Lista de Exercícios de sequências
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Lista de Exercícios de sequências


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Universidade de Bras´\u131lia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 2
Lista de Exerc´\u131cios no1
1. (a) O que e´ uma seque\u2c6ncia?
(b) O que significa dizer que limn\u2192\u221e an = 8?
(c) O que e´ uma seque\u2c6ncia convergente? De\u2c6 dois exemplos.
(d) O que e´ uma seque\u2c6ncia divergente? De\u2c6 dois exemplos.
2. Liste os cinco primeiros termos da seque\u2c6ncia:
(a) an =
2n
n2+1
;
(b) an =
(\u22121)n\u22121
5n
;
(c) an =
3(\u22121)n
n!
;
(d) a1 = 1, an+1 = 5an \u2212 3;
(e) a1 = 2, an+1 =
an
1+an
.
3. Determine se a seque\u2c6ncia converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(a) an = 1\u2212 (0, 2)n; (h) an = {n2e\u2212n};
(b) an =
3+5n2
n+n2
; (i) an =
cos2 n
2n
;
(c) an = e
1/n; (j) an = nsen(1/n);
(d) an = tg
(
2npi
1+8n
)
; (k) an =
(
1 + 2
n
)n
;
(e) an =
(\u22121)n\u22121n
n2+1
; (l) an = ln(2n
2 + 1)\u2212 ln(n2 + 1);
(f) an =
[
(2n\u22121)!
(2n+1)!
]
; (m) an =
n!
2n
.
(g) an =
(
en+e\u2212n
e2n\u22121
)
;
4. Determine se a seque\u2c6ncia dada e´ crescente, decrescente ou na\u2dco mono´tona. A seque\u2c6ncia e´
limitada?
(a) an =
1
2n+3
;
(b) an = n(\u22121)n;
(c) an =
n
n2+1
.
5. Calcule o limite da seque\u2c6ncia {\u221a
2,
\u221a
2
\u221a
2,
\u221a
2
\u221a
2
\u221a
2, . . .
}
.
6. Mostre que a seque\u2c6ncia definida por
a1 = 1 an+1 = 3\u2212 1
an
e´ crescente e an < 3 para todo n. Deduza que {an} e´ convergente e encontre seu limite.
7. (a) Fibonacci colocou o seguinte problema: suponha que coelhos vivam para sempre e que
a cada me\u2c6s cada par produza um novo par, que se torna reprodutivo com dois meses de
idade. Se comec¸armos com um par rece´m-nascido, quantos pares de coelhos teremos no
n-e´simo me\u2c6s? Mostre que a resposta e´ fn, onde {fn} e´ a seque\u2c6ncia de Fibonacci definida
recursivamente pelas condic¸o\u2dces
f1 = 1 f2 = 1 fn = fn\u22121 + fn\u22122 n \u2265 3.
(b) Seja an = fn+1/fn e mostre que an\u22121 = 1 + 1/an\u22122.
Supondo que {an} seja convergente, encontre seu limite.
Respostas:
3. (a)Converge para 1, (b)Converge para 5, (c)Converge para 1 (d)Converge para 1 (e)Converge
para 0 (f)Converge para 0 (g)Converge para 0 (h)Converge para 0 (i)Converge para 0
(j)Converge para 1 (k)Converge para e2 (l)Converge para ln 2 (m)Diverge
4. (a) decrescente, limitada (b) na\u2dco e´ mono´tona nem limitada (c) decrescente, limitada
5. 2
6.
3 +
\u221a
5
2
7. (b)
1 +
\u221a
5
2