Equações Diferenciais Lineares de Ordem sup

Prévia do material em texto

Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior
Problemas de valor inicial e de valor de contorno
Problema de valor inicial
Para uma equação diferencial de n-ésima ordem, o problema
Resolva: 
Sujeita a: 
 (1)
Em que y0, y0´, ...y0(n-1) são constantes arbitrárias, é chamado de um problema de valor inicial. Os valores específicos y(x0) = y0, y´(x0) = y0´, ..., y(n-1)(x0) = y0(n-1) são chamados de condições iniciais. Procuramos uma solução em algum intervalo I contendo x0.
	No caso de uma equação linear de segunda ordem, uma solução para o problema de valor inicial
 
 
,
é uma função que satisfaça a equação diferencial em I cujo gráfico passa pelo ponto (x0, y0) com inclinação igual a y0´.
	O próximo teorema nos fornece condições suficientes para a existência de uma única solução para (1).
Teorema – Existência de uma Única Solução
Sejam an(x), an-1(x), …, a1(x), a0(x) e g(x) são contínuas em um intervalo I com an(x) 
 0 para todo x neste intervalo. Se x = x0 é algum ponto deste intervalo, então existe uma única solução y(x) para o problema de valor inicial (1) neste intervalo.
Definição – Dependência Linear
Dizemos que um conjunto de funções f1(x), f2(x), ..., fn(x) é linearmente dependente em um intervalo I se existem constantes c1, c2, ..., cn não todas nulas, tais que
para todo x no intervalo.
Definição – Independência Linear
Dizemos que um conjunto de funções f1(x), f2(x), ..., fn(x) é linearmente independente em um intervalo I se ele não é linearmente dependente no intervalo.
	Wronskiano
O seguinte teorema proporciona condição suficiente para a independência linear de n funções em um intervalo. Supomos que cada função seja diferenciável pelo menos n – 1 vezes.
Teorema – Critério para Independência Linear de Funções 
Suponha que f1(x), f2(x), ..., fn(x) sejam diferenciáveis pelo menos n – 1 vezes. Se o determinante
for diferente de zero em pelo menos um ponto do intervalo I, então as funções f1(x), f2(x), ..., fn(x) serão linearmente independentes no intervalo.
	O determinante do teorema precedente é denotado por
é chamado de Wronskiano das funções.
Corolário
Se f1(x), f2(x), ..., fn(x) possuem pelo menos n – 1 derivadas e são linearmente dependentes em I, então
para todo x no intervalo.
Soluções para Equações Lineares
	Equações Homogêneas
Uma equação diferencial de n – ésima ordem da forma
 (3)
é chamada de homogênea, enquanto
 (4)
com g(x) não identicamente zero, é chamada de não – homogênea.
	A palavra homogênea neste contexto não se refere aos coeficientes como sendo funções homogêneas.
Teorema – Princípio da Superposição – Equações Homogêneas
Sejam y1, y2, ..., yk soluções para a equação diferencial linear de n – ésima ordem homogênea (3) em um intervalo I. Então, a combinação linear
 (5)
em que os ci, i = 1, 2, ..., k são constantes arbitrárias, é também uma solução no intervalo.
Corolários
Um múltiplo y = c1y1(x) de uma solução y1(x) para uma equação diferencial linear homogênea é também uma solução.
Uma equação diferencial linear homogênea sempre possui a solução trivial y = 0.
Teorema – Critério para Independência Linear de Soluções
Sejam y1, y2, ...., yn n soluções para a equação diferencial linear homogênea de n – ésima ordem (3) em um intervalo I. Então, o conjunto de soluções é linearmente independente em I se e somente se 
para todo x no intervalo.
Definição – Conjunto Fundamental de Soluções
Qualquer conjunto y1, y2, ...., yn de n soluções linearmente independentes para a equação diferencial linear homogênea de n – ésima ordem (3) em um intervalo I é chamado de conjunto fundamental de soluções no intervalo.
Teorema
Sejam y1, y2, ...., yn n soluções linearmente independentes para a equação diferencial linear homogênea de n – ésima ordem (3) em um intervalo I. Então, toda solução Y(x) para (3) é uma combinação linear das n soluções independentes y1, y2, ...., yn ou seja, podemos encontrar constantes C1, C2, ..., Cn, tais que
Teorema – Existência de um Conjunto Fundamental
Existe um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial linear homogênea de n – ésima ordem (3) em um intervalo I.
Definição – Solução Geral – Equações Homogêneas
Sejam y1, y2, ...., yn n soluções linearmente independentes para a equação diferencial linear homogênea de n – ésima ordem (3) em um intervalo I. A solução geral para a equação no intervalo é definida por
em que os ci, i = 1, 2, ..., n são constantes arbitrárias.
Teorema
Sejam y1, y2, ...., yn soluções para a equação diferencial linear homogênea de 
n – ésima ordem (3) em um intervalo I e seja yp qualquer solução para a equação não – homogênea (4) no mesmo intervalo. Então,
é também uma solução para a equação não – homogênea no intervalo para quaisquer constantes c1, c2, ..., ck.
Teorema
Seja yp uma dada solução para a equação diferencial linear não – homogênea de n – ésima ordem (4) em um intervalo I e sejam {y1, y2, ..., yn} um conjunto fundamental de soluções para a equação homogênea associada (3) no intervalo. Então, para qualquer solução Y(x) de (4) em I, podemos encontrar constantes C1, C2, ..., Cn tais que
Definição – Solução Geral – Equações Não-Homogêneas
Seja yp uma dada solução para a equação diferencial linear não-homogênea de n – ésima ordem (4) em um intervalo I e seja
a solução geral para a equação homogênea associada (3) no intervalo. A solução geral para a equação não-homogênea no intervalo é definida por 
Teorema – Princípio de Superposição – Equações Não-homogêneas
Sejam yp1, yp2, ..., ypk k soluções particulares para a equação diferencial linear de n – ésima ordem (4) em um intervalo I, correspondendo a k funções distintas g1, g2, ..., gk. Isto é, suponha que ypi seja uma solução particular para a equação diferencial correspondente
em que i = 1, 2, ..., k. Então,
é uma solução particular para
Construindo Uma Segunda Solução a partir de uma Solução Conhecida
Caso Geral - Redução de Ordem
 (1)
Dividindo a equação (1) por a2(x), esta toma a forma padrão
 (2)
em que P(x) e Q(x) são contínuas em algum intervalo I. Vamos supor ainda que y1(x) seja uma solução conhecida para (2) em I e que y1(x) 
 0 para todo x no intervalo. Se definirmos 
, segue-se que
|
[zero]
Isso implica que devemos ter
ou
 (3)
desenvolvendo encontramos
Integrando novamente 
 e portanto 
Escolhendo c2 = 0 e c1 = 1, concluímos que uma segunda solução para a equação (2) é satisfeita.
	Agora, y1(x) e y2(x) são linearmente independentes, pois
é diferente de zero em qualquer intervalo em que y1(x) seja diferente de zero.
Equações Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes
Considerando o caso especial da equação de segunda ordem
 (2)
Equação Auxiliar
Se tentarmos uma solução da forma y = emx, então y´ = memx e y´´ = m2e,mx; assim a equação (2) torna-se
 ou 
Como emx nunca se anula para valores reais de x, então a única maneira de fazer essa função exponencial satisfazer a equação diferencial é escolher m de tal forma que ele seja raiz da equação quadrática
 (3)
Essa última equação é chamada de equação auxiliar ou equação característica da equação diferencial (2). Consideramos três casos, a saber: as soluções para a equação auxiliar correspondem a raízes reais distintas, raízes reais iguais e raízes complexas conjugadas.
	CASO I – Raízes Reais Distintas
 
 e 
	CASO II – Raízes Reais IguaisCASO III – Raízes Complexas Conjugadas
		
 e 
 são reais e i2 = - 1.
Para este fim, usamos a fórmula de Euler:
_1136199566.unknown
_1136201009.unknown
_1136201933.unknown
_1136202532.unknown
_1136203143.unknown
_1136203342.unknown
_1136203626.unknown
_1136203759.unknown
_1136203892.unknown
_1136203638.unknown
_1136203422.unknown
_1136203508.unknown
_1136203314.unknown
_1136202988.unknown
_1136203039.unknown
_1136202870.unknown
_1136202142.unknown
_1136202217.unknown
_1136201990.unknown
_1136201692.unknown
_1136201764.unknown
_1136201865.unknown
_1136201723.unknown
_1136201190.unknown
_1136201647.unknown
_1136201071.unknown
_1136200398.unknown
_1136200725.unknown
_1136200788.unknown
_1136200641.unknown
_1136200119.unknown
_1136200273.unknown
_1136199832.unknown
_1136197814.unknown
_1136198317.unknown
_1136198863.unknown
_1136199280.unknown
_1136198544.unknown
_1136198081.unknown
_1136198212.unknown
_1136197963.unknown
_1136196568.unknown
_1136196906.unknown
_1136197158.unknown
_1136196596.unknown
_1136195297.unknown
_1136196497.unknown
_1136195283.unknown