Séries Testes de Leibniz, Razão e Raiz

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 Definição: São aquelas séries cujos termos 
são alternadamente positivos e negativos, 
isto é, da forma:
( ) nacomaaaaa nn
n
+−+−=−
+
 ,0,.1 4321
1
1

Aula 03
( ) nacomaaaaa nn
n
−+−+−=− ,0,.1 4321
1

Uma série alternada é convergente se:
e
( ) n
n
a.1
1
 −
..2
0lim.1
1 
=
+
→
naa
a
nn
n
n

+−
1
1)1(
.1
n
n
0
1
lim =
+→ nn
edecrescent
n
,...
3
1
,
2
1
,1
1
=







−
− +
1
1
14
3.)1(
.2
n
nn
=
−+→ 14
3
lim
n
n
n
Não cumpre o Critério de Leibniz, Logo a 
série diverge!!!
4
3

+
+− +
1
2
12
2
)12.()1(
.3
n
nn
Não é uma série alternada!!!
Se uma série alternada satisfaz as 
condições do teste de Leibniz e sendo S a sua 
soma, temos que:
 se a soma S for aproximada por então o 
erro absoluto . 
( ) n
n
a.1
1
1
+
 −
nS
1+−= nn aSS
1. Calcule o erro cometido quando a soma da 
série é aproximada por .

( )

−
−
1
5
1
1
n
n
3S
0
1
5lim =
+→ nn
.,...
243
1
,
32
1
,1
1
5
edecrescent
n
=






−= +1nn aSS  +1na
00097,0
1024
1
4
1
54
=== a
Com este resultado podemos avaliar somas 
de séries alternadas com precisão de k casas 
decimais. 
Se é o erro de uma aproximação, então 
esta terá precisão de k casas decimais se 
. 

k− 10.5,0
2. Dada a série , determine:
A soma com precisão de três casas decimais.
( )

−
−
1
1
!.10
1
nn
n
0
!.10
1
lim =
+→ n
n
n
.,...
6000
1
,
200
1
,
10
1
!.10
1
edecrescent
nn
=






3=k === 00016,0;005,0;1,0 321 aaak− 10.5,0
0005,010.5,0 3 = −
3a 095,0005,01,0, 2 =−=SLogo
Seja a série e considere o limite
 Se a série é absolutamente 
convergente, logo convergente.
 Se ou k = ±∞ a série é divergente.
 Se nada podemos afirmar. Logo 
devemos usar outro teste.

1
na
k
a
a
n
n
n
=+
→
1lim
1k

1
na
1k 
1
na
1=k

1 !
2
.1
n
n
=+
→
k
a
a
n
n
n
1lim
( )
( )

+
=
+ +
→
+
→ n
n
nn
n
n
n
n
n
n
2
!
!1
2
lim
!
2
!1
2
lim
1
1
( )

+→ n
n
n
n
nn 2
!
!.1
2.2
lim ( )
=
++→ 1
2
lim
nn
0

1
!
.2
nn
n
( )
( )

+
+
+→ !1
!1
lim
1
n
n
n
n n
nn
( )
( ) ( )

++
+
→ !1.1
!1
lim
n
n
nn
nn n
nn
( )

+→
n
n
n n
n
1
lim =





+→
n
n n
n
1
lim
e
1


1
!3
.3
n
n
n
n
( )
( )

+
+
+
+
→ !31
!1.3
lim
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
=





+→
n
n n
n
1
.3lim 1
3

e
( )
( ) ( )

++
+
→ !31.1
!.1.3.3
lim
n
n
nn
nn
n
n
n
n
n
( )

+→
n
n
n n
n
1
3
lim
Seja a série e considere o limite
 Se a série é absolutamente 
convergente, logo convergente.
 Se ou k = ±∞ a série é divergente.
 Se nada podemos afirmar. Logo 
devemos usar outro teste.

1
na
1k

1
na
1k 
1
na
1=k
kan n
n
=
→
lim
n
n
 





1 3
.1
=





→
n
n
n
n
3
lim =





→ 3
lim
n
n

n
nn
nn
 





++
+
1
5
2
43
5
.2
=





++
+
→
n
n
n nn
nn
43
5
lim
5
2
=





++
+
→ 43
5
lim
5
2
nn
nn
n
0