Séries-Texto 03 Séries Alternadas e mais alguns Critérios de Convergencia

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Universidade Salvador – UNIFACS 
Cursos de Engenharia - Equações Diferenciais e Séries / Cálculo III 
Profa: Ilka Rebouças Freire 
(Texto elaborado pelos professores Adelmo Ribeiro de Jesus e Ilka Rebouças Freire) 
 
Texto 03 As Séries Alternadas, Mais alguns testes de convergência 
 
As Séries Alternadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) 
...
4
1
3
1
2
1
1
n
1)(
1
1n



 ; 
n
1
a n 
 
2) 
...
8
1
4
1
2
1
2
1)(
1
n
n

 ; 
nn 2
1
a 
 
 
3) A série 


1
1n senn)1(
 não é alternada pois 
senna n 
 não é positivo ou negativo para todo n. 
 
O resultado a seguir nos dá um teste para analisar a convergência das séries alternadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
Uma série alternada é uma série que se apresenta numa das formas 
 
 

1
4321n
1n ...aaaaa1)(
 an > 0; n ou 
 
 
1
4321n
n ...aaaaa1)(
 an > 0; n 
 
 
Teste de Leibniz 
 
Se a série alternada 
 

1
4321n
1n ...aaaaa1)(
 (an > 0 ; n ) é tal que 
 i) 
0alim n
n


 
ii) 
n aa n1n 
 ( a seqüência é decrescente ) 
 
Então a série dada é convergente. 
 
 
 2 
 
1) A série alternada 
...
4
1
3
1
2
1
1
n
1)(
1
1n



 é convergente pois satisfaz ás condições do 
Critério de Leibniz: 
 i) 
0
n
1
lim
n


 
ii) A seqüência 
,...
3
1
,
2
1
,1
n
1







 é decrescente. 
2) A série 
n
π
sen1)(
2
n
 
 é convergente pois satisfaz ás condições do Teste de Leibniz: 
 
i) 
0
n
π
senlim
n


; 
 ii) Para mostrar que a seqüência 






n
π
sen
 é decrescente, consideramos a função 
x
π
senf(x) 
 e 
calculamos a sua derivada. 
x
cos
x
π
(x)f
2


 < 0 o que garante que a função é decrescente para 
x > 2. ( De fato: 
2
π
x
π
02x 
. O arco está no 1o quadrante e o cosseno é positivo ) 
 
 
 
 
Somas Aproximadas de Séries Alternadas 
 
 
Se uma série alternada 
 

1
4321n
1n ...aaaaa1)(
 satisfaz às condições do Teste de 
Leibniz e S é a sua soma temos o seguinte resultado: 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: A desigualdade 
1nn asS 
 significa que o erro que resulta em aproximar S por 
sn é menor que o primeiro termo que não foi incluído na soma parcial 
 
 
Com este resultado podemos avaliar somas de séries alternadas com precisão de k casas decimais 
usando que 
 
 
 “ Se  é o erro de uma aproximação, então esta terá precisão de k casas decimais se 
k10x5,0ε 
.” 
“Se S for aproximada por sn, então o erro absoluto 
nsS 
 é tal que 
1nn asS 
.” 
 
 3 
 
 
Exemplo: 
Vimos que a série alternada 
...
4
1
3
1
2
1
1
n
1)(
1
1n



 é convergente satisfazendo as 
condições do Critério de Leibniz: 
 
Se considerarmos, por exemplo, a soma 
4
1
3
1
2
1
14 s
= 0,58333.. o erro cometido é menor 
que a5 = 1/5 = 0,2 
 
De fato, veremos mais tarde que esta série tem por soma ln2. Se calcularmos ln2 = 0,69314718... e 
tomarmos a diferença 0,69314718...  0,58333.... = 0,1098... que é menor que 0,2 
Esta série não é uma boa série para aproximar ln2 pois a convergência é muito lenta. Só obtemos 
uma boa aproximação tomando um número muito grande de termos. 
 
Por exemplo, para conseguirmos precisão de uma casa decimal deveremos calcular a soma sn para 
n satisfazendo a condição 
05,0
1n
1


o que nos dá 
19n 
!!! 
 
Exercícios: 
 
1) Calcule o erro 

 cometido quando a soma da série 


1
5
1n
n
)1(
 é aproximada por s3. 
 
Solução: 
 
Observemos, inicialmente, que a série é alternada e satisfaz ás condições de Leibniz. Logo, ao 
aproximarmos a soma da série por s3, 
55 3
1
2
1
1S 
 o erro é menor que o termo a4, isto é, 
0009,0
4
1
5

 
 
 
2) Dada a série 


0
n
)!n2(
)1(
 , determine 
 
a) A soma com precisão de 2 casas decimais. 
b) Qual a precisão se considerarmos a soma 
!6
1
!4
1
!2
1
1s3 
 
 
Solução: 
 
a) 
Observemos, inicialmente, que a série é alternada e satisfaz ás condições de Leibniz. 
Para obtermos precisão de 2 casas decimais o erro 
210.5,0 
, ou seja, 
005,0
 
 4 
...
!10
1
!8
1
!6
1
!4
1
!2
1
1
)!n2(
)1(
0
n



 
 
O termo 
005,0...0013,0
720
1
!6
1
a3 
. Logo, basta somarmos até a2. 
.
!4
1
!2
1
1S 
 
 
b) 
Se somarmos 
!6
1
!4
1
!2
1
1s3 
 o erro é menor do que 
44
4 10.5,010.248,0...0000248,0
40320
1
!8
1
a  
. Logo, esixte precisão em 4 casas decimais 
 
 
Observação: Existem outros métodos para avaliar erros nas aproximações de séries não 
alternadas 
 
 
 
 Os testes da Razão e da Raiz 
 
Para enunciar os testes da Razão e da Raiz vamos introduzir o conceito de séries absolutamente 
convergentes 
 
Analisando exemplos vistos anteriormente podemos observar que 
A série 

 
1
1n
n
1)( é convergente e a série 

 
11
1n
n
1
n
1)( é divergente 
A série 

 
1
2
1n
n
1)( é convergente e a série 

 
1
2
1n
n
1)( = 

1
2n
1
também é convergente 
 
Temos a seguinte definição: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) A série 

 
1
1n
n
1)( é condicionalmente convergente 
2) A série 

 
1
2
1n
n
1)( é absolutamente convergente 
Dada a série 

1
nu
 temos que: 
1) Se a série 

1
nu
 converge dizemos que a série 

1
nu
 é absolutamente convergente 
2) Se a série 

1
nu
 converge e 

1
nu
 diverge dizemos que 

1
nu
 é condicionalmente 
convergente. 
 
 
 5 
3) A série 
n
π
sen1)(
1
n
 
 é condicionalmente convergente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
 
1) Temos que se 

1
nu
converge, então 

1
nu
 converge. A recíproca não é verdadeira. O fato de 

1
nu
convergir não implica que 

1
nu
 também converge. 
 Exemplo: 

 
1
1n
n
1)( converge e 

1 n
1
 diverge 
 
2) Se 

1
nu
 diverge nada podemos afirmar sobre 

1
nu
. Pode convergir ou divergir. 
 
3) Se 

1
nu
 diverge podemos garantir que 

1
nu
 diverge pois, caso contrário, 

1
nu
 seria 
convergente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Toda série absolutamente convergente é convergente, ou seja: 
 
 Se 

1
nu
 converge então 

1
nu
 também converge 
Teste da Razão para a Convergência Absoluta ( TRZ) 
 
 Seja a série 

1
nu
 e considere o limite 
k
u
u
lim
n
1n
n


 
 Se k < 1 a série 

1
nu
 é absolutamente convergente, logo convergente 
 Se k > 1 ( ou ) a série 

1
nu
 diverge 
 Se k = 1 nada podemos concluir por este critério 
 
Teste da Raiz para a Convergência Absoluta ( TRI) 
 
 Seja a série 

1
nu
 e considere o limite 
kulim n n
n


 
 Se k < 1 

1
nu
 é absolutamente convergente, logo convergente 
 Se k > 1 ( ou ) a série 

1
nu
diverge 
 Se k = 1 nada podemos concluir 
 
 6 
Observações: 
 
1) Os Testes da Razão e da Raiz são gerais podendo ser aplicados em qualquer série. 
Garantem a convergência absoluta ( k < 1 ) ou a divergência da série 

1
nu
 ( k >1 ). 
2) Tanto no Teste da Razão quanto no Teste da Raiz podemos concluir a divergência se os 
respectivos limites forem + 
 
3) Se k = 1 no Teste da Razão então k = 1 no Teste da Raiz. Ou seja, se encontrarmos k = no 
Teste da Razão, não é mais necessário testar com o outro critério. 
 
 
Exemplos: 
1) 

1
n
n!
2 
Em geral quando a expressão do termo geral da série envolve fatorial o critério mais indicado é o da 
razão 
 
1n
2
1)n!(n
2n!
2
n!
1)!(n
2
u
u
n!
2
u
n
1n
n
1n
n
n








  
0
1n
2
lim
u
u
lim
nn
1n
n






. 
Concluímos então que a série é convergente 
 
 
2) 
 




 
1
2n
n
12n 
 
Vamos usar o teste da raiz: 
4
n
1n2
lim
n
12n
limulim
2
n
n
2n
n
n
n
n





 





 


. Portanto, 
a série diverge 
 
 
Referências Bibliográficas: 
1. O Cálculo com Geometria Analítica, vol II – Louis Leithold 
2. Cálculo – Um Novo Horizonte, vol II – Howard Anton 
3. Cálculo – vol II – James Stewart