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Teoria cinética dos gases Lei dos gases ideais • Quantidade de gás: Um mol é o número de átomos em uma amostra de 12 gramas de carbono 12. • Número de Avogadro: NA = 6,02×1023 mol-1 • Sejam N o número de átomos ou moléculas em uma amostra, m a massa de uma molécula, Mam = N∙m a massa da amostra e M a massa molar da substância. O número de mols em uma amostra pode ser calculado por n = N/NA = Mam/M = Mam/m∙NA • Diferentes gases, em baixas concentrações, se comportam de forma similar. • Lei dos gases ideais pV = nRT • Constante universal dos gases ideais: R = 8,31 J/mol∙K • Sabendo que n = N/NA e definindo a constante de Boltzmann: k = 1,38×10-23 J/K pV = NkT Pressão, temperatura e velocidade molecular • Considere uma caixa de lado L contendo N moléculas de massa m • Desconsideraremos as colisões entre moléculas ❖ Observando, primeiramente, apenas uma molécula • Colisões elásticas entre a molécula e a parede • Tratamento do movimento apenas na componente x • Velocidade da molécula na direção x: 𝑣𝑥 • Após a colisão a velocidade será −𝑣𝑥 • Variação de momento na colisão: ∆𝑝𝑥 = 𝑚(−𝑣𝑥) − 𝑚𝑣𝑥 = −2𝑚𝑣𝑥 • Momento transferido para a parede ∆𝑝𝑥 = 2𝑚𝑣𝑥 • A molécula percorre uma distância (na direção x) de 2L entre colisões. Portanto, se Δt é o intervalo entre as duas colisões: 𝑣𝑥 = 2𝐿 ∆𝑡⁄ → ∆𝑡 = 2𝐿 𝑣𝑥⁄ • “Força média” sobre a parede: 𝐹𝑥 = ∆𝑝 ∆𝑡 = 2𝑚𝑣𝑥 2𝐿 𝑣𝑥⁄ = 𝑚𝑣𝑥 2 𝐿 𝑣Ԧ m ❖ N moléculas • A força sobre a parede é a contribuição da transferência de momento linear de cada molécula 𝐹𝑥 =∑ 𝑚𝑣𝑥,𝑖 2 𝐿 → 𝐹𝑥 = 𝑚 𝐿 ∑𝑣𝑥,𝑖 2 𝑁 𝑖=1 𝑁 𝑖=1 • Pressão: p = F/A, onde área é A = L2. Portanto 𝑝 = 𝑚 𝐿3 ∑𝑣𝑥,𝑖 2 𝑁 𝑖=1 • Como V = L3, temos 𝑝 = 𝑚 𝑉 ∑𝑣𝑥,𝑖 2 𝑁 𝑖=1 • Valor médio de uma variável s: 𝑠𝑚𝑒𝑑 = 1 𝑁 ∑ 𝑠𝑖 𝑁 𝑖=1 (𝑣𝑥 2)𝑚𝑒𝑑 = 1 𝑁 ∑𝑣𝑥,𝑖 2 𝑁 𝑖=1 →∑𝑣𝑥,𝑖 2 𝑁 𝑖=1 = 𝑁(𝑣𝑥 2)𝑚𝑒𝑑 • Como N = nNA e M = mNA, temos 𝑝 = 𝑛𝑁𝐴𝑚 𝑉 (𝑣𝑥 2)𝑚𝑒𝑑 = 𝑛𝑀 𝑉 (𝑣𝑥 2)𝑚𝑒𝑑 • Vetor velocidade: 𝑣Ԧ = (𝑣𝑥, 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧) → 𝑣 2 = 𝑣𝑥 2 + 𝑣𝑦 2 + 𝑣𝑧 2. Como as velocidades das moléculas são aleatórias, não há uma direção de deslocamento predominante. Portanto (𝑣𝑥 2)𝑚𝑒𝑑 = (𝑣𝑦 2) 𝑚𝑒𝑑 = (𝑣𝑧 2)𝑚𝑒𝑑 = (1 3⁄ )(𝑣 2)𝑚𝑒𝑑 • Desta forma: 𝑝 = 𝑛𝑀 3𝑉 (𝑣2)𝑚𝑒𝑑 • Definição: 𝑣𝑟𝑚𝑠 = √(𝑣2)𝑚𝑒𝑑, raiz da velocidade quadrática média • (𝑣𝑟𝑚𝑠) 2 = (𝑣2)𝑚𝑒𝑑 • Portanto 𝑝 = 𝑛𝑀 3𝑉 (𝑣𝑟𝑚𝑠) 2 • Como 𝑝𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 𝑣𝑟𝑚𝑠 = √ 3𝑅𝑇 𝑀 Energia cinética de translação média • 𝐾𝑖 = 1 2 𝑚𝑣𝑖 2: energia cinética de translação da i-ésima molécula • 𝐾𝑚𝑒𝑑 = ( 1 2 𝑚𝑣2) 𝑚𝑒𝑑 = 1 2 𝑚(𝑣2)𝑚𝑒𝑑 = 1 2 𝑚𝑣𝑟𝑚𝑠 2 𝐾𝑚𝑒𝑑 = 3𝑚𝑅𝑇 2𝑀 • Mas M = mNA e k = R/NA 𝐾𝑚𝑒𝑑 = 3𝑘𝑇 2 • Esta é a energia cinética de translação média de uma molécula do gás Energia interna de um gás associada à translação das moléculas • Para N átomos a energia interna total (de um gás monoatômico) será 𝐸𝑖𝑛𝑡 = 𝐾 = 𝑁𝐾𝑚𝑒𝑑 𝐸𝑖𝑛𝑡 = 3𝑁𝑘𝑇 2 • Mas N = nNA e k = R/NA 𝐸𝑖𝑛𝑡 = 3𝑛𝑁𝐴𝑅𝑇 2𝑁𝐴 = 3𝑛𝑅𝑇 2 • Esta é a energia interna de um gás ideal monoatômico • A energia interna de um gás ideal está diretamente associada com sua temperatura Distribuição de velocidades das moléculas • Distribuição de velocidades de Maxwell • Distribuição de probabilidade 𝑃(𝑣) = 4𝜋 ( 𝑀 2𝜋𝑅𝑇 ) 3 2⁄ 𝑣2𝑒−𝑀𝑣 2 2𝑅𝑇⁄ • 𝑃(𝑣)𝑑𝑣 é a fração de moléculas do gás com velocidades em um região 𝑑𝑣 em torno de 𝑣 • Velocidade média: 𝑣𝑚𝑒𝑑 = ∫ 𝑣𝑃(𝑣)𝑑𝑣 ∞ 0 𝑣𝑚𝑒𝑑 = √ 8𝑅𝑇 𝜋𝑀 • Distribuição de probabilidade típica para um mesmo gás a temperaturas diferentes: Calor específico molar Volume constante • 𝑄 = 𝑛𝐶𝑣∆𝑇, onde 𝐶𝑣 é o calor específico molar a volume constante • Se V é constante, então W = 0 • ∆𝐸𝑖𝑛𝑡 = 𝑄 −𝑊 = 𝑄 = 𝑛𝐶𝑣∆𝑇† → 𝐶𝑣 = ∆𝐸𝑖𝑛𝑡 𝑛∆𝑇⁄ • Para um gás monoatômico 𝐶𝑣 = 3 2𝑛𝑅∆𝑇 𝑛∆𝑇 = 3 2 𝑅 = 12,5 J mol ∙ 𝐾 Pressão constante • 𝑄 = 𝑛𝐶𝑝∆𝑇, onde 𝐶𝑝 é o calor específico molar a pressão constante • Se p é constante, então W = pΔV • ∆𝐸𝑖𝑛𝑡 = 𝑄 −𝑊 → 𝑛𝐶𝑣∆𝑇 = 𝑛𝐶𝑝∆𝑇 − 𝑝∆𝑉 • Mas, se p é constante (e n também é), então 𝑝∆𝑉 = 𝑛𝑅∆𝑇 • 𝑛𝐶𝑣∆𝑇 = 𝑛𝐶𝑝∆𝑇 − 𝑛𝑅∆𝑇 • 𝐶𝑣 = 𝐶𝑝 − 𝑅 ou 𝐶𝑝 = 𝐶𝑣 + 𝑅 † Como energia interna é uma variável de estado, esta equação é válida para qualquer processo termodinâmico de um gás ideal. A energia interna de um gás ideal a uma temperatura 𝑇 pode ser calculada por 𝐸𝑖𝑛𝑡 = 𝑛𝐶𝑣𝑇 ̶ T = 300 K ̶ T = 800 K
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