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DisciplinaGeometria Analítica13.058 materiais367.813 seguidores
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Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Câmpus Campo Mourão
Departamento de Matemática
GA3X1 - Geometria Analítica e Álgebra Linear
Lista de Exercícios: Estudo Analítico de Retas e Planos
Prof. Lilian Caroline Xavier Candido
1. (a) Sejam B = (\u22125, 2, 3) e C = (4,\u22127,\u22126). Escreva equações nas formas vetorial, paramétrica e
simétrica para a reta BC. Verifique se D = (3, 1, 4) pertence a essa reta.
(b) Dados A = (1, 2, 3) e ~u = (3, 2, 1), escreva equações da reta que contém A e é paralela a ~u, nas
formas vetorial, paramétrica e simétrica. Obtenha dois vetores diretores unitários dessa reta.
2. Escreva equações paramétricas dos eixos coordenados. Essas equações podem ser colocadas na forma
simétrica?
3. Obtenha dois pontos e dois vetores diretores da reta de equações paramétricas
\uf8f1\uf8f2
\uf8f3
x = 1 + \u3bb
y = \u3bb
z = 4 + 2\u3bb
Verifique se os pontos P = (1, 3,\u22123) e Q = (\u22123, 4, 12) pertencem à reta.
4. Obtenha equações paramétricas da reta que contém o ponto (1, 4,\u22127) e é paralela à reta de equações
paramétricas \uf8f1\uf8f2
\uf8f3
x = 200 \u2212 \u3bb
y =
\u221a
3 \u2212 3\u3bb
z = 0
5. Sejam B = (1, 1, 0) e C = (\u22121, 0, 1). Escreva equações paramétricas da reta que contém o ponto
(3, 3, 3) e é paralela a BC.
6. Escreva equações nas formas paramétrica e simétrica da reta que contém o ponto A = (2, 0,\u22123) e é
paralela à reta descrita pelas equações 1\u2212x
5
= 3y
4
= z+3
6
.
7. Sejam A = (1, 2, 3) e B = (\u22122, 3, 0). Escreva equações da reta AB nas formas vetorial, paramétrica
e simétrica e obtenha os pontos da reta que distam 2
\u221a
19 de A.
8. Sejam A = (1, 2, 5) e B = (0, 1, 0). Determine o ponto P da reta AB tal que
\u2225\u2225\u2225\u2212\u2212\u2192PB
\u2225\u2225\u2225 = 3
\u2225\u2225\u2225\u2212\u2192PA
\u2225\u2225\u2225.
9. Sejam A = (1, 1, 1), B = (0, 0, 1) e r : X = (1, 0, 0)+\u3bb(1, 1, 1). Determine os pontos de r equidistantes
de A e B.
10. Sejam P = (2, 1,\u22121) e Q = (0,\u22121, 0). Determine um ponto C da reta PQ tal que a área do triângulo
ABC seja 9, nos casos:
(a) A = (0, 3, 0), B = (6, 3, 3)
(b) A = (\u22122, 3, 4), B = (\u22126,\u22121, 6)
(c) A = (\u22121, 1, 2), B = (\u22125,\u22123, 4)
(d) A = (1, 2, 7), B = (\u22125,\u22124,\u22125)
11. Escreva uma equação vetorial e equações paramétricas do plano \u3c0, utilizando as informações dadas
em cada caso.
(a) \u3c0 contém A = (1, 2, 0) e é paralelo aos vetores ~u = (1, 1, 0) e ~v = (2, 3,\u22121).
(b) \u3c0 contém A = (1, 1, 0) e B = (1,\u22121,\u22121) e é paralelo ao vetor ~v = (2, 1, 0).
(c) \u3c0 contém A = (1, 0, 1) e B = (0, 1,\u22121) e é paralelo ao segmento de extremidades C = (1, 2, 1)
e D = (0, 1, 0).
(d) \u3c0 contém os pontos A = (1, 0, 1), B = (2, 1,\u22121) e C = (1,\u22121, 0).
(e) \u3c0 contém os pontos A = (1, 0, 2), B = (\u22121, 1, 3) e C = (3,\u22121, 1).
12. Obtenha as equações paramétricas do plano que contém o ponto A = (1, 1, 2) e é paralelo ao plano
\uf8f1\uf8f2
\uf8f3
x = 1 + \u3bb + 2µ
y = 2\u3bb + µ
z = \u2212 \u3bb
13. Obtenha equações paramétricas dos planos coordenados.
14. Obtenha uma equação geral do plano \u3c0 em cada caso.
(a) \u3c0 contém A = (1, 1, 0) e B = (1,\u22121,\u22121) e é paralelo a ~u = (2, 1, 0).
(b) \u3c0 contém A = (1, 0, 1) e B = (0, 1,\u22121) e é paralelo a CD, sendo C = (1, 2, 1) e D = (0, 1, 0).
(c) \u3c0 contém A = (1, 0, 1), B = (2, 1,\u22121) e C = (1,\u22121, 0).
(d) \u3c0 contém A = (1, 0, 2), B = (\u22121, 1, 3) e C = (3,\u22121, 1).
(e) \u3c0 contém P = (1, 0,\u22121) e r : x\u22121
2
= y
3
= 2\u2212 z.
(f) \u3c0 contém P = (1,\u22121, 1) e r : X = (0, 2, 2) + \u3bb(1, 1,\u22121).
15. Obtenha equações gerais dos planos coordenados.
16. Verifique se o vetor ~u é paralelo ao plano \u3c0 : 4x\u2212 6y + z \u2212 3 = 0, nos casos:
(a) ~u = (\u22121,\u22122, 3) (b) ~u = (0, 1, 6) (c) ~u = (3, 2, 0) (d) ~u = (\u22123, 2, 24)
17. Obtenha um vetor normal ao plano \u3c0 em cada caso:
(a) \u3c0 contém A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 1) e C = (1, 2, 3)
(b) \u3c0 : X = (1, 2, 0) + \u3bb(1,\u22121, 1) + µ(0, 1,\u22122)
(c) \u3c0 : x\u2212 2y + 4z + 1 = 0
18. Dadas equações paramétricas, obtenha uma equação geral do plano:
(a)
\uf8f1\uf8f2
\uf8f3
x = 1 + \u3bb \u2212 µ
y = 2\u3bb + µ
z = 3 \u2212 µ
(b)
\uf8f1\uf8f2
\uf8f3
x = 1 + \u3bb
y = 2
z = 3 \u2212 \u3bb + µ
(c)
\uf8f1\uf8f2
\uf8f3
x = \u22122 + \u3bb \u2212 µ
y = 2\u3bb + 2µ
z = \u3bb + µ
(d)
\uf8f1\uf8f2
\uf8f3
x = \u3bb \u2212 3µ
y = \u3bb + 2µ
z = 3\u3bb \u2212 µ
19. Dada uma equação geral, obtenha equações paramétricas do plano.
(a) 4x+2y\u2212z+5 = 0 (b) 5x\u2212 y \u2212 1 = 0 (c) z \u2212 3 = 0 (d) y \u2212 z \u2212 2 = 0
20. O plano \u3c01 contém A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) e C = (0, 0, 1); o plano \u3c02 contém Q = (\u22121,\u22121, 0) e é
paralelo a ~u = (0, 1,\u22121) e ~v = (1, 0, 1), e o plano \u3c03 tem equaçãoX = (1, 1, 1)+\u3bb(\u22122, 1, 0)+µ(1, 0, 1).
(a) Obtenha equações gerais dos três planos.
(b) Mostre que a interseção dos três planos se reduz a um único ponto e determine-o.
21. Mostre que o ponto P = (4, 1,\u22121) não pertence à reta r : X = (2, 4, 1) + \u3bb(1,\u22121, 2) e obtenha uma
equação geral do plano determinado por r e P .
22. Obtenha os pontos de r : X = (1, 1, 1) + \u3bb(2, 0, 1) que pertencem ao plano \u3c0, nos casos:
(a) \u3c0 : x\u2212 y \u2212 z = 0
(b) \u3c0 : x+ 3y \u2212 2z + 1 = 0
(c) \u3c0 : 2x\u2212 y \u2212 4z + 3 = 0
(d) \u3c0 é o plano xOz
23. Obtenha os pontos de \u3c01 : X = (1, 0, 0)+\u3bb(2, 1, 1)+µ(0, 0, 1) que pertencem a \u3c02 = x+y+z\u22121 = 0.
24. Verifique se as retas r e s são concorrentes e, se forem, obtenha o ponto de interseção.
(a) r : X = (1, 1, 0) + \u3bb(1, 2, 3) s : X = (2, 3, 3) + µ(3, 2, 1)
(b) r :
\uf8f1\uf8f2
\uf8f3
x = 1 + 2\u3bb
y = \u3bb
z = 1 + 3\u3bb
s :
\uf8f1\uf8f2
\uf8f3
x = \u22121 + 4\u3bb
y = \u22121 + 2\u3bb
z = \u22122 + 6\u3bb
(c) r :
\uf8f1\uf8f2
\uf8f3
x = 2 \u2212 4\u3bb
y = 4 + 5\u3bb
z = 11
s : x
2
= y\u22121\u22122 = z
(d) r : x\u22122
3
= y+2
4
= z s : x
4
= y
2
= z\u22123
2
25. Mostre que as retas r e s são concorrentes, determine o ponto comum e obtenha uma equação geral
do plano determinado por elas.
(a) r :
\uf8f1\uf8f2
\uf8f3
x = \u3bb
y = \u2212 \u3bb
z = 1 + 4\u3bb
s : x\u22121
3
= y\u22125
3
= 2+z
5
(b) r :
\uf8f1\uf8f2
\uf8f3
x = 2 \u2212 2\u3bb
y = 4 + \u3bb
z = \u2212 3\u3bb
s :
\uf8f1\uf8f2
\uf8f3
x = 1 + \u3bb
y = \u2212 2\u3bb
z = 2\u3bb
(c) r : x\u22123
2
= y\u22126
2
= z \u2212 1 s : x
2
= y
8
= z+4
8
26. Obtenha a interseção da reta r com o plano \u3c0.
(a) r : X = (\u22121,\u22121, 0) + \u3bb(1,\u22121,\u22121) \u3c0 : x+ y + z + 1 = 0
(b) r : X = (\u22121,\u22121, 1) + \u3bb(1,\u22121, 0) \u3c0 : x+ y + z + 1 = 0
(c) r : x\u2212 3 = y \u2212 2 = z+1
2
\u3c0 : x+ 2y \u2212 z = 10
(d) r : X = (\u22121,\u22121, 0) + \u3bb(1,\u22121, 0) \u3c0 : 2x+ 2y + z + 1 = 10
(e) r :
\uf8f1\uf8f2
\uf8f3
x = 2\u3bb
y = \u3bb
z = 1 \u2212 3\u3bb
\u3c0 :
\uf8f1\uf8f2
\uf8f3
x = 1 + \u3b1
y = \u22123 + \u3b2
z = 1 + \u3b1 + \u3b2
27. Determine a interseção dos planos \u3c01 e \u3c02. Quando se tratar de uma reta, descreva-a por equações
paramétricas.
(a) \u3c01 : x+ 2y \u2212 z \u2212 1 = 0 \u3c02 : 2x+ y \u2212 z = 1
(b) \u3c01 : z \u2212 1 = 0 \u3c02 : y \u2212 2x+ 2 = 0
(c) \u3c01 : x\u2212 y = 1\u2212 3z \u3c02 : 6z \u2212 2y = 2\u2212 2x
(d) \u3c01 : 3x\u2212 4y + 2z = 4 \u3c02 : \u221215x+ 20y \u2212 10z = 9
28. Obtenha uma equação vetorial da interseção dos planos \u3c01 e \u3c02, se esta não for vazia.
(a) \u3c01 : X = (1,\u22122, 0) + \u3bb(1, 0,\u22121) + µ(0, 0,\u22121) \u3c02 : X = (1, 0, 3) + \u3bb(1, 2, 0) + µ(\u22121, 1,\u22121)
(b) \u3c01 : X = (1, 0, 0) + \u3bb(\u22121, 1, 0) + µ(1, 0, 1) \u3c02 : X = (1,\u22121,\u22122) + \u3bb(1, 0, 1) + µ(0, 1, 1)
(c) \u3c01 : X = (4, 4,\u22122) + \u3bb(2, 2,\u22121) + µ(0, 1, 4) \u3c02 : X = (\u22124,\u22122, 10) + \u3bb(4, 5, 2) + µ(6, 8, 5)
(d) \u3c01 : X = (1, 0, 0) + \u3bb(0, 1, 1) + µ(1, 2, 1) \u3c02 : X = (0, 0, 0) + \u3bb(0, 3, 0) + µ(\u22122,\u22121,\u22121)
29. Estude a posição relativa das retas r e s. Se r e s forem paralelas ou concorrentes, obtenha uma
equação geral do plano determinado por elas; se forem reversas, obtenha uma equação geral do plano
que contém r e é paralelo a s.
(a) r : x+1
2
= y
3
= z+1
2
s : X = (0, 0, 0) + \u3bb(1, 2, 0)
(b) r : X = (8, 1, 9) + \u3bb(2,\u22121, 3) s : X = (3,\u22124, 4) + \u3bb(1,\u22122, 2)
(c) r : x\u22121
3
= y\u22125
3
= z+2
5
s : x = \u2212y = z\u22121
4
(d) r : x+ 3 = 2y\u22124
4
= z\u22121
3
s : X = (0, 2, 2) + \u3bb(1, 1,\u22121)
30. Sejam r : X = (1, 0, 2) + \u3bb(2, 1, 3) e s : X = (0, 1,\u22121) + \u3bb(1,m, 2m). Estude, segundo os valores de
m, a posição relativa de r e s e obtenha, quando for o caso, uma equação geral do plano determinado
por elas.
31. Estude, segundo os valores de m e n, a posição relativa das retas r e s. Obtenha, quando for o caso,
uma equação geral do plano determinado por elas.
r : X = (1,m, 0) + \u3bb(1, 2, 1) s :
{
x = z \u2212 2
y = nz \u2212 1
32. Mostre que as retas r e s determinam um plano \u3c0 e obtenha uma equação geral de \u3c0.
(a)