Um Curso De Geometria Analítica e Álgebra Linear - Reginaldo J Santos - Copia

Um Curso De Geometria Analítica e Álgebra Linear - Reginaldo J Santos - Copia


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UM CURSO DE
GEOMETRIA ANAL´ITICA E ´ALGEBRA LINEAR
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matema´tica-ICEx
Universidade Federal de Minas Gerais
http://www.mat.ufmg.br/~regi
Julho 2007
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e ´Algebra Linear
Copyright c© 2007 by Reginaldo de Jesus Santos (070801)
´E proibida a reproduc¸a\u2dco desta publicac¸a\u2dco, ou parte dela, por qualquer meio, sem a pre´via
autorizac¸a\u2dco, por escrito, do autor.
Editor, Coordenador de Revisa\u2dco, Supervisor de Produc¸a\u2dco, Capa e Ilustrac¸o\u2dces:
Reginaldo J. Santos
ISBN 85-7470-006-1
Ficha Catalogra´fica
Santos, Reginaldo J.
S237u Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e ´Algebra Linear / Reginaldo J. Santos
- Belo Horizonte: Imprensa Universita´ria da UFMG, 2007.
1. ´Algebra Linear 2. Geometria Anal\u131´tica I. T\u131´tulo
CDD: 512.5
516.3
Conteu´do
Prefa´cio vii
1 Matrizes e Sistemas Lineares 1
1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Operac¸o\u2dces com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Propriedades da ´Algebra Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Aplicac¸a\u2dco: Cadeias de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Ape\u2c6ndice I: Notac¸a\u2dco de Somato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.2 Sistemas de Equac¸o\u2dces Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.2.1 Me´todo de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.2.2 Matrizes Equivalentes por Linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.2.3 Sistemas Lineares Homoge\u2c6neos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.2.4 Matrizes Elementares (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
iii
iv Conteu´do
2 Inversa\u2dco de Matrizes e Determinantes 77
2.1 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.1.1 Propriedades da Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.1.2 Matrizes Elementares e Inversa\u2dco (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.1.3 Me´todo para Inversa\u2dco de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.1.4 Aplicac¸a\u2dco: Interpolac¸a\u2dco Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.1.5 Aplicac¸a\u2dco: Criptografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.2.1 Propriedades do Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.2.2 Matrizes Elementares e o Determinante (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . 128
Ape\u2c6ndice II: Demonstrac¸a\u2dco do Teorema 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3 Vetores no Plano e no Espac¸o 142
3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a\u2dco por Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.2 Produtos de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3.2.1 Norma e Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3.2.2 Projec¸a\u2dco Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
3.2.3 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
3.2.4 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Ape\u2c6ndice III: Demonstrac¸a\u2dco do item (e) do Teorema 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 226
4 Retas e Planos 229
4.1 Equac¸o\u2dces de Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
4.1.1 Equac¸o\u2dces do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
4.1.2 Equac¸o\u2dces da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
4.2 \u2c6Angulos e Dista\u2c6ncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e ´Algebra Linear Julho 2007
Conteu´do v
4.2.1 \u2c6Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
4.2.2 Dista\u2c6ncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
5 Espac¸os Rn 300
5.1 Independe\u2c6ncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
5.1.1 Os Espac¸os Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
5.1.2 Combinac¸a\u2dco Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
5.1.3 Independe\u2c6ncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
5.1.4 Posic¸o\u2dces Relativas de Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
5.2 Subespac¸os, Base e Dimensa\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
Ape\u2c6ndice IV: Outros Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
5.3 Produto Escalar em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
5.3.1 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
5.3.2 Bases Ortogonais e Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
5.4 Mudanc¸a de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
5.4.1 Rotac¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
5.4.2 Translac¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
5.4.3 Aplicac¸a\u2dco: Computac¸a\u2dco Gra´fica - Projec¸a\u2dco Ortogra´fica . . . . . . . . . . . . . 393
6 Diagonalizac¸a\u2dco 405
6.1 Diagonalizac¸a\u2dco de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
6.1.1 Motivac¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
6.1.2 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
6.1.3 Diagonalizac¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
6.2 Diagonalizac¸a\u2dco de Matrizes Sime´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
6.2.1 Motivac¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
Julho 2007 Reginaldo J. Santos
vi Conteu´do
6.2.2 Matrizes Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
Ape\u2c6ndice V: Autovalores Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
6.3 Aplicac¸a\u2dco: Identificac¸a\u2dco de Co\u2c6nicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
6.3.1 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
6.3.2 Hipe´rbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
6.3.3 Para´bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
Respostas dos Exerc\u131´cios 500
Bibliografia 683
´Indice Alfabe´tico 688
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e ´Algebra Linear Julho 2007
Prefa´cio
Este texto cobre o material para um curso de um semestre de Geometria Anal\u131´tica e ´Algebra Linear
ministrado nos primeiros semestres para estudantes da a´rea de Cie\u2c6ncias Exatas. O texto pode, mas
na\u2dco e´ necessa´rio, ser acompanhado de um programa como o MATLABr \u2217, SciLab ou o Maxima.
O conteu´do e´ dividido em seis cap\u131´tulos. O Cap\u131´tulo 1 trata das matrizes e sistemas lineares. Aqui
todas as propriedades da a´lgebra matricial sa\u2dco demonstradas. A resoluc¸a\u2dco de sistemas lineares e´
feita usando somente o me´todo de Gauss-Jordan (transformando a matriz ate´ que ela esteja na forma
escalonada reduzida). Este me´todo requer mais trabalho do que o me´todo de Gauss (transformando a
matriz, apenas, ate´ que ela esteja na forma escalonada). Ele foi o escolhido, por que tambe´m e´ usado
no estudo da inversa\u2dco de matrizes no Cap\u131´tulo 2. Neste Cap\u131´tulo e´ tambe´m estudado o determinante,
que e´ definido usando cofatores. As demonstrac¸o\u2dces dos resultados deste cap\u131´tulo