Estudo de Caso HIV-AIDS

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO
CENTRO DE CIENCIAS TECNOLOGICAS
CURSO DE ENGENHARIA DA COMPUTAÇÃO
	
ERYCK DE ARAUJO OLIVEIRA 11092037
RODRIGO FRAZÃO MAIA 10092012
ESTUDO DE CASO: CONTROLE DE HIV/AIDS 
São Luís – MA
2015
ERYCK DE ARAUJO OLIVEIRA 11092037
RODRIGO FRAZÃO MAIA 10092012
ESTUDO DE CASO: CONTROLE DE HIV/AIDS 
Estudo de Caso apresentado como requisito parcial para obtenção de aprovação na disciplina Engenharia de Controle Básica, no Curso de Engenharia de Computação, na Universidade Estadual do Maranhão.
Prof. Dr. Ivanildo Silva Abreu
São Luís – MA
2015
RESUMO
Este trabalho apresenta um estudo de caso sobre o controle do vírus HIV/AIDS em um paciente infectado. Tomando todos os parâmetros de controle para o projeto de modelagem do sistema, obtendo as equações do modelo matemático de infecção da doença, desenhando o diagrama de blocos, obtendo a função de transferência desejada ao sistema de controle. Aplicando a transformada de Laplace para a Modelagem no Domínio da Frequência e obtendo as equações de Espaço-Estado para a Modelagem no Domínio do Tempo, analisando se o sistema se configura em um de Primeira, Segunda Ordem ou de Ordem Maior. E no final do projeto determinar suas constantes de estabilidade, determinando as melhores características das diversas classes dos sistemas de controle combinadas para a realização de um esquema de controle mais eficiente e inteligente.
Palavras-Chave: Controle HIV/AIDS. Modelagem. Projeto de Controle. Estabilidade.
	
INTRODUÇÃO
No final de 2013, havia 35 milhões de [33.2-37.2 milhões] de pessoas vivendo com HIV. Este número está a aumentar à medida que as pessoas estão vivendo mais por causa da terapia antirretroviral, a par do número de novas infecções de HIV - que, embora em declínio, ainda é muito alto. Estima-se que 0,8% [0,7-0,8%] dos adultos com idades entre 15-49 anos em todo o mundo estão vivendo com HIV, embora o ônus da epidemia continua a variar consideravelmente entre regiões e países. Atualmente não existe cura conhecida para a doença, e o HIV não pode ser completamente eliminado em um indivíduo.
 Coquetéis de medicamentos podem ser utilizados para manter a quantidade de vírus em níveis baixos, o que ajuda a prevenir o desenvolvimento da AIDS. Um tratamento comum para o HIV é a administração de dois tipos de medicamentos: os inibidores de transcriptase reversa (RTIs – reverse transcriptase inhibitors) e os inibidores de protease (PIs – protease inhibitors). A quantidade na qual cada um desses medicamentos é administrado varia de acordo com a quantidade de vírus presente no corpo do paciente (Craig, 2004).
De acordo com os dados obtidos pretende-se desenvolver o melhor sistema de controle à aplicação desses medicamentos no paciente e assim administrar e melhorar a eficiência desses medicamentos no paciente a fim de dar uma melhor qualidade de vida ao mesmo. Usando das técnicas e conhecimento obtidos na disciplina aplica-se a melhor vista do sistema de controle ao estudo de caso presente.
DESCRIÇÃO DO CASO 
Como sabemos para obter-se um bom projeto de sistemas de controle com realimentação, devemos seguir uma sequência ordenada de processos para sua realização. A seguir veremos um resumo dos passos a serem seguidos:
Figura 1: O processo de projeto de sistema de controle.
O primeiro passo a se seguir é desenhar um diagrama de blocos a fim de representar o sistema físico do uso dos medicamentos para o combate do vírus do HIV/AIDS no paciente. Fazendo o estudo das variáveis do sistema nos deparamos com o seguinte diagrama:
 Figura 2: Diagrama de blocos vírus HIV/AIDS.
Segundo (Craig, 2004) as células T, que são atacadas pelo vírus, são produzidas a uma taxa s e morrem a uma taxa d. o vírus HIV presente na corrente sanguínea, chamados vírus livres, infectam as células T a uma taxa β. Além disso, os vírus se reproduzem através do processo de multiplicação das células T ou, de outra forma, a uma taxa k. os vírus morrem a uma taxa c. As células T infectadas morrem a uma taxa µ. Então a partir desses dados podemos fazer nosso modelo matemático relacionando as equações abaixo:
Onde: 
= número de células T saudáveis.
= número de células T infectadas.
 = número de vírus livres.
LINEARIZAÇÃO
Podemos observar que as duas primeiras equações são não-lineares por causa do produto contido em suas equações no lado direito, pois, a medida em que o número de células aumenta não se pode garantir que se tem a mesma proporção de vírus livres e vice-versa. Como os passos para um projeto de sistema de controle dependem de um sistema LTI (Linear Time-Invariant), temos que linearizar nossas equações para assim poder aplicar a Transformada de Laplace e obter a Função de Transferência da nossa equação.
Para a linearização das equações temos que encontrar o equilíbrio igualando as equações a zero assim temos:
O primeiro equilíbrio é encontrado pela substituição direta. Para o segundo equilíbrio , resolve-se as duas últimas equações para . 
 e igualando temos que: .
Substituindo o último termo na primeira equação, depois de algumas manipulações algébricas temos que . Segue que . Assim conseguimos eliminar o termo que causava a não-linearidade da equação e prosseguir com o projeto.
MODELAGEM NO DOMÍNIO DO TEMPO
Ao introduzirmos os medicamentos retrovirais no sistema, o modelo é modificado como a seguir (Craig, 2004): 
Em que representam a efetividade da medicação RTI e PI, respectivamente. Com essas novas equações podemos obter uma representação em espaço de estados para o controle do sistema. Partindo da linearização pelo ponto de equilíbrio .
Se , temos que:
 
 
 Agora substituindo na formula geral de espaço de estados, disponibilizamos do seguinte modelo:
RESPOSTA NO TEMPO 
Para o andamento do projeto valores típicos dos parâmetros e descrições para o modelo HIV/AIDS são mostrados na tabela 1 a seguir, esses valores vão nos servir de base para a resposta no tempo e na análise geral do projeto. 
Figura 3: parâmetros do sistema de controle HIV/AIDS
Substituindo esses valores em nosso modelo de espaço de estados temos condições agora de obter a função de Transferência do modelo e fazer a análise dos fatores relevantes no projeto de sistemas de controle. Assim considerando que só os RTIs são utilizados no sistema linearizado e utilizando dos valores dos parâmetros na tabela 1 a representação do espaço de estados é dada por:
 
Com esses valores e fazendo os cálculos necessários (Convertendo do Espaço de Estados para uma Função de Transferência) vamos obter a função de Transferência da eficiência do RTI para a quantidade de vírus a seguir.
Para obter a matriz adjunta calculamos os cofatores:
 
Então temos:
	Substituindo na fórmula geral temos:
Com a definição assim da função de transferência com os parâmetros devidamente calculados, pode-se agora determinar a natureza da resposta do nosso sistema em relação a uma entrada de degrau unitário, determinando se a mesma é criticamente, super, subamortecida ou se não é amortecida. 
 RESPOSTA AO DEGRAU
Aplicando o degrau negativo à nossa Função de Transferência temos os polos dominantes como função de segunda ordem assim pode-se determinar os valores de e , para que possamos determinar os parâmetros de desempenho do nosso sistema de controle que são: Tempo de Pico (), o Tempo de Subida (), o Tempo de Acomodação () e Ultrapassagem Percentual ().
Aplicando sobre essa expressão uma expansão em frações parciais e logo após a Transformada Inversa de Laplace obtemos a resposta no tempo do nosso sistema em relação ao degrau negativo na entrada para que se possater valores positivos no gráfico da função. Então temos:
Completando os quadrados da equação em Cs+D podemos aplicar a fórmula temos assim:
Assim determinamos que A = 820.1169, B = 75.02, C = 1 e D = -3.0364. E com os valores do zero da função temos uma amplitude maior dos parâmetros nos dando a seguinte resposta no tempo:
Assim notamos que temos um polo com parte real em -2.4619 e um polo com raízes complexas em e um polo na origem por causa do degrau unitário.
Com a aproximação de segunda ordem obtida, aplicamos a regra do sistema geral de segunda ordem onde , , e . 
Utilizando o polinômio temos que e Com nosso fator de amortecimento 0 < < 1, pode-se determinar que a resposta do sistema de controle do vírus HIV/AIDS é Subamortecida.
 TEMPO DE SUBIDA (Tr)
Temos que para o cálculo do Tempo de Subida em sistemas de segunda ordem usamos então temos:
 TEMPO DE PICO (Tp)
Temos que para o cálculo do Tempo de Pico em sistemas de segunda ordem usamos então temos:
 ULTRAPASSAGEM PERCENTUAL (%UP)
Temos que para o cálculo da Ultrapassagem Percentual em sistemas de segunda ordem usamos então temos:
.
TEMPO DE ACOMODAÇÃO (Ts)
Temos que para o cálculo do tempo de acomodação em sistemas de segunda ordem usamos então temos:
Aplicando a realimentação no sistema vemos a imensa diferença da precisão do sistema em relação ao mesmo em malha aberta. Como podemos ver na Figura 6. Temos um tempo de subida () = 0.0476 s, tempo de pico () = 0.138 s, tempo de acomodação () = 3.18 s, e uma ultrapassagem percentual () = 84.5 %. Vemos assim o ganho tremendo que nosso sistema tem com o sistema em malha fechada.
ESTABILIDADE
A busca da estabilidade dos sistemas de controle se torna de suma importância para o projeto, pois ela determina a precisão com o que ocorre a ação desejada e como ela se comporta diante de erros e perturbações no sistema. A estabilidade é definida como “a habilidade de um corpo ou sistema de retornar a sua condição de equilíbrio após uma perturbação ter sido imposta sobre ele”.
Diante disso para a melhor resposta em sistema permanente se tem uma realimentação do sistema para a melhora da precisão. Tomemos agora a função de transferência e aplicamos a realimentação no sistema obtendo o seguinte resultado:
Com isso podemos aplicar o critério de Routh-Hurwitz para determinar assim qual o valor de K para que o sistema seja estável, sendo o critério necessário e suficiente para a estabilidade. Determinando a tabela a seguir:
Figura 4: Tabela de Routh-Hurwitz para determinar K.
Então para a estabilidade temos que:
 Para que o sistema de malha fechada para a inserção de RTis contra o vírus da HIV/AIDS seja estável.
TÉCNICA DO LUGAR DAS RAÍZES
Temos que a nossa função de Transferência depois de adicionados os RTIs é: assim aplicando a técnica do lugar das raízes, começamos fatorando os polos complexos. No caso mais simples, G(s) = K, com K> 0.
 
Usando as regras de feedback positivo para traçar o lugar das raízes do sistema.
Para obter os pontos separados temos 
Calculando a equação 
Dando σ = -1,33, - 0,0879, 0,0446, com apenas o último valor no lugar das raízes. O valor de K para σ = 0,0446 é dada por:
 Assim temos que o Root Locus é:
Para o projeto do compensador analisa-se, inicialmente, o conceito implícito associado à compensação por avanço de fase. Ao se selecionar no plano s um polo dominante de segunda ordem desejado, a soma dos ângulos dos polos e zeros do sistema do sistema não compensado para o ponto de projeto pode ser determinada.
A diferença entre 180° e a soma dos ângulos deve ser a contribuição angular requerida do compensador. As diferenças dos compensadores estão nos valores constantes de erro estático, no ganho necessário para alcançar o ponto de projeto no lugar geométrico das raízes compensadas, na dificuldade em justificar uma aproximação de segunda ordem quando o projeto estiver completo e na resposta transiente resultante.
CONCLUSÃO 
Este trabalho apresentou um estudo de caso de um sistema de controle de HIV/AIDS em pacientes contaminados pelo vírus. Apresentou os vários aspectos que moldam os sistemas de controle como a função de transferência, alguns parâmetros de desempenho do sistema, dificuldades no projeto como as não linearidades em certas equações diferencias.
Apresentou-se uma linearização do sistema dado, após obtermos os valores dos parâmetros de entrada do sistema, propôs-se uma modelagem no domínio do tempo para a confecção da função de transferência do sistema. Aplicando os estudos adquiridos desenvolveu-se o modelo em função de transferência, após por meio da transformada inversa de Laplace obteve-se a resposta no tempo do sistema e o cálculo dos parâmetros de desempenho do mesmo. 
Pode-se observar a importância da realimentação do sistema, já que a mesma causa uma melhor estabilização e em um tempo absurdamente menor do que no sistema em malha aberta, o que é desejado nos sistemas de controle. E o projeto do compensador se torna essencial para o controle das variáveis de entrada e para a determinação dos melhores parâmetros para o sistema de controle funcionar.
APENDICE A – Gráficos do Sistema de Controle HIV/AIDS (MATLAB)
Figura 5: Gráfico da função de Transferência .
Figura 6: Gráfico da função de Transferência em malha fechada.
Figura 7: Gráfico de polos e zeros do Sistema de controle.
Figura 8: Diagrama de Bode do Sistema em Malha Aberta.
Figura 9: Gráfico do lugar das Raízes do Sistema de Controle.
APENDICE B – Código fonte do Sistema de Controle HIV/AIDS (MATLAB)
%Estudo de Caso: Controle do Vírus HIV/AIDS
%%-------------Aluno: Eryck de Araujo Oliveira (Código: 11092037) --------
%%-------------Aluno: Rodrigo Frazão Maia (Código: 10092012) --------
 
% ########################---------------#############################
 
%Modelagem no Dominio da Frequência (Função de Transferencia)
num = [520 10.4]; % Entrada com parâmetros positivos
%para a visualização de valores positivos da função
den1 = [1 2.4619]; den2 = [1 0.0398 0.0048];
den = conv (den1, den2);
sys = tf (num,den);
step(num,den) %Resposta Degrau
T_sys = feedback(sys,1); %Define T_sys para sistema de Malha Fechada
bode(sys)
margin(sys)
 
%Modelagem no Dominio da Frequência (Transformada Inversa Laplace)
syms s;
 C2 = ((-520*(s+0.02))/(s*((s+2.6419)*(s^2+0.0398*s+0.0048))));
 C2 = ilaplace (C2);
 pretty (C2)
 
% ########################---------------#############################
 
%Modelagem no Domínio do Tempo (Função de Transf. para Espaço de Estados)
[A,B,C,D]=tf2ss(num,den);
P=[0 0 1;0 1 0;1 0 0];
Af=inv(P)*A*P; Bf=inv(P)*B; Cf=C*P; Df=D;
printsys(Af,Bf,Cf,Df);
 
%Modelagem no Domínio do Tempo (Espaço de Estados para Função de Transf.)
[num, den] = ss2tf(Af,Bf,Cf,Df);
% ########################---------------#############################
 
%Resposta no Domínio do Tempo (Polos e Zeros)
[z, p, k] = tf2zp(num,den);
ltiview({'pzmap';'step'}, sys); %LTI Viewer (Gráfico dos Polos e Zeros)
 
%Resposta no Domínio do Tempo (Parâmetros de Desempenho)
omega = sqrt(den2(3)); %Frequência Natural
zeta = (den2(2)/(2*omega)); %Coeficiente de Amortecimento
Tp = pi/(omega*sqrt(1-zeta^2));%Tempo de Pico (Time Peak Response)
Ts = (4/(zeta*omega)); % Tempo de Assentamento (Time Settling)
Tr = (1.768* zeta^3 - 0.417*zeta^2 + 1.039*zeta+1) /omega; %Tempo de Subida (Time Rise)
UP = exp(-zeta*pi/sqrt(1-zeta^2))*100; %Ultrapassagem Percentual(Overshoot)he
 
%Adicionais:
[r,p,k]= residue(num,den); %Calcula Residuos da função
% Projeto do Compensador por Avanço de Fase do Sistema
rlocus(sys) %Determinando o Lugar das Raízes
REFERÊNCIAS
[1] DORF, Richard C. Sistemas de controle modernos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 659 p.
[2] NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle.6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013. 745p.
[3] OGATA, K., Engenharia de Controle Moderno, 5ª Ed. Prentice-Hall.
[4] PHILLIPS, Charles L.; HARBOR,Royce D. Sistemas de controle e realimentação. São Paulo; Rio de Janeiro: Makron, c1997. 558 p. ISBN 8534605963.
[5] WAGNER H, Blickhan R. Stabilizing function of skeletal muscles: an analytical investigation. Journal of Theoric Biology 1999; 199: 163-179.