões numéricas 
 
2.1.1 Ordem de operação 
 
(1º) Potenciação e Radiciação; 
(2º) Multiplicação e Divisão; e 
(3º) Adição e Subtração 
 
 
Seguindo a ordem de operação da esquerda para direita, e sempre eliminando primeiro 
parênteses ( ); depois colchetes [ ] e finalmente as chaves { }. 
 
 
OBS (Números Racionais): 
 
 
- Adição e Subtração: Achar o mmc (divide o mmc encontrado pelo denominador e o resultado, 
multiplicar pelo numerador); 
 
 
Ex: 
20
23
20
158
4
3
5
2










 
 
- Multiplicação: multiplicar numerador com numerador, e denominador com denominador; 
 
 
Ex: 
14
3
28
6
47
32
4
3
7
2




 
 
 
- Divisão: mantém a primeira fração e multiplica pelo inverso da segunda. 
 
 
Ex: 
20
21
45
73
4
7
5
3
7
4
5
3




 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
Calcular o valor das seguintes expressões numéricas dando a resposta na forma de fração e 
decimal. 
 













28
37
2:
7
10
:
49
5
8
9
.
3
2
 )1
 







2
3
:
4
1
5
1
:
10
11
 )2
 
 
 
7
1
:
2
1
.
2
5
2
7
.
7
1
12
7
:
4
1
3
1
 )3 


















 


















 11
3
1
-1 413- 121- 3 )4
 
 
 
 
  517,0
3
4
1
 
8
5
 
3-1 
4
1
25
5
2
-3 
2
1
7
4
 )5

















 
 
 
Respostas 
 
1) 1 2) 3 3) 1 4) – 414 5) – 0,23 
 
 
 
2.2 Potenciação 
 
2.2.1 Potência de expoente inteiro 
 
Seja a um número real e m e n inteiros positivos. Então: 
 
1) a 
n
 = a. a. a. … .a ( n vezes) 5) a m  a n = a m - n 
2) a 
0
 = 1 6) (a 
m
 ) 
n
 = a 
m.n
 
3) a
 - n
 = 1/ a
 n
, a  0 7) (a / b) m = a m / b m, b  0 
4) a 
m
 . a 
n
 = a 
m + n
 8) (a . b) 
n
 = a 
m 
. b
 m
, b  0 
 
Exercícios 
 
Calcular o valor das expressões:1) 5
 2
 2) (-3)
 3
 3) (-3)
 2
 4) -3
 2
 5) 5 
0
 
 
 
6) (2 
3
) 
2
 7) ((-1) 
3
) 
2 
8) - (-1) 
4 
9) 3
4
3





 10) 2
2
3






 
 
 
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11) 
4
7
2
2
 12) 
23 2.2
 13) 
   3329 2.2:2  
 
 
 
14) 
  22
2
5431
1
1
2
1
5
4










 15) 




























2
3
2
1
6
1
3
1
6
1
1
2 
 
 
RESPOSTAS 
 
1) 25 2) - 27 3) 9 4) - 9 5) 1 6) 64 7) 1 8) -1 9) 27/64 
 
10) 4/9 11) 8 12) 32 13) 1 14) 1069/1521 15) 3/5 
 
 
 
 2.2.2 Potência de expoente racional 
 
 
 Se a é um número real qualquer e m e n são inteiros positivos, definimos: 
 
a)  mnnm aa  quando  n a existe; b) se a  0, nmnm aa /1 
 
 
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES: 
 
 
- 
n a
 = p  p n = a, onde 






radical índicen
raizp radicandoa 
 
- Se n par e a negativo: a
n 
 é positiva, 
n a
 não é real (ex: 
4 16
  não existe raiz real) 
 
- Se n ímpar e a negativo: a
n 
 é negativo, 
n a
 é negativa (ex: 
283 
) 
 
 
Exemplos 
 
     
           
  reais. números dos conjunto no 25- existe não pois real, nº um é não 25
9/13/127/127/1275/125/125/125
2564646482)4(4
2
3
2233
2
3
2
2
1
2
1
4433
4332
3




 
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Exercícios 
 
36 )1
 
3 64- )2
 52
243
1
- )3






 
 
4) 













3
1
1
5
3
:
5
3
1
64
49
.
7
4
 5) 20
10
2
3
3
2
2
3
4
3
6.32:84



























  
 
 
 
6) 
            3:4:256:49.3322 23 
 
 
 
Respostas 
 
1) 6 2) - 4 3) 9 4) 5/2 5) 2 6) 1 
 
 
2.3 Racionalização 
 
 Racionalizar uma fração consiste em eliminar, através de operações algébricas, o radical 
ou os radicais do denominador. 
 
Existem três casos: 
 
(1) 
a
aN
a
aN
a
a
a
N
a
N ..
.
2

 
 
(2) 
a
aN
a
aN
a
a
a
N
a
N
n xn
n n
n xn
n xn
n xn
n xn x




..
.
 
 
(3) 
 
 
 
 
   
 
ba
baN
ba
baN
ba
ba
ba
N
ba
N











..
.
22
 
 
Exercícios 
 
1. Racionalize: 
(a) 
2
5
 (b) 
12
22

 (c) 
25
4

 (d ) 
35
32

 
 
2. Efetue o produto: 
13
35
.
3
53

 . 
 
3. Simplifique: 
13
13
13
13




 . 
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Respostas 
 
1 . (a) 
2/25
 (c) 
  3/25.4 
 (b) 
2
 
 
(d) 
 315 
 
 
2. 
  3/33.2 
 
 
3. 4 
 
 
 
 
 
3. Valor numérico de expressões algébricas 
 
 
Exercícios 
 
 
Em cada uma das expressões seguintes, substituir x pelo valor dado e calcular o valor da 
correspondente expressão numérica. 
 
1) y = x 
2
 – 2x + 2; x = - 2 
1
3
2
1-x
1
y )3
32














x
x; x = 2 
 
2) y = x 
2
 – 2x + 2; x = 3/5 
ab1
ba
y )4



; a = 2/3 e b = 4/5 
 
Respostas 
 
1) y = 10 2) y = 29/25 3) y = - 62 4) y = 22/7 
 
 
4. Operações com expressões algébricas 
 
4.1 Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão de expressões literais. 
 
 
Exercícios 
 
1) Efetuar as operações indicadas em cada um dos casos seguintes: 
 
a) (3a - 2b + c ) - (- 6a – b – 2c) + (2a + 3b - c ) d) 






 xxx
4
1
21 
5
2 32
 
 
b) a² b.(2a² + ab – b²) 
22
34
yx6
y18x-
 )e

 
 
c) 












 2222
3
1
4
1
103
4
1
yxxyyxxy
 f) 2x
3
y
4
 : (4x²y
3
)
-2 
 
 
 
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2) Efetue as operações indicadas, em que a.b.x.y  0: 
 
2
5
3
43
52
22
xy4
ya7
:
xy6
ba5
.
ba10
y3x
 
 
Respostas 
 
1 a) 11a + 2b + 2c 
c) 
22
4
39
12
35
yx 
 
e) 3x²y 
2) 
ba7
x
4
2 
 
b) 2a
4
b + a³b² -a²b³ d) 352
10
1
5
4
 -
5
2
xxx 
 
 
 f) 32x
7
y
10 
 
 
 
4.2 Produtos notáveis 
 
São produtos que aparecem com muita freqüência na resolução de equações ou no 
desenvolvimento de expressões. 
 
Vejam alguns casos: 
 
 
(1) (a + b)
2
 = (a + b).(a + b) = a
2
 + 2ab + b
2  Trinômio do Quadrado Perfeito de uma Soma 
 
(2) (a - b)
2
 = (a - b).(a - b) a
2
 - 2ab + b
2
  Trinômio do Quadrado Perfeito de uma Diferença 
 
(3) (a + b).(a - b) = a
2
 - b
2
  Diferença de dois Quadrados 
 
Exercícios 
 
1) (x + 2)
2
 3) (x – 1/2)2 5) (3 + x) (3 – x) 7) 
  5x.5x 
 
 
 
2) (7x - 1)
2
 4) 21
2







x
x 
 
6) (2x
2 – 3) (2x2 + 3) 8) 














 x2
x4
.
x2
1
 
 
Respostas 
 
1) x
2 
+ 4x + 4 3) x
2 
- x + 1/4 5) 9 – x2 7) x – 25 
 
2) 49x
2 
- 14x + 1 4) 
2
2
x
1
 1- 
4

x
 
 
6) 4x
4 – 9 
 
8) 1 
 
 
4.3 Fatoração (Expressões Algébricas) 
 
(1) ax + bx = x. (a + b)  Fator Comum 
(2) ax + bx + ay + by = x.(a + b) + y.(a + b) = (a + b). (x + y)  Agrupamento 
(3) x² + Sx + P = (x + a).(x + b)  Trinômio do 2º Grau 
onde S e P representam, respectivamente a soma e o produto de números a e b, ou seja S = a + b 
e P = a.b 
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Exercícios : Fatore.1) 2x + 4y 5) 27x
4
 – 3y2 9) 4x2 - 4xy + y2 
 
2) 6x² + 12x³z – 10x4a 6) x2 + 2x + 1 10) x2 + 7x + 12 
 
3) ax – a – 3x + 3 7) x2 - 8x + 16 11) x2 - 6x + 8 
 
4) 125x
2
 – 5 8) 9x4 – 30x2 + 25 12) x2 + 2x - 8 
 
 
Respostas 
 
1) 2(x
 
+ 2y) 
 
4) 5 (5x – 1) (5x + 1) 7) (x - 4)2 10) (x + 3) (x + 4) 
2) 2x².(3 + 6xz – 5x²a) 
 
5) 3 (3x
2
 – y) (3x2 + y) 8) (3x2 – 5)2 11) (x – 2) (x - 4) 
3) (x – 1).(a - 3) 6) (x + 1)2 9) (2x – y)2 12) (x – 2) (x + 4) 
 
 
 4.4 Simplificação 
 
 
Exercícios : Simplifique. 
 
 
1) 
2a3
ab2
 4) 
4x4x
4x
2
2


 7) 
9x6x
6x5x
2
2


 
 
 
2) 
x28
x4x 2


 5)  
25x
5x
2
2

 8) 232
1
1
1
1
a
a
a
a
a






 
 
 
3) 
x93
x9x27 23

 6) 
9x
9x6x
2
2

 9) 



















4a
1a
.
a2a
aa
 
aa
a2a
2
2
2
2
2
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Cálculo I – FATEC 
11 
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RESPOSTAS 
 
1) 
a3
b2
 
 
4) 
2x
2x


 7) 
3x
2x


 
 
2) 
2
x

 
 
5) 
5x
5x


 
8) - 2 
3) 
2x3
 
 
 
6) 
3x
3x


 
9) 
2a
2a


 
 
 
EXERCÍCIO EXTRA - Encontre o valor de x, onde A, B, C, E, M, O, e T são constantes: 
 
 
 
   BOCx
CTE
B
AM
BOCxB
xBCAM




.
.
 
 
 
 
4.5 Identidades envolvendo Divisão de Polinômio por Polinômio 
 
Antes de iniciarmos a divisão de um polinômio por outro polinômio, daremos algumas 
dicas importantes: 
 
1ª) O polinômio dividendo deve ser colocado na forma geral e em ordem decrescente em relação 
à variável, antes de iniciar a divisão. 
2ª) O grau do polinômio dividendo deverá ser maior ou igual ao grau do divisor. 
3ª) A divisão termina quando o resto for zero (divisão exata), ou quando o resto apresentar grau 
menor que o grau do divisor. 
 
LEMBRETE: 
 
Relação fundamental da divisão 
 
Dividendo divisor  Dividendo = quociente x divisor + resto 
 resto quociente 
 
Exemplo: 13  4  13 = (3 x 4) + 1 
1 3 
 
Vamos mostrar, com exemplos, como se determina o quociente de um polinômio por 
outro. 
 
Observe a seqüência utilizada para dividir o polinômio (34x – 5 + 6x 3 - 24x2) pelo 
polinômio (2x – 4). 
 
1º Passo Escrevemos o polinômio dividendo na ordem decrescente dos graus da variável: 
 
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6x 
3
 - 24x 
2 
+ 34x – 5  2x – 4 
 
 
2º Passo Dividimos o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor, obtendo, 
assim, o primeiro termo do quociente: 
 
 
 6x 
3
 - 24x 
2 
+ 34x – 5  2x – 4 6x 3 : 2x = 3x2 
 3x
2
 
 
3º Passo Multiplicamos o primeiro termo do quociente (3x
2
) pelo divisor (2x – 4 ) e subtraímos 
esse produto do dividendo, obtendo, assim, o primeiro resto: 
 
 
 6x 
3
 - 24x 
2 
+ 34x – 5  2x – 4 3x2. (2x – 4) = 6x 3 - 12x2 
 - 6x 
3
 + 12x 
2 
 3x
2
 
 - 12x 
2 
+ 34x – 5 
 
4º Passo Dividimos, agora, o primeiro termo do resto (- 12x 
2 
) pelo primeiro termo do divisor 
(2x), obtendo, com isso, o segundo termo do quociente: 
 
 
 6x 
3
 - 24x 
2 
+ 34x – 5  2x – 4 (12x 2 ): (2x) = - 6x 
 - 6x 
3
 + 12x 
2 
 3x
2
 – 6x 
 - 12x 
2 
+ 34x – 5 
 
5º Passo Multiplicamos o segundo termo do quociente (- 6x) pelo polinômio divisor (2x – 4 ) e 
subtraímos esse produto do primeiro resto, obtendo, dessa forma, o segundo resto: 
 
 
 6x 
3
 - 24x 
2 
+ 34x – 5  2x – 4 (- 6x) . (2x – 4) = - 12x 2 - 24x 
 - 6x 
3
 + 12x 
2 
 3x
2
 – 6x 
 - 12x 
2 
+ 34x – 5 
 12x 
2 
- 24x . 
 10x – 5 
 
 6º Passo Dividimos, agora, o segundo resto pelo divisor, procedendo da mesma maneira 
utilizada no 4º e 5º passos: 
 6x 
3
 - 24x 
2 
+ 34x – 5  2x – 4 (10x) : (2x) = 5 
 - 6x 
3
 + 12x 
2 
 3x
2
 – 6x + 5 
 - 12x 
2 
+ 34x – 5 
 12x 
2 
- 24x . 
 10x - 5 
 - 10x + 20 
 15 
 
O processo vai se repetindo até que o grau do resto seja menor do divisor, ou esse resto 
seja zero, e aí a divisão é exata. 
 
 No caso do nosso exemplo, o resto é 15  grau zero (15x0), como o divisor 2x – 4 tem 
grau um (2x
1
 – 4), temos grau do resto < grau de divisor e, com isso, encerramos a divisão: 
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Resposta: Quociente (q) = 3x
2
 – 6x + 5 e Resto (r) = 15 
 
 A relação fundamental da divisão é utilizada para verificar se a divisão está correta. 
 
D = q . d + r 
 No exemplo estudado, temos: 
 
6x 
3
 - 24x 
2 
+ 34x – 5 = (3x2 – 6x + 5) . (2x – 4) + 15. 
 
 O processo de divisão exposto fica mais simples quando o divisor é da forma (x – a). 
Nesse caso, usa-se um dispositivo prático, conhecido como dispositivo de Briot-Ruffini, que 
apresentamos através de um exemplo. Para dividir (x + 2x
4
 – 3x2 – 3) por (x – 3), dispomos o 
dividendo em soma de parcelas de potências decrescentes de x, e dispomos as expressões como 
 
na divisão de números, só que agorasó escrevemos os coeficientes (os números que multiplicam 
as potências de x). No caso, o dividendo se escreve (2x
4
 + 0x
3
 – 3x2 + x – 3), os coeficientes 
sendo 2, 0, - 3, 1 e – 3. Dispomos os números como segue: 
 
2 0 - 3 1 - 3  3 
 
 A seguir, baixamos o primeiro coeficiente, 2, isto é, escrevemos 2 abaixo do 2. Daí 
multiplicamos esse número pelo número na chave da divisão, isto é, 3: 2.3 = 6. O número obtido 
é somado ao segundo coeficiente do dividendo: 6 + 0 = 0, e o resultado é escrito abaixo desse 
segundo coeficiente. 
  2.3 + 0 = 6 
 ____________________ 
   
2 0 - 3 1 - 3  3 
 2 6  
  __________________ 
 2.3  
 
 Agora, repetimos o procedimento, começando pelo 6. Multiplicamos 6 pelo número da 
chave 3, e somamos com – 3, obtendo 15, o qual colocamos abaixo do próximo coeficiente do 
dividendo, isto é, abaixo do – 3: 
  6.3 + (-3) = 15 
 _______________ 
   
2 0 - 3 1 - 3  3 
 2 6 15  
 _______________ 
 6.3  
 
 De novo: multiplicamos 15 por 3 e somamos com o coeficiente seguinte 1, para obter 46, 
que colocamos abaixo desse coeficiente. 
  15.3 + 1 = 46 
 ___________ 
   
2 0 - 3 1 - 3  3 
 2 6 15 46  
 ____________ 
 15.3  
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 Finalmente, a última etapa: multiplicamos 46 por 3 e somamos com – 3, obtendo 135, 
que deve ser colocado abaixo do – 3. O número 135 é o resto. Veja como fica o dispositivo: 
 
2 0 - 3 1 - 3  3 
 2 6 15 46 135 
      
 quociente: 2x 3 + 6x 2 + 15x + 46 resto 
 
 
 O quociente é obtido através dos números da segunda linha, exceto o último, 135, que é o 
resto. Deve-se começar com uma potência a menos que a do dividendo. Então o quociente é, 
conforme indicado acima, 2x 
3
 + 6x 
2
 + 15x + 46. Portanto, 
 
2x
4
 – 3x2 + x – 3 = (x – 3).(2x 3 + 6x 2 + 15x + 46) + 135 
 
ou, se x  3, 
 
2x
4
 – 3x2 + x – 3 = (2x 3 + 6x 2 + 15x + 46) + 135 
 x – 3 x - 3 
 
Exercícios 
 
Usando o dispositivo prático, descubra o quociente e o resto de cada divisão: 
 
 
a) (x 5 – 1) por (x – 1) e) (x 5 - 5x 3 + 5x² + 1) por (x2 + 3x + 1) 
 
b) (2x 3 + 3x 2 - 3x – 2) por (x – 1) f) (x 3 - x 2 + 5x + 6) por (x + 3) 
 
c) (x 4 + x 2 + 1) por (x² – 1) g) (2 x 4 - 3x 3 + 16x 2 + 6x - 40) por (4x² - 8) 
 
d) (2x 3 - 9x2 - 3x + 1) por (x² - 5x + 1) h) (x 3 - x 2 + 4x - 6) por (x² - x + 3) 
 
 
 
Respostas 
 
a) q = x 
4
 + x 
3
 + x 
2
 + x + 1e r = 0 e) q = x 
3
 - 3x 
2
 + 3x - 1e r = 2 
 
b) q = 2x
2
 + 5x + 2 e r = 0 f) q = x
2
 - 4x + 17 e r = - 45 
 
c) q = x
2
 + 2 e r = 3 
g) q = 
2
1
x 
2
 - 
4
3
x + 5 e r = 0 
 
d) q = 2x + 1 e r = 0 
 
h) q = x e r = x - 6 
 
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5. Equações do 1º grau 
 
É toda equação do tipo ax + b = 0, com a  IR* e b  IR. Para determinar o conjunto 
solução (S) de uma equação do 1º grau, procedemos assim: 
 
Forma Geral: ax = - b, onde a  0 
 
Solução: x = - b / a , ou seja, S = 







a
b
 
 
Exemplos: Resolva as equações. 
 
1) (x + 1).(x - 1) – 2.(x – 1) = (x – 1)² - 3.(x + 1), para U = IR. 
 
Solução: 
 
(x + 1).(x - 1) – 2.(x – 1) = (x – 1)² - 3.(x + 1)  x² - 1 – 2x + 2 = x² - 2x + 1 – 3x - 3 
 
  3x = 1 – 3 + 1 - 2 
 
 3x = – 3 
 
 x = – 3/3 ou seja, x = - 1 
 
Como -1 IR, então S = { - 1}. 
 
 
2) 
12
x
3
1x2
4
1x




, para U = IR. 
 
Solução: 
 
 
12
x
3
1x2
4
1x




  mmc(4,3,12) = 12 
 
12
x
12
)1x2.(4)1x.(3


  3.(x - 1) – 4.(2x – 1) = x 
 
  3x - 3 – 8x + 4 = x 
 
  3x – 8x - x = 3 – 4 
 
  - 6x = – 1 
 
  x = – 1/- 6 ou seja, x = 1/6 
 
Como 1/6  IR, então S = { 1/6}. 
 
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3) 
18x2
3
9x6x
4
9x
5
222 




, para U = IR - {- 3, 3}. 
 
Solução: 
 
18x2
3
9x6x
4
9x
5
222 




 
 
Determinando o mmc dos denominadores, temos, 
 
x² - 9 = (x + 3).(x – 3) 
x² - 6x + 9 = (x – 3)² 
2x² - 18 = 2.(x² – 9) = 2. (x + 3).(x – 3) 
 
mmc(x² - 9, x² - 6x + 9, 2x² - 18) 
 
Assim: 
 
22 )3x).(3x(2
)3x(3
)3x).(3x(2
)3x.(2.4)3x.(2.5





  10.(x - 3) – 8.(x + 3) = 3.(x-3) 
 
  10x - 30 – 8x - 24 = 3x - 9 
 
  10x – 8x – 3x = 24 – 9 + 30 
 
  - x = 45 ou seja, x = - 45 
 
Como -45  IR - {- 3, 3}, então S = { - 45}. 
 
 
Exercícios 
 
1) Resolver cada uma das equações seguintes: 
 
a) 5(3x – 1) – 4.(2 – 4x) = 2.(x – 4) 
 
 
b) 2x² + x.(x + 2) – (x + 3).(x – 3) = 2.(x + 1)² 
 
 
c) 
3
2x
2
1x2
4
1 



 
 
d) 
x6x6
x
1x
x2
6
5
x
1x
2
2




 , (x  - 1 e x  0) 
 
2) Um táxi inicia uma corrida marcando R$ 4,00 no taxímetro. Sabendo que cada quilômetro 
rodado custa R$ 3,00 e que o total da corrida ficou em R$ 52,00, calcule quantos quilômetros 
foram percorridos. 
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3) Determineo número cujo dobro subtraído de 20 unidades é igual à sua metade adicionada de 
10 unidades. 
 
4) Determine as dimensões de um retângulo, sabendo que seu perímetro mede 90 m e que a 
medida de um lado é o dobro da medida do outro. 
 
Respostas 
 
1) a) 5/29 b) 7/2 c) 1/16 d) 6/5 2) 16km 3) 20 
 
4) 15 e 30 
 
 
6. Inequação do 1º grau 
 
Chama-se de inequação do 1º grau a toda sentença aberta do tipo ax + b > 0 ou ax + b  0 
ou ax + b < 0 ou ax + b  0, onde a  IR* e b IR. 
 
 
Exemplos 
 
1) 2x – 4 > 0  2x > 4  x > 4/2  x > 2, ou seja, S = {x IR x > 2} 
 
2) - 5x - 10  0  - 5x  10  5x  - 10  x  - 2, ou seja, S = {x IR  x  - 2} 
 
 
Exercícios 
 
Resolver as inequações seguintes: 
1) 3x – 6 < 0 3) 
1
3
x2
5
1x2




 
 
2) – x + 3  x + 3 4) 
3
1x5
10
13x3
4
1x5 




 
 
Respostas 
 
1) {x IR x < 2} 2) {x IR x  0} 3) {x IR x > 2} 4) {x IR x < 1} 
 
 
7. Equações do 2º grau 
 
É toda equação do tipo ax
2
 + bx + c = 0, com a  IR*, b IR e c  IR. 
 
As raízes (soluções) desta equação são obtidas a partir da fórmula 
 
 
a
b
x
2


, com  = 
ac4b2 
 
 
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 Conforme o valor do 
acb 42 
, têm-se as seguintes possibilidades quanto à natureza 
das raízes da equação ax
2
 + bx + c = 0: 
 
 > 0  Existem duas raízes reais e que são distintas. 
 
 = 0  Existem duas raízes reais e que são iguais. 
 
 < 0  Existem duas raízes que são imaginárias. 
 
 
Observações: 
 
 As equações incompletas que são da forma 
 
ax
2
 + bx = 0 
podem ser resolvidas por fatoração. 
 
 As equações incompletas que são da forma 
 
ax
2
 + c = 0 
podem ser resolvidas isolando-se o x. 
 
 
Propriedades das Raízes 
 
 Soma das Raízes  
a
b
xxS  21
 
 
 Produto das Raízes  
a
c
xxP  21.
 
 
 Equação a partir das Raízes  
02  PSxx
 
 
 
 Teorema da Decomposição  
)xx).(xx.(acbxax 21
2 
 
 
Exemplos 
 
1) 4x
2
 - 10x = 0  x.(4x – 10) = 0  





 0104x
0x
  





 104x
0x
  





 5/2x
0x
 
 
 
2) 4x
2
 - 16 = 0  4x2 = 16  x2 = 16 / 4  x2 = 4  x = 
4
  x =  2 
 
 
 
3) x
2
 - 7x + 12 = 0 
 
 
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







 12 c
-7b
1a
  
142  acb
  
a2
b
x


=
2
17
1.2
1)7( 

  










 3
2
1 -7
x
4
2
17
x
 
 
 
4) 
1
3x
1
9x
4x
2





  
1
1
3x
1
)3x).(3x(
4x





 
 
 
  
 
)3x).(3x(
)3x).(3x.(1)3x.(1
)3x).(3x(
4x





 
 
 x – 4 = x + 3 – (x² - 9) 
 
  x – 4 = x + 3 – x² + 9 
 
 x² = 3 + 9 + 4 
 
 x² = 16, ou seja, x =  4. 
 
Como esses valores pertencem ao conjunto dos números reais e não anulam o 
denominador, S = { - 4, 4}. 
 
 
Exercícios: 
 
 
1) Resolva as seguintes equações do 2º grau: 
 
a) x
2
 + 2x - 3 = 0 c) 5x
2
 + 4x + 1 = 0 e)
2x1
2
1
1x
1



 
 
b) (x + 1)
2
 = 2.(x + 1) d) 8x
2
 – x =0 f)
1x
x5
2x2
12x
1x
3
2 





 
 
2) A área de um triângulo é igual a 24 cm². Sabendo que as medidas da base e da altura desse 
triângulo são respectivamente números pares consecutivos, determine seus valores. 
 
 
Respostas 
 
1) a. {-3, 1} c. { } =  e. { } =  
 
2) base = 6 cm 
 altura = 8 cm 
 
 b. {-1, 1} d. {0, 1/8} f. x = 1/2; x = 6/5 
 
 
 
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8. Sinal do trinômio do 2º grau 
 
y = ax
2
 + bx + c 
 
 
 Se  > 0, a equação tem duas raízes reais distintas. 
 
 Se  = 0, a equação tem duas raízes reais e iguais. 
 
 Se  < 0, a equação não tem raízes reais. 
 
Exemplos 
 
1) y = x
2
 - 7x + 12 








 12 c
-7b
1a
  
acb 42 
= 1  x =
2
17
1.2
1)7( 

  










 3
2
1 -7
x
4
2
17
x
 
 Como a > 0 temos: 
 +    + 
 
 3 4 x 
 
2) y = - x
2
 + 7x - 10 








10 c
7b
1a
  
acb 42 
= 9  x =
2
37
)1.(2
97





  










 5
2-
3 -7-
x
2
2-
37-
x
 
 Como a < 0 temos: 
 -  +  - 
 
 2 5 x 
3) y = 4x
2
 
 








0 c
0b
4a
  
acb 42 
= 0  sinal (y) = sinal (a) para todo x  0. 
 Como a > 0 temos: 
 +  + 
 0 x 
4) y = x
2
 + x + 1 








1 c
1b
1a
  
acb 42 
= - 3  sinal (y) = sinal (A) 
 Como a > 0 temos: 
 + + + + + + + + + + 
 
 x 
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Exercícios 
 
Estude o sinal das seguintes equações: 
 
1) y = x
2
 – 5x + 6 3) y = 9x2 
 
2) y = - x
2
 + 6x - ¨9 4) y = 5 x
2
 + 1 
 
 
9. Inequações do 2º grau 
 
 
 Chama-se inequação do 2º grau a toda sentença aberta do tipo ax
2
 + bx + c > 0 ou 
ax
2
 + bx + c  0, ou ax2 + bx + c < 0 ou ax2 + bx + c  0, com a  IR* e b IR e c IR. 
 
 Resolver, em IR, uma inequação do 2º grau “do tipo” ax2 + bx + c > 0 (a  0) é 
determinar o conjunto de todos os valores da variável x para os quais o gráfico de f(x) = ax
2
 + bx 
+ c se encontra acima do eixo x. 
 
Resolva as seguintes inequações do 2º grau: 
 
1) x
2
 – 5x + 6  0 3) x2 – 16 > 0 
 
2) x
2
 - 2x - 15  0 4) x2 < 2x – 1 
 
 
 
Respostas 
 
1. S = { x  IR / 2  x  3} 2. S = { x  IR / x  - 3 ou x  5} 
 
3. S = { x  IR / x < - 4 ou x > 4} 4. S = { } = vazio 
 
 
 
10. Funções 
 
10.1 Definição 
 
Dadosdois conjuntos A e B, chama-se função f: A  B a toda relação na qual, para todo 
elemento de A, existe um único correspondente em B. 
 
 f : A  B 
 x  y = f (x) 
 
 
 
 
 
 
 
 x 
 
 y 
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10.2 Domínio, Imagem e Contradomínio 
 
Sendo a função f: A  B, o conjunto B é chamado de contradomínio da função f, e o 
conjunto formado pelos elementos de B, que estão relacionados através de f com elementos do 
conjunto A, é chamado conjunto imagem. 
 
 
Exemplos f 
 A  B 
 
 
 
 
 
 
 
 
f: A  B 
Domínio: D(f) = A = {-1, -2, 1, 2, 3} 
Imagem: Im(f) = {0, -1, -2, 3, 4} 
Contradomínio: CD(f) = B = {0, -1, -2, 3, 4, 5, 8} 
 
 
Exemplo: Seja D(f) = IR. A correspondência x  x2 + 4 define em IR a função f tal que 
f(x) = x
2
 + 4. Assim, 
 
 
f (- 1) = (- 1)
2
 + 4 = 5; f(0) = (0)
2
 + 4 = 4; f(2) = (2)
2
 + 4 = 8. 
 
 
Exercícios 
 
1) Sendo f(x) = - x
2
 + 3x – 2 definida de IR em IR determine: 
 
 
a) f(0) b) f(2) c) f(-1) d) f(2/3) e) f(
2
) 
 
 
2) Dada a função f de IR em IR definida por f(x) = x
3
 – x, determine f(2) + f(-2). 
 
 
Respostas 
 
1) a) - 2 
 
b) 0 
 
c) - 6 
 
d) - 4/9 
 
e) - 4 + 3
2
 
 
2) 0 
 
 
 
-1  
- 2  
 1  
 2  
 3  
 0 
 - 1 
 - 2  5 
 3 
 4  8 
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10.3 Tipos de Funções 
 
 
 10.3.1 Função Constante 
 
 
Uma função f: IR  IR é denominada de função constante quando definida por uma 
sentença do tipo y = f(x) = k, onde k é um número real. 
 
 
Exemplo : f(x) = 3 
 
 
10.3.1.1 Gráfico de uma Função Constante 
 
 
O gráfico de uma função constante, y = f(x) = k, será uma reta paralela ao eixo das 
abscissas, ou seja, 
 y 
 
 k f(x) = k 
 
 x 
 
 
 
10.3.2 Função do 1º Grau 
 
Função do 1º grau, ou função afim, é aquela que associa a todo número real x, um outro 
real y, tal que y = f(x) = ax + b, onde a, b  IR (a  0). 
 
 
Exemplo : f(x) = 2x – 5 
 
 
10.3.2.1 Gráfico de uma Função do 1º Grau 
 
 
O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta não paralela ao eixo das abscissas. 
 
Graficamente, existem duas situações a considerar: 
 
- 1º Caso: Função Crescente (a > 0) 
 
 y 
 
 f(x) = ax + b 
 
 x 
 
 
 
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- 2º Caso: Função Decrescente (a < 0) 
 
 y 
 
 f(x) = ax + b 
 
 x 
 
 
Exemplo: 
 
 f(x) = 2x – 7 (a = 2 > 0: crescente) 
 
 f(x) = - 4x + 1 (a = - 4 < 0: decrescente) 
 
 
 
10.3.3 Função do 2º Grau 
 
 
Uma função f: IR  IR é denominada de função do 2º grau ou função quadrática, quando 
associada a todo número real x, um outro número real y, tal que y = f(x) = ax
2
 + bx + c onde a, b 
e c  IR (a  0). 
 
 
Exemplo : f(x) = 7x2 – 4x – 1 
 
 
 
10.3.3.1 Gráfico de uma Função do 2º Grau 
 
 
O gráfico de uma função do 2º grau é uma parábola no plano cartesiano. 
 
Graficamente, existem duas situações a considerar: 
 
 
- 1º Caso: a > 0 (Concavidade voltada para cima) 
 
 y 
 f(x) = ax
2
 + bx + c 
 
 x 
 
 
 
 
 
Exemplo: f(x) = 2x2 + 7x – 6 
 
 
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- 2º Caso: a < 0 (Concavidade voltada para baixo) 
 
 y 
 
 f(x) = ax
2
 + bx + c 
 
 x 
 
 
 
Exemplo: f(x) = - x2 + 7x – 5 
 
 
 
 
10.3.3.2 Zeros da Função do 2º Grau 
 
 
São os valores da variável x para os quais a função se anula, ou seja, f(x) = ax2 + bx + c = 0. 
 
 Graficamente são os pontos de intersecção da parábola com o eixo das abscissas. 
 
 
 
 
 
Observação: A intersecção da parábola de equação y = ax
2
 + bx + c com o eixo das ordenadas é 
o ponto de coordenadas (0, c). 
 
 
 
 10.3.3.3 Vértice da Parábola 
 
 É o ponto externo de uma função do 2º grau da forma y = f(x) = ax
2
 + bx + c. 
 Se a concavidade é voltada para cima, o vértice representa um ponto de mínimo da 
função. 
 Se a concavidade é voltada para baixo, o vértice representa um ponto de máximo da 
função. 
 
 
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10.3.3.4 Coordenadas do Vértice 
 
 As coordenadas do vértice da parábola obtidas através da função do 2º grau 
y = ax
2
 + bx + c é (xv , yv ), onde 
 
xv = - b / 2a e yv = -  / 4a  





 

a
b
4
,
2a
V
 
 
 
Exemplo: y = f(x) = - 2x2 + 6x – 1 
 
 
xv = - b / 2a  xv = - 6 / 2.(- 2)  xv = - 6 / - 4  xv = 3 / 2 
 
e 
 
yv = -  / 4a  yv = - (b
2 – 4ac) / 4a  yv = - [6
2 – 4.(- 2). (- 1)]/ 4. (- 2)  yv = 7 /2 
 
 
 







2
7
,
2
3
V
 
 
Observação: 
 
 O yv pode ser calculado a partir do valor do xv , ou seja, yv = f (xv ). 
 
 
 
10.3.4 Função Modular 
 
 
A função f definida em IR e dada por y = 
x
 recebe o nome de função valor absoluto 
ou função módulo. Considerando que 
 






0 x se ,
0 x se ,
x
x
x
 
 
resulta que o gráfico de y = 
x
é formado por duas semi-retas que partem da origem, conforme 
a figura seguinte. 
 
 y 
 
 
 
 
 
 x 
 
 
Apostila de Cálculo I – FATEC 
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Exercícios 
 
Representar graficamente as seguintes funções: 
 
a) y = 3 b) y = 3x + 1 c) y = - 3x + 2 
 
d) y = 
x
 e) y =1x 
 f) y = x
2
 - 2x + 1 
 
g) y = - x
2
 + 6x – 8 h) y = - 2x3 + 4, x  [0,2] i) y = x - 1 
 
j) y = 






0 x se x1
0 x se x
2
2 k) y = 








2 x se 2
2 x 0 se x
0 x se 2x3
2 
 
 
10.3.5 Função Exponencial 
 
 A toda função do tipo f(x) = a
x 
( a > 0, a  1) chamamos de função exponencial. 
 
Observação: 
 
 
 O gráfico de uma função exponencial é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1. 
 
 y y 
 
 
 
 1 1 
 
 
 x x 
 
 a > 1 0 < a < 1. 
 
 
 
 
10.3.6 Função Logarítmica 
 
 
 A toda função logarítmica, definida de IR
*
+ em IR é dada por: 
 
f(x) = log a x, a > 0 e a  1  a
f (x) 
= x. 
 
Observações: 
 
1) A função logarítmica é, portanto, a inversa da função exponencial. 
 
2) Listemos as propriedades básicas do logaritmo: 
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Sendo a > 0, b > 0 e b  1, c > 0 e IR, então: 
 
 
P1) log b (a . c) = log b a + log b c P4) log b a = log c a / log c b (c  1) 
 
P2) log b (a / c) = log b a - log b c P5) b 
log
b
a
 = a 
 
P3) log b (a

) = .log b a 
 
 
 
3) O gráfico é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1. 
 
 y y 
 
 
 
 
 
 1 1 
 x x 
 
 
 a > 1 0 < a < 1. 
 
 
10.3.7 Funções Trigonométricas 
 
 
Definição 1: Denominamos de circunferência trigonométrica a circunferência de centro na 
origem do plano cartesiano, de raio unitário e cujos arcos têm origem no ponto A(1, 0), com 
sentido anti-horário positivo. 
 
 y 
 
 
 
 A(1,0) 
 x 
 
 
 
 
Definição 2: Considere na circunferência trigonométrica um arco de medida x, com origem em 
A e extremamente em P. Então, por definição: 
 
a) seno de x é a ordenada do ponto P 
b) cosseno de x é a abscissa do ponto P 
c) tangente de x é a ordenada do ponto T, intersecção da reta OP com o eixo tangente à 
circunferência pelo ponto A. 
 
 
 
 
 0 
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 y 
 T 
 
 P 
 A 
 x 
 
 
 
 
Definição 3: Definimos as principais funções trigonométricas da seguinte forma: 
 
 
a) Função seno: f : IR  IR, f(x) = senx 
b) Função cosseno: f : IR  IR, f(x) = cosx 
c) Função tangente: f : IR – {/2 + h, h  Z}  IR, f(x) = tgx 
 
 
As outras funções trigonométricas são definidas pelas relações 
 
 
 
tgx
1
 
senx
cosx
 cotgx 
, 
 
cosx
1
 secx 
, 
 
senx
1
 cossecx 
 
 
 
 
Exercício Usando a calculadora científica, calcule: 
 
 
a) sen 90º d) cos 90º e) tg 45º 
 
b) sen 0º e) cos 60º f) tg 0º 
 
c) sen 270º f) cos 120º g) tg 60º 
 
 
 
Respostas 
 
a) 1 d) 0 g) 1 
 
b) 0 e) 0,5 h) 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 
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10.3.8 Funções Trigonométricas Inversas 
 
 
Definição: Define-se: 
 
a) Função Arco-seno: f : [-1,1]  [- /2, /2 ], f(x) = arc senx 
 
b) Função Arco-cosseno: f : [-1,1]  [ 0,  ], f(x) = arc cosx 
 
c) Função Arco-tangente: f : IR [- /2, /2 ], f(x) = arctgx 
 
 
Exercício 
 
Usando a calculadora científica, calcule: 
 
a) arc sen 1 d) arc cos 0 h) arc tg 1 
 
b) arc sen 0 e) arc cos (1/2) i) arc tg 0 
 
c) arc sen ( - 1) f) arc cos ( - 1/2) j) arc tg 3 
 
 
 
 
Respostas 
 
a) x = 90º d) x = 90º g) x = 45º 
 
b) x = 0º e) x = 60º h) x = 0º 
 
c) x = - 90º ou x = 270º f) x = 120º ou x = 240º i) x = 60º 
 
 
 
 
FINAL DA REVISÃO! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Cálculo I – FATEC 
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11. Introdução à Diferenciação 
 
 11.1 Introdução 
 
 Enquanto os tópicos de álgebra, trigonometria e geometria são de importância 
fundamental para o matemático e o técnico, uma grande variedade de problemas técnicos não 
pode ser resolvida utilizando apenas estes conceitos de matemática. Muitos problemas podem ser 
resolvidos utilizando apenas métodos do cálculo. A partir do século dezessete, os cientistas 
sentiram a necessidade de novas técnicas matemáticas. Queriam estudar o movimento de 
projéteis, o movimento da lua e dos planetas e o movimento da luz. Cientistas, como Isaac 
Newton, começaram a desenvolver um novo ramo da Matemática para resolver os problemas 
que envolviam movimento. Este novo ramo da Matemática tornou-se conhecido como o cálculo. 
Atualmente, o cálculo originou um grande desenvolvimento da Matemática. Enquanto o cálculo 
começou com o estudo do movimento, a sua utilidade pode atualmente ser observada em muitas 
variedades de áreas técnicas. 
 
 11.2 O Problema do Movimento 
 
 Resumidamente, o problema do movimento pode ser encarado como o problema da 
determinação da velocidade e direção de um objeto móvel no espaço, num dado instante. Você 
está familiarizado com a determinação da velocidade média de um objeto em movimento. Por 
exemplo, se numa viagem você dirigir 150km em 3 horas (h), então, dividindo 150km por 3 h 
determina que dirigiu em média 50km/h. Isto não lhe indica exatamente à distância percorrida 1 
h e 32 minutos (min) após ter começado a viagem. Você pode ter parado num sinal de trânsito ou 
pode ter viajado a 55km/h. 
 
 Na tentativa de resolver matematicamente este problema, suponhamos que podemos 
descrever a distância percorrida por um objeto como uma função do tempo. Isto é, em cadaponto no tempo t podemos associar um número s representando a distância percorrida pelo 
objeto. Por exemplo, s = 2t + 1 é uma função que descreve o movimento de um objeto que se 
move ao longo de uma reta em termos do tempo t. Se t for medido em segundos (seg) e s em 
metros (m), então após 2 seg, o objeto está em s = 2. 2 + 1 = 5 m ao longo da linha de 
movimento. Três segundos mais tarde, t = 2 + 3, o objeto moveu-se de s = 2 (2 + 3) + 1 = 2.5 + 1 
= 11 m ao longo da linha de movimento. 
 
 t = 2 t = 5 
 
 0 5 11 x 
 
 A velocidade média vméd de um objeto em movimento é a razão entre a distância 
percorrida por um objeto e o tempo gasto para percorrer essa distância. No exemplo anterior, a 
distância percorrida pelo objeto é 11m - 5m = 6m. Percorreu esta distância em 3 seg. A 
velocidade média ao longo deste período de tempo é, então, 
 
segm
seg
m
vméd /2
3
6

. 
 
 Neste ponto é vantajoso introduzir um novo símbolo matemático. Quando quisermos 
indicar uma variação entre dois valores de uma variável utilizaremos a letra grega . Nesta seção 
t (ler “delta t”) representa a variação em tempo t e s (leia “delta s”) representa a variação em 
distância s. No exemplo anterior, t = 3 seg. Está é a variação em tempo necessário para o objeto 
ir de 5m a 11m ao longo da linha de movimento. A variação em distância para este intervalo de 
Apostila de Cálculo I – FATEC 
32 
Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido 
 
tempo t = 3 seg é s = 11m – 5m = 6m. Utilizando esta notação podemos escrever agora 
 
t
s
vméd



. 
 
 Relembrar da álgebra que uma função é um conjunto de pares ordenados, dois dos quais 
não tem o mesmo primeiro elemento. Isto agora é útil para introduzir uma notação especial, 
chamada notação funcional, para representar uma relação funcional. Por exemplo, a função 
y = x
2
 + 3 é escrita f(x) = x
2
 + 3 usando a notação funcional. O símbolo f(x), ler “f de x”, é 
utilizado para representar o número y que corresponde a um número x na relação funcional dada. 
Isto é, f(x) = y ou, como neste caso, f(x) = x
2
 + 3. A tabela embaixo apresenta f(x) para vários 
valores de x. 
 
x f(x) = x
2
 + 3 
- 3 f (- 3) = (-3)2 + 3 = 12 
0 f (0) = (0)2 + 3 = 3 
1 f (1) = (1)2 + 3 = 4 
2 f (2) = (2)2 + 3 = 7 
h f (h) = (h)2 + 3 = h2 + 3 
3t f (3t) = (3t)2 + 3 = 9t2 + 3 
1 + x f (1 + x) = (1 + x)2 + 3 = 1 + 2x + (x)2 + 3 = 4 + 2x + (x)2 
 
 A utilização do símbolo f(x) é útil já que podemos utilizar f(x) para representar o número 
correspondente a x na relação funcional sem ter de determinar exatamente o número, como foi 
feito na tabela anterior. Por exemplo, f(3) representa o número correspondente a x = 3 sem 
nenhuma relação funcional dada. Por esta razão, f(x) é muitas vezes chamado o valor da função 
em x. 
 
Exemplo 1. Escrever em notação funcional que relaciona cada número x com seu cubo menos 2. 
 
 A relação é y = x
3
 – 2. Utilizando o símbolo f para representar esta função, escrevemos: 
 
f (x) = x
3
 – 2. 
 
Exemplo 2. Determinar o valor da função f(x) = x
3
 – 2 para x = - 2 e para x = 2 + x. 
 
f(- 2) = (- 2)
3
 – 2 = - 8 – 2 = - 10 
e 
 f(2 + x.) = (2 + x)3 – 2 = (2)3 + 3. (2)2.x + 3.2. (x )2 + (x )3 - 2 
 = 8 + 12.x + 6. (x )2 + (x )3 - 2 
 = 6 + 12.x + 6. (x )2 + (x )3 
 
Exemplo 3. Calcular a função g(x) =
32 x
para x =3. 
 
g(3) =
393633.2 
. 
 
Apostila de Cálculo I – FATEC 
33 
Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido 
 
Exemplo 4. Calcular a função f(x) = x
2
 – 5 para x = h + 2. 
 
f(h + 2) = (h + 2)
2
 – 5 
 = (h)
2
 + 2. h.2 + (2)
2
 – 5 
 = h
2
 + 4.h + 4 – 5 
 = h
2
 + 4h – 1 
 
 No primeiro exemplo consideramos um objeto movendo-se ao longo de uma linha reta de 
acordo com a função s = 2t + 1. Podemos agora escrever isto em notação funcional: 
s(t) = 2t + 1. 
 
 Relembramos que s é a variação na distância s e t é a variação no tempo t. Então, 
utilizando nossa notação funcional, 
s = s(2 + t) – s(2) 
 = s(2 + 3) – s(2) 
 = s(5) – s(2) 
 = [ 2.5 + 1] – [ 2.2 + 1] 
 = 11 – 5 
 = 6m. 
 
Portanto, a velocidade média durante este período de tempo é 
 
segm
seg
m
t
sts
t
s
vméd /2
3
6)2()2(







 
 
como determinamos anteriormente. 
 
 Em geral, a distância percorrida por um objeto do tempo t ao tempo t + t é dada em 
notação funcional por 
s = s(t + t) – s(t). 
 
A velocidade média deste objeto ao longo da variação em tempo t é então 
 
t
tstts
t
s
vméd






)()(
. 
 
Exemplo 5. Dado que s = t 
2
 – 1 descreve o movimento de um objeto movendo-se ao longo de 
uma reta, onde s é medido em pés; (a) determinar s e vméd ; (b) determinar v méd após 3 seg de 
viagem; e (c) determinar v méd de 4 seg de viagem até 7 seg de viagem. 
(a) 
 s = s(t + t) – s(t) 
 = [(t + t)2 – 1] - (t2 – 1) 
 = [t
2
 + 2.t.(t) + (t)2 – 1] - t2 + 1 
Apostila de Cálculo I – FATEC 
34 
Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido 
 
 = t
2
 + 2.t.(t) + (t)2 – 1 - t2 + 1 
 = 2.t.(t) + (t)2 
 
)(.2
)](.2.[
)().(.2 2
tt
t
ttt
t
ttt
t
s
vméd










 
 
(b) t = 3 seg, assim de (a) temos: 
 
./)32(
.2
segpést
ttvméd

 
 
(c) O tempo no qual começamos a medir a distância percorrida s é t = 4s. Portanto, 
 
 
t = 7 – 4 = 3 seg. 
 De (a) temos 
./11
34.2
.2
segpés
ttvméd



 
 
Você deve agora verificar que este é o mesmo número que obteríamos calculando: 
 
 
gasto tempo
percorrida distância
3
)4()34(



ss
vméd
 
 
 
Do exemplo 5 vemos que para calcular v méd = (s/t) precisamos saber o tempo t no qual 
começamos a medir a velocidade v méd assim como a variação em tempo t. Notar que ambos, t 
e t, podem tomar valores negativos. Se considerarmos t = -1, então s(t + (-1)) representa a 
posição do objeto 1 segundo antes de alcançar a posição s(t). 
 
Notar também que a utilização da notação funcional, como a do próprio conceito de 
função, serão largamente, enfatizadas na matéria em questão. O desenvolvimento do cálculo 
depende amplamente deste conceito. 
 
 
11.3 Velocidade Instantânea 
 
Podemos agora começar a “resolver” o problema da determinação das velocidades 
instantâneas. Considerar o movimento de um objeto movendo-se ao longo de uma linha reta e 
descrita por s(t) = 3t
2
 + 1, com s medido em pés. Tentaremos agora determinar a velocidade 
“instantânea” exatamente após 2 seg de percurso. 
Apostila de Cálculo I – FATEC 
35 
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tempo em variação
distância em variação
t
sts
vméd 



)2()2(     
Δt
123.1Δt23. 22 

 
    
Δt
Δt3.Δt12. 2

 
 
 
 
t312
Δt
].Δ.Δt3.[12



 
 
 
 Portanto, por exemplo, com uma variação em tempo 
Δt
 = 4 seg, a velocidade média é 
12 + 3. (4) = 24 pés/ seg. Façamos agora uma tabela de vméd para diferentes valores de Δt : 
 
 
Δt
 v méd 
4,0 24,0 
2,0 18,0 
1,0 15,0 
0,5 13,5 
0,1 12,3 
0,001 12,003 
- 0,001 11,997 
- 0,5 10,5 
- 2,0 6,0 
 
 Por esta tabela podemos observar que, quanto mais t se aproxima de 0, mais perto v méd 
está de 12 pés/seg. À medida que diminuirmos o intervalo de tempo deveremos esperar que a 
velocidade média se aproxime mais da velocidade instantânea do objeto em 2 seg. Isto é, 
v méd = 12,3 pés/seg após 0,1 seg de percurso (após a referência de 2 seg) é uma melhor 
aproximação, então v méd = 24,0 pés/seg após 4 seg de percurso (após a referência de 2 seg). 
Observando esta tabela somos então levados a acreditar que a velocidade instantânea no tempo 
t = 2 seg deve ser 12 pés/seg. Este é o processo que usaremos para “resolver” o problema do 
movimento. 
 
 
 Para determinar a velocidade instantânea de um objeto em movimento num dado tempo t: 
 
 
1. Determinar 
Δt
Δs
Δt
s(t)Δt)s(t
vméd 


 
 
onde s(t) descreve o movimento do objeto como uma função do tempo. 
 
2. Observar a que número se houver algum, se aproxima v méd em valor quando os valores 
de t se aproximam de 0 (zero). Se você for capaz de determinar tal número, poderá 
chamar-lhe a velocidade instantânea v. 
 
Apostila de Cálculo I – FATEC 
36 
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Exemplo 1. Determinar a velocidade instantânea de um objeto que se move de acordo com 
 s(t) = 5t
2
 – 4 com t = 3 seg. 
Passo 1. 
t
sts
vméd



)3()3(
 
 
 
     
Δt
435.4Δt35.
22


 
 
   
Δt
Δt5.Δt30.
2


 
 
 
 
t530
Δt
t]Δt5.[30



 
 
Passo 2. Vemos que à medida que t se aproxima (fica perto) de 0, v méd se aproxima de 30. 
 Concluímos que 
 
v = 30 pés/ seg. 
 
 
Nota: Tenta-se, para simplificar, substituir t = 0 por v méd. Isto seria uma tentativa para calcular 
uma velocidade média durante uma variação de tempo de 0 seg. Isto nos dá o intervalo de tempo 
nulo durante o qual podemos fazer a média! Seríamos tentados a dividir por zero, o que é 
indefinido. 
 
!!!!!!!!
0
0
0
)3()03(

 ss
 
 
 Como no Exemplo 1, devemos encontrar uma maneira para simplificar a expressão de 
vméd para que t não permaneça no denominador. Só então podemos começar a ver a qual 
número v méd tende quando t tende para 0. 
 
 
Exemplo 2. Determinar v em t = 2 quando s(t) = 1/ t. 
 
Passo 1. 
)2(2
1
Δt
)2(2
Δt
)2(2
)2(2
)2()2(
t
t
t
t
t
t
sts
vméd












 
 
 
Passo 2. À medida que t tende para 0, v méd tende para – 1/ 4. Assim v = - 1/ 4. 
Apostila de Cálculo I – FATEC 
37 
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11.4 Limite 
 
O processo que desenvolvemos para “resolver” o problema do movimento foi 
considerado como sendo de grande utilidade em outras aplicações. À técnica utilizada foi dado o 
nome de “o processo limite”. 
 
Dada qualquer função, podemos observar se os valores funcionais tendem para algum 
número quando o valor da variável tende para um número específico. 
 
 
Exemplo 1. Consideremos f (x) = x
2
 – 3x + 2. Para que número se houver algum, tende 
f (x) quando x tende para – 1? 
 
 Como x
2
 tende para (-1)
2
 = 1 quando x tende para –1 e – 3x tende para (- 3) . (- 1) = 3 
quando x tende para – 1, concluímos que f (x) = x2 – 3x + 2 tende para 1 + 3 + 2 = 6 quando x 
tende para – 1. 
 
 Os matemáticos utilizam símbolos para descrever este processo limite mais 
resumidamente. O símbolo ““ significa “tender”; portanto, x tende para – 1. Deverá escrever-
se x  - 1. 
 
 Se f(x)  L quando x  a, então L é chamado o “limite da função quando x  a”. Este 
processo é escrito como 
Lxf
ax


)(lim
 
 
e lê-se “ o limite de f de x quando x tende para a igual a L”. A expressão no Exemplo 1 deveria 
ser escrita 
  623lim 2
1


xx
x
. 
 
 “O limite descreve o comportamento de uma função perto de um ponto, não no ponto.” 
 
Exemplo 2. Determinar 
.
3
9
lim
2
3 









 x
x
x
 
 
 Quando x  3, o denominador tende para 0. Não podemos dividir por zero. No entanto, 
 
).3(
3
)3).(3(
3
92






x
x
xx
x
x 
 
 No processo limite não estamos preocupados com o que acontece quando x = 3, mas 
apenas o que acontece quando x  3. Quando x  3, x + 3  6. Portanto 
 
.6)3(lim
3
9
lim
3
2
3












x
x
x
xx
 
 Notar que no Exemplo 2 podemos ainda perguntar qual o limite de f(x) = 
3
92


x
x quando 
x  3 mesmo que a função não seja definida para x = 3. No entanto, veremos agora que nem 
sempre existem limites. 
Apostila de Cálculo I – FATEC 
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Exemplo 3. Determinar 
.5lim
0


x
x
 
 
 Como não podemos obter um número real quando calculamos a raiz quadrada de um 
número negativo, a função 
5xf(x) 
 não pode ser calculada para x inferior a 5. É impossível 
então observar os valores de
5x 
 quando x toma valores perto de 0 (porque a quantidade 
x – 5 será negativa). 
 
 Concluímos que 
5lim
0


x
x
 não existe. 
 
 Algumas vezes uma função tende para um limitado número L quando x  ; isto é, a 
função tende para L quando x não tem limite. 
 
 
Exemplo 4. Determinar 
.
1
lim 





 xx
 
 
 Como o denominador x  , a função (1/x) tende para 0. Portanto, 
 
.0
1
lim 





 xx
 
 
 
Exemplo 5. Determinar 
.
37
2
lim
2
2










 x
xx
x
 
 
 Como x  , tanto o numerador como o denominador tende separadamente para . No 
entanto, se dividirmos o numerador e o denominador pela maior potência de x no denominador, 
x
2
, teremos 
2
3
7
1
2
x
x


 
 
.
7
2
07
02
3
7
1
2
lim
37
2
lim
2
2
2






























x
x
x
xx
xx
 
 
Nota: 
 xquando
x
e
x
0
3
0
1
2
. 
 
 
OBS: A determinação da velocidade instantânea é uma aplicação do processo limite. 
 
Apostila de Cálculo I – FATEC 
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Exemplo 6. Determinar a velocidade instantânea v para t = 3 quando s(t) = t ² - 7. 
 
 Podemos considerar a velocidade média vméd como função de t: 
 
 
t
sts
vméd



)3()3(
 
 Portanto, 
 
t
sts
v
t 



)3()3(
lim
0
 
    
t
797)t()t.(69
lim
2
0t 



 
 
 
t
)t()t.(6
lim
2
0t 


 
t
t6.t
lim
0t 



 
 
 
 t6lim
0t


= 6. 
 
NOTA: 
1º. ) Avalie o comportamento da função 






3 x se 1, x 
3 x se ,3
)(
x
xf
 nas proximidades de três. 
 
 Note que esta função tem um comportamento diferente em torno do ponto x = 3. Para descobrir o 
que acontece neste ponto, consideramos valores para x cada vez mais próximos de três, mas, menores que 
três ou a sua esquerda e também valores de x cada vez mais próximos de três, mas maiores que três ou a 
sua direita, como exibido na tabela abaixo. 
 
 
 Valores menores que 3 ou a esquerda de 3 Valores maiores que 3 ou a direita de 3 
Valores 
de x 
 
0 
 
1 
 
2 
 
2,9 
 
2,99 
 
2,999 
 
3,001 
 
3,01 
 
3,1 
 
4 
 
5 
 
6 
Valores 
de f(x) 
 
1 
 
2 
 
3 
 
3,9 
 
3,99 
 
3,999 
 
6,001 
 
6,01 
 
6,1 
 
7 
 
8 
 
9 
 
 
 A tabela mostra que quando x se aproxima de três pela esquerda, mas não assume o valor 
três, a função se aproxima de 4. Afirmamos, então, que se x tende a três pela esquerda a função 
tende para 4. Ou ainda, que o limite da função é 4 quando x tende a três pela esquerda. 
 
 Quando x se aproxima de três pela direta, mas não assume o valor três, a função se 
aproxima de 6. Afirmamos, então, que se x tende a três pela direita a função tende para 6. Ou 
ainda, que o limite da função é 6 quando x tende a três pela direita. 
 
 Como o limite à esquerda é diferente do limite à direita, dizemos que esta função não tem 
limite no ponto três. Possui apenas limites laterais. 
 
 Usando a linguagem matemática escrevemos: 
Apostila de Cálculo I – FATEC 
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   
   
     xflim xflimxflim
 xflimou xfx
 xflimou xfx
xxx
x
x
333
3
3
663
443


















 
 
Conclusão: Uma função só terá limite no ponto c se os limites laterais em torno deste ponto 
forem iguais. 
 
     xflim xflimxflim
cxcxcx 


 
 
2º. ) Avalie o comportamento da função 
 23
1
)(


x
xf
 nas proximidades de três. 
 
Consideramos valores de x cada vez mais próximos de três pela esquerda e também pela direita. 
Em ambos os casos notamos que o valor que a função assume tem uma ordem de grandeza muito elevada, 
como mostra a tabela abaixo. Quando isto ocorre dizemos que a função tende para o infinito. 
 
 Valores menores que 3 Valores maiores que 3 
 ou a esquerda de 3 ou a direita de 3 
 
x 
 
2 
 
2,9 
 
2,99 
 
2,999 
 
3,001 
 
3,01 
 
3,1 
 
 4 
 
y 
 
1 
 
100 
 
10.000 
 
1.000.000 
 
1.000.000 
 
10.000 
 
100 
 
1 
 
 
Neste caso o limite da função é infinito quando x tende para três. 
 
Usando a linguagem matemática, escrevemos: 
 
    

xflimouxfx
x 3
3
 
 
Conclusão: Uma função tem um limite infinito quando a sua imagem assume valores cuja 
ordem de grandeza é elevada, quando x tende para c. 
 
  

xflim
cx
 
 
Nessa mesma função é fácil perceber que se os valores de x aumentam, assumindo 
valores maiores que três, o valor da função se aproxima de zero. Deste modo, os valores de x 
assumem valores que possuem ordem de grandeza elevada e, portanto, tende para infinito. Tem-
se, então, um limite no infinito. 
 
Usando a linguagem matemática, escrevemos: 
 
    00 

xflimouxfx
x
 
 
Apostila de Cálculo I – FATEC 
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Conclusão: Uma função tem limite no infinito quando a variável do seu domínio tende para 
infinito enquanto a imagem da função tende para L. 
 
  Lxflim
x


 
NOTA: 
 
(i) Nessa teoria devemos entender, sempre, que a variável x tende para um valor c, mas nuca é 
igual a c e a imagem da função tende para L, mas nunca é igual a L. 
 
(ii) Há também os casos de limites infinitos no infinito. 
 
(iii) O limite de uma função num ponto c do seu domínio é único. 
 
 
11.5 Fórmulas do Limite 
 
Pode ser demonstrado que o processo limite obedece às seguintes regras: 
 
A. 
        xgxfxgxf
axaxax 
 limlimlim
 
 
Exemplo 1. 
  36927limlimlim 2
3
3
3
23
3


xxxx
xxx
. 
 
B. 
     constante uma é onde ,lim..lim kxfkxfk
axax 

 
 
Exemplo 2. 
  .48)4.(12lim.12.12lim 2
2
2
2


xx
xx
 
 
 
C. 
constante uma é onde ,lim kkk
ax


 
 
Exemplo 3. 
 8lim
2x
 = 8. 
 
Nota Não importa qual a tendência de x em f(x) = 8; portanto, f(x) não só tende para 8 como, neste caso, é mesmo 8. 
 
D. 
        xgxfxgxf
axaxax 
 limlimlim
 
 
Exemplo 4. 
   .1829)1(limlim1lim
3
2
3
2
3


xxxx
xxx
 
 
E.  
 
 
 
  0lim que desde ,
lim
lim
lim 









xg
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
ax
 
Exemplo 5. 
.1
3
3
)2(lim
4lim
2
4
lim
1
2
1
2
1


















 x
x
x
x
x
x
x
 
Apostila de Cálculo I – FATEC 
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EXERCÍCIO: Determinar cada limite. 
 
  )5(lim1 2
2
xx
x


 
  )173(lim2 2
1


xx
x
 
 
  )252(lim3 23
1


xx
x
 
  )43(lim4 23
2


xxx
x
 
 
 
 1
)1(
lim5
2
1 

 x
x
x
 
 
 3
)9(
lim6
2
3 

 x
x
x
 
 
 
 32
)94(
lim7
2
2/3 

 x
x
x
 
 
 43
)169(
lim8
2
3/4 

 x
x
x
 
 
  32lim9
1


x
x
 
  33lim10
4


x
x
 
 
  x
x


4lim11
6
 
  12lim12
1


x
x
 
 
  





 xx 2
1
lim13
 
  





 2
1
lim14
xx
 
 
 
)1184(
)253(
lim15
2
2


 xx
xx
x
 
 
)4(
)1327(
lim16
23
3
xx
xx
x 


 
 
  )(lim17 2
2
xx
x


 
  )(lim18 23
3
xx
x


 
 
  )21004(lim19 2
1


xx
x
 
  )853(lim20 2
1


xx
x
 
 
    4.3lim21
1


xx
x
 
    3.12lim22
4


xx
x
 
 
  )32).(13(lim23 242
2


xxxx
x
 
  )6).(105(lim24 232
2
xxxxx
x


 
 
 
1
23
lim25
2
2
2 

 x
xx
x
 
 
xx
xx
x 2
54
lim26
2
2
3 


 
 
 
7
49
lim27
2
7 

 x
x
x
 
 
2
4
lim28
2
2 

 x
x
x
 
 
 
52
254
lim29
2
2/5 

 x
x
x
 
 
43
169
lim30
2
3/4 

 x
x
x
 
 
Apostila de Cálculo I – FATEC 
43 
Profª Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido 
 
 
 
)2(
5).13(
lim31
2
3 

 x