CalculoIII_Completo

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Ca´lculo III
Notas de Aula - Prof. Artur Fassoni - IMC/UNIFEI
Agosto de 2015
2
Suma´rio
1 Integrais Duplas e Triplas 5
1.1 Integrais Duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Integrais Duplas em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Mudanc¸a de Varia´veis em Integrais Duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Integrais Triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Mudanc¸a de Varia´veis em Integrais Triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Aplicac¸o˜es das Integrais Duplas e Triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Integrais de Linha 29
2.1 Curvas Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Integrais de Linha de Campos Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4 Divergente e Rotacional: Derivadas de Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5 Integrais de Linha de Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3 Ca´lculo Vetorial em R2 49
3.1 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2 Teorema Fundamental das Integrais de Linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Caracterizac¸a˜o de Campos Conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4 O Fluxo de um Campo Vetorial no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5 Teoremas de Stokes e da Divergeˆncia no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4 Ca´lculo Vetorial em R3 67
4.1 Superfı´cies Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2 A´rea e Integrais de Superfı´cie de Campos Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3 Integrais de Superfı´cie de Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4 Teorema da Divergeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.5 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
A Apeˆndices 87
A.1 Revisa˜o de Geometria Analı´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
A.2 Formula´rio - Integrais de Linha e Ca´lculo Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3
4
Capı´tulo 1
Integrais Duplas e Triplas
5
1.1 Integrais Duplas
O Volume de um So´lido como uma Integral Dupla
Definic¸a˜o 1 (Fechado, limitado, compacto).
i) Um conjunto D em R2 e´ fechado se ele conteˆm todos os pontos de sua fronteira.
ii) Um conjunto D em R2 e´ limitado se estiver contido em algum retaˆngulo R.
iii) Um conjunto D em R2 e´ compacto se for fechado e limitado.
Sejam D ⊂ R2 um conjunto compacto, contido num retaˆngulo da forma R = [a,b]× [c,d], e f (x,y)
uma func¸a˜o contı´nua em D. Queremos calcular o volume do so´lido S compreendido entre D e o
gra´fico de f . Este volume pode ser aproximado por uma soma da seguinte maneira.
- Dividimos o intervalo [a,b] em m pedac¸os de tamanho ∆x = (b− a)/m, e o intervalo [c,d] em n
pedac¸os de tamanho ∆y= (d−c)/n. Assim, o retaˆngulo R esta´ dividido em mn retaˆngulos pequenos
Ri j de a´rea ∆A = ∆x∆y, e o conjunto D e´ coberto por uma certa quantidade destes retaˆngulos. Em
cada retaˆngulo Ri j escolhemos um ponto qualquer (x∗i j,y∗i j).
- Consideramos agora os paralelepı´pedos de base Ri j e altura f (x∗i j,y∗i j). A unia˜o destes parale-
lepı´pedos e´ uma aproximac¸a˜o do so´lido S. Assim, o volume procurado e´ aproximado pela seguinte
soma de Riemmann:
V ≈
m
∑
i=1
n
∑
j=1
f
(
x∗i j,y∗i j
)
∆A.
Ri j ⊂ D
- Se aumentarmos m e n, diminuı´mos ∆x e ∆y, de modo que o nu´mero de retaˆngulos Ri j contidos em
D aumenta. Como f e´ contı´nua, os paralelepı´pedos ficam mais finos, e a soma acima fica cada vez
mais pro´xima do volume exato. Portanto, o volume exato e´ dado pelo limite
V = lim
m,n→∞
m
∑
i=1
n
∑
j=1
f
(
x∗i j,y∗i j
)
∆A.
Ri j ⊂ D
Definic¸a˜o 2 (Integral Dupla).
A integral dupla de uma func¸a˜o contı´nua f (x,y) sobre um compacto D e´ definida como sendo o limite
∫∫
D
f (x,y)dA = lim
m,n→∞
m
∑
i=1
n
∑
j=1
f
(
x∗i j,y∗i j
)
∆A.
Ri j ⊂ D
Ca´lculo de Integrais duplas: Integrais Iteradas
A definic¸a˜o 2 na˜o fornece uma maneira de calcular a integral, mas apenas a estabelece como sendo
o limite de uma soma de Riemmann. Para obter uma maneira pra´tica de calcular integrais duplas,
expressamos o volume do so´lido S usando um “fatiamento” em apenas uma varia´vel. Isto e´, fatiamos
D fazendo va´rios cortes da forma x= xi, ou da forma y= y j, e calculamos o volume total como sendo
a soma dos volumes de cada fatia. Este e´ o conteu´do do Teorema de Fubini.
6
Teorema 3 (Integrais Iteradas e Teorema de Fubinni).
Sejam D um compacto e f (x,y) uma func¸a˜o contı´nua em D.
i) Se a regia˜o D esta´ contida entre dois gra´ficos de func¸o˜es de x, com x ∈ [a,b], ou seja,
D = {(x,y) | a≤ x≤ b, g1 (x)≤ y≤ g2 (x)} ,
enta˜o a integral dupla de f sobre D pode ser calculada como∫∫
D
f (x,y)dA =
∫ b
a
A(x)dx =
∫ b
a
∫ g2(x)
g1(x)
f (x,y)dydx
onde A(x) e´ a a´rea da sec¸a˜o transversal no ponto x. Neste caso, dizemos que D e´ uma regia˜o do
tipo 1, e que a integral dupla e´ escrita como duas integrais iteradas na ordem dxdy.
ii) Se a regia˜o D esta´ contida entre dois gra´ficos de func¸o˜es de y, com y ∈ [c,d], ou seja
D = {(x,y) | c≤ y≤ d, h1 (y)≤ x≤ h2 (y)} ,
enta˜o a integral dupla de f sobre D pode ser calculada como∫∫
D
f (x,y)dA =
∫ d
c
A(y)dy =
∫ d
c
∫ h2(y)
h1(y)
f (x,y)dxdy
onde A(y) e´ a a´rea da sec¸a˜o transversal no ponto y. Neste caso, dizemos que D e´ uma regia˜o do
tipo 2, e que a integral dupla e´ escrita como duas integrais iteradas na ordem dydx.
iii) Se uma regia˜o D e´ tanto tanto do tipo 1 quanto do tipo 2, enta˜o o resultado da integral e´ o mesmo
em qualquer ordem de integrac¸a˜o, ou seja,∫∫
D
f (x,y)dA =
∫ b
a
∫ g2(x)
g1(x)
f (x,y)dydx =
∫ d
c
∫ h2(y)
h1(y)
f (x,y)dxdy.
Observac¸a˜o 4: i) A escolha da ordem de integrac¸a˜o pode facilitar ou dificultar o ca´lculo da integral.
ii) Se uma regia˜o na˜o e´ nem do tipo 1 nem do tipo 2, dividimos ela em duas partes que sejam do
tipo 1 ou 2 e utilizamos a propriedade vi) abaixo.
Proposic¸a˜o 5 (Propriedades da Integral Dupla).
Sejam f (x,y) e g(x,y) func¸o˜es cujas integrais duplas em D existem. Enta˜o:
i)
∫∫
D
( f (x,y)±g(x,y))dA =
∫∫
D
f (x,y)dA±
∫∫
D
g(x,y)dA.
ii)
∫∫
D
c f (x,y)dA = c
∫∫
D
f (x,y)dA.
iii) Se f (x,y)≥ g(x,y) para todo (x,y) ∈ D, enta˜o
∫∫
D
f (x,y)dA≥
∫∫
D
g(x,y)dA.
iv) Se D = D1∪D2 com D1∩D2 = /0, enta˜o
∫∫
D
f (x,y)dA =
∫∫
D1
f (x,y)dA+
∫∫
D2
f (x,y)dA.
v) A a´rea da regia˜o D e´ dada por A(D) = lim
m,n→∞
m
∑
i=1
n
∑
j=1
∆A =
∫∫
D
1 dA.
vi) O valor me´dio de f sobre D, ou seja, a me´dia de f em D, e´ dado por vm(f,D)=
1
A(D)
∫∫
D
f (x,y)dA.
Ele satisfaz a seguinte relac¸a˜o∫∫
D
f (x,y)dA = “volume do so´lido entre gr(f) e D” = A(D)×vm(f,D) .
7
Exemplos
Exemplo 1. Encontre o volume do prisma cuja base e´ o triaˆngulo no plano xy limitado pelo eixo-x e
pelas retas y = x e x = 1, e cujo topo esta´ no plano z = f (x,y) = 3− x− y. (R = 1)
Exemplo 2. Calcule
∫∫
D
sinx
x dA, onde D = {(x,y)|0≤ y≤ 1, y≤ x≤ 1}. (R = 1− cos1 )
Exemplo 3. Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o e troque a ordem de integrac¸a˜o da integral:∫ 2
0
∫ 2x
x2
(4x+2)dy dx.
Exemplo 4. Calcule o volume do so´lido abaixo da superfı´cie z = 16− x2− y2 e acima da regia˜o
limitada pela curva y = 2
√
x, pela reta y = 4x−2 e pelo eixo-x. (R = 20803/1680)
Exemplo 5. Encontrea a´rea da regia˜o D limitada pelas curvas y = x+2 e y = x2. (R = 9/2)
8
9
1.2 Integrais Duplas em Coordenadas Polares
Todo ponto P = (x,y) do plano pode ser descrito em termos
- da distaˆncia r de P a` origem O e
- do aˆngulo θ que o ~OP faz com eixo-x (anti-hora´rio)
Assim, e´ possı´vel passar a descric¸a˜o de um conjunto do plano das coordenadas cartesianas (x,y) para
as chamadas coordenadas polares (r,θ), por meio das fo´rmulas:{
x = rcosθ
y = rsinθ ⇔
{
θ= arctan yx
r =
√
x2+ y2
.
Muitos conjuntos sa˜o descritos de modo muito simples em coordenadas polares. O ca´lculo de in-
tegrais duplas nestes conjuntos, por meio de coordenadas cartesianas, pode ser complicado e ate´
impossı´vel. Utilizar coordenadas polares nestes casos simplifica muito.
Queremos calcular a integrais duplas
∫∫
R f (x,y)dA em regio˜es que sejam da forma
D = {(r,θ)| α≤ θ≤ β, h1 (θ)≤ r ≤ h2 (θ)}.
Uma regia˜o desta forma esta´ contida em algum retaˆngulo polar, que e´ um conjunto da forma
R = {(r,θ)| α≤ θ≤ β, a≤ r ≤ b}.
Para calcular a integral, dividimos o intervalo [α,β] dos aˆngulos em m pedac¸os de tamanho ∆θ, e
o intervalo [a,b] dos raios em n pedac¸os de tamanho ∆r, de modo a cobrir D com va´rios retaˆngulos
polares infinitesimais Ri j. Tomando um ponto (x∗i j,y∗i j)↔ (r∗i j,θ∗i j) no meio de cada retaˆngulo Ri j ⊂ R,
temos:∫∫
R
f (x,y)dA= lim
m,n→∞
m
∑
i=1, Ri j⊂D
n
∑
j=1
f
(
x∗i j,y
∗
i j
)
∆Ai j = lim
m,n→∞
m
∑
i=1, Ri j⊂D
n
∑
j=1
f
(
r∗i jcosθ
∗
i j ,r
∗
i jsinθ
∗
i j
)
∆Ai j.
Resta sabermos o valor de cada a´rea ∆Ai j. Para calcula´-la, note que
Area ∆Ai j =
(
Area do setor θθ
de raio r∗i j +
∆r
2
)
−
(
Area do setor θθ
de raio r∗i j− ∆r2
)
=
=
1
2
∆θ
(
r∗i j +
∆r
2
)2
− 1
2
∆θ
(
r∗i j−
∆r
2
)2
=
∆θ
2
[(
r∗i j +
∆r
2
)2
−
(
r∗i j−
∆r
2
)2]
= r∗i j∆r∆θ
Assim, a integral dupla de f (x,y) em D e´ dada pelo limite∫∫
D
f (x,y)dA = lim
m,n→∞
m
∑
i=1, Ri j⊂D
n
∑
j=1
f
(
r∗i jcosθ
∗
i j ,r
∗
i jsinθ
∗
i j
)
r∗i j∆r∆θ
Ou seja, vale a seguinte formula de mudanc¸a de coordenadas cartesianas para polares:∫∫
D
f (x,y)dA =
∫ b
a
∫ h2(θ)
h1(θ)
f (r cosθ ,r sinθ) rdrdθ
onde
D = {(r,θ)| α≤ θ≤ β, h1 (θ)≤ r ≤ h2 (θ)}.
Dizemos dA = rdrdθ e´ o elemento de a´rea em coordenadas polares.
10
Exemplos:
Exemplo 6. Calcule
∫∫
R e
x2+y2dA, onde R e´ a regia˜o limitada pelo eixo-x e pela curva y =
√
1− x2.(
R = pi2 (e−1)
)
.
Exemplo 7. Calcule o volume do so´lido abaixo da superfı´cie z = 9− x2− y2 e acima do cı´rculo
unita´rio no plano xy. (R = 17pi/2)
Exemplo 8. Encontre os limites de integrac¸a˜o para integrar f (r,θ), na regia˜o R que esta´ dentro do
cardioide r = 1+ cosθ e fora do cı´rculo r = 1.
Exemplo 9. Calcule a a´rea delimitada pela leminiscata r2 = 4cos2θ . (R = 4)
Exemplo 10. Calcule a integral
∫ 1
0
∫√1−x2
0
(
x2+ y2
)
dy dx.
(
R = pi8
)
.
Exemplo 11. Encontre a a´rea da regia˜o compreendida dentro do cı´rculo x2 + y2 = 4, acima da reta
y = 1, e abaixo da reta y =
√
3x.
(
R = pi−
√
3
3
)
11
12
1.3 Mudanc¸a de Varia´veis em Integrais Duplas
Definic¸a˜o 6 (Mudanc¸a de Varia´veis no Plano).
Uma mudanc¸a de varia´veis no plano e´ definida por uma transformac¸a˜o
T : S → R
(u,v) → (x,y) = T (u,v)
onde S,R ⊂ R2, com R = T (S), e cada ponto (x,y) ∈ R e´ imagem de um u´nico ponto (u,v) ∈ S. A
transformac¸a˜o T possui uma transformac¸a˜o inversa, denotada por T−1,
T−1 : R → S
(x,y) → (u,v) = T−1 (x,v) .
Portanto, por meio de T e T−1, as varia´veis x e y ficam relacionadas a`s varia´veis u e v, e tambe´m as
varia´veis (u,v) podem ser escritas em termos de (x,y) :{
x = x(u,v)
y = y(u,v) ⇐⇒
{
u = u(x,y)
v = v(x,y) .
Observac¸a˜o 7 (Coordenadas Polares):
O uso de Coordenadas Polares e´ um exemplo de Mudanc¸a de Varia´veis
(x,y) = T (r,θ)
x = rcosθ
y = rsinθ
(r,θ) ∈ [0,1]× [0, pi2]
⇐⇒

(r,θ) = T−1(x,y)
θ= arctan yx
r =
√
x2+ y2
(x,y) ∈ R{(x,y) | x2+ y2 ≤ 1, x≥ 0, y≥ 0}
Mudanc¸a de Varia´veis em Integrais Duplas
Uma mudanc¸a de varia´veis pode facilitar muito o ca´lculo de certas integrais duplas, dependendo do
integrando f (x,y) ou da regia˜o de integrac¸a˜o.
Teorema 8 (Teorema de Mudanc¸a de Varia´veis).
Considere a mudanc¸a T dada por x= x(u,v) e y= y(u,v), (u,v)∈ S. Se x(u,v) e y(u,v) sa˜o contı´nuas
e possuem derivadas parciais contı´nuas, e se o determinante Jacobiano
J (u,v) =
∣∣∣∣∂(x,y)∂(u,v)
∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣ ∂x∂u ∂x∂v∂y∂u ∂y∂v
∣∣∣∣∣= ∂x∂u ∂y∂v − ∂x∂v ∂y∂u
e´ nulo apenas em pontos isolados de R, enta˜o vale a seguinte fo´rmula de mudanc¸a de varia´veis:∫∫
R
f (x,y)dxdy =
∫∫
S
f (x(u,v) ,y(u,v))
∣∣∣∣∂(x,y)∂(u,v)
∣∣∣∣dudv
Ou seja, o elemento de a´rea dA = dxdy se torna dxdy =
∣∣∣ ∂(x,y)∂(u,v)∣∣∣dudv.
Observac¸a˜o 9:
Observe a semelhanc¸a com uso de substituic¸a˜o simples em integrais do Ca´lculo I:
x = g(u)
dx = x′ (u)du
x = a⇒ u = c
x = b⇒ u = d
=⇒
∫ b
a
f (x)dx =
∫ d
c
f (x(u))x′(u)du.
13
Exemplos
Exemplo 12. Encontre o jacobiano da transformac¸a˜o em coordenadas polares.
Exemplo 13. Calcule a integral
∫ 4
0
∫ (y/2)+1
y/2
2x−y
2 dxdy, usando a transformac¸a˜o u =
2x−y
2 , v =
y
2 .
Exemplo 14. Calcule a integral
∫ 1
0
∫ 1−x
0
√
x+ y (y−2x)2dydx.
Exemplo 15. Calcule a integral
∫ 2
1
∫ y
1/y
√
y
xe
√
xydxdy. R: 2e(e−2).
14
15
1.4 Integrais Triplas
Volume como uma Integral Tripla
Do mesmo modo que definimos integral dupla dividindo uma regia˜o plana em retaˆngulos pequenos,
podemos definir integrais triplas a partir de regio˜es so´lidas. Seja E ⊂ R3 um so´lido no espac¸o tridi-
mensional, fechado e limitado. Existe uma ‘caixa retangular’ R que conteˆm E. Particionamos R em
pequenas caixas retangulares, e enumeramos em uma certa ordem, de 1 a n, aquelas subcaixas que
estiverem dentro de E. A k-e´sima caixa possui dimenso˜es ∆xk,∆yk e ∆zk. Assim, o volume aproxi-
mado do so´lido E e´ a soma dos volumes das caixas dentro dele, e e´ exato quando o nu´mero de caixas
n→ ∞, ou, equivalentemente, ∆xk,∆yk,∆zk→ 0:
Vol(E)≈ lim
n→∞
n
∑
k=1
∆Vk = limn→∞
n
∑
k=1
∆xk∆yk∆zk.
Definic¸a˜o 10.
Seja f (x,y,z) uma func¸a˜o contı´nua em uma regia˜o E contida em R3. A integral tripla de f sobre E
e´ definida como sendo o limite∫∫∫
E
F (x,y,z)dV = lim
n→∞
n
∑
k=1
F (xk,yk,zk)∆Vk = limn→∞
n
∑
k=1
F (xk,yk,zk)∆xk∆yk∆zk .
Observac¸a˜o 11: i) A integral tripla
∫∫∫
E
dV representa o volume de E.
ii) Se f (x,y,z) representa a densidade em cada ponto do so´lido E, a integral tripla
∫∫∫
E
f (x,y,z)dV
representa a massa de E.
Ca´lculo de Integrais Triplas como Integrais Iteradas
O ca´lculo de integrais triplas tambe´m e´ feito por meio de integrais iteradas. O processo possui sempre
treˆs passos ba´sicos:
i) Esboc¸amos o so´lido E e escolhemos algum dos planos coordenados para projetar E.
ii) Determinamos as ‘tampas’ superior e inferior (com relac¸a˜o ao plano escolhido) que delimitam E
por cima e por baixo.
iii) Determinamos no plano escolhido a ‘sombra’ D de E como sendo uma regia˜o do tipo 1 ou 2.
Dependendo da geometria do so´lido E, pode ser melhor considerar sua projec¸a˜o no plano x×y ou
no plano x× z ou no plano y× z. Vejamos como fica cada caso.
Projetando no plano x× y
i) Esboc¸amos o so´lido E e sua ‘sombra’ D no plano x× y.
ii) Determinamos as ‘tampas’ superior e inferior z = u2 (x,y) e z = u1 (x,y) que delimitam E por
cima e por baixo, de modo que E e´ dado por
E = {(x,y,z) ∈ R3 | (x,y) ∈ D, u1(x,y)≤ z≤ u2(x,y)},
e a integral tripla pode ser escrita na ordem dzdA, como sendo uma integral simples iterada com
uma integral dupla: ∫∫∫
E
f (x,y,z)dV=
∫∫
D
(∫ u2(x,y)
u1(x,y)
f (x,y,z)dz
)
dA
16
iii) Escrevemos a ‘sombra’ D como sendo uma regia˜o do tipo 1 ou 2, obtendo assim uma expressa˜o
para a integral tripla como treˆs integrais iteradas.
Se D e´ do tipo 1, enta˜o
E = {(x,y,z)| a≤ x≤ b, g1 (x)≤ y≤ g2 (x) , u1 (x,y)≤ z≤ u2(x,y)},
e daı´ a integral e´ feita na ordem dzdydx:∫∫∫
E
f (x,y,z)dV =
∫ b
a
∫ g2(x)
g1(x)
∫ u2(x,y)
u1(x,y)
f (x,y,z) dzdy dx.
Se D e´ do tipo 2, enta˜o
E = {(x,y,z)| c≤ y≤ d, h1 (y)≤ x≤ h2 (y) , u1 (x,y)≤ z≤ u2(x,y)},
e daı´ a integral e´ feita na ordem dzdxdy∫∫∫
E
f (x,y,z)dV =
∫ d
c
∫ h2(y)
h1(y)
∫ u2(x,y)
u1(x,y)
f (x,y,z) dzdx dy.
Projetando no plano x× z
i) Esboc¸amos o so´lido E e sua ‘sombra’ D no plano x× z.
ii) Determinamos as ‘tampas laterais’ direita e esquerda, que agora dependem de x e z, y = u2 (x,z)
e y = u1 (x,z), delimitando E pelos lados. Assim, E e´ dado por
E = {(x,y,z) ∈ R3 | (x,z) ∈ D, u1(x,z)≤ y≤ u2(x,z)}.
e a integral tripla pode ser escrita na ordem dydA, como sendo uma integral simples iterada com
uma integral dupla: ∫∫∫
E
f (x,y,z)dV =
∫∫
D
(∫ u2(x,z)
u1(x,z)
f (x,y,z)dy
)
dA
iii) Escrevemos a ‘sombra’ D no plano x× z como sendo uma regia˜o do tipo 1 ou 2, obtendo assim
uma expressa˜o para a integral tripla como treˆs integrais iteradas, na ordem dydxdz ou dydzdx.
Projetando no plano y× z
i) Esboc¸amos o so´lido E e sua ‘sombra’ D no plano y× z.
ii) Determinamos as ‘tampas laterais’ de frente e de tra´s, x = u2 (y,z) e x = u1 (y,z), de modo que E
e´ dado por
E = {(x,y,z) ∈ R3 | (y,z) ∈ D, u1(y,z)≤ x≤ u2(y,z)}.
Deste modo, a integral tripla pode ser escrita na ordem dxdA, como sendo uma integral simples
iterada com uma integral dupla:∫∫∫
E
f (x,y,z)dV =
∫∫
D
(∫ u2(y,z)
u1(y,z)
f (x,y,z)dx
)
dA
iii) Procedendo de modo ana´logo, escrevemos a ‘sombra’ D no plano y× z como sendo uma regia˜o
do tipo 1 ou 2, obtendo assim uma expressa˜o para a integral tripla como treˆs integrais iteradas,
na ordem dxdydz ou dxdzdy.
17
Exemplos
Exemplo 16. Calcule o volume do tetraedro de vertices (0,0,0) , (1,0,0) , (0,1,0) e (0,1,1), usando
a ordem dzdydx. (R = 1/6)
Exemplo 17. Encontre o volume da regia˜o D delimitada pelas superfı´cies z= x2+3y2 e z= 8−x2−
y2. (R = 8p
√
2
Exemplo 18. Calcule o volume do tetraedro do Exemplo 16, usando a ordem dydzdx.
Exemplo 19. Calcule
∫∫∫
E
√
x2+ z2dV , onde E e´ a regia˜o limitada pelo paraboloide y = x2 + z2, e
pelo plano y = 4. (R = 128p/15)
Exemplo 20. Reescreva a integral iterada
∫ 1
0
∫ x2
0
∫ y
0 f (x,y,z)dzdydx nas ordens dxdzdy e dydzdx, e
esboce a regia˜o de integrac¸a˜o.
Exemplo 21. Encontre o centro de massa de um so´lido de densidade constante, que e´ limitado pelo
cilindro parabo´lico x = y2 e pelos planos x = z, z = 0, e x = 1. R :
(5
7 ,0,
5
14
)
.
18
19
1.5 Mudanc¸a de Varia´veis em Integrais Triplas
Uma mudanc¸a de varia´veis no espac¸o e´ definida de maneira ana´loga a` mudanc¸as no plano, e vale
tambe´m um resultado sobre mudanc¸a de varia´veis em integrais triplas.
Seja R uma regia˜o em R3 e considere a mudanc¸a de coordenadas
x = x(u,v,w) , y = y(u,v,w) , z = z(u,v,w) , (u,v,w) ∈ S⊂ R3,
onde cada (x,y,z) ∈ R e´ imagem de um u´nico ponto (u,v,w) ∈ S. Se x(u,v,w), y(u,v,w) e z(u,v,w)
forem contı´nuas, possuı´rem derivadas parciais contı´nuas, e se o determinante jacobiano
J (u,v,w) =
∣∣∣∣ ∂(x,y,z)∂(u,v,w)
∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣∣
∂x
∂u
∂x
∂v
∂x
∂w
∂y
∂u
∂y
∂v
∂y
∂w
∂z
∂u
∂z
∂v
∂z
∂w
∣∣∣∣∣∣∣
for nulo no ma´ximo em pontos isolados de S, enta˜o vale a seguinte fo´rmula de mudanc¸a de varia´veis:∫∫∫
R
f (x,y,z)dV =
∫∫∫
S
f (x(u,v,w) ,y(u,v,w) ,z(u,v,w))
∣∣∣∣ ∂(x,y,z)∂(u,v,w)
∣∣∣∣dudvdw.
Ou seja, o elemento de volume e´ dado por dV = dxdydz =
∣∣∣ ∂(x,y,z)∂(u,v,w)∣∣∣dudvdw.
Integrais Triplas em Coordenadas Cilı´ndricas
Um ponto P = (x,y,z) ∈ R3 pode ser representado pela terna (r,θ,z), onde (r,θ) sa˜o as coordenadas
polares da projec¸a˜o de P no plano x× y e z e´ a altura no ponto P em relac¸a˜o ao plano xy. Os nu´meros
(r,θ,z) sa˜o as coordenadas cilı´ndricas de P. Ou seja,
Coordenadas Cilı´ndricas = Coordenadas Polares no plano xy + coordenada cartesiana no eixo z.
Assim, as equac¸o˜es relacionando coordenadas cilı´ndricas e retangulares sa˜o
x = r cosθ, y = r sinθ, z = z, r2 = x2+ y2, tanθ= y/x.
Portanto, em coordenadas cilı´ndricas:
i) A equac¸a˜o r = a descreve um cilindro de raio a (θ e z esta˜o livres).
ii) A equac¸a˜o θ = θ0 descreve o semi-plano que conteˆm o eixo-z e faz um aˆngulo θ0 com o eixo-x
(r e z esta˜o livres).
iii) A equac¸a˜o z = z0 descreve um plano paralelo ao plano xy na altura z0 (r e θ esta˜o livres).
Seja E e um so´lido em R3 e D a sua projec¸a˜o no plano x× y. Assim,
E = {(x,y,z) | (x,y) ∈ D u1(x,y)≤ z≤ u2(x,y)}.
Se D possuir uma representac¸a˜o conveniente em coordenadas polares, ou seja, se
D = {(r,θ)| α≤ θ≤ β, h1(θ)≤ r ≤ h2(θ)},
enta˜o, podemos utilizar coordenadas cilı´ndricas para calcular integrais triplas em E. Temos∫∫∫
E
f (x,y,z)dV =
∫∫
D
∫ u2(x,y)
u1(x,y)
f (x,y,z)dzdA =
∫ b
a
∫ h2(θ)
h1(θ)
∫ u2(x,y)
u1(x,y)
f (x,y,z)dzrdrdθ.
Ou seja, o elemento de volume em coordenadas cilı´ndricas e´ dado por:
dV = dz r dr dθ.
20
Integrais Triplas em Coordenadas Esfe´ricas
Um outro sistema de coordenadas muito utilizado e´ o sistema de coordenadas esfe´ricas. Neste sistema,
um ponto P = (x,y,z) ∈ R3 e´ representado pela terna (ρ,θ,φ), onde:
i) ρ e´ a distaˆncia de P a` origem (ρ≥ 0),
ii) θ e´ o aˆngulo das coordenadas cilı´ndricas, ou seja, e´ o aˆngulo que o vetor (x,y,0) faz com o eixo-x
(0≤ θ≤ 2pi),
iii) φ e´ o aˆngulo que ~OP faz com o eixo-z positivo (0≤ φ≤ pi).
Para melhor entender e memorizar as fo´rmulas de coordenadas esfe´ricas, e´ interessante considerar a
varia´vel r das coordenadas cilı´ndricas. Pelas definic¸o˜es de r, ρ e φ temos que
ρ2 = r2+ z2, r = ρsinφ, z = ρcosφ.
Como x = r cosθ e y = r sinθ, as equac¸o˜es relacionando coordenadas esfe´ricas e retangulares sa˜o:
x = ρsinφcosθ
y = ρsinφsinθ
z = ρcosφ
⇐⇒

ρ2 = x2+ y2+ z2
tanθ= y/x
tanφ= rz =
√
x2+y2
z
.
Em coordenadas esfe´ricas:
i) A equac¸a˜o ρ= a descreve uma esfera de raio a e centro na origem (θ e φ esta˜o livres)
ii) θ = θ0 descreve o semi-plano que conteˆm o eixo-z e faz um aˆngulo θ0 com o eixo-x positivo (ρ
e φ livres)
iii) φ = φ0 descreve um cone com ve´rtice na origem, com eixo de simetria sendo o eixo-z, e com
aˆngulo de abertura 2φ0 (ρ e θ livres). Se φ0 > pi/2, o cone e´ voltado para baixo.
Em geral, uma integral tripla num so´lido E ⊂ R3 pode ser calculada usando coordenadas esfe´ricas se
E for um so´lido de revoluc¸a˜o ao longo do eixo z, como uma esfera ou um cone. A descric¸a˜o de E em
coordenadas esfe´ricas deve ser da forma
E = {(ρ,θ,φ) | α≤ θ≤ β, c≤ φ≤ d, g1 (θ,φ)≤ ρ≤ g2(θ,φ)}.
Calculando o jacobiano para as coordenadas esfe´ricas, obtemos∣∣∣∣ ∂(x,y,z)∂(ρ,θ,φ)
∣∣∣∣= ρ2 sinφ.
Logo, o elemento de volume em coordenadas esfe´ricas e´ dado por:
dV = ρ2 sinφ dρdθdφ.
Portanto, o ca´lculo de uma integral tripla em E em coordenadas esfe´ricas fica∫∫∫
E
f (x,y,z)dV =
∫ b
a
∫ d
c
∫ g2(θ,φ)
g1(θ,φ)
f (ρsinφcosθ,ρsinφsinθ,ρcosφ)ρ2 sinφ dρdθdφ.
21
Exemplos
Exemplo 22. Calcule a integral
∫ 3
0
∫ 4
0
∫ (y/2)+1
y/2
(
2x−y
2 +
z
3
)
dxdydz, usando a transformac¸a˜o u= 2x−y2 , v=
y
2 , w =
z
3 . R: 12.
Exemplo 23. Calcule o volume do elipso´ide
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1.
Exemplo 24. Encontre o centroide do so´lido de densidade ρ = 1 compreendido dentro do cilindro
x2+ y2 = 4, abaixo do paraboloide z = x2+ y2, e acima do plano xy. R: (0,0,4/3).
Exemplo 25. Encontre os limites de integrac¸a˜o, em coordenadas cilı´ndricas,para integrar f (x,y,z)
sobre a regia˜o limitada abaixo pelo plano z = 0, lateralmente pelo cilindro circular x2+(y−1)2 = 1
e acima pelo paraboloide z = x2+ y2.
Exemplo 26. Calcule a integral tripla
∫ 2
−2
∫ √4−x2
−√4−x2
∫ 2
√
x2+y2
x2+ y2dz dy dx. R: 16pi/5.
Exemplo 27. Encontre a equac¸a˜o em coordenadas esfe´ricas para a esfera x2+ y2+(z−1)2 = 1.
Exemplo 28. Encontre a equac¸a˜o em coordenadas esfe´ricas para o cone z =
√
x2+ y2.
Exemplo 29. Calcule o jacobiano da transformac¸a˜o em coordenadas esfe´ricas.
Exemplo 30. Calcule
∫∫∫
B e
(x2+y2+z2)
2
3
dV , onde B e´ a bola unita´ria B =
{
(x,y,z) |x2+ y2+ z2 ≤ 1}.
R: 43pi(e−1).
Exemplo 31. Calcule o volume do so´lido que esta´ acima do cone z =
√
x2+ y2 e abaixo da esfera
x2+ y2+ z2 = z. R: pi8 .
22
23
1.6 Aplicac¸o˜es das Integrais Duplas e Triplas
Densidade e Massa
Considere um so´lido E com densidade descrita por ρ(x,y,z). Esta densidade pode ser escrita como
ρ(x,y,z) = lim
∆V→0
∆m
∆V
,
onde ∆m e ∆V sa˜o a massa e o volume de um pequeno cubo contendo o ponto (x,y,z). Podemos
dividir o so´lido em n cubos Ri, cada um com volume ∆V = ∆x∆y∆z, e aproximar a massa de cada
cubo por
∆m≈ ρ(x∗i ,y∗i ,z∗i )∆V,
onde (x∗i ,y∗i ,x∗i ) e´ um ponto no cubo Ri. Fazendo o nu´mero de cubos n aumentar e somando todas as
massas, temos a massa total do so´lido, expressa como uma integral tripla:
m = lim
n→∞
n
∑
i=1
ρ(x∗i ,y
∗
i ,z
∗
i )∆V =
∫∫∫
E
ρ(x,y,z)dV .
Esta expressa˜o pode ser entendida como sendo a soma de todas as massas pontuais ρ(x,y,z)dV de
todos os pontos (x,y,z) ∈ E de densidades ρ(x,y,z) e volumes pontuas dV .
Momentos e centro de massa
Agora, queremos encontrar o centro de massa (ou centro de gravidade) do so´lido D, isto e´, o ponto P
no qual ele se equilibra horizontalmente.
A situac¸a˜o mais simples e´ quando duas massas m1 e m2 sa˜o presas a um basta˜o de massa desprezı´vel
em lados opostos a um apoio e a distaˆncias d1 e d2 do apoio. Pela Lei da Alavanca de Arquimedes, o
basta˜o estara´ em equilı´brio se
m1d1 = m2d2.
Introduzindo um sistema de coordenadas, esta condic¸a˜o e´ escrita como
m1 (x− x1) = m2 (x− x2) ,
onde x e´ a coordenada do centro de massa. Isolando x obtemos
x =
m1x1+m2x2
m1+m2
.
Os nu´meros m1x1 e m2x2 sa˜o chamados momentos das massas m1 e m2 (em relac¸a˜o a` origem) e a
equac¸a˜o acima nos diz que o centro de massa e´ igual a soma dos momentos dividida pela soma das
massas.
Agora, considere va´rias massas no plano xy. De modo ana´logo, as coordenadas do centro de massa
sa˜o
x =
∑ni=1 mixi
∑ni=1 mi
=
My
m
, y =
∑ni=1 miyi
∑ni=1 mi
=
Mx
m
onde os nu´meros mixi e miyi sa˜o os momentos de cada massa em relac¸a˜o aos eixos, e
My =
n
∑
i=1
mixi, Mx =
n
∑
i=1
miyi
sa˜o os momentos totais da placa com relac¸a˜o ao eixo-y e ao eixo-x, respectivamente. Eles medem a
tendeˆncia de o sistema girar em torno destes eixos.
24
Finalmente, interpretando um so´lido E de densidade ρ(x,y,z) como uma nuvem de va´rias massas
pontuais dm = ρ(x,y,z)dV , podemos calcular, de maneira ana´loga, os momentos em relac¸a˜o aos
planos x× y, x× z e y× z como sendo, respectivamente,
Mxy =
∫∫∫
E
z ρ(x,y,z)dV , Mxz =
∫∫∫
E
y ρ(x,y,z)dV , Myz =
∫∫∫
E
x ρ(x,y,z)dV .
Assim, o centro de massa de E e´ dado por (x,y,z), onde
x =
Myz
m
=
∫∫∫
E
x ρ(x,y,z)dV∫∫∫
E
ρ(x,y,z)dV
, y =
Mxz
m
=
∫∫∫
E
y ρ(x,y,z)dV∫∫∫
E
ρ(x,y,z)dV
, z =
Mxy
m
=
∫∫∫
E
z ρ(x,y,z)dV∫∫∫
E
ρ(x,y,z)dV
.
O centro de massa e´ o ponto que concentra toda a massa do so´lido. Como mx = Myz, my = Mxz e
mz=Mxy, uma partı´cula u´nica de massa m posicionada neste mesmo ponto teria os mesmos momentos
que o so´lido. Se a densidade ρ(x,y,z) e´ constante, o centro de massa e´ chamado centroide.
Momentos de ine´rcia
O momento de ine´rcia (tambe´m chamado segundo momento) de uma partı´cula de massa m em relac¸a˜o
a um eixo e´ definido como mr2, onde r e´ a distaˆncia da partı´cula ao eixo. Assim, procedendo com
a mesma divisa˜o do so´lido E feita anteriormente, podemos definir os seus momentos de ine´rcia em
relac¸a˜o aos eixos x, y e z, como sendo, respectivamente:
Ix =
∫∫∫
E
(
y2+ z2
)
ρ(x,y,z)dV , Iy =
∫∫∫
E
(
x2+ z2
)
ρ(x,y,z)dV , Iz =
∫∫∫
E
(
x2+ y2
)
ρ(x,y,z)dV .
Tambe´m consideramos o momento de ine´rcia em relac¸a˜o a` origem (ou momento polar de ine´rcia):
I0 =
∫∫∫
E
(
x2+ y2+ z2
)
ρ(x,y,z)dV .
Note que I0 = 12(Ix+ Iy+ Iz). A energia cine´tica de um objeto se movendo com velocidade linear v, de
massa m, e´ Ec = 12mv
2. A energia cine´tica de um eixo girando com velocidade angular w e momento
de ine´rcia I, em relac¸a˜o ao eixo de rotac¸a˜o, e´ Ec = 12 Iw
2. Portanto, da mesma maneira que a massa
m de um corpo esta´ relacionada a energia inercial para colocar o corpo em movimento retilı´neo,
o momento de ine´rcia em relac¸a˜o a um eixo esta´ relacionado a` quantidade de energia necessa´ria
para efetuar um movimento de rotac¸a˜o em torno daquele eixo. Quanto maior for I, mais energia e´
necessa´ria. Quanto mais a massa estiver distribuı´da longe do eixo, maior sera´ I.
25
Aplicac¸o˜es das Integrais Duplas
Todas as aplicac¸o˜es das integrais triplas podem ser reduzidas naturalmente para integrais duplas. Ou
seja, se D representa uma placa fina com densidade laminar ρ(x,y) em cada ponto, enta˜o:
i) A massa de D e´ dada por
∫∫
Dρ(x,y)dA.
ii) Os momentos em relac¸a˜o aos eixos x e y sa˜o, respectivamente,
Mx =
∫∫
D
ydm =
∫∫
D
y ρ(x,y)dA, My=
∫∫
D
xdm =
∫∫
D
x ρ(x,y)dA.
iii) O centro de massa e´ o ponto (x,y), onde
x =
My
m
=
∫∫
D
x ρ(x,y)dA∫∫
D
ρ(x,y)dA
, y =
Mx
m
=
∫∫
D
y ρ(x,y)dA∫∫
D
ρ(x,y)dA
.
iv) Os momentos de ine´rcia em relac¸a˜o aos eixos x e y sa˜o, respectivamente
Ix =
∫∫
D
y2ρ(x,y)dA, Iy =
∫∫
D
x2ρ(x,y)dA.
v) O momento de ine´rcia em relac¸a˜o a` origem (ou momento polar de ine´rcia) e´
I0 =
∫∫
D
(
x2+ y2
)
ρ(x,y)dA = (Ix+ Iy).
26
Exemplos
Exemplo 32. A fronteira de uma laˆmina consiste dos semicı´rculos y =
√
1− x2 e y =√4− x2 jun-
tamente com a porc¸a˜o do eixo-x que une. Calcule a massa desta laˆmina, sabendo que a densidade
ρ(x,y) em cada ponto e´ proporcional a` distaˆncia do ponto a` origem.
Exemplo 33. Calcule o centro de massa da laˆmina do Exemplo 32. R =
(
0, 4514pi
)
Exemplo 34. Considere um disco homogeˆneo D de raio a e densidade constante ρ. Verifique que
seu momento de ine´rcia de em relac¸a˜o ao seu centro (como uma roda em torno de seu eixo) pode ser
escrito como
I0 =
1
2
(
ρpia2
)
a2 =
1
2
ma2,
de modo que se aumentarmos a massa ou o raio do disco, aumentaremos o momento de ine´rcia.
Exemplo 35. Uma placa fina consiste da regia˜o triangular delimitada pelo eixo-x e pelas retas x = 1
e y = 2x no primeiro quadrante. Encontre os momentos de ine´rcia da placa em relac¸a˜o aos eixos x e
y e em relac¸a˜o a` origem. A densidade em cada ponto e´ ρ(x,y) = 6x+6y+6.
Exemplo 36. Calcule o momento de ine´rcia, em relac¸a˜o ao eixo-z, da “casquinha de sorvete” cortada
da bola ρ≤ 1 pelo cone φ= pi/3, sabendo que a densidade e´ constante igual a 1. R: pi12 .
27
28
Capı´tulo 2
Integrais de Linha
29
2.1 Curvas Parametrizadas
Descrevendo o movimento de uma partı´cula no espac¸o
Definic¸a˜o 12 (Curva Parametrizada).
Considere um ponto P= (x,y,z) se movendo no espac¸o. Enta˜o, seu vetor posic¸a˜o~r varia com o tempo
t, isto e´
~r =~r(t) = (x(t),y(t),z(t)) = x(t)~i+ y(t)~j+ z(t)~k.
A medida que t varia num certo intervalo I, ~r (t) descreve uma curva C no espac¸o. Esta curva C
e´ chamada curva parametrizada, e a func¸a˜o vetorial, ~r (t) e´ chamada parametrizac¸a˜o de C. As
func¸o˜es x(t), y(t), z(t)sa˜o chamadas componentes de~r (t). A varia´vel independente t e´ chamada
paraˆmetro. A curva C tambe´m e´ chamada de imagem ou trac¸o da parametrizac¸a˜o~r(t).
Definic¸a˜o 13 (Curvas suaves e suaves por partes).
Dizemos que uma curva C, com parametrizac¸a˜o~r(t), e´ suave se as suas componentes x(t), y(t) e z(t)
possuı´rem derivadas de primeira ordem contı´nuas. Dizemos que uma curva parametrizada C e´ suave
por partes se ela puder ser escrita como a unia˜o de pedac¸os suaves, isto e´, se
C =C1∪C2∪ ...∪Cn,
onde cada Ci e´ suave.
Definic¸a˜o 14 (Vetor tangente, Velocidade e Acelerac¸a˜o).
O vetor tangente a uma curva parametrizada C no ponto~r(t) e´ dado por
~r′ (t) = lim
∆t→0
~r (t+∆t)−~r (t)
∆t
=
(
x′(t),y′(t),z′(t)
)
.
Este limite sempre existe se C e´ suave, e e´ chamado a derivada da func¸a˜o vetorial~r(t). Ele tambe´m e´
o vetor velocidade da partı´cula cuja posic¸a˜o e´~r (t). Ele aponta na direc¸a˜o do movimento da partı´cula,
e seu comprimento ∣∣∣~r′ (t)∣∣∣
representa a velocidade escalar da partı´cula. A acelerac¸a˜o da partı´cula e´ dada pela derivada segunda
de~r (t):
~a(t) =~r
′′
(t) .
30
Exemplos
Exemplo 37. Dados dois pontos A, B∈Rd (d = 2 ou 3), fornec¸a uma parametrizac¸a˜o para o segmento
de reta unindo A e B. Qual e´ uma parametrizac¸a˜o para a reta passando por A e B?
Exemplo 38. a) Fornec¸a uma parametrizac¸a˜o~r (t) para o cı´rculo x2+ y2 = 1 em R2, que percorra o
cı´rculo no sentido anti-hora´rio, a` medida que t cresce.
b) Generalize para o cı´rculo de raio r e centro C = (x0,y0), e depois para uma elipse de semi-eixos a
e b e centro C = (x0,y0).
c) Para todas estas curvas, obtenha tambe´m parametrizac¸o˜es no sentido hora´rio.
Exemplo 39. Esboce as curvas dadas pela parametrizac¸o˜es~r1 (t)= (cos t ,sin t , t),~r2 (t)= (t,cos t ,sin t )
e~r3 (t) = (tcos t , tsin t , t).
Exemplo 40. Encontre uma parametrizac¸a˜o para a curva dada pela intersec¸a˜o do cilindro x2+y2 = 4
com o plano y+ z =5.
Exemplo 41. Encontre uma parametrizac¸a˜o para o gra´fico de uma func¸a˜o contı´nua y = f (x).
Exemplo 42. Encontre a posic¸a˜o ~r(t) de uma partı´cula lanc¸ada do cha˜o com velocidade inicial ~v0
e aˆngulo de elevac¸a˜o a, supondo que ela esta´ sujeita apenas a ac¸a˜o da gravidade, e desprezando
a resisteˆncia do ar. Encontre o tempo que ela demora para retornar ao cha˜o. A que distaˆncia ela
retorna? Qual aˆngulo a maximiza esta distaˆncia? E qual aˆngulo a maximiza o tempo que ela fica no
ar?
31
32
2.2 Integrais de Linha de Campos Escalares
Calculando o comprimento de uma curva
Seja C uma curva com parametrizac¸a˜o~r (t) = (x(t) ,y(t)) , t ∈ [a,b] . Queremos calcular o seu com-
primento. Para isto, fazemos o seguinte:
- Dividimos o intervalo [a,b] em n pedac¸os de tamanho ∆t = b−an .
- Os extremos dos intervalos [ti−1, ti] determinam pontos Pi =~r(ti) em C.
- A curva C pode ser aproximada pela poligonal ligando os pontos Pi.
- O comprimento de cada segmento Pi−1Pi e´ ∆si = |~r (ti)−~r(ti−1)|.
- Temos que ∆si = |~r(ti)−~r(ti−1)|∆t ∆t ≈ |~r′ (t∗i )|∆t =
√
x′(t∗i )
2+ y′(t∗i )
2∆t, para algum t∗i ∈ (ti−1, ti).
- Assim, o comprimento e´ aproximadamente
L≈
n
∑
i=1
∆si =
n
∑
i=1
∣∣~r′ (t∗i )∣∣∆t = n∑
i=1
√
x′(t∗i )
2+ y′(t∗i )
2∆t.
- Fazendo ∆t→ 0, ou seja, n→ ∞, temos o comprimento exato de C, dado por
L =
∫
C
ds =
∫ b
a
∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt = ∫ b
a
√
x′(t)2+ y′(t)2dt.
Calculando a massa de um fio fino
No mesmo contexto anterior, suponhamos que C representa um fio fino com densidade linear varia´vel
ρ(x,y) em cada ponto. Queremos calcular a massa de C. Realizando a mesma divisa˜o anterior temos:
i) A massa de cada segmento Pi−1Pi pode ser aproximada por
∆mi = ρ(x∗i ,y
∗
i )∆si ≈ ρ(~r (t∗i ))
∣∣~r′ (t∗i )∣∣∆t.
ii) Portanto, a massa total do fio e´ aproximadamente
m≈
n
∑
i=1
∆mi ≈
n
∑
i=1
ρ(~r (t∗i ))
∣∣~r′ (t∗i )∣∣∆t = n∑
i=1
ρ(x(t∗i ) ,y(t
∗
i ))
√
x′(t∗i )
2+ y′(t∗i )
2∆t.
iii) Novamente fazendo n→ ∞, temos a massa exata de C :
m =
∫
C
ρ(x,y)ds =
∫ b
a
ρ(~r (t))
∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt = ∫ b
a
ρ(x(t) ,y(t))
√
x′(t)2+ y′(t)2dt.
33
Integrais de Linha de Campos Escalares
Definic¸a˜o 15 (Integral de Linha de Campo Escalar).
Sejam C uma curva suave com parametrizac¸a˜o ~r (t) , t ∈ [a,b] e f uma func¸a˜o (campo escalar)
contı´nua numa regia˜o D contendo C. A integral de linha de f sobre C e´ definida como o limite∫
C
f ds = lim
n→∞
n
∑
i=1
f (~r (t∗i ))
∣∣~r′ (t∗i )∣∣∆t
e e´ calculada da seguinte maneira: ∫
C
f ds =
∫ b
a
f (~r (t))
∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt.
Quando f = f (x,y) e C e´ uma curva plana temos:
∫
C
f (x,y)ds =
∫ b
a
f (~r (t))
∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt = ∫ b
a
f (x(t) ,y(t))
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
dt.
Quando f = f (x,y,z) e C e´ uma curva espacial:
∫
C
f (x,y,z)ds =
∫ b
a
f (~r (t))
∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt = ∫ b
a
f (x(t) ,y(t) ,z(t))
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
+
(
dz
dt
)2
dt.
Em ambos os casos, dizemos que
ds =
∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt =
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
ou ds =
∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt =
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
+
(
dz
dt
)2
e´ o elemento de comprimento de arco.
Aplicac¸o˜es e Propriedades
A integral de linha de f sobre C,
∫
C f ds, possui as seguintes interpretac¸o˜es e propriedades:
i) Se f = 1, o resultado
∫
C ds representa o comprimento da curva C.
ii) Se f representa a densidade linear do fio fino C, enta˜o
∫
C f ds e´ a massa deste fio.
iii) Se f (x,y) ≥ 0, enta˜o ∫C f (x,y)ds representa a a´rea da ‘superfı´cie cerca’, cuja base e´ C e cuja
altura em cada ponto e´ f (x,y) (fac¸a uma figura).
iv) Se C e´ uma curva suave por partes, ou seja se C =C1∪C2∪·· ·∪Cn, onde cada Cn e´ suave, enta˜o∫
C
f ds =
∫
C1
f ds+ · · ·+
∫
Cn
f ds.
v) Se C e´ percorrida num sentido, e denotamos por −C a curva C percorrida no sentido contra´rio,
enta˜o ∫
C
f ds =
∫
−C
f ds
34
Exemplos
Exemplo 43. Calcule
∫
C f ds, onde
a) f (x,y)= x2+y e C e´ formado pelos segmentos horizontal e vertical que ligam os pontos (0,0) ,(1,0)
e (1,1) .
b) f (x,y,z)= x+y e C e´ a curva obtida como intersec¸a˜o do semiplano y= x, y≥ 0, com o paraboloide
z = x2+ y2, z≤ 2.
Exemplo 44. Um arame tem a forma de uma curva obtida como intersec¸a˜o da porc¸a˜o da esfera
x2+ y2+ z2 = 4, y≥ 0, com o plano x+ z = 2. Sabendo-se que a densidade em cada ponto do arame
e´ f (x,y,z) = xy, calcule a massa total do arame.
Exemplo 45. Deseja-se construir uma pec¸a de zinco que tem a forma da superfı´cie do cilindro x2+
y2 = 4, compreendida entre os planos z= 0 e x+y+ z= 2, z≥ 0. Se o metro quadrado de zinco custa
M reais, calcule o custo total da pec¸a.
35
36
2.3 Campos Vetoriais
Campos Vetoriais
Definic¸a˜o 16 (Campo Vetorial).
Um campo vetorial em R2 e´ uma func¸a˜o ~F(x,y) que a cada ponto (x,y) do plano associa um vetor
~F (x,y) = (P(x,y) ,Q(x,y))=P(x,y)~i + Q(x,y)~j ∈ R2.
Geometricamente, podemos visualizar campos de vetores esboc¸ando vetores ~F (x,y) com origem em
(x,y). Note que P(x,y) e´ a componente horizontal do campo, e Q(x,y) e´ a componente vertical do
campo.
Um campo vetorial em R3 e´ uma func¸a˜o ~F(x,y,z) que a cada ponto (x,y,z) do espac¸o associa um
vetor
~F (x,y,z) = (P(x,y,z) ,Q(x,y,z) ,R(x,y,z))=P(x,y,z)~i+Q(x,y,z)~j+R(x,y,z)~k ∈ R3.
Campos vetoriais sa˜o usados para descrever diversas grandezas vetoriais distribuı´das espacial-
mente, como o campo de velocidades de um fluido em movimento, a direc¸a˜o e velocidade do vento
ou das correntes marı´timas, forc¸as gravitacionais, campos ele´tricos ou magne´ticos, etc.
Campos Gradientes
Seja f (x,y) uma func¸a˜o com derivadas parciais contı´nuas. O gradiente de f (x,y) e´ um vetor, dado
por ~∇ f =
(
∂ f
∂x ,
∂ f
∂y)
. Portanto, a partir da func¸a˜o escalar f (x,y) podemos construir o campo vetorial
~F = ~∇ f =
(
∂ f
∂x
,
∂ f
∂y
)
=
∂ f
∂x
~i +
∂ f
∂y
~j.
Ele possui as seguintes propriedades:
i) ~∇ f e´ perpendicular a`s curvas de nı´vel f (x,y) = cte.
ii) ~∇ f aponta na direc¸a˜o de maior crescimento de f (x,y).
iii)
∣∣∣~∇ f ∣∣∣ mede o qua˜o ra´pido f (x,y) esta´ mudando na direc¸a˜o de ~∇ f .
Definic¸a˜o 17.
Um campo ~F da forma ~F = ~∇ f e´ chamado campo gradiente, e a func¸a˜o f (x,y) e´ chamada func¸a˜o
potencial do campo ~F .
37
Exemplos
Exemplo 46. O vetor posic¸a˜o do ponto (x,y),~r = x~i+ y~j, e´ um campo radial. O comprimento de
cada vetor aumenta a medida que nos afastamos da origem
|~r|=
√
x2+ y2 = r
OBS: r e´ nu´mero (distaˆncia) e~r e´ vetor.
Exemplo 47. O campo vetorial ~rr =
x√
x2+y2
~i+ y√
x2+y2
~j, e´ um campo vetorial radial e unita´rio,
apontando para fora da origem.
OBS: todo campo vetorial ~F (x,y) que possa ser escrito como
~F (x,y) = λ(x,y,z)~r
onde λ(x,y,z) e´ uma func¸a˜o escalar, e´ chamado campo radial.
Exemplo 48. Considere o campo vetorial ~S (x,y) = −y~i+ x~j. Para esboc¸a´-lo, observe o produto
escalar:
~r ·~S =−xy+ xy = 0
Portanto, ~S e´ perpendicular ao vetor posic¸a˜o~r em cada ponto. Assim, ~S gira em torno da origem, e∣∣∣~S∣∣∣= r.
Exemplo 49. Se considerarmos ~Sr = − y√x2+y2~i+
x√
x2+y2
~j, temos um campo unita´rio que gira em
torno da origem. O campo ~Sr2 tambe´m gira em torno da origem, mas possui norma
1
r . Por isto, ~S,
~S
r e
~S
r2 sa˜o chamados campos spin.
Exemplo 50. Esboce as curvas de nı´vel da func¸a˜o potencial f (x,y) = x2y−y3, calcule seu gradiente
e esboce-o junto a`s curvas de nı´vel.
Exemplo 51 (Forc¸as Gravitacionais). a) Na superfı´cie da terra, a forc¸a gravitacional aponta para
baixo, e pode ser descrita pelo campo vertical:
~F =−mg~k
Assim, ~F e´ o gradiente de f (x,y,z) =−mgz. Portanto, ~F e´ menos o gradiente da func¸a˜o P(x,y,z) =
mgz, que e´ a energia potencial gravitacional.
b) No espac¸o, a forc¸a gravitacional aponta para o centro da terra, e e´ descrita pelo campo radial
~F =−mMG
r3
~r.
Sua magnitude e´
∣∣∣~F∣∣∣ = mMGr2 , proporcional ao inverso do quadrado da distaˆncia. Verifique que ~F e´ o
gradiente do potencial f (x,y,z) = mMGr =
mMG√
x2+y2+z2
.
38
39
2.4 Divergente e Rotacional: Derivadas de Campos Vetoriais
O vetor gradiente como derivada de um campo escalar
Uma func¸a˜o f (x,y) pode ser vista como um campo escalar no plano xy. Por exemplo: altura, tempera-
tura, intensidade de luz, densidade populacional, etc. O gradiente de f (x,y) e´ o vetor ~∇ f =
(
∂ f
∂x ,
∂ f
∂y
)
.
No caso de uma func¸a˜o de uma varia´vel, f = f (x), temos
~∇ f =
(
d f
dx
)
,
de modo que o vetor gradiente de f (x) e´ o vetor de uma dimensa˜o formado pela derivada f ′(x).
Voltando a uma func¸a˜o de duas varia´veis f = f (x,y), podemos estender este fato e dizer que sua
derivada “total” e´ o seu vetor gradiente, composto pelas suas derivadas parciais:
f ′ = ~∇ f =
(
∂ f
∂x
,
∂ f
∂y
)
.
Esta generalizac¸a˜o na˜o e´ apenas um artifı´cio puramente notacional, pois e´ fortemente justificada por
fatos geome´tricos. Para entender o porqueˆ, basta observar que todas as treˆs propriedades geome´tricas
do vetor gradiente ~∇ f de uma func¸a˜o f (x,y) sa˜o tambe´m propriedades geome´tricas da derivada f ′(x)
de uma func¸a˜o f (x) (fac¸a um esboc¸o gra´fico destes fatos para se convencer deles):
i) ~∇ f (x,y) e´ perpendicular a`s curvas de nı´vel f (x,y) = cte, enquanto f ′(x) e´ “perpendicular” a`
“curva de nı´vel” f (x) = cte.
ii) ~∇ f (x,y) aponta na direc¸a˜o de maior crescimento de f (x,y), enquanto f ′(x), vista como vetor no
eixo-x, aponta na direc¸a˜o de crescimento de f (x).
iii)
∣∣∣~∇ f (x,y)∣∣∣ mede o qua˜o ra´pido f (x,y) esta´ mudando na direc¸a˜o de ~∇ f , enquanto f ′(x) mede
inclinac¸a˜o do gra´fico de f (x) e, portanto, e´ uma medida de qua˜o ra´pido f (x) esta´ mudando.
Assim, nada mais natural do que considerar o gradiente ~∇ f como sendo a derivada da func¸a˜o f (x,y).
O operador diferencial ~∇ e as derivadas de um campo vetorial ~F
O gradiente de f (x,y), ~∇ f =
(
∂ f
∂x ,
∂ f
∂y
)
pode ser visto como o produto do ‘vetor’
~∇=
(
∂
∂x
,
∂
∂y
)
=
∂
∂x
~i+
∂
∂y
~j
pelo nu´mero escalar f (x,y):
~∇ f =
(
∂
∂x
,
∂
∂y
)
f =
(
∂ f
∂x
,
∂ f
∂y
)
=
∂ f
∂x
~i+
∂ f
∂y
~j.
O ‘vetor’ ~∇ =
(
∂
∂x ,
∂
∂y
)
= ∂∂x
~i+ ∂∂y ~j, chamado de ‘nabla’, na˜o e´ um vetor de nu´meros reais. Suas
componentes ∂∂x e
∂
∂y sa˜o operadores diferenciais, i.e´, representam operac¸o˜es que calculam derivadas.
De acordo com o que vimos acima, o produto ~∇ f e´ a derivada ‘total’ de uma func¸a˜o escalar f (x,y)
(vetor gradiente), de modo que podemos enxergar ~∇ como um operador diferencial, ou melhor,
como o ‘operador derivada generalizado’.
Utilizando esta ideia, podemos definir e calcular a derivada ‘total’ de um campo vetorial ~F (x,y) =
(P(x,y) ,Q(x,y)) fazendo o produto entre os vetores ~∇ e ~F . Contudo, existem dois tipos de produtos
entre vetores, de modo que um campo vetorial ~F ira´ possuir duas ‘derivadas’ diferentes.
40
Definic¸a˜o 18 (Divergente e Rotacional).
O produto escalar
~∇ ·~F=
(
∂
∂x
,
∂
∂y
)
· (P(x,y) ,Q(x,y)) = ∂P
∂x
+
∂Q
∂y
e´ chamado divergente do campo ~F , e tambe´m e´ denotado por div ~F .
O produto vetorial
~∇×~F =
(
∂
∂x
,
∂
∂y
)
× (P,Q) =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
∂x ∂y 0
P Q 0
∣∣∣∣∣∣=
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
~k
e´ chamado rotacional do campo ~F , e tambe´m e´ denotado por rot ~F (observe que para calcularmos
rot ~F , consideramos ~∇×~F como vetores em R3).
Para campos em R3, estas definic¸o˜es sa˜o ana´logas. O divergente de um campo ~F = (P,Q,R) e´
div ~F = ~∇ ·~F=
(
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
)
· (P(x,y,z) ,Q(x,y,z) ,R(x,y,z)) = ∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
e o rotacional de ~F e´
rot ~F =~∇×~F=
(
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
)
×(P,Q,R)=
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
∂x ∂y ∂z
P Q R
∣∣∣∣∣∣=
(
∂R
∂y
− ∂Q
∂z
)
~i+
(
∂P
∂z
− ∂R
∂x
)
~j+
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
~k
Observac¸a˜o 19:
Note que o divergente de um campo ~F e´ um nu´mero real, enquanto o rotacional de ~F e´ um vetor com
a mesma dimensa˜o de ~F .
Interpretac¸a˜o Fı´sica do Divergente e Rotacional
Suponha que ~F representa o campo de velocidades de um fluido (um ga´s ou um lı´quido) escoando no
plano ou espac¸o.
Divergente O valor do divergente de ~F num ponto P0 do fluido representa a taxa de variac¸a˜o total
da massa de fluido escoando do ponto, por unidade de a´rea (ou volume). Esta valor e´ chamado de
densidade de fluxo no ponto P0. Assim,
- div ~F(P0)> 0 significa que o fluido esta´ se expandindo em P0.
- div ~F(P0)< 0 significa que o fluido esta´ se contraindo em P0.
Se div ~F = 0 em todo ponto, dizemos que o fluido e´ incompressı´vel. A maioria dos lı´quidos, como a
a´gua, por exemplo, sa˜o incompressı´veis.
Rotacional O valor da componente~k do rotacional de ~F num ponto P0, dada por
rot ~F(P0) ·~k = ∂Q∂x (P0)−
∂P
∂y
(P0),
representa o quanto uma partı´cula no fluido esta´ ‘girando’ em torno de P0, no sentido anti-hora´rio.
Este valor e´ chamado de densidade de circulac¸a˜o. Assim,
- rot ~F(P0) ·~k > 0 significa que o fluido esta´ girando no sentido anti-hora´rio em P0.
- rot ~F(P0) ·~k < 0 significa que o fluido esta´ girando no sentido hora´rio em P0.
Se rot ~F =~0 em todo ponto, enta˜o dizemos que o fluido e´ irrotacional.
41
Exemplos
Exemplo 52. Calcule o divergente e o rotacional do campo
~F (x,y,z)=x2y~i+ y2z ~j+ z2x~k
Exemplo 53. Calcule o divergente e o rotacional dos campos
a) ~F (x,y)=cx~i+ cy ~j (expansa˜o se c > 0, e contrac¸a˜o se c < 0)
b) ~F (x,y)=− cy~i+ cx ~j (rotac¸a˜ouniforme)
c) ~F (x,y)=y~i (cisalhamento)
d) ~F (x,y)=− y√
x2+y2
~i+ x√
x2+y2
~j (redemoinho)
42
43
2.5 Integrais de Linha de Campos Vetoriais
Calculando o trabalho ao longo de uma curva
Suponha que uma forc¸a ~F (x,y,z) move uma partı´cula ao longo de uma curva-trajeto´ria C parame-
trizada por ~r (t), t ∈ [a,b]. Queremos calcular trabalho de ~F ao longo de C. Para isto, fazemos o
seguinte:
- Dividimos o intervalo [a,b] em n pedac¸os de tamanho ∆t = b−an .
- Os pontos ti = a+ i∆x, i = 0, . . . ,n, determinam pontos Pi =~r(ti) em C.
- A curva C pode ser aproximada pela poligonal ligando os pontos Pi.
- O deslocamento em cada segmento Pi−1Pi e´ ∆~ri =~r (ti)−~r (ti−1) =~r′ (t∗i )∆t, para algum t∗i ∈
[ti−1, ti].
- O trabalho de ~F em cada segmento Pi−1Pi e´ ∆wi = ~F (~r (t∗i )) ·∆~ri = ~F (~r (t∗i )) ·~r′ (t∗i )∆t.
- Assim, o trabalho total e´ aproximadamente
W ≈
n
∑
i=1
∆wi =
n
∑
i=1
~F (~r (t∗i )) ·∆~ri =
n
∑
i=1
~F (~r (t∗i )) ·~r′ (t∗i )∆t.
- Fazendo ∆t→ 0, ou seja, n→ ∞, temos o valor exato do trabalho de ~F ao longo C:
W=
∫
C
~F · ~dr=
∫ b
a
~F (~r (t)) ·~r′ (t)dt.
Integrais de Linha de Campos Vetoriais
Definic¸a˜o 20 (Integral de Linha de Campo Vetorial).
Sejam C uma curva suave por partes com parametrizac¸a˜o ~r (t), t ∈ [a,b], e ~F um campo vetorial
contı´nuo numa regia˜o D contendo C. A integral de linha de ~F sobre C e´ definida como sendo o
limite ∫
C
~F · ~dr = lim
n→∞
n
∑
i=1
~F (~r (t∗i )) ·~r′ (t∗i )∆t ,
e calculada da seguinte maneira: ∫
C
~F · ~dr =
∫ b
a
~F (~r (t)) ·~r′ (t)dt.
Dizemos que ~dr =~r
′
(t)dt e´ o elemento de deslocamento.
Diferentes notac¸o˜es
Notac¸a˜o Diferencial Em R2, quando ~F = ~F (x,y) = (P(x,y),Q(x,y)) e C e´ uma curva plana, pode-
mos escrever
~dr =~r′(t)dt = (x′(t),y′(t))dt = (dx,dy)
e daı´ ∫
C
~F · ~dr =
∫ b
a
~F (~r (t)) ·~r′ (t)dt =
∫ b
a
P(~r (t))x′ (t)dt+Q(~r (t))y′ (t)dt,
ou seja, podemos escrever ∫
C
~F · ~dr =
∫
C
Pdx+Qdy. (2.1)
Esta notac¸a˜o sera´ frequentemente utilizada, especialmente no Teorema de Green.
44
Notac¸a˜o Componente Tangente Uma outra importante notac¸a˜o e´ a seguinte. Denotando por ~T (t)
o vetor unita´rio tangente a` curva C, apontando na direc¸a˜o do movimento, temos
~T (t) =
~r′ (t)
|~r′ (t) | .
Lembrando que ds =
∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt, podemos escrever
~dr =~r
′
(t)dt =
~r′ (t)
|~r′ (t) |
∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt = ~T (t)ds.
Portanto, podemos escrever tambe´m ∫
C
~F · ~dr =
∫
C
~F ·~T ds (2.2)
Resumindo A integral de linha
∫
C
~F · ~dr possui as seguintes notac¸o˜es:∫
C
~F · ~dr=
∫
C
Pdx+Qdy =
∫
C
~F ·~T ds.
Aplicac¸o˜es e Propriedades
A integral de linha do campo ~F sobre C,
∫
C
~F · ~dr, possui as seguintes interpretac¸o˜es e propriedades:
i) Se ~F representa um campo de forc¸as e C e´ a trajeto´ria de uma partı´cula movimentada por ~F ,
enta˜o
∫
C
~F · ~dr e´ o trabalho realizado por ~F .
ii) Se~v representa o campo de velocidades de um fluido escoando no plano ou no espac¸o, enta˜o∫
C
~v ·~T ds
e´ chamada de escoamento do fluido ao longo da curva C. Note que ~v ·~T representa a compo-
nente da velocidade do fluido que e´ tangente a` curva C. Assim, esta integral mede o quando o
fluido escoa na direc¸a˜o de C. Quando C e´ uma curva fechada, o escoamento e´ tambe´m chamado
de circulac¸a˜o de~v ao longo de C.
iii) Se C e´ uma curva suave por partes, ou seja, C =C1∪C2∪·· ·∪Cn, onde cada Cn e´ suave, enta˜o∫
C
~F · ~dr =
∫
C1
~F · ~dr+ · · ·+
∫
Cn
~F · ~dr.
iv) Se C e´ percorrida num dado sentido, e denotamos por −C a curva C percorrida no sentido
contra´rio, enta˜o ∫
C
~F · ~dr =−
∫
−C
~F · ~dr.
Curvas Fechadas
Definic¸a˜o 21 (Curva fechada).
Dizemos que uma curva parametrizada C e´ uma curva fechada se o seu ponto inicial e´ igual ao seu
ponto final. A integral de linha de um campo ~F ao longo de uma curva fechada C tem a seguinte
notac¸a˜o especial: ∫
C
~F · ~dr =
∮
C
~F · ~dr.
45
Exemplos
Exemplo 54. Calcule
∫
C
~F · ~dr, onde ~F = (z,xy,−y2) e C e´ a curva parametrizada por~r (t)= (t2, t,√t),
0≤ t ≤ 1. (R=17/20)
Exemplo 55. Calcule
∫
C
(
y− x2)dx+(z−y2)dy+ (x− z2)dz,onde C e a curva parametrizada por~r (t)=(
t, t2, t3
)
, 0≤ t ≤ 1. (R = 29/60).
Exemplo 56. Um homem de 80kg sobe uma escada helicoidal que circunda um silo, carregando uma
lata de tinta de 25 kg. Se o silo possui 20 metros de diaˆmetro, altura de 60 metros, e se a escada faz
treˆs voltas completas ao longo da subida ate´ o topo, qual e´ o trabalho realizado pelo homem contra a
ac¸a˜o da gravidade? (considere g = 10m/s2).
46
47
48
Capı´tulo 3
Ca´lculo Vetorial em R2
49
3.1 Teorema de Green
O Teorema de Green e´ uma importantı´ssima ferramenta do Ca´lculo Vetorial. Podemos utiliza´-lo
para transformar integrais de linha complicadas em integrais duplas mais simples. Ale´m disso, mais
adiante veremos que ele tambe´m possui implicac¸o˜es teo´ricas importantes.
Definic¸a˜o 22 (Curva fechada simples).
Dizemos que uma curva fechada e´ simples, se ela na˜o possuir auto-intersec¸o˜es, exceto a do ponto
inicial com o final.
Teorema 23 (Teorema de Green).
Sejam C uma curva plana, fechada, simples, suave por partes, orientada no sentido anti-hora´rio, e
D a regia˜o cercada por C. Se o campo vetorial ~F(x,y) = (P(x,y) ,Q(x,y)) possui derivadas parciais
contı´nuas em D, enta˜o ∫∫
D
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dA =
∮
C
Pdx+Qdy.
A´rea como Integral de Linha
Seja C uma curva nas hipo´teses do Teorema de Green. Se encontrarmos um campo ~F = (P,Q) tal que
∂Q
∂x − ∂P∂y = 1, teremos, pelo Teorema de Green, que∮
C
Pdx+Qdy =
∫∫
D
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dA =
∫∫
D
1dA = A´rea(D) . (3.1)
Ou seja, a a´rea de D sera´ dada por uma integral de linha ao longo de sua fronteira C. Existem va´rias
possibilidades para F satisfazendo a condic¸a˜o acima. Os exemplos mais comuns sa˜o:
P = 0, Q = x; P =−y,Q = 0; P =−1
2
y, Q =
1
2
x
Portanto, aplicando o resultado dado em (3.1), temos
A´rea(D) =
∮
C
xdy =
∮
C
−ydx = 1
2
∮
C
−ydx+ xdy.
Versa˜o estendida do Teorema de Green - Regio˜es com furos
Seja D a regia˜o compreendida entre duas curvas fechadas simples, suaves por partes, C1 e C2, sendo
C2 a curva de dentro, e C1 a de fora. Diremos que a fronteira de D e´ a curva C = C1 ∪C2, onde a
orientac¸a˜o de C1e´ no sentido anti-hora´rio, e a orientac¸a˜o de C2 e´ no sentido hora´rio, de modo que D
estara´ sempre a` esquerda ao caminharmos em ambas as curvas nestas orientac¸o˜es. Nestas condic¸o˜es,
vale tambe´m uma versa˜o estendida do Teorema de Green, entendendo que
∮
C=
∮
C1 +
∮
C2 :∫∫
D
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dA =
∮
C
Pdx+Qdy =
∮
C1
Pdx+Qdy+
∮
C2
Pdx+Qdy.
50
Exemplos
Exemplo 57. Utilizando o Teorema de Green, calcule:∮
C
(
x4− y3)dx+(x3+ y5)dy
onde C e´ parametrizada por~r (t) = (cos t ,sint ) , t ∈ [0,2p].
Exemplo 58. Utilizando o Teorema de Green, calcule:∮
C
(
3y+ ex2cosx
)
dx+
(√
y2+8−2x
)
dy
onde C e´ o triaˆngulo de ve´rtices (0,0) ,(1,0) ,(1,1) .
Exemplo 59. Verifique que a´rea de uma elipse de semi-eixos a e b e´ piab.
Exemplo 60. Considere o campo ~F=
( −y
x2+y2 ,
x
x2+y2
)
. Verifique que, para toda curva suave fechada
simples por partes, envolvendo a origem, temos∮
C
~F · ~dr = 2pi
(utilize o Teorema de Green na sua versa˜o estendida).
51
52
3.2 Teorema Fundamental das Integrais de Linha
Relembremos o Teorema Fundamental do Ca´lculo:
Teorema 24 (Teorema Fundamental do Ca´lculo).
Se f ′ (x) e´ contı´nua em [a,b], enta˜o ∫ b
a
f ′ (x)dx = f (b)− f (a).
Este teorema relaciona as operac¸o˜es de derivac¸a˜o e integrac¸a˜o para func¸o˜es f (x) de uma varia´vel.
A seguir,veremos um teorema que estabelece uma relac¸a˜o ana´loga para func¸o˜es de va´rias varia´veis,
como f (x,y) ou f (x,y,z). Para entendeˆ-lo melhor, lembre que o gradiente ~∇ f de um campo escalar
(func¸a˜o) f va´rias varia´veis pode ser concebido como a derivada de f .
Teorema 25 (Teorema Fundamental das Integrais de Linha).
Se C e´ uma curva suave por partes, com ponto inicial A e ponto final B, e se as derivadas parciais de
f sa˜o contı´nuas em uma rega˜o D contendo C, enta˜o∫
C
~∇ f · ~dr = f (B)− f (A).
Compare e veja as analogias entre estes dois teoremas fundamentais.
Campos conservativos
Definic¸a˜o 26 (Campo Conservativo).
Um campo gradiente tambe´m e´ chamado de campo conservativo. Ou seja, um campo vetorial ~F e´
conservativo se existir uma func¸a˜o f tal que ~F = ~∇ f , enta˜o ~F . Neste caso dizemos que f e´ uma
func¸a˜o potencial do campo ~F .
Observac¸a˜o 27 (Condic¸a˜o Necessa´ria para ser Conservativo):
Verifique que rot(~∇ f ) =~0. Assim, se ~F e´ um campo conservativo, enta˜o ~F e´ irrotacional (possui
rotacional nulo). Deste modo, temos uma condic¸a˜o alge´brica fa´cil de ser verificada, para saber se um
campo ~F pode ou na˜o ser conservativo: se rot
(
~F
)
=~0, enta˜o ~F pode ser conservativo. Para concluir
que de fato ele e´ conservativo, devemos encontrar uma func¸a˜o potencial f para ele, o que significa,
quando ~F = (P,Q,R), resolver as equac¸o˜es
fx = P, fy = Q, fz = R.
O pro´ximo Teorema explica o porqueˆ do uso da palavra conservativo para um campo gradiente.
Teorema 28 (Conservac¸a˜o da Energia Mecaˆnica).
Considere um campo de forc¸as contı´nuo ~F movendo uma partı´cula ao longo de uma curva-trajeto´ria
C. Enta˜o, o trabalho realizado por ~F e´ igual a` variac¸a˜o da energia cine´tica da partı´cula, i.e´.,
W = K (B)−K(A),
onde A e B sa˜o os pontos inicial e final de C e K(X) representa a energia cine´tica no ponto X .
Ainda, se o campo ~F for conservativo, isto e´, se ele for o gradiente de alguma func¸a˜o potencial f ,
enta˜o, denotando por P = − f a energia potencial, temos que a energia mecaˆnica total e´ conservada
ao longo do movimento:
K (A)+P(A) = K (B)+P(B)
53
Exemplos
Exemplo 61. Um homem de 80kg sobe uma escada helicoidal que circunda um silo, carregando uma
lata de tinta de 25 kg. Se o silo possui 20 metros de diaˆmetro, altura de 60 metros, e se a escada faz
treˆs voltas completas ao longo da subida ate´ o topo, qual e´ o trabalho realizado pelo homem contra a
ac¸a˜o da gravidade? (considere g = 10m/s2). Mostre que, qualquer que seja o caminho do homem do
cha˜o ate´ o topo do silo, o trabalho e´ sempre o mesmo.
Exemplo 62. Calcule
∫
C
~F · ~dr, onde ~F = (3+2xy,x2−3y2) e C e´ a curva parametrizada por~r (t) =
(e−tsin t ,e−tcos t ) , 0≤ t ≤ 8p.
Exemplo 63. O campo ~F =
(
y2,2xy+ e3z,3ye3z
)
e´ conservativo?
54
55
3.3 Caracterizac¸a˜o de Campos Conservativos
Veremos agora algumas propriedades que os campos conservativos possuem. Estas propriedades
tambe´m caracterizam estes campos, ou seja, se um campo possui uma delas, enta˜o, necessariamente,
ele e´ conservativo. Em particular, veremos que a propriedade de possuir rotacional nulo caracteriza
um campo como sendo conservativo, se certas hipo´teses adicionais forem satisfeitas. Para enunciar o
Teorema de Caracterizac¸a˜o de Campos Conservativos, precisamos das seguintes definic¸o˜es.
Definic¸a˜o 29 (Aberto, conexo por caminhos, simplesmente conexo).
i) Um conjunto D em R2 ou R3 e´ aberto se, para todo ponto P em D e´ possı´vel obter um disco ou
uma bola contendo P, e inteiramente contido em D. Ou seja, D e´ aberto se na˜o conteˆm nenhum ponto
de sua fronteira.
ii) Um conjunto D emR2 ouR3 e´ conexo por caminhos se, quaisquer dois pontos P e Q em D podem
ser unidos por um caminho inteiramente contido em D.
iii) Um conjunto D em R2 ou R3 e´ simplesmente conexo se ele for conexo por caminhos e, ale´m
disso, se qualquer curva fechada simples contida D envolver, em seu interior, apenas pontos de D. Ou
seja, uma regia˜o simplesmente conexa na˜o possui ‘buracos’.
Teorema 30 (Caracterizac¸a˜o de Campos Conservativos).
Sejam D uma regia˜o aberta, conexa por caminhos, contida em R2 ou R3, e ~F um campo vetorial
contı´nuo em D.
i) Independeˆncia do Caminho.
O campo ~F e´ conservativo se, e somente se, a integral∫
C
~F · ~dr
e´ independente do caminho, isto e´, fixados dois pontos A e B, esta integral possui o mesmo valor
para qualquer curva C suave por partes contida em D, ligando A e B.
ii) Integral em Caminhos fechados.
O campo ~F e´ conservativo se, e somente se, para qualquer curva fechada C, suave por partes,
contida em D, tivermos ∮
C
~F · ~dr = 0.
iii) Rotacional nulo.
Se ~F e´ conservativo, enta˜o o rotacional de ~F e´ nulo, i.e´, ~∇×~F=~0.
Sob as condic¸o˜es adicionais de D ser uma regia˜o simplesmente conexa e de as derivadas parciais
de ~F serem contı´nuas em D, vale a volta desta implicac¸a˜o, ou seja,
“se ~∇×~F =~0 em D, enta˜o ~F e´ um campo conservativo”.
Observac¸a˜o 31:
a) Se ~F = (P,Q) e´ um campo em R2, a condic¸a˜o iii) equivale a ∂Q∂x =
∂P
∂y .
b) Usaremos muito a sua contrapositiva da propriedade iii):
“se ~∇×~F 6=~0 enta˜o ~F na˜o e´ um campo conservativo”.
56
Exemplos
Exemplo 64. Considere o campo ~F =
( −y
x2+y2 ,
x
x2+y2
)
.
a) Verifique que rot ~F =~0.
b) Verifique que ~F na˜o e´ conservativo. Para isto, calcule diretamente a integral de linha∮
C
~F · ~dr
onde C e´ o cı´rculo x2+ y2 = a2.
c) Explique porque os itens a) e b) na˜o se contradizem.
Exemplo 65. Para que valores de b e c o campo
~F =
(
y2+2czx
)
~i+ y(bx+ cz)~j+
(
y2+ cx
)
~k
e´ conservativo?
Exemplo 66. Mostre que o trabalho feito por um campo de forc¸as constante
~F = a~i+b~j+ c~k
para mover uma partı´cula ao longo de qualquer caminho ligando os pontos A e B e´ dado por
W = ~F · ~AB
57
58
3.4 O Fluxo de um Campo Vetorial no Plano
Sejam C uma curva fechada simples, orientada no sentido anti-hora´rio, e D a regia˜o delimitada por
ela. Suponha que~v(x,y) descreve o campo de velocidades de um fluido escoando em R2 e que ρ(x,y)
e´ a densidade (massa/a´rea) do fluido no ponto (x,y). Queremos calcular a quantidade (massa) de
fluido que sai de D, ou seja, que passa atrave´s da curva C, ao longo do tempo. Para isto, fixe um ponto
P na curva, e considere os seguintes elementos:
- ds: elemento de comprimento de arco em torno de P
- ~n : vetor unita´rio normal a` curva C no ponto P, apontando para fora de D
- dt : intervalo de tempo muito pequeno
- dl: distaˆncia percorrida pelas partı´culas do fluido, a partir do ponto P, durante o intervalo dt,
na direc¸a˜o do vetor ~n
- dA: a´rea de fluido que passa atrave´s de C em ds durante o intervalo dt
- dm : massa que atravessa a curva C em ds durante o intervalo dt
Temos o seguinte. Apo´s um tempo dt, as partı´culas que estavam em P, va˜o sofrer um deslocamento
~vdt. Deste deslocamento, a componente na direc¸a˜o~n e´
dl =~v ·~n dt
Assim, a a´rea de fluido que efetivamente sai de D, atravessando C em ds durante o intervalo dt e´
dA = dl ds =~v ·~n dt ds
Portanto, a massa que atravessa a curva C em ds durante o intervalo dt e´
dm = ρ dA = ρ~v ·~n dt ds
Somando, para cada ponto da curva, essas massas que atravessam a curva C, temos massa total dM
que atravessa a curva C durante o intervalo dt:
dM =
∮
C
dm =
∮
C
ρ~v ·~n dt ds
Logo, a taxa de escoamento, ou vaza˜o, ou fluxo, do fluido passando atrave´s da curva C em cada
instante de tempo (em unidades de massa/tempo) e´
dM
dt
=
∮
C
ρ~v ·~n ds
Compare as unidades do lado direito para confirmar que dM/dt realmente possui unidades de massa/tempo.
O fluxo de um campo vetorial atrave´s de uma curva fechada.
A deduc¸a˜o acima motiva a seguinte definic¸a˜o:
Definic¸a˜o 32 (O fluxo de um campo atrave´s de umacurva).
Sejam C uma curva fechada simples, suave por partes, e D a regia˜o delimitada por ela. O fluxo do
campo vetorial ~F(x,y) = (P(x,y) ,Q(x,y)) atrave´s da curva C e´ definido como sendo a integral de
linha: ∮
C
~F ·~n ds
onde~n e´ o vetor unita´rio normal a C apontando para fora de D.
59
Notac¸o˜es para o vetor normal e para o fluxo
No contexto acima, seja r (t) = (x(t) ,y(t)) uma parametrizac¸a˜o de C. Queremos agora obter uma
expressa˜o para o vetor normal unita´rio exterior ~n e, com isto, calcular o fluxo de ~F atrave´s de C. O
vetor unita´rio tangente a C e´ dado por
~T =
~r′
|~r′| =
(x′,y′)√
x′2+ y′2
E´ fa´cil ver que os vetores
~n+ =
(y′,−x′)√
x′2+ y′2
e ~n− =− (y
′,−x′)√
x′2+ y′2
sa˜o unita´rios e sa˜o ortogonais a ~T , pois~n+ ·~T = 0=~n− ·~T . Assim, o vetor normal exterior~n procurado
sera´ ou ~n+ ou ~n−. Fazendo um desenho da curva C e de ~T em um ponto onde x′ > 0 e y′ > 0,
concluı´mos que~n e´ dado por~n+, ou seja,
~n(t) =
(y′ (t) ,−x′ (t))√
x′(t)2+ y′ (t)2
.
Utilizando este fato, vamos obter uma expressa˜o simplificada para~nds, que facilite o ca´lculo do fluxo∫
C
~F ·~nds. Lembrando que o elemento de comprimento de arco e´
ds =
∣∣~r′ (t)∣∣dt =√x′(t)2+ y′ (t)2dt
podemos escrever
~n ds =
(y′ (t) ,−x′ (t))√
x′(t)2+ y′ (t)2
√
x′(t)2+ y′ (t)2dt =
(
y′ (t) ,−x′ (t))dt
ou seja,
~n ds = (dy,−dx) . (3.2)
(compare com ~T ds = ~dr = (dx,dy)). Ainda, lembrando que o elemento de deslocamento e´ ~dr =
(dx,dy), podemos definir o elemento de deslocamento ortogonal,
~dr
⊥
= (dy,−dx)
para simbolizar o vetor ortogonal a ~dr de mesmo comprimento que ~dr, de modo que tambe´m temos
~n ds = ~dr
⊥
. (3.3)
Com as notac¸o˜es (3.2) e (3.3) acima para a expressa˜o ~nds, podemos escrever a integral de linha
que representa o fluxo de ~F = (P,Q) atrave´s de C de duas maneiras:∮
C
~F ·~n ds =
∮
C
~F · ~dr⊥, ou
∮
C
~F ·~n ds =
∮
C
Pdy−Qdx.
A primeira notac¸a˜o enfatiza que o fluxo de ~F atrave´s de C e´ dado pela soma das componentes de ~F
normais a C em cada ponto. A segunda notac¸a˜o nos da´ a maneira mais pra´tica e ra´pida de calcular o
fluxo.
60
Exemplos
61
62
3.5 Teoremas de Stokes e da Divergeˆncia no Plano
No que segue abaixo, assumiremos va´lidas todas as hipo´teses do Teorema de Green, isto e´: C e´
uma curva plana, fechada, simples, suave por partes, orientada no sentido anti-hora´rio, D e´ a regia˜o
cercada por C, e ~F = (P(x,y) ,Q(x,y)) e´ um campo que possui derivadas parciais contı´nuas em D.
Ale´m disso,~n e´ o vetor unita´rio normal a C apontando para fora de D. Neste contexto, relembremos
que o Teorema de Green nos diz que∮
C
Pdx+Qdy =
∫∫
D
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
dA.
Veremos a seguir os importantes Teoremas de Stokes e da Divergeˆncia no Plano, que nada mais sa˜o
do que verso˜es vetoriais do Teorema de Green.
Circulac¸a˜o e o Teorema de Stokes no Plano
Se ~F representa o campo de velocidades de um fluido escoando no plano, a integral de linha∮
C
~F ·~T ds =
∮
C
~F · ~dr =
∮
C
Pdx+Qdy
representa a circulac¸a˜o de ~F ao longo de C, uma medida de quanto o campo escoa ou circula ao longo
da curva, no sentido anti-hora´rio. Lembrando que
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
=
(
rot ~F
)
·~k
podemos aplicar o Teorema de Green a integral de circulac¸a˜o de ~F , relacionando-a a uma integral
dupla, obtendo o seguinte:
Circulac¸a˜o de ~F =
∮
C
~F ·~T ds =
∮
C
Pdx+Qdy =
∫∫
D
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dA =
∫∫
D
(
rot ~F
)
·~k dA.
Esta igualdade e´ conhecida como Teorema de Stokes no Plano.
Teorema 33 (Stokes no Plano).
Nas hipo´teses do Teorema de Green, temos que∫∫
D
(
rot ~F
)
·~k dA =
∮
C
~F ·~T ds.
Interpretac¸a˜o Fı´sica do Teorema da Stokes no Plano
63
Fluxo e o Teorema da Divergeˆncia no Plano
Por outro lado, vimos tambe´m que o fluxo do campo ~F atrave´s de C e´ dado pela integral de linha∮
C
~F ·~n ds =
∮
C
Pdy−Qdx.
Da mesma forma que acima, podemos aplicar o Teorema de Greena a esta integral e obter outro
resultado interessantı´ssimo e muito importante:
Fluxo de ~F =
∮
C
~F ·~n ds =
∮
C
Pdy−Qdx =
∮
C
(−Q)dx+Pdy
=
∫∫
D
(
∂
∂x
(P)− ∂
∂y
(−Q)
)
dA =
∫∫
D
(
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
)
dA =
∫∫
D
div ~F dA.
Este resultado e´ conhecido como Teorema da Divergeˆncia no Plano, ou Teorema de Gauss no plano,
e enunciamo-lo a seguir para maior clareza.
Teorema 34 (Divergeˆncia no Plano).
Nas hipo´teses do Teorema de Green, temos que∫∫
D
div ~F dA =
∮
C
~F ·~n ds
onde~n e´ o vetor unita´rio normal a C apontando para fora de D.
Interpretac¸a˜o Fı´sica do Teorema da Divergeˆncia no Plano
No contexto onde ~v(x,y) e´ o campo de velocidades de um fluido escoando no plano e ρ(x,y) e´ a
densidade do fluido, vimos que a massa de fluido que sai de D atrave´s de C, por unidade de tempo, e´
o fluxo do campo ρ~v, isto e´:
dM
dt
=
∮
C
ρ~v ·~n ds
Aplicando o Teorema da Divergeˆncia, temos que
dM
dt
=
∮
C
ρ~v ·~n ds =
∫∫
D
div (ρ~v) dA
ou seja, a quantidade de fluido que sai de D atrave´s de sua fronteira C e´ o resultado da soma de todas
as divergeˆncias div (ρ(x,y)~v(x,y)) em cada ponto (x,y) do interior de D. Assim, temos uma lei de
balanc¸o, ou, lei de conservac¸a˜o:
fluxo atrave´s de C (o que sai menos o que entra) = variac¸a˜o no interior (fontes menos sumidouros)
Comparac¸a˜o dos Teoremas Fundamentais
Note as semelhanc¸as que os dois teoremas acima possuem com o Teorema Fundamental do Ca´lculo,
onde uma integrac¸a˜o se cancela com uma derivac¸a˜o.
Teorema de Stokes no Plano - Versa˜o vetorial tangencial do Teorema de Green:∫∫
D
(
~∇×~F
)
·~k dA =
∮
C
~F ·~T ds =
∮
C
~F · ~dr
Teorema da Divergeˆncia no Plano - Versa˜o vetorial normal do Teorema de Green:∫∫
D
~∇ ·~F dA =
∮
C
~F ·~n ds =
∮
C
~F · ~dr⊥
64
Exemplos
Exemplo 67. Calcule a circulac¸a˜o e o fluxo dos campos ~F = (x,y) e ~G = (−y,x) ao longo do cı´rculo
x2+ y2 = 1.
Exemplo 68. Calcule diretamente o fluxo do campo vetorial ~v =
(
x
x2+y2 ,
y
x2+y2
)
atrave´s do circulo
x2+ y2 = a2. Depois, tente aplicar o Teorema da Divergeˆncia. Porque na˜o e´ possı´vel aplica´-lo? Se~v
representa a velocidade de um fluido, como explicar o fluxo ser positivo, se div~v =~0?
65
66
Capı´tulo 4
Ca´lculo Vetorial em R3
67
4.1 Superfı´cies Parametrizadas
Relembrando a ideia de curvas parametrizadas
Lembre-se que uma curva no espac¸o, R3, e´ representada, ou parametrizada, por uma func¸a˜o vetorial
~r(t) = (x(t),y(t),z(t)) , t ∈ [a,b].
Assim, podemos imaginar que~r(t) e´ uma func¸a˜o que transforma o intervalo unidimensional, retilı´neo,
[a,b], na curva espacial unidimensional C = {~r(t) | t ∈ [a,b]}. Temos um paraˆmetro livre, t, e por isso
o domı´nio [a,b] e a imagem C possuem dimensa˜o um. A ideia para descrever superfı´cies no espac¸o
sera´ esta mesma ideia, so´ que com dois paraˆmetros livres, para obtermos objetos de dimensa˜o dois,
de modo que uma superfı´cie e´ um plano curvado.
Extendendo para dimensa˜o dois: o conceito de superfı´cie parametrizada
Definic¸a˜o 35 (Superfı´cie Parametrizada).
Dizemos que uma superfı´cie S contida no espac¸o R3 esta´ parametrizada, ou representada, pela
parametrizac¸a˜o
~r(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) , (u,v) ∈ D, D⊂ R2,
se S for a imagem de~r(u,v), ou seja, se
S = {(x,y,z) ∈ R3 | (x,y,z) =~r(u,v), (u,v) ∈ D}.
Neste caso, dizemos que as equac¸o˜es parame´tricas de S sa˜o
x = x(u,v)
y = y(u,v)
z = z(u,v)
, (u,v) ∈ D.
Note que o domı´nio D da parametrizac¸a˜o e´ um subconjunto de R2, e portanto, e´ um pedac¸o de plano,
possuindo dimensa˜o dois. Este pedac¸o D e´ transformado por ~r(u,v) na superfı´cie S, que possui,
portanto, dimensa˜o dois. Os dois paraˆmetros livres aqui sa˜o ue v.
Note tambe´m que as equac¸o˜es u = u0 = cte e v = v0 = cte, para va´rios valores de u0 e v0, definem,
respectivamente, retas verticais e horizontais contidas no domı´nio D. Estas retas sa˜o levadas, pela
parametrizac¸a˜o~r(u,v), nas chamadas curvas de grade da superfı´cie S, dadas pelas equac¸o˜es
~r(u0,v), (u0,v) ∈ D e
~r(u,v0), (u,v0) ∈ D.
Assim, a superfı´cie S pode ser vista tambe´m como a unia˜o de um feixe de curvas de grade~r(u0,v), ou
~r(u,v0).
Agora, considere um ponto P0 =~r(u0,v0) contido em S, e as curvas de grade passando por P0. Os
vetores tangentes a estas curvas de grade, no ponto P0, sa˜o dados por
~ru(u0,v0) e ~rv(u0,v0).
Como as curvas esta˜o contidas em S, segue que estes dois vetores sa˜o tangentes a superfı´cie S em
P0, de modo que eles geram o plano tangente a S no ponto P0. Definiremos o vetor normal a
superfı´cie S no ponto P0 como sendo o vetor normal ao plano tangente a S em P0, que e´ dado por
qualquer mu´ltiplo do produto vetorial
~ru(u0,v0)×~rv(u0,v0).
68
Caso particular de superfı´cie parametrizada: gra´ficos de func¸a˜o
Um caso particular que ocorre frequentemente e´ quando a superfı´cie S e´ o gra´fico de uma func¸a˜o
de duas varia´veis. Neste caso, podemos ja´ deduzir as fo´rmulas gerais para a parametrizac¸a˜o e vetor
normal, e aplica´-las diretamente.
Se S e´ o gra´fico de uma func¸a˜o z = g(x,y), com (x,y) ∈ D, a parametrizac¸a˜o e o vetor normal sa˜o:
x = x
y = y
z = g(x,y)
(x,y) ∈ D
, ~rx×~ry = (−gx,−gy,1).
Se S e´ o gra´fico de uma func¸a˜o y = g(x,z), com (x,z) ∈ D, a parametrizac¸a˜o e o vetor normal sa˜o:
x = x
y = g(x,z)
z = z
(x,z) ∈ D
, ~rx×~rz = (−gx,1,−gz).
Se S e´ o gra´fico de uma func¸a˜o x = g(y,z), com (y,z) ∈ D, a parametrizac¸a˜o e o vetor normal sa˜o:
x = g(y,z)
y = y
z = z
(y,z) ∈ D
, ~ry×~rz = (1,−gy,−gz).
69
Exemplos
Exemplo 69. a) Identifique e esboce a superfı´cie parametrizada por
~r(u,v) = (2cosu,v,2sinu)
e identifique as curvas de grade u = cte e v = cte.
b) Desenhe a superfı´cie se restringirmos (u,v) ao domı´nio D = [0,pi/2]× [0,3].
c) Encontre o vetor normal~ru×~rv num ponto qualquer.
Exemplo 70. Encontre uma representac¸a˜o parame´trica para a esfera x2+y2+z2 = a2, determine suas
curvas de grade, e o vetor normal num ponto qualquer. .
Exemplo 71. (a) Encontre uma parametrizac¸a˜o para o plano contido em R3, passando por um ponto
P, e paralelo aos vetores ~A e ~B.
(b) Encontre uma parametrizac¸a˜o para o plano tangente a uma superfı´cie S, num ponto P0 =~r(u0,v0)∈
S.
(c) Encontre uma parametrizac¸a˜o para o plano tangente a esfera do Exemplo 70, no ponto P0 qualquer
e, depois, analise os casos em que P0 esta´ no equador, ou nos po´los sul/norte.
Exemplo 72. Encontre uma parametrizac¸a˜o para o paraboloide z = x2+2y2, 0≤ z≤ 1, e o seu vetor
normal num ponto qualquer.
Exemplo 73. Parametrize o cone x2 = y2 + z2, 0 ≤ x ≤ 3, de duas maneiras diferentes: utilizando a
ideia de coordenadas polares, e depois, como gra´fico de func¸a˜o. Em ambos os casos, calcule o vetor
normal num ponto qualquer, e no ponto (3,0,3).
70
71
4.2 A´rea e Integrais de Superfı´cie de Campos Escalares
Seja S uma superfı´cie parametrizada com parametrizac¸a˜o~r(u,v), (u,v)∈D. Queremos calcular a a´rea
desta superfı´cie. Para isto, fazemos o seguinte:
- Dividimos o plano R2 que conteˆm a regia˜o D em retaˆngulos pequenos, todos com base ∆u e altura
∆v e, portanto, com a´rea ∆A = ∆u∆v.
- Chamemos de n a quantidade destes retaˆngulos que esta˜o contidos na regia˜o D. Podemos enumera´-
los numa ordem qualquer e chama´-los de Ri, i = 1, ...,n.
- Cada retaˆngulo Ri em D e´ levado pela parametrizac¸a˜o num pedac¸o Si da superfı´cie S. Embora os
Ri’s tenham todos a mesma a´rea ∆u∆v, cada Si pode possuir uma a´rea diferente, que denotaremos
por ∆Si. Assim, a a´rea de S e´ aproximadamente
A(S)≈
n
∑
i=1
∆Si.
- E´ possı´vel mostrar que a a´rea de cada Si e´ aproximadamente
∆Si = ||~ru(ui,vi)×~rv(ui,vi)||∆u∆v,
onde (ui,vi) e´ um ponto do retaˆngulo Ri em D.
- Ou seja, ao transformar um retaˆngulo Ri de a´rea ∆u∆v em um pedac¸o de superfı´cie Si, a parametrizac¸a˜o
multiplica a a´rea deste retaˆngulo por um fator ||~ru(ui,vi)×~rv(ui,vi)||, que depende de cada retaˆngulo.
- Assim, a a´rea de S e´ aproximadamente
A(S)≈
n
∑
i=1
∆Si ≈
n
∑
i=1
||~ru(ui,vi)×~rv(ui,vi)||∆u∆v.
- No limite, quando ∆u,∆v→ 0, a a´rea e´ exata. Cada retaˆngulo Ri tende a um u´nico ponto (u,v) ∈D,
e temos uma soma contı´nua ao longo de todos os pontos (u,v) de D. Portanto, a a´rea e´ a integral
A(S) =
∫∫
S
dS =
∫∫
D
||~ru(u,v)×~rv(u,v)|| du dv.
Definic¸a˜o 36 (A´rea de Superfı´cie).
A a´rea de uma superfı´cie parametrizada S, com parametrizac¸a˜o
~r(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) , (u,v) ∈ D,
e´ dada pela integral
A(S) =
∫∫
S
dS =
∫∫
D
||~ru×~rv||dudv,
onde dS = ||~ru×~rv||dudv e´ chamado de elemento de a´rea de superfı´cie.
Esta integral na˜o depende da parametrizac¸a˜o dada, isto e´, qualquer que seja a parametrizac¸a˜o esco-
lhida, o valor da integral sera´ o mesmo.
72
Massa como uma integral de superfı´cie
No contexto acima, suponha que S representa uma placa fina de metal, na˜o necessariamente plana.
Suponha que a densidade (superficial) em cada ponto (x,y,z) desta chapa possa ser descrita por uma
func¸a˜o contı´nua ρ(x,y,z).
Enta˜o, conforme o procedimento, S pode ser dividida em pedac¸os Si de a´rea
∆Si = ||~ru(ui,vi)×~rv(ui,vi)||∆u∆v,
Como a densidade ρ(x,y,z) e´ contı´nua, e como cada pedac¸o Si e´ muito pequeno, podemos supor
que em cada um destes pedac¸os, ρ(x,y,z) e´ aproximadamente constante, igual a ρ(xi,yi,zi), onde
(xi,yi,zi) =~r(ui,vi) e´ a imagem do ponto (ui,vi) pela parametrizac¸a˜o.
Assim, a massa de cada pedac¸o Si e´ aproximadamente
mi ≈ ρ(xi,yi,zi)∆Si,
de modo que a massa total da chapa e´ aproximada por
m≈
n
∑
i=1
mi ≈
n
∑
i=1
ρ(xi,yi,zi)∆Si.
Utilizando as expresso˜es para ∆Si e (xi,yi,zi) em termos da parametrizac¸a˜o, obtemos
m≈
n
∑
i=1
ρ(~r(ui,vi)) ||~ru(ui,vi)×~rv(ui,vi)||∆u∆v.
Fazendo ∆u,∆v→ 0, temos a massa exata, e a soma se torna contı´nua. Ou seja, a massa e´:
m =
∫∫
S
ρ(x,y,z)dS =
∫∫
D
ρ(~r(u,v)) ||~ru×~rv|| dudv.
Integral de Superfı´cie de um Campo Escalar
Motivados pela construc¸a˜o acima, podemos definir a integral de superfı´cie de uma func¸a˜o (campo
escalar) f (x,y,z).
Definic¸a˜o 37 (Integral de Superfı´cie de um Campo Escalar).
Sejam S uma superfı´cie parametrizada, com parametrizac¸a˜o~r(u,v), (u,v)∈D, e f (x,y,z) uma func¸a˜o
contı´nua definida em alguma regia˜o E ⊂ R3 contendo S. A integral de f (x,y,z) sobre S e´ definida
como sendo o limite∫∫
S
f (x,y,z)dS = lim
∆u,∆v→0
n
∑
i=1
ρ(~r(ui,vi)) ||~ru(ui,vi)×~rv(ui,vi)||∆u∆v.
e calculada da seguinte maneira:∫∫
S
f (x,y,z)dS =
∫∫
D
f (~r(u,v)) ||~ru×~rv|| dudv.
Aplicac¸o˜es e Propriedades
i) Esta integral tambe´m e´ chamada integral de superfı´cie de 1a espe´cie.
ii) Quando f (x,y,z) = 1 o valor desta integral representa a a´rea de S.
iii) Quando S representa uma chapa e f (x,y,z) representa a densidade em cada ponto da chapa, o
valor desta integral representa a massa da chapa.
iv) Esta integral na˜o depende da parametrizac¸a˜o dada, isto e´, qualquer que seja a parametrizac¸a˜o
escolhida, o valor da integral sera´ o mesmo.
73
Caso particular: gra´ficos de func¸a˜o
No caso particular onde S e´ o gra´fico de uma func¸a˜o de duas varia´veis, ja´ sabemos as fo´rmulas para a
parametrizac¸a˜o e vetor normal, de modo que a fo´rmula para o elemento de a´rea e´ imediata. Temos:
i. Se S e´ o gra´fico de uma func¸a˜o z = g(x,y), com (x,y) ∈ D, o elemento de a´rea de superfı´cie e´
dS = ||~rx×~ry|| dx dy =
√
g2x +g2y +1 dx dy ,
e a integral de superfı´cie de f sobre S e´∫∫
s
f (x,y,z)dS =
∫∫
s
f (x,y,g(x,y))