apostila calculo 1
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apostila calculo 1


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MAT154: Ca´lculo 1
Beatriz Ribeiro, Flaviana Ribeiro e Reginaldo Braz
Departamento de Matema´tica - UFJF
Versa\u2dco: fevereiro de 2019
0Baseada na apostila da professora Maria Julieta Ventura Carvalho de Arau´jo.
2
Suma´rio
0 Pre´-requisitos 7
0.1 Notac¸a\u2dco matema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.2 Conjuntos Nume´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
0.3 Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
0.4 Valor absoluto (mo´dulo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
0.5 Polino\u2c6mios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
0.6 Plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
0.7 Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
0.8 Respostas dos exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1 Func¸o\u2dces 25
1.1 Exemplos de func¸o\u2dces e seus gra´ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2 Soma, Diferenc¸a, Produto e Quociente de Func¸o\u2dces . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3 Estudo do sinal de uma func¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4 Composic¸a\u2dco de func¸o\u2dces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.5 Translac¸o\u2dces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.6 Composic¸o\u2dces com a func¸a\u2dco Mo´dulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.7 Func¸a\u2dco Par e Func¸a\u2dco I´mpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.8 Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.9 Respostas dos exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2 Limite de uma func¸a\u2dco 45
2.1 O problema das a´reas - me´todo de exausta\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Reta tangente a uma curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3 Definic¸a\u2dco de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4 Propriedades do limite de uma func¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5 Forma indeterminada do tipo
0
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.6 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.7 Func¸a\u2dco cont´\u131nua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.8 Func¸o\u2dces limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.9 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.10 Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.11 Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.12 Respostas dos exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3 Mais func¸o\u2dces e limites 73
3.1 Func¸o\u2dces Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1.1 Func¸o\u2dces Injetoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1.2 Func¸o\u2dces Sobrejetoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.1.3 Func¸o\u2dces bijetoras e suas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2 Func¸o\u2dces trigonome´tricas e suas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3
4 SUMA´RIO
3.2.1 Medidas de a\u2c6ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2.2 O c´\u131rculo trigonome´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2.3 Func¸o\u2dces Trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2.4 Func¸o\u2dces Trigonome´tricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.2.5 Limites Trigonome´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3 Func¸o\u2dces exponencial e logar´\u131tmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.3.1 Definic¸o\u2dces e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.3.2 Alguns limites das Func¸o\u2dces Exponencial e Logar´\u131timica . . . . . . . . . . 93
3.3.3 Limites Exponenciais Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.4 Func¸o\u2dces Hiperbo´licas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.5 Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4 Derivadas 105
4.1 O problema da reta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.2 Derivada de uma func¸a\u2dco em um ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.3 Derivada como Func¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.4 Derivadas laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.5 Continuidade e Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.6 Regras de Derivac¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.6.1 Derivadas de func¸o\u2dces constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.6.2 Derivada do produto de uma func¸a\u2dco por uma constante . . . . . . . . . . 112
4.6.3 Derivadas de pote\u2c6ncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.6.4 Regra da soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.6.5 Derivadas de polino\u2c6mios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.6.6 Regra do Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.6.7 Regra do Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.6.8 Regra da Cadeia (Derivada de Func¸a\u2dco Composta) . . . . . . . . . . . . . 116
4.7 Derivadas das Func¸o\u2dces Exponenciais e Logar´\u131tmicas . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.8 Derivada da Func¸a\u2dco Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.9 Derivadas das Func¸o\u2dces Trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.10 Derivadas das Func¸o\u2dces Hiperbo´licas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.11 Tabela de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.12 Derivadas Sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.13 Derivac¸a\u2dco Impl´\u131cita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.14 Regras de L\u2019Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.15 Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.16 Respostas dos Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5 Aplicac¸o\u2dces de Derivadas 141
5.1 Acre´scimos e Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.2 Derivada como taxa de variac¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.3 Taxas Relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.4 Crescimento e Decrescimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.5 Ma´ximos e m\u131´nimos de uma func¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.5.1 Encontrando os extremos de uma func¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.5.2 Classificando pontos cr´\u131ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.6 Encontrando o extremos globais de uma func¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.6.1 Extremos globais em intervalos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.6.2 Extremos globais em intervalos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.7 Teorema de Rolle e Teorema