51 pág.

DisciplinaCálculo I81.779 materiais1.425.458 seguidores
Pré-visualização6 páginas
Apostila de Cálculo I

1

Apostila de Cálculo I

2

Limites

Diz-se que uma variável x tende a um número real a se a diferença em
módulo de x-a tende a zero. ( ax \u2260 ). Escreve-se: ax \u2192 ( x tende a a).
Exemplo : Se .1,2,3,4,..N ,
N
1
x == quando N aumenta, x diminui, tendendo a zero.

Definição:

f(x) lim
ax\u2192
é igual a L se e somente se, dado 0 \u3b5 e ax \u232a\u2192 , existe 0 \u3b4 \u232a tal que se
\u3b5 a- x 0 \u2329\u2329
então \u3b4 L-(x) f \u2329 .

constante) C ( C C 1.
lim
ax
==
\u2192

[ ] (x) g (x) f (x) g (x) f 2. limlimlim
axaxax \u2192\u2192\u2192
±=±
[ ] (x) g . (x) f (x) g . (x) f .3 limlimlim
axaxax \u2192\u2192\u2192
=
[ ] n
ax
n
ax
(x) f (x) f 4. limlim \uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
=
\u2192\u2192

(x) g
(x) f
(x) g
(x) f
5.
lim
lim
lim
ax
ax
ax
\u2192
\u2192
\u2192
=\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee

n
ax
n
ax
(x) f(x) f .6 lim lim
\u2192\u2192
=
Apostila de Cálculo I

3
Constante C , limCC .7
(x) f(x) f
ax
axlim == \u2192
\u2192

(x) f log (x) flog .8 limlim
ax
b b
ax \u2192\u2192
=
polinomial função uma é (x) P onde (a) P (x) P .9 lim
ax
=
\u2192

L (x) h então , (x) g L (x) f e ax , (x) g (x) h (x) f Quando .10 limlimlim
axaxax
===\u2192\u2200\u2264\u2264
\u2192\u2192\u2192

Exemplos:
1) ( ) 10 4 2 3. 43x lim
2x
=+=+
\u2192

0
0
22
42
2
4x

22
2x
lim =
\u2212
\u2212
=
\u2212
\u2212
\u2192 x

( )( ) ( ) 4 2x
2x
2x2x

2
4x
limlimlim
2x2x
2
2x
=+=
\u2212
\u2212+
=
\u2212
\u2212
\u2192\u2192\u2192 x

0
0
0
22
0
220
x
2 - 2x
lim
0x
=
\u2212
=
\u2212+
=
+
\u2192

( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) 4222122 12 2x 1
2 2xx.
22

2 2xx.
2 2x.2 - 2x

x
2 - 2x

lim
limlimlim
0x
0x0x0x
==
+
=
++
=
++
\u2212+
=\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
++
+++
=
+
\u2192
\u2192\u2192\u2192
x

Apostila de Cálculo I

4
Exercícios :
1) Calcular os limites:
a)
3
4x

2
1x
lim
+
+
\u2192 x

b) 3
2
2x x1
x2x -8
lim
\u2212
+
\u2192

c)
2
8x

3
2x
lim
\u2212
\u2212
\u2192 x

d) ( )
x
x-4 - 2
lim
0x\u2192

e)
2y
8y

3
2x
lim
+
+
\u2212\u2192

f)
2-2x
23

2
1x
lim +\u2212
\u2192
xx

g)
6-x-2x
103
2
2
2x
lim \u2212+
\u2192
xx

h)
5-x
23
lim
5x
\u2212\u2212
\u2192
x

i)
3x-
2

23
1x
lim
+
\u2212
\u2212\u2192
xx

j)
x-4
7

3
2x
lim
xx \u2212\u2212
\u2192

l)
3-x
27

3
3x
lim
\u2212
\u2192
x

m) ( )273x 2
3x
lim +\u2212
\u2192
x
n) ( ) ( )[ ]13
1x
2.4x lim \u2212
\u2212\u2192
++ x
o)
2t
65tt

2
2x
lim
+
++
\u2192

p)
2t
65tt

2
2x
lim
\u2212
+\u2212
\u2192

Apostila de Cálculo I

5
3
x
3
1
-1
y
Limites Laterais
Suponha que, quando x tende a a pela esquerda, isto é, por valores
menores que a, f (x) tende ao número 1L . Este fato é indicado por:
1
ax
L (x) f lim
-
=
\u2192

Suponha que, quando x tende a a pela direita, isto é, por valores maiores
que a, f (x) tende ao número 2L . Este fato é indicado por:
2
ax
L (x) f lim =
+\u2192

Os números 1L e 2L são chamados, respectivamente, de limite à esquerda de
f
em a e limite à direita de f em a e referidos como limites laterais de f em a .
Exercícios :
1) Seja a função definida pelo gráfico abaixo. Intuitivamente, encontre se existir:

a) (x) lim
-3x
f
\u2192
b) (x) lim
3x
f
+\u2192
c) (x) lim
3x
f
\u2192
d) (x) lim
x
f
\u221e\u2192
e) (x) lim
x
f
\u2212\u221e\u2192
f) (x) lim
4x
f
\u221e

Apostila de Cálculo I

6
1
x
y
0,5

2) Seja a função definida pelo gráfico abaixo. Intuitivamente, encontre se existir:

a) (x) lim
1x
f
+\u2192
b) (x) lim
1x
f
\u2212\u2192
c) (x) lim
1x
f
\u2192
d) (x) lim
x
f
\u221e\u2192
e) (x) lim
x
f
\u2212\u221e\u2192
.

3) Dada a função 31)( \u2212+= xxf , determinar, se possível, (x) lim
-3x
f
\u2192
e (x) lim
3x
f
+\u2192
.

4) Seja f(x) =
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f2
\uf8f1
\u232a
=
\u2329+
2 xpara x-9
2 xpara 2
2 xpara 1
2
2x
. Determinar: (x) lim
-2x
f
\u2192
, (x) lim
2x
f
+\u2192
, (x) lim
2x
f
\u2192
.

5) Seja f(x) =
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f2
\uf8f1
\u232a
\u2264\u2212
3 xpara 7-3x
3 xpara 1x
.. Determinar (x) lim
-3x
f
\u2192
, (x) lim
3x
f
+\u2192
, (x) lim
3x
f
\u2192
,
(x) lim
-5x
f
\u2192
, (x) lim
5x
f
+\u2192
, (x) lim
5x
f
\u2192
.
Apostila de Cálculo I

7
Limites Infinitos
Ao investigarmos (x) f ou (x) f limlim
axax - +\u2192\u2192
pode ocorrer que , ao tender x para
a, o valor f (x) da função ou aumente sem limite, ou decresça sem limites.
Por exemplo:
2
1(x) f
\u2212
=
x
.
Quando x se aproxima de 2 pela direita, f (x) aumenta sem limite:
x 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001
f (x) 10 100 1.000 10.000 100.000
Quando x se aproxima de 2 pela esquerda, f (x) diminui sem limite:
x 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999
f (x) -10 -100 -1.000 -10.000 -100.000

Assim :
2-x
1
e
2-x
1
limlim
2x2x
\u2212\u221e=\u221e=
\u2212+ \u2192\u2192
.
São consideradas indeterminações: )()( )( 0.
0
0 ±\u221e±±\u221e
\u221e±
\u221e±±\u221e
Exemplos:

1x
x

2
x
lim
\u221e
\u221e
=
++\u221e\u2192

\u221e==
+
=
+
=
+ +\u221e\u2192+\u221e\u2192+\u221e\u2192 0
1
x
1
x
1
1

x
1x
x
x

1x
x

2
x
2
2
2
x
2
x
limlimlim
Apostila de Cálculo I

8
xx
32x
3
x
lim
\u221e
\u221e
=
+
+
+\u221e\u2192

0
1
0

x
11
x
3
x
2

x
xx
x
32x

xx
32x

2
32
x
3
3
3
x
3
x
limlimlim ==
+
+
=
+
+
=
+
+
+\u221e\u2192+\u221e\u2192+\u221e\u2192

Exercícios:
1) Seja
12x
3x5(x) f
+
+
=
. Determinar:
a) (x) f lim
x +\u221e\u2192
b) (x) f lim
x \u2212\u221e\u2192
c) (x) f lim
)
2
1(x +\u2212\u2192
d) (x) f lim
)
2
1(x \u2212\u2212\u2192

2) Calcular:
a) ( )2-x1 lim
)2(x
+
+\u2192
b) ( )
3x
10-2x1
lim
)5(x +
+
+\u2192
c) ( )3)4(x 4-x
1
lim
\u2212\u2192

d) ( )3)4(x 4-x
1
lim
+\u2192
e)
23
5x2
2
2
x
lim
++
\u2212
\u2212\u221e\u2192 xx
f)
6xx
13x x
2
2
2x
lim
\u2212+
++\u2212
+\u2192

g)
6xx
13x x
2
2
2x
lim
\u2212+
++\u2212
\u2212\u2192

Apostila de Cálculo I

9
y
x x
y
x
y
a a a

O conceito de continuidade está baseado na parte analítica, no estudo de
limite, e na parte geométrica na interrupção no gráfico da função. Assim, as funções
f(x), abaixo, são todas descontínuas:

f(x) f(x) limlim
axax - +\u2192\u2192
\u2260 f(a) f(x) lim
ax
\u2260
\u2192

\u2212\u221e=
\u221e=
+\u2192
\u2192
f(x)
f(x)
lim
lim
ax
ax -

Definição: Uma função é contínua em um ponto A se:

a) f (a) é definida
b) (x) f lim
x a\u2192
existe
c) (x) f lim
x a\u2192
= f (a)
A descontinuidade no gráficos (2) é chamada por ponto ou removível, a
descontinuidade em (1) é por salto e em (3) é uma descontinuidade infinita.

Exemplos:

Estudar analiticamente a descontinuidade das funções: