Trabalho Cônicas

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1 Sec¸o˜es Coˆnicas
Uma equac¸a˜o quadra´tica e´ uma equac¸a˜o em x e y da seguinte forma
ax2 + 2bxy + cy2 + dx+ ey + f = 0, (1)
sendo a, b, c, d, e e f nu´meros reais.
Exemplo: Considere a equac¸a˜o quadra´tica
5x2 + 10bxy + 2y2 + x− y − 3 = 0
neste caso, a = 5, b = 5, c = 2, d = 1, e = −1 e f = 3.
Chamamos de coˆnicas ou sec¸o˜es coˆnicas os gra´ficos de equac¸o˜es quadra´ticas em x e y. As
princı´pais coˆnicas sa˜o as elipses, as hipe´rboles e as para´bolas. Um ponto e pares de retas sa˜o
coˆnicas degeneradas. Uma coˆnica na˜o-degenerada esta´ na posic¸a˜o padra˜o relativas aos eixos coor-
denados se sua equac¸a˜o podem ser expressa como:
Elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1, a, b > 0 (2)
Um cı´rculo e´ uma elipse cujos valores de a e b e´ 1.
Hipe´rbole
x2
a2
− y
2
b2
= 1, ou
y2
b2
− x
2
a2
= 1 a, b > 0 (3)
Para´bola
y2 = 2px ou x2 = 2py (4)
Uma maneira de visulizar a obtenc¸a˜o de uma coˆnica e´ atrave´s da intersec¸a˜o de um plano a` um
cone Figura 1.
Figura 1: Cone curtado por planos em diferentes aˆngulos formando as diferentes coˆnicas.
Uma coˆnica na posic¸a˜o padra˜o na˜o possui termo xy, chamado de termo misto ou termo produto
cruzado, em sua equac¸a˜o. O termo misto aparece quando a coˆnica for rotacionada (veja Figura 1).
Ale´m disso, se uma coˆnica apresenta simultaneamente, os termos x2 e x ou os termos y2 e y e´
porque a mesma saiu da posic¸a˜o padra˜o devido a uma translac¸a˜o.
Figura 2: Elipse rotacionada.
Os exemplos que se seguem apresentac¸a˜o respectivamente os dois casos:
Exemplo: A equac¸a˜o abaixo representa uma elipse que sofreu rotac¸a˜o
5x2 − 4xy + 8y2 − 36 = 0
Exemplo: A equac¸a˜o abaixo representa uma elipse que sofreu uma translac¸a˜o
2x2 + 2y2 − 12x− 4y + 18 = 0
Uma equac¸a˜o na forma completa como a equac¸a˜o (1), representa uma coˆnica que foi transla-
dada e rotacionada. Com por exemplo a elipse do exemplo abaixo.
Exemplo: A equac¸a˜o abaixo representa uma elipse que sofreu uma translac¸a˜o e uma rotac¸a˜o
5x2 − 4xy + 8y2 + 20√
5
x− 80√
5
y + 4 = 0
1.1 Classificac¸a˜o de uma coˆnica
Considere a equac¸a˜o geral das coˆnica
ax2 + 2bxy + cy2 + dx+ ey + f = 0,
sendo a, b, c, d, e e f nu´meros reais. Quando a2 + b2 + c2 6= 0, podemos classificar a coˆnica como
uma elipse, uma para´bola ou uma hipe´rbole, e isto depende do discriminante ∆, ou outras curvas
degeneradas. Lembre-se que
∆ = b2 − 4ac.
A coˆnica sera´ uma
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Hiperbole se ∆ > 0
Elı´pse se ∆ < 0
Para´bola se ∆ = 0.
Obs: Situac¸o˜es degeneradas: A hipe´rbole pode ser transformada em duas retas concorrentes. A
elı´pse pode se transformar em um ponto. A para´bola pode se transformar em uma u´nica reta ou
em duas retas paralelas.
1.2 A para´bola
Em poucas palavras para´bola e´ o lugar geome´trico dos pontos do plano que sa˜o equidistantes de
F (foco) e d reta diretriz. Abaixo vamos apresentar a definic¸a˜o precisa da mesma. Temos duas
formas ba´sica de uma para´bola na posic¸a˜o padra˜o, a saber:
Equac¸a˜o da para´bola com foco no eixo x do sistema de coordenadas - posic¸a˜o padra˜o:
x2 = 2py
Equac¸a˜o da para´bola com foco no eixo y do sistema de coordenadas - posic¸a˜o padra˜o:
y2 = 2px
Definic¸a˜o 1.1. Uma para´bola e´ o conjunto de pontos em um plano, equidistantes de um ponto e
de uma reta fixa. O ponto fixo e´ chamado de foco e a reta fixa e´ chamada de diretriz.
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Vamos usar a definic¸a˜o de para´bola para obter a equac¸a˜o que a descreve. Chamamos F de
foco, V ve´rtice da para´bola, considere P um ponto pertencente a para´bola, de P baixamos uma
reta ate´ a reta diretriz de modo que esta´ reta seja perpendicular a` reta diretriz, temos um ponto de
intersec¸a˜o entre estas duas retas que chamaremos de P ′.
Assim temos que um ponto qualquer P = (x, y) pertece a uma para´bola de foco F = (0, p/2)
e ve´rtice V = (0, 0), se e somente se,
d(P, F ) = d(P, P ′)
Ou seja, ‖−→PF‖ = ‖−−→PP ′‖ ou ‖−→FP‖ = ‖−−→P ′P‖ com P ′ = (x,−p/2). Do que foi dito, podemos
escrever
‖(x− 0, y − p
2
)‖ = ‖(x− x, y + p
2
)‖√
x2 + (y − p
2
)2 =
√
(y +
p
2
)2
elevando ao quadrado toda a expressa˜o acima temos
x2 + y2 − py + p
2
4
= y2 + py +
p2
4
Com poucas simplificac¸o˜es chegamos a equac¸a˜o reduzida da para´bola, sendo p o paraˆmentro da
para´bola
x2 = 2py
O sinal de p e y sa˜o sempre iguais, assim se p > 0 temos uma para´bola com concavidade para
cima e se p < 0 temos uma para´bola com concavidade para baixo.
De modo ana´logo do que foi feito acima, podemos deduzir a equac¸a˜o da para´bola cuja diretriz
e´ paralela ao eixo y e obtemos a equac¸a˜o
y2 = 2px.
Se p > 0, a para´bola tem concavidade para a` direita e se p < 0, a para´bola tem concavidade
para a` esquerda.
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1.2.1 Equac¸a˜o da para´bola de ve´rtice fora da origem do sistema cartesiano
Abaixo temos equac¸o˜es de para´bolas transladadas, ou seja, o ve´rtice dela na˜o esta´ mais na origem,
sendo V = (h, k). Novamente temos dois casos, a saber, para´bolas com concavidades para (cima
- baixo) ou para´bolas com concavidades a` (direita - esquerda).
A equac¸a˜o
(x− h)2 = 2p(y − k)
esta´ forma padra˜o da equac¸a˜o de uma para´bola de ve´rtice V (h, k) cuja diretiz e´ paralela ao eixo
dos x.
Exemplo: A equac¸a˜o (x− 3)2 = 2(−4)(y + 1) tem ve´rtices V = (3,−1).
A equac¸a˜o
(y − k)2 = 2p(x− h)
esta´ forma padra˜o da equac¸a˜o de uma para´bola de ve´rtice V (h, k) cuja diretiz e´ paralela ao eixo
dos y.
Exemplo: A equac¸a˜o (y − 2)2 = 2(−4)(x− 3) tem ve´rtices V = (2, 3).
1.3 A elipse
Elipse e´ o lugar geome´trico dos pontos de um plano cuja soma das distaˆncias a dois pontos fixos
desse plano e´ constante. A seguir veremos a definic¸a˜o precisa de uma elipse e a partir de tal
definic¸a˜o encontraremos a equac¸a˜o que a descreve. Uma elipse na forma padra˜o pode conter seu
eixo maior em cima do eixo x (a > b) ou em cima do eixo y (a < b).
Equac¸a˜o da elipse com focos no eixo x do sistema de coordenadas - posic¸a˜o padra˜o:
x2
a2
+
y2
b2
= 1
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Figura 3: Elipse com focos no eixo x do sistema de coordenadas.
Equac¸a˜o da elipse com focos no eixo y do sistema de coordenadas - posic¸a˜o padra˜o:
y2
b2
− x
2
a2
= 1
Figura 4: Elipse com focos no eixo y do sistema de coordenadas.
Algumas caracterı´sticas da elipse:
1. Eixo maior: o eixo que conte´m os focos F1 e F2, os ve´rtices do eixo maior sa˜o A1 e A2 e o
segmento A1A2 possue comprimento 2a.
2. Eixo menor: eixo perpendicular ao eixo maior, os ve´rtices do eixo menor sa˜o B1 e B2 e o
segmento B1B2 possue comprimento 2b.
3. Excentricidade: e =
c
a
sendo e < 1.
Observamos o seguinte, se F2 esta´ bem pro´ximo de F1 enta˜o nossa elipse se assemelha a uma
circunfereˆncia e se F1 = F2 temos exatamente uma circunfereˆncia.
Quanto mais pro´ximo de zero a excentricidade for mais pro´xima de uma circunfeˆrencia a elipse
e´.
Toda elipse obedece a seguinte relac¸a˜o
a2 = b2 + c2 relac¸a˜o de Pita´goras
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Definic¸a˜o: Elipse e´ o conjunto dos pontos de um plano cuja soma das distaˆncias a dois pontos
fixos e´ constante. Os pontos fixo sa˜o chamados de focos.
Da definic¸a˜o de elipse podemos obter a equac¸a˜o que a descreve. Seja P = (x, y) um ponto
qualquer da elipse de focos F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0), da definic¸a˜o temos
‖−−→F1P‖+ ‖−−→F2P‖ = 2a
ou seja, √
(x+ c)2 + (y − 0)2 +
√
(x− c)2 + (y − 0)2 = 2a√
x2 + 2xc+ c2 + y2 = 2a−
√
x2 − 2xc+ c2 + y2
elevando ao quadrado ambos os lados da expressa˜o
x2 + 2xc+ c2 + y2 = 4a2 − 4a
√
x2 − 2xc+ c2 + y2 + x2 − 2xc+ c2 + y2
fazendo simplificac¸o˜es
4a
√
x2 − 2xc+ c2 + y2 = 4a2 − 4xc
elevando ao quadrado a expressa˜o acima
a2(x2 − 2xc+ c2 + y2) = a4 − 2a2xc+ x2c2
novamente fazendo simplificac¸o˜es chegamos
(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)
mas a2 − c2 = b2b2x2 + a2y2 = a2b2 dividindo por a2b2
temos
x2
a2
+
y2
b2
= 1
Exemplo: A equac¸a˜o da elipse
x2
25
+
y2
9
= 1, tem a = 5 e b = 3.
De modo ana´logo do que foi feito acima, podemos deduzir a equac¸a˜o da elipse cujo eixo maior
esta´ sobre o eixo dos y
x2
b2
+
y2
a2
= 1
Exemplo: A equac¸a˜o da elipse
x2
2
+
y2
9
= 1, tem a =
√
7 e b =
√
2.
O maior dos denominadores na equac¸a˜o reduzida sempre representa o nu´mero a2, onde a e´ a
medida do semi-eixo maior.
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1.4 A hipe´rbole
Hipe´rbole e´ o lugar geome´trico dos pontos de um plano cuja diferenc¸a das distaˆncias, em valor
absoluto, a dois pontos fixos desse plano e´ constante.
Equac¸a˜o da hipe´rbole com centro no origem do sistema de coordenadas - posic¸a˜o padra˜o:
1. A equac¸a˜o da hipe´rbole e´:
x2
a2
− y
2
b2
= 1
quando o eixo real esta´ sobre o eixo dos x e seu centro e´ a origem do sistema coordenado.
As retas y = b
a
x e y = − b
a
x sa˜o chamadas assı´ntotas dessa hipe´rbole e os pontos A2(a, 0) e
A1(−a, 0) sa˜o chamados ve´rtices dessa hipe´rbole.
Exemplo: x2
9
− y2
4
= 1
2. A equac¸a˜o da hipe´rbole e´:
y2
b2
− x
2
a2
= 1
quando o eixo real esta´ sobre o eixo dos y e seu centro e´ a origem do sistema coordenado.
As retas y = b
a
x e y = − b
a
x sa˜o as assı´ntotas dessa hipe´rbole e os pontoA2(0, b) eA1(0,−b)
sa˜o os ve´rtices.
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Exemplos:
(a) y
2
4
− x2
9
= 1.
(b) 9x2 − 7y2 − 63 = 0.
Definic¸a˜o 1.2. Uma hipe´rbole e´ o conjunto de pontos no plano, cujo valor absoluto da
diferenc¸a das distaˆncias a dois pontos fixos e´ uma constante. Os dois pontos fixos sa˜o
denomindados focos.
Em outras palavras, consideremos no plano dois pontos distintos F1 e F2 tal que a distaˆncia
d(F1, F2) = 2c. Seja um nu´mero real a tal que 2a < 2c. Ao conjunto de todos os pontos P
do plano tais que:
|d(P, F1)− d(P, F2)| = 2a ou d(P, F1)− d(P, F2) = ±2a
da´-se o nome de hipe´rbole. Assim, com F1 = (−c, 0), F2 = (c, 0) e P = (x, y) um ponto
qualquer da hipe´rbole temos√
(x− c)2 + y2 −
√
(x+ c)2 + y2 = ±2a√
(x− c)2 + y2 = ±2a+
√
(x+ c)2 + y2
x2 − 2cx+ c2 + y2 = 4a2 ± 4a
√
(x+ c)2 + y2 + x2 + 2cx+ c2 + y2
±4a
√
(x+ c)2 + y2 = 4a2 + 4cx
±
√
(x+ c)2 + y2 = a+
c
c
x
elevando os dois membros ao quadrado
x2 + 2cx+ c2 + y2 = a2 + 2cx+
c2
a2
x2
x2
( c2
a2
− 1)− y2 = c2 − a2
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(c2 − a2)x2 − a2y2 = a2(c2 − a2)
finalmente
x2
a2
− y
2
c2 − a2 = 1
como c > a, existe um nu´mero positivo (b2) que e´ a diferenc¸a dos quadrados do maior para
o menor, isto e´, b2 = c2 − a2. Substituindo este valor na equac¸a˜o acima temos
x2
a2
− y
2
b2
= 1
Exemplo: A equac¸a˜o da hipe´rbole
x2
9
− y
2
4
= 1, tem a = 3 e b = 2.
Podemos fazer o mesmo para o caso da hipe´rbole com eixo real sobre o eixo dos y e obtemos
a equac¸a˜o
y2
a2
− x
2
b2
= 1
Algumas caracterı´sticas da hipe´rbole:
(a) Eixo real ou transverso: e´ o segmento A1A2 de comprimento 2a.
(b) Eixo imagina´rio ou conjugado: e´ o segmento B1B2 de comprimento 2b. Onde b e´
encontrado atrave´s da relac¸a˜o c2 = a2 + b2.
(c) Excentricidade: e =
c
a
sendo e > 1.
Exemplo: A equac¸a˜o da hipe´rbole
x2
4
− y
2
9
= 1, tem a = 2 e b = 3.
1.5 Aplicac¸o˜es
Sa˜o va´rios os campos onde podemos encontrar aplicac¸o˜es dos estudos das coˆnicas, seja na fı´sica,
astronomia, na medicina, nas engenharias, na arquitetura, na industria automobilı´stica, etc. Usa-
mos as formas coˆnicas, na construc¸a˜o de candeeiros, lanternas, caixas de som, espelhos refletores,
antenas parabo´licas, faro´is de carros e ate´ mesmo na construc¸a˜o civil, o grande arquiteto Oscar
Niemeyer abusou e muito das formas coˆnicas, em cada estado podemos encontrar uma construc¸a˜o
que serve de carta˜o postal. Um bom exemplo em nosso estado e´ a Igrejinha da Pampulha.
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Teorema: Considere a equac¸a˜o
ax2 + 2bxy + cy2 + dx+ ey + f = 0 (5)
com a, b, c, d, e, f ∈ R, sendo a, b e c na˜o simultaneamente nulos. Enta˜o existe um sistema de
coordenadas ortogonais x′y′, em que a equac¸a˜o (1.5) tem a forma
λ1x
′2 + λ2y′2 + d′x′ + e′y′ + f = 0
em que λ1, λ2 sa˜o os autovalores de
A =
[
a b
b c
]
Mais ainda,
X = PX ′
em que X ′ =
[
x′
y′
]
, X ′ =
[
x
y
]
e P e´ uma matriz ortogonal (P−1 = P T ).
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Coˆnicas
1. a) Determinar o centro, os ve´rtices, os focos, o esboc¸o do gra´fico e a excentricidade da
4x2 + 9y2 − 24x+ 18y + 9 = 0.
b) Determinar o ve´rtice o foco, o esboc¸o do gra´fico e a equac¸a˜o da diretriz da
x2 − 2x− 20y − 39 = 0
2. No texto foram apresentados alguns gra´ficos para descrever/ilustrar trechos do texto. Existe(m)
alguma(s) parte(s) do texto onde ha´ necessidade de um gra´fico para a melhor compreensa˜o.
Leia o texto e identifique tal(is) necessidade(s), escreva o(s) trecho(s) do texto e fac¸a a(s)
figura(s).
3. A excentricidade da elipse e´ menor que 1, justifique.
4. A excentricidade da hipe´rbole e´ menor que 1, justifique.
5. Considere x
2
9
− y2
4
= 1, fac¸a o gra´fico da coˆnica correspondente a equac¸a˜o.
6. Fazer o desenho da hipe´rbole
9x2 − 7y2 − 63 = 0
indicando os elementos (exemplo: focos, ve´rtices, assinto´tas, etc.)
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