Lista de Exercícios de sequências

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 2
Lista de Exerc´ıcios no1
1. (a) O que e´ uma sequeˆncia?
(b) O que significa dizer que limn→∞ an = 8?
(c) O que e´ uma sequeˆncia convergente? Deˆ dois exemplos.
(d) O que e´ uma sequeˆncia divergente? Deˆ dois exemplos.
2. Liste os cinco primeiros termos da sequeˆncia:
(a) an =
2n
n2+1
;
(b) an =
(−1)n−1
5n
;
(c) an =
3(−1)n
n!
;
(d) a1 = 1, an+1 = 5an − 3;
(e) a1 = 2, an+1 =
an
1+an
.
3. Determine se a sequeˆncia converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(a) an = 1− (0, 2)n; (h) an = {n2e−n};
(b) an =
3+5n2
n+n2
; (i) an =
cos2 n
2n
;
(c) an = e
1/n; (j) an = nsen(1/n);
(d) an = tg
(
2npi
1+8n
)
; (k) an =
(
1 + 2
n
)n
;
(e) an =
(−1)n−1n
n2+1
; (l) an = ln(2n
2 + 1)− ln(n2 + 1);
(f) an =
[
(2n−1)!
(2n+1)!
]
; (m) an =
n!
2n
.
(g) an =
(
en+e−n
e2n−1
)
;
4. Determine se a sequeˆncia dada e´ crescente, decrescente ou na˜o mono´tona. A sequeˆncia e´
limitada?
(a) an =
1
2n+3
;
(b) an = n(−1)n;
(c) an =
n
n2+1
.
5. Calcule o limite da sequeˆncia {√
2,
√
2
√
2,
√
2
√
2
√
2, . . .
}
.
6. Mostre que a sequeˆncia definida por
a1 = 1 an+1 = 3− 1
an
e´ crescente e an < 3 para todo n. Deduza que {an} e´ convergente e encontre seu limite.
7. (a) Fibonacci colocou o seguinte problema: suponha que coelhos vivam para sempre e que
a cada meˆs cada par produza um novo par, que se torna reprodutivo com dois meses de
idade. Se comec¸armos com um par rece´m-nascido, quantos pares de coelhos teremos no
n-e´simo meˆs? Mostre que a resposta e´ fn, onde {fn} e´ a sequeˆncia de Fibonacci definida
recursivamente pelas condic¸o˜es
f1 = 1 f2 = 1 fn = fn−1 + fn−2 n ≥ 3.
(b) Seja an = fn+1/fn e mostre que an−1 = 1 + 1/an−2.
Supondo que {an} seja convergente, encontre seu limite.
Respostas:
3. (a)Converge para 1, (b)Converge para 5, (c)Converge para 1 (d)Converge para 1 (e)Converge
para 0 (f)Converge para 0 (g)Converge para 0 (h)Converge para 0 (i)Converge para 0
(j)Converge para 1 (k)Converge para e2 (l)Converge para ln 2 (m)Diverge
4. (a) decrescente, limitada (b) na˜o e´ mono´tona nem limitada (c) decrescente, limitada
5. 2
6.
3 +
√
5
2
7. (b)
1 +
√
5
2