Cálculo II - Resumo Teórico - Área 2

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PROF. GUSTAVO VIEGAS 
MATEMÁTICA 
 
RESUMO TEÓRICO 
 
Cálculo 2 - Área 2 
 
Coordenadas polares 
 
Um ponto fica identificado por suas coordenadas (r, ). 
Definimos (– r, ) = (r,  + π). 
 
 
Como x = rcos(), y = rsen(), o que nos dá + = , 
podemos passar uma equação de coordenadas cartesianas 
para polares. 
 
Reta horizontal y = a: rsen() = a 
 
Reta vertical x = a: rcos() = a 
 
Círculo (a > 0) 
 
r = a 
 
r = acos() 
 
r = – acos() 
 
 
 
r = asen() 
 
r = – asen() 
 
Rosácea (a > 0) 
 
r = acos(2) 
 
r = acos(3) 
 
 
r = asen(2) 
 
r = asen(3) 
 
 
Cardioide (a > 0) 
 
r = a + asen() 
 
r = a – asen() 
 
 
r = a – acos() 
 
r = a – acos() 
 
Integrais duplas 
 
Se z = f(x,y) é uma função positiva para todo (x,y) 
numa região R, então o volume do cilindro limitado 
pelo gráfico de f e o plano xy é 
 
 
 
 
A área de uma região R é 
 
 
 
 
Se R é uma região limitada acima por y = (x) e 
abaixo por y = (x), para a  x  b, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se T é uma região limitada à direita por x = (y) e à 
esquerda por x = (y), para c  y  d, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em coordenadas polares o elemento de área é dA = rdrd. 
 
 
 
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Coordenadas cilíndricas e esféricas 
 
Coordenadas cilíndricas 
Um ponto fica identificado por suas coordenadas (r, , z), 
com x = rcos(), y = rsen(). 
 
Coordenadas esféricas 
Um ponto fica identificado por suas coordenadas (, , ), 
com x = sen()cos(), y = sen()sen() e z = cos(). 
 
 
 
Sólidos importantes 
 
Cartesianas 
 
 
Cilíndricas 
 
 
Esféricas 
 = a 
 
 
Cartesianas 
 
 
Cilíndricas 
 r = a 
 
Esféricas 
sen() = a 
 
Cartesianas 
 z = a 
 
Cilíndricas 
 z = a 
 
Esféricas 
cos = a 
 
 
 
 Cartesianas 
 
 
  
 
 
Cilíndricas 
 
 
  
 
 
Esféricas 
 = constante 
Integrais triplas 
 
Se (x, y, z) é a função densidade de um sólido S, 
então a massa de S é 
  
 
 
 
O volume de um sólido S é 
 
 
 
 
Em coordenadas cartesianas dV = dzdydx 
Em coordenadas cilíndricas, dV = rdzdrd. 
Em coordenadas esféricas dV =  sen()ddd. 
 
Integral de linha 
 
O trabalho realizado pelo campo = f(x, y) + g(x, y) sobre 
uma partícula que percorre a curva C é 
 
 
 
 
 
 
A integral pode ser calculada se tomarmos a 
parametrização (t) = (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b, da curva C. 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema de Green 
 
Seja R uma região limitada por uma curva C simples, 
fechada C e com orientação positiva. Se = f(x, y) + g(x, y) 
é tal que f e g possuem derivadas de primeira ordem 
contínuas em R, então 
 
 
 
 
 
Campo conservativo 
 
Dizemos que = f(x, y) + g(x, y) é um campo conservativo 
se existe um potencial (x, y) tal que = . 
 
Proposição 
Se = f(x, y) + g(x, y) é conservativo, então 
 
a) 
b) A integral não depende do caminho e, com = , 
 
 
   
c) Se C é um caminho fechado,