Avaliando Aprendizado - 2019

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O limite da função f(x) expresso por 
limx→2x4−16x−2limx→2x4−16x−2 
é corretamente igual a: 
 
 
32 
 
 
16 
 
 
0/0 
 
 
0 
 
 
2 
 
 
Use a diferenciação implícita para achar dy/dx se 
 
 
 
 
 
Implicita: 
 
 
 
 RESPOSTA: 
 
 
 
 
Explicação: 
O aluno deve decompor o termo (x4−16)(x4−16) em (x+2)(x−2)(x2+4)(x+2)(x−2)(x2+4) e, então, 
aplicar o limite. 
Assim, obterá como resposta 32. 
 
O limite de f(x) quando x tende ao infinito, representado 
por limx→∞2x1/2+x−13x−1limx→∞2x1/2+x−13x−1 é igual a: 
 
 ∞∞ 
 0 
 
 
 
 
 
 
2a Questão (Ref.:201611111317) Acerto: 1,0 / 1,0 
O limite da função y=exp(−x)y=exp(−x) quando x → ∞∞, ou 
seja, limx→∞exp(−x)limx→∞exp⁡(−x) é corretamente dado por: 
 
 - ∞∞ 
 
- 1 
 0 
 + ∞∞ 
 
+ 1 
 
 
 
3a Questão (Ref.:201611112349) Acerto: 1,0 / 1,0 
Determine o intervalo de valores em que a função h(x)=√ 4−x2h(x)=4−x2 é contínua. 
 
 [−2,2][−2,2] 
 [−2,+∞)[−2,+∞) 
 (−∞,2](−∞,2] 
 (−2,2)(−2,2) 
 ∀x∈R∀x∈ℜ 
 
 
 
4a Questão (Ref.:201611112377) Acerto: 0,0 / 1,0 
Sobre a função f(x)=1√ x2−3x+21x2−3x+2 é possível afirmar que sua continuidade é 
garantida em: 
 
 
 
 (−∞,1)(−∞,1) U (2,+∞)(2,+∞) 
 
 
 
 
 
 
5a Questão (Ref.:201611112864) Acerto: 1,0 / 1,0 
Encontre a derivada de y=x2−1x2+1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 f′(x)=f′(x)=4x(x2+1)24x(x2+1)2 
 
 
 
6a Questão (Ref.:201611115219) Acerto: 1,0 / 1,0 
A derivada implícita dxdy quando 5y2+sen(y)=x2 é corretamente dada 
por: 
 
 
 
 
 
 
 dxdy=2x10y+cos(y) 
 
 
 
7a Questão (Ref.:201611118776) Acerto: 1,0 / 1,0 
Um objeto possui um movimento descrito pela função ts(t)=x3t3−5xt2+3t, onde x é 
dado em metros e t em horas. Assim sendo, em função apenas de t, as funções que 
descrevem a velocidade e a aceleração do objeto são, respectivamente: 
 
 
 
 
 
 
 Velocidade: f′(x)=3x3t2−10xt+3f′(x)=3x3t2−10xt+3 
Aceleração: f′′(x)=6x3t−10xf″(x)=6x3t−10x 
 
 
 
 
 
 
 
8a Questão (Ref.:201611118773) Acerto: 1,0 / 1,0 
Derive a função f(x)=1(1+sin(x))2 
 
 
 
 
 
 
 
 f′(x)=−2∗cos(x)[1+sin(x)]3 
 
 
 
 
 
9a Questão (Ref.:201611120785) Acerto: 1,0 / 1,0 
Sobre o gráfico da função f(x)=1√ x2−3x+9 é correto afirmar que: 
 
 
 
 
 Apresenta assíntota horizontal em y = 0 
 
 
 
 
10a Questão (Ref.:201611120778) Acerto: 1,0 / 1,0 
Sobre a função f(x)=x3−6x2+5x−7 é correto afirmar que: 
 
 
 
 
 
 
 
 Apresenta um ponto de máximo em x = 6−√ 21 36−213 
 
 
 
 
O limite da função f(x) expresso por limx→3x2−92√ x2+7 −4 é corretamente dado por: 
 
 
4 
 
0 
 8 
 + ∞∞ 
 
0/0 
 
 
 
2a Questão (Ref.:201611112320) Acerto: 0,0 / 1,0 
O limx→23√ x3+2x2−5x2+3x−7 é corretamente expresso por: 
 
 
 
 
 3√ 113 1133 
 
1 
 
 
 
3a Questão (Ref.:201611112841) Acerto: 0,0 / 1,0 
A função f(x) = 5x2+8x−33x2−2 é contínua no intervalo: 
 
 
 x = −√ 6 3−63 e x = √ 6 363 
 
 
 
 
 
 
4a Questão (Ref.:201611112354) Acerto: 0,0 / 1,0 
Determinar o maior intervalo (ou união de intervalos) em que a função a seguir é contínua: 
√25−x2 x+5 
 
 
 
 
 A função é contínua no intervalo (-5,5] 
 
 
 
 
 
 
 
 
5a Questão (Ref.:201611116585) Acerto: 1,0 / 1,0 
Através da diferenciação implícita, calcule dydx para a equação x2−5xy+3y2=7 
 
 
 
 
 dydx=2x−5y5x−6y 
 
 
 
 
 
6a Questão (Ref.:201611112858) Acerto: 0,0 / 1,0 
Encontre as tangentes horizontais no gráfico da função f(x) = x4−2x2+2 
 
 
 
 
 As tangentes horizontais serão encontradas em (0,2), (1,1) e (-1,1). 
 
 
 
 
 
7a Questão (Ref.:201611118785) Acerto: 0,0 / 1,0 
A derivada da função exp⁡(−xx2+3x−5) é dada por: 
 
 
 
 f′(x)=exp(−xx2+3x−5)∗[x∗(2x+3)(x2+3x−5)2−1x2+3x−5] 
 
 
 
 
 
8a Questão (Ref.:201611118775) Acerto: 0,0 / 1,0 
Encontre a derivada da função f(x)=sin(x)(1+sin(x))2 
 
 
 
 
 f′(x)=cos(x)∗[1−sin(x)][1+sin(x)]3 
 
 
 
9a Questão (Ref.:201611120790) Acerto: 0,0 / 1,0 
A função f(x)=√ xx+5 apresenta: 
 
 
 
 Uma assíntota horizontal em y = 1 
 
 
 
 
 
10a Questão (Ref.:201611120796) Acerto: 0,0 / 1,0 
A função f(x)=x2−2x apresenta a seguinte característica: 
 
 
 
 Apresenta assíntota horizontal definida em y = x 
 
 
 
 
 
O limite de f(x) quando x tende ao infinito, representado por limx→∞2x1/2+x−13x−1 é igual 
a: 
 
 
 
 0 
 
 
 
 
 
2a Questão (Ref.:201611111317) Acerto: 1,0 / 1,0 
O limite da função y=exp(−x)y=exp(−x) quando x → ∞∞, ou 
seja, limx→∞exp(−x)limx→∞exp⁡(−x) é corretamente dado por: 
 
 
- 1 
 + ∞∞ 
 0 
 - ∞∞ 
 
+ 1 
 
 
 
3a Questão (Ref.:201611112349) Acerto: 1,0 / 1,0 
Determine o intervalo de valores em que a função h(x)=√ 4−x2 é contínua. 
 
 
 
 (−2,2) 
 
 
 
 
4a Questão (Ref.:201611112377) Acerto: 0,0 / 1,0 
Sobre a função f(x)=1√ x2−3x+2 é possível afirmar que sua continuidade é garantida em: 
 
 (−∞,1)(−∞,1) U (2,+∞)(2,+∞) 
 
 
 
 
 
 
 
5a Questão (Ref.:201611112862) Acerto: 0,0 / 1,0 
Encontre a derivada de y=1x∗(x2+1x) 
 
 y′=1−2x3y′=1−2x3 
 
 
 
6a Questão (Ref.:201611112855) Acerto: 0,0 / 1,0 
Em quais pontos o gráfico da função f(x) = x2−4x−1 possui tangentes horizontais? 
 
 
 
 
 Apenas no ponto (2,-5) 
 
 
 
 
 
7a Questão (Ref.:201611118790) Acerto: 0,0 / 1,0 
A derivada da função exp(x2x3−1) é dada por: 
 
 
 
 
 f′(x)=exp(x2x3−1)∗[2xx3−1−3x4(x3−1)2] 
 
 
 
 
 
 
 
8a Questão (Ref.:201611118777) Acerto: 0,0 / 1,0 
Um objeto apresenta apresenta uma função posição descrita pela 
função f(x)=x∗sin(π∗t)+1x∗cos(t2), onde t é dado em horas e x em metros. Derivando 
apenas em função de x, a aceleração do objeto em t=π2 horas é dada por: 
 
 
 
 [2]12x3 m/h2 
 
 
 
9a Questão (Ref.:201611120785) Acerto: 0,0 / 1,0 
Sobre o gráfico da função f(x)=1√ x2−3x+9 é correto afirmar que: 
 
 Apresenta assíntota horizontal em y = 0 
 
 
 
10a Questão (Ref.:201611120778) Acerto: 0,0 / 1,0 
Sobre a função f(x)=x3−6x2+5x−7 é correto afirmar que: 
 
 
 
 Apresenta um ponto de máximo em x = 6−√ 21 36−213 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
O limite da função f(x) expresso 
por limx→3x2−92√ x2+7 −4 é corretamente dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
 
Explicação: 
Para resolver o aluno deve multiplicar o numerador e o denominado por 2√ x2+7 +4x2+72+4 e, então, 
aplicar o limite pedido. 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
O limx→23√ x3+2x2−5x2+3x−7 é corretamente expresso por: 
 
 
 
 
 
 
3√ 113 
 
 
 
 
 
 
Explicação: 
Basta o aluno aplicar os teoremas sobre limites e encontrará o resultado. 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
O limte lateral para a função f(x) representado 
por limx→2−2√ x2−4 x−2 é corretamente expresso por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
+∞+∞ 
 
 
 
Explicação: 
Como x → 2+, o aluno deve lembrar x - 2 > 0 e x−2=√ (x−2)2x−2=(x−2)2 
Além disso, (x2 - 4) = (x+2)(x-2) 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
O limite da função y=exp(−x) quando x → ∞∞, ou 
seja, limx→∞exp⁡(−x) é corretamente dado por:0 
 
 
 
Explicação: 
A função é: y=1/exy=1/ex 
Consequentemente, se x →+ ∞∞, y → 0. 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
O limite de f(x) quando x tende ao infinito, 
representado por limx→∞2x1/2+x−13x−1 é 
igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
0 
 
 
 
Explicação: 
O aluno deve dividir todos os termos do numerador e do denominador por x e, então, aplicar o limite. 
 
 
Encontre as assíntotas do gráfico da função f(x) = −8x2−4−8x2−4 
 
 
x = -2, x = 0 e y = 2 
 
 
x = 2 e y = 0 
 
 
x = -2, x = 2 e y = 0 
 
 
x = 2, x = 3 e y = -1 
 
 
x = -2, x = 1212 e y = 0 
 
 
 
Explicação: 
A função não será contínua quando x2 - 4 = 0, logo: x = - 2 e x = 2 são assíntotas no gráfico de f(x). 
Ao mesmo tempo, quando x → ±∞±∞, a reta y = 0 torna-se também assíntota da curva. 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine o maior intervalo (ou a união de intervalos) para o qual 
a função f(x) é contínua. Dado: 
f(x)=√ x2−9(x+7) 
 
 
 
(−7,−3]⋃[3,+∞)(−7,−3]⋃[3,+∞) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Determinar o maior intervalo (ou união de intervalos) em que a 
função a seguir é contínua: 
√25−x2 x+5 
 
 
 
 
 
 
A função é contínua no intervalo (-5,5] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Explicação: 
Primeiro determinamos o domínio de f: 
A função é definida em qualquer parte, exceto quando x = - 5 ou 25 - x2 < 0 (isto é, quando x < - 5 ou 
x > 5). 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
A função f(x) = 5x2+8x−33x2−2 é contínua no intervalo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∀x∀x ∈∈ R, exceto x = −√ 6 3−63 e x = √ 6 363 
 
 
 
Explicação: 
O numerador é um polinômio e, portanto, contínuo para todo x real. 
O denominador dever ser diferente de zero. 
3x2−2≠03x2−2≠0 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Sobre a função f(x)=1√ x2−3x+ é possível afirmar 
que sua continuidade é garantida em: 
 
 
(−∞,1)(−∞,1) U (2,+∞)(2,+∞) 
 
 
 
 
 
 
 
Explicação: 
O aluno deve estudar a função quanto ao seu domínio considerando: 
x2−3x+2x2−3x+2 > 0 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Determine o intervalo de valores em que a 
função h(x)=√4−x2 é contínua. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(−2,2)(−2,2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Explicação: 
A função h(x) pode ser entendido como uma função composta f¿g. 
f(x)=√ x f(x)=x contínua para todo x positivo 
g(x)=4−x2g(x)=4−x2 contínua em toda parte 
Consequentemente, h(x) é contínua em todo número x para o qual g(x) > 0, isto é, 4 - x2 > 0. 
 
 
 
Através da diferenciação implícita, calcule dydx para a equação x2−5xy+3y2=7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dydx=2x−5y5x−6y 
 
 
 
Explicação: 
Diferenciando: 2x−5xdydx−5y+6ydydx=02x−5xdydx−5y+6ydydx=0 
Rearranjndo os termos, o aluno encontra a resposta da questão 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Encontre as tangentes horizontais no gráfico da função 
f(x) = x4−2x2+2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As tangentes horizontais serão encontradas em (0,2), (1,1) e (-1,1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Em quais pontos o gráfico da função f(x) = x2−4x−1 possui 
tangentes horizontais? 
 
 
 
 
 
 
 
Apenas no ponto (2,-5) 
 
 
 
Explicação: 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Encontre a derivada 
de y=1x∗(x2+1x)y=1x∗(x2+1x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y′=1−2x3y′=1−2x3 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
A derivada 
implícita dxdy quando 5y2+sen(y)=x25y2+
sen(y)=x2 é corretamente dada por: 
 
 
 
dxdy=2x10y+cos(y)dxdy=2x10y+cos(y) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Encontre a derivada de y=x2−1x2+1 
 
 
 
f′(x)=f′(x)=4x(x2+1)2 4x(x2+1)2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O limite de f(x) quando x tende ao infinito, representado 
por limx→∞2x1/2+x−13x−1limx→∞2x1/2+x−13x−1 é igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
0 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
O limite da 
função y=exp(−x)y=exp(−x) quando x → ∞∞, 
ou seja, limx→∞exp(−x)limx→∞exp⁡(−x) é 
corretamente dado por: 
 
 
 
 
 
 
0 
 
 
 
 
Explicação: 
A função é: y=1/exy=1/ex 
Consequentemente, se x →+ ∞∞, y → 0. 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
O limx→23√ x3+2x2−5x2+3x−7 é corretamente 
expresso por: 
 
 
 
 
 
 
3√ 113 1133 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
O limte lateral para a função f(x) representado 
por limx→2−2√ x2−4 x−2 é corretamente expresso por: 
 
 
 
+∞+∞ 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
O limite da função f(x) expresso 
por limx→3x2−92√ x2+7 −4 é corretamente dado por: 
 
 
 
8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
O limite da função f(x) expresso por 
limx→2x4−16x−2 é corretamente igual a: 
 
 
 
32 
 
 
 
A derivada da função exp(−xx2+3x−5) é dada por: 
 
 
 
 
 
 
f′(x)=exp(−xx2+3x−5)∗[x∗(2x+3)(x2+3x−5)2−1x2+3x−5] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Encontre a derivada da função f(x)=sin(x)(1+sin(x))2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f′(x)=cos(x)∗[1−sin(x)][1+sin(x)]3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Um objeto apresenta apresenta uma função posição descrita 
pela função f(x)=x∗sin(π∗t)+1x∗cos(t2), onde t é dado em 
horas e x em metros. Derivando apenas em função de x, a 
aceleração do objeto em t=π2t=π2 horas é dada por: 
 
 
 
 
 
[2]12x3[2]12x3 m/h2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
A derivada da função exp(x2x3−1) é 
dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f′(x)=exp(x2x3−1)∗[2xx3−1−3x4(x3−1)2] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Derive a função f(x)=1(1+sin(x))2: 
 
 
f′(x)=−2∗cos(x)[1+sin(x)]3 
 
 
f′(x)=sin(x)[1+sin(x)]3f′(x)=sin(x)[1+sin(x)]3 
 
 
f′(x)=2∗cos(x)[1+cos(x)]4f′(x)=2∗cos(x)[1+cos(x)]4 
 
 
f′(x)=cos(x)[1+sin(x)]2f′(x)=cos(x)[1+sin(x)]2 
 
 
f′(x)=cos(x)[1+sec(x)]2f′(x)=cos(x)[1+sec(x)]2 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Um objeto possui um movimento descrito pela 
função s(t)=x3t3−5xt2+3ts(t)=x3t3−5xt2+3t, onde x é 
dado em metros e t em horas. Assim sendo, em função 
apenas de t, as funções que descrevem a velocidade e a 
aceleração do objeto são, respectivamente: 
 
 
 
Velocidade: f′(x)=3x3t2−10xt+3f′(x)=3x3t2−10xt+3 
Aceleração: f′′(x)=6x3t−10xf″(x)=6x3t−10x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Encontre os intervalos para os quais a função f(x)=x4−3x2+5 apresenta-se como uma função 
crescente. 
 
 
 
 
 
A função será crescente 
em [−√ 32 ;0][−32;0]e [√ 32 ;+∞)[32;+∞) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Os intervalos para os quais a 
função f(x)=x3−3x2+5f é Crescente e Decresc
ente são, respectivamente, dados por: 
 
 
 
 
 
 
 
(−∞,0](−∞,0] e [2,+∞)[2,+∞); e, [0,2] 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
A função f(x)=x2−2xf(x)=x2−2x apresenta a seguinte 
característica: 
 
 
É definida em x = 0 
 
 
Não cruza o eixo x 
 
 
Apresenta um ponto de máximo global em x = 2 
 
 
Apresenta um ponto de mínimo global em x = -2 
 
 
Apresenta assíntota horizontaldefinida em y = x 
 
 
 
Explicação: 
O aluno deve gerar a primeira e a segunda derivada da função e, então, realizar o estudo segundo o 
conteúdo descrito na aula 05. 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
A função f(x)=√ xx+5 apresenta: 
 
 
 
Uma assíntota horizontal em y = 1 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Sobre a função f(x)=x3−6x2+5x−7 é correto 
afirmar que: 
 
 
 
 
 
 
 
Apresenta um ponto de máximo em x = 6−√ 21 36−213 
 
 
 
Explicação: 
Primeira derivada: f′(x)=3x2−12x+5f′(x)=3x2−12x+5 
Segunda derivada; f′′(x)=6x−12f″(x)=6x−12 
Os pontos críticos (f'(x)=0) são: 6−√ 21 36−213e 6+√ 21 36+213 
A análise dos sinais das derivadas conduzirá a resposta 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Sobre o gráfico da função f(x)=1√ x2−3x+9 é 
correto afirmar que: 
 
 
 
Apresenta assíntota horizontal em y = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere a função f(x)=x2−5x+7. Encontre o mínimo absoluto no intervalo [-1,3] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O mínimo absoluto no intervalo citado ocorre em x=52x=52 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
O limite limx→0sin(x)x é corretamente 
indicado por: 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Uma empresa de embalagens recebeu um pedido de 
caixas de papelão, onde o solicitante exigiu apenas que 
as caixas tivessem 15 litros de capacidade e uma altura 
de 20 centímetros. Quais são as dimensões das caixas 
para se obter o menor custo com o papelão? 
Obs: as caixas devem ser no formato de paralelepípedos 
retos. 
 
 
As caixas devem ter o fundo quadrado de dimensões aproximadas de 27,386 cm x 27,386 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
O limite dado por limx→0sin(x)−tan(x)x3 é igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
−12 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
O limite dado por
limx→1sin(πx)x−1 é dado por: 
 
 
 
+∞+∞ 
 
 
−π−π 
 
 
0 
 
 
−∞−∞ 
 
 
0000 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
O limite dado por limx→0sin(5x)3x é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
 
 
 
Integral indefinida da função f(x)=sin(x)−tan(x) é dada por: 
 
 
−cos(x)−ln∣cos(x)∣+C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Explicação: 
∫sin(x)dx=−cos(x)∫sin(x)dx=−cos(x) 
∫tan(x)dx=∫sin(x)cos(x)dx∫tan(x)dx=∫sin(x)cos(x)dx, aplicar u = cos(x) e resolver. 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Seja a função f(x)=x3−3x. Encontre a 
antiderivada de f(x) sendo a condição inicial é 
F(x) = 10, quando x = 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x44−32x2+12 
 
 
 
 
 
 
Explicação: 
F(x)=x44−32x2+CF(x)=x44−32x2+C 
Quando F(2) = 10, então, C = 12 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Ache a solução completa da equação 
diferencial dydx=2x4y 
 
 
 
 
 
 
y22=2x55+C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Explicação: 
ydy=2x4dxydy=2x4dx 
∫ydy=∫2x4dx∫ydy=∫2x4dx 
y22=2x55+Cy22=2x55+C 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Em qualquer ponto (x,y) de uma 
determinada curva, a reta tangente tem uma 
inclinação igual a 3x−8. Se a curva contém 
o ponto (-2,7), qual a sua equação? 
 
 
 
 
 
 
 
A função será: 
f(x)=32x2−8x−15f(x)=32x2−8x−15 
 
 
 
Explicação: 
f′(x)=3x−8f′(x)=3x−8 
f(x)=∫f′(x)dx=32x2−8x+Cf(x)=∫f′(x)dx=32x2−8x+C 
Para x = -2, f(x) = 7, então: C = - 15 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
A antiderivada da função x32−5x+7 é dada 
por: 
 
 
25x52−52x2+7x+C 
 
 
 
Explicação: 
Basta o aluno aplicar as regras contidas no capítulo 7 para gerar a antiderivada, por exemplo: 
∫xn=x(n+1)n+1+C∫xn=x(n+1)n+1+C, para x ≠≠1 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Ache a solução completa da equação 
diferencial: dydx=x2cos(y) 
 
 
 
 
 
 
 
sin(y)=x33+C 
 
 
 
Explicação: 
 
 
 
Encontre a integral indefinida dada por ∫(cos(x))3.sin(x)dx 
 
 
 
−14[cos(x)]4+C 
 
 
 
Explicação: 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Encontre a integral indefinida dada 
por ∫1+ln(x)xdx 
 
 
 
12[1+ln(x)]2+C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Explicação: 
Para resolver, aplique a substuição simples: u = 1 + ln(x), du=1xdxdu=1xdx 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
A integral indefinida ∫3x2√x3+1 dx é dada por: 
 
 
 
23(x3+1)32+C 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Encontre a integral indefinida ∫x.sin(4x)dx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
−14x.cos(4x)+116.sin(4x)+C 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Encontre a integral indefinida dada 
por ∫√ x 1+√ x dx 
 
 
 
 
 
 
 
 
x−2√ x +2∗ln∣√ x +1∣−3+C 
 
 
 
Explicação: 
Faça a substituição simples: u=1+√ x u=1+x 
Depois divida o polinômio e obtenha: u2−2u+1u=u−2+1uu2−2u+1u=u−2+1u 
Após a integração, teremos a resposta. 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Encontre a integral indefinida dada 
por ∫x2x3+8dx 
 
 
 
 
13∗ln∣x3+8∣+C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Explicação: 
Basta aplicar a substituição simples: u = x3 + 8, du = 3x2 . dx 
 
 
Encontre a integral indefinida para ∫[sin(x)]3dx 
 
 
 
 
 
 
−cos(x)+[cos(x)]33+C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Encontre a integral 
indefinida∫[cos(x)]3dx 
 
 
 
 
 
 
 
sin(x)−[sin(x)]33+C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Encontre a integral indefinida ∫x22x+1dx 
 
 
 
 
 
 
 
116∗[4x2−4x+2∗ln[2x+1]−3]+C 
 
 
 
 
 
 
 
Explicação: 
A técnica de frações parciais deve ser aplicada ou, mais rapidamente, a substituição: 
u=2x+1u=2x+1 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Encontre a integral 
indefinida ∫(x2+3x−3)(x−1)dx 
 
 
 
5x+ln[x−1]+12∗(x−1)2−5+C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Encontre a integral indefinida ∫x2x+1dx 
 
 
 
 
(x+1)22−2(x+1)+ln[x+1]+C 
 
 
 
 
 
 
Explicação: 
A técnica de frações parciais pode ser aplicada. 
No entanto, a resolução fica mais rápida se a substituição abaixo for considerada: 
u=x+1u=x+1 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Encontre a integral indefinida ∫2x2−1dx 
 
 
 
−ln[x+1]+ln[x−1]+C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O comprimento do arco de 
parábola y=x2+1y=x2+1, para 0≤x≤2 terá um valor de: 
 
 
 
171/2+14∗ln[4+171/2] 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Qual a área da região definida pela 
função f(x)=−2x+5, o eixo x e as 
retas x=0 e x=1? 
 
 
 
Área: 4 unidades quadradas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Seja f(x)=x2, com 0≤x≤2 
Determine o volume do sólido obtido pela 
revolução do gráfico de f(x) em torno do eixo x. 
 
 
32π unidades cúbicas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
Dada um função definida como f(x)=3, o 
volume do sólido de revolução, no 
 
intervalo x=0 a x=5 , obtido pela rotação de 
f(x) em torno do eixo x, é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45π unidades cúbicas 
 
 
 
Explicação: 
A resposta pode ser facilmente encontrada aplicando-se: 
V=∫50π∗32dxV=∫05π∗32dx 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Calcule a área delimitada pelas 
funções f(x)=x+1e g(x)=x2−1. 
 
 
 
Área = 92 unidades quadradas 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Seja (x)=x2 com 0≤x≤2 
Determine o volume do sólido gerado 
pela revolução do gráfico de f(x) em 
torno do eixo y. 
 
 
 
 
 
 
Volume = 8π unidades cúbicas 
 
 
 
 
 
 
Determine o intervalo de valores em que a função h(x)=√4−x2 é 
contínua. 
 
 
 
 
 
 
(−2,2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Sobre a função 
f(x)=1√ x2−3x+2 é possível afirmar que 
sua continuidade é garantida em: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(−∞,1) (−∞,1) U (2, +∞)(2,+∞) 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Determinar o maior intervalo (ou união 
de intervalos) em que a função a seguir é 
contínua: 
√25−x2 x+5 
 
 
 
 
 
 
A função é contínua no intervalo (-5,5] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Determine o maior intervalo (ou a união de 
intervalos) para o qual a função f(x) é 
contínua. Dado: 
f(x)=√ x2−9(x+7) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(−7,−3]⋃[3,+∞) 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
A função f(x) = 5x2+8x−33x2−2 é contínua no 
intervalo: 
 
 
 
∀x∀x ∈∈ R, exceto x = −√ 6 3−63 e x = √ 6 363 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Encontre as assíntotas do gráfico da 
função f(x) = −8x2−4 
 
 
 
 
 
 
x = -2, x = 2 e y = 0 
 
 
 
 
Encontre a derivada de y=1x∗(x2+1x) 
 
 
 
 
 
 
 
y′=1−2x3 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Em quais pontos o gráfico da função f(x) 
= x2−4x−1 possui tangentes horizontais? 
 
 
 
Apenas no ponto (2,-5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Encontre as tangentes horizontais no gráfico da 
função f(x) = xx4−2x2+2 
 
 
As tangentes horizontais serão encontradas em (0,2), (1,1) e (-1,1). 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
A derivada 
implícita dxdy quando5y2+sen(y)=x2 é
 corretamente dada por: 
 
 
 
dxdy=2x10y+cos(y) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Através da diferenciação implícita, calcule dydx para 
a equação x2−5xy+3y2=7 
 
 
 
 
 
 
 
 
dydx=2x−5y5x−6y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Encontre a derivada de y=x2−1x2+1 
 
 
 
 
 
 
f′(x)=4x(x2+1)2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A derivada da função exp(x2x3−1) é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
f′(x)=exp(x2x3−1)∗[2xx3−1−3x4(x3−1)2] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
Um objeto apresenta apresenta uma função posição descrita pela 
função f(x)=x∗sin(π∗t)+1x∗cos(t2)f(x)=x∗sin(π∗t)+1x∗cos(t2)
 
, onde t é dado em horas e x em metros. Derivando apenas em 
função de x, a aceleração do objeto em t=π2t=π2 horas é dada 
por: 
 
 
 
 
 
 
[2]12x3 m/h2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Encontre a derivada da 
função 2f(x)=sin(x)(1+sin(x))2 
 
 
 
 
 
f′(x)=cos(x)∗[1−sin(x)][1+sin(x)]3 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Derive a função f(x)=1(1+sin(x))2f(x)=1(1+sin(x))2 
 
 
 
 
 
f′(x)=−2∗cos(x)[1+sin(x)3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
A derivada da função exp(−xx2+3x−5) é dada 
por: 
 
f′(x)=exp (−xx2+3x−5)∗[x∗(2x+3)(x2+3x−5)2−1x2+3x−5] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Um objeto possui um movimento descrito pela 
função s(t)=x3t3−5xt2+3t, onde x é dado em 
metros e t em horas. Assim sendo, em função apenas 
de t, as funções que descrevem a velocidade e a 
aceleração do objeto são, respectivamente: 
 
 
 
Velocidade: f′(x)=3x3t2−10xt+3f′(x)=3x3t2−10xt+3 
Aceleração: f′′(x)=6x3t−10xf″(x)=6x3t−10x 
 
 
 
 
 
 
 
Sobre o gráfico da função f(x)=1√ x2−3x+9 é correto afirmar que: 
 
 
 
Apresenta assíntota horizontal em y = 0 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Sobre a função f(x)=x3−6x2+5x−7 é correto afirmar que: 
 
 
 
Apresenta um ponto de máximo em x = 6−√ 21 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
A função f(x)=x2−2x apresenta a seguinte 
característica: 
 
 
Apresenta assíntota horizontal definida em y = x 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Os intervalos para os quais a 
função f(x)=x3−3x2+5 é Crescente e Decrescente 
são, respectivamente, dados por: 
 
 
(−∞,0](−∞,0] e [2,+∞)[2,+∞); e, [0,2] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
A função f(x)=√ xx+5 apresenta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma assíntota horizontal em y = 1 
 
 
 
Explicação: 
O aluno deve aplicar a primeira e a segunda derivada e analisar a função segundo o conteúdo descrito na 
aula 05. 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Encontre os intervalos para os quais a 
função f(x)=x4−3x2+5 apresenta-se como uma função crescente. 
 
 
 
 
 
 
 
A função será crescente em [−√ 32 ;0][−32;0]e [√ 32 ;+∞)[32;+∞) 
 
 
 
 
 
 
Considere a função f(x)=x2−5x+7. Encontre o mínimo absoluto no 
intervalo [-1,3] 
 
 
 
 
 
 
O mínimo absoluto no intervalo citado ocorre em x=52 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
O limite limx→0sin(x)xlimx→0sin(x)x é corretamente 
indicado por: 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
Explicação: 
O aluno deve aplicar a regra de L'Hospital: 
limx→0sin(x)x=limx→0cos(x)1=11=1limx→0sin(x)x=limx→0cos(x)1=11=1 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
O limite dado por limx→1sin(πx)x−1limx→1sin(πx)x−1 é 
dado por: 
 
 
 
 
 
 
−π 
 
 
 
Explicação: 
Aplicando a regra de L'Hôpital: 
limx→1π∗cos(πx)1=−πlimx→1π∗cos(πx)1=−π 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
O limite dado por limx→0sin(5x)3x é 
dado por: 
 
 
 
 
 
 
53 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A integral indefinida da função f(x)=sin(x)−tan(x) é dada por: 
 
 
−cos(x)−ln∣cos(x)∣+C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Seja a função f(x)=x3−3x. Encontre a 
antiderivada de f(x) sendo a condição inicial é 
F(x) = 10, quando x = 2. 
 
 
 
 
 
X44−32x2+12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Ache a solução completa da equação 
diferencial dy/dx=2x4y 
 
 
 
 
 
 
 
 
y22=2x55+C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Em qualquer ponto (x,y) de uma determinada curva,a 
reta tangente tem uma inclinação igual a 3x−8. Se a 
curva contém o ponto (-2,7), qual a sua equação? 
 
 
A função será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A função será: 
f(x)=32x2−8x−15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
A antiderivada da função x32−5x+7 é dada 
por: 
 
 
 
 
 
25x52−52x2+7x+C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Ache a solução completa da equação 
diferencial: dydx=x2cos(y)dydx=x2cos(y) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
sin(y)=x33+Csin(y)=x33+C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Encontre a integral indefinida dada por ∫(cos(x))3.sin(x)dx∫(cos(x))3.sin(x)dx 
 
 
 
[cos(x)]4+C[cos(x)]4+C 
 
 
−14[cos(2x)]4+C−14[cos(2x)]4+C15[cos(x)]4+C15[cos(x)]4+C 
 
 
−14[cos(x)]4+C−14[cos(x)]4+C 
 
 
−14[sin(x)]4+C−14[sin(x)]4+C 
 
 
 
Explicação: 
Basta aplicar a substituição simples: u = cos(x), du = - sin(x). dx 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Encontre a integral indefinida dada por ∫1+ln(x)xdx∫1+ln(x)xdx 
 
 
 
2∗[1+ln(x)]2+C2∗[1+ln(x)]2+C 
 
 
12[1−ln(x)]3+C12[1−ln(x)]3+C 
 
 
13[1−ln(x)]2+C13[1−ln(x)]2+C 
 
 
[1+ln(x)]2+C[1+ln(x)]2+C 
 
 
12[1+ln(x)]2+C12[1+ln(x)]2+C 
 
 
 
Explicação: 
Para resolver, aplique a substuição simples: u = 1 + ln(x), du=1xdxdu=1xdx 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
A integral indefinida ∫3x2√ x3+1 dx∫3x2x3+1dx é dada por: 
 
 
 
27(x3+1)12+C27(x3+1)12+C 
 
 
−23(x3+1)72+C−23(x3+1)72+C 
 
 
23(x3+1)32+C23(x3+1)32+C 
 
 
(x3+1)32+C(x3+1)32+C 
 
 
13(x3+1)52+C13(x3+1)52+C 
 
 
 
Explicação: 
Faça a substituição simples: u = x3 + 1, du = 3x2 dx 
Depois conduza a integração: 
3∫√ u 3dx3∫u3dx 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Encontre a integral indefinida ∫x.sin(4x)dx∫x.sin(4x)dx 
 
 
 
x.cos(4x)+sin(4x)+Cx.cos(4x)+sin(4x)+C 
 
 
18x.cos(4x)−116.sin(4x)+C18x.cos(4x)−116.sin(4x)+C 
 
 
−14x.cos(4x)+116.sin(4x)+C−14x.cos(4x)+116.sin(4x)+C 
 
 
14x.cos(x)+118.sin(x)+C14x.cos(x)+118.sin(x)+C 
 
 
−18x.cos(2x)+18.sin(2x)+C−18x.cos(2x)+18.sin(2x)+C 
 
 
 
Explicação: 
É necessário aplicar o conceito de integração por partes: 
Faça: u = x e v' = sin(4x) 
∫udv=uv−∫vdu∫udv=uv−∫vdu 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Encontre a integral indefinida dada por ∫√ x 1+√ x dx∫x1+xdx 
 
 
 
3x−√ x +4∗ln∣√ x +1∣−7+C3x−x+4∗ln∣x+1∣−7+C 
 
 
x−√ x +2∗ln∣√ x +3∣+3+Cx−x+2∗ln∣x+3∣+3+C 
 
 
x+2∗ln∣√ x +1∣−3+Cx+2∗ln∣x+1∣−3+C 
 
 
x−2√ x +2∗ln∣√ x +1∣−3+Cx−2x+2∗ln∣x+1∣−3+C 
 
 
−2√ x +ln∣√ x ∣−3+C−2x+ln∣x∣−3+C 
 
 
 
Explicação: 
Faça a substituição simples: u=1+√ x u=1+x 
Depois divida o polinômio e obtenha: u2−2u+1u=u−2+1uu2−2u+1u=u−2+1u 
Após a integração, teremos a resposta. 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Encontre a integral indefinida dada por ∫x2x3+8dx∫x2x3+8dx 
 
 
 
ln∣x3+8∣+Cln∣x3+8∣+C 
 
 
14∗ln∣x5+8∣+C14∗ln∣x5+8∣+C 
 
 
13∗ln∣x3∣+C13∗ln∣x3∣+C 
 
 
13∗ln∣x3+8∣+C13∗ln∣x3+8∣+C 
 
 
−12∗ln∣x3−8∣+C−12∗ln∣x3−8∣+C 
 
 
Encontre a integral indefinida para ∫[sin(x)]3dx∫[sin(x)]3dx 
 
 
[cos(x)]33+C[cos(x)]33+C 
 
 
−sin(x)+[cos(x)]24+C−sin(x)+[cos(x)]24+C 
 
 
−cos(x)+C−cos(x)+C 
 
 
−cos(x)+[cos(x)]33+C−cos(x)+[cos(x)]33+C 
 
 
−sin(x)+[cos(x)]23+C−sin(x)+[cos(x)]23+C 
 
 
 
Explicação: 
Faça:∫[sin(x)]3dx=∫[1−[cos(x)]2]∗sin(x)]dx∫[sin(x)]3dx=∫[1−[cos(x)]2]∗sin(x)]dx 
Depois aplique: cos(x)=ucos(x)=u, −sin(x)dx=du−sin(x)dx=du 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Encontre a integral indefinida ∫[cos(x)]3dx∫[cos(x)]3dx 
 
 
 
sin(x)−[sin(x)]24+Csin(x)−[sin(x)]24+C 
 
 
sin(x)−[sin(x)]33+Csin(x)−[sin(x)]33+C 
 
 
cos(x)−[sin(x)]23+Ccos(x)−[sin(x)]23+C 
 
 
−sin(2x)−[sin(x)]33+C−sin(2x)−[sin(x)]33+C 
 
 
cos(x)−[cos(x)]33+Ccos(x)−[cos(x)]33+C 
 
 
 
Explicação: 
Faça: ∫(1−[sin(x)]2)∗cos(x)∗dx∫(1−[sin(x)]2)∗cos(x)∗dx 
Depois: u=sin(x)u=sin(x) 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Encontre a integral indefinida ∫x22x+1dx∫x22x+1dx 
 
 
 
4x2−4x+2∗ln[2x+1]−3+C4x2−4x+2∗ln[2x+1]−3+C 
 
 
116∗[4x2−4x+2∗ln[2x+1]−3]+C116∗[4x2−4x+2∗ln[2x+1]−3]+C 
 
 
116∗[4x2+2∗ln[2x+1]]+C116∗[4x2+2∗ln[2x+1]]+C 
 
 
[x2−x+2∗ln[2x+1]−3]+C[x2−x+2∗ln[2x+1]−3]+C 
 
 
116∗[−4x+ln[2x+1]]+C116∗[−4x+ln[2x+1]]+C 
 
 
 
Explicação: 
A técnica de frações parciais deve ser aplicada ou, mais rapidamente, a substituição: 
u=2x+1u=2x+1 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Encontre a integral 
indefinida ∫(x2+3x−3)(x−1)dx∫(x2+3x−3)(x−1)dx 
 
 
x−ln[x+1]+23∗(x+1)2−5+Cx−ln[x+1]+23∗(x+1)2−5+C 
 
 
ln[x−1]+52∗(x−1)3+Cln[x−1]+52∗(x−1)3+C 
 
 
x+ln[x+1]+14∗(x−1)3−5+Cx+ln[x+1]+14∗(x−1)3−5+C 
 
 
5+12∗(x−1)2−3+C5+12∗(x−1)2−3+C 
 
 
5x+ln[x−1]+12∗(x−1)2−5+C5x+ln[x−1]+12∗(x−1)2−5+C 
 
 
 
Explicação: 
Faça: ∫x2(x−1)dx+∫3x(x−1)dx−∫3(x−1)dx∫x2(x−1)dx+∫3x(x−1)dx−∫3(x−1)dx 
Aplique a divisão de polinômios e a técnica de frações parciais 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Encontre a integral indefinida ∫x2x+1dx∫x2x+1dx 
 
 
 
(x+1)22−2(x+1)+ln[x+1]+C(x+1)22−2(x+1)+ln[x+1]+C 
 
 
(x)22+x+1+ln[x]+C(x)22+x+1+ln[x]+C 
 
 
(x+1)22(x+1)+ln[x]+C(x+1)22(x+1)+ln[x]+C 
 
 
(x+1)2+(x+1)+ln[x]+C(x+1)2+(x+1)+ln[x]+C 
 
 
(x+1)24−2+ln[3x+1]+C(x+1)24−2+ln[3x+1]+C 
 
 
 
Explicação: 
A técnica de frações parciais pode ser aplicada. 
No entanto, a resolução fica mais rápida se a substituição abaixo for considerada: 
u=x+1u=x+1 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Encontre a integral indefinida ∫2x2−1dx∫2x2−1dx 
 
 
 
ln[x−1]+Cln[x−1]+C 
 
 
−ln[2x+1]+ln[x2−1]+C−ln[2x+1]+ln[x2−1]+C 
 
 
−ln[x+3]+ln[2x−1]+C−ln[x+3]+ln[2x−1]+C 
 
 
−ln[x+1]+ln[x−1]+C−ln[x+1]+ln[x−1]+C 
 
 
−ln[x]+ln[3x−1]+C−ln[x]+ln[3x−1]+C 
 
 
 
Explicação: 
Faça: 2∫1x2−1dx2∫1x2−1dx 
Depois: x2−1=−(−x2+1)x2−1=−(−x2+1) 
 
 
O comprimento do arco de parábola y=x2+1y=x2+1, para 0≤x≤20≤x≤2 terá um valor de: 
 
 
171/2+14171/2+14 
 
 
17+ln[4+171/2]17+ln[4+171/2] 
 
 
14∗ln[4+171/2]14∗ln[4+171/2] 
 
 
171/2171/2 
 
 
171/2+14∗ln[4+171/2]171/2+14∗ln[4+171/2] 
 
 
 
Explicação: 
Para encontrar o comprimento do arco: 
f′(x)=2xf′(x)=2x 
L=∫ba(1+[f′(x)]2)1/2dxL=∫ab(1+[f′(x)]2)1/2dx 
Onde: a = 0 e b = 2 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Qual a área da região definida pela 
função f(x)=−2x+5f(x)=−2x+5, o eixo x e as 
retas x=0x=0 e x=1x=1? 
 
 
Área: 4 unidades quadradas 
 
 
Área: 6 unidades quadradas 
 
 
Área: 1212 unidade quadrada 
 
 
Área: 2 unidades quadradas 
 
 
Área: 8 unidades quadradas 
 
 
 
Explicação: 
A área pode ser calculada através da resolução da integral definida: 
∫10[−2x+5]dx∫01[−2x+5]dx 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Seja f(x)=x2f(x)=x2, com 0≤x≤20≤x≤2 
Determine o volume do sólido obtido pela revolução do gráfico de 
f(x) em torno do eixo x. 
 
 
32π32π unidades cúbicas 
 
 
2π52π5 unidades cúbicas 
 
 
32π532π5 unidades cúbicas 
 
 
3π53π5 unidades cúbicas 
 
 
π5π5 unidades cúbicas 
 
 
 
Explicação: 
Para encontrar o volume, o aluno deve resolver a integral: 
V = ∫20π(x2)2dx∫02π(x2)2dx 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Dada um função definida como f(x)=3f(x)=3, o volume do sólido 
de revolução, no intervalo x=0x=0 a x=5x=5 , obtido pela 
rotação de f(x) em torno do eixo x, é dado por: 
 
 
90π90π unidades cúbicas 
 
 
50π50π unidades cúbicas 
 
 
45π45π unidades cúbicas 
 
 
25π25π unidades cúbicas 
 
 
9π9π unidades cúbicas 
 
 
 
Explicação: 
A resposta pode ser facilmente encontrada aplicando-se: 
V=∫50π∗32dxV=∫05π∗32dx 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Calcule a área delimitada pelas 
funções f(x)=x+1f(x)=x+1 e g(x)=x2−1g(x)=x2−1. 
 
 
Área = 9494 unidades quadradas 
 
 
Área = 7272 unidades quadradas 
 
 
Área = 9292 unidades quadradas 
 
 
Área = 99 unidades quadradas 
 
 
Área = 1212 unidades quadradas 
 
 
 
Explicação: 
O aluno deve determinar os pontos de intersecção entre as funções, assim como fazer um esboço do 
gráfico: 
Os pontos de intersecção são: (-1,0) e (2,3) 
Logo, pelo esboço do gráfico: 
∫2−1[x+1−(x2−1)]dx∫−12[x+1−(x2−1)]dx6. 
 
 
Seja f(x)=x2f(x)=x2 com 0≤x≤20≤x≤2 
Determine o volume do sólido gerado pela revolução do gráfico de 
f(x) em torno do eixo y. 
 
 
Volume = 8π8π unidades cúbicas 
 
 
Volume = 32π32π unidades cúbicas 
 
 
Volume = 64π64π unidades cúbicas 
 
 
Volume = 8π8π unidades cúbicas 
 
 
Volume = 2π2π unidades cúbicas 
 
 
 
 
Determine o intervalo de valores em que a função h(x)=√ 4−x2h(x)=4−x2 é contínua. 
 
 
 
[−2,2][−2,2] 
 
 
(−2,2)(−2,2) 
 
 
∀x∈R∀x∈ℜ 
 
 
(−∞,2](−∞,2] 
 
 
[−2,+∞)[−2,+∞) 
 
 
 
Explicação: 
A função h(x) pode ser entendido como uma função composta f¿g. 
f(x)=√ x f(x)=x contínua para todo x positivo 
g(x)=4−x2g(x)=4−x2 contínua em toda parte 
Consequentemente, h(x) é contínua em todo número x para o qual g(x) > 0, isto é, 4 - x2 > 0. 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Sobre a função f(x)=1√ x2−3x+21x2−3x+2 é possível afirmar que 
sua continuidade é garantida em: 
 
 
A função f não é contínua para qualquer x real 
 
 
(−∞,1)(−∞,1) U (2,+∞)(2,+∞) 
 
 
(−1,−2)(−1,−2) 
 
 
(−∞,+∞)(−∞,+∞) 
 
 
(−∞,−1](−∞,−1] U [2,+∞+∞) 
 
 
 
Explicação: 
O aluno deve estudar a função quanto ao seu domínio considerando: 
x2−3x+2x2−3x+2 > 0 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Determinar o maior intervalo (ou união de intervalos) em que a 
função a seguir é contínua: 
√ 25−x2 x+525−x2x+5 
 
 
 
A função é contínua ∀x∈R∀x∈ℜ 
 
 
A função é contínua no intervalo: (0,5] 
 
 
A função é contínua no intervalo: (-∞∞,5] 
 
 
A função é contínua no intervalo (-5,5] 
 
 
A função é contínua no intervalo: (-5,+∞)+∞) 
 
 
 
Explicação: 
Primeiro determinamos o domínio de f: 
A função é definida em qualquer parte, exceto quando x = - 5 ou 25 - x2 < 0 (isto é, quando x < - 5 ou 
x > 5). 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Determine o maior intervalo (ou a união de intervalos) para o qual 
a função f(x) é contínua. Dado: 
f(x)=√ x2−9(x+7) f(x)=x2−9(x+7) 
 
 
 
[−7,−3)[−7,−3) 
 
 
[3,+∞)[3,+∞) 
 
 
A função é contínua para ∀x∈R∀x∈ℜ 
 
 
(−7,−3]⋃[3,+∞)(−7,−3]⋃[3,+∞) 
 
 
(−∞,3](−∞,3] 
 
 
 
Explicação: 
A função f(x) deve ser contínua. Desta forma, f não é definida quando: 
(x2−9)(x+7)(x2−9)(x+7) < 0 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
A função f(x) = 5x2+8x−33x2−25x2+8x−33x2−2 é contínua no 
intervalo: 
 
 
Apenas em [−√ 6 ,+∞)[−6,+∞) 
 
 
∀x∀x ∈∈ R, exceto x = −√ 6 3−63 e x = √ 6 363 
 
 
Apenas em (√ 6 ,+∞)(6,+∞) 
 
 
(−∞,+∞)(−∞,+∞) 
 
 
A função não é contínua apenas em x = 0 
 
 
 
Explicação: 
O numerador é um polinômio e, portanto, contínuo para todo x real. 
O denominador dever ser diferente de zero. 
3x2−2≠03x2−2≠0 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Encontre as assíntotas do gráfico da função f(x) = −8x2−4−8x2−4 
 
 
 
x = -2, x = 1212 e y = 0 
 
 
x = 2 e y = 0 
 
 
x = -2, x = 0 e y = 2 
 
 
x = 2, x = 3 e y = -1 
 
 
x = -2, x = 2 e y = 0 
 
 
 
Determine o intervalo de valores em que a função h(x)=√ 4−x2h(x)=4−x2 é contínua. 
 
 
 
(−2,2)(−2,2) 
 
 
∀x∈R∀x∈ℜ 
 
 
(−∞,2](−∞,2] 
 
 
[−2,2][−2,2] 
 
 
[−2,+∞)[−2,+∞) 
 
 
 
Explicação: 
A função h(x) pode ser entendido como uma função composta f¿g. 
f(x)=√ x f(x)=x contínua para todo x positivo 
g(x)=4−x2g(x)=4−x2 contínua em toda parte 
Consequentemente, h(x) é contínua em todo número x para o qual g(x) > 0, isto é, 4 - x2 > 0. 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Sobre a função f(x)=1√ x2−3x+21x2−3x+2 é possível afirmar que 
sua continuidade é garantida em: 
 
 
(−1,−2)(−1,−2) 
 
 
(−∞,+∞)(−∞,+∞) 
 
 
(−∞,1)(−∞,1) U (2,+∞)(2,+∞) 
 
 
A função f não é contínua para qualquer x real 
 
 
(−∞,−1](−∞,−1] U [2,+∞+∞) 
 
 
 
Explicação: 
O aluno deve estudar a função quanto ao seu domínio considerando: 
x2−3x+2x2−3x+2 > 0 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Determinar o maior intervalo (ou união de intervalos) em que a 
função a seguir é contínua: 
√ 25−x2 x+525−x2x+5 
 
 
 
A função é contínua no intervalo: (-5,+∞)+∞) 
 
 
A função é contínua no intervalo (-5,5] 
 
 
A função é contínua ∀x∈R∀x∈ℜ 
 
 
A função é contínua no intervalo: (-∞∞,5] 
 
 
A função é contínua no intervalo: (0,5] 
 
 
 
Explicação: 
Primeiro determinamos o domínio de f: 
A função é definida em qualquer parte, exceto quando x = - 5 ou 25 - x2 < 0 (isto é, quando x < - 5 ou 
x > 5). 
 
 
 
 
 
4. 
 
Determine o maior intervalo (ou a união de intervalos) para o qual 
a função f(x) é contínua. Dado: 
 
f(x)=√ x2−9(x+7) f(x)=x2−9(x+7) 
 
 
 
A função é contínua para ∀x∈R∀x∈ℜ 
 
 
(−∞,3](−∞,3] 
 
 
(−7,−3]⋃[3,+∞)(−7,−3]⋃[3,+∞) 
 
 
[3,+∞)[3,+∞) 
 
 
[−7,−3)[−7,−3) 
 
 
 
Explicação: 
A função f(x) deve ser contínua. Desta forma, f não é definida quando: 
(x2−9)(x+7)(x2−9)(x+7) < 0 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
A função f(x) = 5x2+8x−33x2−25x2+8x−33x2−2 é contínua no 
intervalo: 
 
 
∀x∀x ∈∈ R, exceto x = −√ 6 3−63 e x = √ 6 363 
 
 
Apenas em [−√ 6 ,+∞)[−6,+∞) 
 
 
A função não é contínua apenas em x = 0 
 
 
Apenas em (√ 6 ,+∞)(6,+∞) 
 
 
(−∞,+∞)(−∞,+∞) 
 
 
 
Explicação: 
O numerador é um polinômio e, portanto, contínuo para todo x real. 
O denominador dever ser diferente de zero. 
3x2−2≠03x2−2≠0 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Encontre as assíntotas do gráfico da função f(x) = −8x2−4−8x2−4 
 
 
 
x = 2 e y = 0 
 
 
x = -2, x = 2 e y = 0 
 
 
x = 2, x = 3 e y = -1 
 
 
x = -2, x = 1212 e y = 0 
 
 
x = -2, x = 0 e y = 2 
 
 
 
 
 
Encontre a derivada de y=1x∗(x2+1x)y=1x∗(x2+1x) 
 
 
 
y′=2x3y′=2x3 
 
 
y′=2−3x3y′=2−3x3 
 
 
 
y′=1−2x2y′=1−2x2 
 
 
y′=1−2x3y′=1−2x3 
 
 
y′=1+2x3y′=1+2x3 
 
 
 
Explicação: 
O aluno deve aplicar a regra do produto com u=1xu=1x e v=x2+1xv=x2+1x 
Então: ddx(uv)=udvdx+vdudxddx(uv)=udvdx+vdudx 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Em quais pontos o gráfico da função f(x) 
= x2−4x−1x2−4x−1 possui tangentes horizontais? 
 
 
Apenas no ponto (-2,-5) 
 
 
Apenas no ponto (2,-5) 
 
 
Apenas no ponto (0,0) 
 
 
Apenas no ponto (0,5) 
 
 
Apenas no ponto (-3,2) 
 
 
 
Explicação: 
O aluno deve derivar a função f(x). 
f′(x)=2x−4f′(x)=2x−4 
A qual é zero, quando x = 2. Assim, a tangente horizontal será dada em (2,-5). 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Encontre as tangentes horizontais no gráfico da função f(x) 
= x4−2x2+2x4−2x2+2 
 
 
As tangentes horizontais serão encontradas em (0,0), (0,1) e (-1,0). 
 
 
As tangentes horizontais serão encontradas em (0,2), (1,1) e (-1,1). 
 
 
As tangentes horizontais serão encontradas em (1,1) e (-1,1). 
 
 
Não há tangentes horizontais para a função f(x) informada no problema. 
 
 
As tangentes horizontais serão encontradas em (0,2), (1,1). 
 
 
 
Explicação: 
O aluno deve encontrar a derivada: 
f′(x)=4x3−4xf′(x)=4x3−4x 
Quando f′(x)=0f′(x)=0, x = 0, 1 ou -1. 
Assim, as tangentes horizontais estarão em (0,2), (1,1) e (-1,1) 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
A derivada 
implícita dxdydxdy quando 5y2+sen(y)=x25y2+sen(y)=x2 é co
rretamente dada por: 
 
 
 
dxdy=10y+cos(y)2xdxdy=10y+cos(y)2x 
 
 
dxdy=2x10y+cos(y)dxdy=2x10y+cos(y) 
 
 
dxdy=−2x10y+cos(y)dxdy=−2x10y+cos(y) 
 
 
dxdy=−10y+cos(y)2xdxdy=−10y+cos(y)2xdxdy=10ysin(x)dxdy=10ysin(x) 
 
 
 
Explicação: 
Após a derivação à esquerda e á direita temos: 
10ydydx+cos(y)dydx=2x10ydydx+cos(y)dydx=2x 
Arrumando os termos, temos a resposta: a 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Através da diferenciação implícita, calcule dydxdydx para 
a equação x2−5xy+3y2=7x2−5xy+3y2=7 
 
 
dydx=2x+5y5x−ydydx=2x+5y5x−y 
 
 
dydx=2x−5y5x−6ydydx=2x−5y5x−6y 
 
 
dydx=2x−y5x−ydydx=2x−y5x−y 
 
 
dydx=x−5yx−6ydydx=x−5yx−6y 
 
 
dydx=x−yx+ydydx=x−yx+y 
 
 
 
Explicação: 
Diferenciando: 2x−5xdydx−5y+6ydydx=02x−5xdydx−5y+6ydydx=0 
Rearranjndo os termos, o aluno encontra a resposta da questão 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Encontre a derivada de y=x2−1x2+1y=x2−1x2+1 
 
 
 
f′(x)=f′(x)=−3+x(x2−1)2−3+x(x2−1)2 
 
 
f′(x)=f′(x)=4x(x2−1)24x(x2−1)2 
 
 
f′(x)=f′(x)=3+x(x2+1)23+x(x2+1)2 
 
 
f′(x)=f′(x)=x(x2+1)2x(x2+1)2 
 
 
f′(x)=f′(x)=4x(x2+1)24x(x2+1)2 
 
 
A derivada da função exp(x2x3−1)exp(x2x3−1) é dada por: 
 
 
f′(x)=exp(xx3−1)∗[xx3−1−x4(x3−1)2]f′(x)=exp(xx3−1)∗[xx3−1−x4(x3−1)2] 
 
 
f′(x)=exp(x2x3−1)∗[2xx3−1−3x4(x3−1)2]f′(x)=exp(x2x3−1)∗[2xx3−1−3x4(x3−1)2] 
 
 
f′(x)=exp(1x3−1)∗[2x3−1−x4(x−1)2]f′(x)=exp(1x3−1)∗[2x3−1−x4(x−1)2] 
 
 
f′(x)=exp(x2x31)∗[2xx3+1−x4(x3−1)2]f′(x)=exp(x2x31)∗[2xx3+1−x4(x3−1)2] 
 
 
f′(x)=exp(x2x−1)∗[2xx−1−x4(x−1)2]f′(x)=exp(x2x−1)∗[2xx−1−x4(x−1)2] 
 
 
 
Explicação: 
O aluno deve fazer u=x2x3−1u=x2x3−1 e, então, aplicar: 
exp(u)∗dudxexp(u)∗dudx 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Um objeto apresenta apresenta uma função posição descrita pela 
função f(x)=x∗sin(π∗t)+1x∗cos(t2)f(x)=x∗sin(π∗t)+1x∗cos(t2)
, onde t é dado em horas e x em metros. Derivando apenas em 
função de x, a aceleração do objeto em t=π2t=π2 horas é dada 
por: 
 
 
π2π2 m/h2 
 
 
[2]12x3[2]12x3 m/h2 
 
 
x32x32 m/h2 
 
 
Zero 
 
 
πx2+1πx2+1 m/h2 
 
 
 
Explicação: 
O aluno deve clacular a segunda derivada da função f: 
f′′(x)=2∗cos(t2)x3f″(x)=2∗cos(t2)x3 
e, então, aplicar o tempo sugerido no problema. 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Encontre a derivada da 
função f(x)=sin(x)(1+sin(x))2f(x)=sin(x)(1+sin(x))2 
 
 
f′(x)=cos(x)∗sin(x)[1+sin(x)]3f′(x)=cos(x)∗sin(x)[1+sin(x)]3 
 
 
f′(x)=cos(2x)∗[1−sin(x)][1+sin(x)]2f′(x)=cos(2x)∗[1−sin(x)][1+sin(x)]2 
 
 
f′(x)=tan(x)∗[1−sin(x)][1+cos(x)]3f′(x)=tan(x)∗[1−sin(x)][1+cos(x)]3 
 
 
f′(x)=cos(x)∗[1+sin(2x)][1−sin(x)]2f′(x)=cos(x)∗[1+sin(2x)][1−sin(x)]2 
 
 
f′(x)=cos(x)∗[1−sin(x)][1+sin(x)]3f′(x)=cos(x)∗[1−sin(x)][1+sin(x)]3 
 
 
 
Explicação: 
O aluno deve aplicar a regra do quociente e as derivadas das funções trigonométricas correspondentes: 
fg′=f′∗g−g′∗fg2fg′=f′∗g−g′∗fg2 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Derive a função f(x)=1(1+sin(x))2f(x)=1(1+sin(x))2 
 
 
 
f′(x)=cos(x)[1+sin(x)]2f′(x)=cos(x)[1+sin(x)]2 
 
 
f′(x)=2∗cos(x)[1+cos(x)]4f′(x)=2∗cos(x)[1+cos(x)]4 
 
 
f′(x)=−2∗cos(x)[1+sin(x)]3f′(x)=−2∗cos(x)[1+sin(x)]3 
 
 
f′(x)=cos(x)[1+sec(x)]2f′(x)=cos(x)[1+sec(x)]2 
 
 
f′(x)=sin(x)[1+sin(x)]3f′(x)=sin(x)[1+sin(x)]3 
 
 
 
Explicação: 
Faça: u=1+sin(x)u=1+sin(x) 
f(u)=u−2f(u)=u−2 
f′(u)=−2∗1u3f′(u)=−2∗1u3 
dudx=cos(x)dudx=cos(x) 
d(f(u)dx=dfdu∗dudxd(f(u)dx=dfdu∗dudx 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
A derivada da função exp(−xx2+3x−5)exp⁡(−xx2+3x−5) é dada 
por: 
 
 
f′(x)=exp(−xx2+x−5)∗[x∗(x+3)(x2+3x−5)2−1x2+x−5]f′(x)=exp(−xx2+x−5)∗[x∗(x+3)(x2+3x−5)2−1x
2+x−5] 
 
 
f′(x)=exp(xx3+3−5x)∗[x∗(x+3)(x3+3−5)2−xx2+3x−5]f′(x)=exp(xx3+3−5x)∗[x∗(x+3)(x3+3−5)2−xx2
+3x−5] 
 
 
f′(x)=exp(xx2+x−5)∗[x∗(2x−3)(x2+3x−5)3−xx2+3x−5]f′(x)=exp(xx2+x−5)∗[x∗(2x−3)(x2+3x−5)3−xx
2+3x−5] 
 
 
f′(x)=exp(−xx2+3x−5)∗[x∗(2x+3)(x2+3x−5)2−1x2+3x−5]f′(x)=exp(−xx2+3x−5)∗[x∗(2x+3)(x2+3x−5)2
−1x2+3x−5] 
 
 
f′(x)=(−xx2+3x−5)∗[x∗(2x+3)(x2+3x−5)2−1x2+3x−5]f′(x)=(−xx2+3x−5)∗[x∗(2x+3)(x2+3x−5)2−1x2
+3x−5] 
 
 
 
Explicação: 
O aluno deve fazer: u=−xx2+3x−5u=−xx2+3x−5 e, então: 
exp(u)∗dudxexp(u)∗dudx 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Um objeto possui um movimento descrito pela 
função s(t)=x3t3−5xt2+3ts(t)=x3t3−5xt2+3t, onde x é dado 
em metros e t em horas. Assim sendo, em função apenas de t, as 
funções que descrevem a velocidade e a aceleração do objeto 
são, respectivamente: 
 
 
 
Velocidade: f′(x)=3x3t2−10xt+3f′(x)=3x3t2−10xt+3 
Aceleração: f′′(x)=x3t−xf″(x)=x3t−x 
 
 
Velocidade: f′(x)=3x3t2f′(x)=3x3t2 
Aceleração: f′′(x)=6x3tf″(x)=6x3t 
 
 
Velocidade: f′(x)=x3t2−xt+3f′(x)=x3t2−xt+3 
Aceleração: f′′(x)=6x3t−10xf″(x)=6x3t−10x 
 
 
Velocidade: f′(x)=x2t2−10t+3f′(x)=x2t2−10t+3 
Aceleração: f′′(x)=2xt−10f″(x)=2xt−10 
 
 
Velocidade: f′(x)=3x3t2−10xt+3f′(x)=3x3t2−10xt+3 
Aceleração: f′′(x)=6x3t−10xf″(x)=6x3t−10x 
 
 
Encontre a derivada de y=1x∗(x2+1x)y=1x∗(x2+1x) 
 
 
y′=2−3x3y′=2−3x3 
 
 
 
y′=1+2x3y′=1+2x3 
 
 
y′=1−2x3y′=1−2x3 
 
 
y′=1−2x2y′=1−2x2 
 
 
y′=2x3y′=2x3 
 
 
 
Explicação: 
O aluno deve aplicar a regra do produto com u=1xu=1x e v=x2+1xv=x2+1x 
Então: ddx(uv)=udvdx+vdudxddx(uv)=udvdx+vdudx 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Em quais pontos o gráfico da função f(x) 
= x2−4x−1x2−4x−1 possui tangentes horizontais? 
 
 
 
Apenas no ponto (-2,-5) 
 
 
Apenas no ponto (0,0) 
 
 
Apenas no ponto (0,5) 
 
 
Apenas no ponto (2,-5) 
 
 
Apenas no ponto (-3,2) 
 
 
 
Explicação: 
O aluno deve derivar a função f(x). 
f′(x)=2x−4f′(x)=2x−4 
A qual é zero, quando x = 2. Assim, a tangente horizontal será dada em (2,-5). 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Encontre as tangentes horizontais no gráfico da função f(x) 
= x4−2x2+2x4−2x2+2 
 
 
As tangentes horizontais serão encontradas em (0,0), (0,1) e (-1,0). 
 
 
Não há tangentes horizontais para a função f(x) informada no problema. 
 
 
As tangentes horizontais serão encontradas em (0,2), (1,1) e (-1,1). 
 
 
As tangentes horizontais serão encontradas em (0,2), (1,1). 
 
 
As tangentes horizontais serão encontradas em (1,1) e (-1,1). 
 
 
 
Explicação: 
O aluno deve encontrar a derivada: 
f′(x)=4x3−4xf′(x)=4x3−4x 
Quando f′(x)=0f′(x)=0, x = 0, 1 ou -1. 
Assim, as tangentes horizontais estarão em (0,2), (1,1) e (-1,1) 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
A derivada 
implícita dxdydxdy quando 5y2+sen(y)=x25y2+sen(y)=x2 é co
rretamente dada por: 
 
 
 
dxdy=10ysin(x)dxdy=10ysin(x) 
 
 
dxdy=10y+cos(y)2xdxdy=10y+cos(y)2x 
 
 
dxdy=2x10y+cos(y)dxdy=2x10y+cos(y) 
 
 
dxdy=−10y+cos(y)2xdxdy=−10y+cos(y)2x 
 
 
dxdy=−2x10y+cos(y)dxdy=−2x10y+cos(y) 
 
 
 
Explicação: 
Após a derivação à esquerda e á direita temos: 
10ydydx+cos(y)dydx=2x10ydydx+cos(y)dydx=2x 
Arrumando os termos, temos a resposta: a 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Através da diferenciação implícita, calcule dydxdydx para 
a equação x2−5xy+3y2=7x2−5xy+3y2=7 
 
 
dydx=x−yx+ydydx=x−yx+y 
 
 
dydx=2x−5y5x−6ydydx=2x−5y5x−6y 
 
 
dydx=2x+5y5x−ydydx=2x+5y5x−y 
 
 
dydx=2x−y5x−ydydx=2x−y5x−y 
 
 
dydx=x−5yx−6ydydx=x−5yx−6y 
 
 
 
Explicação: 
Diferenciando: 2x−5xdydx−5y+6ydydx=02x−5xdydx−5y+6ydydx=0 
Rearranjndo os termos, o aluno encontra a resposta da questão 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Encontre a derivada 
de y=x2−1x2+1y=x2−1x2+1 
 
 
 
f′(x)=f′(x)=3+x(x2+1)23+x(x2+1)2 
 
 
f′(x)=f′(x)=4x(x2+1)2 4x(x2+1)2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A derivada da função exp(x2x3−1)exp(x2x3−1) é dada por:f′(x)=exp(x2x3−1)∗[2xx3−1−3x4(x3−1)2] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Explicação: 
O aluno deve fazer u=x2x3−1u=x2x3−1 e, então, aplicar: 
exp(u)∗dudxexp(u)∗dudx 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Um objeto apresenta apresenta uma função posição descrita pela 
função f(x)=x∗sin(π∗t)+1x∗cos(t2)f(x)=x∗sin(π∗t)+1x∗cos(t2)
, onde t é dado em horas e x em metros. Derivando apenas em 
função de x, a aceleração do objeto em t=π2t=π2 horas é dada 
por: 
 
 
πx2+1πx2+1 m/h2 
 
 
Zero 
 
 
[2]12x3[2]12x3 m/h2 
 
 
π2π2 m/h2 
 
 
x32x32 m/h2 
 
 
 
Explicação: 
O aluno deve clacular a segunda derivada da função f: 
f′′(x)=2∗cos(t2)x3f″(x)=2∗cos(t2)x3 
e, então, aplicar o tempo sugerido no problema. 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Encontre a derivada da 
função f(x)=sin(x)(1+sin(x))2f(x)=sin(x)(1+sin(x))2 
 
 
f′(x)=tan(x)∗[1−sin(x)][1+cos(x)]3f′(x)=tan(x)∗[1−sin(x)][1+cos(x)]3 
 
 
f′(x)=cos(x)∗sin(x)[1+sin(x)]3f′(x)=cos(x)∗sin(x)[1+sin(x)]3 
 
 
f′(x)=cos(x)∗[1−sin(x)][1+sin(x)]3f′(x)=cos(x)∗[1−sin(x)][1+sin(x)]3 
 
 
f′(x)=cos(2x)∗[1−sin(x)][1+sin(x)]2f′(x)=cos(2x)∗[1−sin(x)][1+sin(x)]2 
 
 
f′(x)=cos(x)∗[1+sin(2x)][1−sin(x)]2f′(x)=cos(x)∗[1+sin(2x)][1−sin(x)]2 
 
 
 
Explicação: 
O aluno deve aplicar a regra do quociente e as derivadas das funções trigonométricas correspondentes: 
fg′=f′∗g−g′∗fg2fg′=f′∗g−g′∗fg2 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Derive a função f(x)=1(1+sin(x))2f(x)=1(1+sin(x))2 
 
 
 
f′(x)=−2∗cos(x)[1+sin(x)]3f′(x)=−2∗cos(x)[1+sin(x)]3 
 
 
f′(x)=sin(x)[1+sin(x)]3f′(x)=sin(x)[1+sin(x)]3 
 
 
f′(x)=cos(x)[1+sin(x)]2f′(x)=cos(x)[1+sin(x)]2 
 
 
f′(x)=cos(x)[1+sec(x)]2f′(x)=cos(x)[1+sec(x)]2 
 
 
f′(x)=2∗cos(x)[1+cos(x)]4f′(x)=2∗cos(x)[1+cos(x)]4 
 
 
 
Explicação: 
Faça: u=1+sin(x)u=1+sin(x) 
f(u)=u−2f(u)=u−2 
f′(u)=−2∗1u3f′(u)=−2∗1u3 
dudx=cos(x)dudx=cos(x) 
d(f(u)dx=dfdu∗dudxd(f(u)dx=dfdu∗dudx 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
A derivada da função exp(−xx2+3x−5)exp⁡(−xx2+3x−5) é dada 
por: 
 
 
f′(x)=(−xx2+3x−5)∗[x∗(2x+3)(x2+3x−5)2−1x2+3x−5]f′(x)=(−xx2+3x−5)∗[x∗(2x+3)(x2+3x−5)2−1x2
+3x−5] 
 
 
f′(x)=exp(xx3+3−5x)∗[x∗(x+3)(x3+3−5)2−xx2+3x−5]f′(x)=exp(xx3+3−5x)∗[x∗(x+3)(x3+3−5)2−xx2
+3x−5] 
 
 
f′(x)=exp(−xx2+x−5)∗[x∗(x+3)(x2+3x−5)2−1x2+x−5]f′(x)=exp(−xx2+x−5)∗[x∗(x+3)(x2+3x−5)2−1x
2+x−5] 
 
 
f′(x)=exp(−xx2+3x−5)∗[x∗(2x+3)(x2+3x−5)2−1x2+3x−5]f′(x)=exp(−xx2+3x−5)∗[x∗(2x+3)(x2+3x−5)2
−1x2+3x−5] 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Um objeto possui um movimento descrito pela 
função s(t)=x3t3−5xt2+3ts(t)=x3t3−5xt2+3t, onde x é dado em 
metros e t em horas. Assim sendo, em função apenas de t, as 
funções que descrevem a velocidade e a aceleração do objeto 
são, respectivamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Velocidade: f′(x)=3x3t2−10xt+3f′(x)=3x3t2−10xt+3 
Aceleração: f′′(x)=6x3t−10xf″(x)=6x3t−10x 
 
 
 
 
 
Sobre o gráfico da função f(x)=1√ x2−3x+9 f(x)=1x2−3x+9 é correto afirmar que: 
 
 
 
Apresenta assíntota vertical em x = 3 
 
 
Nunca intercepta o eixo y 
 
 
Não é contínua em x = 0 
 
 
Apresenta assíntota horizontal em y = 0 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Sobre a função f(x)=x3−6x2+5x−7f(x)=x3−6x2+5x−7 é 
correto afirmar que: 
 
 
Apresenta concavidade voltada para baixo no intervalo (−∞,+∞)(−∞,+∞) 
 
 
Apresenta concavidade voltada para cima no intervalo (−∞,0)(−∞,0) 
 
 
Apresenta um ponto de máximo em x = 6−√ 21 36−213 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
A função f(x)=x2−2xf(x)=x2−2x apresenta a seguinte 
característica: 
 
 
Apresenta assíntota horizontal definida em y = x 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Os intervalos para os quais a 
função f(x)=x3−3x2+5f(x)=x3−3x2+5 é Crescente e Decrescen
te são, respectivamente, dados por: 
 
 
(−∞,0](−∞,0]; e, [0,2] 
 
 
(−∞,0](−∞,0] e [2,+∞)[2,+∞); e, [0,2] 
 
 
 
 
5. 
 
 
A função f(x)=√ xx+5 f(x)=xx+5 apresenta: 
 
 
Uma assíntota horizontal em y = 1 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Encontre os intervalos para os quais a 
função f(x)=x4−3x2+5f(x)=x4−3x2+5 apresenta-se como uma 
função crescente. 
 
 
A função será crescente em [−√ 3/ 2 ;0] e [√ 3/2 ;+∞) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere a função f(x)=x2−5x+7f(x)=x2−5x+7. Encontre o mínimo absoluto no intervalo [-1,3] 
 
 
O mínimo absoluto no intervalo citado ocorre em x=12x=12 
 
 
O mínimo absoluto no intervalo citado ocorre em x=72x=72 
 
 
O mínimo absoluto no intervalo citado ocorre em x=−52x=−52 
 
 
O mínimo absoluto no intervalo citado ocorre em x=52x=52 
 
 
O mínimo absoluto no intervalo citado ocorre em x=−72x=−72 
 
 
 
Explicação: 
f′(x)=2x−5f′(x)=2x−5 
f′(x)=0f′(x)=0 ⇒ x=52x=52 
f(1) = 1 
f(5/2) = 3/4 
f(2) = 1 
Logo, x = 5/2 será o mínimo no intervalo citado na questão 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
O limite limx→0sin(x)xlimx→0sin(x)x é corretamente indicado 
por: 
 
 
−∞−∞ 
 
 
0000 
 
 
0 
 
 
∞∞ 
 
 
1 
 
 
 
Explicação: 
O aluno deve aplicar a regra de L'Hospital: 
limx→0sin(x)x=limx→0cos(x)1=11=1limx→0sin(x)x=limx→0cos(x)1=11=1 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Uma empresa de embalagens recebeu um pedido de caixas de 
papelão, onde o solicitante exigiu apenas que as caixas tivessem 15 
litros de capacidade e uma altura de 20 centímetros. Quais são as 
dimensões das caixas para se obter o menor custo com o papelão? 
Obs: as caixas devem ser no formato de paralelepípedos retos. 
 
 
As caixas devem ter o fundo quadrado de dimensões aproximadas de 17,386 cm x 17,386 cm 
 
 
As caixas devem ter o fundo quadrado de dimensões aproximadas de 27,386 cm x 27,386 cm 
 
 
As caixas devem ter o fundo quadrado de dimensões aproximadas de 20,5 cm x 27,386 cm 
 
 
As caixas devem ter o fundo quadrado de dimensões aproximadas de 21,386 cm x 21,386 cm 
 
 
As caixas devem ter o fundo quadrado de dimensões aproximadas de 7,4 cm x 25,386 cm 
 
 
 
Explicação: 
1 L = 1000 cm3 
Volume da caixa: V=abhV=abh 
15000=ab∗2015000=ab∗20 ⇒ a=750ba=750b 
Área da caixa: A=2(ab+ah+bh)A=2(ab+ah+bh) 
A=1500+30000b+40abA=1500+30000b+40ab 
dAdb=−30000b2+40dAdb=−30000b2+40 
Resolvendo: b=75012b=75012 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
O limite dado por limx→0sin(x)−tan(x)x3limx→0sin(x)−tan(x)x3 é 
igual a: 
 
 
+∞+∞ 
 
 
−12−12 
 
 
1 
 
 
−∞−∞ 
 
 
0 
 
 
 
Explicação: 
Devemos aplicar a regra de L'Hôpital: 
f(x)=sin(x)−tan(x)f(x)=sin(x)−tan(x) 
 
f′′′(x)=−2∗(sec(x))2(tan(x))2−2∗(sec(x))4−cos(x)f‴(x)=−2∗(sec(x))2(tan(x))2−2∗(sec(x))4−cos(x) 
g(x)=x3g(x)=x3 
 
g′′′(x)=6g‴(x)=6 
limx→0f′′′(x)g′′′(x)limx→0f‴(x)g‴(x) 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
O limite dado por limx→1sin(πx)x−1limx→1sin(πx)x−1 é dado 
por: 
 
 
0000 
 
 
−∞−∞ 
 
 
−π−π 
 
 
 
 
 
 
Encontre a integral indefinida para ∫[sin(x)]3dx∫[sin(x)]3dx 
 
 
−cos(x)+[cos(x)]33+C−cos(x)+[cos(x)]33+C 
 
 
[cos(x)]33+C[cos(x)]33+C 
 
 
−sin(x)+[cos(x)]24+C−sin(x)+[cos(x)]24+C 
 
 
−sin(x)+[cos(x)]23+C−sin(x)+[cos(x)]23+C 
 
 
−cos(x)+C−cos(x)+C 
 
 
 
Explicação: 
Faça:∫[sin(x)]3dx=∫[1−[cos(x)]2]∗sin(x)]dx∫[sin(x)]3dx=∫[1−[cos(x)]2]∗sin(x)]dx 
Depois aplique: cos(x)=ucos(x)=u, −sin(x)dx=du−sin(x)dx=du 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Encontre a integral indefinida ∫[cos(x)]3dx∫[cos(x)]3dxcos(x)−[sin(x)]23+Ccos(x)−[sin(x)]23+C 
 
 
sin(x)−[sin(x)]33+Csin(x)−[sin(x)]33+C 
 
 
cos(x)−[cos(x)]33+Ccos(x)−[cos(x)]33+C 
 
 
sin(x)−[sin(x)]24+Csin(x)−[sin(x)]24+C 
 
 
−sin(2x)−[sin(x)]33+C−sin(2x)−[sin(x)]33+C 
 
 
 
Explicação: 
Faça: ∫(1−[sin(x)]2)∗cos(x)∗dx∫(1−[sin(x)]2)∗cos(x)∗dx 
Depois: u=sin(x)u=sin(x) 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Encontre a integral indefinida ∫x22x+1dx∫x22x+1dx 
 
 
 
4x2−4x+2∗ln[2x+1]−3+C4x2−4x+2∗ln[2x+1]−3+C 
 
 
[x2−x+2∗ln[2x+1]−3]+C[x2−x+2∗ln[2x+1]−3]+C 
 
 
116∗[−4x+ln[2x+1]]+C116∗[−4x+ln[2x+1]]+C 
 
 
116∗[4x2+2∗ln[2x+1]]+C116∗[4x2+2∗ln[2x+1]]+C 
 
 
116∗[4x2−4x+2∗ln[2x+1]−3]+C116∗[4x2−4x+2∗ln[2x+1]−3]+C 
 
 
 
Explicação: 
A técnica de frações parciais deve ser aplicada ou, mais rapidamente, a substituição: 
u=2x+1u=2x+1 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Encontre a integral 
indefinida ∫(x2+3x−3)(x−1)dx∫(x2+3x−3)(x−1)dx 
 
 
5x+ln[x−1]+12∗(x−1)2−5+C5x+ln[x−1]+12∗(x−1)2−5+C 
 
 
5+12∗(x−1)2−3+C5+12∗(x−1)2−3+C 
 
 
ln[x−1]+52∗(x−1)3+Cln[x−1]+52∗(x−1)3+C 
 
 
x−ln[x+1]+23∗(x+1)2−5+Cx−ln[x+1]+23∗(x+1)2−5+C 
 
 
x+ln[x+1]+14∗(x−1)3−5+Cx+ln[x+1]+14∗(x−1)3−5+C 
 
 
 
Explicação: 
Faça: ∫x2(x−1)dx+∫3x(x−1)dx−∫3(x−1)dx∫x2(x−1)dx+∫3x(x−1)dx−∫3(x−1)dx 
Aplique a divisão de polinômios e a técnica de frações parciais 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Encontre a integral indefinida ∫x2x+1dx∫x2x+1dx 
 
 
 
(x+1)2+(x+1)+ln[x]+C(x+1)2+(x+1)+ln[x]+C 
 
 
(x)22+x+1+ln[x]+C(x)22+x+1+ln[x]+C 
 
 
(x+1)22−2(x+1)+ln[x+1]+C(x+1)22−2(x+1)+ln[x+1]+C 
 
 
(x+1)24−2+ln[3x+1]+C(x+1)24−2+ln[3x+1]+C 
 
 
(x+1)22(x+1)+ln[x]+C(x+1)22(x+1)+ln[x]+C 
 
 
 
Explicação: 
A técnica de frações parciais pode ser aplicada. 
No entanto, a resolução fica mais rápida se a substituição abaixo for considerada: 
u=x+1u=x+1 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Encontre a integral indefinida ∫2x2−1dx∫2x2−1dx 
 
 
 
−ln[x+1]+ln[x−1]+C 
 
 
O comprimento do arco de parábola y=x2+1y=x2+1, para 0≤x≤20≤x≤2 terá um valor de: 
 
 
171/2+14171/2+14 
 
 
171/2+14∗ln[4+171/2]171/2+14∗ln[4+171/2] 
 
 
17+ln[4+171/2]17+ln[4+171/2] 
 
 
171/2171/2 
 
 
14∗ln[4+171/2]14∗ln[4+171/2] 
 
 
 
Explicação: 
Para encontrar o comprimento do arco: 
f′(x)=2xf′(x)=2x 
L=∫ba(1+[f′(x)]2)1/2dxL=∫ab(1+[f′(x)]2)1/2dx 
Onde: a = 0 e b = 2 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Qual a área da região definida pela 
função f(x)=−2x+5f(x)=−2x+5, o eixo x e as 
retas x=0x=0 e x=1x=1? 
 
 
Área: 6 unidades quadradas 
 
 
Área: 2 unidades quadradas 
 
 
Área: 4 unidades quadradas 
 
 
Área: 8 unidades quadradas 
 
 
Área: 1212 unidade quadrada 
 
 
 
Explicação: 
A área pode ser calculada através da resolução da integral definida: 
∫10[−2x+5]dx∫01[−2x+5]dx 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Seja f(x)=x2f(x)=x2, com 0≤x≤20≤x≤2 
Determine o volume do sólido obtido pela revolução do gráfico de 
f(x) em torno do eixo x. 
 
 
32π532π5 unidades cúbicas 
 
 
π5π5 unidades cúbicas 
 
 
32π32π unidades cúbicas 
 
 
3π53π5 unidades cúbicas 
 
 
2π52π5 unidades cúbicas 
 
 
 
Explicação: 
Para encontrar o volume, o aluno deve resolver a integral: 
V = ∫20π(x2)2dx∫02π(x2)2dx 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Dada um função definida como f(x)=3f(x)=3, o volume do sólido 
de revolução, no intervalo x=0x=0 a x=5x=5 , obtido pela 
rotação de f(x) em torno do eixo x, é dado por: 
 
 
9π9π unidades cúbicas 
 
 
25π25π unidades cúbicas 
 
 
50π50π unidades cúbicas 
 
 
90π90π unidades cúbicas 
 
 
45π45π unidades cúbicas 
 
 
 
Explicação: 
A resposta pode ser facilmente encontrada aplicando-se: 
V=∫50π∗32dxV=∫05π∗32dx 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Calcule a área delimitada pelas 
funções f(x)=x+1f(x)=x+1 e g(x)=x2−1g(x)=x2−1. 
 
 
Área = 99 unidades quadradas 
 
 
Área = 9494 unidades quadradas 
 
 
Área = 9292 unidades quadradas 
 
 
Área = 7272 unidades quadradas 
 
 
Área = 1212 unidades quadradas 
 
 
 
Explicação: 
O aluno deve determinar os pontos de intersecção entre as funções, assim como fazer um esboço do 
gráfico: 
Os pontos de intersecção são: (-1,0) e (2,3) 
Logo, pelo esboço do gráfico: 
∫2−1[x+1−(x2−1)]dx∫−12[x+1−(x2−1)]dx 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Seja f(x)=x2f(x)=x2 com 0≤x≤20≤x≤2 
Determine o volume do sólido gerado pela revolução do gráfico de 
f(x) em torno do eixo y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Volume = 8π8π unidades cúbicas 
 
 
Encontre a integral indefinida dada por ∫(cos(x))3.sin(x)dx∫(cos(x))3.sin(x)dx 
 
 
−14[cos(x)]4+C−14[cos(x)]4+C 
 
 
−14[sin(x)]4+C−14[sin(x)]4+C 
 
 
−14[cos(2x)]4+C−14[cos(2x)]4+C 
 
 
15[cos(x)]4+C15[cos(x)]4+C 
 
 
[cos(x)]4+C[cos(x)]4+C 
 
 
 
Explicação: 
Basta aplicar a substituição simples: u = cos(x), du = - sin(x). dx 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Encontre a integral indefinida dada por ∫1+ln(x)xdx∫1+ln(x)xdx 
 
 
 
[1+ln(x)]2+C[1+ln(x)]2+C 
 
 
12[1−ln(x)]3+C12[1−ln(x)]3+C 
 
 
2∗[1+ln(x)]2+C2∗[1+ln(x)]2+C 
 
 
13[1−ln(x)]2+C13[1−ln(x)]2+C 
 
 
12[1+ln(x)]2+C12[1+ln(x)]2+C 
 
 
 
Explicação: 
Para resolver, aplique a substuição simples: u = 1 + ln(x), du=1xdxdu=1xdx 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
A integral indefinida ∫3x2√ x3+1 dx∫3x2x3+1dx é dada por: 
 
 
 
23(x3+1)32+C23(x3+1)32+C 
 
 
−23(x3+1)72+C−23(x3+1)72+C 
 
 
(x3+1)32+C(x3+1)32+C 
 
 
13(x3+1)52+C13(x3+1)52+C 
 
 
27(x3+1)12+C27(x3+1)12+C 
 
 
 
Explicação: 
Faça a substituição simples: u = x3 + 1, du = 3x2 dx 
Depois conduza a integração: 
3∫√ u 3dx3∫u3dx 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Encontre a integral indefinida ∫x.sin(4x)dx∫x.sin(4x)dx 
 
 
 
−14x.cos(4x)+116.sin(4x)+C−14x.cos(4x)+116.sin(4x)+C 
 
 
14x.cos(x)+118.sin(x)+C14x.cos(x)+118.sin(x)+C 
 
 
−18x.cos(2x)+18.sin(2x)+C−18x.cos(2x)+18.sin(2x)+C 
 
 
x.cos(4x)+sin(4x)+Cx.cos(4x)+sin(4x)+C 
 
 
18x.cos(4x)−116.sin(4x)+C18x.cos(4x)−116.sin(4x)+C 
 
 
 
Explicação: 
É necessário aplicar o conceito de integração por partes: 
Faça: u = x e v' = sin(4x) 
∫udv=uv−∫vdu∫udv=uv−∫vdu 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Encontre a integral indefinida dada por ∫√ x 1+√ x dx∫x1+xdx 
 
 
 
x+2∗ln∣√ x +1∣−3+Cx+2∗ln∣x+1∣−3+C 
 
 
3x−√ x +4∗ln∣√ x +1∣−7+C3x−x+4∗ln∣x+1∣−7+C 
 
 
x−2√ x +2∗ln∣√ x +1∣−3+Cx−2x+2∗ln∣x+1∣−3+C 
 
 
−2√ x +ln∣√ x ∣−3+C−2x+ln∣x∣−3+C 
 
 
x−√ x +2∗ln∣√ x +3∣+3+Cx−x+2∗ln∣x+3∣+3+C 
 
 
 
Explicação: 
Faça a substituição simples: u=1+√ x u=1+x 
Depois divida o polinômio e obtenha: u2−2u+1u=u−2+1uu2−2u+1u=u−2+1u 
Após a integração, teremos a resposta. 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Encontre a integral indefinida dada 
por ∫x2x3+8dx∫x2x3+8dx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13∗ln∣x3+8∣+C 
 
 
 
A integral indefinida da função f(x)=sin(x)−tan(x)f(x)=sin(x)−tan(x) é dada por: 
 
 
sin(x)+ln∣tan(x)∣+Csin(x)+ln∣tan(x)∣+C 
 
 
−cos(x)−ln∣cos(x)4∣+C−cos(x)−ln∣cos(x)4∣+C 
 
 
−cos(x)−ln∣cos(x)∣+C−cos(x)−ln∣cos(x)∣+C 
 
 
−cos(x)+ln∣cos(2x)∣+C−cos(x)+ln∣cos(2x)∣+C 
 
 
−sin(x)+ln∣cos(x)∣+C−sin(x)+ln∣cos(x)∣+C 
 
 
 
Explicação: 
∫sin(x)dx=−cos(x)∫sin(x)dx=−cos(x) 
∫tan(x)dx=∫sin(x)cos(x)dx∫tan(x)dx=∫sin(x)cos(x)dx, aplicar u = cos(x) e resolver. 
 
 
 
 
 
2.Seja a função f(x)=x3−3xf(x)=x3−3x. Encontre a antiderivada 
de f(x) sendo a condição inicial é F(x) = 10, quando x = 2. 
 
 
x44−32x2+2x44−32x2+2 
 
 
x44−32x2x44−32x2 
 
 
x44−32x2+12x44−32x2+12 
 
 
x44−32x2+8x44−32x2+8 
 
 
x44−32x2−12x44−32x2−12 
 
 
 
Explicação: 
F(x)=x44−32x2+CF(x)=x44−32x2+C 
Quando F(2) = 10, então, C = 12 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Ache a solução completa da equação 
diferencial dydx=2x4ydydx=2x4y 
 
 
y2=x55+Cy2=x55+C 
 
 
y22=2x55+Cy22=2x55+C 
 
 
xy22=2xy55+Cxy22=2xy55+C 
 
 
y2=2x55+Cy2=2x55+C 
 
 
y2=2x25+Cy2=2x25+C 
 
 
 
Explicação: 
ydy=2x4dxydy=2x4dx 
∫ydy=∫2x4dx∫ydy=∫2x4dx 
y22=2x55+Cy22=2x55+C 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Em qualquer ponto (x,y) de uma determinada curva,a reta 
tangente tem uma inclinação igual a 3x−83x−8. Se a curva 
contém o ponto (-2,7), qual a sua equação? 
 
 
A função será: 
f(x)=32x2−8xf(x)=32x2−8x 
 
 
A função será: 
f(x)=x2−8x−15f(x)=x2−8x−15 
 
 
A função será: 
f(x)=x2−x−15f(x)=x2−x−15 
 
 
A função será: 
f(x)=12x2−4x−15f(x)=12x2−4x−15 
 
 
A função será: 
f(x)=32x2−8x−15f(x)=32x2−8x−15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
A antiderivada da função x32−5x+7x32−5x+7 é dada 
por: 
 
 
 
 
 
25x52−52x2+7x+C25x52−52x2+7x+C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Explicação: 
Basta o aluno aplicar as regras contidas no capítulo 7 para gerar a antiderivada, por exemplo: 
∫xn=x(n+1)n+1+C∫xn=x(n+1)n+1+C, para x ≠≠1 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Ache a solução completa da equação 
diferencial: dydx=x2cos(y)dydx=x2cos(y) 
 
 
 
tan(y)=x43+Ctan(y)=x43+C 
 
 
sin(y)=x33+C