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SUB_ESPAÇOS VETORIAIS_comb_linear

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ESPAÇOS VETORIAIS 
Definição. Um espaço vetorial real é um conjunto V, não-vazio, com duas operações: 
soma(+): ��� → �, � + � e multiplicação por escalar (.), ��� → �, ��, tais que, para 
qualquer �, �, 
	 ∈ � e 
, � ∈ �, as propriedades abaixo de �)	a ����) sejam satisfeitas. Os 
elementos do espaço vetorial � são chamados de vetores. 
• i) � + � + 
 = � + � + 
• ii) �	 + 	�	 = 	�	 + �	
• iii) Existe 0 ∈ � tal que �	 + 0	 = 0	 + � = �	( 0 é o vetor nulo) 
• iv) Existe −u ∈ � tal que �	 + −� = 0
• v) a � + � = 
� + 
�
• vi) 
 + � � = 
� + ��
• vii) 
� � = 
 ��
• viii) 1� = �
Exemplo 1. �� é um espaço vetorial
• n=2 �� é um espaço vetorial 
• Sendo � = (��, ��) ∈ �
� � = ��, �� ∈ �
�				
• Operações usuais: � + � = (�� + ��, �� + ��) ∈ �
�
• �� = (���, ���) ∈ �
�
Exemplo 2. Conjunto das matrizes reais 2x2
� = � 2,2 =
 �
� �
; 
, �, �, �	 ∈ �
• Demonstração: 
• i) u =
 �
� �
, v =
! "
# ℎ
, w =
& �
' (
. Então: 
• � + � + 
=
 �
� �
+
! "
# ℎ
+
& �
' (
=
 + ! � + "
� + # � + ℎ
+
& �
' (
=
(
 + !) + & (� + ") + �
(� + #) + ' (� + ℎ) + (
=
 + (! + &) � + (" + �)
� + (# + ') � + (ℎ + ()
=
 �
� �
+
! + & " + �
# + ' ℎ +(
= � + (� + 
)
ii) � + � =
 �
� �
+
! "
# ℎ
=
 + ! � + "
� + # � + ℎ
=
! + 
 " + �
# + � ℎ + �
=
! "
# ℎ
+
 �
� �
= � + �
• iii) 0=
0 0
0 0
é o vetor nulo deste espaço, pois: � + 0 =
 �
� �
+
•
0 0
0 0
=
 �
� �
= �. Analogamente, 0 + � = �
iv) Se u = 
 �
� �
, então −u =
−
 −�
−� −�
é tal que � + −� =
 �
� �
+
−
 −�
−� −�
=
0 0
0 0
= 0
•v) Para qualquer ) ∈ �, 
• )(� + �) = )
 + ! � + "
� + # � + ℎ
=
)(
 + !) )(� + ")
)(� + #) )(� + ℎ)
=
)
 + )! )� + )"
)� + )# )� + )ℎ
= 
)
 )�
)� )�
+
)! )"
)# )ℎ
=)
 �
� �
+ )
! "
# ℎ
=
					
tu + tv	.
vi) ) + , � = () + ,)
 () + ,)�
() + ,)� () + ,)�
=
)
 )�
)� )�
+
,
 ,�
,� ,�
= )� + ,�
•vii) ), � = ),
 ),�
),� ),�
=
)(,
) )(,�)
)(,�) )(,�)
= )
,
 ,�
,� ,�
= ) ,�
• viii) 1� = 1 ·
 �
� �
= 
 �
� �
= �
Subespaço vetorial
• Definição: Dado um espaço vetorial �, um subconjunto W ⊂ �, não-vazio, 
será um subespaço vetorial de � se:
• i) Para quaisquer �, � ∈ 0, tivermos � + � ∈ 0;
• ii) Para quaisquer 
 ∈ � e � ∈ 0, tivermos 
� ∈ 0.	
• Observações: 
• a) As operações em 0 de adição e multiplicação por escalar são ditas 
fechadas em 0. 
• b) Qualquer subespaço W de V precisa conter o vetor nulo. 
• c) Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços ( que são 
chamados de subespaços triviais ): o conjunto formado pelo vetor nulo e o 
próprio espaço vetorial. 
Exemplos de subespaços vetoriais 
• 1. � = �1 e 0 ⊂ �, 0 um plano passando pela origem
2. � = �� e 0 = { �, 3 	/ � ≥ 0} é um 
subespaço vetorial de V ? 
y
x
• Resposta: Não, pois o vetor u=(2,3) pertence ao conjunto 0 =
{ �, 3 	/ � ≥ 0} , mas −2� = (−4,−6)	não pertence. 
Subespaços vetoriais de ��
Temos os seguintes subespaços: 
• os subespaços triviais: 0 = 0,0 e 0 = ��
• As retas que passam pela origem : 0 = { �, 3 ; 3 = 
�}
Subespaços vetoriais de �1
Temos os seguintes subespaços: 
• os subespaços triviais: 0 = 0,0 e 0 = �1
• As retas que passam pela origem : 0 = ��; 		� = 
, �, � , � ∈ �
• Os planos que passam pela origem: 0 = {���� + ����; 		�� =
�, ��, �� , �� = 
�, ��, �� , ��, �� ∈ �}
Aplicações destes conceitos:
• Sistema RGB 
• Modelo do insumo-produto de W. Leontief
• Movimento de robôs 
• Estudo do DNA
COMBINAÇÃO LINEAR
• Sejam V um espaço vetorial e ��, ��, … , �� ∈ � e 
�, 
�, … , 
� números 
reais. Então, o vetor 
• � = 
��� + 
��� +⋯+ 
���
• é um elemento de V que chamamos de combinação linear de ��, ��, … , ��.
• Exemplo 1. � = �� e �� = (1,0) e �� = 0,1 .	Então 3��+4�� é uma 
combinação linear de ��, ��. A saber: 3��+4�� = (3,4)
Exemplo 2.� = �� e � = (1,2). 
• O conjunto gerado pelas combinações lineares de � é a reta que 
passa pela origem do ��, cuja equação é 3	 = 	2�. 
• De fato: (1,2) = { �, 3 ; �, 3 = 
 1,2 }
• Logo: � = 
	e 3 = 2
.	Ou seja: 3 = 2�. Por exemplo, o vetor � =
5,10 ∈ [ 1,2 ], pois 5,10 = 5(1,2)	
• Já o vetor 10,−6 ∉ [ 1,2 ], pois 10,−6 ≠ 
(1,2)
Exemplo 3. Os vetores de �1são combinações 
lineares de i, j e k
• De fato , se � ∈ �1, então � = (�, 3, A)
• Sendo � = 1,0,0 , & = 0,1,0 	 e � = (0,0,1), temos 
• � = �, 3, A = � 1,0,0 + 3 0,1,0 + A 0,0,1 = �� + 3& + A�
Exemplo 4. Verificando uma combinação 
linear
• Considere os vetores � = (1,2,−1) e � = (6,4,2). Mostrar que 
 =
9,2,7 é uma combinação linear de � e �, e que o vetor 
D =
4,−1,8 não é uma combinação linear de � e �.
DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
• Um conjunto de vetores {��, ��, … , ��} é linearmente 
independente(LI) se a equação 
��� + 
��� +⋯+ 
��� = 0 implica 
� = 0, 
� = 0,...,
� = 0. ( solução trivial é a única ). 
• Se existir algum 
F ≠ 0, diremos que o conjunto de vetores {��, ��, … , ��} é linearmente dependente (LD). 
Exemplos. No ��:
•1){(2,4), (4,8)} é linearmente dependente, pois
2 ∗ 2,4 − 1 ∗ (4,8) = (0,0)
• 2) {(1,0), (0,1)}	é linearmente independente, pois se 
• tivermos			
(1,0) 	+ 	�(0,1) = (0,0), então: 
• 
, 0 + 0, � = 0,0 , isto é, 
, � = 0,0 implica 
 = 0 e � = 0. 
•3){(1,1), (1, −1)}	é LI, pois se tivermos 
 1,1 + 	� 1,−1 =0,0 ,	então: 
, 
 + �,−� = 0,0 . Somando os vetores, 
resulta:
(
 + �, 
 − �) = (0,0).
Igualando as coordenadas, obtemos: H
 + � = 0
 − � = 0
Somando as duas equações, resulta 2
 = 0. Logo, 
 = 0.
Substituindo na equação 1, resulta � = 0.	
Como a única solução deste sistema é a trivial, os vetores são LI. 
Exemplos. No �1
• 1){(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} é um conjunto LI, pois se 
tivermos a 1,0,0 + � 0,1,0 + � 0,0,1 = (0,0,0), 
• então teremos 
, 0,0 + 0, �, 0 + 0,0, � = 0,0,0 ,	
• ou seja, a, b, c = 0,0,0 .	
Dái, concluímos que 
 = 0, � = 0 e � = 0 é a única solução. 
Isto é, o conjunto {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} é linearmente 
independente. 
2) {(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)} é um conjunto LD, pois vemos que: 
2 ∗ 4,5,6 − 1,2,3 − 7,8,9 = 0,0,0 .	
Assim, temos uma combinação linear entre os vetores 
dados, que resulta no vetor nulo, o que prova que o 
conjunto dado é LD. Observação: A combinação linear não-
trivial não é única. 
BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL �
• Definição: Um conjunto {��, ��, … , ��} de vetores de � será uma 
base de � se:
• i) {��, ��, … , ��} é Linearmente Independente ( LI )
• ii) [��, ��, … , ��] = V
• A condição ii) significa que todo vetor do espaço vetorial � é 
combinação linear dos vetores ��, ��, … , ��. Isto é, dizemos que {��, ��, … , ��} é o conjunto gerador do espaço �, ou simplesmente, 
que {��, ��, … , ��} gera �. 
Exemplo 1. � = ��, !� = 1,0 , !� = (0,1)
• {!�, !�} é uma base de �, conhecida como a base 
canônica do ��
•De fato: { 1,0 , (0,1)}	é LI 
• todo vetor � = (�, 3)	é combinação linear de !�, !�
pois �, 3 = � 1,0 + 3(0,1), ou � = �!� + 3!�
Observação: também é usada a notação {i,j} 
para a base canônica do ��
• � = (1,0) e & = (0,1)
• Assim: �, 3 = � 1,0 + 3 0,1 = �� + 3&
O conjunto	{ 1,1 , 0,1 } também é uma base do ��
• i) Se 
 1,1 + � 0,1 = (0,0), então 
, 
 + 0, � = (0,0), ou seja
• 
, 
 + � = (0,0). Logo: 
 = 0	e 
 + � = 0, isto é, 
 = 0	e � = 0.
• Isto prova que { 1,1 , 0,1 } é Linearmente Inpendente. 
• ii) Dado � = (�, 3) 	∈ �, temos de mostrar que 
• �, 3 = 
 1,1 + �(0,1)	. Multiplicando as constantes e somando: 
• �, 3 = 
, 
 + 0, � = 
,+ � .	
• Isto é: H 
 = �
 + � = 3 . Logo: � = 3 − �
• Conclusão: �, 3 = � 1,1 + (3 − �)(0,1)	
• Isto é, o conjunto { 1,1 , 0,1 } gera o ��. Assim, é uma base do ��.
• Exemplo: 4,6 = 4 1,1 + 2 0,1
• 5,1 = 5 1,1 − 4 0,1
• −8,6 = −8 1,1 + 14 0,1
Exemplo 2. {(0,1),(0,2)} não é base do ��, 
pois é um conjunto LD. De fato: 2*(0,1)-1(0,2)=(0,0). 
Exemplo 3. � = �1
• !� = 1,0,0 , !� = 0,1,0 , !1 = (0,0,1) é uma base de �1 , 
chamada de base canônica do �1. 
• {!�, !�, !1} é LI, pois 0,0,0 = 
 1,0,0 + � 0,1,0 + � 0,0,1 implica 
• 0,0,0 = (
, �, �), logo, 
 = 0, � = 0 e � = 0.
• [!�, !�, !1] = �1, pois �, 3, A = �!� + 3!� + A!1 . 
• Assim, {!�, !�, !1} é uma base do �1.
Exemplo 4. {(1,0,0),(0,1,0)} não é base do �1
• De fato, {(1,0,0),(0,1,0)} é LI, mas não gera o �1, pois 
• (0,0,1) não pertence ao conjunto [(1,0,0),(0,1,0)].
• De fato: 
 1,0,0 + � 0,1,0 = (
, �, 0) ≠ (0,0,1) , para quaisquer 
valores de 
 e �.
Referências bibliográficas: 
• Provenzi, E. Computational color science : variational Retinex-like 
methods. Londres, John Wiley & Sons, 2017. 
• Anton, H. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre, Bookman, 
2001. 
• Batschelet, E. Introdução a matemática para biocientistas. São Paulo, 
Editora da USP, 1978. 
• Leontief. A Economia do insumo produto. São Paulo, Abril cultural, 
1983.

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