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Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Campo Mourão Departamento de Matemática GA3X1 - Geometria Analítica e Álgebra Linear Lista de Exercícios: Estudo Analítico de Retas e Planos Prof. Lilian Caroline Xavier Candido 1. (a) Sejam B = (−5, 2, 3) e C = (4,−7,−6). Escreva equações nas formas vetorial, paramétrica e simétrica para a reta BC. Verifique se D = (3, 1, 4) pertence a essa reta. (b) Dados A = (1, 2, 3) e ~u = (3, 2, 1), escreva equações da reta que contém A e é paralela a ~u, nas formas vetorial, paramétrica e simétrica. Obtenha dois vetores diretores unitários dessa reta. 2. Escreva equações paramétricas dos eixos coordenados. Essas equações podem ser colocadas na forma simétrica? 3. Obtenha dois pontos e dois vetores diretores da reta de equações paramétricas x = 1 + λ y = λ z = 4 + 2λ Verifique se os pontos P = (1, 3,−3) e Q = (−3, 4, 12) pertencem à reta. 4. Obtenha equações paramétricas da reta que contém o ponto (1, 4,−7) e é paralela à reta de equações paramétricas x = 200 − λ y = √ 3 − 3λ z = 0 5. Sejam B = (1, 1, 0) e C = (−1, 0, 1). Escreva equações paramétricas da reta que contém o ponto (3, 3, 3) e é paralela a BC. 6. Escreva equações nas formas paramétrica e simétrica da reta que contém o ponto A = (2, 0,−3) e é paralela à reta descrita pelas equações 1−x 5 = 3y 4 = z+3 6 . 7. Sejam A = (1, 2, 3) e B = (−2, 3, 0). Escreva equações da reta AB nas formas vetorial, paramétrica e simétrica e obtenha os pontos da reta que distam 2 √ 19 de A. 8. Sejam A = (1, 2, 5) e B = (0, 1, 0). Determine o ponto P da reta AB tal que ∥∥∥−−→PB ∥∥∥ = 3 ∥∥∥−→PA ∥∥∥. 9. Sejam A = (1, 1, 1), B = (0, 0, 1) e r : X = (1, 0, 0)+λ(1, 1, 1). Determine os pontos de r equidistantes de A e B. 10. Sejam P = (2, 1,−1) e Q = (0,−1, 0). Determine um ponto C da reta PQ tal que a área do triângulo ABC seja 9, nos casos: (a) A = (0, 3, 0), B = (6, 3, 3) (b) A = (−2, 3, 4), B = (−6,−1, 6) (c) A = (−1, 1, 2), B = (−5,−3, 4) (d) A = (1, 2, 7), B = (−5,−4,−5) 11. Escreva uma equação vetorial e equações paramétricas do plano π, utilizando as informações dadas em cada caso. (a) π contém A = (1, 2, 0) e é paralelo aos vetores ~u = (1, 1, 0) e ~v = (2, 3,−1). (b) π contém A = (1, 1, 0) e B = (1,−1,−1) e é paralelo ao vetor ~v = (2, 1, 0). (c) π contém A = (1, 0, 1) e B = (0, 1,−1) e é paralelo ao segmento de extremidades C = (1, 2, 1) e D = (0, 1, 0). (d) π contém os pontos A = (1, 0, 1), B = (2, 1,−1) e C = (1,−1, 0). (e) π contém os pontos A = (1, 0, 2), B = (−1, 1, 3) e C = (3,−1, 1). 12. Obtenha as equações paramétricas do plano que contém o ponto A = (1, 1, 2) e é paralelo ao plano x = 1 + λ + 2µ y = 2λ + µ z = − λ 13. Obtenha equações paramétricas dos planos coordenados. 14. Obtenha uma equação geral do plano π em cada caso. (a) π contém A = (1, 1, 0) e B = (1,−1,−1) e é paralelo a ~u = (2, 1, 0). (b) π contém A = (1, 0, 1) e B = (0, 1,−1) e é paralelo a CD, sendo C = (1, 2, 1) e D = (0, 1, 0). (c) π contém A = (1, 0, 1), B = (2, 1,−1) e C = (1,−1, 0). (d) π contém A = (1, 0, 2), B = (−1, 1, 3) e C = (3,−1, 1). (e) π contém P = (1, 0,−1) e r : x−1 2 = y 3 = 2− z. (f) π contém P = (1,−1, 1) e r : X = (0, 2, 2) + λ(1, 1,−1). 15. Obtenha equações gerais dos planos coordenados. 16. Verifique se o vetor ~u é paralelo ao plano π : 4x− 6y + z − 3 = 0, nos casos: (a) ~u = (−1,−2, 3) (b) ~u = (0, 1, 6) (c) ~u = (3, 2, 0) (d) ~u = (−3, 2, 24) 17. Obtenha um vetor normal ao plano π em cada caso: (a) π contém A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 1) e C = (1, 2, 3) (b) π : X = (1, 2, 0) + λ(1,−1, 1) + µ(0, 1,−2) (c) π : x− 2y + 4z + 1 = 0 18. Dadas equações paramétricas, obtenha uma equação geral do plano: (a) x = 1 + λ − µ y = 2λ + µ z = 3 − µ (b) x = 1 + λ y = 2 z = 3 − λ + µ (c) x = −2 + λ − µ y = 2λ + 2µ z = λ + µ (d) x = λ − 3µ y = λ + 2µ z = 3λ − µ 19. Dada uma equação geral, obtenha equações paramétricas do plano. (a) 4x+2y−z+5 = 0 (b) 5x− y − 1 = 0 (c) z − 3 = 0 (d) y − z − 2 = 0 20. O plano π1 contém A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) e C = (0, 0, 1); o plano π2 contém Q = (−1,−1, 0) e é paralelo a ~u = (0, 1,−1) e ~v = (1, 0, 1), e o plano π3 tem equaçãoX = (1, 1, 1)+λ(−2, 1, 0)+µ(1, 0, 1). (a) Obtenha equações gerais dos três planos. (b) Mostre que a interseção dos três planos se reduz a um único ponto e determine-o. 21. Mostre que o ponto P = (4, 1,−1) não pertence à reta r : X = (2, 4, 1) + λ(1,−1, 2) e obtenha uma equação geral do plano determinado por r e P . 22. Obtenha os pontos de r : X = (1, 1, 1) + λ(2, 0, 1) que pertencem ao plano π, nos casos: (a) π : x− y − z = 0 (b) π : x+ 3y − 2z + 1 = 0 (c) π : 2x− y − 4z + 3 = 0 (d) π é o plano xOz 23. Obtenha os pontos de π1 : X = (1, 0, 0)+λ(2, 1, 1)+µ(0, 0, 1) que pertencem a π2 = x+y+z−1 = 0. 24. Verifique se as retas r e s são concorrentes e, se forem, obtenha o ponto de interseção. (a) r : X = (1, 1, 0) + λ(1, 2, 3) s : X = (2, 3, 3) + µ(3, 2, 1) (b) r : x = 1 + 2λ y = λ z = 1 + 3λ s : x = −1 + 4λ y = −1 + 2λ z = −2 + 6λ (c) r : x = 2 − 4λ y = 4 + 5λ z = 11 s : x 2 = y−1−2 = z (d) r : x−2 3 = y+2 4 = z s : x 4 = y 2 = z−3 2 25. Mostre que as retas r e s são concorrentes, determine o ponto comum e obtenha uma equação geral do plano determinado por elas. (a) r : x = λ y = − λ z = 1 + 4λ s : x−1 3 = y−5 3 = 2+z 5 (b) r : x = 2 − 2λ y = 4 + λ z = − 3λ s : x = 1 + λ y = − 2λ z = 2λ (c) r : x−3 2 = y−6 2 = z − 1 s : x 2 = y 8 = z+4 8 26. Obtenha a interseção da reta r com o plano π. (a) r : X = (−1,−1, 0) + λ(1,−1,−1) π : x+ y + z + 1 = 0 (b) r : X = (−1,−1, 1) + λ(1,−1, 0) π : x+ y + z + 1 = 0 (c) r : x− 3 = y − 2 = z+1 2 π : x+ 2y − z = 10 (d) r : X = (−1,−1, 0) + λ(1,−1, 0) π : 2x+ 2y + z + 1 = 10 (e) r : x = 2λ y = λ z = 1 − 3λ π : x = 1 + α y = −3 + β z = 1 + α + β 27. Determine a interseção dos planos π1 e π2. Quando se tratar de uma reta, descreva-a por equações paramétricas. (a) π1 : x+ 2y − z − 1 = 0 π2 : 2x+ y − z = 1 (b) π1 : z − 1 = 0 π2 : y − 2x+ 2 = 0 (c) π1 : x− y = 1− 3z π2 : 6z − 2y = 2− 2x (d) π1 : 3x− 4y + 2z = 4 π2 : −15x+ 20y − 10z = 9 28. Obtenha uma equação vetorial da interseção dos planos π1 e π2, se esta não for vazia. (a) π1 : X = (1,−2, 0) + λ(1, 0,−1) + µ(0, 0,−1) π2 : X = (1, 0, 3) + λ(1, 2, 0) + µ(−1, 1,−1) (b) π1 : X = (1, 0, 0) + λ(−1, 1, 0) + µ(1, 0, 1) π2 : X = (1,−1,−2) + λ(1, 0, 1) + µ(0, 1, 1) (c) π1 : X = (4, 4,−2) + λ(2, 2,−1) + µ(0, 1, 4) π2 : X = (−4,−2, 10) + λ(4, 5, 2) + µ(6, 8, 5) (d) π1 : X = (1, 0, 0) + λ(0, 1, 1) + µ(1, 2, 1) π2 : X = (0, 0, 0) + λ(0, 3, 0) + µ(−2,−1,−1) 29. Estude a posição relativa das retas r e s. Se r e s forem paralelas ou concorrentes, obtenha uma equação geral do plano determinado por elas; se forem reversas, obtenha uma equação geral do plano que contém r e é paralelo a s. (a) r : x+1 2 = y 3 = z+1 2 s : X = (0, 0, 0) + λ(1, 2, 0) (b) r : X = (8, 1, 9) + λ(2,−1, 3) s : X = (3,−4, 4) + λ(1,−2, 2) (c) r : x−1 3 = y−5 3 = z+2 5 s : x = −y = z−1 4 (d) r : x+ 3 = 2y−4 4 = z−1 3 s : X = (0, 2, 2) + λ(1, 1,−1) 30. Sejam r : X = (1, 0, 2) + λ(2, 1, 3) e s : X = (0, 1,−1) + λ(1,m, 2m). Estude, segundo os valores de m, a posição relativa de r e s e obtenha, quando for o caso, uma equação geral do plano determinado por elas. 31. Estude, segundo os valores de m e n, a posição relativa das retas r e s. Obtenha, quando for o caso, uma equação geral do plano determinado por elas. r : X = (1,m, 0) + λ(1, 2, 1) s : { x = z − 2 y = nz − 1 32. Mostre que as retas r e s determinam um plano π e obtenha uma equação geral de π. (a)r : x− 1 = y = 2z s : x− 1 = y = z (b) r : x−1 2 = y−3 3 = z 4 s : x 2 = y 3 = z−4 4 33. Estude a posição relativa de r e π e, quando forem transversais, obtenha o ponto de interseção P . (a) r : X = (1, 1, 0) + λ(0, 1, 1) π : x− y − z = 2 (b) r : x−1 2 = y = z π : X = (3, 0, 1) + λ(1, 0, 1) + µ(2, 2, 0) (c) r : X = (0, 0, 0) + λ(1, 4, 1) π : X = (1,−1, 1) + λ(0, 1, 2) + µ(1,−1, 0) (d) r : X = x+2 3 = y − 1 = z+3 3 π : 3x− 6y − z = 0 34. Calcule m para que r seja paralela a π. r : X = (1, 1, 1) + λ(2,m, 1) π : X = (0, 0, 0) + λ(1, 2, 0) + µ(1, 0, 1) 35. Calcule m e n para que r esteja contida em π. (a) r : X = (n, 2, 0) + λ(2,m, 1) π : x− 3y + z = 1 (b) r : X = (m, 3, n) + λ(1, 1, n) π : nx− ny +mz = 1 36. Para que valores de m a reta r : x−1 m = y 2 = z m é transversal ao plano π : x+my + z = 0? 37. Sejam r : X = (n, 2, 0)+λ(2,m, n) e π : nx− 3y+ z = 1. Usando, em cada caso, a informação dada, obtenha condições sobre m e n. (a) r e π são paralelos; (b) r e π são transversais; (c) r está contida em π. 38. Estude a posição relativa dos planos π1 e π2. (a) π1 : X = (1, 1, 1) + λ(0, 1, 1) + µ(−1, 2, 1) π2 : X = (1, 0, 0) + λ(1,−1, 0) + µ(−1,−1,−2) (b) π1 : X = (4, 2, 4) + λ(1, 1, 2) + µ(3, 3, 1) π2 : X = (3, 0, 0) + λ(1, 1, 0) + µ(0, 1, 4) (c) π1 : 2x− y + 2z − 1 = 0 π2 : 4x− 2y + 4z = 0 (d) π1 : x− y + 2z − 2 = 0 π2 : X = (0, 0, 1) + λ(1, 0, 3) + µ(−1, 1, 1) 39. Calcule m para que os planos π1 : X = (1, 1, 0) + λ(m, 1, 1) + µ(1, 1,m) e π2 : 2x+ 3y + 2z + n = 0 sejam paralelos distintos, nos casos: (a) n = −5 (b) n = 1 40. Mostre que os planos π1 : x = − λ + 2µ y = mλ z = λ + µ π2 : x = 1 + mλ + µ y = 2 + λ z = 3 + mµ são transversais, qualquer que seja o número real m. 41. Estude a posição relativa dos planos π1 : 2x+y+3z+1 = 0e π2 : X = (1, 1, 1)+λ(1, 1, 0)+µ(2,−1,m). 42. Verifique se as retas r e s são ortogonais ou perpendiculares. (a) r : X = (1, 2, 3) + λ(1, 2, 1) s : X = (2, 4, 4) + λ(−1, 1,−1) (b) r : x+ 3 = y = z 3 s : x−4 2 = 4−y−1 = −z (c) r : x−1 2 = y−3 5 = z 7 s : X = (1, 3, 0) + λ(0,−7, 5) (d) r : X = (0, 1, 0) + λ(3, 1, 4) s : X = (−1, 1, 0) + λ(1, 0, 1) (e) r : X = (2,−5, 1) + λ(3,−2,−1) s : x−4 2 = y−2 3 = z+4−5 43. Sejam r : X = (1, 1, 1) + λ(1, 1, 1) e s : X = (1, 2, 0) + λ(2, 3,m). Verifique se existe algum valor de m tal que r e s sejam ortogonais ou perpendiculares. 44. Obtenha uma equação vetorial da reta s que contém P e é perpendicular a r, nos casos: (a) P = (2, 6, 1), r : X = (−3, 0, 0) + λ(1, 1, 3). (b) P = (1, 0, 1), r contém A = (0, 0,−1) e B = (1, 0, 0). 45. Verifique se r e π são perpendiculares: (a) r : X = (0, 0, 4) + λ(1,−1, 1) π : X = (1, 2, 3) + λ(1, 2, 1) + µ(1, 0, 1) (b) r : X = (3, 1, 4) + λ(−1, 0, 1) π : X = (1, 1, 1) + λ(0, 2, 0) + µ(1, 1, 1) (c) r : X = (1, 1, 0) + λ(3,−3, 1) π : 6x− 6y + 2z − 1 = 0 46. Obtenha uma equação vetorial da reta que contém o ponto P e é perpendicular ao plano π. (a) P = (1, 3, 7), π : 2x− y + z = 6 (b) P = (1,−1, 0), π : X = (1,−1, 1) + λ(1, 0, 1) + µ(1, 1, 1) (c) P = (1, 2, 3), π : 2x+ y − z = 2 (d) P = (0, 0, 0), π : X = (1, 0, 0) + λ(−1, 1, 1) + µ(−1, 1, 0) 47. Obtenha uma equação geral do plano π que contém o ponto P e é perpendicular à reta r. (a) P = (0, 1,−1) r : X = (0, 0, 0) + λ(1,−1, 1) (b) P = (0, 0, 0) r contém A = (1,−1, 1) e B = (−1, 1,−1) 48. Sejam r : X = (1, 0, 0) + λ(1, 1, 0) e s : X = (0, 0, 1) + λ(0, 1, 1). (a) Mostre que essas retas são concorrentes. (b) Obtenha equações na forma simétrica da reta perpendicular comum a r e s. 49. Verifique se π1 e π2 são perpendiculares: (a) π1 : X = (1,−3, 4) + λ(1, 0, 3) + µ(0, 1, 3) π2 : X = (0, 0, 0) + λ(1, 1, 6) + µ(1,−1, 0) (b) π1 : X = (1, 1, 1) + λ(−1, 0,−1) + µ(4, 1, 1) π2 : X = (3, 1, 1) + λ(1,−3,−1) + µ(3, 1, 0) (c) π1 : X = (4, 3, 1) + λ(1, 0, 1) + µ(3, 1, 0) π2 : y − 3z = 0 (d) π1 : x+ y − z − 2 = 0 π2 : 4x− 2y + 2z = 0 50. Estude a posição relativa dos planos π1 : 2x+y+3z+1 = 0 e π2 : X = (1, 1, 1)+λ(1, 1, 0)+µ(2,−1,m) e verifique se existe algum valor de m para o qual π1 e π2 sejam perpendiculares. 51. Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta r : X = (1, 0, 2)+λ(4, 1, 0) e é perpendicular a π : 3x+ y = 0. 52. Obtenha uma equação geral do plano que contém π1 ∩ π2 e é perpendicular a π3, sendo π1 : x− y + z + 1 = 0 π2 : x+ y − z − 1 = 0 π3 : x+ y + 2z − 2 = 0 53. Obtenha uma equação geral do plano que contém a origem, é paralelo a r : −x = 1−y 4 = 1−z 5 e perpendicular a π : X = (1, 2, 3) + λ(0, 4,−3) + µ(1,−1,−2). 54. O ângulo Aˆ do triângulo isósceles ABC mede 120◦. Sabendo que A = (1, 1, 1) e que BC está contido na reta r : X = (2, 1, 0) + λ(1,−1, 0), determine B e C e calcule o comprimento da altura relativa ao vértice A. 55. O triângulo ABC é retângulo em B e está contido no plano π1 : x + y + z = 1. O cateto BC está contido no plano π2 : x− 2y − 2z = 0 e o ângulo Cˆ mede 30◦. Dado A = (0, 1, 0), determine B e C e calcule o comprimento da altura relativa à hipotenusa. 56. Obtenha a media angular em radianos entre a reta r e o plano π. (a) r : x = y = z π : z = 0 (b) r : X = (0, 0, 1) + λ(−1, 1, 0) π : 3x+ 4y = 0 (c) r : X = (1, 0, 0) + λ(1, 1,−2) π : x+ y − z − 1 = 0 57. Calcule a medida angular entre os planos π1 e π2. (a) π1 : 2x+ y − z − 1 = 0 π2 : x− y + 3z − 10 = 0 (b) π1 : X = (1, 0, 0) + λ(1, 0, 1) + µ(−1, 0, 0) π2 : x+ y + z = 0 (c) π1 : X = (0, 0, 0) + λ(1, 0, 0) + µ(1, 1, 1) π2 : X = (1, 0, 0) + λ(−1, 2, 0) + µ(0, 1, 0) 58. Calcule a distância entre os pontos P e Q, nos casos: (a) P = (0,−1, 0), Q = (−1, 1, 0) (b) P = (−1,−3, 4), Q = (1, 2,−8) 59. Obtenha os pontos da reta r que equidistam de A e B. (a) r : x− 1 = 2y = z A(1, 1, 0) B(0, 1, 1) (b) r : X = (0, 0, 4) + λ(4, 2,−3) A(2, 2, 5) B(0, 0, 1) (c) r : X = (2, 3,−3) + λ(1, 1, 1) A(1, 1, 0) B(2, 2, 4) 60. Calcule a distância do ponto P à reta r. (a) P = (0,−1, 0), r : x = 2y − 3 = 2z − 1 (b) P = (1, 0, 1), r : x = 2y = 3z (c) P = (1,−1, 4), r : x−2 4 = y−3 = 1−z 2 (d) P = (−2, 0, 1), r : X = (1,−2, 0) + λ(3, 2, 1) 61. Obtenha os pontos da interseção dos planos π1 : x+ y = 2 e π2 : x = y + z que distam √ 14 3 da reta s : x = y = z + 1. 62. Obtenha os pontos da reta r que equidistam das retas s e t: r : x = y = z s : X = (1, 0, 0) + λ(1, 1, 0) t : X = (0, 0, 1) + λ(1, 0,−1) 63. Calcule a distância do ponto P ao plano π. (a) P = (0, 0,−6) π : x− 2y − 2z − 6 = 0 (b) P = ( 1, 1, 15 6 ) π : 4x− 6y + 12z + 21 = 0 (c) P = (9, 2,−2) π : X = (0,−5, 0) + λ (0, 5 12 , 1 ) + µ(1, 0, 0) (d) P = (1, 1, 1) π : 2x− y + 2z − 3 = 0 64. Determine os pontos da reta r que equidistam dos planos π1 e π2. (a) r : X = (0, 1, 1) + λ(1, 1, 2) π1 : x+ 2y − z − 3 = 0 π2 : x− y + 2z = 1 (b) r : x− 1 = 2y = z π1 : 2x− 3y − 4z − 3 = 0 π2 : 4x− 3y − 2z + 3 = 0 65. Calcule a distância entre as retas r e s. (a) r : x+4 3 = y 4 = z+5−2 s : X = (21,−5, 2) + λ(6,−4,−1) (b) r : x−1−2 = 2y = z s : X = (0, 0, 2) + λ (−2, 1 2 , 1 ) (c) r : x = y−3 2 = z − 2 s : x− 3 = y+1 2 = z − 2 66. Calcule a distância entre a reta r e o plano π. (a) r : X = (1, 9, 4) + λ(3, 3, 3) π : X = (5, 7, 9) + λ(1, 0, 0) + µ(0, 1, 0) (b) r : x = y − 1 = z + 3 π : 2x+ y − 3z − 10 = 0 (c) r é o eixo das abcissas; π : y + z = √ 2 67. Dados os planos π1 : x + y + z − 1 = 0, π2 : 3x+ y − z = 0 e π3 : x + y + z = 0, seja π o plano que contém π1 ∩ π2 e é perpendicular a π3. Calcule a distância de π a r : X = (1, 2, 3) + λ(1, 1, 1). 68. Calcule a distância entre os planos π1 e π2. (a) π1 : 2x− y + 2z + 9 = 0 π2 : 4x− 2y + 4z − 21 = 0 (b) π1 : x+ y + z = 0 π2 : x+ y + z + 2 = 0 (c) π1 : x+ y + z = 52 π2 : X = (2, 1, 2) + λ(−1, 0, 3) + µ(1, 1, 0) (d) π1 : x+ y + z = 0 π2 : 2x+ y + z + 2 = 0 (e) π1 : x+ y + z = 52 π2 :X = (2, 0, 0) + λ(−1, 0, 1) + µ(−1, 1, 0) 69. O plano π : x + y − z − 2 = 0 intercepta os eixos cartesianos nos pontos A, B e C. Calcular a área do triângulo ABC. 70. Calcular o volume do tetraedro limitado pelo plano 3x+2y−4z−12 = 0 e pelos planos coordenados. Respostas 1. (a) Forma vetorial: X = (4,−7,−6) + λ(1,−1,−1) Forma paramétrica: x = 4 − λ y = −7 + λ z = −6 + λ Forma simétrica: x−4−1 = y+7 1 = z+8 1 D não pertence à reta (b) Forma vetorial: X = (1, 2, 3) + λ(3, 2, 1) Forma paramétrica: x = 1 + 3λ y = 2 + 2λ z = 3 + λ Forma simétrica: x−1 3 = y−2 2 = z−3 1 Vetores diretores unitários: ± (3,2,1)√ 14 2. Ox : x = λ y = 0 z = 0 Oy : x = 0 y = λ z = 0 Oz : x = 0 y = 0 z = λ 3. Vetores diretores: (1, 1, 2) e (−1,−1,−2). P não. Q não. 4. x = 1 − λ y = 4 − 3λ z = −7 5. x = 3 + 2λ y = 3 + λ z = 3 − λ 6. Forma paramétrica: x = 2 − 15λ y = 4λ z = −3 + 18λ Forma simétrica: x−2−15 = y 4 = z+3 18 7. Forma vetorial: X = (1, 2, 3) + λ(−3, 1,−3) Forma paramétrica: x = 1 − 3λ y = 2 + λ z = 3 − 3λ Forma simétrica: x−1−3 = y − 2 = z−3−3 Os pontos são (7, 0, 9) e (−5, 4,−3) 8. ( 3 4 , 7 4 , 15 4 ) ou ( 3 2 , 5 2 , 15 2 ) 9. (1, 0, 0) 10. (a) (2, 1,−1) ou (22 9 , 13 9 ,−11 9 ) (b) Não existe C (c) Qualquer ponto da reta PQ é solução. (d) Não existe C 11. (a) Forma vetorial: X = (1, 2, 0) + λ(1, 1, 0) + µ(2, 3,−1) Forma paramétrica: x = 1 + λ + 2µ y = 2 + λ + 2µ z = − µ (b) Forma vetorial: X = (1, 1, 0) + λ(0, 2, 1) + µ(2, 1, 0) Forma paramétrica: x = 1 + 2µ y = 1 + 2λ + µ z = λ (c) Forma vetorial: X = (1, 0, 1) + λ(1,−1, 2) + µ(1, 1, 1) Forma paramétrica: x = 1 + λ + µ y = − λ + µ z = 1 + 2λ + µ (d) Forma vetorial: X = (1,−1, 0) + λ(−1,−2, 1) + µ(0, 1, 1) Forma paramétrica: x = 1 − λ y = −1 − 2λ + µ z = λ + µ (e) π não está determinado 12. x = 1 + λ + 2µ y = 1 + 2λ + µ z = 2 − λ 13. Oxy : x = λ y = µ z = 0 Oxz : x = λ y = 0 z = µ Oyz : x = 0 y = λ z = µ 14. (a) x− 2y + 4z + 1 = 0 (b) 3x− y − 2z − 1 = 0 (c) 3x− y + z − 4 = 0 (d) o plano não está determinado (e) 3x− 2y − 3 = 0 (f) x+ z − 2 = 0 15. Oxy : z = 0 Oxz : y = 0 Oyz : x = 0 16. (a) Não (b) Sim (c) Sim (d) Sim 17. (a) (1, 0, 0) (b) (1,−2, 4) (c) (1, 2, 1) 18. (a) 2x−y−3z+7 = 0 (b) y − 2 = 0 (c) y − 2z = 0 (d) 7x+ 8y − 5z = 0 19. (a) x = λ y = µ z = 5 + 4λ + 2µ (b) x = λ y = −1 + 5λ z = µ (c) x = λ y = µ z = 3 (d) x = λ y = 2 + λ z = µ 20. (a) π1 : x+ y + z − 1 = 0; π2 : x− y − z = 0; π3 : x+ 2y − z − 2 = 0 (b) ( 1 2 , 2 3 ,−1 6 ) 21. 8x+ 6y − z − 39 = 0 22. (a) (3, 1, 2) (b) Não existem (c) Todos os pontos de r (d) Não existem 23. São os pontos da reta r : X = (1, 0, 0) + λ(2, 1,−3) 24. (a) Concorrentes em (2, 3, 3) (b) Não são concorrentes. (c) Concorrentes em (22,−21, 11) (d) Não são concorrentes 25. (a) (−2, 2, 7) − 17x+ 7y + 6z − 6 = 0 (b) (−2, 6,−6) − 4x+ y + 3z + 4 = 0 (c) (1, 4, 0) 4x− 7y + 6z + 24 = 0 26. (a) {(−2, 0, 1)} (b) É a reta r (c) {(5, 4, 3)} (d) É o conjunto vazio (e) {(−2 3 ,−1 3 , 2 )} 27. (a) x = λ y = λ z = −1 + 3λ (b) x = λ y = −2 + 2λ z = 1 (c) A interseção é o plano π1 (igual a π2) (d) A interseção é vazia (planos paralelos, distintos) 28. (a) X = (3,−1, 5) + λ(3, 0, 2) (b) A interseção é vazia (c) A interseção é o próprio plano π1 (igual a π2) (d) X = (4, 5, 3) + λ(2, 3, 1) 29. (a) Reversas. 4x− 2y − z + 3 = 0 (b) Concorrentes. 4x− y − 3z − 4 = 0 (c) Concorrentes. 17x− 7y − 6z + 6 = 0 (d) Reversas. 5x− 4y + z + 22 = 0 30. Se m = 2 3 as retas são concorrentes e determinam o plano de equação 2x− y − z = 0. Se m 6= 2 3 as retas são reversas. 31. Se n = 2 as retas são paralelas distintas para todo m e determinam o plano π : (m+1)x− 3y+ (5− m)z + 2m− 1 = 0 32. (a) x− y − 1 = 0; r e s são concorrentes em P = (1, 0, 0) (b) 8x− 4y − z + 4 = 0; r e s são paralelas distintas 33. (a) r e π são transversais; P (1, 0,−1) (b) r é paralela a π (c) r é transversal a π; P (−1 9 ,−4 9 ,−1 9 ) (d) r é paralela a π 34. 2 35. (a) m = 1, n = 7 (b) m = 0, n = −1 3 36. Para qualquer valor não-nulo 37. (a) m = n 6= ±√7 (b) m 6= n (c) m = n = ±√7 38. (a) iguais (b) transversais (c) paralelos distintos (d) transversais 39. a) Não existe m; b) −5 2 40. 41. Os planos são transversais, qualquer que seja m. 42. (a) Perpendiculares (b) Perpendiculares (c) Perpendiculares (d) Não são ortogonais (e) Não são ortogonais 43. As retas são ortogonais se m = −5. Não existe m tal que sejam perpendiculares. 44. (a) s : X = (2, 6, 1) + λ(−41,−52, 31) (b) s : X = (1, 0, 1) + λ(1, 0,−1) 45. (a) Não (b) Sim (c) Sim 46. (a) X = (1, 3, 7) + λ(2,−1, 1) (b) X = (1,−1, 0) + λ(−1, 0, 1) (c) X = (1, 2, 3) + λ(2, 1,−1) (d) X = (0, 0, 0) + λ(1, 1, 0) 47. (a) x− y + z + 2 = 0 (b) x− y + z = 0 48. (a) (b) x = y+1−1 = z. Esta reta contém o ponto comum a r e s e é perpendicular ao plano determinado por elas. 49. (a) Não (b) Sim (c) Sim (d) Sim 50. Os planos são transversais, qualquer que seja m. Os planos são perpendiculares se, e somente se, m = 9. 51. x− 4y + z − 3 = 0 52. x+ y − z − 1 = 0 53. x+ 51y − 41z = 0 54. (3, 0, 0) e (0, 3, 0); √ 6 2 55. B = ( 2 3 , 2 3 ,−1 3 ) ; C = ( 2 3 ,−1 3 , 2 3 ) ou C = ( 2 3 , 5 3 ,−4 3 ) . A altura mede √ 2 2 . 56. (a) arcsen (√ 3 3 ) (b) arcsen √ 2 10 (c) arcsen 2 √ 2 3 57. (a) arccos ( 2√ 66 ) (b) arccos 1√ 3 (c) pi 4 58. (a) √ 5 (b) √ 173 59. (a) Não existem tais pontos (b) Qualquer ponto de r é solução (c) (5, 6, 0) 60. (a) √ 5 (b) √ 34 7 (c) √ 270 29 (d) 3 √ 10 7 61. (2, 0, 2) e (0, 2,−2) 62. (a) 2 (b) 7 2 (c) 94 13 (d) 0 63. (0, 0, 0) e (1, 1, 1) 64. (a) ( 2 5 , 7 5 , 9 5 ) e (−2 3 , 1 3 ,−1 3 ) (b) (3, 1, 2) e (−1,−1,−2) 65. (a) 13 (b) √ 41 21 (c) 5 √ 30 6 66. (a) 0 (b) 0 (c) 1 67. 3 2 √ 2 68. (a) 13 2 (b) 2√ 3 (c) 0 (d) 0 (e) 1 2 √ 3 69. 2 √ 3 70. 12
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