captulo vi - foras em vigas e cabos

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Mecânica Geral
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Universidade Federal Fluminense – EEIMVR - VEM
Mecânica Geral
I. L. Ferreira, N. Medeiros
Capítulo 7
Forças em Vigas e Cabos
...
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.1 Introdução
� Definição de Vigas:
� São barras longas, retas e prismáticas, capazes de 
suportar cargas longas aplicadas em vários pontos ao 
longo de seu comprimento.
� Definição de Cabos:
� Componentes flexíveis que suportam apenas cargas 
trativas, distribuídas ou centradas.
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.1 Vigas
7.1.1 – Tipos de carregamentos e vínculos externos
� As cargas aplicadas ao longo da viga, em geral, são 
perpendiculares ao seu eixo. Assim, causam cisalhamento e 
flexão. Por outro lado, quando não formam 90º com a viga, 
produzem também carregamentos axiais de tração ou 
compressão.
� Projetos de Vigas: Dois passos distintos;
i. Determinação das forças cortantes e dos momentos 
fletores produzidos pelas cargas (Mecânica Geral);
ii.Escolha da seção reta mais adequada para resistir aos 
esforços cortantes e momentos fletores obtidos no item 
anterior (Resistência dos Materiais)
7.1 Vigas
� Tipos de carregamentos
� Cargas Concentradas: A viga esquematizada abaixo 
suporta as cargas Q1 e Q2, atuantes nos respectivos pontos
B e C da mesma. Portanto, tratam-se de cargas 
concentradas. 
DA
Q1 Q2
B C
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.1 Vigas
� Cargas Distribuídas: A viga mostrada abaixo está
submetida a uma carga w ao longo de seu comprimento. 
Assim, tal solicitação é denominada carga distribuída. Caso, 
w seja constante, é dita uniformemente distribuída sobre uma 
dada região da viga.
CA
w
B
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.1 Vigas
� Classificação de Vigas: As vigas, de acordo com o modo 
de vinculação, se classificam em:
A B A B
L L
L
(a) (b)
(c)
i. Vigas estaticamente determinadas: São aquelas em que 
vínculos externos impõem até três incógnitas. Exemplos 
destes casos são abaixo ilustrados,
L - Distância entre os apoios, 
denominado vão.
(a) Viga simplesmente apoiada, (b) simplesmente apoiada em 
balanço e (c) em balanço.
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.1 Vigas
A B B
L1 L
L
(a) (b)
(c)
ii. Vigas estaticamente indeterminadas: São aquelas em 
que a vinculação fornece mais de três incógnitas. Nestes 
casos, será preciso considerar as propriedades da viga
em termos de sua resistência à flexão. As ilustrações a 
seguir mostram estas condições:
L - Distância entre os apoios, 
denominado vão.
(a) Viga contínua, (b) simplesmente engastada e 
simplesmente apoiada no outro e (c) em biengastada.
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
L2
7.1 Vigas
A
B
B
iii. Vigas Acopladas por Articulação: formam uma única 
estrutura contínua e as reações por envolverem quatro 
incógnitas serão determinadas considerando-se os 
diagramas de corpo-livre de cada viga em separado. 
Assim, incluindo-se as componentes de força na 
articulação, um total de seis incógnitas será observado 
acompanhado por seis equações de equilíbrio. Exemplos 
de vigas combinadas são mostradas abaixo:
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
A
H
H
C
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.1 Vigas
7.1.2 – Forças Cortantes e Momento Fletor
� Considere a viga AB submetida a cargas concentradas (Q1, 
Q2 e Q3) e distribuídas (w1 e w2).
A
Q1
C
B
w1
Q2 Q3
w2
i. Determinação das reações em A e B: Utiliza-se a viga 
inteira como corpo-livre, desta forma,
A
Q1
C
B
w1
Q2 Q3
w2
RA RB
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.1 Vigas
Ou seja,
A
Q1
C
B
w1
Q2 Q3
w2
RA RB
0=∑ AM RB
0=∑ BM RA
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.1 Vigas
ii. Determinação das Forças Internas: A viga é seccionada
em C para a construção dos diagramas de corpo-livre das 
partes AC e CB, conforme mostrado abaixo
A
Q1
C
B
w1
Q2 Q3
w2
RA RBC
M M’
V V’
Em AC:
0=∑ YF Fornece a força cortante V em C;
0=∑ CM Fornece o momento fletor M em C;
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.1 Vigas
A
Q1
C
B
w1
Q2 Q3
w2
RA RBC
M M’
V V’
De forma análoga, em CB:
0=∑ YF Fornece a força cortante V’ em C;
0=∑ CM Fornece o momento fletor M’ em C;
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.1 Vigas
� Convenção de Sinais: A força cortante V e o momento 
fletor M, atuantes sobre um dado ponto da viga serão 
positivos quando as forças internas e os momentos que 
agem em cada parte da viga forem orientados como se 
segue:
Forças internas na seção 
(força cortante e momentos 
fletor positivos) 
M M’
V V’
Efeito das forças externas 
(força cortante positiva) 
C
C
Efeito das forças externas 
(momento fletor positivo) 
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.1 Vigas
7.1.3 – Diagramas de Forças Cortantes e Momento Fletor
� Diagramas de força cortante: Representação da força
cortante em qualquer ponto de uma viga.
Considere a viga AB, simplesmente vinculada, de vão L e 
submetida a uma única carga Q aplicada em seu ponto médio
D.
A
D
B
Q
� Diagramas de momento fletor: Representação dos valores 
de força cortante em função de uma distância x, tomada a 
partir de uma das extremidades da viga.
L/2 L/2
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.1 Vigas
A
D
B
Q
i. Determinação das reações promovidas por cada vínculo:
Construção do diagrama de corpo-livre para a viga inteira, ou 
seja,
RA = Q/2 RB = Q/2
C E
ii. Determinação da força cortante V e do momento fletor M:
A viga é seccionada em C, entre A e D, e os diagramas de 
corpo-livre de AC e CB são construídos, ou seja,
A
RA = Q/2
C
M
V
D
B
Q
RB = Q/2
E
C
M’
V’
x
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.1 Vigas
Considerando o corpo-livre AC: 
2:0 QVFY ==∑
RA tende a cisalhar e fletir a viga 
no ponto C.
2:0 xQMMC ==∑
� Representação gráfica de V e M entre A e D:
L/2
x
y
Q/2
V = constante = Q/2
L/2
x
M
QL/4
M aumenta linearmente
x = 0; M = 0
x = L/2; M = QL/4
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.1 Vigas
Seccionando-se a viga em E, entre D e B, os diagramas de 
corpo livre AE e EB são esquematizados como se segue,
M
B
RB = Q/2
E
M’
V’
x
A
D
Q
RA = Q/2
C E
L-x
V
� Considerando o diagrama de corpo-livre EB:
2:0 QVFY −==∑ RB tende a flexionar a viga em E, 
mas promove o cisalhamento
oposto ao corpo-livre AC.( ) 2:0 xLQMMC −==∑
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.1 Vigas
� Representação gráfica de V e M entre A e D:
L/2
x
y
Q/2
V = constante = ±Q/2
L/2
x
M
QL/4
M aumenta linearmente
x = 0 ou x = L; M = 0
x = L/2; M = QL/4
L
-Q/2 L
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.1 Vigas
7.1.4 – Relações entre Carga e Força Cortante
Considere a viga AB, simplesmente vinculada, que suporta a 
carga w por unidade de comprimento. Ainda, observe os 
pontos C e C’ separados pela distância ∆x.
A
D
B
w
∆x
C C’
x
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.1 Vigas
cortante ForçaV =
Em C: 
Fletor MomentoM =
Supostamente positivos
cortante ForçaVV =∆+
Em C’: 
Fletor MomentoMM =∆+
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.1 Vigas
� Diagrama de corpo-livre,
C C’
M+∆MM
V V+∆V
∆x
∆x/20=∑ YF
( ) 0xwVVV =∆−∆+−
então,
xwV ∆−=∆
Dividindo-se por ∆x e 
aplicando o limite quando ∆x
tende a zero,
w
dx
dV
−=
Esta relação indica uma inclinação negativa para o diagrama 
de força cortante de uma barra carregada de forma proposta.
w∆∆∆∆x
w
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.1 Vigas
A carga total aplicadanuma parte da viga, por exemplo, entre 
os pontos C e D, pode ser calculada por:
Assim, 
∫∫∫ −=−→−=
D
C
D
C
D
C
X
X
CD
X
X
V
V
dxwVVdxwdV
( )[ ]CDCD xxwVV −−=−
O termo entre colchetes ou a integral de wdx fornecem a 
carga total aplicada entre C e D, ou seja, denota a área sob a 
curva de carga entre tais pontos.
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.1 Vigas
não é válida para pontos de carga concentrada, já que o 
respectivo diagrama de força cortante é descontínuo. 
� A equação, 
∫−=−
D
C
X
X
CD dxwVV
não é válida cargas concentradas entre C e D, pois não 
considera a variação súbita de força cortante em razão desta 
carga.
� A equação, 
∫−=−
D
C
X
X
CD dxwVV
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.1 Vigas
7.1.5 – Relações entre Força Cortante e Momento Fletor
Considerando novamente o diagrama de corpo livre para a 
região CC’, 
C C’
M+∆MM
V V+∆V
∆x
∆x/20' =∑ CM
0
2
x
xwxVMMM =∆∆+∆−−∆+
então,
( )2
2
1
xwxVM ∆−∆=∆
w∆∆∆∆x
w
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.1 Vigas
Dividindo-se por ∆x e aplicando o limite quando ∆x tende a 
zero,
V
dx
dM
=
� A força cortante V é nula quando o momento fletor M é
máximo;
� A inclinação dM/dx da curva do momento fletor é igual à
força cortante em pontos onde não há carga concentrada! 
Considerando-se os pontos C e D:
∫∫ =
D
C
D
C
X
X
M
M
dxVdM
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.1 Vigas
Assim, se V não é constante,
∫=−
D
C
X
X
CD dxVMM
� A integral
∫
D
C
X
X
dxV
fornece o momento fletor total entre os pontos C e D, ou seja, 
define a área sob a curva de força cortante entre tais pontos. 
Esta curva será positiva onde a força cortante for positiva e 
negativa para forças negativas.
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.1 Vigas
� A integral
∫
D
C
X
X
dxV
é válida para cargas concentradas entre C e D se a curva de 
força cortante for traçada de forma correta. 
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.2 Cabos
7.2.1 – Cabos com Cargas Concentradas
Considere o cabo flexível abaixo, preso nos pontos A e B, e 
sujeito às cargas verticais Q1, Q2 e Q3.
dy3y2
y1
L
x1
x2
x3
� Qualquer parte do cabo
entre cargas sucessiva é
considerada um elemento 
submetido à duas cargas!
� As forças internas, em qualquer ponto do cabo, são 
reduzidas à tração tangente a tal ponto.
C1
C2 C3
B
A
Q1
Q2 Q3
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.2 Cabos
O objetivo é determinar a forma do cabo, ou seja, a projeção 
vertical da distância de A até os pontos C1, C2 e C3 e também 
a tração T atuante em cada porção do mesmo.
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.2 Cabos
Portanto, é preciso construir o diagrama de corpo-livre para 
todo o cabo, ou seja, 
dy3y2
y1
L
x1
x2
x3
C1
C2 C3
B
Bx
By
A
Ay
Ax
Q1
Q2 Q3
Isto envolve 4 incógnitas e, já que se podem escrever apenas 
três equações de equilíbrio, o sistema se torna 
indeterminado. A solução é considerar o equilíbrio de uma 
determinar porção do cabo.
Como não se sabe as 
declividades das partes do 
cabo presas em A e B, as 
reações em A e B são 
representadas pelas 
respectivas componentes 
Ax, Ay, Bx e Bz. 
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.2 Cabos
Conhecendo as coordenadas x e y do ponto D, o diagrama de 
corpo-livre para a porção AD do cabo será,
y
x1
x
C1
A
Ay
Ax
Q1
A projeção vertical de A até qualquer ponto do cabo pode ser 
determinada como se segue. Por exemplo, considerando-se 
o ponto C2 e constituindo-se o diagrama de corpo-livre da 
parte AC2, tem-se que,
Assim, a relação adicional para 
determinação das reações em A e B, 
entre Ax e Ay é fornecida por:
T
D
0=∑ DM
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.2 Cabos
y2
x1
x2
C1
A
Ay
Ax
Q1
Fornece y2
T
D
0
2
=∑ CM
C2 Q2 θ
Tração T
0=∑ xF
0=∑ yF
Mas,
xAT =− θcos ou xAT −=θcos
ou seja, a componente horizontal de T é a mesma em 
qualquer ponto do cabo.
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.2 Cabos
7.2.2 – Cabos com Cargas Distribuídas
Considere o cabo abaixo fixado nos pontos A e B e que 
suporta um carga distribuída.
� O cabo forma uma cruva
e a força interna em um 
ponto D é uma tração T
dirigida ao longo da 
tangente à curva.
� O objetivo é determinar a tração em qualquer ponto no 
cabo e, para tanto, constrói-se o diagrama de corpo-livre para 
o ponto mais baixo C e um dado ponto D.
A
C
D
B
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.2 Cabos
7.2.2 – Cabos com Cargas Distribuídas
então,
� Forças atuantes no corpo livre:
C
D
B
θ
T
TO
θ
TO
W
W
T
i. Tração TO em C, a qual é horizontal;
ii. Tração T em D, tangente ao cabo;
iii. Resultante W da carga distribuída suportada pela 
posição CD do cabo.
Capítulo 7 – Forças em Vigas e Cabos
7.2 Cabos
A partir do triângulo de forças pode-se escrever,
θ
TO
W
T
θcosTTO = ; θ= senTW ;
22
O
WTT += e
OT
W
tg =θ
� A componente horizontal de T, ou seja, TO, é a mesma ao 
longo do cabo;
� A componente vertical de T é igual ao módulo W da carga.