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Introdução aos Vetores em Álgebra Linear

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UNIVERSIDADE POTIGUAR-UNP-CAMPUS MOSSORÓ-RN 
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR 
PROFESSOR: Esp. HÁLLYSSON DUARTE 
 
INTRODUÇÃO DE VETORES 
Vetores: Os vetores podem ser representados geometricamente como 
segmentos de reta orientados ou como flechas nos espaços bi e tridimensionais. A 
direção e o sentido da flecha especificam a direção e o sentido do vetor e o 
comprimento da flecha descreve sua magnitude. A cauda da flecha é chamada de 
ponto inicial do vetor e a ponta da flecha é o ponto final. Simbolicamente, denotamos 
vetores por letras minúsculas (Ex.: a, k, v, w). Quando tratarmos de vetores, 
chamamos os números de escalares. 
Se o ponto inicial de um vetor v é A e o ponto final é B, então escrevemos: 
v = 
 
 
 
Obs.: Vetores com o mesmo comprimento, direção e sentido, como na figura acima, são ditos 
equivalentes. 
Definição: Sejam v e w dois vetores quaisquer. A soma de v com w é o vetor 
v + w determinado da seguinte maneira: posicione o vetor w de tal maneira que seu 
ponto inicial coincide com o ponto final do vetor v. O vetor v + w é representado pela 
flechado ponto inicial de v ao ponto final de w. 
 
 
 
O vetor de comprimento zero é chamado vetor nulo ou vetor zero e denotado 
por 0. Definimos: 
 0 + v = v + 0 = v 
Se v é um vetor não-nulo qualquer, então - v, o negativo de v, é definido como 
o vetor da mesma magnitude e direção de v mas, sentido oposto. 
v + (- v) = 0 
 B 
 
 A 
 w 
 v v + w 
 
 w 
 v v + w 
 w + v v 
 
 w 
 
 v 
 - v 
 
 
 
UNIVERSIDADE POTIGUAR-UNP-CAMPUS MOSSORÓ-RN 
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR 
PROFESSOR: Esp. HÁLLYSSON DUARTE 
Definição: Se v é um vetor não-nulo e K é um numero real (escalar) não-nulo, 
então o produto kV é definido como o vetor de mesma direção de v cujo comprimento 
é |k| vezes o comprimento de v e cujo sentido é o mesmo de v se k > 0 e oposto ao de 
v se k < 0. Nós definimos kV = 0 se k = 0 ou seja se v = 0. 
Um vetor da kV é chamado múltiplo escalar de v. 
 
 
Vetores em sistema cartesiano: Seja v qualquer vetor no espaço 
bidimensional e suponha que v tenha sido posicionado com seu ponto inicial na origem 
de um sistema de coordenadas retangulares. As coordenadas (v1, v2) do ponto final de 
v são chamadas componentes de v e escrevemos v = (v1, v2). 
 
 
 
Se vetores equivalentes v e w são colocados com seus pontos iniciais na 
origem, então é óbvio que seus pontos finais coincidem (pois os vetores têm o mesmo 
comprimento, direção e sentido); logo os vetores possuem os mesmos componentes. 
Reciprocamente, vetores com os mesmos componentes são equivalentes pois têm o 
mesmo comprimento, direção e sentido. Em resumo dois vetores 
v = (v1, v2) e w = (w1, w2) 
São equivalentes se e somente se v1 = w1 e v2 = w2. 
As operações vetoriais de adição e multiplicação por escalar são facilmente 
executáveis em termos de componentes. 
v = (v1, v2) e w = (w1, w2) 
v + w = (v1 + w1, v2 + w2) 
 
 
 
v 2v 1/2v (-2)v 
 y 
 v = (v1, v2) 
 
 v 
 
 x 
 y 
 v2 (v1 + w1, v2 + w2) 
 w + v 
 w 
 w2 
 
 
 v 
 x 
 v1 w1 
 
 
 
UNIVERSIDADE POTIGUAR-UNP-CAMPUS MOSSORÓ-RN 
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR 
PROFESSOR: Esp. HÁLLYSSON DUARTE 
Se v = (v1, v2) e k é um escalar qualquer então pode ser mostrado, usando um 
argumento geométrico envolvendo triângulos semelhantes, que 
kv = (kv1, kv2) 
Assim, por exemplo, se v = (1, -2) e w = (7, 6) então 
v + w = (1, -2) + (7, 6) = (1 + 7, -2 + 6) = (8, 4) 
4v = 4(1, -2) = (4(1), 4(-2)) = (4, -8) 
 
 
 
 
Como v – w = v + (-w), então v – w = (v1 – w1, v2 – w2) 
Vetores no espaço tridimensional: Assim como os vetores no plano podem 
ser descritos por pares de números reais, os vetores no espaço podem ser descritos 
por ternos de números reais utilizando um sistema de coordenadas retangulares. Para 
construir um tal sistema de coordenadas, selecionamos um ponto 0, denominado a 
origem e escolhemos três retas mutuamente perpendiculares passando pela origem, 
denominadas eixos coordenados. Designe estes eixos x, y e z e selecione um sentido 
positivo para cada eixo coordenado, bem como uma unidade de comprimento para 
medir tamanhos. Cada par de eixos coordenados determina um plano chamado plono 
coordenado. Referimo-nos aos planos coordenados como os planos xy, xz, e yz. A cada 
ponto P no espaço tridimencional associamos um terno (x, y, z) de números, chamados 
de coordenadas de P, como segue: passe três planos por P paralelos aos planos 
coordenados e denote os pontos de intersecção destes planos com três eixos 
coordenados por X, Y e Z. 
 
 
 
 
As coordenadas e P são definidas pelos comprimentos orientados. 
 y 
 
 
 kv 
 
v 
 
 x 
 z 
 
y 
 x 
 z 
 
 P 
 (x, y, z) 
 y 
 
 x 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE POTIGUAR-UNP-CAMPUS MOSSORÓ-RN 
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR 
PROFESSOR: Esp. HÁLLYSSON DUARTE 
Exemplo: Construa os pontos cujas as coordenadas são (4, 5, 6) e (-3, 2, -4). 
 
 
 
 
Obs.: Se um vetor v nos espaço tridimencional for posicionado com seu ponto 
inicial na origem de um sistema de coordenadas retangulares, então as coordenadas 
do ponto final são chamadas os componentes de v e escrevemos v = (v1, v2, v3). 
 
 
 
 
Exemplo: Operando com os vetores usando suas componentes. Se v = (1, -3, 
2) e w = (4, 2, 1) então v + w, 2v e –w é? 
 
 
 
 
Às vezes um vetor não esta posicionado com seu ponto inicial na origem. Se o 
vetor tem o ponto inicial em ( e o ponto final em ( , 
então: 
 = ( 
Ou seja, os componentes do vetor são obtidos subtraindo as 
coordenadas do ponto inicial com as coordenadas do ponto final. 
 
 
 y 
 
 
 
 
 Z 
 X 
 Z 
 (v1, v2, v3) 
 
 Y 
x 
 
 
 
UNIVERSIDADE POTIGUAR-UNP-CAMPUS MOSSORÓ-RN 
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR 
PROFESSOR: Esp. HÁLLYSSON DUARTE 
Exemplo: Os componentes do vetor v = com ponto inicial (2, -1, 4) e 
final (7, 5, -8) são: 
 
 
 
No espaço bidimensional o vetor com ponto inicial ( e ponto final 
 ( é 
 = ( 
Norma de um vetor: Aritmética Vetorial 
Propriedades das Operações Vetoriais: O seguinte teorema enumera as mais 
importantes propriedades de vetores no espaço bi e tridimencionais. 
Se u, v e w são vetores de um espaço bi ou tridimensional e k e l são 
escalares, então valem as seguintes relações. 
a) u + v = v + u 
b) (u + v) + w = u + (v + w) 
c) u + 0 = 0 + u = u 
d) u + (-u) = 0 
e) k(lu) = (kl)u 
f) l(u + v) = lu + lv 
g) (k + l)v = kv + lv 
h) 1u = u 
Prova da parte analítica b) (u + v) + w = u + (v + w) 
 
 
 
Prova da parte geométrica b) (u + v) + w = u + (v + w) 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE POTIGUAR-UNP-CAMPUS MOSSORÓ-RN 
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR 
PROFESSOR: Esp. HÁLLYSSON DUARTE 
 Norma de um vetor: O comprimento de um vetoru é muitas vezes chamado 
de Norma de u e é denotado por . Segue do teorema de Pitágoras que a 
norma de um vetor u = ( , ) no espaço bi e tridimensional é 
 = 
Seja u = ( , , ) um vetor no espaço tridimensional. Assim 
 = 
Um vetor de norma 1 é chamado vetor unitário. 
 
 
 
 
 
 
Se e são dois pontos no espaço tridimensional, 
então a distância d entre eles é a norma do vetor . 
 = ( 
Segue que 
d = 
 
 
 
 
 
A distância entre e é a norma do vetor é similarmente de um 
espaço bidimensional. 
 
 
x 
y 
x 
y 
z 
 
 
 
 
( , ) 
( , , ) 
x 
y 
z 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE POTIGUAR-UNP-CAMPUS MOSSORÓ-RN 
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR 
PROFESSOR: Esp. HÁLLYSSON DUARTE 
Exemplo: A norma do vetor u = (-3, 2, 1) é: 
 
 
 
Exemplo: A distância d entre os pontos e é 
 
 
 
 
Produto Escalar 
Definição: Chama-se produto escalar (ou produto interno usual) de dois 
vetores u = e v = , e se representa por u . v, ao número real: 
u.v = + 
O produto escalar de u por v também é indicado por <u, v> e se lê “u escalar 
v”. 
Exemplo: Se u = (2, 3) e v =(4, -1) tem-se: 
 
 
 
 
Definição: Se u e v são vetores no espaço bi ou tridimensional e é o ângulo 
entre u e v, então o produto escalar u . v, ou produto interno euclidiano, é definido 
por: 
u . v = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE POTIGUAR-UNP-CAMPUS MOSSORÓ-RN 
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PROFESSOR: Esp. HÁLLYSSON DUARTE 
Exemplo: Calcule o ângulo entre os vetores u = (0, 0, 1) e v = (0, 2, 2) é de 450. 
 
 
 
Módulo de um vetor 
Cos 450 = 
 
 
 
Módulo de um vetor v =(x, y), representado por |v|, é o número real não-
negativo: 
|v| = 
ou de coordenadas 
|v| = 
Ou ainda: 
|v| = 
Exemplo: Se v = (3, -4), então: 
 
 
 
A partir de cada vetor v 0 é possível obter um vetor unitário u fazendo u = 
 
 
. 
 
 
 
 
 
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PROFESSOR: Esp. HÁLLYSSON DUARTE 
Exemplo: É unitário o vetor: 
 
 
 
Obsevações: Como consequência das propriedades do produto escalar, vem: 
1) |u + v|2 = |u|2 + 2uv + |v|2 
2) |u - v|2 = |u|2 - 2uv + |v|2 
Ângulo de dois vetores 
O ângulo de dois vetores u = AO e v = OB, não nulos, é o ângulo formado 
pelas semi-retas AO e OB e tal que 0 . 
 
 
 
 
Cálculo do ângulo de dois vetores 
 Sejam os vetores u 0 e v 0. O ângulo formado por u . v pode ser 
calculado pela fórmula: 
cos = 
 
 
 
Exemplo: Se u = (-2, -2) e v = (0, -2), o ângulo pode ser calculado por 
intermédio da formula: 
 
 
 
Toerema: Sejam u e v vetores no espaço bi ou tridimensional. 
a) v . v = ||v||2 ou seja ||v|| = 
 
 
b) Se os vetores u e v são não nulos e é o ângulo entre eles, então 
 
0 
A 
B 
 
v 
u 
 
 
 
 
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 é agudo se, e somente se, u . v > 0 
 é obtuso se, e somente se, u . v < 0 
 = 
 
 
 se, e somente se, u . v = 0 
Vetores Ortogonais 
Vetores perpendiculares são também chamados vetores ortogonais. Tendo 
em vista o teorema anterior, dois vetores não-nulos são ortogonais se, e somente se, 
seu produto escalar é zero. Se concodarmos em considerar os vetores u e v como 
perpendiculares se um deles ou ambos forem o vetor nulo 0, então poderemos 
afirmar, sem excerção que dois vetores u e v são ortogonais (perpendiculares) se, e 
somente se, u . v = 0 
Um vetor perpendicular a uma reta 
Exemplo: Mostre que o vetor não nulo n = (a, b) é perpendicular à reta ax + by 
+ c = 0 no espaço bidimensional. 
Solução: Sejam P1(x1, y2) e P2(x2, y2) dois pontos distintos da reta, de modo que 
ax1 + y1 + c = 0 
ax2 + y2 + c = 0 
Como o vetor = (x2 – x1, y2 – y1) é paralelo à reta dada, basta mostrar que 
n e são perpendiculares. 
(a, b) . (x2 – x1, y2 – y1) = 0 ou n 
. = 0 
Assim, n e são perpendiculares. 
 
Exemplo: Mostre que os vetores u = (1, -2) e v = (0, -3) são perpendiculares a 
equação – x + y + 3 = 0. 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE POTIGUAR-UNP-CAMPUS MOSSORÓ-RN 
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR 
PROFESSOR: Esp. HÁLLYSSON DUARTE 
Uma projeção Ortogonal 
Em muitas aplicações é de interesse “decompor” um vetor u na soma de dois 
componentes, um paralelo a um vetor não-nulo especificado a e o outro perpendicular 
a a. Se u e a são posicionados com seus pontos iniciais coincidindo com o ponto Q, 
podemos decompor o vetor u. Baixamos uma perpendicular da ponta de u para a reta 
ao longo de a e contruímos o vetor w1 de Q ao pé desta perpendicular. Em seguida 
tomamos a diferença 
w2 = u – w1 
 
 
 
 
O vetor u é a soma de w1 e w2, onde w1 é paralelo ao vetor a e w2 é 
perpendicular a a. 
O vetor w1 é paralelo ao vetor a e w2 é perpendicular a a e 
w1 + w2 = w1 + (u – w1) = u 
 
 
 
UNIVERSIDADE POTIGUAR-UNP-CAMPUS MOSSORÓ-RN 
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR 
PROFESSOR: Esp. HÁLLYSSON DUARTE 
O vetor w1, chamado projeção ortogonal de u sobre a, ou então componente 
vetorial de u ao longo do vetor a, é denotado por 
w1 = projau 
O vetor w2 é chamado componente vetorial de u ortogonal ao vetor a. Como 
w2 = u – w1 , este vetor pode ser escrito com a notação 
w2 = u – projau 
O seguinte teorema dá formulas para calcular os vetores projau e u - projau. 
Teorema: Se u e a são vetores no espaço bi ou tridimensional e se a 0, então 
projau = 
 
 
 (componente vetorial de u ao longo de a) 
u - projau = u - 
 
 
 (componente vetorial de u ortogonal a a) 
Exemplo: Sejam u = (2, -1, 3) e a = (4, -1, 2). Encontre o componente vetorial de 
u ao longo de a e o componente vetorial de u ortogonal a a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE POTIGUAR-UNP-CAMPUS MOSSORÓ-RN 
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR 
PROFESSOR: Esp. HÁLLYSSON DUARTE 
Exercício - 1 
1 – Desenhe um sistema de coordenadas de mão direita e marque os pontos cujas 
coordenadas são: 
a) (3, 4, 5) b) (-3, 4, 5) c) (3, -4, 5) d) (3, 4, -5) 
e) (-3, -4, 5) f) (-3, 4, 5) g) (3, -4, -5) h) (-3, -4, -5) 
i) (-3, 0 , 0) j) (3, 0, 3) k) (0, 0, -3) l) (0, 3, 0) 
2 – Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem: 
 
a) v(3, 6) b) v(-4, - 8) c) v(-4, -3) d) v(5, -4) 
e) v(3, 0) f) v(0, -7) g) v(3, 4, 5) h) v(0, 0, -3) 
3 – Encontre os componentes do vetor de ponto inicial P1 e ponto final P2. 
 
a)P1(4, 8), P2(3, 7) b) P1(3, -5), P2(-4, -7) c) P1(-5, 0), P2(-3, 1) 
d) P1(0, 0), P2(a, b) e) P1(3, -7, 2), P2(-2, 5, -4) f) P1(-1, 0, 2), P2(0, -1, 0) 
4 – Encontre um vetor não-nulo u com ponto inicial P(-1, 3, -5) talque 
a) u tem a mesma direção e sentido v = (6, 7, -3) 
b) u tem a mesma direção mas sentido oposto ao de v = (6, 7, -3) 
5 – Sejam u = (-3, 1, 2), v = (4, 0, -8) e w = (6, -1, -4), encontre os componentes de: 
a) u + w b) 6u + 2v c) – v + u d) 5(v – 4u) e) (2u – 7w) – (8v + u) 
6 – Sejam u, v e w os vetores do exercício 5. Encontre os componentes do vetor x que 
satisfaz 2u – v + x = 7x + w 
7 - Sejam u, ve w os vetores do exercício 5. Encontre escalares c1, c2 e c3 tais que c1u + 
c2v + c3w = (2, 0, 4). 
8 – Mostre que não existem escalares c1, c2 e c3 tais que c1(-2, 9, 6) + c2(-3, 2, 1) + c3(1, 
7, 5) = (0, 5, 4). 
9 - Mostre que não existem escalares c1, c2 e c3 tais que c1(1, 2, 0) + c2(2, 1, 1) + c3(0, 3, 
1) = (0, 0, 0). 
10 – Sejam P o ponto (2, 3, -2) e Q o ponto (7, -4, 1). 
 
 
 
UNIVERSIDADE POTIGUAR-UNP-CAMPUS MOSSORÓ-RN 
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR 
PROFESSOR: Esp. HÁLLYSSON DUARTE 
a) Encontre o ponto médio do segmento de reta que liga P a Q. 
b) Encontre o ponto no segmento de reta que liga P a Q que está a ¾ do caminho 
de P a Q. 
11 – Encontre a norma de v. 
a) v = (4, -3) 
b) v = (2, 3) 
c) v = (-5, 0) 
d) v = (0, 6, 0) 
e) v = (2, 2, 2) 
f) v = (-7, 2, -1) 
 12 – Encontre a distância entre P1 e P2. 
a) P1(3, 4), P2(5, 7) 
b) P1(-3, 6), P2(-1, -4) 
c) P1(7, -5, 1), P2(-7, -2, -1) 
d) P1(3, 3, 3), P2(6, 0, 3) 
13 – Sejam u = (2, -2, 3), v = (1, -3, 4) e w = (3, 6, -4). Em cada parte calcule a expressão 
dada. 
a) ||u + v|| c) ||-2u|| + 2||u|| e) 
 
 
 
b) ||u|| + ||v|| d) ||3u – 5v + w|| f) 
 
 
 
14 – Seja v (-1, 2, 5). Encontre todos os escalares k tais que . 
15 – Encontre o produto interno euclidiano u . v. 
a) u = (2, 5) e v = (-4, 3) 
b) u = (4, 8, 2) e v = (0, 1, 3) 
c) u = (1, 2, 5) e v = (2, 2, 3) 
d) u = (3, 1, 4, -5) e v = (2, 2, -4, -3) 
16 – Encontre a distância euclidiana entre u e v. 
a) u = (1, -2), v = (2, 1) 
b) u = (2, -2, 2), v = (0, 4, -2) 
c) u = (0, 0), v = (3, 4) 
17 – Resolva o seguinte sistema linear em x1, x2 e x3. 
(1, -1, 4) . (x1, x2, x3) = 10 
(3, 2, 0) . (x1, x2, x3) = 1 
(4, -5, -1) . (x1, x2, x3) = 7 
 
 
 
UNIVERSIDADE POTIGUAR-UNP-CAMPUS MOSSORÓ-RN 
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR 
PROFESSOR: Esp. HÁLLYSSON DUARTE 
 
18 – Encontre u . v. 
 
a) u = (2, 3), v = (5, -7) b) u = (-6, -2), v = (4, 0) 
c) u = (1, -5, 4), v = (3, 3, 3) d) u = (-2, 2, 3), v = (1, 7, -4) 
 
19 – Na questão anterior (18), encontre o cosseno do ângulo entre u e v. 
20 – Determine se u e v fazem um ângulo agudo, um ângulo obtuso ou são ortogonais. 
 
a) u = (6, 1, 4), v = (2, 0, -3) b) u = (0, 0, -1), v = (1, 1, 1) 
c) u = (-6, 0, 4), v = (3, 1, 6) d) u = (2, 4, -8), v = (5, 3, 7) 
 
21 – Encontre a projeção ortogonal de u em a. 
 
a) u = (6, 2), a = (3, -9) b) u = (-1, -2), a = (-2, 3) 
c) u = (3, 1, -7), a = (1, 0, 5) d) u = (1, 0, 0), a = (4, 3, 8) 
 
22 – Na questão anterior (21), encontre o componente vetorial de u ortogonal a a. 
 
23 – Em cada parte, encontre . 
 
a) u = (1, -2), a = (-4, -3) b) u = (5, 6), a = (2, -1) 
c) u = (3, 0, 4), a = (2, 3, 3) d) u = (3, -2, 6), a = (1, 2, -7) 
 
24 – Sejam u = (5, -2, 1), v = (1, 6, 3) e k = -4. Verifique o teorema das propriedades do 
produto escalar para estas quantidades. 
 
 
Referências Bibliográficas 
Anton, Rorres – Algebra Linear e suas Aplicações, 8a edição 
Alfredo, Steinbruch – Algebra Linear

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