apostila_topografia

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA 
COORDENADORIA DE ENSINO MÉDIO E TECNOLÓGICO 
COLÉGIO POLITÉCNICO DA UFSM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Topografia 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. M. Sc. Eng. Florestal Erni José Milani 
 
 
 
 
 
Santa Maria 
2009 
1 
 
 
 
1. APRESENTAÇÃO 
 
Esse material tem a finalidade de buscar um aprendizado prático da topografia, de 
maneira a oferecer aos interessados uma iniciação na área, por essa razão não será um documento 
completo e muitas explicações teóricas de certa forma ficaram um pouco prejudicadas, pois se não 
fosse dessa maneira o número de horas deveria em muito ser aumentado. 
Fica, portanto o alerta para que posteriormente o aluno continue a buscar aquelas 
informações complementares e necessárias. 
 
2. OPERAÇÕES TOPOGRÁFICAS 
 
As operações topográficas podem ser divididas em 4 etapas: 
Ä Levantamento: É quando se obtém as medidas angulares e lineares; 
Ä Cálculo: Transformação das medidas obtidas no levantamento em coordenadas, 
área e volume; 
Ä Desenho: É a etapa onde se faz a representação das coordenadas; 
Ä Locação: Confirmação no campo dos dados levantados e calculados. 
 
3. ÂNGULOS DA MENSURAÇÃO: 
 
Ä Horizontais; 
Ä Verticais. 
 
Ângulo: É dado pela diferença de direção entre duas retas que se encontram em um 
determinado ponto chamado de vértice. 
 
 
 
 
2 
 
3.1. Ângulo Horizontal: É o ângulo medido segundo o plano horizontal. 
Ä Sentido dos Ângulos Horizontais: Em mensuração, o sentido positivo de um 
ângulo horizontal é o sentido horário. 
 
 
 
3.2. Ângulo Vertical: É o ângulo medido segundo o plano vertical. 
Ä São 3 tipos de ângulos verticais: 
- Ângulo de altura ou de Inclinação Vertical (b); 
- Ângulo Zenital (Z); 
- Ângulo Nadiral (N). 
 
3.2.1. Ângulo de Altura: É o ângulo que vai da linha do horizonte, até a direção 
tomada. 
Ä É positivo quando contado acima da linha do horizonte; 
Ä É negativo quando contado para baixo do plano horizontal. 
 
 
 
3 
 
 
3.2.2. Ângulo Zenital 
É o ângulo que vai da linha do zênite, até a direção tomada. 
 
 
 
3.2.3. Ângulo Nadiral 
É o ângulo que vai da linha do Nadir, até a direção tomada. 
 
 
 
4. MEDIDA DA DISTÂNCIA 
A distância em topografia é sempre a projeção no plano. 
As distâncias em topografia podem ser medidas de quatro maneiras mais comuns. 
Ä Direta; 
ÄIndireta Taqueométrica; 
ÄIndireta Trigonométrica; 
Ä Eletrônica. 
4 
 
 
4.1. Distância Inclinada e Distância Horizontal 
 
)'(
)(.cos
Dhip
Dadjcat=b 
bcos'.DD = 
D ´= distância inclinada entre P e Q. 
D = distância horizontal entre P e Q. 
b = ângulo de altura da direção P e Q 
Então: bcos'.DD = ® Somente para pontos próximos, que se possa desconsiderar a 
curvatura da terra. 
 
4.2. Medida Direta da Distância: É a medida feita com o Diastímetro, de preferência 
leve e com boa resistência, os mais comuns são as trenas “fiber-glass”. Como com o diastímetro 
não temos o ângulo para reduzir ao horizonte, devemos tomar alguns cuidados, veja na figura. 
 
 
5 
 
 
4.2.1. Principais Erros na Medição Direta 
Ä Catenária 
Ä Inclinação do diastímetro 
Ä Inclinação das balizas 
Ä Erro de alinhamento 
 
4.3. Medida Indireta da Distância: 
4.3.1. Método Taqueométrico: 
É a medida feita nos fios estadimétricos do aparelho. 
Retículo: 
 
Ä No plano: 
 
6 
 
Na figura acima a’b’ = h ® distância que separa o retículo superior do inferior na ocular, 
mas que por fabricação geralmente vale 1/100 de f. 
f = distância focal da objetiva 
F = foco exterior da objetiva 
c = distância que vai do centro ótico do aparelho à objetiva 
C = c + f (constante do aparelho) = 0 
d = distância que vai do foco à mira 
AB = H = diferença da leitura superior e inferior 
M = leitura do retículo Médio 
A distância horizontal entre P e Q será: D = d + C 
Então: 
 
a’Fb’ @ AFB 
 
 
a b
f
AB
d
' '
= 
 
onde a’b’ = h E AB = H 
d . h = H . f 
 
e 
h
f
=
100
 
 
 
d
H f
h
=
.
 
à 
d
H f
f=
.
100
 
 
à d = H . f . 100 / f 
então: 
 
d = H . 100 
 
 
D = C + d D = H . 100 + C D = H . 100 
 
Dessa forma podemos determinar uma distância de modo indireto, mas no plano. 
7 
 
Ä Quando o terreno é inclinado: 
 
cos
. ( ' )
( )
b =
cat Adj A M
hip AM
 
A M AM' .cos= b B M BM' .cos= b 
 
)(cos''
cos.'
cos.'
b
b
b
BMAMMBMA
BMMB
AMMA
+=+
=
=
+
=
 
A’B’=AB(cos b) 
A’B’=H . cosb 
D’ = A’B’ . 100 + C 
D’ = H . cosb . 100 + C (= 0) 
 
D’ = H . 100 . cosb 
 
bb
b
b
cos.cos.100.
cos'.
'
cos
hD
DD
D
D
=
=
=
 
 
ou ZSenHD 2.100.= 
D = H . 100 . cos 2 b ou, ainda: NSenHD 2.100.= 
 
8 
 
 
Exercícios: 
a) Calcule a distância entre o ponto A e o ponto B, sendo que a diferença de leitura dos 
fios estadimétricos foi 1,25m e o ângulo de altura (b) = 10º15’00” 
b) Calcule a distância tendo as seguintes informações: 
Vért. LS LM Li Âng. Zenital Dist.(m) 
1 2,632 2,0 1,368 86º10’00” 
2 2,457 2,0 1,543 81º40’00” 
3 2,238 2,0 1,762 83º15’00” 
 
4.3.2. Método Trigonométrico 
Este método se baseia em visar com o fio nivelador a parte inferior da mira falante 
(régua) e anotar o ângulo zenital correspondente (Z1), posteriormente visar a parte mais superior 
possível da régua e também anotar o ângulo zenital correspondente (Z2). 
Obs: É recomendável mirar novamente a parte inferior da régua, porém sem repetir a 
mesma leitura, e anotar o ângulo zenital (Z3). Com isso é possível medir duas vezes a mesma 
distância. Os valores devem ser muito próximos, e sendo assim, é recomendável que se use a 
média aritmética entre eles. 
9 
 
 
Exemplo: 
LM1= 0,10 → Z 1 = 91º25’20” 
LM2= 3,90 → Z 2 = 87º04’40” 
LM3= 0,20 → Z 3 = 91º18’40” 
Cálculo 
m
gZgZ
LMLMaD 083,50
)024827559,0(051046668.0
10,090,3
1cot2cot
121 =
--
-
=
-
-
= 
m
gZgZ
LMLMbD 045,50
)0228872,0(051046668.0
20,090,3
3cot2cot
321 =
--
-
=
-
-
= 
mbDaDD 064,50
2
045,50083,50
2
111 =+=+= 
 
4.4. Medição Eletrônica da Distância: É a obtenção da distância através da medida do 
número de ondas com um determinado comprimento, ondas essas emitidas por um Distanciômetro 
e rebatidas por um prisma. Cada aparelho tem seu próprio manual para que possamos operá-los. 
 
 
10 
 
5. MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 
Os ângulos são medidos normalmente com teodolitos, mas podemos também deduzi-los 
quando conhecidos as distâncias do triângulo. 
 
5.1. Medição de Ângulo com Trena e Balizas: 
Através do teorema dos cossenos, temos: 
Ä Medidas dos lados do triângulo: 
 
 
a2 = b2 + c2 - 2bc * Cos A 
b2 = a2 + c2 - 2ac * Cos B 
c2 = a2 + b2 - 2ab * Cos C 
 
Exercício: Calcule os ângulos A, B e C do triângulo cujos lados são: 
AB = 23m, BC = 28 m e AC = 30m então: a = 28m, b = 30m e c = 23m. 
Isolando-se o ângulo temos: 
÷÷
ø
ö
çç
è
æ -+=
bc
acbArcCosA
2
222
 ÷÷
ø
ö
çç
è
æ -+=
23*30*2
282330 222ArcCosA A = 62°08’05,66” 
÷÷
ø
ö
çç
è
æ -+=
ac
bcaArcCosB
2
222
 ÷÷
ø
ö
çç
è
æ -+=
23*28*2
302328 222ArcCosB B = 71°17’51,47” 
÷÷
ø
ö
çç
è
æ -+=
ab
cbaArcCosC
2
222
 ÷÷
ø
ö
çç
è
æ -+=
30*28*2
233028 222ArcCosC C = 46°34’02,87” 
å ++= CBAAi å °= 180Ai 
 
 
6 ÂNGULOS TOPOGRÁFICOS NO PLANOHORIZONTAL: 
Os ângulos topográficos podem ser observados ou calculados, sendo que se entende 
como observados os ângulos medidos através de instrumentos no campo e os calculados aqueles 
deduzidos através de cálculo de escritório. 
 
11 
 
Os ângulos topográficos no plano horizontal podem ser: 
Ä Geométricos: - Internos; 
 - Deflexão; 
 - Irradiados. 
Ä Geográficos: - Azimute; 
 - Rumo. 
 
6.1 Ângulos Geométricos 
 
6.1.1 Ângulos Internos: São os ângulos voltados para dentro da poligonal fechada. 
Esses ângulos variam de zero à 360° e seu somatório em uma poligonal fechada deve ser 
igual a 180° ( n - 2 ), sendo n o número de vértices dessa poligonal. 
Resumindo: å Ai = 180° (n - 2) 
 
Porém ao medirmos os ângulos no campo estamos sempre sujeitos a cometer erros e 
como limite de tolerância para ângulos medidos com teodolitos usamos T= 1’ n , sendo n o 
número de vértices e T a tolerância. 
OBS.: Quando os levantamentos apresentam erros iguais ou menores do que a tolerância 
se faz a distribuição desses erros, e para erros acima desse limite, deve-se repetir a obtenção dos 
dados de campo. 
A distribuição pode ser de várias maneiras, o técnico pode usar aquela que julgue mais 
lógica. 
Indicaremos aqui uma maneira simples e rápida, que é compensar até um minuto por 
vértice, a partir do vértice que corresponde a menor distância. 
 
6.1.1.1 Método de Levantamento Planimétrico, com ângulos internos: 
O método de levantamento planimétrico que usa os ângulos internos é o caminhamento 
perimétrico. 
Esse método consiste em andarmos em todo o perímetro do polígono, medindo a 
distância horizontal de cada alinhamento e os ângulos internos de cada vértice. 
Por uma questão de comodidade andamos sempre no sentido anti-horário. 
12 
 
Para a orientação de nossa planta precisamos ainda medir pelo menos o azimute de um 
alinhamento. 
 
6.1.2 Ângulo de Deflexão: O ângulo de deflexão é aquele obtido a partir do 
prolongamento do alinhamento até o alinhamento seguinte, portanto podendo estar a direita ou 
esquerda, usados em poligonais abertas, porém para averiguação de sua precisão a poligonal terá 
que ser fechada. 
No caso de fecharmos a poligonal, os limites de tolerância bem como sua distribuição 
segue o que já apresentamos no capítulo anterior. 
Quando a poligonal for fechada saberemos que os ângulos foram bem medidos quando o 
S SAdD AdE¹ = °360 
 
6.1.3 Ângulos Irradiados: Os ângulos irradiados normalmente são medidos no campo de 
forma acumulada, zerando-se o aparelho somente no vértice 1, e medindo-se posteriormente nos 
demais vértices. 
 
6.1.3.1 Método de Levantamento Planimétrico, com ângulos irradiados: O método 
de levantamento planimétrico que usa os ângulos irradiados é a irradiação ou coordenadas polares. 
Esse método consiste em instalar o aparelho num ponto onde possamos enxergar todos 
os vértices. 
Zeramos o aparelho no primeiro vértice após medimos os demais vértices sempre da 
esquerda para direita, portanto no sentido horário. 
Medimos a distância do aparelho, até cada um dos vértices. 
Para a orientação de nossa planta, precisamos ainda medir pelo menos o azimute de um 
alinhamento. 
13 
 
 
 
6.2 Ângulos Geográficos 
 
6.2.1 Azimute: 
O azimute é o ângulo formado a partir do Norte até o alinhamento, contando sempre no 
sentido horário, varia de zero à 360° . 
OBS.: O azimute de um alinhamento deve vir do campo, os demais azimutes se calcula a 
partir dos ângulos geométricos 
 
 
6.2.2 Rumo: 
É o menor ângulo formado do Norte ou do Sul, o mais próximo, até o alinhamento, 
portanto contando no sentido horário ou anti-horário, varia de zero à 90° e deve sempre vir 
acompanhado das letras que lhe dão orientação. 
Assim: 
1o quadrante - R NE 
2o quadrante - R SE 
14 
 
3o quadrante - R SW 
4o quadrante - R NW 
Ø Por não ter tanta importância nesse trabalho, não aprofundaremos o assusto sobre 
Rumo, pois trabalharemos sempre com o azimute. 
 
 
7. DETERMINAÇÃO DO AZIMUTE NO CAMPO 
 
Ä Azimute magnético: A determinação do azimute magnético é possível através de uma 
bússola, a qual nos indica o Norte Magnético. 
Procedimento: Com a bússola acoplada ao teodolito instalado no vértice, direcionamos 
para o Norte e zeramos o aparelho, após visamos a baliza de vante e medimos o azimute. 
 
Ä Azimute verdadeiro: (Com uma visada ao sol). 
Procedimento: Com o teodolito instalado no vértice, zeramos o aparelho na baliza de 
vante, e após visamos o sol, tapando a objetiva para evitar riscos a retina, observar o ensinamento 
na prática. 
Da visada ao sol preenchemos a seguinte caderneta: 
 
Data: ______________ 
Hora legal da observação: ______________ 
Ângulo horizontal (a): ______________ 
Ângulo vertical (Z): ______________ 
Localização (latitude j): ______________ 
 
 
a = 90 + d d = declinação magnética 
 j = latitude 
b = 90 + j Z = ângulo zenital 
 
c = Z Manhã Þ Azq = A 
 Tarde Þ Azq = 360 - A 
A = Azq 
cos cos .cos sen .sen .cosA b c b c A= + 
15 
 
 
cos
cos cos .cos
sen .sen
A
a b c
b c
=
-
 (I) 
 
cos a = cos (90 + d) ou sen d 
cos b = cos (90 + j) ou sen j 
sen b = sen (90 + j) ou cos j 
 
cos c = cos Z 
sen c = sen Z 
 
Substituindo na expressão (I), temos: 
cos
sen sen .cos
cos .sen
A
d Z
Z
=
- j
j
 (II) 
OBS.: Como a latitude (j) é sempre negativa para o hemisfério sul, podemos usá-la como positiva 
e trocar o sinal da expressão (II), então: 
 
cos
sen (sen .cos )
cos .sen
A
d Z
Z
=
+ j
j
 
 
Az (1-2) = 360° - a + Azq Az (1-2) = 360° - a + Azq 
Quando o valor der maior que 360°, devemos subtrair 360° 
 
16 
 
Exemplo: 
Local: Itaara – RS 
Data: 12 / 01 / 96 
Hora: 17h 40min 
N = 113°05’00” 
a = 1°10’20” 
Latitude: 
1° ----- 6,8cm 
x ----- 4,0cm 
x = 0°35’17,65” 
j = 29°35’18” 
Ângulo Zenital: 
 
Z = 180 - N 
Z = 66°55’00” 
 
Declinação: 12 / 01 / 96 = - 21°47’24,4” 
 13 / 01 / 96 = -21°37’47,3” 
 ____________________ 
 Vd = 0°09’37,1” 
 
 Vh = Vd / 24 = 0°00’24,05” 
P2 
1) -21°37’47,03” 
2) -21°47’24,4” 
3) 17h 40min 
4) j = 29°35’18” 
5) Z = 66°55’00” 
6) a = 1°10’20” 
 
Az(1-2)= 616°09’49,91” - 360° 
 
Az (1-2) = 256°09’50” 
 
d = do + (Hl + F) . Vh 
d = -21°47’24,4” + (17h40min + 3h) . 0°00’24,05” 
d = -21°39’7,45 
cos
sen (sen .cos )
cos .sen
A
d Z
Z
=
+ j
j
 
 
cos
sen( ' , ") (sen ' ").cos( ' ")
cos( ' ").sen( ' ")
A =
- ° + ° °
° °
21 39 7 45 29 3518 66 5500
29 3518 66 55 00
 
 
A = 102°39’50” Þ Azq = 257°20’10” 
Az(1-2) = 360° - a + Azq 
Az(1-2) = 360° - 1°10’20” + 257°20’10” 
 
Az(1-2) = 256°09’50” 
 
OBS.: Essa maneira de determinarmos o azimute, através de uma visada ao sol, é apenas 
uma maneira prática de obter um valor aproximado, já que não se fez nenhuma correção. 
17 
 
Então poderemos melhorar esse resultado, procedendo de uma maneira mais efetiva, 
ainda que não precise totalmente, devido ao tipo de material disponível para ser usado. 
Procedimento: Devemos escolher uma mira o mais distante possível, que fique próxima 
ao horizonte e que se possa ter bem a certeza do ponto visado, pois faremos mais de uma visada e 
se a mira não for favorável, já é um fator de erro considerável. 
No mínimo devemos fazer duas observações, mas se quisermos ter mais certeza 
poderemos fazer quatro seis ou mais observações. 
Cada observação consta de visadas a mira e depois ao sol com a luneta na posição normal 
e invertida, e os valores a serem usados são os médios. 
Exemplo 1: Osdados foram obtidos na aula prática do curso de Técnico em Geomática do 
Colégio Politécnico da UFSM. 
Determinação do Azimute Verdadeiro. Método da Distância Zenital Absoluta do Sol 
Teodolito: T100-Leica precisão de 10” Temperatura: 7°c Latitude(Ф)= 29°43’18,03” S 
Data: 29/08/2007 Altitude = 88 m 
PRIMEIRA OBSERVAÇÃO 
LMD = 44°15’00” 
LMI =224°14’30” 
 
VISADA AO SOL 
Z’D = 61°47’10” 
Z’I = 299°25’40” 
LAD = 141°35’30” 
LAI = 320°19’50” 
HLD = 9 h16 m 38 s 
HLI = 9 h 23 m 20 s 
 
SEGUNDA OBSERVAÇÃO 
LMD = 287°23’20” 
LMI = 107°22’50” 
 
 
VISADA AO SOL 
Z’D = 59°57’20” 
Z’I = 300°39’20” 
LAD = 22°50’30” 
LAI = 202°10’10’ 
HLD = 9 h 26 m 37 s 
HLI = 9 h 30 m 03 s 
 
LMD – Leitura na mira com a luneta na 
posição direta 
LMI – Leitura da mira com a luneta na posição 
invertida 
Z’D – ângulo zenital com a luneta na posição 
direta 
Z’I – ângulo zenital com a luneta na posição 
invertida 
18 
 
LAD – Leitura no astro com a luneta na 
posição direta 
LAI – Leitura no astro com a luneta na 
posição invertida 
HLD – Hora legal quando foi feita a leitura no 
astro com a luneta na posição direta 
HLI – Hora legal quando foi feita a leitura no 
astro com a luneta na posição invertida 
1. Cálculo do Azimute com os dados da 
primeira observação: 
a) Cálculo das médias: 
a 1) Hora Legal 
2
HLIHLDHL += 
HL = 9 h 19 m 59 s 
a 2) Leitura na Mira: 
2
)180( LMDLMILM +±= 
2
"00'1544)180"30'14224( °+-°=LM 
LM = 44°14’45” 
a 3) Leitura no Astro: 
2
)180( LADLAILA +±= 
2
"30'35141)180"50'19320( °+-°
=LA 
LA = 140°57’40” 
a 4) Ângulo Zenital sem correção: 
2
')'360(' DZIZZ +-= 
2
"10'4761)"40'25299360(' °+°-=Z 
Z’ = 61°10’45” 
b) Cálculo do ângulo entre a mira e o astro: 
α = LA – LM 
α = 96°42’55” 
c) Cálculo da Declinação Magnética (δ): 
Do anuário astronômico retiramos as 
seguintes informações: 
Declinação do dia 29 = + 9°34’9,1” 
Declinação do dia 30 = + 9°12’’50,9” 
Variação diária = - 0°21’18,2” 
Variação horária = -0°0’53,26” 
δ = δ0 + ( HL + Fuso) . Vh 
δ = + 9°23’12,26” 
 
CORREÇÕES: 
d) Correção da Distância Zenital Absoluta: 
Z = Z’ + R – P 
d ) Refração: 
R = Rm . P’.T’ 
d 1.1) Refração média: 
Rm = 60,37 TgZ’ – 0,067 Tg3 Z’ 
Rm = 0°1’49,32” 
 
d 1.2) Fator de correção da pressão: 
Por falta de instrumento para medir a 
pressão 
Vamos nos valer de um cálculo empírico, 
ou seja, descontar a cada 11 metros de altitude 
1mm, dos 760mm hg do nível do mar, então: 
 
19 
 
Altitude de 88 metros descontaríamos 8mm, 
assim: 
760-8 = 752 
760
' PP = 
760
752'=P P’ = 0,98947368 
 
d 1.3) Fator de correção da temperatura: 
T
T
00384,01
1'
+
= T’ = 0,973823621 
Então a Refração fica: 
R = Rm.P’.T’ R = 0°1’45,33” 
 
d 2) PARALAXE: 
.).(.
7940586,8
auAterraDist
PO = 
0100524,1
7940586,8
=OP P0 = 8,71” 
P = P0 . SenZ’ P = 0°0’7,63” 
Então o Ângulo Zenital corrigido fica: 
Z = Z’ + R – P Z = 61°12’22,71” 
 
e) Cálculo do Azimute do Astro. 
)
.
.(
SenZCos
CosZSenSenArcCosA
f
fd +
= 
A = 58°07’29,72” 
AZSOL = A ( Manhã ) 
 
f) Cálculo do Azimute da Mira: 
AZMIRA = 360 – α + AZSOL 
 
AZMIRA = 321°24’34,7” 
 
2. Cálculo do Azimute com os dados da 
segunda observação: 
a) Cálculo das médias: 
a 1) Hora Legal 
2
HLIHLDHL += 
HL = 9 h 28 m 20 s 
a 2) Leitura na Mira: 
2
)180( LMDLMILM +±= 
2
"20'23287)180"50'22107( °++°=LM 
LM = 287°23’05” 
a 3) Leitura no Astro: 
2
)180( LADLAILA +±= 
2
"30'5022)180"10'10202( °+-°=LA 
LA = 22°30’20” 
a 4) Ângulo Zenital sem correção: 
2
')'360(' DZIZZ +-= 
2
"20'5759)"20'39300360(' °+°-=Z 
Z’ = 59°39’00” 
 
b) Cálculo do ângulo entre a mira e o astro: 
α = LA – LM 
α = 95°07’15” 
20 
 
c) Cálculo da Declinação Magnética( δ ): 
Do anuário astronômico retiramos as 
seguintes informações: 
 
Declinação do dia 29 = + 9°34’9,1” 
Declinação do dia 30 = + 9°12’50,9” 
Variação diária = - 0°21’18,2” 
Variação horária = -0°0’53,26” 
δ = δ0 + ( HL + Fuso) . Vh 
δ = + 9°23’04,85” 
 
CORREÇÕES: 
d) Correção da Distância Zenital Absoluta: 
Z = Z’ + R – P 
d 1) Refração: 
R = Rm . P’.T’ 
d 1.1) Refração média: 
Rm = 60,37 TgZ’ – 0,067 Tg3 Z’ 
Rm = 0°1’42,77” 
 
d 1.2) Fator de correção da pressão: 
pela altitude 760-8 = 752 
760
' PP = 
760
752'=P P’ = 0,98947368 
 
 
 
d 1.3) Fator de correção da temperatura: 
T
T
00384,01
1'
+
= T’ = 0,973823621 
Então a Refração fica: 
R = Rm.P’.T’ R = 0°1’39,03” 
 
d 2) PARALAXE: 
.).(.
7940586,8
auAterraDist
PO = 
0100524,1
7940586,8
=OP P0 = 8,71” 
P = P0 . SenZ’ P = 0°0’7,51” 
Então o Ângulo Zenital corrigido fica: 
Z = Z’ + R – P Z = 59°40’31,51” 
 
e) Cálculo do Azimute do Astro. 
)
.
.(
SenZCos
CosZSenSenArcCosA
f
fd +
= 
A = 56°31’58,88” 
AZSOL = A ( Manhã ) 
 
f) Cálculo do Azimute da Mira: 
AZMIRA = 360 – α + AZSOL 
 
AZMIRA = 321°24’43,8” 
 
AZMÉDIO = 321°24’39,2” 
 
Exemplo 2: Os dados foram obtidos na aula prática do curso de Técnico em Geomática do 
Colégio Politécnico da UFSM, em 2005. 
Determinação do Azimute Verdadeiro. Método da Distância Zenital Absoluta do Sol 
 21 
Teodolito: T100-Leica precisão de 10” Temperatura: 38°c Latitude(Ф)= 29°43’18,6” S 
Data: 21/11/2005 Altitude = 88 m 
 
PRIMEIRA OBSERVAÇÃO 
LMD = 67°24’40” 
LMI =247°24’40” 
 
VISADA AO SOL 
Z’D = 39°42’10” 
Z’I = 319°10’40” 
LAD = 339°40’00” 
LAI = 159°00’10” 
HLD = 15 h12 m 55 s 
HLI = 15 h 17 m 03 s 
 
SEGUNDA OBSERVAÇÃO 
LMD = 186°25’20” 
LMI = 06°25’20” 
 
VISADA AO SOL 
Z’D = 41°29’50” 
Z’I = 317°46’50” 
LAD = 97°35’30” 
LAI = 277°05’40’ 
HLD = 15 h 20 m 06 s 
HLI = 15 h 24 m 36 s 
 
LMD – Leitura na mira com a luneta na 
posição direta 
LMI – Leitura da mira com a luneta na posição 
invertida 
Z’D – ângulo zenital com a luneta na posição 
direta 
Z’I – ângulo zenital com a luneta na posição 
invertida 
LAD – Leitura no astro com a luneta na 
posição direta 
LAI – Leitura no astro com a luneta na 
posição invertida 
HLD – Hora legal quando foi feita a leitura no 
astro com a luneta na posição direta 
HLI – Hora legal quando foi feita a leitura no 
astro com a luneta na posição invertida 
 
1. Cálculo do Azimute com os dados da 
primeira observação: 
a) Cálculo das médias: 
a 1) Hora Legal 
2
HLIHLDHL += 
HL = 15 h 14 m 59 s 
a 2) Leitura na Mira: 
2
)180( LMDLMILM +±= 
2
"40'2467)180"40'24247( °+-°=LM 
LM = 67°24’40” 
a 3) Leitura no Astro: 
2
)180( LADLAILA +±= 
 22 
2
"00'40339)180"10'00159( °++°
=LA 
LA = 339°20’05” 
a 4) Ângulo Zenital sem correção: 
2
')'360(' DZIZZ +-= 
2
"10'4239)"40'10319360(' °+°-=Z 
Z’ = 40°15’45” 
 
b) Cálculo do ângulo entre a mira e o astro: 
α = LA – LM 
α = 271°55’25” 
 
c) Cálculo da Declinação Magnética( δ ): 
Do anuário astronômico retiramos as 
seguintes informações: 
Declinação do dia 21 = - 19°53’9,88” 
Declinação do dia 22 = - 20°06’16,27” 
Variação diária = - 0°13’6,39” 
Variação horária = - 0°0’32,77” 
δ = δ0 + ( HL + Fuso) . Vh 
δ = - 20°03’7,85” 
 
CORREÇÕES: 
d) Correção da Distância Zenital Absoluta: 
Z = Z’ + R – P 
d 1) Refração: 
R = Rm . P’.T’ 
d 1.1) Refração média: 
Rm = 60,37 TgZ’ – 0,067 Tg3 Z’ 
Rm = 0°0’51,09” 
 
d 1.2) Fator de correção da pressão: 
Por falta de instrumentopara medir a 
pressão 
Vamos nos valer de um cálculo empírico, 
ou seja, descontar a cada 11 metros de altitude 
1 mm, dos 760 mm hg do nível do mar, então: 
Altitude de 88 metros descontaríamos 8 
mm, assim: 
760-8 = 752 
760
' PP = 
760
752'=P P’ = 0,989473684 
 
d 1.3) Fator de correção da temperatura: 
T
T
00384,01
1'
+
= T’ = 0,872661267 
Então a Refração fica: 
R = Rm.P’.T’ R = 0°0’44,11” 
 
d 2) PARALAXE: 
.).(.
7940586,8
auAterraDist
PO = 
Dist.à terra = 0,987696 u.a. 
1 u.a.= 149,6 milhões de Km 
987696,0
7940586,8
=OP P0 = 8,90” 
P = P0 . SenZ’ P = 0°0’5,75” 
Então o Ângulo Zenital corrigido fica: 
Z = Z’ + R – P Z = 40°16’23,36” 
 
 
 
 23 
e) Cálculo do Azimute do Astro. 
)
.
.(
SenZCos
CosZSenSenArcCosA
f
fd +
= 
A = 86°23’5,7” 
AZSOL = 360 - A ( Tarde ) 
AZSOL = 273° 36’54,3” 
 
f) Cálculo do Azimute da Mira: 
AZMIRA = 360 – α + AZSOL 
 
AZMIRA = 1°41’29,3” 
2. Cálculo do Azimute com os dados da 
segunda observação: 
a) Cálculo das médias: 
a 1) Hora Legal 
2
HLIHLDHL += 
HL = 15 h 22 m 21 s 
a 2) Leitura na Mira: 
2
)180( LMDLMILM +±= 
2
"20'25186)180"20'256( °++°=LM 
LM = 186°25’20” 
 
a 3) Leitura no Astro: 
2
)180( LADLAILA +±= 
2
"30'3597)180"40'05277( °+-°
=LA 
LA = 97°20’35” 
a 4) Ângulo Zenital sem correção: 
2
')'360(' DZIZZ +-= 
2
"50'2941)"50'46317360(' °+°-=Z 
Z’ = 41°51’30” 
 
 
b) Cálculo do ângulo entre a mira e o astro: 
α = LA – LM 
α = 270°55’15” 
 
c) Cálculo da Declinação Magnética( δ ): 
Do anuário astronômico retiramos as 
seguintes informações: 
Declinação do dia 21 = - 19°53’9,88” 
Declinação do dia 22 = - 20°06’16,27” 
Variação diária = - 0°13’6,39” 
Variação horária = -0°0’32,77” 
δ = δ0 + ( HL + Fuso) . Vh 
δ = - 20°03’11,88” 
 
CORREÇÕES: 
d) Correção da Distância Zenital Absoluta: 
Z = Z’ + R – P 
d 1) Refração: 
R = Rm . P’.T’ 
d 1.1) Refração média: 
Rm = 60,37 TgZ’ – 0,067 Tg3 Z’ 
Rm = 0°0’54,04” 
 24 
 
d 1.2) Fator de correção da pressão: 
pela altitude 760-8 = 752 
760
' PP = 
760
752'=P P’ = 0,989473684 
 
 
d 1.3) Fator de correção da temperatura: 
T
T
00384,01
1'
+
= T’ = 0,872661267 
Então a Refração fica: 
R = Rm.P’.T’ R = 0°0’46,66” 
d 2) PARALAXE: 
.).(.
7940586,8
auAterraDist
PO = 
987696,0
7940586,8
=OP P0 = 8,9036” 
P = P0 . SenZ’ P = 0°0’5,94” 
Então o Ângulo Zenital corrigido fica: 
Z = Z’ + R – P Z = 41°52’10,72” 
 
e) Cálculo do Azimute do Astro. 
)
.
.(
SenZCos
CosZSenSenArcCosA
f
fd +
= 
A = 87°23’56,67” 
AZSOL = 360 - A (Tarde ) 
AZSOL = 272°36’3,33” 
 
f) Cálculo do Azimute da Mira: 
AZMIRA = 360 – α + AZSOL 
 
AZMIRA = 1°40’48,33” 
 
 
AZMÉDIO = 1°41’08,81” 
 
Após determinarmos o azimute de um alinhamento no campo, calculamos os demais: 
 
8. AZIMUTES - ÂNGULOS INTERNOS 
 
A determinação do azimute a partir dos ângulos internos já compensados se procede da 
seguinte maneira: 
 25 
 
212 180 AiAZAZ +°+= 
 
°++= - 180)1( nnn AiAZAZ 
 
212 180 AiAZAZ +°+= 
 
°++= - 180)1( nnn AiAZAZ 
 
Genericamente: Az (n) = Az (n-1) + Ai (n) ± 180° 
Então quando somarmos o azimute anterior com o ângulo interno do vértice e o valor for 
menor do que 180° soma-se 180°; quando essa soma for maior que 180°, subtraímos 180°. 
 26 
OBS.: Caso a soma seja superior a 540° (o que, às vezes, é possível), ao invés de diminuirmos 
180°, devemos diminuir 540°, pois senão o azimute calculado ficará com um valor acima de 360°, 
o que não existe. 
 
Exemplo: O exemplo a ser usado aqui foi levantado em aula prática e trabalharemos até o cálculo 
da área. 
 
V Ai Lidos Ai Comp. Azimutes Dist. (m) 
1 90°21’40” 90°22’40” 81°18’10” 192,20 
2 116°55’35” 116°55’40” 18°13’50” 202,13 
3 115°40’30” 115°41’30” 313°55’20” 90,83 
4 128°53’40” 128°53’40” 262°49’00” 230,81 
5 88°06’30” 88°06’30” 170°55’30” 258,29 
 539°57’55’ 540°00’00” 974,26 
 
S Ai = 180° (n - 2) 
S Ai = 540° 
T n= ¢1 
T = ¢1 5 
T = 0°02’14” 
ERRO = 540° - 539°57’55” 
ERRO = 0°02’05” 
 
Obs: Cálculo dos ângulos internos: conhecido o azimute 
Anti-horário → Ain = (180-Azn-1)+Azn 
Horário → Ain = (180+Azn-1)-Azn 
 
8.1 Prova do Cálculo do Azimute 
Basta, com o último azimute calculado e com o primeiro ângulo interno, recalcularmos o 
primeiro azimute, tendo este que ter o valor igual ao primeiro azimute calculado. 
 
 
 
 
 27 
9. AZIMUTES - ÂNGULOS DE DEFLEXÃO 
 
A determinação do Azimute a partir dos ângulos de deflexão pode ser em poligonais 
abertas ou fechadas, pois o cálculo é o mesmo, assim: 
 
 
Então, de forma genérica podemos dizer que: 
Az (n) = Az (n - 1) + Ad D 
Az (n) = Az (n - 1) - Ad E 
 
OBS.: Aqui também devemos ter o cuidado, pois pode a soma ultrapassar a 360°, e nesse caso, 
após somado, se diminui 360°. Também pode ocorrer que na subtração o valor fique negativo, e 
nesse caso soma-se 360°. 
 
Exemplo: Esse exemplo foi medido em aula prática e trabalharemos o cálculo até a área do 
polígono. 
 28 
Essa poligonal usada no exemplo é fechada, pois só desta forma podemos avaliar os erros 
contidos, o que não seria possível se a poligonal fosse aberta. 
 
V Deflex. lidas Deflex. Comp. Azimutes Dist. (m) 
1 89°19’45” E 89°19’45” E 124°27’30” 206,50 
2 91°54’35”E 91°54’25”E 32°33’05’ 137,65 
3 47º38’50” E 47º38’50” E 344°54’15” 196,06 
4 1°39’40” E 1°38’40” E 343°15’35” 71,90 
5 129°28’20” E 129°28’20” E 213°47’15” 310,09 
 360°01’10” 360°00’00” 922,20 
 
S dE = 360°01’10” 
S dD = 0°00’00” 
¹ = 360°01’10” 
ERRO = 0°01’10” 
T n= ¢1 
T = ¢1 5 
T = 0°02’14” 
 
9.1 Prova do Cálculo do Azimute 
Com o valor do último azimute calculado e com o primeiro ângulo de deflexão, recalcular 
o primeiro azimute. O valor terá que ser o mesmo. 
 
 
10. AZIMUTES - ÂNGULOS IRRADIADOS 
 
A determinação do azimute a partir de ângulos irradiados de forma cumulativa ocorre da 
seguinte maneira: somando sempre o azimute do primeiro elemento com o ângulo irradiado 
acumulado, já que ambos são para o mesmo calculado. 
Da mesma forma, como já explicado, pode passar de 360°, e aí basta que se diminua 
360°. 
 
 
 
 29 
Exemplo: Esse exemplo foi medido em aula prática e trabalharemos o cálculo até a área do 
polígono. 
V Âng. irrad. Azimutes Ls Lm Li Zenital 
1 0°00’00” 155°20’30” 2,732 2,00 1,268 93°10’40” 
2 63°20’40” 218°41’10” 2,416 2,00 1,584 86°27’35” 
3 124°50’10” 280°10’40” 2,544 2,00 1,456 87°13’30” 
4 188°30’20” 343°50’50” 2,816 2,00 1,184 92°10’40” 
5 250°10’20” 45°31’20” 2,365 2,00 1,635 94°18’30” 
6 305°40’30” 101°01’00” 2,482 2,00 1,518 95°14’50” 
 
Posteriormente calcularemos a distância e a área dessa poligonal fechada. 
 
11. CÁLCULO DAS PROJEÇÕES E COORDENADAS 
 
Inicialmente devemos definir projeção e coordenada. 
Projeção x (Px) Þ É dado pelo rebatimento do alinhamento sobre o eixo cartesiano X. 
Projeção y (Py) Þ É dado pelo rebatimento do alinhamento sobre o eixo cartesiano Y. 
 
Coordenada X ( abcissa) Þ É a distância que vai do centro do sistema de eixos 
cartesianos até o ponto, sobre o eixo X. 
Coordenada Y ( ordenada) Þ É a distância que vai do centro do sistema de eixos 
cartesianos até o ponto, sobre o eixo Y. 
 
 
D A’ B’ = Projeção x ( Px) 
D A” B” = Projeção y (Py) 
D 0 A’ = Coordenada X, abcissa de A (XA) 
D 0 B’ = Coordenada X, abcissa de B (XB) 
D 0 A” = Coordenada Y, ordenada de A 
(YA)D 0 B” = Coordenada Y, ordenada de B (YB) 
 
 30 
Como vemos: 
XB – XA = Px ou XB = XA + Px 
YB – YA = Py ou YB = YA + Py 
 
 
Px = sen Az . d Py = cos Az . d 
 
OBS.: Quando conhecemos as coordenadas, podemos calcular os azimutes e as distâncias, assim: 
 - Azimute: 
TgA
XB XA
YB YA
TgA
Px
Py
A arcTg
Px
Py
' ' '=
-
-
\ = \ = 
( XB - XA) Px ( YB - YA) Py AZIMUTE 
+ + A’ 
+ - A’ + 180° 
- - A’ + 180° 
- + A’ + 360° 
 
 - Distância: 
D X X Y YAB B A B A= - + -( ) ( )
2 2 , Teorema de Pitágoras. 
D Px PyAB = +
2 2 
 31 
11.1.1 Exemplos de Cálculo de Projeções e Análise do Erro por Quilômetro 
Retornando o exemplo da página anterior, cujos dados foram medidos por caminhamento 
perimétrico e já calculamos os azimutes, então: 
 
 Projeções Calculadas 
 Sobre o eixo x (sen Az . d) Sobre o eixo y (cos Az . d) Correções Proj. Compensadas 
Vert E (+) W (-) N (+) S (-) Dx Dy Px Py 
1 189,99 - 29,06 - 0,15 -0,01 190,14 29,05 
2 63,23 - 191,98 - 0,05 -0,04 63,28 191,94 
3 - 65,42 63,01 - 0,05 -0,01 - 65,37 63,00 
4 - 229,00 - 28,86 0,18 -0,01 - 228,82 - 28,87 
5 40,74 - - 255,06 0,03 -0,06 40,77 - 255,12 
 293,96 294,42 284,05 283,92 0,46 -0,13 0,00 0,00 
 Ex = - 0,46 Ey = 0,13 
 
A soma algébrica das projeções de cada eixo tem que ser igual a zero. 
Erro Linear El Ex Ey El m= + \ =2 2 0 478016736, 
Erro por Quilometro Ek
El
L
Ek
m
km
Ek m km= \ = \ =
0 478016736
0 97426
0 49
,
,
, / 
Obs: O CREA permite o seguinte limite de erro para levantamentos planimétricos. 
Até 1 m/ Km Þ para terrenos planos 
Até 2 m/ Km Þ para terrenos semi-planos 
Até 3 m/ Km Þ para terrenos inclinados 
Estando o levantamento dentro do limite de tolerância devemos fazer a compensação, e 
aqui faremos uma compensação proporcional ao tamanho das projeções, assim: 
 
Coeficiente de Correção 
Ä Para X: 
Ccx
Ex
px
Ccx= \ =
+
=
S
0 46
293 96 294 42
0 0007818076753
,
, ,
, 
 32 
A correção de X será o Ccx, multiplicado por cada projeção X ( veja na tabela), com o 
valor contrário ao sinal do erro. 
Ä Para Y: 
Ccy
Ey
py
Ccy= \ =
+
=
S
0 13
284 05 283 92
0 0002288853285
,
, ,
, 
Procedemos da mesma forma de X. 
Após calculado as correções procedemos as compensações, bastando para isso realizar 
uma soma algébrica entre a correção e sua projeção. 
 
11.2 Cálculo das Coordenadas: 
A coordenada X ( abscissa) Por definição é a distância que vai do centro do sistema de 
eixo cartesiano até o ponto, sobre o eixo X. 
A coordenada Y ( ordenada) Por definição é a distância que vai do centro do sistema de 
eixo cartesiano até o ponto, sobre o eixo Y. 
 
11.2.1 Cálculo das coordenadas a partir das projeções: 
Após conhecermos as projeções compensadas dos alinhamentos, portanto sem mais erros 
de campo, podemos calcular as coordenadas dos vértices. Se não conhecemos o valor das 
coordenadas do vértice inicial, devemos atribuir um valor de coordenadas locais, que normalmente 
é zero, assim: 
X ( n + 1) = Xn + Pxn e Y ( n + 1) = Yn + Pyn 
 Coordenadas 
Vert Abcissas ( X ) Ordenadas ( Y ) 
1 0.00 0.00 
2 190.14 29.05 
3 253.42 220.99 
4 188.05 283.99 
5 - 40.77 255.12 
 590,84 789,15 
 x2 x2 
 1181,68 1578,30 
 33 
Cálculo das Projeções e Coordenadas: 
Exercícios: 
Para consolidarmos bem o que vimos no capítulo anterior, vamos exercitar usando o 
exemplo da página anterior, cuja poligonal foi levantada por deflexão. 
 Projeções calculadas 
 Px (sen Az . d) Py (cos Az . d) Correções Proj. Comp. Coordenadas 
V E (+) W (-) N (+) S (-) Dx Dy Px Py X Y 
1 170,27 - - 116,84 -0,04 0,06 170,23 -116,78 0,00 0,00 
2 74,06 - 116,03 - -0,02 0,06 74,04 116,09 170,23 -116,78 
3 - 51,06 189,29 - -0,01 0,10 - 51,07 189,39 244,27 - 0,69 
4 - 20,71 68,85 - -0,00 0,04 - 20,71 68,89 193,20 188,70 
5 - 172,45 - 257,72 -0,04 0,13 -172,49 -257,59 172,49 257,59 
 244,33 244,22 374,17 374,56 -0,11 0,39 0,00 0,00 780,19 328,82 
 Ex = + 0,11 Ey = - 0,39 x2 x2 
 Ek = 0,44 m/km 1560,38 657,64 
 
11.2.2 Cálculo das Coordenadas no Levantamento por Irradiação: 
Observe que no caso da irradiação se as coordenadas planimétricas da Estação forem 
(0; 0) o valor da projeção será igual ao da coordenada, então: 
X = (Px = Sen Az * d) 
Y = (Py = Cos Az * d) 
Vamos calcular as coordenadas do exemplo da página anterior, porém antes teremos que 
calcular a distância, relembrando a fórmula: 
 
D= H * 100 * Cos2 b 
Ou 
D= H * 100 * Sen2 Z 
 
 
 
 34 
Vértice Azimute Dist. (m) X Y 
1 155°20’30” 145,95 60,89 - 132,64 
2 218°41’10” 82,88 - 51,80 - 64,69 
3 280°10’40” 108,54 - 106,83 19,18 
4 343°50’50” 162,96 - 45,34 156,53 
5 45°31’20” 72,59 51,79 50,86 
6 101°01’00” 95,59 93,83 - 18,27 
 
12. CÁLCULO DA ÁREA 
 
A área pode ser calculada de várias maneiras, aqui veremos três métodos, os mais 
importantes: 
Ä Método trigonométrico 
Ä Método analítico por Sarrus 
Ä Método analítico por Gauss 
 
12.1 Trigonométrico: 
Vejamos a área de algumas figuras conhecidas: 
 
 
 
 
Quadrado 
A = L2 
Retângulo 
A = b * h 
Triângulo retângulo 
2
* hbA = 
Triângulo qualquer 
 
Ä Triângulo Qualquer: Nesse caso devemos encontrar antes o valor da altura (h), que é 
dada por: 
11
1
*
)(
)(. senipdh
dhipotenusa
hopostocatsenip =\= 
Substituindo na fórmula anterior, temos: 
2
..
2
* 112 senipddhbA \= 
 35 
 
2
.. 121 senipddA = 
Pelo somatório de todos os triângulos, teremos a área do polígono, assim: 
AP= S AT 
 
Exemplo: Vamos calcular a área da irradiação anterior 
 
V Irrad. Parc.(ip) Dist. (M) Duplas Áreas (DA) 
1 63°20’40” 145,95 10810,73 
2 61°29’30” 82,88 7905,03 
3 63°40’10” 108,54 15852,58 
4 61°40’30” 162,96 10412,95 
5 55°29’40” 72,59 5718,13 
6 54°19’30” 95,59 11333,22 
 
12.2 Cálculo Analítico - Sarrus 
Esse é um método matricial, no qual temos, através das coordenadas X e Y, uma matriz 
de 2° ordem e pelo algoritmo de Sarrus podemos determinar a área, assim: 
 
 X Y 
1* +nn XY X1 Y1 1* +nn YX 
Y1*X2 X2 Y2 X1*Y2 
Y2*X3 X3 Y3 X2*Y3 
.. .. .. .. 
.. Xn Yn .. 
Yn*X1 X1 Y1 Xn*Y1 
S 1 = S 2 = 
2
1 2å å-=A 
quando, os pontos 
estão no sentido 
horário 
 
 
 
 
DA = 62032,65 ¸ 2 
 
A = 31016,33 m2 ou 
 
3ha 10a 16ca 
 36 
 
Exemplo: Vamos calcular a área do mesmo exercício da irradiação anterior. 
 
 X Y 
1* +nn XY 60,89 - 132,64 1* +nn YX 
6870,7520 - 51,80 - 64,69 -3938,9741 
6910,8327 - 106,83 19,18 -993,524 
- 869,6212 - 45,34 156,53 -16722,0999 
8106,6887 51,79 50,86 -2305,9924 
4772,1938 93,83 - 18,27 -946,2033 
- 1112,4603 60,89 - 132,64 -12445,6112 
 
S1 = 24678,3857 S2 = -37352,4049 
 
2
1 2å å-=A 
A = 31015,3953 m2 ou 
A = 3ha 10a 15ca 
 
A área calculada por Sarrus não da exatamente o mesmo resultado do que o método 
trigonométrico, por que as coordenadas foram arredondadas. 
Se calcularmos essa mesma poligonal pelo método analítico de Gauss, dará exatamente o 
mesmo resultado, do encontrado pelo método de Sarrus. 
 
12.3 Cálculo Analítico - Gauss 
No método analítico de Gauss, a área de um polígono irregular, é determinada pelo 
somatório das áreas dos trapézios que ele forma, sendo que as bases são dadas pelas coordenadas, 
e as alturas pelas projeções do eixo contrário. Assim: 
 
 37 
A1= 1 1” Py1 = 1” 2” 
A2= 2 2” E Py2 = 2” 3” 
A3= 3 3”Py3 = 3” 4” 
A4= 4 4” Py4 = 4” 1 
2AT1= (A1 + A2) . Py1 
2AT2 = (A2 + A3) . Py2 
2AT3 = (A3 + A4) . Py3 
2AT4 = (A4 + A1) . Py4 
 
 
Podemos observar que onde houve sobreposição, o cálculo ora foi positivo e ora foi 
negativo, portanto se anulando, restando apenas à área do polígono. Poderíamos demonstrar a 
área negativa a qual serve de prova para o cálculo, mas isso deixaremos para explicar em sala de 
aula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 38 
Exemplo: Vamos usar como exemplo uma poligonal levantada por caminhamento perimétrico, e 
que já calculamos as projeções e coordenadas anteriormente, assim: 
 Proj. compensadas Coordenadas(bases) S X D. áreas S Y D. áreas 
V Px Py X Y base+base base+base 
1 190,14 29,05 0,00 0,00 190,14 5523,567 29,05 5523,567 
2 63,28 191,94 190,14 29,05 443,56 85136,9064 250,04 15822,5312 
3 -65,37 63,00 253,42 220,99 441,47 27812,61 504,98 -33010,5426 
4 -228,82 -28,87 188,05 283,99 147,28 -4251,9736 539,11 -123359,1502 
5 40,77 -255,12 -40,77 255,12 -40,77 10401,2424 255,12 10401,2424 
 0,00 0,00 590,84 789,15 1181,68 124622,3522 1578,30 -124622,3522 
 x 2 x 2 
 1181,68 1578,30 
A= 62311,1761 m2 
A= 6ha 23a 11ca 
13. DESENHO DA POLIGONAL CALCULADA 
 
Para fazermos a representação de nossa poligonal, vamos nos basear nos valores das 
coordenadas (X e Y). 
Teremos que estabelecer uma boa relação entre os valores a serem representados e o 
tamanho do papel disponível. 
Essa relação chama-se de ESCALA, no caso escala de redução. 
A escala é sempre representada com a unidade no numerador e o fator de redução no 
denominador, assim: E
M
=
1
 mas também é a relação entre os valores no desenho e seus 
correspondentes no campo, então: E
d
D
= , portanto, podemos dizer que: 
1
M
d
D
= onde, M e o 
fator de redução; d valor desenho e D o valor correspondente no campo. 
 
 
 
 
 39 
Formatos de papel segundo a ABNT 
 formato A4 210 x 297 
 formato A3 420 x 297 
 formato A2 420 x 594 
 formato A1 841 x 594 
 formato A0 841 x 1189 
Devemos escolher o formato de papel, mas não esquecendo de deixar espaço para as 
margens e para a legenda. 
Após basta somarmos o maior valor positivo e o maior valor negativo das coordenadas, 
tanto para X como para Y, e dividirmos pelo papel útil também para o eixo X e para o eixo Y, 
com isso teremos o valor de redução. Devemos escolher o maior fator de redução como base para 
a nossa escala, assim: 
Exemplo: 
1420
2,0
099,283
1839
16,0
77,4042,253
=
+
=
\=
+
=
My
Mx
 
Como usamos valores inteiros, neste caso a escala recomendada é 1:2000. 
 
 40 
 
 
 41 
Obs: O desenho normalmente é feito em papel milimetrado, como rascunho e depois passado a 
limpo com nanquim numa folha transparente, o que servirá de matriz para as cópias heliográficas, 
as quais devem ser assinadas e junto com o memorial descritivo ser entregues ao proprietário. 
 
14. MEMORIAL DESCRITIVO 
Ä Objetivo: Esse memorial destina-se a descrever de forma sucinta o lote de terras, 
pertencentes a Mário de Almeida, localizada no distrito de Camobi, cidade de Santa Maria -RS. 
 
Ä Descrição: Uma fração de terras de campos e matos, sem benfeitorias, situado no 
lugar denominado Camobi na cidade de Santa Maria -RS, com área superficial de 62311 m2 ou 6 
ha, 23 a, 11ca, com as seguintes medidas e confrontações gerais: Ao Norte uma linha reta por 
cerca, 230,63 metros com terras de propriedade de João da Silva; Ao Sul uma linha reta por 
cerca, 192,35 metros com a estrada rural de São Geraldo que leva a Camobi; Ao Leste uma linha 
quebrada por cerca, 202,10 metros, mais 90,79 metros com terras de José Londero e Ao Oeste 
uma linha reta, 258,36 metros com terras de propriedade de Manoel de Oliveira. Proprietário: 
Mário de Almeida, brasileiro, casado, agricultor, portador do CPF n° 1050235-00, residente e 
domiciliado em Santa Maria, Rua Silva Jardim n° 11. 
 
Ä Conclusão: Além da descrição do referido imóvel acompanha uma planta topográfica, 
a qual tem por finalidade auxiliar na elucidação dos detalhes acima descritos. 
 
Santa Maria, 26/01/2008 
 
 
Técnico Responsável 
Engº florestal Erni José Milani 
CREA 29993 
 
 
 
 
 42 
15. MÉTODOS COMBINADOS 
Na medição de área o que mais nos utilizamos são dos métodos combinados pois assim 
podemos utilizar as vantagens de cada um. 
Na prática o que nos da a garantia de conferir nosso trabalho é o método de 
caminhamento perimétrico, porém esse método na maioria das vezes não nos permite andar sobre 
a divisa, porque nela há cercas ou mesmo sangas, portanto se para a área extra-poligonal, 
utilizarmos a irradiação conseguiremos uma maior eficiência. 
Outro caso típico é o levantamento com a estação total, nesse caso para potencializarmos 
o uso do aparelho temos que trabalhar com coordenadas. Localizando bases no campo para a 
continuidade do levantamento e irradiando dessas bases. Como meio de comprovação do 
levantamento devemos fechá-lo no vértice inicial e encontrarmos o mesmo valor de coordenadas, 
a diferença é o erro cometido. Obs.: Durante o curso faremos exercícios. 
 
16. ALTIMETRIA. 
É a parte da topografia que nos permite o levantamento do relevo do terreno, ou seja o 
valor da coordenada Z. 
Para isso, temos que ter bem presente em nossas mentes o que é: 
Ä ALTITUDE: é a distância vertical que vai desde um ponto qualquer da superfície 
topográfica, até o nível médio do mar. Tido como plano de referência verdadeiro. 
Ä COTA: é a distância vertical que vai desde um ponto qualquer da superfície 
topográfica, até o plano imaginário de referência. Plano particular para um nivelamento. 
Ä DESNÍVEL: é a diferença da distância vertical entre dois ou mais pontos da 
superfície topográfica. Geralmente determinado pela diferença entre as cotas dos pontos em 
questão, tendo-se o cuidado de indicar se essa diferença é em aclive (+) ou em declive (-). 
Ä REFERÊNCIA DE NÍVEL (RN): o RN é um marco geodésico que nos indica o 
valor das coordenadas, principalmente a altitude do referido ponto. Esses marcos são levantados, 
pelo SGE (Serviço Geográfico do Exército) ou pelo IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e 
Estatística). 
Ä TRANSPORTAR UM RN: significa fazermos um nivelamento de precisão desde um 
RN pré-existente, até o local onde desejamos saber a altitude. 
 
 43 
Ä ERRO ALTIMÉTRICO DEVIDO A CURVATURA E REFRAÇÃO: 
 
 
BN = h = B0 - A0 
h = B0 – R 
T = Tga . R 
22 RTBO += 
 
Exemplo: Calcule o erro altimétrico devido a curvatura, sendo que o raio médio é de 6370km e o 
ângulo à partir do centro da terra de ô = 0°30’. 
Então: D = Tg 0°30’ * 6370000 m 
 D = 55.590,14783 m 
 22 RTBO += 
 BO = 6.370.242,5592 m 
 h = B0 – R 
 h = 242,5592 m 
Efeito da refração: 
 
R
DhR
2
*1306,0 2= 
 hR = 31,67884995 m 
Erro devido à curvatura e Refração: 
 h’ = h – hR 
 h’ = 210,88035 m 
Para simplificar podemos determinar uma constante desta relação, assim: 
 2
'
D
hC = C = 0,06824 * 10-6 / m 
 44 
Assim quando quisermos saber o erro devido a curvatura e refração de modo direto, 
basta associarmos a distância de visada à essa constante, então: 
 h’ = 0,06824*10-6 / m * D2 
Exercícios: 
Calcule o erro altimétrico devido à curvatura e refração das seguintes visadas: 
a) 1000 m 
b) 500 m 
c) 250 m 
d) 125 m 
e) 90 m 
 
a) h’ = 0,06824*10-6 / m * D2 
 h’ = 0,06824*10-6 / m * 10002 m2 
 h’ = 0,06824*10-6 / m * 1000000 m2 
 h’ = 0,06824 m ou h’ = 68,24 mm 
b) h’ = 0,06824* 10-6 / m * 5002 m2 
 h’ = 0,01706 m ou h’ = 17,06 mm 
c) h’ = 4,265 mm 
d) h’ = 1,066 mm 
e) h’ = 0,55 mm 
 
 
17. MÉTODOS DE NIVELAMENTO: 
Ä Nivelamento Geométrico. 
ÄNivelamento Trigonométrico. 
 
17.1 Nivelamento Geométrico: o método geométrico é dito direto ou por alturas, pois 
medimos através de um nível de luneta e um mira falante, a altura dos pontos na superfície 
topográfica. 
 45 
O nivelamento geométrico se divide em simples e composto. O simples é quando 
obtemos a altura de todos os pontos a partir de uma única estação. O nivelamento geométrico 
composto é quando para obter a altura de todos os pontos temos que ter mais de uma estação. 
 
 
17.1.1 Nivelamento Geométrico Simples 
 
 
 
Ä PLANO DE REFERÊNCIA: o plano de referência pode ser verdadeiro ou 
imaginário, como é mais comum sairmos de um local desconhecido. Citamos o imaginário. 
Ä DISTÂNCIA HORIZONTAL: é a distância que separa os pontos, mesmo que não 
entre no cálculo das coordenadas Z, é fundamental para fazermos o desenho e para cálculos de 
volume. 
Ä PLANO HORIZONTAL DE VISADA: plano definido pelo fio nivelador do 
aparelho, desde que nivelado. 
 46 
Ä VISADA DE RÉ: é a primeira visada de uma estação. 
Ä VISADA DE VANTE: são todas as demais visadas feitas desta estação. 
Ä ALTURA DO INSTRUMENTO NO NIVELAMENTO GEOMÉTRICO: é a 
distância vertical que vai desde o plano de visada até o plano de referência. 
 
17.1.1.1 Cálculo da Altura do Instrumento e das Cotas 
AI = COTA1+ V. RÉ COTA = AI - V.VANTE 
 
Exemplo: Para a organização dos dados usamos anotá-los numa caderneta de campo, assim: 
EST. P.V DH V. RÉ V.VANTE AI COTAS 
A 1 - 3.742 - 13.742 10 
 2 20 3.513 10.229 
 3 30 3.324 10.418 
 4 30 2.942 10.800 
 5 30 1.872 11.870 
 6 25 1.134 12.608 
 7 20 1.267 12.475 
 
17.1.2 Nivelamento Geométrico Composto 
É o nivelamento que temos a necessidade de trocar o aparelho de lugar, e para que 
possamos permanecer com o mesmo levantamento, ou seja, com o mesmo plano de referência, 
então temos que fazer a ligação entre os nivelamentos simples, e isso é possível com a estaca de 
amarração, assim: 
Ä ESTACA DE AMARRAÇÃO: a estaca de amarração é onde se faz duas leituras, uma 
de vante e a outra de ré da estação seguinte. Serve de elo de união entre os nivelamentos simples, 
formando o nivelamento composto. 
 
 
 
 
 
 47 
Exemplo: Calcule as cotas dos pontos, da poligonal aberta, pelo método geométrico, cujos dados 
se encontram na caderneta de campo. 
Est P. V D. h V. Ré V. Vante Alt. Instr. Cotas 
A 1 20 3,532 23,532 20,000 
 2 20 2,733 20,799 
 3 20 1,967 21,565 
 4 20 1,122 22,410 
B 5 20 2,318 0,544 25,306 22,988 
 6 20 1,377 23,929 
 7 20 0,669 24,637 
 8 20 1,833 23,473 
C 9 20 0,638 2,745 23,199 22,561 
 10 20 1,465 21,734 
 11 20 2,337 20,862 
D 12 20 0,834 3,144 20,889 20,055 
 13 20 1,562 19,327 
 14 20 2,278 18,611 
 15 20 2,937 17,952 
 S v. ré= 7,322 S v. van.= 9,37 
 ¹ 2,048 ¹ 2,048 
 
17.1.2.1 Prova de caderneta de campo 
A prova do cálculo da caderneta de campo se aplica tanto para poligonais abertas ou 
fechadas, saberemos se o cálculo está certo se a diferença entre a somatório das visadas de ré e o 
somatório das visadas de vante onde tiver ré mais a última vante, for igual a diferença entre as 
cotas extremas. 
17.1.2.2 Prova do nivelamento: 
Já a prova do nivelamento só é possível se a poligonal for fechada, mesmo que tenhamos 
que fechá-la apenas para conferir os dados levantados. 
Normalmente a cada 2 Km de trecho nivelado se faz o contra nivelamento. 
 48 
Ä Análise do erro cometido: 
Segundo a A.G.I ( Associação Geodésica Internacional), podemos classificar os 
nivelamentos conforme a seguinte ordem: 
- Nivelamento de alta precisão Þ ± 1,5 mm por km 
- Nivelamento de 1ª ordem Þ ± 2,5 mm por km 
- Nivelamento de 2ª ordem Þ ± 10 mm por km 
- Nivelamento de 3ª ordem Þ ± 30 mm por km 
- Nivelamento de 4ª ordem Þ ± 100 mm por km 
Normalmente nas obras de engenharia em geral, usa-se a precisão ditada pela 2ª e 3ª 
ordem. Os nivelamentos de alta precisão e de 1ª ordem são usados para transporte de R.N ( 
Referência de Nível), e certos tipos de nivelamento em instalações industriais. 
 
Tolerância: 
ET = EP mm n 
onde: n = nº de quilômetros de trecho levantado 
 ET = erro tolerável 
 EP = erro permitido 
 
Compensação do erro cometido desde que dentro da tolerância. A compensação do 
erro se faz normalmente nas visadas de ré, distribuindo o erro de modo a compensá-lo 
integralmente, para isso temos que ter o cuidado no seu sinal. A compensação terá que ser sempre 
de sinal contrário ao erro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 49 
Exemplo: Calcule as cotas da poligonal fechada abaixo. 
Es
t 
Pv Dh Ré Vant AI Cota Es
t 
Pv Dh Ré Van AI Cota 
A 1 -- 1,235 -- 21,235 20,000 A 1 -- 1,237 -- 21,237 20,000 
 2 20 1,583 19,652 2 20 1,583 19,654 
 3 20 0,948 20,287 3 20 0,948 20,289 
 4 20 1,485 19,750 4 20 1,485 19,752 
 5 20 2,641 18,594 5 20 2,641 18,596 
B 6 20 1,425 3,384 19,276 17,851 B 6 20 1,427 3,384 19,280 17,853 
 7 20 1,893 17,383 7 20 1,893 17,387 
 8 20 2,378 16,898 8 20 2,378 16,902 
C 9 20 1,535 3,144 17,667 16,132 C 9 20 1,537 3,144 17,673 16,136 
 10 20 1,938 15,729 10 20 1,938 15,735 
 11 20 2,642 15,025 11 20 2,642 15,031 
 12 20 1,425 16,242 12 20 1,425 16,248 
D 13 20 3,457 0,638 20,486 17,029 D 13 20 3,459 0,638 20,494 17,035 
 14 20 2,921 17,565 14 20 2,921 17,573 
 15 20 2,143 18,343 15 20 2,143 18,351 
E 16 20 2,985 1,581 21,890 18,905 E 16 20 2,987 1,581 21,900 18,913 
 17 20 1,321 20,569 17 20 1,321 20,579 
F 18 20 3,143 0,687 24,346 21,203 F 18 20 3,145 0,687 24,358 21,213 
 19 20 2,257 22,089 19 20 2,257 22,101 
G 20 20 1,042 1,348 24,040 22,998 G 20 20 1,044 1,348 24,054 23,010 
H X1 -- 1,423 3,677 21,786 20,363 H X1 -- 1,425 3,677 21,802 20,377 
I X2 -- 1,257 3,814 19,229 17,972 I X2 -- 1,259 3,814 19,247 17,988 
J X3 -- 3,834 2,591 20,472 16,638 J X3 -- 3,836 2,591 20,492 16,656 
 1 -- 0,492 19,980 1 -- 0,492 20,000 
Erro Cometido ( EC) = 19,980-20,000 = 0,020 m ou 20mm 
2- Da poligonal acima verifique se houve erro. Caso positivo veja se o mesmo está dentro 
do limite de tolerância para a 3ª Ordem. Erro permitido de 30 mm por quilômetro de trecho, 
 50 
considere o trecho como o total da ida e volta da poligonal. Estando dentro da tolerância 
compense o erro e recalcule as Cotas. 
mmET
mmET
nEPmmET
15,26
76,030
=
´=
´=
 
O erro cometido foi menor do que o tolerável. 
 
3-Calcule as seguintes Diferenças de Nível 
DN1e15 = DN3e20 = 
DN1e15 = cota15-cota1 DN3e20 = 23,010-20,289 
DN1e15 = 18,351-20 DN3e20 = 2,721 m(+) 
DN1e15 = 1,649 m(-) 
 
DN5e14 = DN7e1 = 
DN5e14 = 17,573-18,596 DN7e1 = 20-17,387 
DN5e14 = 1,023 m(-) DN7e1 = 2,613 m(+) 
 
DN19e6 = DN17e5 = 
DN19e6 = 17,853-22,101 DN17e5 = 18,596-20,579 
DN19e6 = 4,248 m(-) DN17e5 = 1,983 m(-) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 51 
4- Calcule as cotas da poligonal fechada abaixo. 
E Pv Dh Ré Vant AI Cota E Pv Dh Ré Van AI Cota 
A 1 -- 1,239 -- 50,000 A 1 -- -- 
 2 30 1,583 2 30 1,583 
 3 30 0,948 3 30 0,948 
 4 30 1,485 4 30 1,485 
 5 30 2,641 5 30 2,641 
B 6 30 1,429 3,384 B 6 30 3,384 
 7 30 1,8937 30 1,893 
 8 30 2,378 8 30 2,378 
C 9 30 1,539 3,144 C 9 30 3,144 
 10 30 1,938 10 30 1,938 
 11 30 2,642 11 30 2,642 
 12 30 1,425 12 30 1,425 
D 13 30 3,461 0,638 D 13 30 0,638 
 14 30 2,921 14 30 2,921 
 15 30 2,143 15 30 2,143 
E 16 30 2,989 1,581 E 16 30 1,581 
 17 30 1,321 17 30 1,321 
F 18 30 3,147 0,687 F 18 30 0,687 
 19 30 2,257 19 30 2,257 
G 20 30 1,046 1,348 G 20 30 1,348 
H X1 -- 1,427 3,677 H X1 -- 3,677 
I X2 -- 1,261 3,814 I X2 -- 3,814 
J X3 -- 3,838 2,591 J X3 -- 2,591 
 1 -- 0,482 1 -- 0,482 
 
 
 
 
 52 
5-Da poligonal acima verifique se houve erro. Caso positivo veja se o mesmo está dentro 
do limite de tolerância para a 3ª Ordem. Erro permitido de 30 mm por quilômetro de trecho, 
considere o trecho como o total da ida e volta da poligonal. Estando dentro da tolerância 
compense o erro e recalcule as Cotas. 
 
6-Calcule as seguintes Diferenças de Nível 
DN1e15 = DN3e20 = DN5e14 = 
DN7e1 = DN19e6 = DN17e5 = 
 
17.2 Nivelamento Trigonométrico 
O método trigonométrico é dito indireto, pois depende da resolução de um triângulo para 
que possa saber a diferença de nível (DN) entre o ponto da estação e o ponto que está observado. 
Assim: 
1º Caso (aclive): 
 
 
Ä Altura do Instrumento 
No nivelamento trigonométrico a altura do instrumento é a distância vertical que vai 
desde o centro ótico do aparelho, até a superfície do solo onde o aparelho está instalado. 
 
 
 
 53 
Ä Leitura 
É a leitura que fazemos com o fio do meio, que por vezes em nossas cadernetas 
chamamos também de leitura média (LM). 
DN = Ai + OM - L (l) 
Tg
OM
D
b = 
bTgDOM *= (II) 
Substituindo (II) em (I), temos: ).( bTgDLAiDN +-= 
 
2º Caso (declive): 
 
- DN = OM + L - Ai . (-1) 
DN = Ai - L - OM 
DN = Ai - L - (D * Tg b) quando b é usado sem sinal 
 e 
DN = Ai - L + (D * Tg b) se o b for usado com o seu sinal 
 
Assim: DN= Ai - L + (D * Tg b) 
OBS.: O b deve ser sempre usado com o sinal. 
 
 
 
 54 
Ä Análise do Método: 
O método trigonométrico tem sérios problemas com a precisão, pois depende de vários 
fatores, sendo os principais o ângulo b e a distância horizontal, portanto só é lógico nos casos em 
que a precisão não é fator primordial, porém com o surgimento de novos aparelhos eletrônicos o 
método ganhou precisão e passou novamente a oferecer interesse pois através dele temos um 
grande ganho de tempo nas operações de campo. 
Exemplo: 
a) Com o aparelho instalado em A, visou-se o ponto B e obteve-se os seguintes dados: 
Ai = 1,453 m 
L = 2,00 m 
D = 143,25 m 
Nadiral = 87°10’30” 
DNAB = ? 
 
b) Com o aparelho instalado em A, visou-se o ponto B e obteve-se os seguintes dados: 
Ai = 1,533 
L = 2,00 m 
D = 97,25 m 
Zenital = 86°30’40” 
DNAB = ? 
17.2.1 Nivelamento Trigonométrico (por taqueometria) 
Como já vimos anteriormente, a DN= Ai - L + (D * Tg b) (I) 
e D= H * 100 * cos2b 
Nós poderemos substituir a distância na fórmula (I) e teremos: 
DN+ Ai - L + (H * 100 * cos2b * tgb) 
)
cos
*cos*100*( 2
b
b
b
senH 
)cos**2*50*( bbsenH 
 
 
Então: DN= Ai - L + ( H * 50 * Sen 2b) 
DN= Ai - L + (D . tg b) 
b= 87°10’30” - 90°00’00 
b= 2°49’30” (-) 
DNAB = 1,453 - 2 + (143,25 . tg 2°49’30” 
DNAB = 7,616 m (-) 
DN= Ai - L + (D . tgb) 
Z= 3°29’20” (+) 
DNAB = 1,533 - 2 +(97,25 . tg 3°29’20” 
DNAB = 5,462m (+) 
sen 2 b 
 55 
Exemplo: Calcule a coordenada Z (cota) dos pontos, sabendo-se que as coordenadas da estação 
são: 
EST Ai P.V LS LM LI Zenital b DN Cotas(Z) 
A 1,558 1 2,732 2,00 1,268 93°10’40” 3°10’40”(-) 8,545(-) 91,455 
 2 2,416 2,00 1,584 86°27’35” 3°32’25”(+) 4,686(+) 104,686 
 3 2,544 2,00 1,456 87°13’30” 2°46’30”(+) 4,819(+) 104,819 
 4 2,816 2,00 1,184 92°10’40” 2°10’40”(-) 6,639(-) 93,361 
 5 2,365 2,00 1,635 94°18’30” 4°18’30”(-) 5,911(-) 94,089 
 6 2,482 2,00 1,518 95°14’50” 5°14’50”(-) 9,221(-) 90,779 
 
17.2.2 Nivelamento Trigonométrico (com dados obtidos por Distanciômetro 
eletrônico) 
Nesse caso é importante observar que a distância medida é a inclinada, portanto para 
reduzi-la ao plano devemos multiplicá-la pelo cosseno do ângulo de altura (b). 
Assim: 
D = D’ * Cos β (I) e DN = Ai – hr + ( D * Tg β ) (II) 
Substituindo-se (I) em (II), temos: 
)*cos'*( bb TgDhrAiDN +-= 
)
cos
*cos'*(
b
b
b
senDhrAiDN +-= 
)'*( bSenDhrAiDN +-= 
Exemplo: Calcule a coordenada Z (cota) dos pontos, sabendo-se que as coordenadas da estação 
são: A (0; 0; 100) 
EST Ai Hr P.V D’ Zenital b DN Cotas(Z) 
A 1,515 1,70 1 151,44 87°51’40” 2°08’20”(+) 5,467(+) 105,467 
 2 128,27 88°12’20” 1°47’40”(+) 3,832(+) 103,832 
 3 83,41 91°04’40” 1°04’40”(-) 1,754(-) 98,246 
 4 42,50 93°12’30” 3°12’30”(-) 2,564(-) 97,436 
 
 
 56 
17.3. NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO: 
Quando o ângulo vertical usado é o Zenital. 
 
17.3.1. Com distância horizontal direta. 
).( CotgZDLAiDN +-= 
 
17.3.2. Com distância horizontal por taqueometria. 
ZSenHD 2.100.= ( I ) e ).( CotgZDLAiDN +-= ( II ) 
Substituindo-se I em II, temos: 
)..100.( 2
SenZ
CosZZSenHLAiDN +-= 
)..2.50.( CosZSenZHLAiDN +-= 
Fazendo-se: 2.SenZ.CosZ = Sen2Z, então: 
)2.50.( ZSenHLAiDN +-= 
 
17.3.3. Com distância horizontal eletrônica: 
SenZDD '.= ( I ) e ).( CotgZDhrAiDN +-= ( II ) 
Substituindo-se I em II, temos: 
).'.(
SenZ
CosZSenZDhrAiDN +-= 
)'.( CosZDhrAiDN +-= 
 
17.3.4. Com distância horizontal pelo método Trigonométrico. 
12
12
CotgZCotgZ
LMLMD
-
-
= 
Neste caso, como na maioria das vezes calculamos a distância média, não é vantagem 
tentar simplificar a fórmula. Então o melhor procedimento é calcular em primeiro lugar a distância 
e depois calcular a diferença de nível, com a fórmula da distância direta. 
Assim: 
).( 11 CotgZDLMAiDN +-= ou ).( 22 CotgZDLMAiDN +-= 
 
 57 
 
Exemplo1.2 - Esse exemplo, cujos dados do levantamento foram feitos com os alunos da 
Geomática, serve para demonstrar o levantamento planialtimétrico de pontos com uma troca da 
estação. 
CADERNETA PARA LEVANTAMENTO PLANIALTIMÉTRICO 
NIVELAMENTO TRIG.- DIST. MÉT. TRIGONOMÉTRICO 
PROPRIETÁRIO: UFSM COORD. DA EST. A: (0 ; 0 ; 100) 
LOCAL: PINUS AZ DO 1° ALINHAMENTO: 263°01’20” 
DATA: 12/11/07 ESTAÇÃO: A 
RESPONSÁVEL: ERNI AI DA EST. A: 1,501 m 
 
P LM1 Z1 LM2 Z2 AZIMUTE D(m) DN X Y Z 
1 0,20 92°06’30” 3,90 82°25’30” 252°01’50” 21,79 0,499(+) -20,73 -6,72 100,499 
2 0,10 92°00’00” 3,90 83°31’20” 294°19’40” 25,60 0,507(+) -23,32 10,54 100,507 
3 0,10 91°54’50” 3,90 85°53’50” 314°50’30’ 36,14 0,193(+) -25,63 25,48 100,193 
4 0,10 91°49’10” 3,90 87°26’10” 325°37’30” 49,64 0,176(-) -28,03 40,97 99,824 
5 0,20 91°28’50” 3,90 88°11’40” 331°41’30” 64,49 0,366(-) -30,58 56,78 99,634 
 
6 0,20 92°31’30” 3,90 89°01’40” 356°53’20” 60,59 1,371(-) -3,29 60,50 98,629 
7 0,20 92°52’40” 3,90 88°02’50” 357°21’00” 43,86 0,904(-) -2,03 43,81 99,096 
8 0,10 93°51’00” 3,90 86°28’00” 358°25’00” 29,45 0,581(-) -0,81 29,44 99,419 
9 0,10 96°49’30” 3,90 82°17’20” 2°55’50” 14,90 0,382(-) 0,76 14,88 99,618 
10 0,10 113°10’40” 3,30 65°25’40” 135°43’40” 3,61 0,146(-) 2,52 -2,59 99,854 
 
11 0,10 95°17’20” 3,90 87°32’20” 86°40’20” 28,03 1,194(-) 27,99 1,63 98,806 
12 0,20 94°44’30” 3,90 87/45’10” 50°56’10” 30,28 1,211(-) 23,51 19,08 98,789 
13 0,10 93°57’20” 3,90 88°17’50” 31°25’40” 38,43 1,256(-) 20,04 32,79 98,744 
14 0,10 93°22’30” 3,90 88°54’20” 20°03’30” 48,67 1,469(-) 16,69 45,72 98,531 
150,10 92°54’10” 3,90 89°29’00” 11°11’40” 63,63 1,825(-) 12,35 62,42 98,175 
 
 EST. B AI DA EST B=1,505 m 
B 0,10 94°21’30” 3,90 87°40’10” 37°38’00” 32,50 1,076(-) 19,85 25,74 98,924 
 
16 0,10 93°49’10” 3,90 88°48’20” 22°34’30” 43,37 1,491(-) 36,50 65,79 97,433 
17 0,10 94°53’00” 3,90 87°44’20” 42°31’00” 30,42 1,194(-) 40,41 48,16 97,730 
18 0,10 95°28’30” 3,90 86°59’40” 65°08’30” 25,61 1,050(-) 43,09 36,51 97,874 
19 0,10 95°22’20” 3,90 87°06’00” 95°21’40” 26,26 1,065(-) 46,00 23,29 97,859 
20 0,10 94°01’00” 3,90 88°02’40” 123°51’00” 36,41 1,152(-) 50,09 5,46 97,772 
 
21 0,10 93°35’00” 3,90 89°38’50” 107°22’00” 55,25 2,055(-) 72,58 9,25 96,869 
22 0,10 93°47’40” 3,90 89°24’20” 87°58’20” 49,55 1,881(-) 69,36 27,49 97,043 
23 0,10 93°41’00” 3,90 89°17’00” 72°51’00” 49,43 1,777(-) 67,08 40,31 97,147 
24 0,10 93°36’30” 3,90 89°24’40” 61°17’50” 51,81 1,862(-) 65,30 50,62 97,062 
25 0,10 93°19’20” 3,90 89°43’20” 44°17’40” 60,42 2,102(-) 62,04 68,98 96,822 
 
 58 
 
18. REPRESENTAÇÃO DO RELEVO 
 
O relevo do solo se representa na planta ou no plano topográfico, por diversos processos, 
dentre os quais o mais claro e racional, e o mais usado é o das curvas de nível, mas também são 
usados outros processos, tais como: pontos cotados, hachuras e perfis. 
 
18.1 Curvas de nível 
Define-se curvas de nível, como sendo linhas que unem pontos de mesma cota ou 
altitude. 
A distância vertical entre dois planos horizontais sucessivos, chama-se eqüidistância real. 
Para obras de engenharia em geral, usa-se a eqüidistância de 1 metro, ou seja, curvas de nível de 
metro em metro. 
Para facilitar a interpretação do terreno são usadas curvas com traço reforçado, 
normalmente as múltiplas de 5 metros, que são denominadas curvas mestras. 
O desenho a seguir representa em terreno, cujo relevo está representado pelas respectivas 
curvas de nível. 
 
 
 59 
 
18.1.1 Principais Propriedades das Curvas de Nível: 
Ä Todos os pontos de uma mesma curva de nível têm a mesma cota ou altitude. 
Ä Cada curva de nível fecha sobre si mesma, dentro dos limites de um plano 
considerado, ou fora destes limites, no segundo caso a curva ficará interrompida pela linha 
marginal que delimita o plano considerado. 
Ä As partes superiores de uma elevação sempre serão representadas por curvas fechadas, 
e o mesmo ocorre para representar depressões. 
Ä As curvas de nível nunca se cortam e nem se encontram, a não ser em uma escarpa 
vertical, ou em um corte de aterro também vertical feito pelo homem, geralmente cortes em 
regiões rochosas ou aterros sustentados por muros de arrimo. 
Ä As curvas de nível de uma superfície plana são linhas retas paralelas. 
Ä Os aclives ou declives uniformes, são representadas por curvas de nível eqüidistantes. 
A maior, ou menor aproximação das curvas indicam aclives ou declives mais acentuados. 
 
 
 
19. DIVISÃO ANALÍTICA DE TERRAS 
 
Dividir uma área analiticamente, é uma atividade topográfica muito comum para quem se 
dedica a esta profissão. 
Para que possamos dividir uma área, temos que possuir as coordenadas dos pontos, e 
cujos piquetes ainda se encontrem no campo, a fim de nos possibilitar a sua futura demarcação. É 
importante, ainda, possuir uma planta da referida área, pois isso nos permite uma perfeita 
visualização da propriedade e, portanto, nos facilita um melhor planejamento no momento de 
procedermos a divisão. 
Trabalharemos este conteúdo através de um exemplo prático, o que facilitará a 
compreensão por parte do aluno, assim: 
Ä1. Planilha de cálculos analíticos 
Devemos ter a planilha do cálculo analítico, no qual teremos as coordenadas dos pontos. 
Usaremos o mesmo exemplo anterior. 
 60 
Ä2. Planta da área 
Devemos ter a planta, mesmo que desenhada em papel milimetrado (rascunho). 
Ä3. Partes da divisão de área 
Devemos saber em quantas partes vamos dividir a propriedade, qual a área de cada parte, 
se existe algo sobre a propriedade que deva permanecer em alguma das partes divididas. 
Exemplo: A sede da propriedade deve pertencer ao lote n° 2, o açude ao lote n° 5, etc... 
Ä4. Acesso 
Outro aspecto muito importante, é que todas as partes divididas fiquem com acesso, por 
isso quando ele não existir, devemos criar um corredor, também, sempre que possível, devemos 
dar acesso de todos os lotes à água e procurar deixar a figura o mais regular possível. 
Diríamos que cada caso de divisão é um caso diferente, onde o bom técnico vai ter que 
analisá-lo para dele obter a melhor divisão, ou seja aquela que atende todos os anseios dos 
proprietários, sem ferir a lei. 
OBS.: Muitas dessas informações necessárias serão fornecidas pelo proprietário e 
algumas planejadas sobre a planta da propriedade. 
Exemplo: Da área da UFSM que mostramos nos capítulos anteriores, vamos dividir 3ha a 
partir de 100m do vértice 1. 
Ä5. Divisão visual da propriedade 
Apoiados na planta da propriedade, podemos fazer uma divisão aproximada, partindo 
sempre do ponto fixado pelo proprietário, ou estipulado pelo próprio técnico, com isso nos dará 
condições para que possamos montar a poligonal auxiliar. 
Ä6. Montagem da planilha auxiliar 
A planilha auxiliar possui esse nome porque ela nos dará a condição necessária para que 
depois, consigamos determinar o ponto exato da divisão, como veremos no exemplo. 
Esta planilha é montada a partir das projeções compensadas, assim: 
Para o nosso exemplo devemos primeiro calcular as projeções do ponto inicial chamada 
de 1’, assim: D1 = 192,35 m D1’2 = 92,35 m 
 
2'11 * DSenAzPx = Px = 91,29. 
2'11 * DCosAzPy = Py = 13,95. 
 
 61 
Depois copiamos as projeções dos vértices 2, 3 e 4 devemos determiná-lo por diferença, já que o 
somatório das projeções deve dar zero em cada eixo. 
V Px Py AB ORD åx DA åy DA 
1 91,29 13,95 0,00 0,00 91,29 1273,4955 13,95 1273,4955 
2 63,28 191,94 91,29 13,95 245,86 47190,3684 219,84 13911,4752 
 3 - 65,37 63,00 154,57 205,89 243,77 15357,51 474,78 -31036,3686 
4* - 89,20 -268,89 89,20 268,89 89,20 - 23984,988 268,89 -23984,988 
 0,000 0,000 335,06 488,73 670,12 39836,3859 977,46 - 39836,3859 
 x 2 x 2 
 670,12 977,46 Área = 19918,19295 m2 
 
Veja que o valor das projeções de 4* foram determinadas por diferença, já que a soma 
das projeções do mesmo eixo deve ser igual a zero. 
Conhecida a área da planilha auxiliar, isso nos mostra se a mesma tem um valor para mais 
ou para menos em relação à área desejada. 
Área a avançar 30.000m2 - 19918,19295 = 10081,80705m2. 
Ä7. Cálculo do afastamento 
Vemos então que o ponto divisório estará localizado entre os vértices 4 e 5, formando 
assim um triângulo 1¢ 44¢ de área conhecida, e para que possamos calcular o afastamento 44¢, 
devemos conhecer a distância 1¢ 4, e o ângulo 1¢ 44¢, então: 
a) DISTÂNCIA: 
 D Px Py= +2 2 
 D m= - - =( , ) .( , ) ,89 20 268 89 283 302 2 
b) AZIMUTE: 
 A arctg
Px
Py
Az' ' , "= \ = °198 21 08 81 
c) ÂNGULO INTERNO DO AFASTAMENTO: 
 Az4 5 262 48 32 5- = ° ' , " 
 Az4 1 198 21 08 81- = °' ' , " 
 62 
 
 
 
Ai Az Az= -- -4 5 4 1' 
 
Ai = °64 27 23 75' , " 
d) AFASTAMENTO: 
 A
d d Ai
= 2 1
2
. .sen
, então: 
 d
A
d Ai
d
m
m
d m2
1
2
2
2
2 210081 80705
283 30 64 27 23 75
78 8843= \ =
°
\ =
.sen
. ,
, .sen ' , "
, 
Após determinado o afastamento, montamos a planilha definitiva, para isso devemos 
calcular as projeções do alinhamento 44¢. 
24 * DSenAZPx = Px = -78,26. 
24 * DCosAZPy = Py = -9,87. 
Ä8. Cálculo da área definitiva: 
O cálculo da área da planilha definitiva serve para verificarmosse realmente o cálculo 
está correto, devemos observar que pequenas diferenças são normais e não representam erro, pois 
todos os cálculos feitos desde o afastamento foram arredondados. 
V Px Py AB ORD åx DA åy DA 
1’ 91,29 13,95 0,00 0,00 91,29 1273,4955 13,95 1273,4955 
2 63,28 191,94 91,29 13,95 245,86 47190,3684 219,84 13911,4752 
3 -65,37 63,00 154,57 205,89 243,77 15357,51 474,78 -31036,3686 
4 -78,26 -9,87 89,20 268,89 100,14 -988,3818 527,91 -41314,2366 
4¢* -10,94 -259,02 10,94 259,02 10,94 -2833,6788 259,02 -2833,6788 
 0,00 0,00 346,00 747,75 692,00 59999,3133 1495,5 -59999,3133 
 x 2 x 2 
 692,00 1495,5 A = 29999,7 m2 ≈ A = 30000 m2 
 63 
O vértice 4’* foi também determinado por diferença. 
Para finalizar, devemos calcular os elementos necessários para demarcação da divisa, 
então: 
9. Elementos da linha divisória definitiva: 
A) DISTÂNCIA: 
 D Px Py D D m= + \ = - + - \ =2 2 2 210 94 259 02 259 25( , ) ( , ) , 
B) AZIMUTE: 
 "07'25182' '1'4 °=\= AzPy
PxarctgA 
C) ÂNGULO INTERNO NO VÉRTICE 4’ 
 
"00'492625'4 °=-Az 
Az4 1 182 25 07' ' ' "- = ° 
Ai Az Az= -- -4 5 4 1' ' ' (1) 
 
Ai1 80 2353' ' "= ° 
Ai1 180 80 23 26' ' "= °- ° 
Ai4 99 3657' ' "= ° (2) 
D) ÂNGULO INTERNO NO VÉRTICE 1¢: 
 
 
 
Az1 2 81 1810' ' "- = ° 
Az1 4 2 25 07' ' ' "- = ° 
Ai Az Az= -- -1 2 1 4' ' '
Ai1 78 53 03' ' "= ° 
Ai1 180 78 53 26' ' "= °- ° 
Ai1 101 06 57' ' "= ° 
(1) 
(2) 
 64 
Podemos ainda fazer o somatório dos ângulos internos de cada uma das novas poligonais, 
assim: 
 
a) 1° Poligonal. b) 2° Poligonal 
1 = 90°22’40” 1’= 78°53’03’’ 
 1’= 101°06’57” 2 = 116°55’40’’ 
4’= 80°23’53” 3 = 115°41’30’’ 
5 = 88°06’30” 4 = 128°53’40’’ 
 4’= 99°36’07’’ 
S = 360°00’00” S = 540°00’00” 
 
19.2 Divisão Analítica de Terras (Método do Prof. Dr. Enio Giotto) 
Este método se baseia na Geometria Analítica, e busca dividir uma área desejada a partir 
do conhecimento das coordenadas dos pontos que compõem a gleba toda. 
O método do prof. Giotto nos dá condições de determinar as coordenadas do ponto 
divisor, sem a necessidade do cálculo da planilha auxiliar, porém devemos informar alguns dados 
que passaremos a mostrar a seguir. Vale a pena ainda citar que o Software TPO do prof. Giotto, 
se baseia nesse método. 
A fundamentação do método já foi objeto de publicações em congresso. Existe uma 
análise completa no polígrafo do prof. Erni Milani. Portanto nesse trabalho nos limitaremos a 
desenvolver um exemplo prático. 
Fórmulas: 
)()(1
)(2
YpfYpiXpiXpfb
XpiXpfboMAp
-+-
---
= → XpbboYp 1+= 
21
)1.2()2.1(
XX
YXYXbo
-
-
= → 
21
211
XX
YYb
-
-
= 
onde: 
X p= coordenada X do ponto divisor 
Yp= coordenada Y do ponto divisor 
b0= coeficiente linear da reta divisora 
b1= coeficiente angular da reta divisora 
 65 
A= área a dividir 
M= determinante da matriz desde o ponto inicial até o ponto final 
Xpf= coordenada X do ponto final 
Xpi= coordenada X do ponto inicial 
Ypf= coordenada Y do ponto final 
Ypi= coordenada Y do ponto inicial 
X1= coordenada X do primeiro ponto da reta divisória 
Y1= coordenada Y do primeiro ponto da reta divisória 
X2= coordenada X do segundo ponto da reta divisória 
Y2= coordenada Y do segundo ponto da reta divisória. 
Ponto inicial: É o ponto onde iniciamos a divisão, pode coincidir com um vértice, ou 
estar sobre um alinhamento, e nesse caso devemos calcular suas coordenadas antes de começar a 
divisão. 
Ponto final: É o primeiro ou o segundo ponto da reta, que supomos vá conter o ponto 
divisor. 
A escolha do primeiro ou do segundo ponto depende da vontade de quem calcula, porém 
tem que definir porque isso vai interferir nos pontos que vão compor a matriz, aqui denominada de 
M. 
M: É a matriz que vai desde o ponto inicial, até o ponto final. 
O seu valor é dado pelo cálculo do determinante dessa matriz. 
Exemplo: Vamos dividir 3 ha a partir de 100 metros do vértice 1, da área do seu Mário 
de Almeida, ou seja a mesma área já dividida por Gauss. 
As coordenadas dos pontos de toda a área são: 
V X Y 
1 0 0 
2 190,14 29,05 
3 253,42 220,99 
4 188,05 283,99 
5 -40,77 255,12 
 
 
 66 
19.2.1. Cálculo da área total: 
V X Y 
1 Yn + Xn+1 0 0 Xn + Yn+1 
2 0 190,14 29,05 0 
3 7361,851 253,42 220,99 42019,0386 
4 41557,1695 188,05 283,99 71968,7458 
5 -11578,2723 -40,77 255,12 47975,316 
1 0 0 0 0 
 
∑1 = 37340,7482 ∑2 = 161963,1004 
2
12å å-=A 
Área= 62.311,1761 m2 
 
19.2.2. Reconstituição da poligonal: 
V Px Py Dist.(m) Azimutes  internos 
1 190,14 29,05 192,35 81°18’48” 90°23’34” 
2 63,28 191,94 202,10 18°14’48” 116°56’00” 
3 -65,37 63 90,79 313°56’32” 115°41’44” 
4 -228,82 -28,87 230,63 262°48’33” 128°52’01” 
5 40,77 -255,12 258,36 170°55’14” 88°06’41” 
 
19.2.3. Cálculo das coordenadas do ponto inicial 
Xpi= (Sen Az1* D11’) + Xp1 \ Xpi= (Sen 81°18’48” . 100) + 0 = 98,85 
Ypi= (Cos Az1* D11’) + Yp1 \ Ypi= (Cos 81°18’48” . 100) + 0 = 15,10 
 
19.2.4. Informações para a divisão 
Área a dividir = 30.000 m2 
Vértice inicial = 1’ 
Vértice final = 4 
Reta divisória = 4 - 5. 
 67 
Então: 
X1 = 188,05 Xpf = 188,05 
X2 =-40,77 Xpi = 98,85 
Y1 =283,99 Ypi = 15,10 
Y2 =255,12 Ypf = 283,99 
 
19.2.5. Cálculo dos coeficientes b0 e b1 
126169041,01
)77,40(05,188
12,25599,2831
21
211
2639118,2600
)77,40(05,188
)99,283677,40()12,25505,188(0
21
)2.2()2.1(0
=Þ
--
-
=
-
-
=
=Þ
--
´--´
=
-
-
=
bb
XX
YYb
bb
XX
YXYXb
 
 
19.2.6 Cálculo do M 
M = 98,85 190,14 253,42 188,05 
 15,10 29,05 220,99 283,99 
 
M = [(98,85 . 29,05) + (190,14 . 220,99) + (253,42 . 283,99)] - [(190,14 . 15,10) + 
(253,42 . 29,05) + (188,05 . 220,99)] 
M = 65069,2424 
 
Xp
A M b Xpf Xpi
b Xpf Ypi Ypi Ypf
o=
- - -
- + -
2
1
. .( )
.( ) ( )
 
Xp =
- - -
- + -
2 30000 65069 2424 260 2639118 188 05 98 85
0 126169041 188 05 98 85 1510 283 99
. , , .( , , )
, .( , , ) ( , , )
 
Xp = 109 79, 
XpbbYp o *1+= 
Yp = 260,2639118 + 0,126169041*109,79 
Yp = 274,12 
 68 
 
19.2.6. Análise das coordenadas do ponto divisor 
X4 > Xp >X5 e Y4 > Yp >Y5, portanto o ponto divisor se encontra no intervalo da reta, 
que indicamos como sendo a divisória. 
Outra análise que podemos fazer é recalcular a área dividida. Assim: 
V X Y 
1’ Yn + Xn+1 98,85 15,10 Xn + Yn+1 
2 2871,114 190,14 29,05 2871,5925 
3 7361,851 253,42 220,99 42019,0386 
4 41557,1695 188,05 283,99 71968,7458 
4’* 31179,2621 109,79 274,12 51548,266 
1’ 27096,762 98,85 15,10 1657,829 
å1 = 110066,1586 å2 = 170065,4719 
2
12å å-=A 
A = 29999,65665 ≈ A = 30000 m2 
Portanto também fechou, já que a pequena diferença é problema de arredondamento. 
 
19.2.7. Cálculo das distâncias: 
mDDYYXXD 25,259)10,1512,274()85,9879,109()()( 222'1'4
2
'1'4'1'4 =\-+-=\-+-= 
mDDYYXXD 35,92)10,1505,29()85,9814,190()()( 222'12
2
'122'1 =\-+-=\-+-= 
mDDYYXXD 88,78)99,28312,274()05,18879,109()()( 2224'4
2
4'4'44 =\-+-=\-+-= 
mDDYYXXD 75,151)12,27412,255()79,10977,40()()( 222'45
2
'455'4 =\-+--=\-+-= 
 
 
19.2.8. Cálculo do Azimute 4’1’: 
'4'1
'4'1'
YY
XXArcTgA
-
-
= 
12,27410,15
79,10985,98'
-
-
= ArcTgA 
AZ4’1’ = A’+180 AZ4’1’ = 182°25’07” 
 69 
 
19.2.9. Cálculo do Azimute 1’4’: 
'1'4
'1'4'
YY
XXArcTgA
-
-
=