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ESPAÇOS VETORIAIS Definição. Um espaço vetorial real é um conjunto V, não-vazio, com duas operações: soma(+): ��� → �, � + � e multiplicação por escalar (.), ��� → �, ��, tais que, para qualquer �, �, ∈ � e , � ∈ �, as propriedades abaixo de �) a ����) sejam satisfeitas. Os elementos do espaço vetorial � são chamados de vetores. • i) � + � + = � + � + • ii) � + � = � + � • iii) Existe 0 ∈ � tal que � + 0 = 0 + � = � ( 0 é o vetor nulo) • iv) Existe −u ∈ � tal que � + −� = 0 • v) a � + � = � + � • vi) + � � = � + �� • vii) � � = �� • viii) 1� = � Exemplo 1. �� é um espaço vetorial • n=2 �� é um espaço vetorial • Sendo � = (��, ��) ∈ � � � = ��, �� ∈ � � • Operações usuais: � + � = (�� + ��, �� + ��) ∈ � � • �� = (���, ���) ∈ � � Exemplo 2. Conjunto das matrizes reais 2x2 � = � 2,2 = � � � ; , �, �, � ∈ � • Demonstração: • i) u = � � � , v = ! " # ℎ , w = & � ' ( . Então: • � + � + = � � � + ! " # ℎ + & � ' ( = + ! � + " � + # � + ℎ + & � ' ( = ( + !) + & (� + ") + � (� + #) + ' (� + ℎ) + ( = + (! + &) � + (" + �) � + (# + ') � + (ℎ + () = � � � + ! + & " + � # + ' ℎ +( = � + (� + ) ii) � + � = � � � + ! " # ℎ = + ! � + " � + # � + ℎ = ! + " + � # + � ℎ + � = ! " # ℎ + � � � = � + � • iii) 0= 0 0 0 0 é o vetor nulo deste espaço, pois: � + 0 = � � � + • 0 0 0 0 = � � � = �. Analogamente, 0 + � = � iv) Se u = � � � , então −u = − −� −� −� é tal que � + −� = � � � + − −� −� −� = 0 0 0 0 = 0 •v) Para qualquer ) ∈ �, • )(� + �) = ) + ! � + " � + # � + ℎ = )( + !) )(� + ") )(� + #) )(� + ℎ) = ) + )! )� + )" )� + )# )� + )ℎ = ) )� )� )� + )! )" )# )ℎ =) � � � + ) ! " # ℎ = tu + tv . vi) ) + , � = () + ,) () + ,)� () + ,)� () + ,)� = ) )� )� )� + , ,� ,� ,� = )� + ,� •vii) ), � = ), ),� ),� ),� = )(, ) )(,�) )(,�) )(,�) = ) , ,� ,� ,� = ) ,� • viii) 1� = 1 · � � � = � � � = � Subespaço vetorial • Definição: Dado um espaço vetorial �, um subconjunto W ⊂ �, não-vazio, será um subespaço vetorial de � se: • i) Para quaisquer �, � ∈ 0, tivermos � + � ∈ 0; • ii) Para quaisquer ∈ � e � ∈ 0, tivermos � ∈ 0. • Observações: • a) As operações em 0 de adição e multiplicação por escalar são ditas fechadas em 0. • b) Qualquer subespaço W de V precisa conter o vetor nulo. • c) Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços ( que são chamados de subespaços triviais ): o conjunto formado pelo vetor nulo e o próprio espaço vetorial. Exemplos de subespaços vetoriais • 1. � = �1 e 0 ⊂ �, 0 um plano passando pela origem 2. � = �� e 0 = { �, 3 / � ≥ 0} é um subespaço vetorial de V ? y x • Resposta: Não, pois o vetor u=(2,3) pertence ao conjunto 0 = { �, 3 / � ≥ 0} , mas −2� = (−4,−6) não pertence. Subespaços vetoriais de �� Temos os seguintes subespaços: • os subespaços triviais: 0 = 0,0 e 0 = �� • As retas que passam pela origem : 0 = { �, 3 ; 3 = �} Subespaços vetoriais de �1 Temos os seguintes subespaços: • os subespaços triviais: 0 = 0,0 e 0 = �1 • As retas que passam pela origem : 0 = ��; � = , �, � , � ∈ � • Os planos que passam pela origem: 0 = {���� + ����; �� = �, ��, �� , �� = �, ��, �� , ��, �� ∈ �} Aplicações destes conceitos: • Sistema RGB • Modelo do insumo-produto de W. Leontief • Movimento de robôs • Estudo do DNA COMBINAÇÃO LINEAR • Sejam V um espaço vetorial e ��, ��, … , �� ∈ � e �, �, … , � números reais. Então, o vetor • � = ��� + ��� +⋯+ ��� • é um elemento de V que chamamos de combinação linear de ��, ��, … , ��. • Exemplo 1. � = �� e �� = (1,0) e �� = 0,1 . Então 3��+4�� é uma combinação linear de ��, ��. A saber: 3��+4�� = (3,4) Exemplo 2.� = �� e � = (1,2). • O conjunto gerado pelas combinações lineares de � é a reta que passa pela origem do ��, cuja equação é 3 = 2�. • De fato: (1,2) = { �, 3 ; �, 3 = 1,2 } • Logo: � = e 3 = 2 . Ou seja: 3 = 2�. Por exemplo, o vetor � = 5,10 ∈ [ 1,2 ], pois 5,10 = 5(1,2) • Já o vetor 10,−6 ∉ [ 1,2 ], pois 10,−6 ≠ (1,2) Exemplo 3. Os vetores de �1são combinações lineares de i, j e k • De fato , se � ∈ �1, então � = (�, 3, A) • Sendo � = 1,0,0 , & = 0,1,0 e � = (0,0,1), temos • � = �, 3, A = � 1,0,0 + 3 0,1,0 + A 0,0,1 = �� + 3& + A� Exemplo 4. Verificando uma combinação linear • Considere os vetores � = (1,2,−1) e � = (6,4,2). Mostrar que = 9,2,7 é uma combinação linear de � e �, e que o vetor D = 4,−1,8 não é uma combinação linear de � e �. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR • Um conjunto de vetores {��, ��, … , ��} é linearmente independente(LI) se a equação ��� + ��� +⋯+ ��� = 0 implica � = 0, � = 0,..., � = 0. ( solução trivial é a única ). • Se existir algum F ≠ 0, diremos que o conjunto de vetores {��, ��, … , ��} é linearmente dependente (LD). Exemplos. No ��: •1){(2,4), (4,8)} é linearmente dependente, pois 2 ∗ 2,4 − 1 ∗ (4,8) = (0,0) • 2) {(1,0), (0,1)} é linearmente independente, pois se • tivermos (1,0) + �(0,1) = (0,0), então: • , 0 + 0, � = 0,0 , isto é, , � = 0,0 implica = 0 e � = 0. •3){(1,1), (1, −1)} é LI, pois se tivermos 1,1 + � 1,−1 =0,0 , então: , + �,−� = 0,0 . Somando os vetores, resulta: ( + �, − �) = (0,0). Igualando as coordenadas, obtemos: H + � = 0 − � = 0 Somando as duas equações, resulta 2 = 0. Logo, = 0. Substituindo na equação 1, resulta � = 0. Como a única solução deste sistema é a trivial, os vetores são LI. Exemplos. No �1 • 1){(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} é um conjunto LI, pois se tivermos a 1,0,0 + � 0,1,0 + � 0,0,1 = (0,0,0), • então teremos , 0,0 + 0, �, 0 + 0,0, � = 0,0,0 , • ou seja, a, b, c = 0,0,0 . Dái, concluímos que = 0, � = 0 e � = 0 é a única solução. Isto é, o conjunto {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} é linearmente independente. 2) {(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)} é um conjunto LD, pois vemos que: 2 ∗ 4,5,6 − 1,2,3 − 7,8,9 = 0,0,0 . Assim, temos uma combinação linear entre os vetores dados, que resulta no vetor nulo, o que prova que o conjunto dado é LD. Observação: A combinação linear não- trivial não é única. BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL � • Definição: Um conjunto {��, ��, … , ��} de vetores de � será uma base de � se: • i) {��, ��, … , ��} é Linearmente Independente ( LI ) • ii) [��, ��, … , ��] = V • A condição ii) significa que todo vetor do espaço vetorial � é combinação linear dos vetores ��, ��, … , ��. Isto é, dizemos que {��, ��, … , ��} é o conjunto gerador do espaço �, ou simplesmente, que {��, ��, … , ��} gera �. Exemplo 1. � = ��, !� = 1,0 , !� = (0,1) • {!�, !�} é uma base de �, conhecida como a base canônica do �� •De fato: { 1,0 , (0,1)} é LI • todo vetor � = (�, 3) é combinação linear de !�, !� pois �, 3 = � 1,0 + 3(0,1), ou � = �!� + 3!� Observação: também é usada a notação {i,j} para a base canônica do �� • � = (1,0) e & = (0,1) • Assim: �, 3 = � 1,0 + 3 0,1 = �� + 3& O conjunto { 1,1 , 0,1 } também é uma base do �� • i) Se 1,1 + � 0,1 = (0,0), então , + 0, � = (0,0), ou seja • , + � = (0,0). Logo: = 0 e + � = 0, isto é, = 0 e � = 0. • Isto prova que { 1,1 , 0,1 } é Linearmente Inpendente. • ii) Dado � = (�, 3) ∈ �, temos de mostrar que • �, 3 = 1,1 + �(0,1) . Multiplicando as constantes e somando: • �, 3 = , + 0, � = ,+ � . • Isto é: H = � + � = 3 . Logo: � = 3 − � • Conclusão: �, 3 = � 1,1 + (3 − �)(0,1) • Isto é, o conjunto { 1,1 , 0,1 } gera o ��. Assim, é uma base do ��. • Exemplo: 4,6 = 4 1,1 + 2 0,1 • 5,1 = 5 1,1 − 4 0,1 • −8,6 = −8 1,1 + 14 0,1 Exemplo 2. {(0,1),(0,2)} não é base do ��, pois é um conjunto LD. De fato: 2*(0,1)-1(0,2)=(0,0). Exemplo 3. � = �1 • !� = 1,0,0 , !� = 0,1,0 , !1 = (0,0,1) é uma base de �1 , chamada de base canônica do �1. • {!�, !�, !1} é LI, pois 0,0,0 = 1,0,0 + � 0,1,0 + � 0,0,1 implica • 0,0,0 = ( , �, �), logo, = 0, � = 0 e � = 0. • [!�, !�, !1] = �1, pois �, 3, A = �!� + 3!� + A!1 . • Assim, {!�, !�, !1} é uma base do �1. Exemplo 4. {(1,0,0),(0,1,0)} não é base do �1 • De fato, {(1,0,0),(0,1,0)} é LI, mas não gera o �1, pois • (0,0,1) não pertence ao conjunto [(1,0,0),(0,1,0)]. • De fato: 1,0,0 + � 0,1,0 = ( , �, 0) ≠ (0,0,1) , para quaisquer valores de e �. Referências bibliográficas: • Provenzi, E. Computational color science : variational Retinex-like methods. Londres, John Wiley & Sons, 2017. • Anton, H. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre, Bookman, 2001. • Batschelet, E. Introdução a matemática para biocientistas. São Paulo, Editora da USP, 1978. • Leontief. A Economia do insumo produto. São Paulo, Abril cultural, 1983.
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