Espacos_vetoriais

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Espaços vetoriais Reais 
Prof:Kennedy Scopel 
Determine se o conjunto de todos os pares ordenados da forma 
(x,y) de números reais, com as operações (x,y)+(x’,y’)=(xx’, yy’) e 
k(x,y)=(2kx,2ky) é ou não espaço vetorial. 
1) Se u e v são objetos em V então u+v é objeto em V. 
2) u+v=v+u 
3) u+(v+w)= (u+v)+w 
4) Existe um objeto 0 em V, chamado um vetor nulo ou vetor 
zero de V, tal que 0+u=u+0=u para cada u em V. 
5) Para cada u em V, existe um objeto –u, chamado um 
negativo de u, tal que u+(-u)=(-u)+u=0 
6) Se k é qualquer escalar e v é um objeto em V, então kv é um 
objeto em V. 
7) L(u+v)=Lu+Lv 
8) (k+L)v=kv+Lv 
9) k(Lu)=(kL)u 
10) 1u=u 
 
Determine se o conjunto de todos os pares ordenados da forma 
(x,y) de números reais, com as operações (x,y)+(x’,y’)=(x+x’, y+y’) e 
k(x,y)=(kx,2ky) é ou não espaço vetorial. 
1) Se u e v são objetos em V então u+v é objeto em V. 
2) u+v=v+u 
3) u+(v+w)= (u+v)+w 
4) Existe um objeto 0 em V, chamado um vetor nulo ou vetor 
zero de V, tal que 0+u=u+0=u para cada u em V. 
5) Para cada u em V, existe um objeto –u, chamado um 
negativo de u, tal que u+(-u)=(-u)+u=0 
6) Se k é qualquer escalar e v é um objeto em V, então kv é um 
objeto em V. 
7) L(u+v)=Lu+Lv 
8) (k+L)v=kv+Lv 
9) k(Lu)=(kL)u 
10) 1u=u 
 
 
Determine se o conjunto de todos as matrizes 2x2 da forma 
 com adição matricial e a multiplicação matricial por escalar 
é ou não espaço vetorial. 
1) Se u e v são objetos em V então u+v é objeto em V. 
2) u+v=v+u 
3) u+(v+w)= (u+v)+w 
4) Existe um objeto 0 em V, chamado um vetor nulo ou vetor 
zero de V, tal que 0+u=u+0=u para cada u em V. 
5) Para cada u em V, existe um objeto –u, chamado um 
negativo de u, tal que u+(-u)=(-u)+u=0 
6) Se k é qualquer escalar e v é um objeto em V, então kv é um 
objeto em V. 
7) L(u+v)=Lu+Lv 
8) (k+L)v=kv+Lv 
9) k(Lu)=(kL)u 
10) 1u=u 
 
Determine se o conjunto de todos os pares de números reais 
da forma (1,y), com as operações (1,y)+(1,y’)=(1,y+y’) e 
k(1,y)=(1,ky) é ou não espaço vetorial. 
1) Se u e v são objetos em V então u+v é objeto em V. 
2) u+v=v+u 
3) u+(v+w)= (u+v)+w 
4) Existe um objeto 0 em V, chamado um vetor nulo ou vetor 
zero de V, tal que 0+u=u+0=u para cada u em V. 
5) Para cada u em V, existe um objeto –u, chamado um 
negativo de u, tal que u+(-u)=(-u)+u=0 
6) Se k é qualquer escalar e v é um objeto em V, então kv é um 
objeto em V. 
7) L(u+v)=Lu+Lv 
8) (k+L)v=kv+Lv 
9) k(Lu)=(kL)u 
10) 1u=u 
 
1) Se u e v são objetos em V então u+v é objeto em V. 
2) u+v=v+u 
3) u+(v+w)= (u+v)+w 
4) Existe um objeto 0 em V, chamado um vetor nulo ou vetor 
zero de V, tal que 0+u=u+0=u para cada u em V. 
5) Para cada u em V, existe um objeto –u, chamado um 
negativo de u, tal que u+(-u)=(-u)+u=0 
6) Se k é qualquer escalar e v é um objeto em V, então kv é um 
objeto em V. 
7) L(u+v)=Lu+Lv 
8) (k+L)v=kv+Lv 
9) k(Lu)=(kL)u 
10) 1u=u 
 
SUBESPAÇOS VETORIAS 
 Se W é um conjunto de um ou mais vetores de um 
espaço vetorial V, então W é um subespaço de V se, 
e somente se, valem as seguintes condições: 
 
1- Se u e v são vetores em W, então u+v está em W. 
2- Se k é um escalar qualquer e u é um vetor em W, 
então ku está em W.