Método de Adams

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DA PARAÍBA – UEPB – CAMPUS VIII 
CENTRO DE CIÊNCIAS, TECNOLOGIA E SAÚDE – CCTS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
COMPONENTE CURRICULAR: CÁLCULO NUMÉRICO 
DOCENTE: RAFAEL DE BRITO CANDIDO GOMES 
DISCENTE: KAUÊ BRITO PONTES 
 
EDO – MÉTODO DE ADAMS-BASHFORTH 
 
 
 
 
 
 
 
 
ARARUNA-PB 
2019 
MÉTODO DE ADAMS-BASHFORTH: 
Diferente dos métodos unipasso para se obter uma aproximação da 
solução de um PVI os métodos multipasso necessitam da aproximação da 
solução em diversos pontos. Neste trabalho é apresentada a análise de um 
método multipasso para solução de uma EDO comparando com sua solução 
exata. O método analisado é chamado de Método de Adams Bashforth. Os 
métodos de Adams Bashforth são baseados em integrações numéricas. Eles 
fazem parte dos métodos de passo múltiplo, ou seja, são métodos que precisam 
de mais de um valor calculado anteriormente para determinar a aproximação 
Yi+1 (diferentemente dos métodos de Euler e Runge Kutta, que precisam 
somente de um valor calculado anteriormente). Um método é dito ser de passo 
K se ele precisar de K resultados anteriores. 
Um método de passo k pode ser escrito na forma: 
 
 e : constantes específicas de um método particular, sujeitas às 
condições, Quando k = 0, o método é dito explícito e para k  0 ele é dito 
implícito. Temos então que: 
Explícitos: métodos de Adams-Bashforth 
Implícitos: métodos de Adams-Moulton. 
Os métodos de Adams são obtidos pela integração do PVI: 
 
A função integrando f (x, y(x)) pode ser aproximada por polinômio 
interpolador P(x). P(x) passa pelos pontos (xj, f (xj, yj)). 
 
 Método de Passo dois: 
Seja o polinômio de Lagrange de grau 1, que passa pelos pontos de 
coordenadas (x0, f0) e (x1, f1): 
 
 
 
Valor de f0 = f(x0, y0) obtido a partir de y0 (condição inicial). 
Valor de y1 para f1 = f(x1, y1) tem que ser calculado utilizando um 
1. método de passo simples: 
 
 
Substituindo as expressões: 
 
 
 
 
 
Fazendo mudança de variável de x > u: 
 
Fórmula explícita de Adams-Bashforth de passo k = 2 
Método explícito obtido pela integração do PI no intervalo [x1, x2]. P(x) 
determinado a partir dos pontos em [x0, x1]. 
Esta extrapolação não produz bons resultados. 
Se o polinômio for construído usando pontos no intervalo [x0,x2] 
consegue-se método mais exato. 
Polinômio de Lagrange de grau 2 que passa pelos pontos (x0, f0), (x1, f1) 
e (x2, f2). 
 
Definindo uma variável auxiliar 
 
 
Substituindo na expressão de yi+1 
 
Fazendo mudança de variável de x > u 
 
Temos então: 
 
Fórmula implícita de Adams-Moulton, passo k = 2: 
 O valor de fi+1 = f(xi+1, yi+1) é necessário para obter o próprio yi+1. No 
entanto o valor de yi+1 obtido por Adams-Bashforth pode ser usado em Adams-
Moulton para avaliar fi+1 e calcular um valor melhor de yi+1. Assim as fórmulas 
implícitas necessitam ser utilizadas em conjunto com uma forma explicita 
fazendo um Método do tipo preditor- corretor. 
Exemplo: Calcular a solução do PVI para a função a seguir, com m = 10 E m = 
100 sub intervalos. 
 
Utilizar o método preditor-corretor de passo dois. 
Valores de f1 calculados por Dormand-Prince temos a seguinte tabela: 
 Método de Passo três: 
Método explícito de Adams-Bashforth de passo 3: 
Substituindo na expressão de yi+1 
 
f0 = (x0, y0) avaliada a partir da condição inicial y0, f1 e f2 obtidos , por método 
de passo simples. 
Fórmula explícita de Adams-Bashforth com k = 3 
 
Fórmula explícita obtida por extrapolação, Integração no intervalo [xi, xi+1] , 
Polinômio construído a partir de pontos em [xi-2, xi]. 
Utilizando o mesmo raciocínio, implícito de Adams-Moulton com k = 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Adams-Bashforth-Moulton de quarta ordem: 
Um dos métodos mais populares de passo múltiplo. Preditor, explícito de passo 
K=4 
 
Corretor implícito é o de passo k =3 e deve ser aplicado mais de uma vez para 
melhorar ainda mais o resultado. 
Os valores de f1, f2 e f3 podem ser calculados por um método de passo 
simples. 
Exemplo: Calcular a solução do PVI para a função a seguir, no intervalo [0, 1], 
com m = 10 subintervalos. 
 
 
 
Temos a seguinte tabela: