Aula 11 - Momentos Principais de Inércia

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ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
©2004 by Pearson Education
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Prof. Dr. Rodrigo Barros
TURMA 2014.2
ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Prof. Dr. Rodrigo Barros
TURMA 2014.2
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
AULA 11
MOMENTOS PRINCIPAIS DE 
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MOMENTOS PRINCIPAIS DE 
INÉRCIA 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
AULA 11
MOMENTOS PRINCIPAIS DE 
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MOMENTOS PRINCIPAIS DE 
INÉRCIA 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
EIXOS ALEATÓRIOS DEFASADOS
Por um ponto qualquer de uma figura,
ortogonais XY. Do mesmo modo,
infinitos pares de eixos ortogonais,
cada um desses pares de eixos ortogonais,
único valor de Produto de Inércia a eles
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DEFASADOS DE 90º
figura, passam infinitos pares de eixos
modo, pelo CG de uma figura passam
ortogonais, chamados XCGYCG. Em relação a
ortogonais, haverá um, e somente um,
eles associados.
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EIXOS ALEATÓRIOS DEFASADOS
Em projetos estruturais e mecânicos,
valor dos Momentos de Inércia e do
eixos inclinados. Nesses casos, utilizam
os eixos XY com outros pares de
conhecido.
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u = x cos θ + y sen θ
v = y cos θ - x sen θ
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DEFASADOS DE 90º
mecânicos, algumas vezes é preciso saber o
do Produto de Inércia associados a
utilizam-se equações que relacionam
de eixos, rotacionados de um ângulo
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EIXOS ALEATÓRIOS...
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EIXOS ALEATÓRIOS...
Usando as identidades trigonométricas 
sen 2 θ = 2 sen θ cos θ e 
cos 2 θ = cos2 θ – sen2θ
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Usando as identidades trigonométricas 
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
EXEMPLO 01
Determinar os Momentos de Inércia
relação aos eixos x2 e y2, para
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
EXEMPLO 01
Inércia e o Produto de Inércia em
um ângulo  igual a 30º
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
EXEMPLO 01
Determinar os Momentos de Inércia
relação aos eixos x2 e y2, para
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EXEMPLO 01
Inércia e o Produto de Inércia em
um ângulo  igual a 30º
47,144 cmI 
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2 7,144 cmIx 
4
2 1,152 cmI y 
4
22 6,69 cmI yx 
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EIXOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA
Observa-se pelas equações anteriores
haverá um par ordenado formado por
um gráfico com esses pares ordenados,
Como as equações anteriores são
essas equações e igualando o resultado
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essas equações e igualando o resultado
que fornecem os valores máximos e
Ix e Iy. Esses ângulos orientam os
Inércia
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INÉRCIA
anteriores que, para cada valor de ângulo 
por (Ix;Ixy) ou (Iy,Ixy). É possível montar
ordenados, que será feito mais adiante.
são funções do ângulo , derivando
resultado a zero, obtém-se os ângulos
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resultado a zero, obtém-se os ângulos
e mínimos dos Momentos de Inércia
os chamados Eixos Principais de
 





 


2
2
yx
xy
p II
I
tg 
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EIXOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA
• A equação tem duas raízes θp1 e
determinam as inclinações dos eixos
•Para substituirmos essas raízes na
devemos inicialmente encontrar o seno
•Para θP1 temos:
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
EIXOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA
e θp2 , defasadas de 90° entre si que
eixos principais.
na equação mostrada no slide anterior,
seno e cosseno de 2θp1 e de 2θp2.
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
EIXOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA
• Substituindo essas relações trigonométricas
e simplificando, obtemos uma expressão
de inércia máximo,Imáx, e outra para
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






yx II
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obs1: Constata-se que o Produto
principais é SEMPRE igual a zero.
obs2: Conclui-se, assim, que caso
simetria passando pelo seu CG, este
Principal de Inércia.










2
yx
mín
máx
II
I
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EIXOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA
trigonométricas nas expressões de Iu e Iv
expressão para o cálculo do momento
o momento de inércia mínimo ,Imín.
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




 
2
yx II
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de Inércia em relação aos eixos
caso uma figura possua um eixo de
este será obrigatoriamente um Eixo









  2
2
xy
yx
I
II
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
EXEMPLO 02
Determinar os Momentos Principais
do exemplo 01
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EXEMPLO 02
Principais de Inércia para a figura
4
1 7,206 cmIx 
41,90 cmI 
4
2 7,144 cmIx 
41,152 cmI 
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4
1 1,90 cmI y 
4
11 9,37 cmI yx 
4
2 1,152 cmI y 
4
22 6,69 cmI yx 
49,217 cmImáx 
49,78 cmImín 
obs3: Teorema do Invariante
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CÍRCULO DE MOHR
- Foi visto anteriormente que por um
eixos ortogonais X e Y, em relação
Momentos de Inércia em relação a cada
- Existe um par de Eixos X e Y, para
eles associados resulta igual a Zero
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eles associados resulta igual a Zero
chamados Eixos Principais de Inércia,
Máximo e outro Mínimo de Momentos
eixos.
- Assim, juntando os “infinitos” pares
desenhar um gráfico que contém
apresenta o formato de um circulo,
de Mohr.
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um ponto passam infinitos pares de
aos quais podem ser calculados os
cada um deles.
para os quais o Produto de Inércia a
Zero. Esse par de eixos compõe os
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Zero. Esse par de eixos compõe os
Inércia, para os quais obtém-se um valor
Momentos de Inércia associados a esses
pares de eixos (Ix;Ixy) e (Iy;-Ixy), é possível
todos esses pontos. Esse gráfico
e por isso recebe o nome de Círculo
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CÍRCULO DE MOHR
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
CÍRCULO DE MOHR
- No Círculo de Mohr, o eixo das ordenadas
Produtos de Inércia, enquanto o eixo
valores dos Momentos de Inércia.
- Desse modo, constata-se que os
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- Desse modo, constata-se que os
Principais de Inércia, que são os pontos
zero, obrigatoriamente cortam o eixo
portanto, um valor máximo e mínimo,
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ordenadas representa os valores dos
eixo das abscissas representam os
os pontos relativos aos Momentos
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os pontos relativos aos Momentos
pontos cujo Produto de Inércia vale
eixo das Abscissas, representando,
mínimo, conforme visto anteriormente.
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EXEMPLO 03
Determinar os Momentos Principais
do exemplo 01 utilizando o círculo
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
EXEMPLO 03
Principais de Inércia para a figura
círculo de Mohr.
4
1 7,206 cmIx 
41,90 cmI 
4
2 7,144 cmIx 
41,152 cmI 
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4
1 1,90 cmI y 
4
11 9,37 cmI yx 
4
2 1,152 cmI y 
4
22 6,69 cmI yx 
49,217 cmImáx 
49,78 cmImín 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS
EXEMPLO 04
Determinar os Momentos Principais
abaixo utilizando o círculo de Mohr
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS
EXEMPLO 04
Principaisde Inércia para a figura
Mohr.
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445,15 cmImáx 
489,1 cmImín 