A História e Origem

Prévia do material em texto

1. A História do Pi
 Os egípcios sabiam trabalhar muito bem com razões. Descobriram logo que a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro é a mesma para qualquer circunferência, e o seu valor é um número "um pouquinho maior que 3".
É essa razão que hoje chamamos pi. 
Considerando c o comprimento de uma circunferência e d o diâmetro, temos: 
c/d = pi
c = pi . d
O cálculo do valor exato de pi ocupou os matemáticos por muitos séculos.
Para chegar ao valor de pi expresso por 3 1/6, que é aproximadamente 3,16, os egípcios há 3 500 anos partiram de um quadrado inscrito em uma circunferência, cujo lado media 9 unidades. Dobraram os lados do quadrado para obter um polígono de 8 lados e calcularam a razão entre os perímetros dos octógonos inscrito e circunscrito e o diâmetro da circunferência.
Os egípcios conseguiram uma aproximação melhor que a dos babilônios, para os quais "o comprimento de qualquer circunferência era o triplo de seu diâmetro", o que indicava o valor 3 para pi.
Por volta do século III a.C., Arquimedes - o mais famoso matemático da Antiguidade, que viveu e morreu em Siracusa, na Grécia - também procurou calcular a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro.
Começando com um hexágono regular, Arquimedes calculou os perímetros dos polígonos obtidos dobrando sucessivamente o número de lados até chegar a um polígono de 96 lados.
Calculando o perímetro desse polígono de 96 lados, conseguiu para pi um valor entre 3 10/71 e 3 10/70. Ou seja, para Arquimedes pi era um número entre 3,1408 e 3,1428.
Com um polígono de 720 lados inscrito numa circunferência de 60 unidades de raio, Ptolomeu, que viveu em Alexandria, no Egito, por volta do século III d.C., conseguiu calcular o valor de pi como sendo 377/120, que é aproximadamente igual a 3,1416, uma aproximação ainda melhor que a de Arquimedes. 
O fascínio pelo cálculo do valor exato de pi também tomou conta dos chineses. No século III d.C., Liu Hui, um copiador de livros, conseguiu obter o valor 3,14159 com um polígono de 3 072 lados.
Mas no fim do século V, o matemático Tsu Ch'ung-chih foi mais longe ainda: encontrou como valor de pi um número entre 3,1415926 e 3,1415927.
Nesta época, o grande matemático hindu Aryabhata deixou registrada esta afirmação num pequeno livro escrito em versos:
"Some-se 4 a 100, multiplique-se por 8 e some-se 62 000. O resultado é aproximadamente uma circunferência de diâmetro 20 000".
Se você recordar que o comprimento de uma circunferência é dado por c = pi . d, fica fácil entender que a solução da equação de Aryabhata:
(4 + 100) . 8 + 62 000 = pi . 20 000
104 . 8 + 62 000 = pi . 20 000
832 + 62 000 = pi . 20 000
62 832 = pi . 20 000
62 832/20 000 = pi 
indica como valor de pi 3,1416.
62 832/ 20 000= 3,1416
Quanto maior o número de casas decimais, melhor é a aproximação que se obtém para pi.
Até o século XV, o melhor valor para pi havia sido encontrado pelo matemático árabe al-Kashi: 3,1415926534897932.
Mas o cálculo mais impressionante foi efetuado pelo matemático holândes Ludolph van Ceulen (1540-1610) no final do século XVI.
Começando com um polígono de 15 lados e dobrando o número de lados 37 vezes, Ceulen obteve um valor para pi com 20 casas decimais.
Logo em seguida, usando um número de lados ainda maior, ele conseguiu uma aproximação com 35 casas decimais!
Tamanha deve ter sido a emoção de Van Ceulen que, na sua morte, sua esposa mandou gravar no túmulo o valor de pi com as 35 casas decimais.
Imagine como ele se sentiria se soubesse que no século XX computadores calculariam, em segundos, o valor de pi com 100, 1000, 10 000, milhões de casas decimais!
 
 
Pi = 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706
79821480865132823066470938446095505822317253594081128481117450284102701938521105559644622948954930381964
428810975665933446128475682337867831652712019091456485669234603486104543266482...
Muitos dos símbolos matemáticos que usamos atualmente devemos ao matemático suíço Leonhard Euller (1707-1783).
Foi Euller quem, em 1737, tornou conhecido o símbolo para o número pi. Foi também nesta época que os matemáticos conseguiram demonstrar que é um número irracional.
2. A História dos Números Negativos
Os matemáticos chineses da antiguidade tratavam os números como excessos ou faltas. Os chineses realizavam cálculos em tabuleiros, onde representavam os excessos com palitos vermelhos e as faltas com palitos pretos.
Na Índia, os matemáticos também trabalhavam com esses estranhos números. Brahmagupta, matemático nascido no ano 598 d.C., afirmava que os números podem ser entendidos como pertences ou dívidas.
Mas, sem símbolos próprios para que se pudesse realizar as operações, os números absurdos, como eram chamados, não conseguiam se firmar como verdadeiros números..
Depois de várias tentativas frustradas, os matemáticos conseguiram encontrar um símbolo que permitisse operar com esse novo número. Mas como a história da matemática é cheia de surpresas, não poderia de faltar mais uma: Ao observar a prática adotada pelos comerciantes da época, os matemáticos verificaram que se no início do dia, um comerciante tinha em seu armazém duas sacas de feijão de 40 quilogramas cada, se ao findar o dia ele tivesse vendido 7 quilogramas de feijão, para não se esquecer de que naquele saco faltavam 7 quilogramas, ele escrevia o número 7 com um tracinho na frente (-7). Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 3 quilogramas que restavam, escrevia o número 3 com dois “tracinhos” cruzados na frente (+3), para se lembrar que naquele saco havia 3 quilogramas a mais de feijão do que a quantidade inicial.
Os matemáticos aproveitaram-se desse expediente e criaram o número com sinal: Positivo (+) ou Negativo (-).
3. Origem dos Números Negativos
O número é um conceito fundamental em Matemática que tomou forma num longo desenvolvimento histórico. A origem e formulação deste conceito ocorreu simultaneamente com o despontar, entenda-se nascimento, e desenvolvimento da Matemática. As atividades práticas do homem, por um lado, e as exigências internas da Matemática por outro determinaram o desenvolvimento do conceito de número. A necessidade de contar objetos levou ao aparecimento do conceito de número Natural.
 	Todas as nações que desenvolveram formas de escrita introduziram o conceito de número Natural e desenvolveram um sistema de contagem. O desenvolvimento subsequente do conceito de número prosseguiu principalmente devido ao próprio desenvolvimento da Matemática. Os números negativos aparecem pela primeira vez na China antiga. Os chineses estavam acostumados a calcular com duas coleções de barras - vermelha para os números positivos e preta para os números negativos.No entanto, não aceitavam a idéia de um número negativo poder ser solução de uma equação. Os Matemáticos indianos descobriram os números negativos quando tentavam formular um algoritmo para a resolução de equações quadráticas. São exemplo disso as contribuições de Brahomagupta, pois a aritmética sistematizada dos números negativos encontra-se pela primeira vez na sua obra. As regras sobre grandezas eram já conhecidas através dos teoremas gregos sobre subtração, como por exemplo (a -b)(c -d) = ac +bd -ad -bc, mas os hindus converteram-nas em regras numéricas sobre números negativos e positivos.
Diofanto (Séc. III) operou facilmente com os números negativos. Eles apareciam constantemente em cálculos intermédios em muitos problemas do seu "Aritmetika", no entanto havia certos problemas para o qual as soluções eram valores inteiros negativos como por exemplo:
4 = 4x + 20
3x -18 = 5x^2
 	
Nestas situações Diofanto limitava-se a classificar o problema de absurdo. Nos séculos XVI e XVII, muitos matemáticos europeus não apreciavam os números negativos e, se esses números apareciam nos seus cálculos, eles consideravam-nos falsos ou impossíveis. Exemplo deste facto seria Michael Stifel (1487- 1567)que se recusou a admitir números negativos como raízes de uma equação, chamando-lhes de "numeri absurdi". Cardano usou os números negativos embora chamando-os de "numeri ficti". A situação mudou a partir do (Séc.XVIII) quando foi descoberta uma interpretação geométrica dos números positivos e negativos como sendo segmentos de direções opostas.
Demonstração da regra dos sinais (segundo Euler)
Euler, um virtuoso do cálculo como se constata nos seus artigos científicos pela maneira audaz como manejava os números relativos e sem levantar questões quanto à legitimidade das suas construções forneceu uma explicação ou justificação para a regra os sinais. Consideremos os seus argumentos:
 1- A multiplicação de uma dívida por um número positivo não oferece dificuldade, pois 3 dívidas de a escudos é uma dívida de 3a escudos, logo (b).(-a) = -ab.
2- Por comutatividade, Euler deduziu que (-a).(b) = -ab. Destes dois argumentos conclui que o produto de uma quantidade positiva por uma quantidade negativa e vice-versa é uma quantidade negativa.
3- Resta determinar qual o produto de (-a) por (-b). É evidente diz Euler que o valor absoluto é ab. É pois então necessário decidir-se entre ab ou -ab. Mas como (-a) ´ b é -ab, só resta como única possibilidade que (-a).(-b) = +ab.
 	É claro que este tipo de argumentação vem demonstrar que qualquer "espírito" mais zeloso, como Stendhal, não pode ficar satisfeito, pois principalmente o terceiro argumento de Euler não consegue provar ou mesmo justificar coerentemente que - por - = +. No fundo, este tipo de argumentação denota que Euler não tinha ainda conhecimentos suficientes para justificar estes resultados aceitavelmente. Na mesma obra de Euler podemos verificar que ele entende os números negativos como sendo apenas uma quantidade que se pode representar por uma letra precedida do sinal - (menos). Euler não compreende ainda que os números negativos são quantidades menores que zero.
4. A Origem dos Números Naturais
No século VI foram fundados na Síria alguns centros de cultura grega. consistiam numa espécie de clube onde os sócios se reuniam para discutir exclusivamente a arte e a cultura vindas da Grécia.
Ao participar de uma conferência num destes clubes, em 662, o bispo sírio Severus Sebokt, profundamente irritado com o fato de as pessoas elogiarem qualquer coisa vinda dos gregos, explodiu dizendo:
"Existem outros povos que também sabe alguma coisa! Os hindus, por exemplo, Têm valiosos métodos de cálculos. São métodos fantásticos! E imaginem que os cálculos são feitos por meio de apenas nove sinais!".
A referência a nove, e não a dez símbolos, significa que o passo mais importante dado pelos hindus para formar o seu sistema de numeração - a invenção do zero - ainda não tinha chegado ao Ocidente.
A idéia dos hindus de introduzir uma notação para uma posição vazia - um ovo de ganso, redondo - ocorreu na Índia, no fim do século VI. Mas foram necessários muitos séculos para que esse símbolo chegasse à Europa.
Com a introdução do décimo sinal - o zero -, o sistema de numeração tal qual o conhecemos hoje estava completo.
Hoje, estes símbolos são chamados de algarismos indo-arábicos.
Se foram os matemáticos hindus que inventaram o nosso sistema de numeração, o que os árabes têm a ver com isso? E por que os símbolos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 são chamados de algarismos?
5. A Origem dos Números Concretos
Há mais de 30000 anos, o homem vivia em pequenos grupos, morando em grutas e cavernas para se esconder dos animais selvagens e proteger-se da chuva e do frio. Os caçadores para registrar os animais mortos numa caçada eles se limitavam a fazer marcas numa vara.
Nessa época o homem se alimentava daquilo que a natureza oferecia: caça, frutos, sementes, ovos.
Quando descobriu o fogo, aprendeu a cozinhar os alimentos e a proteger-se melhor contra o frio.
A escrita ainda não tinha sido criada. Para contar, o homem fazia riscos num pedaço de madeira ou em ossos de animais.
Um pescador, por exemplo, costumava levar consigo um osso de lobo. A cada peixe que conseguia tirar da água, fazia um risco no osso.
Mais ou menos há 10000 anos, o homem começou a modificar bastante o seu sistema de vida. em vez de apenas caçar e coletar frutos e raízes, passou a cultivar algumas plantas e a criar animais. Era o início da agricultura, graças à qual aumentava muito a variedade de alimentos de que podia dispor.
E para dedicar-se às atividades de plantar e criar animais, o homem não podia continuar se deslocando de um lugar para outro como antes. Passou então a fixar-se num determinado lugar, geralmente às margens de rios e lagos. Abandonou o hábito de abrigar-se em cavernas e desenvolveu uma nova habilidade: a de construir sua própria moradia.
Começaram a surgir as primeiras comunidades organizadas, com chefe, divisão do trabalho entre as pessoas etc.
Com a lã das ovelhas eram tecidos panos para a roupa.
O trabalho de um pastor primitivo era muito simples. De manhã bem cedo, ele levava as ovelhas para pastar. À noite recolhia as ovelhas, guardando-as dentro de um cercado.
Mas como controlar o rebanho? como ter certeza de que nenhuma ovelha havia fugido ou sido devorada por algum animal selvagem?
O jeito que o pastor arranjou para controlar seu rebanho foi contar as ovelhas com pedras. Assim: Cada ovelha que saías para pastar correspondia a uma pedra. O pastor colocava todas as pedras em um saquinho. No fim do dia, à medida que as ovelhas entravam no cercado, ele ia retirando as pedras do saquinho. que susto levaria se após todas as ovelhas estarem no cercado, sobrasse alguma pedra!
Esse pastor jamais poderia imaginar que, milhares de anos mais tarde, haveria um ramo na Matemática chamado cálculo, que em latim quer dizer contas com pedras.
Foi contando objetos com outros objetos que a humanidade começou a construir o conceito de número.
Para o homem primitivo o número cinco, por exemplo, sempre estaria ligado a alguma coisa concreta: cinco dedos, cinco peixes, cinco bastões, cinco animais, e assim por diante.
A idéia de contagem estava relacionada com os dedos da mão. Assim, ao contar as ovelhas, o pastor separava as pedras em grupos de cinco. Do mesmo modo os caçadores contavam os animais abatidos, traçando riscos na madeira ou fazendo nós em uma corda, também de cinco em cinco.
Para nós, hoje, o número cinco representa a propriedade comum de infinitas coleções de objetos: representa a quantidade de elementos de um conjunto, não importando se se trata de cinco bolas, cinco skates, cinco discos ou cinco aparelhos de som.
É por isso que esse número, que surgiu quando o homem contava objetos usando outros objetos, é um número concreto.
6. A Origem do Grau
Em qualquer livro de matemática encontramos afirmações de que o ângulo reto mede 90º e que o ângulo raso mede 180º. Mas qual é a razão para os valores serem justamente 90 e 180.
Para entendermos isso, retornaremos ao ano de 4000 a.C., quando egípcios e árabes estavam tentando elaborar um calendário. Nessa época, acreditava-se que o Sol girava em torno da Terra numa órbita que levava 360 dias para completar uma volta. Desse modo, a cada dia o Sol percorria uma parcela dessa órbita, ou seja, um arco de circunferência de sua órbita. A esse arco fez-se corresponder um ângulo cujo vértice era o centro da Terra e cujos lados passavam pelas extremidades de tal arco. Assim, esse ângulo passou a ser uma unidade de medida e foi chamado de grau ou ângulo de um grau.
Pode-se concluir, então, que para os antigos egípcios e árabes o grau era a medida do arco que o Sol percorria em torno da Terra durante um dia.
Hoje, sabemos que é a Terra que gira em torno do Sol, mas, contudo, manteve-se a tradição e convencionou-se dizer que o arco de circunferência mede um grau quando corresponde a 1/360 dessa circunferência.
7. A Origem da Geometria
Geometria significa "medida da terra". Mas o que se tem de mais interessante ao se estudara história, é que os primeiros passos no estudo da geometria foram dados com base numa hipótese falsa. Acreditava-se que a Terra era plana, portanto, todas as pesquisas foram feitas segundo essa crença, mas isso não impediu o desenvolvimento da geometria.
Foi no período grego, entre 600 e 300 a.C., que a geometria se firmou como um sistema organizado, e muito disso se deve a Euclides, mestre na escola de Alexandria (Cidade do Egito, famosa por seu farol), que publicou por volta de 325 a.C. Os Elementos, uma obra com treze volumes, propondo um sistema inédito no estudo da Geometria.
Esse trabalho de Euclides é tão vasto que alguns historiadores não acreditaram que fosse obra de um só homem.
Mas essas desconfianças não foram suficientes para tirar o mérito de Euclides o primeiro a propor um método para um estudo lógico da matemática.
8. A Origem da Álgebra
Por volta do ano 400 d.C., uma idéia audaciosa de um estudioso de Alexandria começou a mudar toda a história da matemática.
Esse estudioso era Diofante de Alexandria, que viveu de 325 a 409 e seus estudos se basearam no uso de símbolos para facilitar a escrita e os cálculos matemáticos. Os Símbolos criados por Diofante fizeram com que as expressões, até então escritas totalmente com palavras, pudessem ser representadas com abreviações.
Diofante viveu numa época muito tumultuada, presenciando, por exemplo, a queda do Império Romano, e isso, não foi nada bom para a matemática, que teve todo um processo de desenvolvimento interrompido devido ao clima de guerra que se criou e principalmente pela destruição de muitos centros de estudos, fazendo com que a simbologia de Diofante não saísse do estágio inicial.
Só no ano de 650 aproximadamente, com a ascensão do Império Árabe, é que houve uma retomada dos estudos matemáticos.
De 786 a 809 no reinado do Califa Harun al-Raschid (o mesmo das mil e uma noites) os muçulmanos conquistaram vários territórios, fazendo surgir grandes cidades, centros de comércio e de artesanato. Todas essas atividades comerciais, as viagens marítimas e através do deserto, provocaram um grande desenvolvimento dos conhecimentos matemáticos.
Em 809, com a morte de al-Raschid, seu filho al-Mamum assumiu o trono e governou até 833.
al-Mamum criou em Bagdá um centro de ensino e contratou os mais brilhantes sábios muçulmanos da época. Entre eles estava Mohamed Ibn Musa al-Khowarizmi, grande matemático que escreveu um livro chamado al-jabr, que significa restauração e refere-se a mudança de termos de um lado para outro de uma equação. Provavelmente o termo Álgebra se originou do título desse livro.
al-Khowarizmi, deu sua contribuição, mas como muitos matemáticos de diversas épocas, não conseguiu expressar as equações totalmente em símbolos. Isso só aconteceu 700 anos depois, quando França e Espanha estavam em guerra, e para evitar que seus planos fossem descobertos pelos inimigos tanto franceses com espanhóis, usavam códigos em suas mensagens. Mas os espanhóis não se deram bem com essa estratégia, pois, sempre que um mensageiro de suas tropas era capturado, os franceses rapidamente descobriam seus planos militares.
"Os franceses têm um pacto com o diabo" diziam os espanhóis, até o Papa foi chamado para resolver a questão.
O demônio era François Viète um advogado francês, capaz de decifrar os códigos secretos das mensagens espanholas.
Apaixonado por álgebra, François Viète viveu de 1540 até 1603 e passou para a história como o principal responsável pela introdução dos símbolos no mundo da matemática. Por isso, ficou conhecido como o Pai da Álgebra.
Além de Viète, outros matemáticos da mesma época deram suas contribuições para o aperfeiçoamento da álgebra. Entre eles, Robert Record, inglês que criou o símbolo (=) para a expressão (igual a). Esse sinal foi usado foi usado por Thomas Harriot, outro matemático inglês, responsável pela eliminação das poucas palavras que ainda restavam na álgebra de Viète.
A passagem para uma álgebra completamente simbólica foi obra de René Descartes, grande matemático e filósofo francês, que introduziu as seguintes inovações para aperfeiçoar a álgebra de Viète:
1) criou o símbolo (.) para a operação de multiplicação;
2) criou a notação que usamos hoje para os expoentes de uma potenciação:
3) passou a usar as primeiras letras do alfabeto para os coeficentes da incógnita e os termos independentes (se literais) e as últimas letras para representar as incógnitas.
Cálculo
A palavra cálculo vem do latim calculus, que significa pedrinhas ou pequenas pedras.
Acredita-se que à muitos milhares de anos, quando o homem não dominava nenhum sistema de contagem, os pastores para controlar a quantidade de ovelhas de seus rebanhos utilizavam essas pequenas pedras.
Pela manhã, o procedimento era o seguinte: para cada ovelha que saía do cercado guardava-se uma pedra num saquinho. No fim do dia cada pedrinha guardada no saquinho pela manhã era retirada assim que cada ovelha retornava ao aprisco, dessa forma eles podiam saber se todas as ovelhas tinham retornado.
Essa prática desenvolvida pelos pastores para fazer contas utilizando pedras, deu origem a palavra calcular, que é tanto utilizada na matemática e que significa, contar com pedras.
Frações
Todos os anos, no mês de julho, as águas do Rio Nilo inundavam uma vasta região ao longo de suas margens. As águas do Rio Nilo fertilizavam os campos, beneficiando a agricultura do Egito. Cada pedaço de terra às margens desse rio era precioso e tinha que ser muito bem cuidado.
Por volta do ano 3000 a.C. o Faraó Sesóstris repartiu essas terras entre uns poucos agricultores privilegiados.
Só que todos os anos em setembro quando as águas baixavam, funcionários do governo faziam a marcação do terreno de cada agricultor. Esses funcionários eram chamados de agrimensores ou estiradores de corda. Isso se explica pelo fato de que usavam cordas com uma unidade de medida assinalada, essa corda era esticada para que se verificasse quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno. Mas na maioria das vezes acontecia da unidade de medida escolhida não caber um número inteiro de vezes nos lados do terreno.
Para solucionar o problema da medição das terras, os egípcios criaram um novo número, o número fracionário, que era representado representado com o uso de frações.
Os egípcios entendiam a fração somente como uma unidade, portanto, utilizavam apenas frações unitárias (com numerador igual a 1).
A escrita dessas frações era feita colocando um sinal oval sobre o denominador.
No Sistema de Numeração usado pelos egípcios os símbolos se repetiam com muita frequência, tornando os cálculos com números fracionários muito complicados.
Com a criação do Sistema de Numeração Decimal, pelos hindus, o trabalho com as frações tornou-se mais simples, e a sua representação passou a ser expressa pela razão de dois números naturais.
9. A Origem dos Algarismos
No ano de 825 d.C. o trono do Ímpério Árabe era ocupado pelo Califa al-Mamum. Ele tinha interesse que seu reino se transformasse em um grande centro de ensino, onde se pudesse dominar todas as áreas do conhecimento. E para atingir esse objetivo, contratou e trouxe para Bagdá os grandes sábios muçulmanos daquela época.
Entre esses sábios estava al-Khowarizmi, o maior matemático árabe de todos os tempos, e foi destinado a ele a função de traduzir para o árabe os livros de matemática vindos da Índia.
Numa dessas traduções al-Khowarizmi se deparou com aquilo ainda hoje é considerado, a maior descoberta no campo da matemática:O Sistema de Numeração Decimal. al-Khowarizmi ficou tão impressionado com a utilidade daqueles dez símbolos, que hoje são conhecidos como: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, que escreveu um livro explicando como funciona esse sistema. Através desse livro Sobre a Arte Hindú de Calcular matemáticos de todo o mundo ficaram conhecendo o Sistema Decimal.
O termo algarismo usado para denominar os símbolos de 0 a 9 é uma homenagema esse matemático árabe que mostrou a humanidade a utilidade desses dez e magníficos símbolos.Observe a semelhança entre algarismo e al-Khowarizmi.
10. A Origem das Equações do 1º Grau
“Assim como o Sol empalidece as estrelas com o seu brilho, um homem inteligente eclipsa a glória de outro homem nos concursos populares, resolvendo os problemas que este lhe propõe”.         François Viète 
Este texto da Índia antiga fala de um passa tempo muito popular dos matemáticos hindus da época: a solução de quebra-cabeças em competições públicas, em que um competidor propunha problemas para outro resolver.
Era muito difícil a Matemática nesse período. Sem nenhum sinal, sem nenhuma variável, somente alguns poucos sábios eram capazes de resolver os problemas, usando muitos artifícios e trabalhosas construções geométricas.
Hoje, temos a linguagem exata para representar qualquer quebra-cabeça ou problema.
Basta traduzi-los para o idioma da Álgebra: a equação.
Equação é uma maneira de resolver situações nas quais surgem valores desconhecidos quando se tem uma igualdade. A palavra “equação” vem do latim equatione, equacionar, que quer dizer igualar, pesar, igualar em peso. E a origem primeira da palavra “equação” vem do árabe adala, que significa “ser igual a“, de novo a idéia de igualdade. Por serem desconhecidos, esses valores são representados por letras. Por isso na língua portuguesa existe uma expressão muito usada: “o x da questão”. Ela é utilizada quando temos um problema dentro de uma determinada situação. Matematicamente, dizemos que esse x é o valor que não se conhece.
A primeira referência a equações de que se têm notícias consta do papiro de Rhind, um dos documentos egípcios mais antigos que tratam de matemática, escrito há mais ou menos 4000 anos.
Como os egípcios não utilizavam a notação algébrica, os métodos de solução de uma equação eram complexos e cansativos.
Os gregos resolviam equações através de Geometria. 
Mas foram os árabes que, cultivando a Matemática dos gregos, promoveram um acentuado progresso na resolução de equações. Para representar o valor desconhecido em uma situação matemática, ou seja, em uma equação, os árabes chamavam o valor desconhecido em uma situação matemática de “coisa”. Em árabe, a palavra “coisa” era pronunciada como xay. Daí surge o x como tradução simplificada de palavra “coisa” em árabe.
No trabalho dos árabes, destaca-se o de Al-Khowarizmi (século IX), que resolveu e discutiu equações de vários tipos.
Al-Khowarizmi é considerado o matemático árabe de maior expressão do século IX. Ele escreveu dois livros que desempenharam importante papel na história da Matemática. Num deles, Sobre a arte hindu de calcular, Al-Khowarizmi faz uma exposição completa dos numerais hindus. O outro, considerado o seu livro mais importante, Al-jabr wa’l mugãbalah, contém uma exposição clara e sistemática sobre resolução de equações. 
As equações ganharam importância a partir do momento em que passaram a ser escritas com símbolos matemáticos e letras. O primeiro a fazer isso foi o francês François Viète, no final do século XVI. Por esse motivo é chamado “pai da Álgebra”.
Viète também foi o primeiro a estudar as propriedades das equações através de expressões gerais como ax + b = 0. Graças a Viète os objetos de estudo da Matemática deixaram de ser somente problemas numéricos sobre preços das coisas, idade das pessoas ou medidas dos lados das figuras, e passaram a englobar também as próprias expressões algébricas.
A partir desse momento, as equações começaram a ser interpretadas como as entendemos atualmente: equação, o idioma da álgebra.
Atualmente as equações são usadas, entre outras coisas, para determinar o lucro de uma firma, para calcular a taxa de uma aplicação financeira, para fazer a previsão do tempo, etc.
E devido a evolução dos estudos das equações, podemos utilizar outras variáveis, letras, para representar o valor desconhecido, ou seja, o que se quer descobrir em uma equação.
	Hoje, chamamos o termo desconhecido de incógnita, que é uma palavra originária do latim incognitu, que também quer dizer “coisa desconhecida”. A incógnita é um símbolo que está ocupando o lugar de um elemento desconhecido em uma equação.
Parte superior do formulário
	
Parte inferior do formulário
11. História da Geometria Analítica
René Descartes (1596-1650)
A Geometria, como ciência dedutiva, foi criada pelos gregos. Mas, apesar do seu brilhantismo faltava operacionalidade à geometria grega. E isto só iria ser conseguido mediante a Álgebra como princípio unificador. Os gregos, porém, não eram muito bons em álgebra. Mais do que isso, somente no século XVII a álgebra estaria razoavelmente aparelhada para uma fusão criativa com a geometria. 
 Ocorre porém que o fato de haver condições para uma descoberta não exclui o toque de genialidade de alguém. E no caso da geometria analítica, fruto dessa fusão, o mérito não foi de uma só pessoa. Dois franceses, Pierre de Fermat (1601-1665) e René Descartes (1596-1650), curiosamente ambos graduados em Direito, nenhum deles matemático profissional, são os responsáveis por esse grande avanço científico: o primeiro movido basicamente por seu grande amor, a matemática e o segundo por razões filosóficas. E, diga-se de passagem, não trabalharam juntos: a geometria analítica é um dos muitos casos, em ciência, de descobertas simultâneas e independentes. 
 Se o bem-sucedido Pierre de Fermat zeloso e competente conselheiro junto ao Parlamento de Toulouse, dedicava muitas de suas melhores horas de lazer à matemática, certamente não era porque faltasse, alguém em sua posição, outras maneiras de preencher o tempo disponível. Na verdade Fermat simplesmente não conseguia fugia à sua verdadeira vocação e, apesar de praticar matemática como hobby, nenhum de seus contemporâneos contribuiu tanto para o avanço desta ciência quanto ele. Além da geometria analítica, Fermat teve papel fundamental na criação do Cálculo Diferencial, do Cálculo de Probabilidades e, especialmente, da teoria dos números, ramo da matemática que estuda as propriedades dos números inteiros. 
 A contribuição de Fermat à geometria analítica encontra-se num pequeno texto intitulado Introdução aos Lugares Planos e Sólidos e data no máximo, de 1636 mais que só foi publicado em 1679, postumamente, junto com sua obra completa. É que fermat, bastante modesto, era avesso a publicar seus trabalhos. Disso resulta, em parte, o fato de Descartes comumente ser mais lembrado como criador da Geometria Analítica. 
 O interesse de Descartes pela matemática surgiu cedo, no “College de la Fleche”, escola do mais alto padrão, dirigida por jesuítas, na qual ingressará aos oito anos de idade. Mas por uma razão muito especial e que já revelava seus pendores filosóficos: a certeza que as demonstrações ou justificativas matemáticas proporcionam. Aos vinte e um anos de idade, depois de freqüentar rodas matemáticas em Paris (além de outras) já graduado em Direito, ingressa voluntariamente na carreira das armas, uma das poucas opções “dignas” que se ofereciam a um jovem como ele, oriundo da nobreza menor da França. Durante os quase nove anos que serviu em vários exércitos, não se sabe de nenhuma proeza militar realizada por Descartes. É que as batalhas que ocupavam seus pensamentos e seus sonhos travavam-se no campo da ciência e da filosofia. 
 A Geometria Analítica de Descartes apareceu em 1637 no pequeno texto chamado A Geometria como um dos três apêndices do Discurso do método, obra considerada o marco inicial da filosofia moderna. Nela, em resumo, Descartes defende o método matemático como modelo para a aquisição de conhecimentos em todos os campos. 
 A Geometria Analítica, como é hoje, pouco se assemelha às contribuições deixadas por Fermat e Descartes. Inclusive sua marca mais característica, um par de eixos ortogonais, não usada por nenhumdeles. Mais, cada um a seu modo, sabiam que a idéia central era associar equações a curvas e superfícies. Neste particular, Fermat foi mais feliz. Descartes superou Fermat na notação algébrica.
12. História dos Sistemas Lineares e Determinantes
Seki Kowa
Na matemática ocidental antiga são poucas as aparições de sistemas de equações lineares. No Oriente, contudo, o assunto mereceu atenção bem maior. Com seu gosto especial por diagramas, os chineses representavam os sistemas lineares por meio de seus coeficientes escritos com barras de bambu sobre os quadrados de um tabuleiro. Assim acabaram descobrindo o método de resolução por eliminação — que consiste em anular coeficientes por meio de operações elementares. Exemplos desse procedimento encontram-se nos Nove capítulos sobre a arte da matemática, um texto que data provavelmente do século 111 a.C.
Mas foi só em 1683, num trabalho do japonês Seki Kowa, que a idéia de determinante (como polinômio que se associa a um quadrado de números) veio à luz. Kowa, considerado o maior matemático japonês do século XVII, chegou a essa noção através do estudo de sistemas lineares, sistematizando o velho procedimento chinês (para o caso de duas equações apenas).
 O uso de determinantes no Ocidente começou dez anos depois num trabalho de Leibniz, ligado também a sistemas lineares. Em resumo, Leibniz estabeleceu a condição de compatibilidade de um sistema de três equações a duas incógnitas em termos do determinante de ordem 3 formado pelos coeficientes e pelos termos independentes (este determinante deve ser nulo). Para tanto criou até uma notação com índices para os coeficientes: o que hoje, por exemplo, escreveríamos como a12, Leibniz indicava por 12.
 	A conhecida regra de Cramer para resolver sistemas de n equações a n incógnitas, por meio de determinantes, é na verdade uma descoberta do escocês Colin Maclaurin (1698-1746), datando provavelmente de 1729, embora só publicada postumamente em 1748 no seu Treatise of algebra. Mas o nome do suíço Gabriel Cramer (1704-1752) não aparece nesse episódio de maneira totalmente gratuita. Cramer também chegou à regra (independentemente), mas depois, na sua Introdução à análise das curvas planas (1750), em conexão com o problema de determinar os coeficientes da cônica geral A + By + Cx + Dy2 + Exy + x2 = 0.
 	O francês Étienne Bézout (1730-1783), autor de textos matemáticos de sucesso em seu tempo, sistematizou em 1764 o processo de estabelecimento dos sinais dos termos de um determinante. E coube a outro francês, Alexandre Vandermonde (1735-1796), em 1771, empreender a primeira abordagem da teoria dos determinantes independente do estudo dos sistemas lineares — embora também os usasse na resolução destes sistemas. O importante teorema de Laplace, que permite a expansão de um determinante através dos menores de r filas escolhidas e seus respectivos complementos algébricos, foi demonstrado no ano seguinte pelo próprio Laplace num artigo que, a julgar pelo título, nada tinha a ver com o assunto: "Pesquisas sobre o cálculo integral e o sistema do mundo".
 O termo determinante, com o sentido atual, surgiu em 1812 num trabalho de Cauchy sobre o assunto. Neste artigo, apresentado à Academia de Ciências, Cauchy sumariou e simplificou o que era conhecido até então sobre determinantes, melhorou a notação (mas a atual com duas barras verticais ladeando o quadrado de números só surgiria em 1841 com Arthur Cayley) e deu uma demonstração do teorema da multiplicação de determinantes — meses antes J. F. M. Binet (1786-1856) dera a primeira demonstração deste teorema, mas a de Cauchy era superior.
 	Além de Cauehy, quem mais contribuiu para consolidar a teoria dos determinantes foi o alemão Carl G. J. Jacobi (1804-1851), cognominado às vezes "o grande algorista". Deve-se a ele a forma simples como essa teoria se apresenta hoje elementarmente. Como algorista, Jacobi era um entusiasta da notação de determinante, com suas potencialidades. Assim, o importante conceito de jacobiano de uma função, salientando um dos pontos mais característicos de sua obra, é uma homenagem das mais justas.
13. A origem das palavras seno, cosseno, tangente etc.
A palavra seno vem de sinus. Sinus é a tradução latina da palavra árabe Jaib, que significa dobra, bolso ou prega de uma vestimenta. Isto não tem nada a ver com o conceito matemático de seno. Trata-se de uma tradução defeituosa, que infelizmente dura até hoje. A palavra árabe adequada, a que deveria ser traduzida, seria jiba, em vez de jaib. Jiba significa a corda de um arco (de caça ou de guerra).
 	Quanto ao termo tangente, ele tem significado claro, pois tgx = t/r, onde t é o segmento da tangente compreendido entre a extremidade do raio (um dos lados do ângulo x) e o prolongamento do outro lado.
	A secante do ângulo x é definida pela fórmula secx = s/r, onde s é a hipotenusa do triângulo retângulo cujos catetos o raio r e o segmento de tangente t. Como o segmento de reta s corta o círculo (secare = cortar, em latim), a denominação secante se justifica.
 	Finalmente, cosseno, cotangente e cossecante são simplesmente o seno, a tangente e a secante do arco complementar.
 	A palavra cateto vem de Kátetos e quer dizer vertical ou perpendicular.
 	A palavra hipotenusa vem de hypoteínousa e significa linha estendida por baixo.
14 .Origem do Conceito de Derivada de uma Função
O conceito de função que hoje pode parecer simples, é o resultado de uma lenta e longa evolução histórica iniciada na Antiguidade quando, por exemplo, os matemáticos Babilônios utilizaram tabelas de quadrados e de raízes quadradas e cúbicas ou quando os Pitagóricos tentaram relacionar a altura do som emitido por cordas submetidas à mesma tensão com o seu comprimento. Nesta época o conceito de função não estava claramente definido: as relações entre as variáveis surgiam de forma implícita e eram descritas verbalmente ou por um gráfico.
Só no séc. XVII, quando Descartes e Pierre Fermat introduziram as coordenadas cartesianas, se tornou possível transformar problemas geométricos em problemas algébricos e estudar analiticamente funções. A Matemática recebe assim um grande impulso, nomeadamente na sua aplicabilidade a outras ciências - os cientistas passam, a partir de observações ou experiências realizadas, a procurar determinar a fórmula ou função que relaciona as variáveis em estudo. A partir daqui todo o estudo se desenvolve em torno das propriedades de tais funções. Por outro lado, a introdução de coordenadas, além de facilitar o estudo de curvas já conhecidas permitiu a "criação" de novas curvas, imagens geométricas de funções definidas por relações entre variáveis.
Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que Fermat deu conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que encontrava a curva num único ponto. Tornou-se assim importante reformular tal conceito e encontrar um processo de traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto - esta dificuldade ficou conhecida na História da Matemática como o " Problema da Tangente".
Fermat resolveu esta dificuldade de uma maneira muito simples: para determinar uma tangente a uma curva num ponto P considerou outro ponto Q sobre a curva; considerou a reta PQ secante à curva. Seguidamente fez deslizar Q ao longo da curva em direção a P, obtendo deste modo retas PQ que se aproximavam duma reta t a que Fermat chamou a reta tangente à curva no ponto P.
Fermat notou que para certas funções, nos pontos onde a curva assumia valores extremos, a tangente ao gráfico devia ser uma reta horizontal, já que ao comparar o valor assumido pela função num desses pontos P(x, f(x)) com o valor assumido no outro ponto Q(x+E, f(x+E)) próximo de P, a diferença entre f(x+E) e f(x) era muito pequena, quase nula, quando comparada com o valor de E, diferença das abcissas de Q e P. Assim, o problema de determinar extremos e de determinar tangentes a curvas passam a estarintimamente relacionados.
Estas idéias constituiram o embrião do conceito de DERIVADA e levou Laplace a considerar Fermat "o verdadeiro inventor do Cálculo Diferencial". Contudo, Fermat não dispunha de notação apropriada e o conceito de limite não estava ainda claramente definido.
No séc.XVII, Leibniz algebriza o Cálculo Infinitésimal, introduzindo os conceitos de variável, constante e parâmetro, bem como a notação dx e dy para designar "a menor possível das diferenças em x e em y. Desta notação surge o nome do ramo da Matemática conhecido hoje como " Cálculo Diferencial.
Assim, embora só no século XIX Cauchy introduzia formalmente o conceito de limite e o conceito de derivada, a partir do séc. XVII, com Leibniz e Newton, o Cálculo Diferencial torna-se um instrumento cada vez mais indispensável pela sua aplicabilidade aos mais diversos campos da Ciência.
15 .Origem do Zero
Embora a grande invenção prática do zero seja atribuída aos hindus, desenvolvimentos parciais ou limitados do conceito de zero são evidentes em vários outros sistemas de numeração pelo menos tão antigos quanto o sistema hindu, se não mais. Porém o efeito real de qualquer um desses passos mais antigos sobre o desenvolvimento pleno do conceito de zero - se é que de fato tiveram algum efeito - não está claro.
O sistema sexagesimal babilônico usado nos textos matemáticos e astronômicos era essencialmente um sistema posicional, ainda que o conceito de zero não estivesse plenamente desenvolvido. Muitas das tábuas babilônicas indicam apenas um espaço entre grupos de símbolos quando uma potência particular de 60 não era necessária, de maneira que as potências exatas de 60 envolvidas devem ser determinadas, em parte, pelo contexto. Nas tábuas babilônicas mais tardias (aquelas dos últimos três séculos a.C.)usava-se um símbolo para indicar uma potência ausente, mas isto só ocorria no interior de um grupo numérico e não no final. Quando os gregos prosseguiram o desenvolvimento de tabelas astronômicas, escolheram explicitamente o sistema sexagesimal babilônico para expressar suas frações, e não o sistema egípcio de frações unitárias. A subdivisão repetida de uma parte em 60 partes menores precisava que às vezes “nem uma parte” de uma unidade fosse envolvida, de modo que as tabelas de Ptolomeu no Almagesto (c.150 d.C.) incluem o símbolo ou 0 para indicar isto. Bem mais tarde, aproximadamente no ano 500, textos gregos usavam o ômicron, que é a primeira letra palavra grega oudem (“nada”). Anteriormente, o ômicron, restringia a representar o número 70, seu valor no arranjo alfabético regular.
Talvez o uso sistemático mais antigo de um símbolo para zero num sistema de valor relativo se encontre na matemática dos maias das Américas Central e do Sul. O símbolo maia do zero era usado para indicar a ausência de quaisquer unidades das várias ordens do sistema de base vinte modificado. Esse sistema era muito mais usado, provavelmente, para registrar o tempo em calendários do que para propósitos computacionais.
É possível que o mais antigo símbolo hindu para zero tenha sido o ponto negrito, que aparece no manuscrito Bakhshali, cujo conteúdo talvez remonte do século III ou IV d.C., embora alguns historiadores o localize até no século XII. Qualquer associação do pequeno círculo dos hindus, mais comuns, com o símbolo usado pelos gregos seria apenas uma conjectura.
Como a mais antiga forma do símbolo hindu era comumente usado em inscrições e manuscritos para assinalar um espaço em branco, era chamado sunya, significando “lacuna” ou “vazio”. Essa palavra entrou para o árabe como sifr, que significa “vago”. Ela foi transliterada para o latim como zephirum ou zephyrum por volta do ano 1200, mantendo-se seu som mas não seu sentido. Mudanças sucessivas dessas formas, passando inclusive por zeuero, zepiro e cifre,levaram as nossas palavras “cifra” e “zero”. O significado duplo da palavra “cifra” hoje - tanto pode se referir ao símbolo do zero como a qualquer dígito - não ocorria no original hindu.
16 .Origem das Probabilidades
O passo decisivo para fundamentação teórica da inferência estatística, associa-se ao desenvolvimento do cálculo das probabilidades. A origem deste costuma atribuir-se a questões postas a Pascal (1623-1662) pelo célebre cavaleiro Méré, para alguns autores um jogador inveterado, para outros um filósofo e homem de letras. Parece, no entanto, mais verosímil aceitar que as questões postas por Méré (1607-1684) eram de natureza teórica e não fruto da prática de jogos de azar. Parece, também, aceitável que não foram essas questões que deram origem ao cálculo das probabilidades. Do que não resta dúvida é de que a correspondência trocada entre Pascal e Fermat (1601-1665) - em que ambos chegam a uma solução correta do célebre problema da divisão das apostas - representou um significativo passo em frente no domínio das probabilidades.
Também há autores que sustentam que o cálculo das probabilidades teve a sua origem na Itália com Paccioli (1445-1514), Cardano (1501-1576), Tartaglia (1499-1557), Galileo (1564-1642) e outros. Se é certo que nomeadamente Cardano no seu livro Liber de Ludo Aleae, não andou longe de obter as probabilidades de alguns acontecimentos, a melhor forma de caracterizar o grupo é dizer que marca o fim da pré- história da teoria das probabilidades. Três anos depois de Pascal ter previsto que aliança do rigor geométrico com a incerteza do azar daria origem a uma nova ciência, Huyghens (1629-1625), entusiasmado pelo desejo de " dar regras a coisas que parecem escapar á razão humana" publicou "De Ratiociniis in Ludo Aleae" que é considerado como sendo o primeiro livro sobre cálculo das probabilidades e tem a particularidade notável de introduzir o conceito de esperança matemática.
Leibniz (1646-1716), como pensador ecléctico que era, não deixou de se ocupar das probabilidades. Publicou, com efeito, duas obras, uma sobre a " arte combinatória" e outra sobre as aplicações do cálculo das probabilidades às questões financeiras. Foi ainda devido ao conselho de Leibniz que Jacques Bernoulli se dedicou ao aperfeiçoamento da teoria das probabilidades. A sua obra "Ars Conjectandi", foi publicada oito anos depois da sua morte e nela o primeiro teorema limite da teoria das probabilidades é rigorosamente provado. Pode dizer-se que foi devido às contribuições de Bernoulli que o cálculo das probabilidades adquiriu o estatuto de ciência. São fundamentais para o desenvolvimento do cálculo das probabilidades as contribuições dos astrónomos, Laplace, Gauss e Quetelet.
17 .Origem dos Números Irracionais
A origem histórica da necessidade de criação dos números irracionais está intimamente ligada com fatos de natureza geométrica e de natureza aritmética. Os de natureza geométrica podem ser ilustrados com o problema da medida da diagonal do quadrado quando a comparamos com o seu lado.
Este problema geométrico arrasta outro de natureza aritmética, que consiste na impossibilidade de encontrar números conhecidos - racionais - para raízes quadradas de outros números, como por exemplo, raiz quadrada de 2. Estes problemas já eram conhecidos da Escola Pitagórica (séc. V a.c.), que considerava os irracionais heréticos. A Ciência grega consegui um aprofundamento de toda a teoria dos números racionais, por via geométrica - "Elementos de Euclides" - mas não avançou, por razões essencialmente filosóficas, no campo do conceito de número. Para os gregos, toda a figura geométrica era formada por um número finito de pontos, sendo estes concebidos como minúsculos corpúsculos - "as mónadas" - todos iguais entre si; daí resultava que, ao medir um comprimento de n mónadas com outro de m, essa medida seria sempre representada por uma razão entre dois inteiros n/m (número racional); tal comprimento incluía-se, então na categoria dos comensuráveis. Ao encontrar os irracionais, aos quais não conseguem dar forma de fração, os matemáticos gregos são levados a conceber grandezas incomensuráveis. Areta onde se marcavam todos os racionais era, para eles, perfeitamente contínua; admitir os irracionais era imagina-la cheia de "buracos". É no séc. XVII, com a criação da Geometria Analítica (Fermat e Descartes), que se estabelece a simbiose do geométrico com o algébrico, favorecendo o tratamento aritmético do comensurável e do incomensurável. Newton (1642-1727) define pela primeira vez "número", tanto racional como irracional.
 
O IRRACIONAL ø
ø =1,6180339887... ou ø =(1 + sqr(5))/2 é considerado símbolo de harmonia. Os artistas gregos usavam-no em arquitetura; Leonardo da Vinci, nos seus trabalhos artísticos; e, no mundo moderno, o arquiteto Le Corbusier, com base nele, apresentou, em 1948, O modulor. O número de ouro descobre-se em relações métricas:
- na natureza: em animais (como na concha do Nautilus) flores, frutos, na disposição dos ramos de certas árvores;
- em figuras geométricas, tais como o retângulo de ouro, hexágono e decágono regulares e poliedros regulares;
- em inúmeros monumentos, desde a Pirâmide de Quéops até diversas catedrais, na escultura, pintura e até na música.
18 .Origem dos Sinais
Adição ( + ) e subtração ( - )
O emprego regular do sinal + ( mais ) aparece na Aritmética Comercial de João Widman d'Eger publicada em Leipzig em 1489.
Entretanto, representavam não à adição ou à subtração ou aos números positivos ou negativos, mas aos excessos e aos déficit em problemas de negócio. Os símbolos positivos e negativos vieram somente ter uso geral na Inglaterra depois que foram usados por Robert Recorde em 1557.Os símbolos positivos e negativos foram usados antes de aparecerem na escrita. Por exemplo: foram pintados em tambores para indicar se os tambores estavam cheios ou não. 
Os antigos matemáticos gregos, como se observa na obra de Diofanto, limitavam-se a indicar a adição juntapondo as parcelas - sistema que ainda hoje adotamos quando queremos indicar a soma de um número inteiro com uma fração. Como sinal de operação mais usavam os algebristas italianos a letra P, inicial da palavra latina plus.
 
Multiplicação ( . ) e divisão ( :)
O sinal de X, como que indicamos a multiplicação, é relativamente moderno. O matemático inglês Guilherme Oughtred empregou-o pela primeira vez, no livro Clavis Matematicae publicado em 1631. Ainda nesse mesmo ano, Harriot, para indicar também o produto a efetuar, colocava um ponto entre os fatores. Em 1637, Descartes já se limitava a escrever os fatores justapostos, indicando, desse modo abreviado, um produto qualquer. Na obra de Leibniz escontra-se o sinal para indicar multiplicação: esse mesmo símbolo colocado de modo inverso indicava a divisão.
O ponto foi introduzido como um símbolo para a multiplicação por G. W. Leibniz. Julho em 29, 1698, escreveu em uma carta a John Bernoulli: "eu não gosto de X como um símbolo para a multiplicação, porque é confundida facilmente com x; freqüentemente eu relaciono o produto entre duas quantidades por um ponto . Daí, ao designar a relação uso não um ponto mas dois pontos, que eu uso também para a divisão.
As formas a/b e , indicando a divisão de a por b, são atribuídas aos árabes: Oughtred, e, 1631, colocava um ponto entre o dividendo o divisor. A razão entre duas quantidades é indicada pelo sinal :, que apareceu em 1657 numa obra de Oughtred. O sinal ÷, segundo Rouse Ball, resultou de uma combinação de dois sinais existentes - e :
Sinais de relação ( =, < e > )
Roberto Record, matemático inglês, terá sempre o seu nome apontado na história da Matemática por ter sido o primeiro a empregar o sinal = ( igual ) para indicar igualdade. No seu primeiro livro, publicado em 1540, Record colocava o símbolo entre duas expressões iguais; o sinal = ; constituído por dois pequenos traços paralelos, só apareceu em 1557. Comentam alguns autores que nos manuscritos da Idade Média o sinal = aparece como uma abreviatura da palavra est.
Guilherme Xulander, matemático alemão, indicava a igualdade , em fins do século XVI, por dois pequenos traços paralelos verticais; até então a palavra aequalis aparecia, por extenso, ligando os dois membros da igualdade.
Os sinais > ( maior que ) e < ( menor que ) são devidos a Thomaz Harriot, que muito contribuiu com seus trabalhos para o desenvolvimento da análise algébrica.
19. O Surgimento da Moeda
Um ser humano pode produzir tudo o que necessita para sua sobrevivência? Suponhamos que ele seja produtor de trigo: é possível ele calçar trigo, vestir trigo e só comer trigo? Claro que não. 
Dessa impossibilidade estabeleceu-se uma relação entre os homens: a troca das mercadorias que produzem. 
Por meio da troca, o produtor de trigo podia obter calçados, roupas ou outras necessidades. Bastava para isto dar a quantidade de trigo correspondente à quantidade da outra mercadoria. 
Esse processo apresentava, contudo, um problema: imagine que o nosso produtor de trigo esteja interessado em café, mas nenhum produtor de café esteja interessado em trigo. Dessa forma, a troca não poderá ser realizada, uma vez que para isso deve haver interesse de ambas as partes. 
Esse problema foi resolvido com a criação da moeda-mercadoria, geralmente a mais produzida e a mais procurada, que passava a ser aceita, não necessariamente para o consumo, mas para ser trocada novamente. Esta foi a primeira forma de moeda na nossa história.
A moeda serve, então, como um meio de troca e muitos mercados passaram a ter sua moeda específica. 
Uns usaram o gado, que do latim pecus deu origem à palavra pecúlio, e outros o sal, daí o termo salário. Essa diversificação de moedas-mercadorias em diferentes mercados dificultava as trocas entre os grupos sociais. 
Além disso, um animal vivo ou um balde de sal não eram as melhores formas de 'carregar' dinheiro. 
Problemas como esses fizeram com que se criasse a moeda metálica. Pequena e de fácil transporte, seu poder de compra era equivalente ao valor do material com que era fabricada. Inicialmente utilizou-se a prata e o ouro.
Contudo, o manuseio dessas moedas fazia com que elas se desgastassem e perdessem seu valor. Então, optou-se por metais como o cobre e o níquel, que até pouco tempo eram sinônimos de dinheiro. 
Paralelamente, foram criadas pequenas firmas que se comprometiam a guardar as moedas. Como prova de recolhimento emitiam um recibo registrando a quantia guardada. Nasciam, portanto, os primeiros 'bancos' e os primeiros papéis-moeda. 
Uma vez que as pessoas que deixavam seu dinheiro guardado não o consumiam imediatamente, os donos dessas firmas resolveram diversificar suas funções emprestando dinheiro, o que mais tarde se constituiria no sistema de crédito. 
Na verdade, dinheiro nada mais é do que uma convenção social, uma relação entre os homens que se dá na troca entre mercadorias. 
A instituição do crédito foi o elemento propulsor do surgimento de um tratamento matemático na Economia. O crescente desenvolvimento das transações comerciais exigia um cálculo específico e o desenvolvimento de um aspecto particular da Matemática: a Matemática Financeira.
20. As Mulheres na Matemática
"...O simples aspecto da mulher, revela que ela não é destinada nem aos grandes trabalhos intelectuais, nem aos grandes trabalhos materiais." Schopenhauer in As Dores do Mundo (Esboço acerca das mulheres ) "Mas quando uma pessoa pertencente ao sexo do qual, de acordo com nossos costumes e preconceitos, é forçada a enfrentar infinitamente mais dificuldades do que os homens para familiarizar-se com essas pesquisas dificílimas, e consegue com êxito, penetrar nas partes mais obscuras delas, não obstante, se para isso tenha de superar todas as barreiras existentes, então essa pessoa tem necessariamente, a mais nobre coragem, os mais extraordinários talentos e uma genialidade superior." Gauss, numa carta a Sophie Germain, referindo-se ao trabalho dela.
INTRODUÇÃO
Durante séculos, num mundo de dominação essencialmente masculina - pelo menos, até pouco tempo - a participação da mulher foi restringidaa ponto de ser-lhes proibido o acesso ao universo intelectual. Principalmente no campo científico.
Na Matemática, por exemplo, a maioria das histórias que se contam são sobre matemáticos. Todos os teoremas que conhecemos em nível de Ensinos Fundamental e Médio têm nomes de matemáticos, e dai por diante num etc. e tal inteiramente masculino.
 Em vista destes fatos é natural que nossos estudantes, e nós mesmos, nos perguntemos: sendo a Matemática uma das Ciências mais antigas da humanidade, será que só homens se dedicaram a ela? Será que nenhuma mulher destacou-se em Matemática a ponto de ter seu nome registrado na História? Ou será que o pensamento matemático, com sua abstração e lógica, seja apenas compatível com o raciocínio masculino, afastando as mulheres dessa área?
Nosso objetivo aqui é mostrar que as respostas a essas perguntas são negativas. Vamos tentar, diante das nossas possibilidades, resgatar um pouco da história feminina na Matemática. Detalharemos alguns fatos da biografia de mulheres intrépidas e notáveis que, vencendo preconceitos e obstáculos, se destacaram e tiveram seus nomes gravados na história dessa nossa fascinante Ciência, indo onde poucos homens foram capazes de chegar. 
 
ANTIGUIDADE
Hipatia de Alexandria ( ou Hipácia de Alexandria) 
A primeira mulher a nos chegar registro de ter trabalhado e escrito algum texto em Matemática foi a grega Hipatia. Ela nasceu em Alexandria por volta do ano 370. Mesmo já entrando em sua fase de declínio, Alexandria era famosa por seu Museu e por sua Biblioteca, que reuniam as mais importantes obras científicas daquela época. A cidade cosmopolita ainda era um caldeirão efervescente de idéias científicas.
Foi nesse universo que Hipatia nasceu e foi criada. Da sua formação, sabe-se apenas que ela foi educada por seu pai, Teon de Alexandria, que trabalhava no Museu. Ele ficou conhecido por seus comentários sobre o Almagesto de Ptolomeu, e de uma edição revista dos Elementos de Euclides que serviu de base às edições posteriores dessa obra. Apesar do fato de que nenhum fragmento desses escritos terem sido preservados, parece que ela deve ter ajudado seu pai nesse trabalho. Acredita-se também que ela própria escreveu comentários sobre As Secções Cônicas de Apolônio, sobre a Aritmética de Diofanto e sobre o Almagesto. Portanto, sobre toda pesquisa Matemática de ponta de seu tempo. Ela também inventou alguns aparelhos mecânicos e escreveu uma tábua de Astronomia.
Hipatia destacou-se por sua beleza, eloqüência e cultura. Estudou Platão, Aristóteles e outros filósofos importantes, tornando-se ela mesma uma deles. Como de praxe aos filósofos daquela época, ela entrava em discussões filosóficas acirradas com seus interlocutores nas praças do centro da cidade, expondo suas idéias, sem receio algum da presença de quem quer que fosse. Chegou a ser diretora da escola Neo-platônica de Alexandria, ministrou aulas no Museu de Alexandria e eram muitos os que vinham de longe e se encantavam com os seus ensinamentos. Seu aluno mais célebre foi o filósofo Sinesius de Cirene. Entretanto, sua filosofia pagã (séculos depois ainda seria acusada de bruxaria!) e seu prestígio suscitaram a inveja de seus opositores.
O fim dessa mulher foi trágico e triste. Por intermédio de Sinesius, Hipatia tornou-se íntima de Orestes, Prefeito de Alexandria. O poder político e religioso de Alexandria estava em disputa entre Orestes, e São Cirilo, O Infame, Patriarca de Alexandria. Hipatia foi acusada de aconselhar Orestes a não se reconciliar com Cirilo. Isto foi o suficiente para incitar a fúria de uma turba de cristãos fanáticos. Um dia ao chegar em casa, Hipatia foi surpreendida por esta turba enfurecida que a atacou, despindo-a, matando-a, esquartejando seu corpo e depois queimando os pedaços que se espalharam pelas ruas.
Com a trágica morte de Hipatia em 415- possivelmente a única data precisa que se conhece da sua vida - muitos também consideram que termina com ela a gloriosa fase da Matemática Alexandrina e de toda Matemática Grega.
Após Hipatia, a Matemática na Europa Ocidental entraria numa estagnação, onde nada mais seria produzido por um período mil anos! No entanto, o nome dessa mulher sobreviveu, e no decorrer do tempo, desde sua morte, sua vida tem sido citada e biografada por vários autores. 
 
DO SÉCULO V AO SÉCULO XVIII 
Após Hipatia existe um vazio de doze séculos onde o nome de nenhuma mulher matemática é registrado.
Convém ressaltar, entretanto, que durante este período, mesmo com inúmeros preconceitos, várias mulheres conseguiram se dedicar à cultura e ao intelecto. Nas Cortes eram admiradas as pessoas que possuíam cultura literária, musical, filosófica, científica, etc. Leve-se em conta que nas reuniões culturais da alta sociedade da época, uma mulher exibir algum conhecimento em Álgebra, Geometria ou em qualquer recente invenção matemática, chegava a ter um certo sabor de esnobismo e excentricidade.
Para termos idéia do interesse de algumas nobres pela Matemática, vamos citar algumas delas e alguns de seus renomados professores (coisa de dar inveja a muitos cientistas de hoje): Viéte ensinou a Catarina de Partheanay, Princesa de Rohan-Soubise e assegurava ser ela uma dos seus melhores alunos; Descartes foi para a Corte sueca ser professor particular de filosofia da Rainha Cristina (mulher excepcional e extravagante para a sua época); já Leibniz, ensinou a Sofia, eleitora de Hannover e sua filha, Sofia Carlota, Rainha da Prússia e mãe de Frederico, O Grande.
Várias mulheres também deram sua parcela de colaboração se dedican-do a fazer os cálculos que a Ciência daquela época demandava, principalmente os de Astronomia, que eram muito laboriosos e exigiam bastante tempo. 
 
SÉCULO XVIII 
Neste século, a Ciência toma um novo rumo, baseada no Cálculo que Newton e Leibniz inventaram no final do século anterior. Já se tinha uma maneira mais rigorosa e eficaz de explicar vários fenômenos da natureza, baseada nos conceitos de infinitésimos, derivadas e integrais, conceitos esses, que cada vez mais se difundiam e se sofisticavam. 
 
Marquesa de Châtelet 
No começo do século XVIII nascia Gabrielle-Émile Le Tonnelier de Bre-teuil (17 de Dezembro de 1706) que mais tarde se tornaria conhecida como a Marquesa de Châtelet e teria seu papel na divulgação e, conseqüentemente, no desenvolvimento do Cálculo Newtoniano. Gabrielle teve na infância uma educação requintada. Com o incentivo do pai, homem rico e poderoso, aprendeu Literatura, Música, várias línguas e também Matemática, que se tornaria seu maior interesse. Aos 19 anos ela casou-se com Florent-Claude, Marquês de Châtelet e Conde de Lemont, governador da Cidade de Semur-en-Auxois. Após cinco anos, o casal vai morar em Paris, onde Gabrielle desfrutou de uma vida frívola nos saraus da alta sociedade parisiense. Esse período só terminaria aos 27 anos de idade, quando ela decide dedicar-se integralmente à Matemática. Entre seus amantes, figuram o matemático Maupertius, que era defensor da Física Newtoniana em detrimento à Cartesiana, e de quem recebeu lições de Matemática, e o mais famoso dentre eles: Voltaire, com o qual ficaria ligada pelo resto de sua vida. O Marquês, por sinal, tinha imenso orgulho em ter personagem tão eminente como amante oficial de sua esposa. Quando visitava sua casa, já que passava grande parte do tempo ausente, viajando para tratar de assuntos militares, o Marquês deliciava-se com as discussões científicas e filosóficas travadas por Voltaire e a Marquesa durante os jantares. A ligação entre a Marquesa e Voltaire foi de grande intensidade intelectual e amorosa, a ponto de decidirem viver isolados durante anos em Cirey, no interior da França, onde Voltaire refugiava-se das perseguições que sofria devido aos seus escritos. Diante das inúmeras atividades filosóficas e científicas que o casal promovia, sua residência em Cirey tornou-se um dos mais badalados centros de atividades intelectuais francesas da época, como também, palco de inúmeras fofocas maliciosas. Gabrielle escreveu váriosartigos científicos. Colaborou com Voltaire no seu Elementos da Física Newtoniana. Escreveu vários ensaios sobre Ciência e Filosofia e em 1740, um livro de inspiração na Física leibniziana “As instituições da Física”. Este livro que teve quatro edições e era dedicado à educação de seu filho. Foi aclamado como uma “extraordinária e lúcida exposição da Física de Leibniz”. O livro abriu espaço para várias discussões e debates sobre os novos conceitos da Física que ora se desenvolviam. Entretanto, Voltaire, como um ar-dente defensor de Física Newtoniana, a dissuadiu de seguir os caminhos de Leibniz, convencendo-a a retomar as trilhas das idéias de Newton. Em 1745 ela começa a tradução do Latim para o Francês do Principia Mathematica de Newton, obra magna do pensamento científico newtoniano. A Marquesa continuaria este trabalho até sua morte, revisando e acrescentando comentários e adendos à sua tradução. Apenas em 1759, é que esta tradução foi publicada integralmente e teve um prefácio escrito por Voltaire. Até nossos dias, o livro permanece como a única tradução em língua francesa do Principia. Gabrielle morre em 1749, aos 42 anos, devido talvez ao parto de uma filha, fruto de seu relacionamento com um jovem amante que acabara de conhecer. Apesar de sua vida pessoal ter sido alvo de vários comentários maldosos e de sua obra científica não ser original, Chatêlet, com seu trabalho de tradução e comentários, teve um papel importantíssimo na consolidação da Física newtoniana no século X D.C. 
 
Maria Gaetana Agnesi 
Contemporânea da Marquesa, mas de uma vida pessoal totalmente diferente da dela, Maria Gaetana Agnesi, seria sem dúvida, a primeira mulher matemática a ter notoriedade e reconhecimento oficial no meio científico de sua época.
Agnesi nasceu em Milão, no ano de 1718. Garota precoce e inteligente, teve uma educação esmerada planejada por seu pai, professor de Matemática na Universidade de Bolonha, que logo reconheceu a prodigiosidade da filha. Ele introduziu sua filha nas reuniões acadêmicas que organizava, onde se encontravam acadêmicos, cientistas e intelectuais renomados. Mesmo de personalidade recatada e tímida, ela discutia Ciência e Filosofia com seus convidados. As discussões nessas reuniões, que estavam em moda naquela época, se davam em Latim, mas se algum estrangeiro dirigia-se a ela, prontamente respondia-lhe na língua do interlocutor. Ela era uma poliglota fluente. Já aos onze anos, falava Latim e Grego perfeitamente, além de Hebraico, Francês, Alemão e Espanhol.
Sua reputação como debatedora, seu conhecimento sobre vários assuntos e a clareza de suas idéias logo lhe deram fama. Agnesi conhecia a Matemática moderna de sua época. Tinha estudado os trabalhos de Newton, Leibniz, Euler, dos irmãos Bernoulli, de Fermat e de Descartes, o que sem dúvida, lhe garantia respeito e lhe dava notoriedade. Nas reuniões, além de Matemática, ela discutia Física, Lógica, Ontologia, Mecânica, Hidromecânica, Elasticidade, Mecânica Celeste, Gravitação Universal, Química, Botânica, Zoologia e Mineralogia.
Aos 20 anos ela publica um tratado em Latim, “Propositiones Philosophicae”, onde insere várias de suas teses e defende a educação superior para mulheres. Nesse período decide dedicar-se a vida religiosa e entrar para uma Ordem. Com a oposição de seu pai a essas idéias, o máximo que consegue é convencê-lo de não mais freqüentar as reuniões acadêmicas que ele organizava, onde ela era exibida como uma prodígio intectual. Outras de suas reinvidicacões aceitas foi a de ir à igreja quando quisesse, vestir-se modestamente e não mais freqüentar teatros, festas, etc. Na verdade, seu ingresso na vida religiosa só se daria anos mais tarde, após o falecimento de seu pai, quando ela definitivamente abandona a Ciência e dedica-se totalmente a religião. Entretanto, antes dessa decisão, ela passaria 10 anos de sua vida dedicados ao estudo da Matemática e escreveria o que se tornaria a obra principal de sua produção intelectual, a Instituzioni Analitiche ad uso della Gioventú. Este foi um dos primeiros textos de Cálculo escrito de forma didática e com o objetivo específico de ensinar. Continha grande parte da Matemática moderna daquela época, que estava apenas em nível de conhecimento e entendimento para os grandes matemáticos europeus. Agnesi ofereceu este trabalho a Imperatriz Maria Tereza da Áustria, de quem recebeu um anel de diamante e uma carta de agradecimento dentro de uma caixa de cristal incrustada de diamantes. A obra consistia em quatro grandes volumes onde eram apresentados sistematicamente tópicos de Álgebra, Geometria Analítica, Cálculo e Equações Diferenciais. Os volumes somavam mais de 1000 páginas que foram publicados em 1748 e obteve aclamação imediata. Um comitê da Academia de Ciência francesa encarregado de avaliar a obra, declarou na sessão de 6 de Dezembro de 1749:
 ‘Este trabalho caracteriza-se por sua organização cuidadosa, por sua clareza e precisão. Não há nenhum outro livro, em qualquer língua, que possa permitir ao leitor penetrar tão profunda ou rapidamente nos conceitos fundamentais da Análise. Nós o consideramos como o mais completo e o melhor em seu gênero’.
Em 1775 esse trabalho era publicado em Francês por decisão de uma comissão da Academia Real de Ciências, da qual participavam os matemáticos d’Alambert e Vandermonde.
Um professor de Matemática da Universidade de Cambrige, Jonh Calson, apesar de sua idade avançada, decidiu a largo custo aprender italiano apenas para traduzir o Instituizione para o Inglês, com o único intuito de que a juventude inglesa pudesse se beneficiar desta obra, tanto quanto a italiana.
A notoriedade de Agnesi espalhou-se rapidamente. Embora não fosse aceita na Academia francesa, já que nem poderia ser indicada por ser mulher, a Academia Bolonhesa de Ciência a elegeu como membro. Em 1749, o Papa Benedito XIV conferiu-lhe uma medalha de ouro e uma grinalda de flores de ouro com pedras preciosas pela publicação de seu livro e a indicou como professora de Matemática e Filosofia Natual da Universidade da Bolonha. Embora não tendo assumido sua cadeira de cátedra, tornou-se formalmente a primeira mulher matemática professora.
Em 1762, a Universidade de Turin consulta sua opinião sobre um trabalho de Cálculo das Variações escrito pelo jovem Lagrange. No entanto esses assuntos já não mais a interessavam. Desde 1752, após a morte de seu pai, ela tinha abandonado a Ciência, assumido a vida religiosa que desejara. Não se tornou uma freira, mas vivia como uma delas. Fundou uma casa de caridade e decidiu viver isolada da família. Fez voto de pobreza, dividiu seus presentes e sua herança com os mais necessitados, e seu único interesse seria dar aulas de Catecismo e cuidar dos pobres e doentes de sua paróquia; trabalho esse que só cessaria com sua morte em 1799 aos 81 anos de idade. Desde da juventude, Agnesi contraiu uma doença, que alguns médicos atribuíram ao excesso de atividade intelectual e da vida sedentária que ela levava.
Infelizmente Agnesi, que muitos sequer imaginam ser uma mulher, é apenas conhecida por uma curva de terceiro grau, que leva seu nome, chamada “Curva de Agnesi”. 
 
Sophie Germain 
Sophie nasceu em uma abastada família francesa, em Paris, Abril de 1776. Seu pai, membro próspero da burguesia, possuía uma imensa biblioteca que lhe proporcionou uma educação de alto nível. Aos treze anos, enquanto na França explodia a Revolução, ela, confinada na biblioteca, dedicava-se a seus estudos. Foi neste período que leu o episódio da morte de Arquimedes que, agachado, escrevendo na areia, absorto em seus diagramas, foi morto por um soldado romano. Daquele dia em diante, Arquimedes tornou-se seu herói e sua biografia deixou a jovem de tal modo fascinada, que ela decidiu dedicar-se a Matemática.
Após tornar-se autodidata em Grego e Latim, estudou os trabalhos de Newton e de Euler, apesar da forte oposição de seus pais. Eles tentaram de tudo para persuadir a filha a não seguir a carreira matemática e ficar estudando até altas horas da noite: tirarama luz do seu quarto, confiscaram o aquecedor...,mas nada fê-la mudar de opinião. Sophie persistente, continuava estudando à luz de velas, escondida embaixo dos cobertores. Ela roubava as velas da dispensa da família e as usava à noite. Sua determinação entretanto, derrotou a oposição de seus pais que acabaram liberando seu acesso aos livros de Matemática da família. 
Mas a biblioteca tornou-se pequena para o seu desejo de aprender. Em 1794, a até hoje célebre, École Polythecnique foi inaugurada em Paris, mas Sophie não pode cursá-la por ser mulher. Mesmo assim, conseguiu umas notas de um curso de Análise que Lagrange acabara de ministrar. Fingindo ser um dos alunos do École, sob o pseudônimo masculino de M. Le Blanc, Sophie submeteu a Lagrange umas notas que tinha escrito sobre Análise. Lagrange ficou de tal modo impressionado com aquele artigo que procurou conhecer seu autor. Após descobrir sua verdadeira autoria, tornou-se a partir daí seu mentor matemático.
Naquela época, uma maneira que os cientistas tinham de trocar idéias e divulgar suas descobertas era através de cartas, correspondendo-se uns com os outros. 
Durante sua vida, Sophie manteve contacto com vários cientistas. Suas correspondência com Legendre foi bastante volumosa e numa segunda edição de seu livro 
Essai sur le Théorie des Nombresele  incluiu várias descobertas matemáticas de Sophie relatadas em suas cartas.
Em 1804, após estudar o Disquisitiones Arithmeticae de Gauss, ainda escondida na figura de M. Le Blanc, ela começa a corresponder-se com ele. Em 1807 as tropas de Napoleão invadem Hannover, uma cidade alemã próxima de onde Gauss estava. Temendo pela segurança de Gauss e relembrando o episódio da morte de Arquimedes, Sophie consegue com um general que comandava o exército e era amigo da família, que lhe fosse mandado um enviado a fim de manter o gênio matemático a salvo. Ao chegar até Gauss, o enviado mencionou o nome de Madmoiselle Germain, por intermédio de quem ele estava ali para protegê-lo. Criou-se uma enorme confusão para Gauss, pois seu correspondente francês era o Senhor Le Blanc, não uma mulher, e ele não conhecia nenhuma Madmoiselle Germain. Após toda verdade ser desvendada e os fatos esclarecidos, Gauss escreve a sua protetora uma carta de agradecimento onde externa seu espanto pela verdadeira identidade “do seu correspondente” e aproveita a oportunidade para elogiar a coragem e o talento de Sophie para estudar Matemática.
Anos mais tarde, Gauss tentou convencer a Universidade de Göttingen a ofertá-la um doutorado honoris causa , mas ela morrera antes que isso pudesse ser realizado.
Sophie resolveu alguns casos particulares do ‘Último Teorema de Fermat’,donde nasceu a definição de “números primos de Sophie Germain” e, em 1816, ganhou um concurso promovido pela Academia de Ciências da França, resolvendo um problema que foi proposto na época sobre vibrações de membranas. De seus trabalhos e pesquisas nesta área é de onde nasceu o conceito de curvatura média de superfícies, conceito este, que é hoje objeto de pesquisa de vários matemáticos na área de Geometria Diferencial. Sobre o trabalho premiado.
“As Mulheres na Matemática” de Sophie, Cauchy escreveu que “ambos, o autor e importância do assunto, merecem atenção dos matemáticos” e Navier ressaltou sobre seu trabalho que “poucos homens podiam ler e apenas uma mulher foi capaz de escrever”. Suas idéias sobre elasticidade foram fundamentais na teoria geral da Elasticidade criada posteriormente por Fourier, Navier e Cauchy.
Além de Matemática, Sophie estudou Química, Física, Geografia, História, Psicologia e publicou dois volumes com seus trabalhos filosóficos, um dos quais mereceu o elogio de Auguste Comte. 
Ela continuou trabalhando em Matemática e Filosofia até sua morte em 1831.,br>Embora com algumas falhas matemáticas, devidas talvez a seu autodidatismo e a seu isolamento do meio acadêmico matemático, Sophie Germain foi sem dúvida, a primeira mulher a fazer um trabalho matemático inédito e de grande importância. 
 
Mary Fairfax Greig Somerville 
Somerville nasceu na Escócia, no ano de 1780 e não teve educação escolar antes dos dez anos de idade. Foi quando seu pai, vice-almirante da Marinha Real Britânica, que vivia viajando e passava longos períodos ausente de casa, retornou do mar e tomou consciência de que sua filha vivia “como uma selvagem”: não sabia escrever, lia pessimamente e não conhecia sequer os rudimentos básicos de Aritmética.
Prontamente a menina foi mandada para uma escola onde passou um ano estudando. Foi a única vez durante toda sua longa vida que ela recebeu educação escolar formal. O resultado foi um pouco de gramática francesa e inglesa, noções simples de Aritmética, uma caligrafia pobre. Em contrapartida, brotaram nela uma disposição e uma vontade enorme de aprender. Para a educação tradicional de uma mulher da época, o que ela tinha estudado naquele ano de colégio era mais do que o suficiente, segundo o que a família pensava. Mas ela não se contentou com isso. Por si só, estudou Latim e Grego (o que depois lhe deram possibilidades para ler os livros clássicos científicos) e não perdeu nenhuma oportunidade de aprender tudo o que podia. 
Aos treze ou quatorze anos de idade, num chá da tarde com algumas amigas, quando folheava uma revista de moda feminina, encontrou algumas linhas estranhas misturadas com as letras X e Y. Era um problema matemático. Daqueles que freqüentemente apareciam nessas publicações. Curiosa como era, quis saber o que significavam aqueles símbolos. Apenas conseguiu descobrir com uma amiga que se tratava de Álgebra, um certo tipo de Aritmética que usava letras ao invés de números. Mas aquela pergunta não saiu da sua cabeça. Nenhum livro em sua casa pôde adicionar nada ao que já tinha descoberto. Casualmente, ouviu falar dos Elementos de Euclides, mas era difícil conseguir um exemplar e nem seria decente para uma mulher chegar numa livraria e comprar um livro de Matemática. Finalmente, por intermédio de seu irmão mais novo, conseguiu um exemplar, não só dos Elementos, mas também da Álgebra de Bonnycastle, livros usados nas escolas em seu tempo. Daí por diante, foi apenas estudar e aprender.
Numa das vezes que seu pai retornou a sua casa e soube o que Somerville estava estudando, ficou furioso. De imediato chamou a esposa e reclamou “precisamos dar um basta nisso ou um dia desses vamos ver Mary vestida num jaquetão (como um homem)!!”. Tal como ocorrera com Sophie Germain, retiravam a luz do seu quarto para impedi-la de estudar à noite. O que sem dúvidas, não surtiu efeito algum.
Incrivelmente, sua liberdade para dedicar-se a Ciência surge com o casamento. Aos 24 anos ela casa-se com um primo que, segundo suas palavras, “tinha uma opinião bastante pobre sobre a capacidade feminina e nenhum interesse em ciência de qualquer tipo”. Ele morreria três anos mais tarde deixando-lhe um filho, e uma herança, que a permitiu ter uma vida financeira sem preocupações, apenas dedicando-se a seus estudos. Oito anos depois, aos 32 anos, ela casa-se novamente com outro primo, Dr. Willem Somerville, que encoraja a sua carreira científica. O Dr. Somerville era médico, e o casal manteve um círculo de amizades bastante admirável que incluía vários cientistas e intelectuais. Essas amizades favoreceram o contacto de Somerville com outros matemáticos que a auxiliaram em sua formação. 
Somerville estudou o Principia de Newton, Astronomia Física e Matemática Superior. Publicou vários artigos sobre Física experimental e a pedidos de amigos cientistas, traduziu para o Inglês o fabuloso e obscuro tratado de Laplace “Mécanique Céleste”. Ela estava aos 51 anos quando a tradução foi publicada. Esta logo se tornou popular e foi utilizado como livro texto de Astronomia Matemática por quase um século, tendo posteriormente várias edições publicadas. Ressalte-se que seu trabalho não foi apenas de tradução, ela clareou e explicou o texto de Laplace. O próprio prefácio de sua tradução, escrito por ela, chegou a ser publicada separadamente com