Teoria da Producao

Prévia do material em texto

ESCOLA SUPERIOR AGRÁRIA DE PONTE DE LIMA 
 
Economia e Gestão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria da Produção 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Traduzido e adaptado de: 
Doll, J.P., Orazem, F. (1984). Production Economics – Theory with Applications. New York. 
John Wiley & Sons. 
Por: 
José Carlos da Silva Medeira dos Santos 
 
 
 
 
 
 
Versão Electrónica revista em Novembro de 2006 
1 – INTRODUÇÃO 
 
 
A produção agrícola depende da reprodução e do crescimento natural das plantas e dos 
animais. Contudo, os agricultores podem controlar e estimular estes processos, com 
vista à produção de alimentos e outros bens para consumo humano. Para esta actividade 
produtiva, os agricultores têm de estar fornecidos com uma série de recursos produtivos 
tais como terra, sementes, animais reprodutores, conhecimentos técnicos, mão de obra, 
ferramentas, máquinas, etc. Estes recursos produtivos são, como já vimos 
anteriormente, conhecidos pela designação genérica de Factores de Produção e, como 
também já discutimos, agrupam-se normalmente nas seguintes categorias: (1) Trabalho; 
(2) Capital; (3) Empresário. 
 
Podemos então dizer, mesmo antes de avançarmos no estudo da produção agrícola, que 
a principal tarefa do agricultor é produzir alimentos e outros bens de que a nossa espécie 
carece para sobreviver. E dizendo isto, é lícito colocar uma primeira questão: 
 
O Que é a Produção? 
 
Aparentemente, a resposta a esta questão pode parecer banal. Em certa medida trata-se 
aqui de um conceito de fácil apreensão. De facto, agricultura não é mais do que isso – 
produção, criação de bens que, directa ou indirectamente, serão transformados em 
comida ou bebida para consumo humano. Contudo, no momento em que começarmos a 
reflectir em tudo o que de facto aqui está envolvido – em como na realidade a produção 
é levada a efeito – então o assunto torna-se mais complexo. 
 
Evidentemente que existem razões para aquela complexidade. Pensemos primeiro numa 
definição para Produção. A produção é um processo coordenado que junta trabalho, 
capital e empresário de vários modos e em várias formas – matérias-primas, produtos 
já processado, equipamentos de toda a espécie, plantas, tecnologia, força de trabalho, 
conhecimentos de gestão – com o objectivo de criar um bem ou, de forma crescente em 
agricultura, um serviço que é desejado pela comunidade consumidora. 
 
A primeira complexidade, muito real quando falamos de produção agrícola, tem a ver 
com o facto de nos ser difícil “visualizar” a produção. Em agricultura nem sempre 
podemos ver a produção enquanto ela acontece, e por vezes nem tão pouco a podemos 
medir, pelo menos até se atingir o fim do ciclo de produção. 
 
A segunda complexidade, e para nós não só a mais importante neste momento como 
também aquela sobre que nos vamos debruçar ao longo dos próximos capítulos, tem a 
ver com a última parte da definição de produção que acima foi dada. Nela se referiu a 
produção de “bens ou serviços desejados pela comunidade consumidora”. Mas que 
factores podem influenciar esse desejo de consumir? No fundo, qual o factor que terá 
influência preponderante na procura dos bens e serviços que o agricultor tem para 
oferecer à comunidade consumidora? Se tentarmos recordar o que possamos saber sobre 
as Teorias da Oferta e da Procura, certamente que a palavra preço acorrerá à nossa 
memória. De facto, sabemos que o desejo de comprar um bem por parte de um 
indivíduo ou grupo de indivíduos, tem sempre a suportá-lo a capacidade e a vontade de 
o comprar a um certo preço. Se esse preço for ultrapassado, o desejo de comprar o bem, 
logicamente, diminui. 
 2
Não será então surpreendente admitir que esta situação seja de vital importância, e tenha 
implicações vitais, para o produtor de bens e serviços agrícolas. Numa situação de 
competição normal, onde os preços de mercado são, mais do que determinados por ele, 
determinados para ele, ele necessita de produzir a um nível de eficiência económica tal 
que, aos preços reinantes dos bens de que é vendedor, ele possa obter um lucro 
aceitável. Se assim não acontecer, mais cedo ou mais tarde o nosso produtor estará fora 
do negócio. Para cada situação concreta de preços e custos ele terá portanto que se 
preocupar mais com a eficiência económica do que com a eficiência técnica, uma vez 
que esta última ignora a influência dos preços na procura dos bens e serviços agrícolas. 
Mesmo que os agricultores / gestores não estejam sempre e apenas interessados em 
literalmente maximizar os lucros, no fim do dia, feitas as contas, eles não podem ignorar 
a necessidade e a importância da eficiência económica. 
 
Para que essa eficiência de algum modo seja atingida, para que sejam gerados lucros 
que o agricultor considere aceitáveis nas suas circunstâncias, ele tem que despender 
muito do seu tempo a decidir sobre três questões fundamentais: 
 
O Que produzir? 
Como produzir? 
Quanto produzir? 
 
Os economistas têm respondido a estas questões recorrendo à chamada “Teoria da 
Produção”. Ela descreve as condições que devem existir para que os lucros sejam 
maximizados ou, inversamente, para que os custos sejam minimizados. 
 
A primeira questão, “0 que produzir?” é referida como sendo uma questão do tipo 
“Produto-Produto”. Ela está relacionada com a combinação de uma actividade com 
outra, ou com outras. 
 
A segunda questão, “como produzir?” ou ainda, “que métodos empregar” na produção 
de uma dada actividade (isto é, quanta maquinaria, quanto trabalho, etc.), é conhecida 
como uma questão do tipo “Factor-Factor”. Ela tem a ver com a combinação de dois 
ou mais factores que deve ser empregue na produção de um dado produto. 
 
A terceira e última questão, “quanto produzir?” é conhecida como uma questão do tipo 
“Factor-Produto”. Ela está relacionada com o nível até ao qual se deverá expandir o 
uso de um determinado factor na produção de um determinado produto. 
 
É a resposta a estas três perguntas que tentaremos encontrar nas páginas seguintes deste 
texto de apoio. Começaremos pela última, por se tratar da que lida com os princípios 
mais elementares e por o seu conhecimento ser basilar para a compreensão das outras 
duas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3
2 – AS RELAÇÕES FACTOR-PRODUTO 
 
 
Neste capítulo falaremos das relações básicas factor-produto ou input-output. O 
processo de produção agrícola é, como vimos, complexo e está em permanente 
mudança, à medida que novas tecnologias aparecem. A investigação agrícola não só 
contribui para o desenvolvimento da qualidade, dos tipos, das marcas dos inputs 
(factores de produção), como afecta também o uso e as combinações desses mesmos 
inputs. Assim, aquilo sobre que nos vamos debruçar em seguida tem que ser olhado 
como estando em permanente mudança. A situação real, pelo menos nos países mais 
desenvolvidos, é a de um fluxo permanente de informação saindo dos sectores da 
investigação e dirigindo-se aos sectores de produção agrícola, o qual altera 
constantemente as razões às quais inputs ou recursos são transformados em outputs ou 
produtos. 
 
Obviamente que nenhum produto é produzido recorrendo apenas ao uso de um só input. 
Contudo, o efeito que um só input tem no output de um dado produto pode ser estudado 
se, variando a quantidade usada desse input, mantivermos as quantidades usadas de 
outros inputs constantes. É esta a situação que estudaremos neste capítulo. 
 
 
2.1 – O CONCEITO DE FUNÇÃO DE PRODUÇÃO 
 
Comecemos por falar do conceito fundamental de toda a Teoria da Produção – o de 
Função de Produção. 
 
Uma Função de Produção é um retrato de uma relação input-output ou, como lhe temos 
vindo a chamar, de uma relação factor-produto. Ela é uma descrição quantitativa ou 
matemática das várias possibilidades técnicas de produção enfrentadas por uma 
empresa. Ela dá, em termos físicos,o máximo output possível para cada nível de input 
usado. 
 
Uma função de produção pode ser expressa de várias maneiras 
 
- listando as quantidades de factor de facto usadas e as quantidades de produto que delas 
resultam numa tabela; 
- representando essas mesmas quantidades num gráfico ou diagrama; 
- representando-a através de uma equação algébrica. 
 
Simbolicamente, a função de produção pode ser escrita da seguinte forma: 
 
),,,,( 321 nXXXXfY K= 
 
onde Y é o output ou quantidade de produto e X1 ... Xn são diferentes inputs que tomam 
parte no processo produtivo de Y. O símbolo f representa o tipo de relação que 
transforma inputs em outputs. Para cada combinação de inputs haverá apenas um único 
nível de output. Por exemplo, Y pode representar uma colheita de milho; X1 determinado 
fertilizante; X2 humidade do solo na altura da sementeira; X3 densidade de sementeira; 
X4 precipitação durante o crescimento vegetativo; etc. A relação simbólica apresentada 
apenas indica os inputs. Na sua presente forma abstracta não especifica a importância de 
 4
cada um, ou as suas contribuições para o processo produtivo. Do mesmo modo, ela 
também não indica que factores são fixos ou que factores são variáveis. Por exemplo, 
rações ou fertilizantes frequentemente representam factores variáveis que são aplicados 
a um factor fixo como uma vaca leiteira ou um hectare de terra. Os factores fixos têm 
um papel muito importante na produção agrícola. Simbolicamente, eles podem ser 
incluídos na expressão de uma função de produção inserindo uma linha vertical entre os 
factores variáveis e os factores fixos. Por exemplo, 
 
) ,,,,( 1321 nn XXXXXfY −= K 
 
indica que Xn é um factor fixo, enquanto todos os outros são factores variáveis. Neste 
capítulo iremos estudar a situação em que apenas um factor se comporta como variável, 
sendo todos os restantes mantidos fixos. Simbolicamente, esta situação pode ser 
representada da seguinte maneira: 
 
),,, ( 321 nXXXXfY K= 
 
 
2.2 – A FUNÇÃO DE PRODUÇÃO CLÁSSICA 
 
Um estudo detalhado de todos os tipos de funções de produção existentes em agricultura 
implicaria mais espaço do que o disponível em qualquer enciclopédia. Os investigadores 
agrícolas nunca poderão ambicionar vir a medir e registar todas as funções de produção 
possíveis. O objectivo da investigação em funções de produção é apenas o de obter uma 
melhor compreensão das relações input-output, e assim fornecer linhas de orientação e 
indicações a agricultores e gestores agrícolas; em última análise, cada agricultor/gestor 
agrícola deverá procurar as respostas da produção nas suas condições específicas, na sua 
empresa agrícola. 
 
Assim, para o nosso estudo, torna-se necessário procurar alguns princípios gerais que 
sejam aplicados em todas as situações, independentemente do tipo e forma da função de 
produção. Começaremos por dois conceitos que podem ser determinados a partir de 
qualquer função de produção – a Produtividade Média e a Produtividade Marginal. 
 
A função de produção que estudaremos em detalhe está representada na Tabela 1 e, 
graficamente, na Figura 1. 
 
Esta função de produção será usada para demonstrar os princípios gerais, importantes 
na, análise económica da produção. A sua forma gráfica, bem patente na Figura 1, é em 
geral bastante comum. Este facto, aliado ao facto de ser um dos tipos de funções de 
produção mais estudados e também ao facto de possuir todas as características 
necessárias ao estudo destas, valeu-lhe o nome por que é normalmente conhecida, ou 
seja, o de Função de Produção Clássica. 
 
 
 
 
 
 
 5
Tabela 1 – A Função Clássica de Produção 
 
(1) (2) (3) (4) (5) (6) 
Input ou 
Factor 
Output ou 
Produto 
Produtividade 
Média 
Produtividade Marginal 
Pmg 
Elasticidade 
da Produção 
X Y PM Exacta Média Pmg/PM 
0 0 - 0 0 
 1,9 
2 3,7 1,9 3,6 1,9 
 5,1 
4 13,9 3,5 6,4 1,8 
 7,5 
6 28,8 4,8 8,4 1,8 
 9,1 
8 46,9 5,9 9,6 1,6 
 9,9 
10 66,7 6,7 10,0 1,5 
 9,9 
12 86,4 7,2 9,6 1,3 
 9,1 
14 104,5 7,5 8,4 1,1 
 7,5 
16 119,5 7,5 6,4 0,8 
 5,1 
18 129,6 7,2 3,6 0,5 
 1,9 
20 133,3 6,7 0,0 0,0 
 -2,1 
22 129,1 5,9 -4,4 -0,7 
Fonte: Doll & Orazem (1984) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 – Aspecto gráfico da Função Clássica de Produção 
 
 
A forma da função de produção descreve a variação do output, Y, à medida que 
crescentes quantidades de um input variável, X, são acrescentadas a um conjunto de 
factores fixos. Na Figura 1, o output é zero quando o jnput é zero. O output cresce a 
uma taxa crescente à medida que as primeiras unidades de input são acrescentadas; 
 6
continua a crescer, mas a uma taxa decrescente, para níveis mais altos de input. A 
produção máxima é de 133,3 unidades de Y, resultantes da aplicação de 20 unidades de 
X. Para níveis mais altos de input, o output decresce continuamente. 
 
A função de produção representada em forma de tabela na Tabela 1 e graficamente na 
Figura 1 pode também, como seria de prever, ser expressa algebricamente. A sua 
equação é a seguinte: 
 
32
30
1 XXY −= 
 
onde Y representa as unidades de output resultantes do uso de um certo número de 
unidades de factor variável ou input1 X. 
 
O output Y é frequentemente chamado de Produto Físico Total ou Produção Física 
Total (PFT), para o distinguir das Produtividades Média e Marginal que a seguir se 
discutirão. 
 
 
2.2.1 - A Produtividade Média 
 
A Produtividade Média (PM) é obtida dividindo o montante total do output, Y, pelo 
montante total de factor variável gasto, X. Ela representa portanto, para cada ponto da 
curva de produção2, o produto obtido por unidade de factor empregue. Pela Tabela 1, 
podemos ver que, quando X = 2 e Y = 3,7 a PM = 3,7 / 2 = 1,9 ; quando X = 10 e Y = 
66,7 a PM = 66, 7 / 10 ou seja, como seria de esperar, PM = 6,7. Então: 
 
X
YPM = 
 
Geometricamente a Produtividade Média, Y/X, é definida como o declive de uma recta 
muito particular. Esse declive representa a taxa média à qual o factor, X, é transformado 
em produto, Y. A linha recta (raio) tem sempre que passar pela origem e intersectar a 
função de produção, ou melhor dizendo a curva de produção, no ponto em que se 
pretende determinar PM. Por exemplo, se olharmos para a Figura 2, a linha recta cruza a 
curva do PFT nos pontos A e C, quando X = 8 e X = 22 respectivamente. Uma vez que 
os pontos A e C da curva do PFT estão sobre o mesmo raio que possui, obviamente, 
sempre o mesmo declive, as Produtividades Médias nesses pontos terão de ser iguais. 
 
Geometricamente, o declive do raio pode ser calculado através de um cociente de 
distâncias: 
 
OD
DC
OB
BA
−
−=−
−=
avança que O
sobe que O ou 
 
 
1 ao longo destes apontamentos, as palavras output e input serão usadas, respectivamente, como 
sinónimos de produto (ou Produção Física Total) e de factor variável. 
2 curva de produção não é mais do que a representação gráfica da função de produção. 
 7
9,5
22
1,129
8
6,49 == 
 
Uma vez que o declive do raio (linha recta que passa pela origem) corresponde ao valor 
numérico da PM, então a PM deverá crescer à medida que o raio se move no sentido 
contrário ao dos ponteiros do relógio. Qualquer raio desenhado abaixo do raio OC 
representado na Figura 2 intersectará a função de produção em pontos onde a PM será 
menor que 5,9. Raios acima do raio OC determinarão PM’s maiores. O raio OE 
determina o valor máximo da PM, a qual é 7,5 quando X = 15. Um raio com um declive 
superior ao de OE não tocaria a função de produção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 – Relação geométrica entre a Produção Física Total e a Produtividade Média 
 
 
A equaçãopara a PM pode ser obtida a partir da equação da função de produção. No 
caso particular que estamos a estudar teríamos, 
 
232
30
1
30
11 XXXX
XX
YPM −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −== 
 
 8
Substituindo os valores de X nesta equação, encontramos os valores indicados para a 
PM na Tabela 1. Uma vez que a divisão por zero não é possível, a PM não está definida 
quando X = 0. 
 
A Produtividade Média mede, como já se referiu, a taxa média à qual um input é 
transformado em produto. Uma das preocupações do economista agrícola é o uso 
eficiente de recursos. A eficiência por seu lado é medida pelo output dividido pelo 
input3. Então, a PM mede a eficiência do factor variável usado no processo produtivo. 
 
 
2.2.2 - A Produtividade Marginal 
 
A Produtividade Marginal (Pmg) é a variação de output que resulta de um incremento 
unitário ou de uma variação unitária no uso do factor variável. Ela mede a quantidade 
que o PFT (produto total) cresce ou decresce, à medida que o input cresce. 
 
Geometricamente, a Pmg representa o declive da própria função de produção, ou seja, é 
numericamente igual ao valor da primeira derivada da equação que define a função de 
produção, em ordem à variável X (factor variável). 
 
 Assim, há dois métodos de calcular a Produtividade Marginal: um que nos conduz a 
uma Produtividade Marginal média e outro que nos conduz a uma Produtividade 
Marginal exacta. A Pmg média é usada quando se usa a função de produção na forma 
tabular e não necessita do recurso ao cálculo matemático. O método exacto usa o 
cálculo (derivação) e por isso mesmo só pode ser aplicado quando a função de produção 
é expressa por uma função matemática. 
 
A Pmg média é calculada dividindo a variação no output pela quantidade causal do 
input, isto é, pelo incremento ou variação do input que causou a variação no output. 
Algebricamente isto pode ser expresso do seguinte modo: 
 
X
YPmg Δ
Δ= 
 
onde ΔY se lê “variação no montante de output” e ΔX se lê “variação no montante de 
input”. Na Tabela 1, coluna (5), a Pmg entre os montantes de input X = 10 e X = 12 é 
igual a 
 
9,9
2
7,19
1012
7,664,86 ==−
−=Pmg 
 
Entre os montantes de input 10 e 12, uma unidade adicional de input aumenta o produto 
total de 9,9 unidades. A Pmg pode também ser negativa.Por exemplo, entre os 
montantes de input 20 e 22 
 
1,2
2
2,4
2022
3,1331,129 −=−=−
−=Pmg 
 
3 A PM mede a eficiência técnica ou física do factor variável, o que, como veremos adiante, é distinto da 
eficiência económica de que falámos no início destes apontamentos. 
 9
 
Portanto, a adição de uma unidade adicional de factor variável, quando 20 unidades já 
estão a ser usadas, causará um decréscimo no output de 2,1 unidades. 
 
Dissemos que a Pmg representava o declive da função de produção. Mas nos dois 
exemplos que acabámos de ilustrar, a que declive nos estaremos a referir? Obviamente 
que entre os pontos da curva de produção onde X = 10 e X = 12 ou X = 20 e X = 22 
existem inúmeros declives. Assim, as Pmg encontradas de 9,9 e -2,1 não representam 
mais do que a média de todos os declives da curva entre aqueles pontos. Por este motivo 
nos temos vindo a referir a esta determinação da Produtividade Marginal como sendo 
uma determinação média. 
 
Como é sabido, o declive exacto de uma curva num dado ponto é determinado pela 
primeira derivada da função matemática que a define. Então, a equação da Pmg exacta 
pode ser encontrada a partir da função de produção. 
Se a função de produção é, como já vimos: 
 
32
30
1 XXY −= 
 
e a equação da Pmg é a primeira derivada da função de produção em ordem ao factor 
variável, a equação exacta da Produtividade Marginal é: 
 
2
10
12 XX
dX
dYPmg −== 
 
Esta equação define o declive da curva da PFT ou a Pmg exacta para qualquer nível de 
X. Por exemplo, quando X = 12, a Pmg exacta é (2 × 12) - (0,l × 144) = 9,6 ; quando X 
= 14, a Pmg = 8,4. A média destas duas Pmg exactas aproxima-se da Pmg média de 9,1 
entre os níveis de input X = 12 e X = 14, como se pode constatar pela Tabela 1. 
 
Uma análise, ainda que breve, da Figura 1 e da Tabela 1 mostra que a Pmg, tal como a 
PM, não é constante ao longo da função de produção clássica, mas varia com o 
montante de factor variável usado. Se representarmos graficamente os valores que a 
Pmg toma, verificamos que a forma da sua curva depende da forma da curva da função 
de produção. Para a função de produção que nos está a servir de exemplo, a Pmg cresce 
até um máximo quando Y = 66,7 e X = 10 (no ponto de inflexão da função de 
produção), e decresce depois à medida que o uso de factor variável aumenta. A Pmg é 
igual a zero para 20 unidades de input, onde o output é máximo (133,3), e negativa para 
valores superiores de input. 
 
Quando a Pmg é crescente, a PFT está a crescer a uma taxa crescente. Quando a Pmg é 
decrescente mas positiva, a PFT é crescente mas a uma taxa decrescente. Quando a Pmg 
se anula, a PFT atinge o seu máximo. Quando a Pmg é negativa a PFT é decrescente. 
Todas estas relações podem ser observadas na Figura 3. 
 
 
 
 
 
 10
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 – Relação geométrica entre a Produção Física Total e a Produtividade Marginal 
 
 
2.3 – A LEI DOS RENDIMENTOS DECRESCENTES 
 
A Lei dos Rendimentos Decrescentes foi desenvolvida pelos primeiros economistas 
para descrever a relação entre o output e um input variável quando outros inputs são 
mantidos constantes em quantidade. Acredita-se que esta lei tem uma aplicação quase 
universal. Ela pode ser enunciada do seguinte modo: 
 
Se quantidades iguais de um factor de produção forem sendo 
sucessivamente acrescentadas a outros factores de produção cujos níveis se 
mantêm constantes, os sucessivos incrementos de output dai resultantes 
acabarão por diminuir. 
 
Esta lei sugere portanto que há um montante “certo” de factor variável a ser usado em 
combinação com os factores fixos. O agricultor/gestor não deverá usar nem muito 
pouco nem demasiado desse recurso variável. Métodos para descobrir esse montante 
ideal, do ponto de vista econ6mico, serão discutidos adiante. 
 
 11
A lei dos rendimentos decrescentes requer que o método de produção não mude à 
medida que mudanças são efectuadas no uso do factor variável. Ela refere-se a 
mudanças proporcionais entre os factores variáveis e fixos e não tem qualquer aplicação 
quando todos os inputs são variáveis. Frequentemente esta lei é também conhecida 
como Lei da Produtividade Decrescente ou Lei das Proporções Variáveis. 
 
A aplicação da Lei dos Rendimentos Decrescentes ao conceito de função de produção 
resulta numa função de produção do tipo clássico como o que temos vindo a estudar. 
Esta função exibe inicialmente rendimentos (ou produtividades) marginais crescentes 
seguidos de rendimentos marginais decrescentes, tal como a lei prevê. 
 
 
2.4 – AS TRÊS FASES DA PRODUÇÃO 
 
A função de produção clássica pode ser dividida em três regiões ou fases, todas elas 
importantes do ponto de vista da eficiência do uso do factor variável. Essas três fases 
estão indicadas na Figura 4. 
 
A fase I ocorre quando a Pmg é maior que a PM. A PM é crescente ao longo da fase I, 
indicando que a taxa média à qual o factor variável X é transformado em produto Y 
cresce até a PM atingir o seu máximo no final da fase I. 
 
A fase II ocorre quando a Pmg é decrescente, menor do que a PM e maior do que zero. 
Como se pode ver na Figura 4, a fase II fica entre, e inclui, as quantidades de factor 
variável 15 e 20. A eficiência física do factor variável atinge um pico no início da fase 
II, para um montante de input de 15 unidades. 
 
A fase III ocorre quando a Pmg é negativa. A fase III ocorre quando excessivas 
quantidades do factorvariável se combinam com os factores fixos. É tal o excesso que, 
de facto, o output total (PFT) começa a diminuir. 
 
 
2.4.1 – Recomendações Económicas 
 
Adiante usaremos funções de produção para determinar o montante de uso mais 
lucrativo de factores variáveis e, simultaneamente, o montante mais lucrativo de 
produto. Nessa altura, os preços dos inputs e dos produtos terão de ser conhecidos para 
que se possa proceder a uma análise económica completa. Contudo, quando a relação 
técnica entre input e output – a função de produção – é conhecida, algumas 
recomendações sobre o uso do input podem ser feitas, ainda que os preços não sejam 
especificados. 
 
Em primeiro lugar, se o produto tem algum valor, o uso do input, uma vez começado, 
deverá ser continuado até a fase II de produção ser atingida. Isto porque, como vimos, a 
eficiência física do factor variável, medida pela PM, cresce ao longo da fase I; não será 
razoável parar de aumentar o uso do factor quando a sua eficiência ainda está a 
aumentar, ou seja, quando ainda é possível obter maiores quantidades de produto por 
cada unidade de factor empregue. Quer isto dizer que, para a função de produção que 
estamos a estudar (representada na Figura 4), pelo menos 15 unidades de input devem 
ser usadas. 
 12
Em segundo lugar, mesmo que o input fosse gratuito, jamais deveria ser usado na última 
fase de produção (fase III). A produção máxima ocorre na fronteira superior da fase II; 
incrementos de input para além desta fronteira conduzem à diminuição directa da 
produção. Não é pois razoável aumentar o uso do factor quando isso já implica uma 
diminuição no nível do produto. Assim, observando a Figura 4, verificamos que naquela 
situação o montante máximo de input a usar será de 20 unidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 – A Função Clássica de Produção e as Três Fases da Produção 
 
 
A fase II e as suas fronteiras definem a área de relevância económica. O uso do factor 
de produção variável deverá situar-se algures dentro da fase II, mas o seu montante 
exacto só pode ser determinado quando certos indicadores de escolha, tais como os 
preços do input e do output, são conhecidos. 
 
 
2.4.2 - Interpretação Algébrica 
 
A interpretação das três fases da produção e a sua delimitação com base nas relações 
entre a PM e a Pmg podem ser deduzidas a partir da informação contida na Tabela 1 
 13
e/ou na Figura 4. As mesmas conclusões podem também ser obtidas recorrendo a 
cálculos algébricos, com a grande vantagem de, deste modo, o rigor obtido ser muito 
maior. 
O declive da curva da PFT é nulo quando essa mesma PFT atinge o seu valor máximo. 
Uma vez que a equação da Pmg define exactamente o declive da curva da PFT para 
qualquer nível de input X, o montante de X que conduz ao máximo da PFT pode ser 
calculado igualando a equação da Pmg a zero: 
 
( ) 010,02 
010,02 2
=−=
=−=
XXPmg
XXPmg
 
 
de onde se obteriam as soluções X = 0 e X = 20. Contudo, quando X = 0 também Y é 
nulo. Então, podemos concluir que a PFT é máxima quando X = 20. Esta solução dá-
nos a fronteira entre as fases II e III. Ela localiza o ponto onde a tangente à função de 
produção tem declive nulo. 
 
De um modo semelhante, a primeira derivada da equação da PM define o declive da 
curva da PM, para cada nível de input X. Quando a PM atinge o seu máximo, a sua 
derivada anula-se. Tínhamos já visto que: 
 
2
30
1 XXPM −= então 
150
15
11 =⇒=−= XX
dX
dPM 
 
Ficamos assim a saber que a PM atinge o seu máximo quando X = 15. Esta solução dá-
nos, como já havíamos visto na Figura 4, a fronteira entre as fases I e II de produção. 
Sabemos também que, neste ponto, a PM e a Pmg se igualam. De facto, se fizermos X = 
15 nas equações da PM e da Pmg podemos provar que PM = Pmg = 7,5. Esta situação 
implica que o montante de X para o qual a PM é máxima, ou seja, o montante de X que 
define a fronteira entre as fases I e II, também pode ser calculado igualando as equações 
da PM e da Pmg, e resolvendo-as em ordem a X: 
 
0
30
21 0
30
2
30
110,02
2
22
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⇒=−⇒
⇒−=−⇒=
XXXX
XXXXPmgPM
 
 
de onde obteríamos as soluções X = 0 e X = l5. Logicamente, quando X = 0 não só Y = 
0 como a própria PM não está definida (como já tínhamos visto). Portanto, de acordo 
com este método, o máximo da PM tem de ser quando X = 15, tal como já tínhamos 
determinado anteriormente. 
 14
2.5 – A ELASTICIDADE DA PRODUCAO E O PONTO DOS RENDIMENTOS 
DECRESCENTES 
 
Uma discussão da lei dos rendimentos decrescentes e da função de produção clássica 
conduz inevitavelmente à determinação do “ponto” dos rendimentos decrescentes, isto 
é, à determinação dos montantes de input e de produto a partir dos quais os rendimentos 
começam a diminuir. Mas qual será esse ponto? A lei por si só é ambígua. O estudo da 
Figura 4 mostra que a Produtividade Marginal começa a diminuir a um nível de input de 
10, ou seja, no ponto de inflexão da curva da Produção Física Total, onde a curva da 
Pmg atinge o seu máximo. Por outro lado, a Produtividade Média começa a diminuir às 
15 unidades de input, ao passo que a Produção Física Total só o faz a partir das 20 
unidades de aplicação de factor variável. Torna-se claro que o ponto dos rendimentos 
decrescentes depende de qual destas medidas queremos discutir. 
 
Para evitar esta situação dúbia, alguns autores aplicam a lei dos rendimentos 
decrescentes directamente à Produtividade Marginal. Esses, chamam-lhe então “Lei dos 
Rendimentos Marginais Decrescentes” e especificam na sua definição que, os 
rendimentos marginais acabarão por decrescer. Se bem que seja apropriado definir a lei 
dos rendimentos decrescentes em termos de Produtividade Marginal, alguma confusão 
surge por o ponto dos rendimentos decrescentes, nestas condições, não coincidir com a 
fronteira entre as fases I e II da produção. Se nos reportarmos de novo à Figura 4, 
verificamos que a fronteira entre aquelas fases ocorre quando X = 15 e não quando X = 
10, ponto em que a Produtividade Marginal começa a diminuir. Assim, uma nova 
definição de ponto dos rendimentos decrescentes teve de ser encontrada. A solução 
proposta, e hoje generalizadamente aceite, recorre-se de um conceito novo que 
seguidamente começaremos a abordar: o conceito de Elasticidade da Produção. 
 
A Elasticidade da Produção é uma medida do grau de resposta do output a variações no 
uso do input. Como qualquer outra elasticidade da produção (EP) é independente de 
unidades de medida e é definida como sendo: 
 
input no variaçãode mPercentage
output no variaçãode mPercentage=PE 
 
A partir daqui podemos determinar o valor da Elasticidade da Produção: 
 
PM
Pmg
X
Y
Y
X
X
X
Y
Y
EP =Δ
Δ×=Δ
Δ
= 
 
Olhemos de novo para a Figura 4 e observemos que: 
 
1 - na fase I a Pmg é maior que a PM, logo a EP é também maior que um; 
2 - na fase II a Pmg é menor que a PM, logo a EP é menor que um mas maior que zero; 
3 - na fase III a Pmg é negativa, e a EP também o será (ver a última coluna da Tabela 1). 
 
Todas estas variações da Elasticidade da Produção à medida que o uso do factor 
variável aumenta, e também a relação entre os valores que aquela toma e as três fases da 
 15
produção, pode ser observada na Figura 5, para o caso específico da função de produção 
que nos tem vindo a servir de exemplo. 
 
O "Ponto dos Rendimentos Decrescentes" pode agora ser definido como sendo aquele 
em que a Elasticidade da Produção é igual a um, correspondendo esta situação ao ponto 
em que a PM = Pmg ou seja, à fronteira inferior da fase II de produção. A este ponto 
corresponde o montante mínimo de factor variável que deve ser usado e ocorre quando a 
eficiência técnica do factor variável é máxima. Usando esta definição pode-se 
argumentar,sem saber os preços do input ou do output, que o uso do factor variável 
deverá ser sempre extendido até ao ponto dos rendimentos decrescentes. Na outra 
fronteira da fase II a Pmg anula-se, anulando-se de igual modo a EP. Então, o intervalo 
de produção relevante para um factor variável é o intervalo em que: 
 
10 ≤≤ PE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 – Relação entre a Elasticidade da Produção e as Três Fases da Produção. 
 
 
2.6 – A APLICAÇÃO DE UM INPUT VARIÁVEL 
 
Os problemas associados com a aplicação de um factor variável são frequentemente, 
como já vimos, referidos como “Relações Factor-Produto”. O objectivo do estudo das 
relações factor-produto é o de determinar a quantidade de input variável que deverá ser 
usado em combinação com os inputs (factores) fixos. Questões como: Que quantidade 
de fertilizante aplicar por hectare? Quanta água aplicar numa determinada cultura? 
Quantas vacas leiteiras numa dada área forrageira? Quantas galinhas poedeiras numa 
determinada gaiola com dada área? Todas se encontram no âmbito das relações factor-
produto. 
 
A resposta a este tipo de problemas de aplicação de um factor variável depende dos 
objectivos do agricultor/gestor. O agricultor dispõe de quantidades limitadas de recursos 
para aplicar na sua exploração. O seu problema é usar esses recursos para atingir os seus 
objectivos. No estudo da Teoria da Produção, o objectivo do agricultor/gestor mais 
 16
frequentemente assumido é a "eficiência económica", a qual inclui o objectivo mais 
restrito de “maximização do lucro”, 
 
 
2.6.1 - A Eficiência Económica 
 
A Eficiência Económica refere-se à combinação de inputs que maximiza os objectivos 
individuais e sociais. É normalmente definida em termos de duas condições: a 
necessária e a suficiente. 
 
2.6.1.1 - A Condição Necessária 
 
Esta condição é satisfeita num processo produtivo em que: 
a) não haja possibilidade de produzir a mesma quantidade de produto recorrendo ao 
emprego de menor quantidade de inputs (factores de produção); 
b) não haja possibilidade de produzir mais produto recorrendo ao emprego da mesma 
quantidade de inputs. 
 
Na análise das funções de produção verificamos que esta condição se verifica na fase II 
de produção, isto é, quando a elasticidade de produção está compreendida entre zero e 
um (0 ≤ EP ≤ 1). 
 
A condição necessária refere-se apenas à relação física. Ela é universal, porque se aplica 
em qualquer sistema económico. Ninguém, em plena consciência, produziria na fase III 
de produção uma vez que a mesma ou maior quantidade de produto poderia ser obtido 
na fase II usando menor quantidade de input. Para uma dada relação input-output 
(factor-produto), muitas combinações input-output satisfarão a condição necessária. Por 
esta razão, uma condição adicional é necessária para isolar, escolher, apenas uma das 
muitas combinações que satisfazem a condição necessária. 
 
2.6.1.2 - A Condição Suficiente 
 
Ao contrário da condição necessária, que é objectiva, a condição suficiente para a 
eficiência económica tem a ver com metas e objectivos, sociais e individuais, e com 
valores. É subjectiva por natureza e, portanto, pode variar muito de indivíduo para 
indivíduo, já que os seus gostos, preferências e valores são variáveis. À condição 
suficiente podemos chamar de indicador de escolha. Este indicador de escolha ajuda o 
agricultor a determinar o montante de input variável compatível com os seus objectivos. 
Assim, em agricultura de subsistência, por exemplo, uma família que prefere batatas a 
couves porá mais ênfase na produção daquelas. A condição suficiente para um 
indivíduo lutando por obter as mais altas produções possíveis por hectare será diferente 
da de um outro que tente obter o máximo lucro possível por hectare. Em qualquer dos 
casos, ainda que os indicadores de escolha que satisfazem a condição suficiente variem, 
a eficiência económica é atingida uma vez que o agricultor atinge os seus objectivos. 
 
Ao longo destes apontamentos será sempre assumido que o indicador de escolha, isto é, 
a condição suficiente para a eficiência económica, será a maximização do lucro. 
 17
2.6.2 - Nível Óptimo de Aplicação do Factor 
 
Recapitulemos então o fundamental: 
 
Até ao ponto onde a Produtividade Média é máxima (óptimo técnico), como vimos, 
cada dose de factor que se aplica aumenta a produtividade média das doses já aplicadas. 
Assim, cada unidade de produção é obtida com base em quantidades incorporadas de 
factor que vão, sem cessar, diminuindo. Interessa como vimos ultrapassar esse ponto, ou 
seja, a fronteira inferior da fase II de produção. 
 
Não devemos por outro lado insistir na aplicação do factor para além do valor que 
corresponde à máxima Produção Física Total (máximo técnico), ou seja, não devemos 
ultrapassar a fronteira superior da fase II de produção. O nível de aplicação mais 
aconselhável de factor, isto é, aquele a que corresponde o máximo resultado líquido ou 
lucro (óptimo económico), encontra-se assim balizado pelos valores de X (factor) que 
por um lado conduzem ao óptimo técnico e por outro ao máximo técnico – a fase II de 
produção, como não é demais repetir. 
 
Voltemos à função de produção que nos tem vindo a servir de exemplo e que 
representámos na Tabela 1. A Tabela 2, na página seguinte, volta a representar a mesma 
função, introduzindo-lhe agora alguns novos conceitos: 
 
- Custo Variável Total (CVT) – que será o custo que decorre para a exploração agrícola 
da aplicação de factores de produção variáveis. No nosso caso presente, e uma vez que 
estamos a considerar apenas a aplicação de um desses factores (considerando todos os 
demais como fixos), o Custo Variável Total dependerá apenas do preço do factor X (PX) 
e da quantidade aplicada de factor (X): 
 
XPXCVT ×= 
 
- Custo Fixo Total (CFT) – que será o custo que decorre para a exploração agrícola da 
existência de um conjunto de factores de produção que são tidos como fixos. Uma vez 
que este custo é independente da quantidade aplicada do factor variável, poderemos 
dizer que o seu montante é uma constante: 
 
KCFT = 
 
- Custo Total (CT) – que obviamente representa a soma dos dois custos anteriores: 
 
CFTCVTCT += 
 
- Rendibilidade Total (RT) – que representa o valor (em dinheiro) da totalidade da 
produção. Ela tem forçosamente que depender do preço de mercado do produto (PY) e 
da quantidade produzida do mesmo (Y): 
 
YPYRT ×= 
 
- Lucro (π) - que será o que resta do Rendimento (ou rendibilidade) Total depois de 
pagos todos os Custos, ou seja, o Custo Total: 
 18
CTRT −=Π 
 
Neste exemplo, é fácil ver qual o nível óptimo de aplicação do factor variável, se o 
objectivo for o de maximizar o lucro. A quantidade de X a aplicar seria de 18 unidades, 
que dariam origem a uma Produção Física Total de 129,6 unidades e que conduziriam a 
um lucro de 1088 unidades monetárias. 
 
 
Tabela 2 – Determinação do Ponto Óptimo de Produção e do Nível Óptimo de 
Aplicação do Factor Variável (PX = 100; PY = 30; CFT = 1.000) 
 
(1) (2) (3) 
Input Output CVT + CFT = Y × PY = RT – CT = 
X Y CT RT π 
0 0,0 1.000 0 -1.000 
2 3,7 1.200 111 -1.089 
4 13,9 1.400 417 -983 
6 28,8 1.600 864 -736 
8 46,9 1.800 1.407 -393 
10 66,7 2.000 2.001 1 
12 86,4 2.200 2.592 392 
14 104,5 2.400 3.135 735 
16 119,5 2.600 3.585 985 
18 129,6 2.800 3.888 1.088 
20 133,3 3.000 3.999 999 
22 129,1 3.200 3.873 673 
 
 
Mas será mesmo este o nível de aplicação do factor que conduz ao mais alto lucro? O 
que nos garante que um outro montante qualquer compreendido entre X = 16 e X = 20 
não nos conduza a um lucro ainda superior? A solução seria prolongar a Tabela 2 até se 
encontrar um valor de X que nos desse uma resposta tão exacta quanto possível à nossa 
questão (como maximizar o lucro?). Mas convenhamos que tal se tornaria, no mínimo,fastidioso. 
 
Sabemos que, quando uma determinada função contínua atinge um ponto máximo, a sua 
primeira derivada é nula e a sua segunda derivada é negativa. Então, se dispusermos da 
função matemática que determina o Lucro, nada mais temos a fazer que maximizá-la 
recorrendo ao ponto em que a sua primeira derivada é nula e a sua segunda derivada é 
negativa. O montante de X correspondente a esse ponto é o montante óptimo de 
aplicação do factor variável. Ora sabemos que: 
 
CTRT −=Π , e sabemos que 
YPYRT ×= e KPXCFTCVTCT X +×=+= , então ( )KPXPY XY +×−×=Π 
 
uma vez que como assumimos desde o princípio Y = f (X), então 
 ( )KPXPXf XY +×−×=Π )( 
 
Esta função será então máxima quando: 
 19
0 e 0 2
2
<Π=Π
dX
d
dX
d 
 
A derivada da função lucro em ordem a X é fácil de calcular: 
 
XY PPXfdX
d −⋅=Π )(' 
 
esta expressão, uma vez igualada a zero, mostra-nos que: 
 
XY PPXf =⋅)(' 
 
Como vimos logo no princípio, a Produtividade Marginal de X (Pmg) é exactamente 
igual a f’(X). Então, a expressão anterior ficará: 
 
Y
X
XY P
PPmgPPPmg ==× ou 
 
e se ao produto Pmg × PY chamarmos de Rendibilidade Marginal de X (Rmg), teremos 
então: 
 
XPRmg = 
 
ou seja, o montante óptimo de aplicação de um factor variável é aquele que conduz a 
uma Rendibilidade Marginal do referido factor igual ao seu próprio preço. Por outras 
palavras, dir-se-á que é preciso empregar o factor variável em quantidade tal que ele 
“pague” exactamente aquilo que “custa”. 
 
Um exemplo: 
 
Algebricamente, o montante óptimo de X pode ser calculado quando a função de 
produção é conhecida. Voltemos à função que nos tem acompanhado desde o princípio: 
 
32
30
1 XXY −= 
 
a sua primeira derivada em ordem a X dá-nos a equação da Produtividade Marginal 
(Pmg). Na página 9 esta já foi determinada: 
 
2
10
12 XXPmg −= 
 
Se tivermos PX =100 e PY =30, então o ponto óptimo de aplicação do factor variável, 
aquele que conduz ao máximo lucro, verifica-se quando: 
 
100
10
1230 2 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − XX ou, doutro modo 0100360 2 =−− XX
 
 20
o que pode facilmente ser resolvido em ordem a X recorrendo à “fórmula resolvente” 
das equações quadráticas4. Feito isto, os valores de X encontrados seriam: 
 
8,1 e 2,18 == XX 
 
Mas como quando X = 1,8 a segunda derivada da função lucro não é negativa mas sim 
positiva, o valor que procuramos é então X = 18,2. Se atentarmos de novo na Tabela 2 
verificamos que este valor se aproxima muito do valor nela encontrado para o ponto de 
máximo lucro. A título de curiosidade, podemos também verificar que o outro valor 
encontrado (X = 1,8) corresponde exactamente ao ponto em que o lucro é mínimo. 
 
2.6.2.1 - Determinação gráfica do nível óptimo de input 
 
Todos os métodos de determinação do nível óptimo de aplicação de um factor variável 
(aquele nível que, como já se viu, conduz ao lucro máximo) derivam do estudo da 
Rendibilidade Total (RT) e dos Custos Totais (CT) ou, em última análise, do estudo da 
função Lucro (RT-CT). Isso mesmo foi o que vimos na Tabela 2 onde, com facilidade 
mas alguma falta de rigor, se determinou o nível óptimo de aplicação de X. O mesmo se 
passou no ponto anterior quando determinámos o mesmo nível algebricamente. 
 
Também com o recurso a gráficos se pode chegar ao mesmo resultado, desde que se 
analisem os comportamentos gráficos das funções RT e CT (ou Lucro) como se mostra 
na parte superior da Figura 6; ou o comportamento gráfico da função Rmg em relação a 
PX como se mostra na parte inferior da mesma figura. 
No primeiro caso, o lucro é máximo quando a curva da Rendibilidade Total passa acima 
da recta do Custo Total e a distância vertical entre as duas é máxima. Isto ocorre, como 
seria de esperar, quando X = 18,2. No segundo caso, por comparação com o gráfico 
anterior, podemos observar que de facto, quando Rmg = PX também X = 18,2 e portanto 
o lucro é máximo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
a
acbbXcbXaX
2
40
2
2 −±−=⇒=++ 
 21
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 – Determinação Gráfica do Óptimo Económico, recorrendo à RT e ao CT e 
também à Rmg e ao PX. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22
3 – AS RELAÇÕES FACTOR–FACTOR 
 
 
No capítulo anterior desenvolvemos conceitos de análise económica básicos para as 
relações factor-produto. Como vimos, aquele processo de produção elementar tem lugar 
quando o montante de aplicação de um factor é variado e o montante de aplicação dos 
restantes factores é mantido constante. 
 
Neste capítulo, as relações fundamentais entre um produto e dois factores variáveis 
serão abordadas. Os princípios a desenvolver serão como que um prolongamento, uma 
continuação, dos até aqui discutidos. 
 
Nas relações factor-produto um determinado nível de produto (uma dada Produção 
Física Total) só pode ser produzido de um único modo. Como vimos com o exemplo da 
Tabela 1, 2 unidades de X quando combinadas com os restantes factores fixos produzem 
3,7 unidades de produto Y, 10 unidades de X produzem 66,7 unidades de Y, e assim 
sucessivamente. De igual modo, podemos verificar pela mesma tabela que 3,7 unidades 
de Y só podem ser produzidas recorrendo à aplicação de 2 unidades de X e 66,7 
unidades de Y exigem o emprego de 10 unidades de X. Na situação que agora vamos 
estudar, em que dois factores (inputs) são variáveis, um dado nível de output (de 
produto) pode ser produzido de mais do que uma maneira. As possibilidades de 
substituição entre os dois factores variáveis são inúmeras. Isto é particularmente 
verdade em agricultura. Na realidade, quase todos os factores de produção agrícola, uma 
vez tomados dois a dois, são substituíveis entre si (note-se que este conceito de 
substituição implica que o nível de produção seja mantido constante). É o caso dos 
alimentos verdes e dos alimentos concentrados (dois factores), que podem ser 
combinados de inúmeras maneiras, dentro de certos limites, para conduzirem por 
exemplo ao mesmo nível de produção de leite ou de carne (produtos). Também os 
diversos tipos de adubos são substituíveis entre si e mesmo os adubos e as sementes, e 
até a própria terra, se podem combinar em diferentes proporções substituindo-se 
mutuamente com vista à obtenção de um dado volume de produção. A própria 
mecanização da exploração agrícola consiste em última análise na substituição do factor 
trabalho pelo factor capital na concretização da produção. Então, do ponto de vista do 
agricultor/gestor e até do economista, o problema fundamental a estudar é o seguinte: 
Como deve o produtor combinar factores que são substituíveis? Para um dado nível de 
produção, qual a combinação de factores economicamente mais eficiente? 
 
As questões aqui apontadas constituem o âmbito das chamadas relações factor-factor de 
que temos vindo a falar e, constituirão a nossa preocupação nas próximas páginas destes 
apontamentos. 
 
 
3.1 - A FUNÇÃO DE PRODUÇÃO PARA DOIS FACTORES VARIÁVEIS 
 
A função de produção para dois factores variáveis não difere conceptualmente da que 
vimos anteriormente para um só factor variável. Cada combinação dos dois inputs 
produz uma só dada quantidade de produto. Em notação simbólica esta função é 
usualmente representada do seguinte modo: 
 ( )nXXXXfY ,, , 321 K= 
 23
Se ignorarmos os factores fixos, a função de produção para dois factores variáveis pode 
ser mais simplesmente representada do seguinte modo: 
 ( )21, XXfY = 
 
onde Y é o montante de produto (ou Produção Física Total - PFT) e X1 e X2 são os 
montantes dos dois factores variáveis. Esta expressão diz que o montante de output Y 
depende de modo único dos montantes dos factores variáveisX1 e X2 usados no 
processo de produção em conjunto com os factores fixos. 
 
 
3.1.1 - A Superfície de Produção 
 
Uma função de produção hipotética para dois factores variáveis está representada na 
Tabela 3. 
 
 
Tabela 3 – Output resultante da aplicação de diferentes combinações de dois factores 
variáveis X1 e X2
 
10 80 93 104 113 120 125 128 129 128 125 120 
9 81 94 105 114 121 126 129 130 129 126 121 
8 80 93 104 113 120 125 128 129 128 125 120 
7 77 90 101 110 117 122 125 126 125 122 117 
6 72 85 96 105 112 117 120 121 120 117 112 
5 65 78 89 98 105 110 113 114 113 110 105 
4 56 69 80 89 96 101 104 105 104 101 96 
3 45 58 69 78 85 90 93 94 93 90 85 
2 32 45 56 65 72 77 80 81 80 77 72 
1 17 30 41 50 57 62 65 66 65 62 57 
X1
0 0 13 24 33 40 45 48 49 48 45 40 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Níveis de 
aplicação de 
X1 e X2 X2
 
 
As quantidades dos dois inputs X1 e X2 estão indicadas na coluna do lado esquerdo e na 
última linha da tabela. O corpo da tabela representa o montante de output resultante de 
cada combinação de inputs. Assim, o output zero tem lugar quando nenhum input é 
usado; 30 unidades de output resultam da aplicação de uma unidade de cada um dos 
inputs, e assim sucessivamente. O output máximo, 130, resulta do uso de 9 unidades de 
X1 e de 7 de X2. 
A informação contida na Tabela 3 é tida como contínua, e as combinações input-output 
nela contidas representam apenas algumas de todas as combinações possíveis. Assim, 
para 2 unidades de X1 e 2,5 unidades de X2 uma certa quantidade de produto, entre 56 e 
 24
65, será produzida. O mesmo é verdade para qualquer outra combinação de inputs não 
representada por números inteiros. 
 
Uma vez que a função representada na Tabela 3 se trata de uma função do tipo Y = f 
(X1, X2), se pretendermos representá-la graficamente teremos que o fazer num sistema 
de três eixos ortogonais. Num deles representaremos os valores de X1, no outro os 
valores de X2, e finalmente no terceiro representaremos os valores de Y resultantes das 
diversas combinações de X1 e X2. Assim, a cada uma dessas combinações está 
associado um ponto no espaço cuja cota representa a quantidade de Y correspondente. O 
lugar geométrico de todos os pontos Y é, como se pode verificar pela Figura 7 onde está 
representada a informação contida na Tabela 3, uma superfície que se designa por 
Superfície de Produção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7 – Representação gráfica da Superfície de Produção resultante da informação 
contida na Tabela 3. 
 
 
3.1.2 - Alguns Conceitos Fundamentais 
 
As noções estabelecidas no capítulo anterior, no domínio da função de produção 
clássica, são igualmente válidas para o caso das funções de produção com mais de um 
factor variável, como a função Y = f (X1, X2) que nos propomos estudar. Assim, 
também para este tipo de funções podemos definir os conceitos de Produção Física 
Total, Rendibilidade Total, Produtividade e Rendibilidade Média de um Factor 
Variável, Produtividade e Rendibilidade Marginal de um Factor Variável. 
Evidentemente que uma vez que estamos na presença de dois factores variáveis, 
teremos que considerar duas Produtividades Médias e duas Produtividades Marginais e, 
 25
consequentemente, duas Rendibilidades Médias e duas Rendibilidades Marginais. 
Assim teremos: 
 
 
YXX
X
YXX
X
PPmgRmg
X
YPmg
PPMRM
X
YPM
YPFT
×=
=
×=
=
=
11
1
11
1
1
1
δ
δ
YXX
X
YXX
X
Y
PPmgRmg
X
YPmg
PPMRM
X
YPM
PYRT
×=
=
×=
=
×=
22
2
22
2
2
2
δ
δ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atendendo a que se trata de uma função de duas variáveis, as noções que acabámos de 
definir para cada um dos factores X1 ou X2 pressupõem a constância do outro factor. Por 
exemplo: a Produtividade Marginal do factor X1 será o acréscimo da produção física 
total, obtido pela aplicação adicional de uma quantidade infinitesimal de X1, 
permanecendo constante o nível de aplicação do factor X2. Tal facto é expresso na 
própria definição da Produtividade Marginal, já que ela é afinal a derivada parcial da 
função Y = f (X1, X2) relativamente a X1 que, como é sabido, se calcula considerando 
tudo o que é função de X2 como sendo constante. 
 
A informação contida na Tabela 3 foi obtida da seguinte função de produção quadrática: 
 
2
22
2
11 1418 XXXXY −+−= 
 
O output proveniente de qualquer combinação de inputs pode ser calculado por simples 
substituição dos respectivos valores na equação acima referenciada. O output ou 
Produção Física Total cresce a uma taxa decrescente para valores baixos de X1 e X2. 
Como vimos, quando ambos os factores são iguais a zero também Y = 0. O output 
atinge um máximo quando as Produtividades Marginais de X1 e X2 são nulas. Isto pode 
ser determinado fazendo: 
 
7 0214
9 0218
22
11
2
1
=⇒=−=
=⇒=−=
XXPmg
XXPmg
X
X
 
 
Quando X1 = 9 e X2 = 7, como também já tínhamos visto na Tabela 3, o output atinge 
um máximo de 130 unidades. Para níveis de input superiores àqueles, ambas as 
Produtividades Marginais são negativas e os níveis de output deles resultantes são 
inferiores a 130. Portanto, como vimos pelo exemplo que acabámos de dar, o 
comportamento da função de produção com dois factores variáveis é idêntico ao que já 
tínhamos visto para a função de produção clássica. 
 26
3.1.3 - Isoquantas 
 
As relações factor-factor e as possibilidades de substituição entre factores variáveis 
delas resultantes, permitem que um dado nível de output seja produzido com diferentes 
combinações de inputs. Com a excepção do output mínimo, zero, e do output máximo, 
130, todos os demais níveis de output podem ser produzidos usando várias combinações 
diferentes de inputs. Por exemplo, a Tabela 3 mostra que 105 unidades de output podem 
ser produzidas usando as seguintes combinações de inputs: 
 
X1 X2
9 2 
6 3 
5 4 
4 7 
5 10 
 
Como apontado anteriormente, as combinações inputs-output indicadas na Tabela 3 
representam apenas algumas das possíveis. Uma vez que se assume que os inputs são 
divisíveis, deve haver muitas mais combinações de inputs que conduzem a um output de 
105 unidades. A representação gráfica de todas as combinações de dois factores 
variáveis que conduzem a um dado nível de output dá origem a uma curva chamada de 
Isoquanta ou Curva de Isoproduto. A isoquanta para 105 unidades de output (da função 
que temos vindo a estudar) encontra-se representada na Figura 8. As combinações de 
inputs retiradas da Tabela 3 e indicadas na página anterior encontram-se nela 
representadas. Todos os pontos da curva são aqueles que conduzem à obtenção de 105 
unidades de produto. 
 
A correcção da Isoquanta depende do número de pontos disponíveis para a representar. 
Se a função de produção for expressa por uma equação, então também a equação da 
Isoquanta pode ser determinada. No nosso exemplo, a equação da função de produção 
pode ser resolvida para X1 como função de X2 e Y através do uso da conhecida fórmula 
resolvente. Para isso, a nossa função de produção: 
 
2
22
2
11 1418 XXXXY −+−= 
 
seria escrita do seguinte modo: 
 ( ) 01418 222211 =−−++− YXXXX 
 
o que substituído na fórmula resolvente daria: 
 
YXXX
YXX
X
−−+−=
−−+−=
2
221
2
22
1
14819
ou
2
445632418
 
 
 27
Assim, para a isoquanta que vimos, substituindo Y por 105 e atribuindo valores a X2, 
determinaríamos os valores de X1 necessários a uma correcta representação da 
isoquanta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8 – Representação da Isoquanta para 105 unidades de Y. 
 
 
Deste modo, podem ser determinadas isoquantas para cada nível de output ou, o que é 
dizer o mesmo, a cada nível de output corresponde umaisoquanta. Por exemplo, existe 
uma isoquanta para cada nível de output entre zero e 130 (no nosso exemplo). A Figura 
9 mostra várias isoquantas para o mesmo exemplo, desenhadas a partir da equação geral 
das isoquantas acima calculada. A este tipo de representação dá-se o nome de Mapa ou 
Família de Isoquantas. Como se pode verificar pela Figura 9, numa família de 
isoquantas, quanto mais afastadas da origem elas estiverem, mais elevado é o nível de 
produção a que correspondem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9 – Mapa ou Família de Isoquantas representando seis níveis de produção: Y = 0, 
Y = 26, Y = 52, Y = 78, Y = 104 e Y = 130. 
 
 28
Note ainda que uma Isoquanta pode ser vista como uma “Curva de Nível” numa 
Superfície de Produção. A Figura 10 representa precisamente essa perspectiva. No lado 
esquerdo da figura encontra-se representada a já nossa conhecida Superfície de 
Produção, anteriormente apresentada na Figura 7, mas agora cortada pelo plano que une 
todos os pontos do espaço em que Y = 105. Se observássemos agora o mesmo gráfico 
desce cima, veríamos a intersecção da Superfície de Produção com o Plano, ou seja, a 
Isoquanta para Y = 105. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10 – A Isoquanta como uma “Curva de Nível” na Superfície de Produção 
 
 
3.1.4 - Razão Marginal de Substituição de Factores 
 
A Razão Marginal de Substituição de Factores está para as relações factor-factor como a 
Produtividade Marginal está para as relações factor-produto. Tal como esta última 
representava o declive da curva da Produção Física Total em cada nível de utilização do 
factor variável, a. Razão Marginal de Substituição de Factores representa o declive da. 
isoquanta para cada combinação dos dois factores variáveis. Olhemos de novo a Figura 
8. Quando X2 = 2 então X1 = 9 mas, quando X2 = 3 então temos X1 = 6. Assim, se 
pretendermos manter o nível de output constante nas 105 unidades, quando X2 é 
aumentado de 2 para 3, X1 deve descer de 9 para 6. Neste caso, a. Razão Marginal de 
Substituição de X1 por X2 é definida como o montante que X1 tem que decrescer para 
que o output se mantenha constante, quando X2 é aumentado de uma unidade. Entre os 
pontos (2,9) e (3,6) a Razão Marginal de Substituição de X1 por X2 será então: 
 
3
1
3
23
96
2
1
21
−=−=−
−=Δ
Δ=
X
XRMS XX 
 
A RMS é negativa porque o declive da isoquanta também o é. Este método de calcular a 
RMS assemelha-se em tudo ao método que usámos no capítulo anterior para determinar 
a Produtividade Marginal Média de um factor. E nessa altura vimos que em alternativa 
se podia optar pelo método de cálculo da Produtividade Marginal Exacta. Ora no 
domínio da RMS passa-se exactamente o mesmo. A determinação que acima fizemos 
deu-nos de facto a RMS média entre os pontos (2,9) e (3,6). Para determinarmos a RMS 
exacta num dado ponto da isoquanta teremos de nos recorrer daquilo que dissemos logo 
no início deste ponto: que a RMS é dada pelo declive da isoquanta. Como vimos, a 
equação de uma isoquanta é do tipo: 
 29
)( 21 XfX = 
 
assim, a primeira derivada desta função afectada do sinal menos, ou seja 
 
2
1
dX
dX− 
 
é a Razão Marginal de Substituição de X1 por X2. Resolvendo matematicamente esta 
expressão, chegaríamos à conclusão que: 
 
1
2
21
X
X
XX Pmg
Pmg
RMS −= 
 
o que nos dá um método exacto e expedito de cálculo da RMS de factores num dado 
ponto da isoquanta. Graficamente, a RMS entre factores num ponto da isoquanta tem 
então que ser representada pela tangente à curva nesse ponto. 
 
Resumindo: 
 
A Razão Marginal de Substituição entre Factores exprime a quantidade 
de X1 que é necessário acrescentar (ou diminuir) por cada quantidade 
infinitesimal de X2 que é diminuída (ou acrescentada), pressupondo 
constante o nível de produção. 
 
 
3.2 - LINHAS DE ISOCUSTO 
 
Cada combinação de inputs tem consigo um custo associado, como parece evidente. 
Uma vez que os inputs considerados são variáveis, esse custo só pode ser variável. 
Indicando o custo de cada unidade de X1 por PX1 e o custo de cada unidade de X2 por 
PX2, o Custo Variável Total (CVT) será dado por 
 
21 21
XPXPCVT XX += 
 
Assumindo que os preços dos inputs são conhecidos, o CVT pode ser calculado para 
cada combinação de inputs. Se PX1 = 2 e PX2 = 3, então o custo de 5 unidades de X1 e de 
2 unidades de X2 é de (2×5) + (3×2) = 16. Assim sendo, o CVT é função dos montantes 
de X1 e X2 e pode ser representado graficamente de um modo semelhante à superfície 
de produção. Uma Superfície de Custo Variável Total encontra-se representada na 
Figura 11. A superfície é linear e toca a base apenas quando X1 = X2 = 0, uma vez que 
nesse ponto não ocorrem custos variáveis. O declive da superfície é determinado pelos 
preços dos inputs. A superfície é linear porque os preços por unidade de input são 
considerados constantes para qualquer combinação de inputs. 
 
 30
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11 – Representação tridimensional de uma Superfície de Custo Variável. 
 
 
Tal como as Superfícies de Produção são caracterizadas por Isoquantas, as Superfícies 
de Custo Variável Total podem ser descritas usando Linhas ou Rectas de Isocusto. Uma 
Recta de Isocusto traça um conjunto de pontos na Superfície de Custo Variável que têm 
como característica possuírem todos um CVT igual. Mas representá-las numa Superfície 
de Custo Variável seria tão inútil como representar as isoquantas na Superfície de 
Produção. Por isso, a melhor solução será fazer como se fez para as isoquantas, ou seja, 
representá-las num gráfico bidimensional onde os eixos representem os montantes de X1 
e X2. A Figura 12 representa três linhas de isocusto para PX1 = 2 e PX2 = 3 e Custos 
Variáveis Totais de 9, 18 e 27. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12 - Família de Rectas de Isocusto. 
 31
 
Debrucemo-nos então um pouco sobre a Figura 12. Suponhamos que pretendemos 
analisar as combinações de inputs que conduzem a um Custo Variável Total de 18; isto 
é, admitamos que o agricultor tem 18 unidades monetárias (quaisquer) para gastar em 
inputs variáveis. Então ele pode comprar, se os preços dos factores forem os já 
indicados, CVT /PX1 ou seja, 18/2 = 9 unidades de X1 se não comprar nenhuma de X2 
como indicado na figura. De igual modo, ele pode comprar CVT/PX2, ou seja, 18/3 = 6 
unidades de X2 se não comprar nenhuma de X1, como também é fácil de ver pela figura. 
A Recta de Isocusto para CVT = 18 pode então ser traçada, unindo os dois pontos que 
acabámos de determinar sobre os eixos ortogonais. O mesmo se poderia fazer para CVT 
= 9, concluindo-se que se poderiam comprar 4,5 unidades de X1 e nenhuma de X2 ou 3 
unidades de X2 e nenhuma de X1, ou ainda qualquer das combinações de inputs 
localizada sobre o segmento de recta (Recta de Isocusto) que une aqueles dois pontos. 
 
Aquilo que fizemos de um modo empírico para desenhar as Rectas de Isocusto, poderia 
ser feito recorrendo à equação que define as mesmas. Já tínhamos visto que 
 
21 21
XPXPCVT XX += 
 
o que também pode ser representado de outro modo, 
 
21 21
XPCVTXP XX −= 
 
donde se retira que 
 
21
1
2
1
X
P
P
P
CVTX
X
X
X
−= 
 
que é a equação da Recta de Isocusto. Como se pode concluir, e confirmar pela Figura 
12, as Rectas de Isocusto têm de ordenada na origem CVT/PX1 e de declive –PX2/PX1. 
No caso da Figura 12, a equação da Recta de Isocusto para CVT = 18 seria então: 
 
21 2
39 XX −= 
 
Como também observámos na Figura 12, é possível representar no mesmo gráfico mais 
do que uma Recta de Isocusto para os mesmos preços dos factores mas diferentes níveis 
de Custo Variável Total. Como vimos, cada recta corresponde a um CVT. Aquele 
conjunto de Rectas de Isocusto recebenormalmente o nome de Família de Rectas de 
Isocusto. 
 
 
3.3. - O CRITÉRIO DO CUSTO MÍNIMO 
 
Tal como nas relações factor-produto, a eficiência económica nas relações factor-factor 
é atingida quando as condições necessária e suficiente são atingidas. No caso que agora 
estamos a estudar, as relações factor-factor, a condição necessária verifica-se quando a 
RMS é igual ou menor que zero. Para seleccionar uma combinação de inputs que 
verifique a condição suficiente, ou seja, que respeite os objectivos individuais e sociais, 
 32
é necessário mais um critério. Como sempre, os objectivos variam com os desejos dos 
agricultores / gestores. Por exemplo, um produtor pode desejar produzir um certo nível 
de output com o mínimo esforço possível. Mas outro pode desejar atingir o mesmo nível 
com o mínimo custo possível. Geralmente é este último critério, minimização dos 
custos, o que é empregue nas análises económicas. E será ele que vai ser usado nos 
exemplos que se seguem. 
 
Como já se viu, um dado nível de input pode ser produzido usando muitas combinações 
diferentes dos dois factores variáveis. De um modo geral, duas combinações diferentes 
de factores terão custos diferentes. Assim, uma das combinações deve ser a mais barata. 
O problema da minimização dos custos é o de determinar a combinação dos dois inputs 
que produz um dado nível de produto, ao mínimo custo possível. Uma maneira de fazer 
isto é calcular o custo de todas as combinações possíveis e seleccionar a mais barata. 
Contudo este método só é exequível quando esse número de combinações é restrito. 
Mesmo assim, ficamos sempre sem a certeza sobre se a solução encontrada é de facto a 
desejada ou não, já que pode sempre haver alguma combinação intermédia de factores 
não analisada e que seja mais barata. A localização exacta da combinação mais barata 
de factores pode ser encontrada geometricamente mas para isso, conceitos associados 
com a RMS e as Rectas de Isocusto têm de ser utilizados. 
 
 
3.3.1 – Determinacão Geométrica do Ponto de Custo Mínimo 
 
Uma isoquanta tem um número infinito de pontos. Só um, contudo, corresponde à 
combinação de factores que conduz ao custo variável mínimo. Nesse ponto, o seguinte 
critério, denominado de Critério do Custo Mínimo, terá que se verificar: 
 
1
2
21
X
X
XX P
P
RMS −= 
 
Devido à definição de RMS, o mesmo critério também pode ser escrito como: 
 
2
1
2
1
X
X
P
P
X
X −=Δ
Δ
 
 
onde o lado esquerdo da expressão representa o declive da isoquanta e o lado direito o 
declive da recta de isocusto, como já havíamos visto. Então a combinação mais barata 
de inputs ocorre no ponto onde a recta de isocusto é tangente à isoquanta. 
 
A Figura 13 evidencia a solução de custo mínimo para a isoquanta Y = 105 (que já 
usámos noutros exemplos) quando PX1 = 200 e PX2 = 300. Neste caso o custo variável 
mínimo para produzir 105 unidades de Y é desconhecido. A solução pode contudo ser 
encontrada, encontrando o ponto onde uma recta com declive de -300/200 é tangente à 
isoquanta, isto é, encontrando o ponto onde a isoquanta tem um declive de -3/2. Uma 
vez localizada, esta recta pode ser interpretada como uma recta de isocusto e ser 
prolongada até atingir os eixos do gráfico. Como se mostra na Figura 12, o ponto de 
tangencia ocorre quando X1 = 6,2 e X2 = 2,8: O custo variável total para esta 
combinação de factores é de 2.080, ou seja, (6,2 × 200) + (2,8 × 300). 
 33
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13 – Determinação geométrica da combinação de inputs que produzem 105 
unidades de output a um custo mínimo. 
 
 
3.3.2 – Determinação Algébrica do Ponto de Custo Mínimo 
 
A determinação algébrica segue o mesmo esquema. O princípio é o de igualar os 
declives da Isoquanta e da Recta de Isocusto. Para o exemplo da Figura 13 seria: 
 
2
133
:onde de
2
3
9
7
 
1
2
1
2
1
2
1
2
21
−=
−=−
−⇒−=−=
XX
X
X
P
P
Pmg
Pmg
RMS
X
X
X
X
XX
 
 
Seguidamente, os valores de X1 e X2 têm de ser calculados. Substituindo X2 na função 
de produção pela expressão acabada de calcular, ficamos com uma equação quadrática 
em Y e X1. Fazendo neste caso Y = 105 e resolvendo a equação usando a fórmula 
resolvente chegaríamos ao valor já nosso conhecido X1 = 6,2. Então, 
 
8,2
2
13)2,63(
2 =−×=X 
 
como seria de esperar. 
 
 
3.4. – ISOCLINAS, CAMINHO DE EXPANSÃO E MAXIMIZAÇÃO DO LUCRO 
 
 
3.4.1. – Isoclinas e Caminho de Expansão 
 
Isoc1inas são linhas ou curvas que passam por pontos de igual razão Marginal de 
Substituição num Mapa de Isoquantas. Uma dada isoclina passará por todas as 
 34
isoquantas, em pontos onde essas isoquantas têm um dado declive. Há tantas isoclinas 
diferentes quantos os declives ou Razões Marginais de Substituição da isoquanta. 
Uma isoclina muito particu1ar é o Caminho de Expansão. E1e é uma isoclina especial 
que liga as combinações de factores que satisfazem o critério do custo mínimo para 
todos os níveis de output. O Caminho de Expansão é pois o lugar geométrico das 
combinações óptimas de factores. Desta forma, no Caminho de Expansão a Razão 
Marginal de Substituição tem que igualar a razão entre os preços dos factores. 
 
 
3.4.2. – Caminho de Expansão e Maximização do Lucro 
 
Vimos que o Caminho de Expansão define todas as combinações de factores que 
conduzem ao custo mínimo de produção para cada nível de produção. Será então, sem 
dúvida, uma dessas combinações que deve ser usada pelo agricultor que se preocupa em 
minimizar os custos. Mas se o Caminho de Expansão abarca todos os níveis possíveis 
de produção, então o agricultor interessado em maximizar os lucros deverá perguntar: 
“qual o nível de produção que me fará obter o máximo lucro?” 
 
Conceptualmente esta questão é respondida seguindo ao longo do Caminho de 
Expansão, isto é, aumentando o output até que o valor do produto acrescentado pelo 
aumento do uso dos inputs seja igual ao custo desse aumento de uso de inputs. Visto 
pelo lado dos inputs, isto é o mesmo que dizer que a Rentabilidade Marginal de cada 
factor deve igualar o preço unitário desse factor. Ao longo do Caminho de Expansão, só 
um ponto representa combinação de factores que conduz ao máximo lucro. 
 
Analiticamente há vários métodos para determinar o ponto de máximo lucro mas, o 
método mais seguido é o de maximizar directamente a função Lucro. Numa situação 
corno a que estamos a estudar, ou seja, no âmbito das relações factor-factor, a equação 
do lucro será: 
 
CFTXPXPYP XXY −×−×−×=Π )()()( 21 21 
 
onde Py representa o preço unitário do produto Y e CFT representa o Custo Fixo Total 
(uma constante, portanto) e onde Y = f (Xl, X2). Maximizar esta função em relação aos 
factores variáveis implica calcular os pontos onde as duas derivadas parciais da função 
em ordem aos dois factores variáveis sejam nulas. Então teremos: 
 
0
 
 
 
 
e 0
 
 
 
 
2
1
22
11
=−=Π
=−=Π
XY
XY
P
X
YP
X
P
X
YP
X
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
 
 
que é o mesmo que dizer que: 
 
2222
1111
ou 
e 
ou 
XXXXY
XXXXY
PRmgPPmgP
PRmgPPmgP
==⋅
==⋅
 
 
 35
Vejamos um exemplo: 
 
Para a função de produção que temos vindo a acompanhar, se por exemplo Py = 0,65 ; 
PX1 = 9 e PX2 = 7 teriamos: 
 
9 = (18 – 2 Xl) × 0,65 e 7 = (14 – 2 X2) × 0,65 
 
donde se concluiria que para o lucro ser máximo Xl = 2,08 e X2 = 1,6. Estes valores 
poderiam ser substituídos na função de produção, podendo-se então calcular o nível de 
produção que conduziria ao máximo lucro e que seria Y = 53. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 36
4 –AS RELAÇÕES PRODUTO– PRODUTO 
 
 
Nos dois capítulos anteriores, a breve análise económica dos processos de produção 
colocou ênfase na repartição e distribuição de inputs. Neste capítulo apresentaremos um 
ponto de vista diferente sobre o processo produtivo. Em vez de o olharmos pelo lado da 
distribuição de inputs por uma dada actividade, olhá-lo-emos pelo lado da combinação 
de actividades, isto é, discutiremos aquilo a que vulgarmente se chamam de relações 
produto-produto. 
 
O agricultor produz, normalmente, várias "coisas" na sua exploração, sendo justamente 
no seio da unidade produtiva que se encontra uma dada combinação de factores e 
produções, isto é, um dado sistema de produção. Assim é evidente que se põe na prática 
o problema de repartir um dado factor variável por duas ou mais produções, exigindo-se 
ao agricultor decisões que conduzam ao exame das relações produto-produto ou seja, ao 
exame das substituições entre produtos. 
 
Este novo problema exige hipóteses de base diferentes das que até agora utilizámos mas 
pode apreender-se, no plano teórico, utilizando conceitos de algum modo próximos dos 
que já anteriormente se manejaram. Tal problema é um problema corrente da produção 
agrícola. O empresário dispõe com efeito de recursos que deve combinar da melhor 
forma possível e que deve repartir entre as suas utilizações possíveis de modo a 
maximizar o seu resultado final. A terra é rara nas pequenas explorações e ao afectá-la à 
cultura do milho para grão, o empresário priva-se evidentemente de a afectar à cultura 
do milho para silagem. O mesmo se passa com a mão-de-obra (nas explorações em que 
ela é rara em certos momentos, devendo ser judiciosamente repartida entre as diversas 
produções) e também com as construções, instalações diversas e, em suma, com os 
outros capitais da empresa. 
 
O problema é portanto o seguinte: Como repartir o montante X0 do factor X de que 
se dispõe entre as produções Y1 e Y2 de molde a maximizar o resultado final da 
empresa? 
 
 
4.1. – A CURVA DE POSSIBILIDADES DE PRODUCAO 
 
 
A Curva de Possibilidades de Produção é um importante instrumento para o desenho de 
duas funções de produção num só gráfico. Para começar, imagine-se que um input X 
pode ser usado para produzir dois produtos, Y1 e Y2, e que todos os outros inputs usados 
na sua produção são fixo. Assim, o agricultor tem de determinar quanto input X vai usar 
em cada produção. A questão mais relevante que então se põe é saber “de quanto input 
se dispõe?”. As duas situações possíveis são: dispõe-se de quantidade limitada ou 
ilimitada: 
 
– Quantidade Ilimitada: 
Quando a quantidade de input disponível é ilimitada, a sua distribuição e aplicação é 
determinada pela regra enunciada na página 20 destes apontamentos, ou seja, igualando 
o preço do recurso à sua rentabilidade marginal. Nenhum problema novo surge. O 
agricultor / gestor pode usar o nível óptimo do recurso em ambas as produções. 
 37
Aumentar o uso de um input (ou recurso) num dos processos produtivos não fará 
diminuir a quantidade disponível para uso no outro. Assim, para além do facto de os 
produtos serem produzidos na mesma empresa e de estarem sob a supervisão do mesmo 
agricultor / gestor, eles não estão relacionados um como outro. O termo ilimitada 
significa que o agricultor dispõe de suficiente quantidade do input para o usar no 
montante óptimo em todas as actividades. Não quer isto significar que o fornecimento 
do input possa ser ilimitado. Se assim fosse, tratar-se-ia de um bem gratuito. 
 
– Quantidade Limitada: 
Quando a quantidade de input disponível é limitada, o montante óptimo não pode ser 
usado em cada actividade. Assim, por definição, limitada significa que a quantidade de 
input disponível é menor do que a quantidade necessária para aplicar o montante óptimo 
em cada actividade. Situações de inputs limitados são também referidas como situações 
de Capital Limitado. Quer isto dizer que a quantidade de input que pode ser adquirida é 
limitada pela quantidade de Capital disponível. “Capital Limitado” quer portanto dizer 
que o Capital disponível não é suficiente para permitir ao agricultor o uso óptimo de 
input em cada actividade. Quando os inputs são limitados em quantidade, as actividades 
realizadas numa empresa deixam de poder ser consideradas independentes. O grau de 
interdependência entre elas depende das suas relações técnicas e económicas.. Nalguns 
casos, se o output de uma actividade for expandido os recursos têm de ser desviados 
para ela, tendo o output de outras actividades de ser reduzido. Noutros casos, a 
expansão de uma actividade pode também conduzir à expansão de outra. O objectivo do 
estudo das relações produto-produto é o de determinar a combinação de actividades que 
melhor vai ao encontro dos objectivos do agricultor / gestor, uma vez conhecidas as 
limitações de recursos. 
 
O principal uso das Curvas de Possibilidades de Produção é a determinação da 
combinação de actividades mais lucrativa para uma dada quantidade limitada de um 
input. 
 
 
4.1.1. – Determinação de Curvas de Possibilidade de Produção 
 
As Curvas de Possibilidades de Produção mostram as combinações de produtos que 
podem ser produzidas com um determinado conjunto de inputs. De certo modo, uma 
Curva de Possibilidades de Produção pode ser vista como uma fronteira que separa as 
combinações de produtos que podem ser produzidas com um dado conjunto de factores, 
daquelas que não podem ser produzidas com o mesmo conjunto de factores. Vejamos 
como estas Curvas podem ser construídas a partir de duas funções de produção. 
 
A Tabela 4-A apresenta duas funções de produção, uma para Y1 e outra para Y2. Estas 
funções de produção usam o mesmo recurso limitado, X. Suponhamos que estão 
disponíveis quatro unidades de X. Antes de qualquer daquelas unidades ser usada, o 
agricultor / gestor tem oportunidade de se debruçar sobre as várias alternativas de que 
dispõe par as usar. Se usar as quatro unidades na produção de Y1 pode produzir 22 
unidades deste produto mas, se usar as quatro unidades na produção de Y2 pode 
produzir 36 unidades deste. Muitas outras combinações são possíveis entre estes dois 
extremos. Algumas dessas combinações, ou possibilidades de produção, para uma 
disponibilidade de quatro unidades de X estão representadas na Tabela 4-B. O mesmo 
 38
se fez para uma disponibilidade de sete unidades de X. Algumas das possibilidades de 
produção para esta nova situação estão representadas na Tabela 4-C. 
 
 
Tabela 4 – Determinação de Possibilidades de Produção a partir de duas funções de 
produção. 
 
A 
X Y1 X Y2
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
0 
7 
13 
18 
22 
25 
27 
28 
27 
25 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
0 
12 
22 
30 
36 
40 
42 
43 
43 
40 
 B C 
Possibilidades de 
Produção para X = 4 
Possibilidades de 
Produção para X = 7 
Y2 Y1 Y2 Y1
36 
30 
22 
12 
0 
0 
7 
13 
18 
22 
43 
42 
40 
36 
30 
22 
12 
0 
0 
7 
13 
18 
22 
25 
27 
28 
 
 
Na posse da informação disponibilizada pelas Tabelas 4-B e 4-C torna-se fácil construir, 
graficamente, as Curvas de Possibilidades de Produção. Para tanto há que recorrer a um 
sistema de dois eixos, representando um os valores de Y1 e o outro os valores de Y2, e 
nele marcar as combinações de Y1 e Y2 encontradas. Unindo os pontos assim 
determinados obtém-se então a Curva de Possibilidades de Produção. É o que se mostra 
na Figura 14. 
 
As Curvas de Possibilidades de Produção da Figura 14 representam todas as 
possibilidades de produção quando as disponibilidades de input X são de 4 ou de 7 
unidades. Todas as combinações representadas nas curvas devem ser consideradas 
aquando do planeamento da produção. Contudo, e obviamente, apenas uma das 
combinações poderá ser produzida. E essa deverá ser aquela que satisfaça os objectivos