Transformação Linear - folha 17 A

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PUC MINAS
ÁLGEBRA LINEAR – TERCEIRO PERÍODO
TRANSFORMAÇÕES LINEARES – CAP 5 – FOLHA 17-A
Seja F uma aplicação de R2 em R2, o operador linear definido por F(x,y) = (x,0), Determine o núcleo e a imagem de F,
Dada a transformação linear de R3 em R2 definida por: F(x,y,z) = (x+y. 2x-y+z)
Determine uma base e a dimensão do núcleo.
Determine uma base e a dimensão da imagem.
Determine uma transformação linear F de R3 em R4 tal que a imagem de F seja
I(F) = [ (1,1,2,1), (2,1,0,1) ],
A aplicação linear F : R3 R3 , dada por F(1,0,0) = (1,1,0), F(0,1,0) = (0,0,1) e F(0,0,1) = (1,-1,6) é um automorfismo ? Justifique.
Mostre que F: R3 R4 dada por F(x,y,z) = (x, x -y, y – z, z) é injetora.
Para cada uma das transformações lineares abaixo, determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem.
 T: R3 em R, dada por T(x,y,z) = x + y + z.
 F: R2 em R2, dada por F( x,y) = (2x, x + y ),
G:R3 em R4, dada por G(x,y,z) = (x-y-z, x+y+z, 2x-y+z, -y).
F: M2(R) em M2(R ), dada por F(X) = M.X + X, para qualquer X, sendo
 M = .
F: M2(R) em M2(R), dada por T(X) = MX, para todo X, sendo M = .
 Determine um operador linear de R3 cuja imagem é gerada pelos vetores:
(2,1,1), (1, -1, 2).
Determine um operador linear de R4 cujo núcleo é gerado pelos vetores:
(1,1,0,0), (0,0,1,0),
F e G são operadores lineares definidos por: F(x,y) = (x-y,x) e G(x,y) = (x,0).
Calcule: a) 2F(u) + 3G(u) b) ( FoG)(u) c) ( GoF)(u) d) F2(u) e) G2(u).
 Sejam F e G duas transformações lineares definidas por:
F(x, y) = (0,x) e G (x,y) = (x, 0). 
Determine: a)( GoF)(u) b) (FoG)(u) c) (GoF)2(u) d) (FoG)2(u),
Respostas:
N(F)= {(0,y)}, Im(F) = {(x,0)} 02. a)N(F)= {(-1,1,3)}, dim(F)=1
Im =R2, dim(I) = 2. 03. F(x,y,z) = - 04. Sim. 05. –
06. a) {(0,1,0), (0,1,1), b) { ( 0,0)} c) {(0,0,0,0), (1,1,2,0), (-1,1,1,0),(-1,1,-1,-1).
 d) - e) não existe, dim = 0.
07. F(x,y,z) = (2x+y, x-y, x+ 2y) 8.(F(x,y,z,t) = (y,-x,t,0)
09. a) {(5x-2y,2x)} b) {(x,x)} c) {(x,-y.0)} d) {(-y, x-y)} e) {(x,0)}
10. a). {(0,0)} b. {(0,x)} c. {(0,0)} d. {(0,0)}