Lista de Derivadas

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FURG – Universidade Federal do Rio Grande
IMEF – Instituto de Matemática, Estatística e Física
Cálculo I - Lista 3
Prof.: João Prolo
1) Usando as regras de derivação, calcular as deriva-
das indicadas:
a) y = xn + nx− n, dy
dx
=?
b) y = (x2 + 1)4,
dy
dx
=?
c) y = 4(2x2 − x− 1)3, dy
dx
=?
d) y =
b
a
√
a2 − x2, dy
dx
=?
e) y =
2
z + 1
,
dy
dz
=?
f) y = (a+ x)
√
a− x, dy
dx
=?
g) y = (x3 − 1)√1 + 3x, dy
dx
=?
h) y =
2x
x2 + 1
,
dy
dx
=?
i) y =
x+ 1√
x2 + 2x+ 4
,
dy
dx
=?
j) y =
a+
√
x
a−√x,
dy
dx
=?
k) y =
√
x2 − 5
10− x2 ,
dy
dx
=?
l) y =
1
a− 1a
,
dy
da
=?
m) y = sin(x2 − 1), dy
dx
=?
n) y = x2 cos(x),
dy
dx
=?
o) y = cos(sin(x)),
dy
dx
=?
p) y = cos3(x),
dy
dx
=?
q) y = 3
√
cos(2x),
dy
dx
=?
r) y =
tan2(x)
2
,
dy
dx
=?
s) y = (x cot(x))2,
dy
dx
=?
t) y =
sin(2x)
1 + cos(2x)
,
dy
dx
=?
u) y = 2tan(x),
dy
dx
=?
v) y = 5e−x
2
,
dy
dx
=?
w) y = t sin(2t),
dy
dt
=?
x) y = esin
2(x),
dy
dx
=?
y) y = 5
√
e2x,
dy
dx
=?
z) y = ln
(√
1− x2
)
,
dy
dx
=?
aa) y = ln
(√
1 + t
1− t
)
,
dy
dt
=?
bb) y = ln
(√
x2 + 1− x√
x2 + 1 + x
)
,
dy
dx
=?
cc) y = ln(ln(x)),
dy
dx
=?
dd) y =
loga(x
2)
loga(e)
,
dy
dx
=?
ee) y = ln
[
cos
(
x− 1
x
)]
,
dy
dx
=?
ff) y = arcsin
(
x+ 1√
2
)
,
dy
dx
=?
gg) y =
arccos(x)
x
,
dy
dx
=?
hh) u = arctan
(
ν + a
1− aν
)
,
du
dν
=?
ii) y = arctan
(
ex − e−x
2
)
,
dy
dx
=?
jj) y = arctan
(√
1− cos(x)
1 + cos(x)
)
,
dy
dx
=?
kk) y = csc2(t) + sec2(t),
dy
dt
=?
ll) y = ln
(
1 + tan(x/2)
1− tan(x/2)
)
,
dy
dx
=?
2) Calcular as derivadas:
a) f(x) = x3 − 3x2 + 5x− 2, f ′(x) =?
b) f(x) =
1
8
x8 − x4, f ′(x) =?
c) f(t) =
1
4
t4 − 1
2
t2, f ′(t) =?
d) v(r) =
4
3
tr3, v′(r) =?
e) f(x) = x2 + 3x+
1
x2
, f ′(x) =?
f) g(x) =
3
x2
+
5
x4
, g′(x) =?
g) f(s) = 3(s3 − s2), f ′(s) =?
h) f(x) = (2x4 − 1)(5x3 + 6x), f ′(x) =?
i) h(x) = (2x3 − 4x2)(3x5 + x2), h′(x) =?
j) f(x) = (x2 + 4x− 5)3, f ′(x) =?
k) f(x) = 2(7x2 + 3x− 1)−1, f ′(x) =?
l) f(r) = (r2 + 1)3(2r + 5)2, f ′(r) =?
m) h(x) =
√
2x3 − 4x+ 5, h′(x) =?
n) g(t) =
√
2
t
+
√
2t, g′(t) =?
1
o) h(z) =
5z
1 + 2z2
, h′(z) =?
p) f(x) =
(
2x+ 1
3x− 1
)4
, f ′(x) =?
q) f(z) =
(z2 − 5)3
(z2 + 4)2
, f ′(z) =?
r) f(x) =
√
x2 − 1
x
, f ′(x) =?
s) f(x) =
√
2x− 5
3x+ 1
, f ′(x) =?
t) g(x) =
x3
3
√
3x2 − 1 , g
′(x) =?
u) f(x) =
sin(x)
1− 2 cos(x) , f
′(x) =?
v) f(x) = (1 + cos(3x2))4, f ′(x) =?
w) g(x) = sin(3x) cos(3x), g′(x) =?
x) f(x) = 2 tan(x/2)− x, f ′(x) =?
y) f(x) = sin(x) + cos(x) + tan(x), f ′(x) =?
z) f(x) = sin4(x), f ′(x) =?
aa) f(x) = − cos2(x), f ′(x) =?
bb) f(x) = tan(2x2), f ′(x) =?
cc) f(x) =
x2
tan(x)
, f ′(x) =?
dd) f(x) = ln
(
x2
1 + x2
)
, f ′(x) =?
ee) f(x) = ln
√
1 + x2
1− x2 , f
′(x) =?
ff) f(x) = ln
(√
1 + sin(x)
1− sin(x)
)
, f ′(x) =?
gg) f(x) =
ex
x
, f ′(x) =?
hh) f(x) = ax
2
, f ′(x) =?
ii) f(x) = sin(
√
1− 2x), f ′(x) =?
jj) f(x) = arccot
(
x+ a
1− ax
)
, f ′(x) =?
kk) f(x) = arccos
(√
1 + cos(x)
2
)
, f ′(x) =?
ll) f(x) = x
√
a2 − x2 + a2 arcsin(x/a), f ′(x) =?
mm) f(x) =
1
ex + e−x
, f ′(x) =?
nn) f(x) = sin2(2x), f ′(pi/8) =?
oo) f(x) = esin
2(3x), f ′(pi/12) =?
pp) f(x) =
tan(x)− 1
sec(x)
, f ′(0) =?
qq) f(u) = arcsin(u), u =
x√
1 + x2
, f ′(x) =?
rr) f(x) = ln(x), x = cos
(
3t− pi
4
)
,
df
dt
(2pi/3) =?
3) Calcular as derivadas indicadas:
a) y = ln( 3
√
1 + x2),
d2y
dx2
=?
b) y = sin(2x),
d6y
dx6
=?
c) y = arcsin2(x),
d2y
dx2
=?
d) y = sin2(x),
d2y
dx2
=?
e) Verifique se y = c1e−x + c2e−2x satisfaz a equação
y′′ + 3y′ + 2y = 0
f) y = 2 ln(cot(t)), y = f(t), x = tan(t) + cot(t),
x = g(t),
dy
dx
=?
g) x = a (ln(tan(t/2)) + cos(t)− sin(t)) , x = f(t),
y = a(sin(t) + cos(t)), y = g(t),
dy
dx
=?
h) x = b ln
(
1
1 + t
)
, x = f(t), y = a(1− t2),
y = g(t),
d2y
dx2
=?
i) x = et cos(t), x = f(t), y = et sin(t),
y = g(t),
d2y
dx2
=?
j) x = cos(2t), x = f(t), y = sin2(t), y = g(t),
d2y
dx2
=?
k) x3 + y3 − 3axy = 0, y = f(x), dy
dx
=?
l)
x2
a2
+
y2
b2
= 1, y = f(x),
dy
dx
=?
m) tan(y) = xy, y = f(x),
dy
dx
=?
n) xy = arctan(x/y), y = f(x),
dy
dx
=?
o) ln(x) + e−y/x = c, y = f(x),
dy
dx
=?
p)
√
x2 + y2 = c arctan(y/x), y = f(x),
dy
dx
=?
q)
√
x+
√
y =
√
a, y = f(x),
dy
dx
=?
4) Achar a equação da reta tangente à curva y =
√
x
no ponto P (4, 2).
5) Achar a equação da reta tangente à curva y =
1
x
no
ponto P (x1, y1). Obter os pontos de encontro desta
reta tangente com os eixos coordenados.
6) Achar as equações das retas tangente e normal à
curva 2x3 + 2y3 − 9xy = 0 no ponto P (2, 1).
7) Verificar se as retas tangentes às curvas 4y3−x2y−
x + 5y = 0 e x4 − 4y3 + 5x + y = 0 na origem são
perpendiculares.
8) Achar a equação das retas normal e tangente à
2
curva y =
8a3
4a2 + x2
no ponto onde x = 2a.
9) Achar as equações das tangentes ao gráfico da fun-
ção f(x) = x3 − x+1 que são perpendiculares à reta
x+ 2y − 12 = 0.
10) Achar a equação da reta tangente à curva y =
x+ ln(y) no ponto P (1, 1).
11) Achar as equações das retas tangentes à curva
x2 + y2 = 34 que são paralelas à reta 5x+ 3y = 10.
12) Achar a equação da reta tangente à curva y =√
4x− 3−1 que seja perpendicular à reta x+2y−11 =
0.
13) Achar a equação da reta normal à curva y =
2x2 + 3 que seja paralela à reta x− 8y + 3 = 0.
14) Achar a equação da reta tangente à curva y2 =
20x que forma um ângulo de 45◦ com o eixo x.
15) Achar os pontos de tangência horizontal e vertical
da curva x2 + 6xy + 25y2 = 16 (se existirem).
16) Achar as equações das retas tangente e normal à
curva y = e1−x
2
nos pontos de interseção desta curva
com a reta y = 1.
17) Achar as equações das retas tangente e normal à
curva

x =
1 + t
t3
y =
3
2t2
+
1
2t
no ponto P (2, 2).
18) Usando a regra de L’Hospital, resolver os limites:
a) lim
x→pi
2
tan(x)
tan(3x)
;
b) lim
x→0
ln(tan(7x))
ln(tan(3x))
;
c) lim
x→a
sin(x)− sin(a)
x− a ;
d) lim
x→0+
tan(x) ln(sin(x));
e) lim
x→1
ln(x) ln(x− 1);
f) lim
x→0
ex
2 − 1
cos(x)− 1 ;
g) lim
x→1
(
2
x2 − 1 −
1
x− 1
)
;
h) lim
x→0
(
1
sin2(x)
− 1
x2
)
;
i) lim
x→1
3
√
x− 1
4
√
x− 1 ;
j) lim
x→0
(1− cos(x)) cot(x);
k) lim
x→+∞
(
1 +
4
e2x
)e2x
;
l) lim
x→0
(1 + sin(x))1/x;
m) lim
x→0
x
3
4+ln(x) ;
n) lim
x→0
(
1
x
)tan(x)
;
o) lim
x→pi
2
−
(tan(x))
pi
2
−x.
19) Determinar os intervalos onde as funções são es-
tritamente crescentes ou estritamente decrescentes:
a) y =
1
5
x5 − 1
3
x3;
b) y =
1
x+ 2
;
c) y = 1− 4x− x2;
d) y = (x− 2)2;
e) y = (x+ 4)3;
f) y = x2(x− 3);
g) y =
x
x− 2 ;
h) y =
1
(x− 1)2 ;
i) y = x ln(x);
j) y = (x− 3)√x;
k) y =
1
3
x− 3√x;
l) y =
ex
x
;
m) y = (x− 1) 3
√
x2;
n) y = x4/3 + 4x1/3.
20) Determinar os extremos locais:
a) y = x2 + 4x+ 6;
b) y = x3 − 3x2 + 3x+ 2;
c) 3
√
(x2 − 1)2;
d) y =
ex
x
;
e) y =
x
1 + x2
;
f) y =
x3
x2 + 3
;
g) y = (x− 1) 3
√
x2;
h) y = x ln(x);
i) y = xex;
j) y = x− ln(1 + x);
k) y = x4/3 + 4x1/3.
21) Determinar os pontos de inflexão e intervalosquanto a concavidade:
3
a) y =
1
x+ 3
;
b) y =
x3
x2 + 12
;
c) y = x3 − 6x2 + 12x+ 4;
d) y = (1 + x2)ex;
e) y = x2 ln(x);
f) y = 3
√
x− 1;
g) y = x4/3 + 4x1/3;
h) y = x4.
22) Sendo y = f(x), determinar nas funções abaixo:
i) raízes; ii) assintotas horizontais e verticais; iii) in-
tervalo quanto ao crescimento; iv) extremos locais; v)
intervalo quanto à concavidade; vi) pontos de infle-
xão; vii) esboço do gráfico.
a) y = x3 − 3x2;
b) y = x2/3;
c) y = 3
√
x+ 2;
d) y =
x2
x− 1 ;
e) y = xex;
f) y = x2 ln(x);
g) y = 2
√
x− x;
h) y = (x− 1) 3
√
x2;
i) y = ln(x+ 1);
j) y = x4/3 + x1/3.
4
Respostas:
1)
a) y′ = n(xn−1 + 1)
b) y′ = 8x(x2 + 1)3
c) y′ = 12(2x2 − x− 1)2(4x− 1)
d) y′ =
−bx
a
√
a2 − x2
e) y′ =
−2
(z + 1)2
f) y′ =
a− 3x
2
√
a− x
g) y′ =
21x3 + 6x2 − 3
2
√
1 + 3x
h) y′ =
2− 2x2
(x2 + 1)2
i) y′ =
3√
(x2 + 2x+ 4)3
j) y′ =
a√
x(a−√x)2
k) y′ =
5x√
(x2 − 5)(10− x2)3
l) y′ = − a
2 + 1
(a2 − 1)2
m) y′ = 2x cos(x2 − 1)
n) y′ = −x2 sin(x) + 2x cos(x)
o) y′ = − cos(x) sin(sin(x))
p) y′ = −3 cos2(x) sin(x)
q) y′ = − 2 sin(2x)
3 3
√
cos2(2x)
r) y′ = tan(x) sec2(x)
s) y′ = 2x cot(x)(cot(x)− x csc2(x))
t) y′ =
2
1 + cos(2x)
u) y′ = 2tan(x) ln(2) sec2(x)
v) y′ = −10xe−x2
w) y′ = sin(2t) + ln(2)2tt cos(2t)
x) y′ = esin
2(x) sin(2x)
y) y′ =
2e2x
5
5
√
e8x
z) y′ =
x
x2 − 1
aa) y′ =
1
1− t2
bb) y′ = − 2√
x2 + 1
cc) y′ =
1
x ln(x)
dd) y′ =
2
x
ee) y′ = − 1
x2
tan
(
x− 1
x
)
ff) y′ =
1√
1− x2 − 2x
gg) y′ =
x+
√
1− x2 arccos(x)
−x2√1− x2
hh) u′ =
1
1 + ν2
ii) y′ =
2
ex + e−x
jj) y′ =
1
2
kk) y′ = −16 cos(2t)
sin3(2t)
ll) y′ = sec(x)
2)
a) 3x2 − 6x+ 5
b) x7 − 4x3
c) t3 − t
d) 4tr2
e) 2x+ 3− 2
x3
f) − 6
x3
− 20
x5
g) 3(3s2 − 2s)
h) 70x6 + 60x4 − 15x2 − 6
i) 48x7 − 84x6 + 10x4 − 16x3
j) 6(x+ 2)(x2 + 4x− 5)2
k) −2(14x+ 3)(7x2 + 3x− 1)−2
l) 2(r2 + 1)2(2r + 5)(8r2 + 15r + 2)
m)
3x2 − 2√
2x3 − 4x+ 5
n)
1√
2t
(
1− 1
t
)
o)
5(1− 2z2)
(1 + 2z2)2
p) −20(2x+ 1)
3
(3x− 1)5
q) 2z(z2 − 5)2(z2 + 22)(z2 + 4)−3
r)
1
x2
√
x2 − 1
s)
17
2
√
2x− 5√(3x+ 1)3
t)
x2(7x2 − 3)
(3x2 − 1)4/3
u)
cos(x)− 2
(1− 2 cos(x))2
v) −24x sin(3x2)(1 + cos(3x2))3
w) 3 cos(6x)
x) tan2(x/2)
y) cos(x)− sin(x) + sec2(x)
z) 4 sin3(x) cos(x)
aa) sin(2x)
bb) 4x sec2(2x2)
5
cc)
2x tan(x)− x2 sec2(x)
tan2(x)
dd)
2
x(1 + x2)
ee)
2x
1− x4
ff) sec(x)
gg)
ex(x− 1)
x2
hh) 2xax
2
ln(a)
ii) −cos(
√
1− 2x)
2
√
1− 2x 2
x ln(2)
jj) − 1
1 + x2
kk)
1
2
ll) 2
√
a2 − x2
mm)
e−x − ex
(e−x + ex)2
nn) 2
oo) 3
√
e
pp) 1
qq)
1
1 + x2
rr) −3
4
3)
a)
2(1− x2)
3(1 + x2)2
b) −64 sin(2x)
c)
2
1− x2 +
2x arcsin(x)√
(1− x2)3
d) 2 cos(2x)
e) sim
f) tan(2t)
g) tan(t)
h) −2a(1 + 2t)(1 + t)
b2
i)
2e−t
(cos(t)− sin(t))3
j) 0
k)
x2 − ay
ax− y2
l) − b
2x
a2y
m)
y cos2(y)
1− x cos2(y)
n)
y(1− x2 − y2)
x(1 + x2 + y2)
o)
y
x
+ ey/x
p)
cy + x
√
x2 + y2
cx− y
√
x2 + y2
q) −
√
y
x
4)4y − x− 4 = 0
5)y − y1 = − 1
x21
(x − x1), X(x21y1 + x1, 0), Y (0, y1 +
1/x1)
6)5x− 4y − 6 = 0, 4x+ 5y − 13 = 0
7)sim
8)T: x+ 2y − 4a = 0, N: 2x− y − 3a = 0
9)2x− y + 3 = 0, 2x− y − 1 = 0
10)x = 1
11)5x+ 3y − 34 = 0, 5x+ 3y + 34 = 0
12)2x− y − 2 = 0
13)x− 8y + 90 = 0
14)x− y + 5 = 0
15)H: (3,−1) e (−3, 1), V: (5,−3/5) e (−5, 3/5)
16)
No ponto P (1, 1), T: 2x+y−3 = 0, N: x−2y+1 = 0
No ponto Q(−1, 1), T: 2x−y+3 = 0, N: x+2y−1 = 0
17)T: 7x− 10y + 6 = 0, N: 10x+ 7y − 34 = 0
18)
a) 3
b) 1
c) cos(a)
d) 0
e) 0
f) -2
g) -1/2
h) 1/3
i) 4/3
j) 0
k) e4
l) e
m) e3
n) 1
6
o) 1
19)
a)
est. cresc. (−∞,−1) ∪ (1,+∞)
est. decresc. (−1, 0) ∪ (0, 1)
b)
est. decresc. (−∞,−2) ∪ (−2,+∞)
c)
est. cresc. (−∞,−2)
est. decresc. (−2,+∞)
d)
est. cresc. (2,+∞)
est. decresc. (−∞, 2)
e)
est. cresc. (−∞,−4) ∪ (−4,+∞)
f)
est. cresc. (−∞, 0) ∪ (2,+∞)
est. decresc. (0, 2)
g)
est. decresc. (−∞, 2) ∪ (2,+∞)
h)
est. cresc. (−∞, 1)
est. decresc. (1,+∞)
i)
est. cresc. (1/e,+∞)
est. decresc. (0, 1/e)
j)
est. cresc. (1,+∞)
est. decresc. (0, 1)
k)
est. cresc. (−∞,−1) ∪ (1,+∞)
est. decresc. (−1, 0) ∪ (0, 1)
l)
est. cresc. (1,+∞)
est. decresc. (−∞, 0) ∪ (0, 1)
m)
est. cresc. (−∞, 0) ∪ (2/5,+∞)
est. decresc. (0, 2/5)
n)
est. cresc. (−1, 0) ∪ (0,+∞)
est. decresc. (−∞,−1)
20)
a)mín. (−2, 2)
b)não tem extremos
c)mín. (−1, 0) e (1, 0), máx. (0, 1)
d)mín. (1, e)
e)mín. (−1,−1/2), máx. (1, 1/2)
f)não tem extremos
g)mín.
(
2
5
,−3
5
3
√
4
25
)
, máx. (0, 0)
h)mín. (1/e,−1/e)
i)mín. (−1,−1/e)
j)mín. (0, 0)
k)mín. (−1,−3)
21)
a)
para baixo: (−∞,−3)
para cima: (−3,+∞)
b)
para baixo: (−6, 0) ∪ (6,+∞)
para cima: (−∞,−6) ∪ (0, 6)
pts. de inflexão: (−6,−9/2), (0, 0), (6, 9/2)
c)
para baixo: (−∞, 2)
para cima: (2,+∞)
pts. de inflexão: (2, 12)
d)
para baixo: (−∞,−3) ∪ (−1,+∞)
para cima: (−3,−1)
pts. de inflexão: (−3, 10/e3), (−1, 2/e)
e)
para baixo: (0, 1/
√
e3)
para cima: (1/
√
e3,+∞)
pts. de inflexão: (1/
√
e3,−3/2e3)
f)
para baixo: (1,+∞)
para cima: (−∞, 1)
pts. de inflexão: (1, 0)
g)
para baixo: (0, 2)
para cima: (−∞, 0) ∪ (2,+∞)
7
pts. de inflexão: (0, 0), (2, 27/3 + 24/3)
h)
para cima: (−∞, 0) ∪ (0,+∞)
22)
a)
i - x1 = x2 = 0, x3 = 3
ii - não possui assíntotas
iii - est. cresc. (−∞, 0)∪ (2,+∞), est. decresc. (0, 2)
iv - mín. (2,−4), máx. (0, 0)
v - para baixo: (−∞, 1), para cima: (1,+∞)
vi - pts. de inflexão: (1,−2)
b)
i - x = 0
ii - não possui assíntotas
iii - est. cresc. (0,+∞), est. decresc. (−∞, 0)
iv - mín. (0, 0)
v - para baixo: (−∞, 0) ∪ (0,+∞)
vi - não possui pts. de inflexão
c)
i - x = −2
ii - não possui assíntotas
iii - est. cresc. (−∞,−2) ∪ (−2,=∞)
iv - não possui máximo/mínimo
v - para baixo: (−2,+∞), para cima: (−∞,−2)
vi -não possui pts. de inflexão
d)
i - x = 0
ii - retas y = x e x = 1
iii - est. cresc. (−∞, 0) ∪ (2,∞), est. decresc.
(0, 1) ∪ (1, 2)
iv - mín. (2, 4), máx. (0, 0)
v - para baixo: (−∞, 1), para cima: (1,+∞)
vi - não possui pts. de inflexão
e)
i - x = 0
ii - reta y = 0
iii - est. cresc. (−1,+∞), est. decresc. (−∞,−1)
iv - mín. (−1,−1/e)
v - para baixo: (−∞,−2), para cima: (−2,+∞)
vi - pts. de inflexão: (−2,−2/e2)
f)
i - x = 0 e x = 1
ii - não possui assíntotas
iii - est. cresc. (1/
√
e,+∞), est. decresc. (0, 1/√e)
iv - mín. (1/
√
e,−1/2e)
v - para baixo: (0, e−3/2), para cima: (e−3/2,+∞)
vi - pts. de inflexão: (e−3/2,−3/2e3)
g)
i - x1 = 0 e x2 = 4
ii - não possui assíntotas
iii - est. cresc. (0, 1), est. decresc. (1,+∞)
iv - máx. (1, 1)
v - para baixo: (0,+∞)
vi - não possui pts. de inflexão
h)
i - x = 0 e x = 1
ii - não possui assíntotas
iii - est. cresc. (−∞, 0) ∪ (2/5,+∞), est. decresc.
(0, 2/5)
iv - mín.
(
2
5
,−32
2/3
55/3
)
, máx. (0, 0)
v - para baixo: (−∞,−1/5), para cima: (−1/5, 0) ∪
(0,+∞)
vi -pts. de inflexão: (−1
5
,− 6
55/3
)
i)
i - x = 2
ii - reta x = 1
iii - est. cresc. (1,+∞)
iv - não possui máximo/mínimo
v - para baixo: (1,+∞)
vi - não possui pts. de inflexão
j)
i - x = −1 e x = 0
ii - não possui assíntotas
iii - est. cresc. (−1/4, 0) ∪ (0,+∞), est. decresc.
(−∞,−1/4)
iv - mín. (−1/4, 4−4/3 − 4−1/3)
v - para baixo: (0, 1/2), para cima: (−∞, 0) ∪
(1/2,+∞)
vi -pts. de inflexão: (1/2, 2−1/3 + 2−4/3)
8