Trabalho Cônicas
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Trabalho Cônicas


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1 Sec¸o\u2dces Co\u2c6nicas
Uma equac¸a\u2dco quadra´tica e´ uma equac¸a\u2dco em x e y da seguinte forma
ax2 + 2bxy + cy2 + dx+ ey + f = 0, (1)
sendo a, b, c, d, e e f nu´meros reais.
Exemplo: Considere a equac¸a\u2dco quadra´tica
5x2 + 10bxy + 2y2 + x\u2212 y \u2212 3 = 0
neste caso, a = 5, b = 5, c = 2, d = 1, e = \u22121 e f = 3.
Chamamos de co\u2c6nicas ou sec¸o\u2dces co\u2c6nicas os gra´ficos de equac¸o\u2dces quadra´ticas em x e y. As
princ\u131´pais co\u2c6nicas sa\u2dco as elipses, as hipe´rboles e as para´bolas. Um ponto e pares de retas sa\u2dco
co\u2c6nicas degeneradas. Uma co\u2c6nica na\u2dco-degenerada esta´ na posic¸a\u2dco padra\u2dco relativas aos eixos coor-
denados se sua equac¸a\u2dco podem ser expressa como:
Elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1, a, b > 0 (2)
Um c\u131´rculo e´ uma elipse cujos valores de a e b e´ 1.
Hipe´rbole
x2
a2
\u2212 y
2
b2
= 1, ou
y2
b2
\u2212 x
2
a2
= 1 a, b > 0 (3)
Para´bola
y2 = 2px ou x2 = 2py (4)
Uma maneira de visulizar a obtenc¸a\u2dco de uma co\u2c6nica e´ atrave´s da intersec¸a\u2dco de um plano a` um
cone Figura 1.
Figura 1: Cone curtado por planos em diferentes a\u2c6ngulos formando as diferentes co\u2c6nicas.
Uma co\u2c6nica na posic¸a\u2dco padra\u2dco na\u2dco possui termo xy, chamado de termo misto ou termo produto
cruzado, em sua equac¸a\u2dco. O termo misto aparece quando a co\u2c6nica for rotacionada (veja Figura 1).
Ale´m disso, se uma co\u2c6nica apresenta simultaneamente, os termos x2 e x ou os termos y2 e y e´
porque a mesma saiu da posic¸a\u2dco padra\u2dco devido a uma translac¸a\u2dco.
Figura 2: Elipse rotacionada.
Os exemplos que se seguem apresentac¸a\u2dco respectivamente os dois casos:
Exemplo: A equac¸a\u2dco abaixo representa uma elipse que sofreu rotac¸a\u2dco
5x2 \u2212 4xy + 8y2 \u2212 36 = 0
Exemplo: A equac¸a\u2dco abaixo representa uma elipse que sofreu uma translac¸a\u2dco
2x2 + 2y2 \u2212 12x\u2212 4y + 18 = 0
Uma equac¸a\u2dco na forma completa como a equac¸a\u2dco (1), representa uma co\u2c6nica que foi transla-
dada e rotacionada. Com por exemplo a elipse do exemplo abaixo.
Exemplo: A equac¸a\u2dco abaixo representa uma elipse que sofreu uma translac¸a\u2dco e uma rotac¸a\u2dco
5x2 \u2212 4xy + 8y2 + 20\u221a
5
x\u2212 80\u221a
5
y + 4 = 0
1.1 Classificac¸a\u2dco de uma co\u2c6nica
Considere a equac¸a\u2dco geral das co\u2c6nica
ax2 + 2bxy + cy2 + dx+ ey + f = 0,
sendo a, b, c, d, e e f nu´meros reais. Quando a2 + b2 + c2 6= 0, podemos classificar a co\u2c6nica como
uma elipse, uma para´bola ou uma hipe´rbole, e isto depende do discriminante \u2206, ou outras curvas
degeneradas. Lembre-se que
\u2206 = b2 \u2212 4ac.
A co\u2c6nica sera´ uma
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Hiperbole se \u2206 > 0
El\u131´pse se \u2206 < 0
Para´bola se \u2206 = 0.
Obs: Situac¸o\u2dces degeneradas: A hipe´rbole pode ser transformada em duas retas concorrentes. A
el\u131´pse pode se transformar em um ponto. A para´bola pode se transformar em uma u´nica reta ou
em duas retas paralelas.
1.2 A para´bola
Em poucas palavras para´bola e´ o lugar geome´trico dos pontos do plano que sa\u2dco equidistantes de
F (foco) e d reta diretriz. Abaixo vamos apresentar a definic¸a\u2dco precisa da mesma. Temos duas
formas ba´sica de uma para´bola na posic¸a\u2dco padra\u2dco, a saber:
Equac¸a\u2dco da para´bola com foco no eixo x do sistema de coordenadas - posic¸a\u2dco padra\u2dco:
x2 = 2py
Equac¸a\u2dco da para´bola com foco no eixo y do sistema de coordenadas - posic¸a\u2dco padra\u2dco:
y2 = 2px
Definic¸a\u2dco 1.1. Uma para´bola e´ o conjunto de pontos em um plano, equidistantes de um ponto e
de uma reta fixa. O ponto fixo e´ chamado de foco e a reta fixa e´ chamada de diretriz.
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Vamos usar a definic¸a\u2dco de para´bola para obter a equac¸a\u2dco que a descreve. Chamamos F de
foco, V ve´rtice da para´bola, considere P um ponto pertencente a para´bola, de P baixamos uma
reta ate´ a reta diretriz de modo que esta´ reta seja perpendicular a` reta diretriz, temos um ponto de
intersec¸a\u2dco entre estas duas retas que chamaremos de P \u2032.
Assim temos que um ponto qualquer P = (x, y) pertece a uma para´bola de foco F = (0, p/2)
e ve´rtice V = (0, 0), se e somente se,
d(P, F ) = d(P, P \u2032)
Ou seja, \u2016\u2212\u2192PF\u2016 = \u2016\u2212\u2212\u2192PP \u2032\u2016 ou \u2016\u2212\u2192FP\u2016 = \u2016\u2212\u2212\u2192P \u2032P\u2016 com P \u2032 = (x,\u2212p/2). Do que foi dito, podemos
escrever
\u2016(x\u2212 0, y \u2212 p
2
)\u2016 = \u2016(x\u2212 x, y + p
2
)\u2016\u221a
x2 + (y \u2212 p
2
)2 =
\u221a
(y +
p
2
)2
elevando ao quadrado toda a expressa\u2dco acima temos
x2 + y2 \u2212 py + p
2
4
= y2 + py +
p2
4
Com poucas simplificac¸o\u2dces chegamos a equac¸a\u2dco reduzida da para´bola, sendo p o para\u2c6mentro da
para´bola
x2 = 2py
O sinal de p e y sa\u2dco sempre iguais, assim se p > 0 temos uma para´bola com concavidade para
cima e se p < 0 temos uma para´bola com concavidade para baixo.
De modo ana´logo do que foi feito acima, podemos deduzir a equac¸a\u2dco da para´bola cuja diretriz
e´ paralela ao eixo y e obtemos a equac¸a\u2dco
y2 = 2px.
Se p > 0, a para´bola tem concavidade para a` direita e se p < 0, a para´bola tem concavidade
para a` esquerda.
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1.2.1 Equac¸a\u2dco da para´bola de ve´rtice fora da origem do sistema cartesiano
Abaixo temos equac¸o\u2dces de para´bolas transladadas, ou seja, o ve´rtice dela na\u2dco esta´ mais na origem,
sendo V = (h, k). Novamente temos dois casos, a saber, para´bolas com concavidades para (cima
- baixo) ou para´bolas com concavidades a` (direita - esquerda).
A equac¸a\u2dco
(x\u2212 h)2 = 2p(y \u2212 k)
esta´ forma padra\u2dco da equac¸a\u2dco de uma para´bola de ve´rtice V (h, k) cuja diretiz e´ paralela ao eixo
dos x.
Exemplo: A equac¸a\u2dco (x\u2212 3)2 = 2(\u22124)(y + 1) tem ve´rtices V = (3,\u22121).
A equac¸a\u2dco
(y \u2212 k)2 = 2p(x\u2212 h)
esta´ forma padra\u2dco da equac¸a\u2dco de uma para´bola de ve´rtice V (h, k) cuja diretiz e´ paralela ao eixo
dos y.
Exemplo: A equac¸a\u2dco (y \u2212 2)2 = 2(\u22124)(x\u2212 3) tem ve´rtices V = (2, 3).
1.3 A elipse
Elipse e´ o lugar geome´trico dos pontos de um plano cuja soma das dista\u2c6ncias a dois pontos fixos
desse plano e´ constante. A seguir veremos a definic¸a\u2dco precisa de uma elipse e a partir de tal
definic¸a\u2dco encontraremos a equac¸a\u2dco que a descreve. Uma elipse na forma padra\u2dco pode conter seu
eixo maior em cima do eixo x (a > b) ou em cima do eixo y (a < b).
Equac¸a\u2dco da elipse com focos no eixo x do sistema de coordenadas - posic¸a\u2dco padra\u2dco:
x2
a2
+
y2
b2
= 1
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Figura 3: Elipse com focos no eixo x do sistema de coordenadas.
Equac¸a\u2dco da elipse com focos no eixo y do sistema de coordenadas - posic¸a\u2dco padra\u2dco:
y2
b2
\u2212 x
2
a2
= 1
Figura 4: Elipse com focos no eixo y do sistema de coordenadas.
Algumas caracter\u131´sticas da elipse:
1. Eixo maior: o eixo que conte´m os focos F1 e F2, os ve´rtices do eixo maior sa\u2dco A1 e A2 e o
segmento A1A2 possue comprimento 2a.
2. Eixo menor: eixo perpendicular ao eixo maior, os ve´rtices do eixo menor sa\u2dco B1 e B2 e o
segmento B1B2 possue comprimento 2b.
3. Excentricidade: e =
c
a
sendo e < 1.
Observamos o seguinte, se F2 esta´ bem pro´ximo de F1 enta\u2dco nossa elipse se assemelha a uma
circunfere\u2c6ncia e se F1 = F2 temos exatamente uma circunfere\u2c6ncia.
Quanto mais pro´ximo de zero a excentricidade for mais pro´xima de uma circunfe\u2c6rencia a elipse
e´.
Toda elipse obedece a seguinte relac¸a\u2dco
a2 = b2 + c2 relac¸a\u2dco de Pita´goras
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Definic¸a\u2dco: Elipse e´ o conjunto dos pontos de um plano cuja soma das dista\u2c6ncias a dois pontos
fixos e´ constante. Os pontos fixo sa\u2dco chamados de focos.
Da definic¸a\u2dco de elipse podemos obter a equac¸a\u2dco que a descreve. Seja P = (x, y) um ponto
qualquer da elipse de focos F1 = (\u2212c, 0) e F2 = (c, 0), da definic¸a\u2dco temos
\u2016\u2212\u2212\u2192F1P\u2016+ \u2016\u2212\u2212\u2192F2P\u2016 = 2a
ou seja, \u221a
(x+ c)2 + (y \u2212 0)2 +
\u221a
(x\u2212 c)2 + (y \u2212 0)2 = 2a\u221a
x2 + 2xc+ c2 + y2 = 2a\u2212
\u221a
x2 \u2212 2xc+ c2 + y2
elevando ao quadrado ambos os lados da expressa\u2dco
x2 + 2xc+ c2 + y2 = 4a2 \u2212 4a
\u221a
x2 \u2212 2xc+ c2 + y2 + x2 \u2212 2xc+ c2 + y2
fazendo simplificac¸o\u2dces
4a
\u221a
x2 \u2212 2xc+ c2 + y2 = 4a2 \u2212 4xc
elevando ao quadrado a expressa\u2dco acima
a2(x2 \u2212 2xc+ c2 + y2) = a4 \u2212 2a2xc+ x2c2
novamente fazendo simplificac¸o\u2dces chegamos
(a2 \u2212 c2)x2 + a2y2 = a2(a2 \u2212 c2)
mas a2 \u2212 c2 = b2