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Resumo Teoria cinética dos gases(1)

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Teoria cinética dos gases 
Lei dos gases ideais 
• Quantidade de gás: Um mol é o número de átomos em uma amostra de 12 gramas de 
carbono 12. 
• Número de Avogadro: NA = 6,02×1023 mol-1 
• Sejam N o número de átomos ou moléculas em uma amostra, m a massa de uma molécula, 
Mam = N∙m a massa da amostra e M a massa molar da substância. O número de mols em 
uma amostra pode ser calculado por 
n = N/NA = Mam/M = Mam/m∙NA 
• Diferentes gases, em baixas concentrações, se comportam de forma similar. 
• Lei dos gases ideais 
pV = nRT 
• Constante universal dos gases ideais: R = 8,31 J/mol∙K 
• Sabendo que n = N/NA e definindo a constante de Boltzmann: k = 1,38×10-23 J/K 
pV = NkT 
Pressão, temperatura e velocidade molecular 
• Considere uma caixa de lado L contendo N moléculas de 
massa m 
• Desconsideraremos as colisões entre moléculas 
 
❖ Observando, primeiramente, apenas uma molécula 
• Colisões elásticas entre a molécula e a parede 
• Tratamento do movimento apenas na componente x 
• Velocidade da molécula na direção x: 𝑣𝑥 
• Após a colisão a velocidade será −𝑣𝑥 
• Variação de momento na colisão: 
∆𝑝𝑥 = 𝑚(−𝑣𝑥) − 𝑚𝑣𝑥 = −2𝑚𝑣𝑥 
• Momento transferido para a parede ∆𝑝𝑥 = 2𝑚𝑣𝑥 
• A molécula percorre uma distância (na direção x) de 2L entre colisões. Portanto, se Δt é o 
intervalo entre as duas colisões: 𝑣𝑥 = 2𝐿 ∆𝑡⁄ → ∆𝑡 = 2𝐿 𝑣𝑥⁄ 
• “Força média” sobre a parede: 
𝐹𝑥 =
∆𝑝
∆𝑡
=
2𝑚𝑣𝑥
2𝐿
𝑣𝑥⁄
=
𝑚𝑣𝑥
2
𝐿
 
𝑣Ԧ 
m 
❖ N moléculas 
• A força sobre a parede é a contribuição da transferência de momento linear de cada 
molécula 
𝐹𝑥 =∑
𝑚𝑣𝑥,𝑖
2
𝐿
→ 𝐹𝑥 =
𝑚
𝐿
∑𝑣𝑥,𝑖
2
𝑁
𝑖=1
𝑁
𝑖=1
 
• Pressão: p = F/A, onde área é A = L2. Portanto 
𝑝 =
𝑚
𝐿3
∑𝑣𝑥,𝑖
2
𝑁
𝑖=1
 
• Como V = L3, temos 
𝑝 =
𝑚
𝑉
∑𝑣𝑥,𝑖
2
𝑁
𝑖=1
 
• Valor médio de uma variável s: 𝑠𝑚𝑒𝑑 =
1
𝑁
∑ 𝑠𝑖
𝑁
𝑖=1 
(𝑣𝑥
2)𝑚𝑒𝑑 =
1
𝑁
∑𝑣𝑥,𝑖
2
𝑁
𝑖=1
→∑𝑣𝑥,𝑖
2
𝑁
𝑖=1
= 𝑁(𝑣𝑥
2)𝑚𝑒𝑑 
• Como N = nNA e M = mNA, temos 
𝑝 =
𝑛𝑁𝐴𝑚
𝑉
(𝑣𝑥
2)𝑚𝑒𝑑 =
𝑛𝑀
𝑉
(𝑣𝑥
2)𝑚𝑒𝑑 
• Vetor velocidade: 𝑣Ԧ = (𝑣𝑥, 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧) → 𝑣
2 = 𝑣𝑥
2 + 𝑣𝑦
2 + 𝑣𝑧
2. Como as velocidades das 
moléculas são aleatórias, não há uma direção de deslocamento predominante. Portanto 
(𝑣𝑥
2)𝑚𝑒𝑑 = (𝑣𝑦
2)
𝑚𝑒𝑑
= (𝑣𝑧
2)𝑚𝑒𝑑 = (1 3⁄ )(𝑣
2)𝑚𝑒𝑑 
• Desta forma: 𝑝 =
𝑛𝑀
3𝑉
(𝑣2)𝑚𝑒𝑑 
• Definição: 𝑣𝑟𝑚𝑠 = √(𝑣2)𝑚𝑒𝑑, raiz da velocidade quadrática média 
• (𝑣𝑟𝑚𝑠)
2 = (𝑣2)𝑚𝑒𝑑 
• Portanto 
𝑝 =
𝑛𝑀
3𝑉
(𝑣𝑟𝑚𝑠)
2 
• Como 𝑝𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 
𝑣𝑟𝑚𝑠 = √
3𝑅𝑇
𝑀
 
 
Energia cinética de translação média 
• 𝐾𝑖 =
1
2
𝑚𝑣𝑖
2: energia cinética de translação da i-ésima molécula 
• 𝐾𝑚𝑒𝑑 = (
1
2
𝑚𝑣2)
𝑚𝑒𝑑
= 1
2
𝑚(𝑣2)𝑚𝑒𝑑 =
1
2
𝑚𝑣𝑟𝑚𝑠
2 
𝐾𝑚𝑒𝑑 =
3𝑚𝑅𝑇
2𝑀
 
• Mas M = mNA e k = R/NA 
𝐾𝑚𝑒𝑑 =
3𝑘𝑇
2
 
• Esta é a energia cinética de translação média de uma molécula do gás 
 
Energia interna de um gás associada à translação das moléculas 
• Para N átomos a energia interna total (de um gás monoatômico) será 𝐸𝑖𝑛𝑡 = 𝐾 = 𝑁𝐾𝑚𝑒𝑑 
𝐸𝑖𝑛𝑡 =
3𝑁𝑘𝑇
2
 
• Mas N = nNA e k = R/NA 
𝐸𝑖𝑛𝑡 =
3𝑛𝑁𝐴𝑅𝑇
2𝑁𝐴
=
3𝑛𝑅𝑇
2
 
• Esta é a energia interna de um gás ideal monoatômico 
• A energia interna de um gás ideal está diretamente associada com sua temperatura 
 
Distribuição de velocidades das moléculas 
• Distribuição de velocidades de Maxwell 
• Distribuição de probabilidade 
𝑃(𝑣) = 4𝜋 (
𝑀
2𝜋𝑅𝑇
)
3 2⁄
𝑣2𝑒−𝑀𝑣
2 2𝑅𝑇⁄ 
• 𝑃(𝑣)𝑑𝑣 é a fração de moléculas do gás com velocidades em um região 𝑑𝑣 em torno de 𝑣 
• Velocidade média: 𝑣𝑚𝑒𝑑 = ∫ 𝑣𝑃(𝑣)𝑑𝑣
∞
0
 
𝑣𝑚𝑒𝑑 = √
8𝑅𝑇
𝜋𝑀
 
 
 
• Distribuição de probabilidade típica para um mesmo gás a temperaturas diferentes: 
 
 
Calor específico molar 
Volume constante 
• 𝑄 = 𝑛𝐶𝑣∆𝑇, onde 𝐶𝑣 é o calor específico molar a volume constante 
• Se V é constante, então W = 0 
• ∆𝐸𝑖𝑛𝑡 = 𝑄 −𝑊 = 𝑄 = 𝑛𝐶𝑣∆𝑇† → 𝐶𝑣 = ∆𝐸𝑖𝑛𝑡 𝑛∆𝑇⁄ 
• Para um gás monoatômico 
𝐶𝑣 =
3
2𝑛𝑅∆𝑇
𝑛∆𝑇
=
3
2
𝑅 = 12,5 
J
mol ∙ 𝐾
 
 
Pressão constante 
• 𝑄 = 𝑛𝐶𝑝∆𝑇, onde 𝐶𝑝 é o calor específico molar a pressão constante 
• Se p é constante, então W = pΔV 
• ∆𝐸𝑖𝑛𝑡 = 𝑄 −𝑊 → 𝑛𝐶𝑣∆𝑇 = 𝑛𝐶𝑝∆𝑇 − 𝑝∆𝑉 
• Mas, se p é constante (e n também é), então 𝑝∆𝑉 = 𝑛𝑅∆𝑇 
• 𝑛𝐶𝑣∆𝑇 = 𝑛𝐶𝑝∆𝑇 − 𝑛𝑅∆𝑇 
• 𝐶𝑣 = 𝐶𝑝 − 𝑅 ou 𝐶𝑝 = 𝐶𝑣 + 𝑅 
 
 
† Como energia interna é uma variável de estado, esta equação é válida para qualquer processo termodinâmico de um 
gás ideal. A energia interna de um gás ideal a uma temperatura 𝑇 pode ser calculada por 𝐸𝑖𝑛𝑡 = 𝑛𝐶𝑣𝑇 
̶ T = 300 K 
̶ T = 800 K

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