Lab-MAF2201 - Física Geral e Experimental I

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Caderno de Laboratório 
de Física 1 
 
disciplina: MAF2201 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANO 2015 
Caderno de Laboratório de Física 1 
Elaborado pelos professores do Curso de Física da 
Pontifícia Universidade Católica de Goiás 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Goiânia – 2015 
 
 
Sumário 
 
 
 
Aula 1 Metodologia: Relatórios e Normas de Laboratório.............................................................. 01
Aula 2 Teoria de Erros I: Algarismos Significativos, Arredondamentos e Incertezas.................... 05
Aula 3 Teoria de Erros II: Tratamento Estatístico de Medidas....................................................... 09
Aula 4 Aplicações da Teoria de Erros............................................................................................ 13
Aula 5 Instrumentos de Medidas I: Paquímetro............................................................................. 17
Aula 6 Instrumentos de Medidas II: Micrômetro............................................................................. 23
Aula 7 Gráficos I: Papel Milimetrado.............................................................................................. 29
Aula 8 Lei de Hooke....................................................................................................................... 37
Aula 9 Gráficos II: Papel Monolog.................................................................................................. 43
Aula 10 Gráficos III: Papel Dilog.................................................................................................... 49
Aula 11 Queda Livre........................................................................................................................ 55
Aula 12 Lançamento Oblíquo de um Projétil................................................................................... 59
Aula 13 Verificação Experimental da 2ª Lei de Newton.................................................................. 63
Aula 14 Equilíbrio I: Momento de um Força.................................................................................... 67
Aula 15 Equilíbrio II: Forças Coplanares......................................................................................... 71
Aula 16 Colisão Inelástica: Pêndulo Balístico................................................................................. 75
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caderno de Laboratório de Física 1 
Elaborado pelos professores do Curso de Física da 
Pontifícia Universidade Católica de Goiás 
 
Goiânia - 2015 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015  1
Aula 1 
Metodologia: Relatórios e Normas de Laboratório 
 
 
 
1.1 Introdução 
 
As práticas de laboratório representam um elemento complementar fundamental para a 
disciplina Física Geral e Experimental 1, devendo merecer especial atenção em sua multiplicidade de 
funções. Os experimentos foram estruturados de modo a abranger grande parte do programa teórico 
dessa disciplina. 
 
1.2 Cronograma 
 
AULAS 
01 Metodologia: Relatórios e Normas de Laboratório 
02 Teoria de Erros I 
03 Teoria de Erros II 
04 Aplicação da Teoria de Erros 
05 Instrumentos de Medidas I: Paquímetro 
06 Instrumentos de Medidas II: Micrômetro 
07 Construção de Gráficos I: Papel Milimetrado 
08 Lei de Hooke 
09 Construção de Gráficos II: Papel Logarítmico - Monolog 
10 Construção de Gráficos III: Papel Logarítmico - Dilog 
11 Corpos em Queda Livre 
12 Lançamento Oblíquo de Projéteis 
13 Leis de Newton: verificação experimental da 2ª lei 
14 Equilíbrio I: Momento de uma Força 
15 Equilíbrio II: Resultante de Forças Coplanares 
16 Colisões Inelásticas: Pêndulo Balístico 
 
1.3 Relatório 
 
Uma etapa importante no trabalho científico é a divulgação dos resultados obtidos. O relatório 
deve ser o mais objetivo possível e conter as informações essenciais sobre o que foi feito, como foi 
feito e os resultados obtidos. São apresentados a seguir os itens essenciais de um relatório 
correspondente a uma prática de laboratório. 
 
a) CAPA DO RELATÓRIO – Deve conter: a) nome da instituição e departamento; b) título 
da experiência; c) nome do aluno; c) turma de laboratório; e) data da realização da 
experiência; f) nome do professor. 
 
b) OBJETIVO (OU OBJETIVOS) – Descrição, de forma clara e sucinta, do(s) objetivo(s) a 
ser(em) alcançado(s) no experimento. 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015 2 
c) INTRODUÇÃO – É a parte inicial do texto, em que o aluno expõe o assunto de forma 
clara e sistemática, incluindo informações sobre a natureza e a importância do 
experimento. 
 
d) MATERIAIS UTILIZADOS – Descrição completa do material utilizado, dando suas 
características principais e, se possível, um esboço gráfico das partes principais do 
equipamento. As figuras devem conter números e legendas que as identifiquem. 
 
e) PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS – Descrição, de forma objetiva, das etapas na 
realização do experimento. 
 
f) RESULTADOS – A apresentação dos resultados obtidos deve ser feita de forma objetiva, 
exata, clara e lógica. Podem ser incluídas tabelas, desenhos, gráficos, mapas, 
esquemas, modelos, fotografias, etc. Se possível, faça uma comparação entre os 
resultados experimentais e os resultados teóricos, e caso exista discrepância entre eles, 
faça comentários. 
 
g) CONCLUSÕES – É a parte final do relatório, em que se apresentam, resumidamente, a 
conclusão dos resultados obtidos, tendo em vista o objetivo do experimento. 
 
h) REFERÊNCIAS – As referências constituem um conjunto de livros e/ou textos utilizados 
na elaboração do relatório. As referências devem ser numeradas e conter os seguintes 
elementos: autor, título, número de edição, editor e data, endereço eletrônico (se for o 
caso). Exemplos: 
 
Artigos: 
Pires, M. G. S.; Rodrigues, P. H.; Sampaio, C. C. C.; Rodrigues, C. G. Measure of the 
Sound Pressure Level in an Urban Center, Jornal Brasileiro de Fonoaudiologia, vol. 03, 
pp. 263-266, 2002. 
 
Livros: 
Hallyday, D.; Resnick, R.; Walker, J. Fundamentos de Física, vol. 1, editora LTC, Rio de 
Janeiro, 2003. 
 
Sites: Coloque o nome do autor e o título do texto que foi retirado do site, o nome do site, e a 
data em que o site foi acessado para a pesquisa. 
 
Rodrigues, Clóves Gonçalves. Poluição Sonora. In: http://www.sbfisica.org.br/rbef/ojs/ 
index.php/rbef, acessado em 15 de fevereiro de 2013. 
 
1.4 Formas de Avaliação 
 
Na composição das médias N1 e N2 da disciplina, a nota das atividades experimentais terá o 
valor máximo de dois pontos (2,0). Todas as aulas de laboratório são avaliativas. A participação do 
aluno na realização do experimento, a entrega do relatório, as atividades correspondentes aos 
experimentos e o porte do material necessário (apostila de laboratório, calculadora, lápis, borracha, 
etc.) serão considerados na avaliação. Não haverá reposição de práticas de laboratório. Os alunos 
que faltarem à determinada prática de laboratório terão automaticamente nota zero naquele 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015  3
experimento. No processo de avaliação será considerado para a nota, o número total de aulas 
menos uma, ou seja, a nota mais baixa será desprezada. No entanto, não há abono de faltas. 
Observação: antes de entregar as notas para o professor de teoria, o professor de laboratório 
deverá apresentar e discutir essas notas com os alunos. 
 
1.5 Normas de Laboratório 
 
O laboratório é um lugar onde observações são feitas sob condições controladas, de forma queos resultados podem ser reproduzidos. Portanto, na execução das experiências, os alunos devem 
seguir certas normas. São elas: 
 
a) Não é permitido o uso de apostilas dos semestres anteriores; 
 
b) Chegar pontualmente à aula prática de laboratório (tolerância máxima de 15 minutos); 
 
c) Ler atentamente as instruções relativas à sua experiência; 
 
d) Começar a manipular o experimento somente após a autorização do professor; 
 
e) Examinar os aparelhos que serão utilizados nas experiências, de modo a se familiarizar 
com o seu funcionamento e leitura de suas escalas; 
 
f) Nunca tocar com lápis ou caneta em escalas, instrumentos de medida, lentes etc.; 
 
g) Nunca apertar de forma demasiada os parafusos que servem para imobilizar 
temporariamente certas peças, e não forçar uma peça que não se mova com facilidade. 
Deslocar suavemente as peças móveis; 
 
h) Procurar executar cada medição com a maior precisão possível, pois disso depende o 
correto resultado do experimento; 
 
i) Anotar todas as explicações dadas pelo professor, pois essas notas serão úteis na 
resolução das questões; 
 
j) Elaborar o relatório com clareza, e sempre que necessário, ilustrá-lo com gráficos e 
esquemas; 
 
k) Levar para o laboratório o material didático necessário: apostila de laboratório, 
calculadora, caneta, lápis ou lapiseira e régua. A apostila de laboratório está disponível 
no site: http://www.pucgoias.edu.br/fisica. Click em “Cadernos de Laboratório” => 
MAF2201-Física Geral e Experimental 1; 
 
l) Em hipótese alguma brincar com materiais e equipamentos destinados aos 
experimentos; 
 
m) No final de cada aula, antes da saída dos alunos, o professor verificará o funcionamento 
dos equipamentos utilizados. Em caso de dano de algum material ou equipamento 
decorrente de mau uso por parte do(s) aluno(s), o professor deverá comunicar ao 
coordenador responsável pelo laboratório para que sejam tomadas as devidas 
providências. 
 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015 4 
1.6 Bibliografia Sugerida 
 
 HELENE, O. O que é uma medida física? Revista Brasileira de Ensino de Física, vol. 13, 
no. 12, Rio de Janeiro, 1991. 
 
 LKHACHEV, V. P.; CRUZ, M. T. Quantas medidas são necessárias para o conhecimento 
de uma grandeza física? Revista Brasileira de Ensino de Física, vol. 22, no. 4, Rio de 
Janeiro, 2000. 
 
 HALLYDAY, D.; RESNICK, R.; e WALKER, J. Fundamentos de Física, vol. 1, editora 
LTC, Rio de Janeiro, 2003. 
 
 ALONSO, M. S.; FINN, E. S. Física, vol. 1, editora Edgard Blücher, São Paulo, 1998. 
 
 NUSSENZVEIG, H. M. Curso de física básica, vol. 1, editora Edgard Blücher Ltda., São 
Paulo, 1981. 
 
 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015  5
Aula 2 
TEORIA DE ERROS I 
Algarismos Significativos, Arredondamentos e Incertezas 
 
 
 
2.1 Objetivos 
 
Familiarizar o aluno com os algarismos significativos, com as regras de arredondamento e as 
incertezas inerentes às medidas. 
 
2.2 Algarismos Corretos e Avaliados 
 
Imagine que se esteja realizando uma medida qualquer, como por exemplo, a medida do 
comprimento de uma barra de madeira com uma régua milimetrada (veja Figura 2.1). Observe que a 
menor divisão da régua utilizada para fazer a medição é de 1 mm (um milímetro). Ao se tentar 
expressar o resultado dessa medida, percebe-se que ela está compreendida entre 152 e 153 mm. A 
fração de milímetros que deverá ser acrescentada a 152 mm terá de ser avaliada, pois a régua não 
apresenta divisões inferiores a 1 mm. Para se fazer esta avaliação, deve-se imaginar um intervalo 
entre 152 e 153 mm subdividido em 10 partes iguais, e acrescentar a fração de milímetro que for 
avaliada. 
Na Figura 2.1, pode-se avaliar esta fração como sendo de 3 décimos de milímetros e o 
resultado da medida poderá ser expresso como 152,3 mm. Observe que existe segurança em 
relação aos algarismos 1, 5 e 2, pois eles foram lidos através de divisões inteiras da régua, ou seja, 
eles são algarismos corretos. Entretanto o algarismo 3 foi avaliado, isto é, não se tem certeza sobre 
o seu valor e outra pessoa poderia avaliá-lo como sendo 2 ou 3. Por isso, este algarismo avaliado é 
denominado algarismo duvidoso ou algarismo incerto. 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.1 - Régua milimetrada usada para medir o comprimento de uma barra de madeira. 
 
O resultado de uma medida deve conter somente o(s) algarismo(s) correto(s) e o primeiro 
algarismo avaliado. Essa maneira de proceder é adotada convencionalmente por todas as pessoas 
que realizam medidas (físicos, químicos, engenheiros etc.). Esses algarismos (os corretos mais o 
primeiro avaliado) são denominados algarismos significativos. 
Assim, quando uma pessoa informar que mediu a temperatura de um objeto e encontrou 
27,840C, deve-se entender que a medida foi feita de tal modo que os algarismos 2, 7 e 8 são corretos 
e o último algarismo, neste caso o 4, é duvidoso (ou avaliado). 
 
 
130  140  150 160 170 
mm 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015 6 
2.3 Arredondamentos de Números 
 
 Frequentemente ocorre que números devem ser arredondados. Por exemplo, na soma ou 
subtração de duas quantidades, as mesmas devem ser escritas com apenas um algarismo duvidoso. 
O arredondamento deve ser empregado na eliminação dos algarismos não significativos de um 
número. Suponha, por exemplo, que uma determinada medida de temperatura foi apresentada na 
forma 
 
28,63480C; 28,3500ºC; 28,6500 ºC; 28,276ºC; 28,85007ºC 
 
e queremos apresentá-la somente com três algarismos significativos. Para os propósitos das práticas 
de laboratório desenvolvidas neste curso, serão adotadas as seguintes regras: 
 
a) Se o primeiro algarismo excedente for menor do que cinco, o algarismo anterior 
permanece inalterado (arredondamento para baixo); 
b) Se o primeiro algarismo excedente for maior do que cinco, ou cinco seguido de pelo menos 
um número diferente de zero, o algarismo anterior é aumentado de uma unidade 
(arredondamento para cima). 
c) Se o primeiro algarismo excedente for igual a 5 seguido apenas de zeros, faz-se com que 
o número fique par (caso o último algarismo que fica seja ímpar, soma-se a ele uma 
unidade para torná-lo par). 
 
Portanto, as medidas anteriores podem ser expressas como: 
 
28,6ºC; 28,4ºC; 28,6ºC; 28,3ºC; 28,9ºC 
 
2.4 Operações com Algarismos Significativos 
 
A) ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 
 
Suponha que queiramos fazer a seguinte adição: 
 
4,806 + 0,0793 + 73,646 + 325,34 
 
Para encontrar o resultado, efetue a soma sem abandonar nenhum algarismo e escreva o 
resultado com um número de casas decimais igual ao da parcela que possui o menor número dessas 
casas. Assim, para o exemplo acima, a soma resultaria em 403,8713. Reduzindo esse resultado ao 
menor número de casas decimais das parcelas, o resultado final é 
 
403,87 
 
B) MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 
 
Considere a multiplicação dos números 3,67 por 2,3. Fazendo a multiplicação normalmente, 
encontra-se: 
3,672,3 = 8,441 
 
 Note que realizando o cálculo dessa forma aparecem no produto algarismos que são 
incoerentes com a precisão das medidas. Para evitar isso, deve-se observar a seguinte regra: 
“verifique qual fator possui o menor número de algarismos significativos e, no resultado da 
multiplicação, mantenha apenas o número de algarismos igual ao deste fator”. Assim, como o fator 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015  7
que possui o menor número de algarismos significativos é o 2,3, o resultado deve ser escrito da 
seguinte maneira: 
3,672,3 = 8,4 
 
COMENTÁRIOS: 
 
a) As regras discutidas acima para os algarismos significativos não devem ser consideradas 
com extremo rigor, pois se destinam apenas a facilitar os cálculos e evitar o trabalho com 
números sem qualquer significado para a medida. Na multiplicaçãoanterior seria razoável, 
sem extremo rigor, manter um algarismo a mais no resultado: 
 
3,672,3 = 8,4 ou 3,672,3 = 8,44 
 
b) Ao se realizar uma mudança de unidades, deve-se tomar cuidado para não serem escritos 
zeros que não sejam significativos. Suponha, por exemplo, que queiramos expressar, em 
metros, uma medida de 8,4 km. Observe que esta medida possui dois algarismos 
significativos, sendo duvidoso o algarismo 4. Escrevendo: 8,4 km = 8400 m, o número 4 
estaria sendo considerado como um algarismo correto e o último zero acrescentado seria o 
algarismo duvidoso, o que não estaria certo. Para não cometer esse engano de interpretação, 
utiliza-se da notação de potência de 10 e escreve-se: 8,4103 metros. Assim, realizou-se a 
mudança de unidades e o algarismo 4 continua sendo o algarismo duvidoso. 
 
c) Para números encontrados em fórmulas e que não são resultados de medidas, não faz 
sentido falar em número de algarismos significativos. Ou seja, na fórmula que fornece a área 
A de um triângulo de base b e altura h: A = bxh/2. O número 2 não foi obtido através de 
medida e, assim, não deverá ser levado em consideração para a contagem do número de 
algarismos significativos do resultado. 
 
d) Para alguns resultados deve ser utilizado a notação de potencia de 10. Veja o exemplo 
abaixo: 
54382,5 = 1,4104 
 
2.5 Incerteza na Medida de um Instrumento 
 
A incerteza de uma medida é uma fração avaliada da menor divisão da escala utilizada, ou 
seja, é no algarismo duvidoso que reside a incerteza da medida. A incerteza de uma medida é o 
intervalo de incerteza fixado pelo operador com o sinal mais ou menos (  ). Ela depende da perícia 
do observador, de sua segurança, de sua facilidade de leitura da escala, além do próprio aparelho ou 
instrumento utilizado na medição. 
Uma forma de apresentar a incerteza de uma medida é utilizar a metade da menor escala. 
Por exemplo, na Figura 2.1, a menor divisão da régua é 1 mm e a incerteza poderá ser, então, 0,5 
mm. Assim, o resultado desta medida deverá ser escrito como: 152,3 mm  0,5 mm ou (152,3  0,5) 
mm. Alguns autores adotam como norma uma incerteza correspondente a 10% da menor divisão da 
escala. No caso do exemplo da Figura 2.1, o resultado poderia ser escrito como: 152,3 mm  0,1 mm 
ou (152,3  0,1) mm. 
 
 
 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015 8 
2.6 Exercícios 
 
EXERCÍCIO 1 – Considere a Figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
a) Qual é o comprimento da barra 
b) Quais são os algarismos corretos e o avaliado desta medida 
c) Expresse sua medida também em função da incerteza. 
 
EXERCÍCIO 2 – Uma pessoa sabe que o resultado de uma medida deve ser expresso apenas com 
algarismos significativos. Se esta pessoa lhe disser que a velocidade de um carro era de 153 km/h, 
a) Quais são os algarismos que ela leu no velocímetro analógico 
b) Qual foi o algarismo duvidoso avaliado pela pessoa 
 
EXERCÍCIO 3 – A temperatura de um menino foi medida usando-se dois termômetros diferentes, 
encontrando-se 36,8ºC e 36,80ºC. 
a) Qual é o algarismo duvidoso da primeira medida 
b) Na segunda medida o algarismo 8 é o duvidoso ou correto Justifique. 
 
EXERCÍCIO 4 – Considerando as regras de arredondamento, escreva as medidas seguintes com 
apenas três algarismos significativos: 
a) 272,92 cm 
b) 6,545 g 
c) 12,67 s 
d) 78,90 N 
 
EXERCÍCIO 5 – Um estudante precisa realizar a seguinte soma, de tal forma que o resultado 
contenha apenas algarismos significativos: 77,12 cm + 2,6 cm. Qual é o resultado da adição 
 
EXERCÍCIO 6 – Considere a multiplicação: 345,72,34. Responda: 
a) Qual dos fatores possui o menor número de algarismos significativos 
b) Com quantos algarismos devemos apresentar o resultado da multiplicação 
c) Escreva o resultado apenas com algarismos significativos 
d) Seria aceitável apresentar 808,9 como resultado e 808,94 Justifique. 
 
EXERCÍCIO 7 – Ao medir o comprimento de uma estrada, um agrimensor encontrou 75 km. 
a) Qual o algarismo duvidoso desta medida 
b) É aceitável escrever esta medida como 75000 m Por quê 
c) Qual é a maneira certa de se expressar esta medida em metros, sem deixar dúvidas quanto 
aos algarismos significativos 
 
 
 
70 30  40  50 60
mm 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015  9
Aula 3 
TEORIA DE ERROS II 
Tratamento Estatístico de Medidas 
 
 
 
3.1 Objetivos 
 
Familiarizar o aluno com o tratamento estatístico de medidas e com a propagação de erros. 
 
3.2 Erros Sistemáticos e Estatísticos 
 
Nos laboratórios de física, as grandezas determinadas experimentalmente têm uma incerteza 
intrínseca que vem das diferentes fontes de erro. As fontes de erro fazem com que toda medida 
realizada, por mais cuidadosa que seja, seja afetada por um erro experimental. Esses erros podem 
ser classificados em dois grupos: os erros sistemáticos e os erros estatísticos. 
Os “erros sistemáticos”1 são aqueles causados por diferentes fatores e são classificados em: 
 
a) Instrumentais: Erros que resultam da calibração do instrumento de medida; 
b) Ambientais: Provenientes de fatores ambientais como temperatura, pressão, umidade, 
aceleração da gravidade, campo magnético terrestre, luz e ruídos; 
c) Observacionais: Aqueles devidos a pequenas falhas de procedimento ou às limitações do 
próprio observador. Um exemplo de erro deste tipo é o de “paralaxe”, que ocorre devido a 
uma posição inadequada na leitura das escalas de instrumentos; 
d) Acidentais: Que ocorrem inevitavelmente. Por exemplo, erros de julgamento na estimativa da 
fração da menor divisão de uma escala; 
e) Grosseiros: Devidos à falta de atenção ou de prática do operador. Por exemplo, enganos na 
leitura de instrumentos, ao escrever 7248 ou 7428 quando o número é 7482. 
f) Teóricos: São erros que resultam do uso de fórmulas teóricas aproximadas para a obtenção 
dos resultados. 
 
Os “erros estatísticos”, por sua vez, são aqueles causados por flutuações (variações) nas 
medidas das grandezas. 
 
3.3 Tratamento Estatístico de Medidas 
 
3.3.1 Valor Médio de uma Grandeza 
 
O valor médio de uma grandeza x é representado por x ou x  e é calculado dividindo a 
soma de todos os valores medidos de uma grandeza pelo número de medidas que deu origem à 
soma, isto é, a média aritmética de uma série de medidas: 
                                                            
1 Observação – Uma das principais tarefas do experimentador é identificar e eliminar o maior número possível de erros sistemáticos. 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015 10 
1
1 N
i
i
x x
N 
  , (3.1) 
sendo: ix : o valor de cada medida; 
N: o número total de medidas; 
x : o valor médio das N medidas. 
 
3.3.2 Desvio Padrão  e 
 
 A estatística indica que uma estimativa do desvio das medidas em relação ao valor médio é 
dada pelo cálculo do desvio padrão (ou desvio padrão amostral) e , cuja expressão é a seguinte: 
 
2
1
1 ( )
1
N
e i
i
x x
N


   . (3.2) 
 
É importante observar que uma grandeza medida é caracterizada pelo seu valor médio, e que 
esse valor médio deve sempre ser escrito com o seu respectivo desvio padrão, que representa um 
intervalo onde o valor verdadeiro pode se situar. Por exemplo, várias medidas da aceleração da 
gravidade g resultarão em um valor médio g e seu respectivo desvio padrão  . O verdadeiro valor 
da aceleração da gravidade provavelmente estará contido no intervalo [ , ]g g   ou, 
resumidamente, g  . 
Note ainda que todo instrumento de medida possui uma incerteza, que chamaremos de m . 
Por exemplo, numa régua milimetrada o menor valor de leitura é 1 milímetro (mm), e uma grandeza 
cujo comprimento estivercompreendido entre uma e outra marca na escala dessa régua 
necessariamente terá uma incerteza m associada a ela. Essa incerteza geralmente é tomada como 
sendo a metade da menor escala do instrumento, ou seja, m  0,5 mm no exemplo da régua. 
Assim, associada à média, há a incerteza inerente ao instrumento de medida ( m ) e a incerteza 
estatística ( e ), dada pela Eq. (3.2). Em qualquer caso, a incerteza a considerar é sempre a maior 
delas, ou seja: 
 
a) Se o desvio padrão for maior que a incerteza instrumental, o valor x mais provável da medida 
estará compreendido no intervalo ex x   ; 
b) Se o desvio padrão for menor que a incerteza instrumental, o valor x mais provável da 
medida estará compreendido no intervalo mx x   . 
 
Exemplo 
Num laboratório um estudante realiza quatro medidas do diâmetro de um furo circular obtendo os 
seguintes resultados: x1 = 2,0 cm; x2 = 2,1 cm; x3 = 2,0 cm; x4 = 2,2 cm. a) Qual o valor médio do 
diâmetro? b) Qual o desvio padrão das medidas? c) Qual o valor da medida com sua incerteza se a 
incerteza do instrumento de medida é de 0,1 cm? d) Qual o valor da medida com sua incerteza se a 
incerteza do instrumento de medida é de 0,05 cm? 
 
Solução: 
a) Como foram realizadas quatro medidas temos N = 4. Usando a Eq. (3.1) 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015  11
1
1 1 8,3[2,0 2,1 2,0 2,2] 2,075
4 4
N
i
i
x x
N 
       cm 
 
b) Usando a Eq. (3.2) 
 
2 2 2 2 2
1
1 1( ) [(2,0 2,075) (2,1 2,075) (2,0 2,075) (2, 2 2,075) ]
4 1 3
N
e i
i
x x

           
2 2 2 21 [( 0,075) (0,025) ( 0,075) (0,125) ]
3e
       
1 1[0,005625 0,000625 0,005625 0,015625] 0,0275 0,009167 0,0957
3 3e
        
0,0957e  cm 
 
c) Neste caso: mx x   = (2,075  0,1) cm 
 
d) Neste caso: ex x   = (2,075  0,0957) cm 
 
3.4 Propagação de Erros 
 
 Certas grandezas físicas são calculadas a partir de outras obtidas através de medições 
diretas, por exemplo, a área de um retângulo. Se cada grandeza medida (lado do retângulo) vier 
acompanhada de um desvio, a grandeza calculada (área) também deverá ser representada com seu 
respectivo desvio. Para calcular este desvio, existem regras definidas pelo cálculo diferencial que 
fogem do enfoque deste curso. Existe, porém, uma forma simples que não exige conhecimento mais 
profundo do cálculo: para se achar o desvio padrão A da área do retângulo associada ao produto 
dos lados aa a   e bb b   , calcula-se os valores máximos e mínimos da área: 
max ( ) ( )a b b a a bA a b a b a b                 
min ( ) ( )a b b a a bA a b a b a b                 
O desvio A da área será então dado por: 
max min
2A b a
A A a b       
O mesmo procedimento é adotado para as outras operações (divisão, subtração e soma) e o 
resultado final é mostrado abaixo: 
 
Soma: ( ) ( ) ( ) ( )a b a ba b a b a b            (3.3a) 
Subtração: ( ) ( ) ( ) ( )a b a ba b a b a b            (3.3b) 
Divisão: 2( ) ( )
b a
a b
a baa b a b
b b
                (3.3c) 
Multiplicação: ( ) ( ) ( )a b b aa b a b a b a b              (3.3d) 
 
 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015 12 
3.5 Erro Relativo Percentual 
 
 Uma outra forma de avaliar o resultado da medida de uma grandeza é feita pela comparação 
deste resultado com um valor preestabelecido da mesma. Como valor de referência pode-se 
escolher o valor tabelado ou a média de um conjunto de medidas da grandeza. Esta comparação 
permite determinar o erro relativo percentual, que é dado por 
 
(%) .100x xE
x
 
onde x é o valor medido e x é o valor de referência. 
 
3.6 Exercícios 
 
EXERCÍCIO 1 – A distância focal em centímetros de uma lente convergente foi determinada a partir 
das posições de um objeto luminoso e da imagem correspondente formada pela lente. A medição é 
repetida 12 vezes obtendo-se os seguintes valores: 
 
204 206 208 
227 229 230 
237 237 238 
240 241 243 
 
Pede-se: 
a) O valor médio; 
b) O desvio padrão; 
c) O valor da medida com sua incerteza. 
 
 
EXERCÍCIO 2 – Efetue as operações: 
 
a) (2,345  0,005) + (1,824  0,003); 
b) (4,03  0,01) x (2,74  0,03); 
c) (2,345  0,005) – (1,824  0,003); 
d) (2,523  0,004)  (5,121  0,006). 
 
 
EXERCÍCIO 3 – Calcule a diferença percentual entre os seguintes valores: 
 
a) 10x  e 8x  
b) 100x  e 20x  
c) 120x  e 150x  
d) 40x  e 80x  
 
 
 
 
 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015  13
Aula 4 
Aplicações da Teoria de Erros 
 
 
4.1 Objetivos 
 
 Realizar uma série de experimentos aplicando a teoria de medidas, de erros e de algarismos 
significativos. 
 
4.2 Introdução 
 
A física está fundamentada em medidas. Dentre as várias grandezas físicas estão as 
fundamentais: comprimento, tempo, massa e temperatura, as quais serão medidas e tratadas 
estatisticamente nesta aula. 
 
4.3 Materiais Utilizados 
 
a) Balança de travessão; f) Cronômetro digital; 
b) Quatro caixas de gelatina; g) Pêndulo; 
c) Régua milimetrada; h) Termômetro; 
d) Trena; i) Barbante. 
e) Uma barra de metro padrão; 
 
4.4 Procedimentos Experimentais 
 
4.4.1 Medidas de Massa 
 
a) Com a balança que se encontra sobre a bancada, meça a massa de cada uma das quatro caixas 
(incluindo o seu conteúdo) de gelatina. Anote os valores obtidos na linha “massa total” da Tabela 4.1; 
b) Calcule o valor médio ( M ) e o desvio padrão ( ) e anote na Tabela 4.1; 
c) Com quantos algarismos significativos podemos representar essa medida? 
d) Qual o valor da “incerteza na medida” referente ao equipamento de medida utilizado? 
e) Escreva o resultado final na forma M M   , onde  é o “desvio padrão” ou a “incerteza na 
medida” (deve-se usar aquele que possuir o maior valor); 
 
Tabela 4.1 
Massa total (g) M1 = M2 = M3 = M4 = 
Massa total média, M (g) 
Desvio padrão,  (g) 
M M   (g) 
 
f) Repita o procedimento anterior “apenas” para o conteúdo da caixa de gelatina (anote as medidas 
na linha “massa do conteúdo” da Tabela 4.2); 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015 14 
g) Calcule a diferença percentual entre o valor médio do conteúdo e o valor escrito na embalagem do 
produto. Os valores medidos estão de acordo com as especificações do fabricante? 
 
Tabela 4.2 
Massa do conteúdo (g) M1 = M2 = M3 = M4 = 
Massa média do conteúdo, M (g) 
Desvio padrão,  (g) 
M M   
 
4.3.2 Medidas de Comprimento 
 
a) Com os instrumentos de medida que estão sobre a bancada, meça o comprimento do barbante 
sobre a mesa. Anote os valores na Tabela 4.3; 
b) Com quantos algarismos significativos podemos representar essa medida? 
c) Calcule o valor médio L e o desvio padrão  das medidas; 
d) Qual o valor da “incerteza na medida” referente ao equipamento de medida utilizado? 
e) Escreva o resultado final na forma L L   , onde  é o “desvio padrão” ou a “incerteza na 
medida” (deve-se usar aquele que possuir o maior valor); 
 
Tabela 4.3 
Comprimento L (cm) Instrumento 1 
L1 = 
Instrumento 2 
L2 = 
Instrumento 3 
L3 = 
Valor médio, L (cm) 
Desvio padrão,  (cm) 
L L   (cm) 
 
4.3.3 Medidas de Tempo 
 
Considere o pêndulo montado sobre a bancada. 
 
a) Com o cronômetro digital, faça dez medidas do período de oscilação do pêndulo (tempo 
necessário para a massa ir e voltar ao mesmo ponto de saída). Anote as medidas na Tabela 4.4; 
b) Com quantos algarismos significativos podemos representar essa medida? 
c) Calcule o valor médio T e o desvio padrão  e anote na Tabela 4.4; 
d)Qual o valor da “incerteza na medida” referente ao equipamento de medida utilizado? 
e) Escreva o resultado final na forma T T   , onde  é o “desvio padrão” ou a “incerteza na 
medida” (deve-se usar aquele que possuir o maior valor). 
 
Tabela 4.4 
 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 
Período (s) 
Período médio, T (s) 
Desvio padrão,  (s) 
T T   (s) 
 
 
 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015  15
4.3.4 Medidas de Temperatura 
 
a) Com os termômetros, faça medidas de temperatura ambiente em três pontos diferentes da sala. 
Anote os resultados na Tabela 4.5; 
b) Com quantos algarismos significativos podemos representar essa medida? 
c) Calcule o valor médio e o desvio padrão. Anote os valores na Tabela 4.5; 
d) Qual o valor da “incerteza na medida” referente ao equipamento de medida utilizado? 
e) Escreva o resultado final na forma     , onde  é o “desvio padrão” ou a “incerteza na 
medida” (deve-se usar aquele que possuir o maior valor). 
 
Tabela 4.5 
Temperatura (ºC) 
1  2  3  
Temperatura média,  (ºC) 
Desvio padrão,  (ºC) 
    (ºC) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015 16 
 
 
 
 
 
 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015  17
Aula 5 
Instrumentos de Medidas I: Paquímetro 
 
 
 
5.1 Objetivos 
 
 Realizar experimentos fazendo uso do paquímetro, aplicando os conhecimentos adquiridos no 
estudo da teoria de erros e medidas. 
 
5.2 Introdução 
 
O paquímetro é um instrumento usado para medir com precisão as dimensões de pequenos 
objetos. Trata-se de uma régua graduada, com encosto fixo, sobre a qual desliza um cursor. O 
paquímetro possui dois bicos de medição, sendo um ligado à escala e o outro ao cursor. Com um 
paquímetro podemos medir diversos objetos, tais como: parafusos, porcas, tubos, entre outros. Para 
realizar tal medição basta aproximar o objeto do bico superior e deslizar o cursor até que a peça 
fique justa. O Paquímetro é usado principalmente para medir dimensões lineares internas, externas e 
de profundidade de uma peça com precisão de décimos ou centésimos de milímetro, ou, ainda, em 
frações de polegadas. A Figura 5.1 mostra as maneiras corretas e erradas de usar um paquímetro 
para realizar medições. 
 
 
 
 
Figura 5.1 - Maneiras corretas e erradas de usar o paquímetro 
 
 
 Na indústria existem vários tipos de paquímetros: paquímetro universal, paquímetro com 
relógio, paquímetro com bico móvel, paquímetro de profundidade, paquímetro duplo, paquímetro 
digital e traçador duplo, sendo cada um desses instrumentos o mais apropriado para um determinado 
tipo de medição (para maiores informações procure livros sobre Metrologia). Na Figura 5.2 listamos 
os principais tipos de paquímetros existentes no mercado, suas respectivas características e uma 
imagem representativa. 
 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015 18 
 
Paquímetro universal 
É o paquímetro mais 
utilizado. Serve para 
realizar medições 
internas, externas, de 
profundidade e de 
ressaltos. 
 
Paquímetro universal com relógio 
Possui um relógio 
acoplado ao cursor que 
facilita a leitura, 
agilizando a medição. 
 
Paquímetro com bico móvel (basculante) 
É muito empregado para 
medir peças cônicas ou 
peças com rebaixos de 
diâmetros diferentes. 
 
Paquímetro de profundidade 
Serve para medir a 
profundidade de furos 
não vazados, rasgos, 
rebaixos, entre outros. 
Esse paquímetro pode 
apresentar haste simples 
ou com gancho. 
 
Paquímetro duplo Serve para medir dentes de engrenagens. 
 
Paquímetro digital 
Utilizado para leitura 
rápida, livre de erro de 
paralaxe e ideal para 
controle estatístico. 
 
 
Figura 5.2 - Tipos de paquímetros 
 
 
 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015  19
5.3 Paquímetro Universal 
 
 O paquímetro universal é o mais utilizado. A representação estrutural de um paquímetro do tipo 
universal é mostrada na Figura 5.3. 
 
Tabela 5.1 – Componentes de um paquímetro. 
1. Orelha fixa; 8. Encosto fixo; 
2. Orelha móvel; 9. Encosto móvel; 
3. Nônio ou vernier (Polegada); 10. Bico móvel; 
4. Parafuso de trava; 11. Nônio ou vernier (milímetros) 
5. Cursor; 12. Impulsor 
6. Escala fixa de polegadas 13. Escala fixa de milímetros; 
7. Bico fixo; 14. Haste de profundidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.3 – Representação estrutural de um paquímetro. 
 
 O paquímetro possui em seu corpo duas escalas principais fixas. Na parte superior apresenta 
uma escala graduada em polegadas e na parte inferior uma escala graduada em milímetros. 
Acoplado ao corpo do paquímetro tem-se o nônio ou vernier (esta nomenclatura é em homenagem 
ao português Pedro Nunes e ao Francês Pierre Vernier, considerados seus inventores.). O nônio 
possui uma divisão a mais que a unidade usada na escala fixa. No sistema métrico, existem 
paquímetros em que o nônio possui dez divisões equivalentes a 9 mm. Há, portanto, uma diferença 
de 0,1 mm entre o primeiro traço da escala fixa e o primeiro traço da escala móvel, que é a menor 
divisão da escala. Essa diferença é de 0,2 mm entre o segundo traço de cada escala; de 0,3 mm 
entre o terceiro e assim por diante. A seguir mostramos dois exemplos de medidas usando o 
paquímetro. 
 
 
EXEMPLO 1 – Leitura com um paquímetro de 10 divisões. 
RESOLUÇÃO 1 mm/10 = 0,1 mm 
LEITURA NA ESCALA FIXA 103,00 mm 
LEITURA NO NÔNIO 0,5 mm 
LEITURA 103,5 mm 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015 20 
 
EXEMPLO 2 – Leitura com um paquímetro de 20 divisões. 
RESOLUÇÃO 1 mm/20 = 0,05 mm 
LEITURA NA ESCALA FIXA 73,00 mm 
LEITURA NO NÔNIO 0,65 mm 
LEITURA 73,65 mm 
 
 
5.4 Materiais Utilizados 
 
a) Paquímetro; d) Peças de madeira; 
b) Fios de eletricidade; e) Canos hidráulicos. 
c) Porcas com parafuso; 
 
5.5 Procedimentos Experimentais 
 
5.5.1 Medida da Espessura e da Área de um Fio Condutor 
 
a) Meça o diâmetro do fio em quatro pontos diferentes e anote os resultados na Tabela 5.2; 
b) Calcule a área de seção reta do fio para cada diâmetro medido anote na Tabela 5.2; 
c) Calcule o diâmetro médio e a área de seção reta média do fio bem como o desvio padrão dessas 
grandezas e anote na Tabela 5.2; 
d) Escreva na tabela o valor do diâmetro e da área nas formas d d   e A A   . Caso o 
desvio padrão calculado seja menor que a incerteza do aparelho de medida, dê a resposta usando a 
incerteza do aparelho utilizado na medida. 
 
Tabela 5.2 
Diâmetro, d (mm) 
1d  2d  3d  4d  
Área, A (mm2) 
1A  2A  3A  4A  
Diâmetro médio, d (mm) 
Área média, A (mm2) 
Desvio padrão do diâmetro (mm) 
Desvio padrão da área (mm2) 
Diâmetro, d d   (mm) 
Área, A A   (mm2) 
 
5.5.2 Medida do Diâmetro Interno de um Cano Hidráulico 
 
a) Meça o diâmetro interno do cano em quatro pontos diferentes e anote-os na Tabela 5.3; 
b) Calcule o diâmetro médio e o desvio padrão e anote na Tabela 5.3. 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015  21
c) Escreva o valor do diâmetro na forma: d d   . Caso o desvio padrão calculado seja menor do 
que a incerteza do aparelho de medida, dê a resposta usando a incerteza do aparelho utilizado na 
medida. 
 
Tabela 5.3 
Diâmetro, d (mm) 
1d  2d  3d  4d  
Diâmetro médio, d (mm) 
Desvio padrão,  (mm) 
Diâmetro, d d   (mm) 
 
5.5.3 Medida das Dimensões de Parafusos e Porcas 
 
 Nos parafusos e porcas sobre a mesa, meça as dimensões indicadas nas figuras abaixo e 
anote os valores medidos no espaço abaixo. 
 
 
 
 
 
 a = b = c =d = e = 
 
5.5.4 Desenho em escala de uma peça de madeira 
 
Meça as dimensões da peça de madeira sobre a bancada (comprimento, largura, 
profundidade, diâmetro, separação entre os furos, etc.) e faça um desenho indicando as medidas 
realizadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a
b
c 
d 
e 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015 22 
 
 
 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015  23
Aula 6 
Instrumentos de Medidas II: Micrômetro 
 
 
 
6.1 Objetivos 
 
 Realizar medidas experimentais fazendo uso do micrômetro, aplicando os conhecimentos 
adquiridos no estudo da teoria de erros e medidas. 
 
6.2 Introdução 
 
 O micrômetro (Fig. 6.1) é um instrumento cuja precisão atinge a casa do milionésimo do metro, 
vindo daí o nome micrômetro (micro,  = 10-6) que corresponde a 10-6 metros ou 10-3 milímetros. Na 
França, este instrumento recebe o nome de “Palmer”, em homenagem ao seu inventor Jean Louis 
Palmer, que requereu sua patente em 1848. É utilizado, por exemplo, em medidas de espessura de 
lâminas, diâmetros de fios, etc. O micrômetro é ainda mais delicado do que o paquímetro e deve ser 
manuseado com muito cuidado (nunca force um micrômetro). A representação estrutural de um 
micrômetro deve conter: 
 
1. Precisão do micrômetro; 6. Isolante Térmico; 
2. Faces de medição; 7. Trava; 
3. Batente; 8. Tambor; 
4. Fuso; 9. Catraca; 
5. Arco; 10. Escalas no tambor e nônio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.1 A estrutura do micrômetro. 
 
 Conforme se vê na Figura 6.1, o micrômetro consiste de um parafuso de rosca fina de alta 
precisão (parafuso micrométrico) que avança ou retrocede ao longo do próprio eixo. O objeto que 
será medido deve ser colocado entre as duas faces de medição. Gira-se o parafuso micrométrico até 
2 
9 
8
7
3 4
6
5 
1
10
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015 24 
que as faces encostem de leve no objeto. Para não danificar as faces com um aperto excessivo do 
parafuso, deve-se apertá-lo, exclusivamente, por meio da catraca afixada no fim do tambor. A 
catraca contém um dispositivo de segurança que não permite que se apliquem pressões excessivas 
às esperas (batente e fuso). Cada volta completa do parafuso corresponde em geral a uma avanço 
de 0,5 mm (“passo” do parafuso). No tambor há uma escala circular que geralmente tem 50 divisões. 
Cada divisão corresponde então a um avanço de 0,5/50 = 0,01 mm (resolução), como mostra a 
Figura 6.2. 
 
Figura 6.2 
 
 Para se fazer uma leitura no micrômetro, observa-se primeiro a que valor da escala horizontal 
corresponde a borda circular do tambor (leitura na escala fixa, ver exemplos a seguir). Essa borda é 
o índice de leitura para a escala horizontal. Depois soma-se a este valor o valor lido na escala 
circular (leitura na escala móvel), ou seja, o valor que coincide com a reta da escala horizontal. Veja 
os exemplos a seguir. 
 
6.3 Procedimentos de Medida 
 
 As medidas podem ser feitas com micrômetros com resolução de 0,01mm ou com resolução 
de 0,001mm: 
 
6.3.1 Leitura no Micrômetro com Resolução de 0,01 mm 
 
a) 1º passo: leitura dos milímetros inteiros na escala de milímetros (também conhecida pelo nome de 
bainha). 
b) 2º passo: leitura dos meios milímetros (também na escala da bainha). 
c) 3º passo: leitura dos centésimos de milímetro na escala do tambor. 
d) 4º passo: a leitura final será a soma dessas três leituras parciais. 
 
Exemplos: 
 
a) 
 
17,00 mm (escala dos milímetros)
0,50 mm (escala dos meios)
0,32 mm (escala centesimal do tambor)
17,82 mm


 
 
 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015  25
b) 
 
23,00 mm (escala dos milímetros)
0,00 mm (escala dos meios)
0,09 mm (escala centesimal do tambor)
23,09 mm

 
 
 
 
6.3.2 Leitura no Micrômetro com Resolução de 0,001 mm 
 
a) 1º passo: leitura dos milímetros inteiros na escala da bainha. 
b) 2º passo: leitura dos meios milímetros na mesma escala. 
c) 3º passo: leitura dos centésimos na escala do tambor. 
d) 4º passo: leitura dos milésimos com o auxílio do nônio da bainha, verificando qual dos traços do 
nônio coincide com o traço do tambor. 
e) 5º passo: a leitura final será a soma dessas quatro leituras parciais. 
 
Exemplos: 
 
a) 
 
20,000 mm (escala dos milímetros)
0,500 mm (escala dos meios)
0,110 mm (escala centesimal do tambor)
0,008 mm (escala nônio)
20,618 mm



 
 
 
 
 
 
b) 
 
18,000 mm (escala dos milímetros)
0,000 mm (escala dos meios)
0,090 mm (escala centesimal do tambor)
0,006 mm (escala nônio)
18,096 mm



 
 
 
 
 
 
 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015 26 
6.4 Materiais Utilizados 
 
a) Micrômetro; b) Fios de cobre; c) Placas retangulares; d) Esferas. 
 
6.5 Procedimentos Experimentais 
 
6.5.1 Medida da Espessura de uma Camada de Tinta 
 
a) Meça a espessura da placa na parte em que não há tinta STL e na parte em que há tinta CTL . 
Após realizar as medidas indicadas anote-as na Tabela 6.1; 
 
b) Encontre a espessura da camada de tinta TL subtraindo os valores encontrados no item (a): 
T CT STL L L  . Anote o valor encontrado na Tabela 6.1; 
 
c) Use a incerteza  do micrômetro (metade da menor escala) para expressar o resultado final. 
Anote o valor na Tabela 6.1. 
 
Tabela 6.1 
STL (mm) CTL (mm) TL (mm) TL  (mm) 
 
 
6.5.2 Medida do Diâmetro de um Fio 
 
a) Meça o diâmetro D de um fio e expresse o resultado da medida levando em conta a incerteza  
do micrômetro. Anote o resultado na Tabela 6.2; 
 
b) Meça o diâmetro d de um pedaço de grafite usado em sua lapiseira e expresse o resultado da 
medida levando em conta a incerteza  do micrômetro. Anote o resultado na Tabela 6.2. A medida 
do diâmetro do grafite está de acordo com as especificações do fabricante? 
 
Tabela 6.2 
Diâmetro do fio (mm) Diâmetro do Grafite (mm) 
D   d   
 
6.3.3 Cálculo do Volume e da Área de uma Esfera 
 
a) Com o micrômetro meça o diâmetro D de uma esfera em quatro pontos diferentes. Anote os 
valores na Tabela 6.3; 
 
b) Em seguida calcule o diâmetro médio: D . Anote o valor na Tabela 6.3; 
 
c) A partir do diâmetro médio, calcule a área média da superfície da esfera através da relação: 
 2A D . Anote na Tabela 6.3 o valor encontrado; 
d) A partir do diâmetro médio, calcule o volume médio da esfera pela relação:  3 6V D . Anote 
na Tabela 6.3 o valor encontrado. 
Tabela 6.3 
1D (mm) 2D (mm) 3D (mm) 4D (mm) D (mm) A (mm2) V (mm3) 
 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015  27
6.3.4 Estimativa da Quantidade de Folhas de um Livro 
 
a) Meça a espessura L de uma das páginas de um livro (pode ser sua própria apostila de 
laboratório). Repita esse procedimento para outras quatro páginas do livro, escolhidas ao acaso e 
anote os valores na Tabela 6.4; 
 
b) Calcule a espessura média de uma página L e anote o resultado na Tabela 6.4; 
 
c) Meça a espessura total G do livro, excetuando a capa. Anote o resultado na Tabela 6.4; 
 
d) Estime a quantidade eN de folhas do livro dividindo a espessura G do livro pela espessura média 
L de uma página, ou seja eN G L . Anote o resultado na Tabela 6.4; 
 
e) Conte manualmente o número de páginas N que o livro possui. Anote o valor na Tabela 6.4; 
 
f) Calcule o erro percentual cometido entre o número de páginas da estimativa eN e a quantidade 
verdadeira de páginas N usando a relação: 
 
(%) .100e
N N
E
N
 
 
 
Tabela 6.4 
1L  2L  3L  4L  5L  
L  
G  
eN  
N  
(%)E  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015 28 
 
 
 
 
Cadernode Laboratório de Física 1 – ANO 2015  29
Aula 7 
Gráficos I: Papel Milimetrado 
 
 
 
7.1 Objetivos 
 
Construção de tabelas e gráficos, escalas especiais para construção de gráficos e ajuste de 
curvas à dados experimentais. 
 
7.2 Construção de Tabelas e Gráficos 
 
 A apresentação de dados experimentais em forma de gráficos é uma técnica usada em todas 
as áreas do conhecimento. A análise gráfica é muito útil, pois permite, em muitos casos, descobrir a 
lei que rege o fenômeno através de uma visualização imediata do comportamento de suas variáveis. 
Após a realização de um experimento, geralmente temos em mãos um conjunto de dados que 
podem ser apresentados em tabelas e/ou gráficos. As tabelas e os gráficos devem ser construídos 
na forma mais clara possível para quem lê o trabalho de forma que se tenha uma interpretação 
correta dos dados. Na construção de gráficos devemos obedecer às seguintes regras gerais: 
 
 
a) Escolher as escalas de maneira a não obter um gráfico mal dimensionado; 
 
b) Escolha a área do papel com tamanho adequado; 
 
c) Os eixos devem ser desenhados claramente. A variável dependente geralmente estará no 
eixo vertical, eixo y, e a variável independente no eixo horizontal, eixo x; 
 
d) Marque nos eixos as escalas, escolhendo divisões que resultem em fácil leitura de valores 
intermediários; por exemplo, divida de 2 em 2 e não de 7,7 em 7,7. Se possível, cada um dos 
eixos deve começar em zero; 
 
e) Colocar título e comentários. É conveniente que uma pessoa observando o gráfico, possa 
entender do que se trata este gráfico, sem recorrer ao texto; 
 
f) Colocar a grandeza a ser representada e sua unidade, em cada eixo coordenado; 
 
g) Marque cada ponto do gráfico cuidadosamente e claramente, escolhendo para isto um 
símbolo adequado e de tamanho facilmente visível (por exemplo, um círculo ou um quadrinho 
com um ponto no centro). 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015 30 
7.3 Construção de uma Escala Linear 
 
Para construir uma escala linear em um certo segmento de reta (chamado de eixo), deve-se 
conhecer, inicialmente o tamanho deste segmento (L). Deve-se conhecer a diferença entre os 
valores máximo e mínimo da grandeza medida. Essa diferença será representada por “D”. Dividindo-
se “L” por “D”, obtém-se uma certa constante denominada de “módulo da escala” (Mod). Por 
exemplo, considere a tabela a seguir para ser marcada em uma escala linear de 18 cm de 
comprimento. 
 
Força (N) 4 9 20 26 32 
 
O intervalo das medidas é D = 32 – 4 = 28 N e o comprimento do eixo é L = 18 cm. Portanto, o 
módulo da escala é dado por: Mod = 18/28 = 0,6428 cm/N. Este resultado indica que cada unidade 
da força será representada por um comprimento igual a 0,6428 cm. A escala deve ser construída, 
então, com espaçamentos iguais de 0,6428 cm. Como se percebe, o módulo da escala acima é 
inconveniente para se trabalhar e, portanto, adota-se um número melhor que facilite as marcações. 
Na escolha deste melhor número para representar o módulo Mod, o arredondamento deverá ser 
sempre para menos e deve ser tal que seja utilizado pelo menos 2/3 do comprimento L (por razões 
estéticas). No exemplo acima, um número conveniente para representar o módulo da escala seria 
0,5 cm/N. Escalas do tipo 1:3, 1:7 e 1:9 devem ser evitadas, pois dificultam a marcação de 
submúltiplos dos valores da escala. Em tabelas onde o valor mínimo é próximo de zero, como no 
exemplo acima, é aconselhável incluir o zero para efeito de cálculo do módulo Mod. Isto pode ser 
feito quando for necessária a apresentação da origem da escala. Nestes casos, divide-se 
comprimento disponível L pelo valor máximo de grandeza: Mod = 18/32 = 0,5625 cm/N. Com a 
determinação do módulo, obtêm-se os comprimentos que representarão cada uma das medidas da 
tabela. No exemplo anterior considerando-se o módulo como 0,5 cm/N, tem-se a correlação dada 
pela Tabela 7.1. 
 
Tabela 7.1 Comprimento em cm que representa cada valor de Força. 
Força (N) 4 9 20 26 32 
Distância (cm) 2,0 4,5 10,0 13,0 16,0 
 
Note que para obter o ponto correspondente à força, basta multiplicar o Mod pelo valor da 
força. É tecnicamente errado, ao se montar o eixo da escala, representar nela as medidas da tabela. 
O que se costuma fazer é representar no eixo da escala pontos igualmente espaçados, marcando e 
destacando cada um deles. Indica-se, abaixo de cada ponto, o valor respectivo da grandeza, sem, no 
entanto, sobrecarregar a escala com excesso de números. Em suma, deve-se sempre observar o 
aspecto da escala, procurando construí-la de modo a se ter uma boa visualização de seus valores. 
Em alguns casos a escolha de uma escala inadequada na construção de um gráfico, pode 
indicar, visualmente, uma informação confusa sobre o experimento. Veja o exercício 1. 
 
7.4 Ajuste de Curvas a Dados Experimentais 
 
Consideremos duas grandezas que podem ser relacionadas, teoricamente, por uma função 
do 1o grau, cuja representação gráfica é uma reta. Quando determinamos experimentalmente os 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015  31
dados (os quais estão sujeitos a erros de medidas) e representamos as coordenadas cartesianas 
(x,y) no gráfico, verificamos que geralmente, os pontos não estão perfeitamente alinhados, então, o 
nosso problema passa a ser o de determinar a equação, isto é, os coeficientes angular e linear da 
melhor reta que se ajusta ao conjunto de dados experimentais. 
Uma das maneiras de encontrar esta reta pode ser “a olho”. Neste método o observador 
deverá ajustar uma reta aos pontos a partir da observação visual destes pontos. Este procedimento 
tem a desvantagem de observadores distintos obterem retas com coeficientes angulares e lineares 
diferentes, já que a escolha é subjetiva devida a interpretação de cada um. 
Para evitar o critério individual na determinação da reta, torna-se necessário encontrar 
matematicamente a “melhor reta ajustada”. Isto pode ser feito com o “Método dos Mínimos 
Quadrados”, no qual podemos encontrar os coeficientes a e b de uma reta (y = ax + b) que se ajusta 
a N pontos experimentais. Os coeficientes desta reta são: 
      
   22
i i i i
i i
N x y x y
a
N x x
 

  
  (7.1) 
e       
   
2
22
i i i i i
i i
y x x y x
b
N x x
 

   
  . (7.2) 
 
7.5 Material Utilizado 
 
a) Régua milimetrada; 
b) Papel milimetrado. 
 
7.6 Aplicações 
 
 
Exercício 1 
Considere um carro inicialmente em repouso, partindo da posição inicial S0 = 500m, com uma 
aceleração constante de 2 m/s2 (MRUV). Neste caso, sua equação horária será: 
 
2 2
0
1 500
2
S S at S t     
Com esta última equação obtêm-se o valor da posição S para cada valor do tempo t. A Tabela 7.2 
indica estes valores variando o tempo t de um em um segundo. 
 
Tabela 7.2 
tempo t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
posição S (cm) 500 501 504 509 516 525 536 549 564 581 600 
 
Com os dados da Tabela 7.2 foi construído o gráfico Sxt, em duas escalas diferentes, como 
mostra a Figura 7.1. 
 
 
 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015 32 
 (a) (b) 
0 2 4 6 8 10
0
200
400
600
800
1000
S(m)
t(s) 0 2 4 6 8 10
500
520
540
560
580
600
S(m)
t(s) 
Figura 7.1 Gráficos Sxt em duas escalas diferentes. 
 
Em qual dos dois gráficos (os dois estão corretos) se observa melhor o resultado esperado? 
Justifique sua resposta. 
 
 
Exercício 2 
Considere que a população de uma região varie linearmente conforme a função ( ) 200tP t , onde t é 
dado em anos. Construa, num mesmo papel milimetrado,dois gráficos P t em escalas diferentes, 
de maneira que em um deles a população aparentemente aumente rapidamente e no outro ela 
aumente lentamente. 
 
Tabela 7.3 
tempo t (ano) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
população P 
 
 
Exercício 3 
a) Represente no gráfico YxX os pontos da Tabela 7.4. 
 
Tabela 7.4 
X (m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Y (m) 10 14 17 18 19 20 25 26 27 31 
 
b) Ajuste uma reta “a olho” aos pontos do gráfico e determine os coeficientes a e b desta. Compare 
com os valores encontrados com os de outros alunos. 
 
c) Aplicando o método dos mínimos quadrados (veja as equações (7.1) e (7.2)), determine a equação 
da reta (y = ax + b) que melhor se ajusta aos pontos do gráfico. Represente esta reta no gráfico e 
compare com a reta ajustada “a olho”. 
 
 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015  33
 
 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015 34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015  37
Dinamômetro 
sem Massas 
Aferidas 
Dinamômetro 
com Massas 
Aferidas
Massas Aferidas 
Aula 8 
Lei de Hooke 
 
 
 
8.1 Objetivos 
 
Obter o valor da constante elástica de mola fazendo uso do método gráfico em papel 
milimetrado e comparar esse valor com o obtido pelo método estático. 
 
8.2 A lei de Hooke 
 
 Se uma mola de comprimento 0L for distendida de L , veja Figura 8.1, a mola exercerá 
sobre o agente que a deforma uma força cujo valor, em boa aproximação, será 
 
F k L   (8.1) 
 
sendo k uma constante denominada “constante elástica da mola” (a unidade no SI é o N/m). A Eq. 
(8.1) é a lei da força para molas, também conhecida por “lei de Hooke” [Robert Hooke (1635 – 
1703)]. O sentido dessa força é sempre oposto ao deslocamento da extremidade, a partir da origem. 
Quando a mola é distendida, 0L  e F é negativa; quando a mola é comprimida, 0L  e F é 
positiva. Note que a força exercida pela mola está sempre orientada para a origem, sendo por isso 
uma força restauradora. As molas reais obedecerão à equação acima se não forem distendidas além 
do limite elástico (a lei de Hooke é válida até o limite elástico para a maioria dos materiais comuns). 
Além do limite elástico, a força não pode ser especificada por uma função energia potencial, pois a 
força depende então de muitos fatores, inclusive da rapidez da deformação e da história prévia do 
material (se já havia ou não deformação no material, ou seja, “efeitos de memória”). Um instrumento 
que utiliza a lei de Hooke para medir forças é o dinamômetro (veja Fig.8.1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8.1: Deformação de uma mola de 0L para 0 .L L L   
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015 38 
8.3 Materiais Utilizados 
 
a) Mola Helicoidal; d) Balança eletrônica; 
b) Massas; e) Dinamômetro; 
c) Papel Milimetrado; f) Régua graduada (ou trena). 
 
8.4 Procedimentos Experimentais 
 
8.4.1 Medida da Constante Elástica pelo Método Estático 
 
a) Montar o equipamento com os materiais fornecidos; 
 
b) Adotar a base do suporte para massas como referencial para as medidas de deformações; 
 
c) Escolher 10 (dez) massas diferentes (com valores gradativamente maiores). Anote os valores na 
Tabela 8.1. 
 
d) Colocar a menor massa no suporte e medir a deformação L . Repita o procedimento para as 
outras massas com valores gradativamente maiores que a primeira. Anote os resultados Tabela 8.1. 
 
e) Calcule a força exercida pela mola em cada massa. Na posição de equilíbrio o módulo da força 
F exercida pela mola é igual ao peso do corpo ( F mg ). Anote os valores na Tabela 8.1; 
 
f) Utilizando a Equação (8.1) calcule as constantes elásticas para cada massa. Anote os valores na 
Tabela 8.1; 
 
g) Calcule a constante elástica média k . Anote o resultado na Tabela 8.1; 
 
h) Calcule o desvio padrão  . Anote o resultado na Tabela 8.1; 
 
i) Represente a medida na forma k k   . Anote na Tabela 8.1. 
 
 
Tabela 8.1 
Massa (kg): m Deformação (m): L Força (N): F mg Constante elástica (N/m): k
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
k  
  
k k   
 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015  39
8.4.2 Medida da Constante Elástica pelo Método Gráfico 
 
a) Construa em um papel milimetrado o gráfico de F L usando os dados da Tabela 8.1; 
 
b) Provavelmente os pontos não estão alinhados, então, ajuste uma reta a estes pontos usando o 
método dos mínimos quadrados; 
 
c) Obtenha a constante elástica k a partir do coeficiente angular da reta; 
 
d) Encontre a diferença percentual entre o resultado do item c) com a constante elástica média k , 
obtida na Tabela 8.1, através da expressão: 
(%) 100
k k
E
k
 
 
8.4.3 Medida da Gravidade Local Utilizando um Dinamômetro 
 
a) Escolha 5 (cinco) massas diferentes. Anote os valores na Tabela 8.2; 
 
b) Utilize o dinamômetro para determinar a força F exercida pela gravidade sobre cada uma das 
massas. Anote os valores obtidos na Tabela 8.2; 
 
c) Para cada massa calcule a aceleração da gravidade. Use que F mg . Anote os valores na 
Tabela 8.2. 
 
d) Calcule a aceleração da gravidade média g . Anote o resultado na Tabela 8.2; 
 
e) Calcule o desvio padrão  . Anote o resultado na Tabela 8.2; 
 
f) Represente a medida na forma g g   . Anote o resultado na Tabela 8.2. 
 
Tabela 8.2 
Massa (kg) Força (N) Aceleração da gravidade (m/s2) 
 
 
 
 
 
 g  
   
 g g    
 
 
 
 
 
 
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Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015 42 
 
 
 
 
 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015  43
Aula 9 
Gráficos II: Papel Monolog 
 
 
 
9.1 Objetivos 
 
Linearizar funções usando o gráfico no papel monolog. 
 
9.2 Introdução 
 
Nos gráficos cartesianos, a linha que une os diferentes pontos assinalados é uma curva que 
pode, em alguns casos, ser representada por uma função conhecida. Logicamente, o gráfico mais 
fácil de ser traçado e analisado (interpretado) é uma reta, portanto, é comum efetuar o processo de 
transformações de variáveis, de modo a se obter uma reta. 
 
9.3 Escalas Logarítmicas 
 
Se o gráfico dos valores tabelados em uma experiência for uma curva, a sua função pode não 
ser de fácil determinação. Algumas vezes, funções deste tipo podem ser determinadas pelo uso 
adequado dos papéis logarítmicos: papel mono-logarítmico (mono-log) e o papel dilogarítmico (log-
log). O papel mono-log possui escala linear no eixo das abscissas (eixo X) e escala logarítmica no 
eixo das ordenadas (eixo Y). O melhor papel a ser utilizado dependerá dos dados obtidos 
experimentalmente. 
Numa escala linear (papel milimetrado), como já foi visto na Aula 7, a distância entre os traços 
consecutivos representa sempre o mesmo intervalo da grandeza a ser representada. Numa escala 
logarítmica, isto não acontece. As distâncias entre os traços não são lineares, ou seja, o passo é 
variável. A escala logarítmica é constituída de “décadas”. Uma década é uma escala contida em um 
comprimento L, iniciando pelo número 10N e terminando no número 10N+1, sendo N um número 
inteiro que pode ser negativo, nulo ou positivo, isto é, N Z . Entre estes números são colocados os 
algarismosinteiros de 2 a 9, representando os múltiplos de 10N. 
No papel mono-log, os pontos no eixo de ordenadas (eixo Y) estarão representando os 
logaritmos dos números, portanto, para se construir o gráfico basta marcar diretamente os pontos 
correspondentes aos valores de y nos eixos logarítmicos. A função do papel logaritmo é poupar o 
trabalho de se extrair os logaritmos de todos os valores de y. 
As regras para construção de gráficos em escala logarítmica são as mesmas que foram 
colocadas na Aula 7 (Gráficos I), a menos no que diz respeito à escala dos eixos. 
 
9.4 Papel Mono-log 
 
Ao se deparar com um gráfico cuja curva obtida é do tipo 
0
kxy y e , (9.1) 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015 44 
poderemos fazer uma transformação aplicando o operador logaritmo em ambos os lados da 
expressão da seguinte forma: 
0 0log( ) log( ) log( ) log( ) log( )
kx kxy y y ye e    
e finalmente: 
0log( ) log( ) log( )y y k xe  . (9.2) 
 
Dessa forma, transformamos uma função do tipo exponencial em uma reta do tipo: 
Y A Bx  , (9.3) 
sendo log( )Y y , 0log( )A y e log( )B k e . Note que 0y e k são, agora, facilmente obtidos 
fazendo uso do gráfico dessa reta, onde B é a inclinação da reta. Comparando as equações (9.2) e 
(9.3) temos: 
log( )
Bk
e
 . (9.4) 
O coeficiente angular da reta da equação (9.3) é B que será determinado pela expressão: 
 
2 1 2 1
2 1 2 1
log( ) log( )Y Y y yYB
x x x x x
      . (9.5) 
 
A constante 0y é obtida extrapolando a reta até que ela toque o eixo Y. 
 
9.5 Exercício 
 
Num circuito RC (resistor em série com um capacitor) a voltagem V em função do tempo t , 
para um capacitor que está descarregando é dada por: 
0
/tV V e  , 
onde 0V é a voltagem inicial e  é a constante de tempo capacitiva ( RC  ). Considerando 0 10V  
volts e 47  segundos complete a Tabela 9.1. 
 
Tabela 9.1 
t (s) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 
V (V) 
 
a) Construa o gráfico V t num papel milimetrado; 
 
b) Linearize a equação 0
/tV V e  ; 
 
 
 
 
 
c) Construa o gráfico V t num papel mono-log (com V na escala logarítmica e t na escala linear) e 
determine o coeficiente angular desta reta para obter o valor de  . Compare o valor de  obtido no 
gráfico com o valor dado 47  s. 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015  45
 
 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015 46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015  49
Aula 10 
Gráficos III: Papel Dilog 
 
 
 
10.1 Objetivos 
 
Linearizar funções do tipo exponencial usando escalas logarítmicas através do papel dilog. 
 
10.2 Introdução 
 
Nos gráficos cartesianos, a linha que une os diferentes pontos assinalados é uma curva que 
pode, em alguns casos, ser representada por uma função conhecida. Logicamente, o gráfico mais 
fácil de ser traçado e analisado (interpretado) é uma reta, portanto, é comum executar uma 
transformação de variáveis, de modo a se obter uma reta. 
 
10.3 Escalas Logarítmicas 
 
Se o gráfico dos valores tabelados em uma experiência for uma curva, a sua função pode não 
ser de fácil determinação. Algumas vezes, funções deste tipo podem ser determinadas pelo uso 
adequado dos papéis logarítmicos: papel mono-logarítmico (mono-log) e o papel dilogarítmico (log-
log). O papel log-log possui escala logarítmica nos dois eixos. O melhor papel a ser utilizado 
dependerá dos dados obtidos experimentalmente. 
Numa escala linear como a do papel milimetrado, visto na Aula 7, a distância entre os traços 
consecutivos representa sempre o mesmo intervalo da grandeza a ser representada. Numa escala 
logarítmica, isto não acontece. As distâncias entre os traços não são lineares, ou seja, o passo é 
variável. A escala logarítmica é constituída de décadas. Uma década é uma escala contida em um 
comprimento L, iniciando pelo número 10N e terminando no número 10N+1, sendo N um número 
inteiro que pode ser negativo, nulo ou positivo, isto é, N Z . Entre estes números são colocados os 
algarismos inteiros de 2 a 9, representando os múltiplos de 10N. 
No papel di-log, os pontos no eixo de ordenadas (eixo Y) e no eixo das abscissas (eixo X) 
estarão representando os logaritmos dos números, portanto, para se construir o gráfico basta marcar 
diretamente os pontos correspondentes aos valores de x e y nos eixos. Assim, a função do papel di-
log é poupar o trabalho de se extrair os logaritmos de todos os valores de x e y. As regras para 
construção de gráficos em escala di-log são as mesmas que foram colocadas na Aula 7 (Gráficos I), 
a menos no que diz respeito à escala dos eixos. 
 
10.4 Utilização do Papel Log-Log 
 
Se a curva obtida ao construir um gráfico em um papel milimetrado for do tipo 
ky x , (10.1) 
onde  e k são constantes a serem encontradas para que a função ( )xy seja determinada, caso 
fosse possível construir um gráfico de y em função de kx , que seria uma reta passando pela 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015 50 
origem, a constante  seria determinada através do coeficiente angular desta reta. No entanto, isto 
não é possível, pois, não conhecendo o valor de k , não se pode obter os valores de kx . Para 
resolver esse problema, aplica-se o operador logaritmo em ambos os lados da equação (10.1): 
log( ) log( ) log( ) log( ) log( )k ky x y x     
resultando em: 
log( ) log( ) log( )y k x  . (10.2) 
Observamos que a expressão resultante é uma reta do tipo: 
Y A kX  , (10.3) 
sendo log( )Y y , log( )A  e log( )X x . Note que A e k são, agora, facilmente obtidos 
fazendo uso do gráfico dessa reta. A constante k é a inclinação da reta, sendo dada por: 
 
2 1 2 1
2 1 2 1
log( ) log( )
log( ) log( )
Y Y y yYk
X X X x x
      . (10.4) 
 
O valor de A é obtido por extrapolação da reta tomando 0X  (observe que isto implica em 
tomar 1x  na equação (10.1)). 
Observamos que no papel log-log o coeficiente angular da reta pode ser encontrado 
diretamente do gráfico, medindo Y e X com uma régua e dividindo Y por X . 
 
10.5 Exercícios 
 
Para um corpo em queda livre, partindo do repouso, a distância h em função do tempo t 
para um dado referencial, onde 0 0h  , varia de acordo com a expressão: 2 2h gt . Considerando 
10g  m/s2 teremos simplesmente: 
25h t . (10.5) 
Usando esta equação complete a Tabela 10.1. 
 
Tabela 10.1 
t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
h (m) 
 
a) Construa o gráfico hxt num papel milimetrado; 
 
b) Linearize a equação 25h t ; 
 
 
 
 
 
 
 
c) Construa o gráfico hxt num papel log-log e determine o coeficiente angular desta reta. Verifique se 
o valor encontrado é aproximadamente igual a 2, que é justamente o expoente da variável t da 
equação (10.5). 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015  51
 
 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015 52Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015  53
 
 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015 54 
 
 
 
 
 
 
 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015  55
Aula 11 
Queda Livre 
 
 
 
11.1 Objetivos 
 
Determinar a aceleração da gravidade local e deduzir a lei de queda livre fazendo uso do 
papel log-log na construção de gráficos. 
 
11.2 Introdução 
 
O exemplo mais comum de movimento com aceleração (aproximadamente) constante é o de 
um corpo caindo na superfície terrestre. Desprezando a resistência do ar, verifica-se que todos os 
corpos caem com a mesma aceleração, em um mesmo ponto da superfície terrestre, não importando 
seu tamanho, seu peso ou sua constituição; se a altura de queda não for muito grande, a aceleração 
permanecerá constante durante todo o movimento. Este movimento ideal, no qual são desprezadas a 
resistência do ar e algumas pequenas variações da aceleração com a altitude (o valor de g depende 
da latitude e da altitude terrestre) é chamado de queda livre. A aceleração de um corpo em queda 
livre é chamada aceleração da gravidade e é representada pelo símbolo g (a seta indica a natureza 
vetorial da grandeza). Próximo à superfície da Terra, seu valor é de aproximadamente 9,8 m/s2, sua 
direção é normal à superfície terrestre e seu sentido é dirigido para o centro da terra. 
Escolhendo um referencial rigidamente ligado à Terra (veja a Fig. 11.1), a direção do eixo Oy 
será vertical e seu sentido positivo para cima. Então a aceleração da gravidade, g será um vetor 
apontando verticalmente para baixo (para o centro da Terra), no sentido negativo de Oy (essa 
escolha é arbitrária: em outros problemas poderá ser mais conveniente escolher o sentido para baixo 
como positivo). A equação horária de um objeto em queda livre é a mesma de um corpo em 
movimento uniformemente acelerado, ou seja: 
2
0 0 2
y
y
a
y y t t  v , (11.1) 
em que 0y é a posição inicial, 0 yv é a 
velocidade inicial na direção y, e 
ya g  é a aceleração da gravidade, 
dirigida para baixo em relação ao eixo 
vertical orientado para cima como 
mostrado na Fig. 11.1. 
 
 
 
 
 
 
Figura 11.1 Representação esquemática de um corpo em queda livre. 
y 
0 
x 
0 0 00, 0, ,y yt y h a g    v
h 
, 0qt t y m 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015 56 
 A equação da queda livre é: 
2
2
gh t (11.2) 
 
11.3 Materiais Utilizados 
 
a) Sensor eletrônico de medida de tempo; d) Esfera metálica; 
b) Trena; e) Papel Log-Log. 
c) Cronômetro Digital; 
 
11.4 Procedimento Experimental 
 
11.4.1 Determinação Direta do Valor de g Usando Cronômetro Digital e Trena. 
 
a) Mostre, a partir da Eq. (11.2), que a aceleração da gravidade local pode ser determinada pela 
relação 2
2hg
t
 : 
 
b) Fixe a altura em aproximadamente 1,80 metros e, com o cronômetro digital, meça o tempo (em 
segundos) de queda. Repita esse procedimento 10 vezes, anotando os resultados na Tabela 11.1; 
 
c) Calcule o tempo médio de queda qt e anote o resultado na Tabela 11.1; 
 
d) Em seguida, calcule o valor médio da aceleração da gravidade g usando que 22 ( )qg h t . Anote 
o valor encontrado na Tabela 11.1. 
 
Tabela 11.1 
1t  2t  3t  4t  5t  6t  7t  8t  9t  10t  
t  
g  
 
11.4.2 Determinação do Valor de g Usando o Sensor Eletrônico de Medida de Tempo 
 
a) Com a altura fixa em 1,80 metros, use desta vez o sensor eletrônico de tempo para medir o tempo 
de queda. Repita esse procedimento 10 vezes e anote os valores do tempo de queda (em segundos) 
na Tabela 11.2: 
 
b) Calcule o tempo médio de queda qt e anote o resultado na Tabela 11.2; 
 
c) Calcule g usando 22 ( )qg h t . Anote o valor encontrado na Tabela 11.2. Ele difere do valor 
obtido anteriormente? Por quê? 
 
Tabela 11.2 
1t  2t  3t  4t  5t  6t  7t  8t  9t  10t  
t  
g  
 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015  57
11.4.3 Dedução Experimental da Equação de Queda Livre 
 
a) Com a trena, meça a altura h a partir da qual a esfera de aço é solta. Observe o tempo de queda 
decorrido. Repita o procedimento para cinco alturas diferentes e anote os resultados na Tabela 11.3. 
 
b) Construa um gráfico h t em escala log-log. Qual é o tipo de curva? 
 
 Tabela 11.3 
h (m) Tempo de queda (s) 
2,0 
1,8 
1,6 
1,4 
1,2 
1,0 
k  
  
 
 
c) Suponha que a lei da queda livre é do tipo kh t , em que  e k são constantes. Linearize a 
equação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) A partir do gráfico determine as constantes k e  . O resultado do experimento está de acordo 
com o que você esperava? Por quê? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015 58 
 
 
Gráfico Log-Log de h t 
1
2
h 
(m
)
tq (s)
1,2
1,4
1,6
1,8
0,3 0,4 0,80,70,60,5
 
 
 
 
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015  59
Aula 12 
Lançamento Oblíquo de um Projétil 
 
 
 
12.1 Objetivos 
 
Estudar o movimento de um projétil em duas dimensões para medir sua velocidade inicial e 
relacionar o ângulo de inclinação com o alcance atingido. 
 
12.2 Introdução 
 
Um exemplo de movimento curvilíneo com aceleração é o movimento de um projétil, isto é, o 
movimento bidimensional de uma partícula lançada obliquamente no ar (Figura 12.1). O movimento 
ideal (desprezando a resistência do ar) de uma bola de futebol ou de uma bola de golfe são 
exemplos de movimentos de projéteis. A componente horizontal da aceleração é nula, esse tipo de 
movimento se realiza com aceleração constante g , dirigida para baixo. Caso seja escolhido um 
sistema de coordenadas Oy dirigido para cima, pode-se escrever 0xa  e ya g  , e o movimento 
será descrito pelas equações: 
0 0xx x t v (12.1a) 
2
0 0
1
2y y
y y t a t  v (12.1b) 
em que 0x e 0y são as coordenadas da posição inicial, 0xv e 0 yv são as componentes da velocidade 
inicial, e ya g  é a aceleração da gravidade, dirigida para baixo em relação ao eixo vertical 
orientado para cima como na Figura 12.1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12.1: Representação esquemática do movimento de um corpo lançado horizontalmente a partir de uma 
altura h. D é o alcance máximo do projétil, qt é o tempo de queda, 0 0,t  0 0,y v 0 0 00, , 0xx y h  v . 
0xV
, 0qt t y 
h
y
x 0
D
Caderno de Laboratório de Física 1 – ANO 2015 60 
12.3 Materiais Utilizados 
 
a) Lançador de projéteis; d) Fita crepe; g) régua. 
b) Esfera de plástico; e) Papel carbono; 
c) Trena; f) Papel A4; 
 
12.4 Procedimentos Experimentais 
 
12.4.1 Obtenção do Alcance em Função do Ângulo de Lançamento 
 
a) Certifique-se que o projétil será arremessado a partir do plano da superfície da mesa; 
 
b) Monte o lançador de projétil em um ângulo de inclinação de 30º; 
 
c) Coloque um papel carbono em cima de um papel branco (uma folha A4) para marcar o ponto onde 
a bola atinge o plano da mesa. Faça um teste antes lançando o projétil para saber a posição correta 
em que se deve colocar o papel. Para que o papel não se desloque ao ser atingido pelo projétil, fixe 
o papel com um fita crepe; 
 
d) Dispare o lançador e meça com uma trena ou régua o alcance D . Repita o procedimento para dez 
disparos e anote o resultado