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Universidade Federal do Rio Grande do Norte — UFRN
Escola de Ciência e Tecnologia — ECT
Bacharelado em Ciência e Tecnologia — BCT
Disciplina: Probabilidade e Estatística
Professor: Sandro Bruno do Nascimento Lopes (sandro@dca.ufrn.br)
Lista de Exercícios
1 Função distribuição de probabilidade
1. Da função distribuição de probabilidade f(x) = cos(x), para 0 < x < pi2 ,
determine:
(a) P (X < pi4 ). (Resposta: 0, 7071)
(b) P (pi8 < X). (Resposta: 0, 6173)
(c) P (pi4 < X <
pi
3 ). (Resposta: 0, 1589)
(d) P (X < pi8 ou X >
3pi
8 ). (Resposta: 0, 4588)
(e) A mediana de f(x). (Resposta: pi6 )
2. Suponha que um determinado tipo de nicho empresarial é tão especiali-
zada que alguns têm dificuldade em conseguir lucro em seu primeiro ano
de operação. A função densidade de probabilidade que caracteriza a pro-
porção y de obter lucro é dada por:
f(y) =
{
ky4(1− y3), 0 ≥ y ≥ 1
0, caso contrário
(a) Qual é o valor de k que torna a função acima de uma função de
densidade válida? (Resposta: 403 )
(b) Encontre a probabilidade de que no máximo 50% das empresas con-
sigam lucrar no primeiro ano. (Resposta: 0, 076)
(c) Encontre a probabilidade de que pelo menos 80% das empresas con-
sigam lucrar no primeiro ano. (Resposta: 0, 4067)
2 Função de distribuição acumulada
3. Seja x uma variável aleatória que denota a quantidade de tempo que um
livro, em uma reserva de duas horas, é realmente verificado, e suponha
1
que a função de distribuição acumulada seja dada por:
F (x) =

0, x < 0
x2
4 , 0 ≥ x < 2
1, x ≥ 2
Determine:
(a) P (X ≤ 1). (Resposta: 0, 25)
(b) P (0, 5 ≤ X ≤ 1). (Resposta: 0, 1875)
(c) P (X > 1, 5). (Resposta: 0, 4375)
(d) A mediana µ˜ do tempo de verificação (OBSERVAÇÃO: Resolver
F (µ˜) = 0, 5) (Resposta: 1, 4142)
(e) A função densidade de probabilidade f(x). (Resposta: f(x) = x2 ,
para 0 ≤ x < 2; 0, caso contrário)
4. (NOITE) Um fator importante em combustíveis sólidos de mísseis é a
distribuição do tamanho das partículas. Problemas significativos podem
ocorrer se as dimensões das partículas são demasiadamente grandes. A
partir dos dados de produção passadas, foi determinado que o tamanho
das partículas (em micrômetros) é caracterizada pela distribuição:
f(x) =
{
3x−4, x > 1
0, caso contrário
Obtenha a sua função de distribuição acumulada. (Resposta: F (x) =
1− x−3, para x > 1; 0, para x ≤ 1)
3 Média e variância de uma distribuição con-
tínua
5. (TARDE) A espessura de um revestimento condutor, em micrômetros, tem
uma função densidade de probabilidade dada por 600x−2, para 100µm <
x < 120µm.
(a) Determine a média e a variância das espessura do revestimento. (Res-
posta: E(X) = 109, 38 ; V (X) = 36, 0156)
(b) Se o revestimento custa R$0, 50 por micrômetro de espessura em cada
parte, quanto é o custo médio do revestimento por parte? (Resposta:
R$ 54, 69)
6. Um ecologista deseja marcar uma região de amostragem circular com raio
de 10m. Entretanto, o raio da região resultante é, na verdade, uma variável
aleatória R com fdp:
f(r) =
{ 3
4 [1− (10− r)
2], 9 ≥ x ≥ 11
0, caso contrário
Qual é a área esperada da região circular resultante? (Resposta: 314, 79m2)
2
4 Distribuição uniforme
7. Um estudo sobre o tempo gasto de compras em um supermercado para
uma cesta de 20 itens específicos de mercado mostrou uma distribuição
aproximadamente uniforme entre 20 minutos e 40 minutos. Qual é a pro-
babilidade de que o tempo de compras será:
(a) Entre 25 e 30 minutos? (Resposta: 0, 25)
(b) Menos de 35 minutos? (Resposta: 0, 75)
(c) Quais são os média e desvio padrão do tempo de compras? (Resposta:
E(X) = 30 ; σ = 5, 7735)
8. (TARDE) A espessura da fotorresistência aplicada para pastilhas na fa-
bricação de semicondutores em um determinado local é distribuído uni-
formemente entre 0, 2050 e 0, 2150 micrômetros. Determinar o seguinte:
(a) A função de distribuição cumulativa de espessura da fotorresistência.
(Resposta: F (x) = 0; para x < 0, 2050; x−0,20500,01 , para 0, 2050 ≤ x ≤
0, 2150; 1, para x > 0, 2150)
(b) Proporção de pastilhas que excedem 0,2125 micrômetros em espes-
sura da fotorresistência. (Resposta: 0, 25)
(c) Espessura excedido em 10% das pastilhas. (Resposta: 0, 2140)
(d) Média e variância de espessura da fotorresistência. (Resposta: E(X) =
0, 21; V (X) = 0, 00000833)
5 Distribuição normal
9. Um cientista da pesquisa relata que os ratos podem viver uma média de 40
meses, quando suas dietas são bem restritas e, em seguida, enriquecido com
vitaminas e proteínas. Supondo-se que o tempo de vida de tais ratos são
normalmente distribuídos com um desvio padrão de 6, 3 meses, encontre
a probabilidade de que um determinado rato viverá:
(a) Mais de 32 meses. (Resposta: 0, 8980)
(b) Menos de 28 meses. (Resposta: 0, 0287)
(c) Entre 37 e 49 meses. (Resposta: 0, 6080)
10. (TARDE, NOITE) A demanda pelo uso da água na cidade de Phoenix em
2003 atingiu uma alta de cerca de 442 milhões de litros por dia em 27 de ju-
nho
(http://phoenix.gov/WATER/wtrfacts.html). O uso da água no verão é
normalmente distribuído com uma média de 310 milhões de litros por dia e
um desvio padrão de 45 milhões de litros por dia. Reservatórios da cidade
têm uma capacidade de cerca de 350 milhões de galões de armazenamento
combinado.
(a) Qual é a probabilidade de que um dia exige mais água do que é
armazenada em reservatórios da cidade? (Resposta: 0, 1867)
3
(b) O que a capacidade do reservatório é necessária de modo a que a
probabilidade de que ele seja ultrapassado esteja em 1%? (Resposta:
414, 85 milhões de litros)
(c) Qual a quantidade de uso da água é ultrapassado com 95% de pro-
babilidade? (Resposta: 236, 8 milhões de litros)
6 Distribuição exponencial
11. O tempo entre as chamadas para uma empresa de materiais de encana-
mento é exponencialmente distribuído com um tempo médio entre chama-
das de 15 minutos.
(a) Qual é a probabilidade de que não existem chamadas dentro de um
intervalo de 30 minutos? (Resposta: 0, 1353)
(b) Qual é a probabilidade de que pelo menos uma chamada chega dentro
de um intervalo de 10 minutos? (Resposta: 0, 4268)
(c) Qual é a probabilidade de que a primeira chamada chega dentro de
5 e 10 minutos após a abertura do sistema? (Resposta: 0, 2031)
12. (NOITE) O tempo entre a chegada de táxis em um cruzamento movimen-
tado é exponencialmente distribuída com uma média de 10 minutos.
(a) Qual é a probabilidade de que você esperar mais de uma hora por
um táxi? (Resposta: 0, 0025)
(b) Suponha que você já estava esperando por uma hora por um táxi.
Qual é a probabilidade de que um chega dentro dos próximos 10
minutos? (Resposta: 0, 6321)
(c) Determine x tal que a probabilidade de que você esperar mais de x
minutos é 0,10. (Resposta: 23, 0258)
7 Distribuição da média amostral
13. Dada uma população cuja distribuição de probabilidade é discreta e dada
por:
p(x) =
{ 1
3 , x = 2, 4, 6
0, caso contrário
Encontre a probabilidade de que uma amostra aleatória de tamanho 54,
selecionada aleatoriamente, produzir uma média amostral superior a 4, 1
e inferior a 4, 4. Assuma que os valores de média sejam arredondados para
o décimo mais próximo. (Resposta: 0, 2905)
4
8 Intervalo de Confiança
14. Muitos pacientes cardíacos usam marcapasso implantado para controlar
seu batimento cardíaco. Assumindo que um módulo conector plástico
montado na parte superior do marcapasso possua valor de espessura des-
crita por uma distribuição normal com desvio padrão de 0, 0015 polegadas:
(a) Encontre um intervalo de confiança de 95% para a média da espessura
de todos os módulos de conexão feita por uma determinada empresa
de fabricação. Uma amostra aleatória de 75 módulos tem uma es-
pessura média de 0, 310 polegadas. (Resposta: [0, 3066; 0, 3133])
(b) Quão grande deve ser a amostra se quisermos ter 98% de certeza
de que a nossamédia amostral estará a 0, 0005 polegadas da média
verdadeira? (Respostas: 3.458 amostras)
15. (TARDE, NOITE) Uma amostra aleatória de 10 barras energéticas de
chocolate de uma determinada marca tem, em média, 230 calorias por
barra, com um desvio padrão de 15 calorias. Construa um intervalo de
confiança de 99% para o verdadeiro teor calórico médio de este tipo de
barra de energia. Assume-se que a distribuição do conteúdo de calorias é
aproximadamente normal. (Resposta: [214, 5839; 245, 4160])
16. O gerente financeiro de uma grande rede de lojas de departamentos se-
lecionou uma amostra de 200 de seus clientes com cartão de crédito e
descobriu que 136 pagaram juros no ano anterior devido saldo não pago.
(a) Calcule o Intervalo de Confiança de 90% para a proporção real dos
clientes com cartão de crédito que pagaram juros no ano anterior;
(Resposta: [0, 6254; 0, 7346])
(b) Se a amplitude desejada do intervalo for 0, 05, que tamanho da amos-
tra é necessário para garantir isto (Observação: O tamanho da amos-
tra é o dobro da margem de erro). (Resposta: 943 amostras)
9 Teste de hipóteses
17. (NOITE) De acordo com um estudo da dieta, a ingestão elevada de sódio
pode estar relacionada a úlceras, câncer de estômago, dores de cabeça e
enxaqueca. A exigência humana de sal é de apenas 220 miligramas por
dia, que é superada na maioria das porções individuais de cereais matinais.
Para um determinado cereal matinal, sabe-se historicamente que o desvio-
padrão do teor de sódio é de 24, 5 miligramas. Se uma amostra aleatória
de 20 porções similares de um certo cereal tem um teor médio de sódio
de 244 miligramas, isso sugere, com nível de significância de 0, 05, que
o teor médio de sódio para uma única porção desse cereal é superior a
220 miligramas? Assuma a distribuição dos teores de sódio como sendo
normal.
18. Uma amostra de 50 lentes utilizadas em óculos produz uma amostra mé-
dia da espessura de 3, 05 mm e um desvio padrão da amostra de 0, 34
5
milímetros. A verdadeira espessura média desejada de tais lentes é 3, 20
milímetros. Será que os dados sugerem fortemente que a verdadeira espes-
sura média dessas lentes é algo diferente do que é desejado? Teste usando
α = 0,05. (Resposta: Por valor crítico, t0 = −3, 1185 < −2, 009. Existe
evidência suficiente para afirmar que a verdadeira espessura média dessas
lentes é diferente de 3, 20 milímetros.)
19. (TARDE) Em 30 de dezembro de 2009, o New York Times relatou que,
em uma pesquisa com 948 adultos americanos que disseram acompanhar
futebol americano da faculdade, 597 disseram que o atual formato do cam-
peonato deve ser substituído por um sistema semelhante ao utilizado no
campeonato de basquete da faculdade. Será que isso fornece evidência
suficiente para concluir que a maioria de todos esses indivíduos favorecem
a substituição do formato do campeonato de futebol americano? Teste
as hipóteses apropriadas utilizando o método do p-valor com nível de sig-
nificância de 0, 01. (Resposta: Por p-valor, p-valor = 0 < 0, 01. Existe
evidência suficiente para afirmar que a maioria de todos esses indivíduos
são a favor a substituição do formato do campeonato de futebol ameri-
cano.)
6

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