Equações Diferenciais - Prova 1 - Laurete

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UCS - CCET - Equações Diferenciais - Profª.Laurete Zanol Sauer
Primeira Prova Parcial - Cursos de Engenharia
Acadêmico/a: _________________________________________ 14/04/15
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Questão 1)(2,0) Verifique se y�x� � 2e�x � xe�x é uma solução da equação diferencial 2y � � y � xex e apresente
argumentos que justifiquem sua resposta.
Resp.: A função dada por y�x� não é solução da equação dada, visto que não a satisfaz. Isto pode ser comprovado
substituindo y�x� e a respectiva derivada, na equação dada, donde se pode observar que a igualdade não se verifica.
Outra forma de justificar é resolver a equação dada, para a qual a solução geral é dada por:
y�x� � Ce� 12 x � 29 e
x � 13 xe
x
. Observa-se que, mesmo para C � 0, a solução geral é diferente daquela.
Questão 2)(2,0) Resolva as seguintes equações diferenciais, levando em consideração as informações dadas, quando for
o caso:
2.1) dydx �
2
x y � x Resp.: y�x� � Cx
2 � x2 ln x
2.2) dydt � 8 � 3t, y�0� � 4. Resp.: y�t� � �
3
2 t
2 � 8t � 4
Questão 3)(2,0) Suponha que num circuito simples a resistência seja de 12 � e a indutância seja de 4 H. Se uma pilha
fornecer uma voltagem constante de 60 V e o interruptor for fechado quando t � 0, então a corrente começa com
i�0� � 10. Calcule a função que representa a corrente em qualquer instante t, com base no modelo L didt �Ri � E�t� :
Resp.: x�t� � 5 � 5e�3t
A seguir, com base na solução particular determinada, assinale qual das seguintes afirmações é verdadeira e justifique
abaixo:
3.1) � � a corrente em cada instante é uma função crescente, com taxa de crescimento crescente.
3.2) � � a corrente em cada instante é uma função crescente, com taxa de crescimento decrescente.
3.3) X a corrente em cada instante é uma função decrescente, com taxa de decrescimento decrescente.
3.4) � � a corrente em cada instante é uma função decrescente, com taxa de decrescimento crescente.
Questão 4)(2,0) Resolva a seguinte equação diferencial, levando em consideração as condições iniciais apresentadas:
y �� � 10y � � 25y � 30t � 3, sendo y�0� � y ��0� � 0
Resp.: y�t� � 65 t �
3
5 e
5t � 95 te
5t � 35
Questão 5)(2,0) Resolva os seguintes problemas aplicados:
5.1) Um corpo de massa 2 kg, preso a uma mola de constante elástica igual a 4 kg/m, foi colocado em movimento com
deslocamento inicial de 0, 5 m para cima da posição de equilíbrio (x�0� � �0, 5) e depois solto, tendo sido aplicada,
simultaneamente, uma força externa dada por F�t� � 4sent e desprezada a resistência do ar. Nessas condições, calcule a
função que descreve este movimento:
Resp.: x�t� � � 12 cos 2 t �
1
7 2
sin 2 t � 128 sin 4t
5.2) Considere um capacitor em um circuito em série RCL, com L � 0, 05 h, R � 2 �, C � 0, 01 f, E�t� � 0 V, q�0� � 5 C
e i�0� � 0 A. Determine a função que representa a carga neste capacitor, em qualquer instante t, com base no modelo
Lq���Rq�� qC � E�t� :
Resp.: q�t� � 5
e20t
cos40t � 5
2e20t
sin 40t
1