Unidade 1 - Funcoes Graficos e Limites

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Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 44 
Unidade I – Funções, Gráficos e Limites 
 
I.1 – O Plano Cartesiano e a Equação de Distância 
 Assim como os números reais podem ser representados por pontos na reta dos reais, pares 
ordenados de números reais podem ser representados por pontos em um plano conhecido como plano 
cartesiano em homenagem ao matemático francês René Descartes (1596-1650). 
 O plano cartesiano é formado a partir de duas retas mutualmente 
perpendiculares, como as da Figura 1.1. 
A reta horizontal é chamada de eixo x, e a reta vertical, de eixo y. 
O ponto de interseção das duas retas recebe o nome de origem, e os dois 
eixos dividem o plano em quatro partes conhecidas como quadrantes. 
 A cada ponto do plano está associado um par ordenado (x , y) de 
números reais x e y, conhecidos como coordenadas do ponto. 
 A coordenada x corresponde à distância dirigida do eixo y ao ponto, e a 
coordenada y corresponde à distância dirigida do eixo x ao ponto (Figura 1.2). 
 
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Exemplo 1 
Plote os pontos (-1 , 2) , (3 , 4) , (0 , 0) , (3 , 0) e (-2 , -3) no plano cartesiano. 
Solução 
 
 
 
 Para plotar o ponto (-1 , 2) imagine uma reta vertical passando pela 
coordenada -1 do eixo x e uma reta horizontal passando pela coordenada 2 do 
eixo y. 
 A interseção dessas duas retas é o ponto (-1 , 2). 
 Os outros quatro pontos podem ser plotados de forma análoga e 
aparecem na Figura 1.3. 
 
 
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 O uso de um sistema de coordenadas retangulares permite visualizar relações entre duas variáveis. 
Observe, no Exemplo 2, como o uso de um gráfico facilita a interpretação de dados experimentais. 
Exemplo 2 
 A tabela a seguir mostra uma quantia A (em milhões de dólares) gastas em snowmobiles nos 
Estados Unidos, de 1997 a 2006. Plote esses dados em um gráfico de pontos (Diagrama de Dispersão). 
t 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 
A 1006 975 883 821 894 817 779 712 826 741 
Solução 
Para plotar um gráfico de pontos com base nos dados da tabela, basta 
representar cada par de valores por um par ordenado (t , A) e plotar os 
pontos resultantes, como mostra a Figura 1.4. 
 
Assim, por exemplo, o primeiro par de valores é representado pelo par 
ordenado (1997 , 1006). Observe a quebra no início do eixo t que indica que 
os números entre 0 e 1990 foram omitidos. 
 
 
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 O gráfico de dispersão do Exemplo 2 é apenas uma das formas de representar dados graficamente. 
Duas outras formas aparecem nos gráficos abaixo. O primeiro é um histograma (gráfico de barras) e o 
segundo é um gráfico de linhas. Essas três representações gráficas foram criadas com o auxílio de um 
software gráfico em computador. 
 
 
 
 Utilize o software Excel (ou equivalente) para traçar vários tipos de gráficos com a tabela do 
Exemplo 2. 
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A Equação de Distâncias 
 
 De acordo com o Teorema de Pitágoras, se a hipotenusa de um triângulo retângulo tem 
comprimento c e os catetos têm comprimentos a e b, então, como mostra a Figura 1.5, 
 
 
 
 
 
 
 
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 Considere que você precise determinar a distância d entre dois pontos (x1 , y1) e (x2 , y2) do plano. 
Com esses dois pontos, é possível formar um triângulo retângulo, como mostra a Figura 1.6. O 
comprimento do lado vertical do triângulo é |𝑦2 − 𝑦1| e o comprimento do lado horizontal é |𝑥2 − 𝑥1|. 
 De acordo com o Teorema de Pitágoras, temos que: 
𝑑2 = |𝑥2 − 𝑥1|
2 + |𝑦2 − 𝑦1|
2 
𝑑 = √|𝑥2 − 𝑥1|2 + |𝑦2 − 𝑦1|2 
𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 
 
 Este resultado é conhecido como Equação da Distância. 
 
 
 Portanto, a distância d entre os pontos (x1 , y1) e (x2 , y2) do plano é dada por 
𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 
 
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Exemplo 3 
 Determine a distância entre os pontos (-2 , 1) e (3 , 4). 
Solução 
Sejam (𝑥1 , 𝑦1) = (−2 , 1) e (𝑥2 , 𝑦2) = (3 , 4). De acordo com a equação da distância, temos: 
𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 
Equação de Distâncias 
Substituir coordenadas 
𝑑 = √[3 − (−2)]2 + (4 − 1)2 Simplificar 
𝑑 = √(5)2 + (3)2 Simplificar 
√34 ≈ 5,83 Resultado final 
 
 
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Exemplo 4 
 Utilize a equação de Distância para mostrar que os pontos (2 , 1), (4 , 0) e (5 , 7) são os vértices de 
um triângulo retângulo. 
Solução 
Os três pontos estão plotados na Figura 1.8. 
Utilizando a equação de distância, podemos determinar os comprimentos dos três lados. 
 
𝑑1 = √(5 − 2)2 + (7 − 1)2 = √9 + 36 = √45 
𝑑2 = √(4 − 2)2 + (0 − 1)2 = √4 + 1 = √5 
𝑑3 = √(5 − 4)2 + (7 − 0)2 = √1 + 49 = √50 
 
Da figura 1.8, verificamos que o ângulo reto mais provável é aquele identificado 
no ponto (2 , 1). Logo, 
 
𝑑3
2 = 𝑑1
2 + 𝑑2
2 = 45 + 5 = 50 
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Exemplo 5 
Em um jogo de futebol americano, o quarterback dá um passe a partir da linha de 5 jardas, a 20 jardas 
de distância da linha lateral. O passe é recebido por um atacante na linha de 45 jardas, a 50 jardas de 
distância da mesma linha lateral, como mostra a Figura 1.9. 
Qual foi a distância percorrida pela bola? 
Solução 
Para determinar a distância do passe, basta calcular a distância entre os pontos (20 , 5) e (50 , 45). 
 
𝑑 = √(50 − 20)2 + (45 − 5)2 Equação de distância 
𝑑 = √900 + 1600 Simplifique 
𝑑 = 50 
 
 
 
 
 
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A Equação do Ponto Central 
 Para determinar o ponto central do segmento de reta que liga dois pontos em um plano cartesiano, 
basta calcular os valores médios das coordenadas das extremidades do segmento. 
 
 O ponto central do segmento que liga os pontos (x1 , y1) e (x2 , y2) do plano é dado por 
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 = (
𝑥1 + 𝑥2
2
 ,
𝑦1 + 𝑦2
2
) 
 
Exemplo 6 
Determine o ponto central do segmento que liga os pontos (-5 , -3) e (9 , 3) da Figura 1.10. 
Solução 
Sejam (𝑥1 , 𝑦1) = (−5 , −3) e (𝑥2 , 𝑦2) = (9 , 3). 
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 = (
𝑥1 + 𝑥2
2
 ,
𝑦1 + 𝑦2
2
) = (
−5 + 9
2
 ,
−3 + 3
2
) = (2 , 0) 
 
 
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Exemplo 7 
A empresa Starbucks teve uma receita de 4,08 bilhões de dólares em 2003 e uma receita de 6,37 bilhões 
de dólares em 2005. Com base apenas nessas informações, qual seria a sua estimativa da receita da 
empresa no ano de 2004? 
Solução 
Supondo que a receita apresentou um comportamento linear entre 2003 e 2005, 
podemos estimar a receita em 2004 determinando o ponto central do segmento 
que liga os pontos (2003 , 4,08) e (2005 , 6,37). 
 
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 = (
2003 + 2005
2
 ,
4,08 + 6,37
2
) = (2004 , 5,23) 
 
Assim, a receita estimada para 2004 é de 5,23 bilhões de dólares, como mostra a Figura 1.11. 
 
 
 
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Translação de Pontos no Plano 
 A Figura 1.12(a) mostra os vértices de um paralelogramo. Determine os vértices do mesmo 
paralelogramo depois que ele sofrer uma translação de duas unidades para baixo e quatro unidades para 
a direita. 
Solução 
Para transladar os vértices duas unidades para baixo, é preciso subtrair 2 das coordenadas y;para 
transladar os vértices quatro unidades para a direita, é preciso somar 4 às coordenadas x. 
Ponto Original Ponto Transladado 
(1 , 0) (1 + 4 , 0 – 2) = (5 , -2) 
(3 , 2) (3 + 4 , 2 – 2) = (7 , 0) 
(3 , 6) (3 + 4 , 6 – 2) = (7 , 4) 
1 , 4) (1 + 4 , 4 – 2) = (5 , 2) 
 
 
 
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I.2 – Gráficos de Equações 
 
 Uma relação funcional entre duas grandezas pode ser expressa por uma equação. Assim, por 
exemplo, a temperatura em graus Fahrenheit está relacionada à temperatura em graus Celsius através da 
equação 𝐹 =
9
5
𝐶 + 32. 
 O gráfico de uma equação é o conjunto de todos os pontos que satisfazem a equação. 
 
Exemplo 1 
Trace o gráfico da equação 𝑦 = 7 − 3𝑥. 
Solução 
O método mais simples para traçar o gráfico de uma equação é o método da plotagem ponto a ponto. 
Para usar este método, construímos uma tabela com as coordenadas de vários pontos que satisfazem a 
equação, como a que aparece na tabela abaixo. Assim, por exemplo, para x = 0, 𝑦 = 7 − 3(0) = 7, o 
que significa que (0 , 7) é um dos pontos do gráfico. 
 
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x 0 1 2 3 4 
y = 7 – 3 x 7 4 1 -2 -5 
 
 De acordo com a tabela, os pontos (0 , 7), (1 , 4), (2 , 1), (3 , -2) e (4 , -5) satisfazem a equação. O 
diagrama de dispersão destes pontos indica colinearidade entre eles. O conjunto de todos os pontos que 
satisfazem a equação definirá o gráfico como mostrado na figura 1.13. 
 Neste caso, o gráfico é uma reta que passa pelos cinco pontos calculados. 
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 A técnica de plotagem apresentada no Exemplo 1 é fácil de usar, mas apresenta algumas 
desvantagens. Quando o número de pontos é pequeno, a forma do gráfico pode não ser representada 
adequadamente. Por exemplo: qual é a forma correta de ligar os quatro pontos da Figura 1.15? 
Na falta de mais informações, qualquer um dos gráficos da Figura 1.16 representa uma possibilidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Pontos de Interseção de um Gráfico 
 Pontos de Interseção são os pontos em que o gráfico intercepta o eixo x e o eixo y. Um gráfico 
pode não interceptar um eixo ou intercepta-lo mais de uma vez como mostra a Figura 1.17. 
 
1. Para determinar a interseção com o eixo x, faça y = 0 , na equação, e calcule o valor de x. 
2. Para determinar a interseção com o eixo y, faça x = 0 , na equação, e calcule o valor de y. 
 
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Exemplo 2 
Determine as interseções da equação dada com os eixos x e y. 
(a) 𝑦 = 𝑥3 − 4𝑥; (b) 𝑥 = 𝑦2 − 3 
Solução 
(a) Seja y = 0. 
As soluções da equação 𝑥3 − 4𝑥 = 𝑥(𝑥2 − 4) = 𝑥(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = 0 são x = 0, x = 2 e x = -2. 
Logo, as interseções com o eixo x: (0 , 0) , (2 , 0) , (-2 , 0) como mostra Figura 1.18. 
 Seja x = 0. 
 Nesse caso, y = 0. As interseções com o eixo y: (0 , 0). 
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(b) Seja y = 0. 
 Nesse caso, x = -3. Interseção com o eixo x: (-3 , 0). 
 
 Seja x = 0. 
 As soluções da equação 𝑦2 − 3 = 0 são 𝑦 = √3 𝑒 𝑦 = −√3. 
 As interseções com o eixo y: (0 , √3) , (0 , −√3), como mostra a Figura 1.19. 
 
 
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 Um ponto de interseção de dois gráficos é um par ordenado que representa uma solução para as 
equações que definem os dois gráficos. A Figura 1.23 mostra que os gráficos das equações 𝑦 = 𝑥2 − 3 
e 𝑦 = 𝑥 − 1 possuem dois pontos de interseção: (2 , 1) e (-1 , -2). Para determinar esses pontos 
analiticamente, basta igualar os dois valores de y e resolver a equação 𝑥2 − 3 = 𝑥 − 1 para obter o 
valor de x. 
 
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Exemplo 3 
 Uma indústria fabrica um produto a um custo unitário de R$ 0,65 e vende cada unidade do produto 
a R$ 1,20. O investimento inicial para fabricar o produto foi de R$ 10.000,00. Quantas unidades a 
indústria precisa vender para atingir o equilíbrio entre receita e custo? 
Solução 
O custo total para fabricar x unidades do produto é dado por: 
 
𝐶 = 0,65 𝑥 + 10.000 
 
A receita total com a venda de x unidades é dada por: 
 
𝑅 = 1,2 𝑥 
 
Para encontrar o ponto de equilíbrio, igualamos o custo à receita e calculamos o valor de x. 
 
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𝑅 = 𝐶 Igualar receita e custo 
1,2𝑥 = 0,65𝑥 + 10.000 Substituir equações 
0,55𝑥 = 10.000 Determinar valor de x 
𝑥 ≈ 18.182 
 
Assim, a indústria precisa vender 18.182 unidades para atingir o ponto de equilíbrio. 
Esse resultado é mostrado na Figura 1.24. 
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I.3 – Retas no Plano e Inclinação 
 
 Um modelo matemático mais simples para estabelecer uma relação funcional entre duas variáveis 
é a equação linear 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 (forma padrão: inclinação-interseção). 
 Essa equação linear é chamada linear por que o gráfico correspondente é uma linha reta. 
 Fazendo x = 0, podemos ver que a reta intercepta o eixo y no ponto y = b, como mostra a 
Figura 1.31. São definidas, então, a inclinação da reta como m e o ponto de interseção como o eixo y 
como o ponto (0 , b). 
 
 A inclinação de uma reta é o número de unidades que a reta sobe (ou desce) para cada unidade de 
variação horizontal da esquerda para a direita, como mostra a Figura 1.31. 
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Exemplo 1 
Trace o gráfico da equação linear dada. 
(a) 𝑦 = 2𝑥 + 1 ; (b) 𝑦 = 2 ; (c) 𝑥 + 𝑦 = 2 
Solução 
(a) Como b = 1, o ponto de interseção com o eixo y é o ponto (0 , 1). Como a inclinação da reta é m = 2, 
a reta sobe duas unidades para cada unidade de aumento ao longo do eixo horizontal, como mostra a 
Figura 1.33(a). 
 
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(b) Escrevendo essa equação no forma 𝑦 = (0) 𝑥 + 2, vemos que o ponto de interseção com o eixo y é 
o ponto (0 , 2) e que a inclinação é zero. O fato de que a inclinação é zero significa que a reta é 
horizontal, ou seja, não sobe nem desce como mostra a Figura 1.33(b). 
 
(c) Escrevendo essa equação na forma inclinação-interseção temos 𝑦 = (−1)𝑥 + 2 e vemos que o 
ponto de interseção com o eixo y é o ponto (0 , 2). Como a inclinação é m = -1, a reta desce uma 
unidade para cada unidade de aumento ao longo do eixo horizontal, como mostra a Figura 1.33(c). 
 
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 A inclinação de uma reta também pode ser interpretada como uma razão ou como uma taxa de 
variação. 
 Se os eixos x e y são expressos nas mesmas unidades, o número que mede a inclinação é 
adimensional e representa uma razão. 
 Se os eixos x e y são expressos em unidades diferentes, a inclinação tem dimensões e representa 
uma taxa de variação da grandeza y em relação à grandeza x. 
 A inclinação m de uma reta que passa pelos pontos (x1 , y1) e (x2 , y2) é dada por: 
𝑚 =
∆ 𝑦
∆ 𝑥
=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥1 ≠ 𝑥2 
 
 Observe que ∆𝑥 e ∆𝑦 representam, individualmente, um único número. 
 Observe ainda que a ordem de subtração é importante. 
 
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Exemplo 2 
Determine a inclinação da reta que passa pelos pontos dados: 
(a) (-2 , 0) e (3 , 1) (b) (-1 , 2) e (2 , 2) 
(c) (0 , 4) e (1 ,-1) (d) (3 , 4) e (3 , 1) 
Solução 
(a)Fazendo (x1 , y1) = (-2 , 0) e (x2 , y2) = (3 , 1), obtemos uma inclinação de: 
𝑚 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
=
1−0
3−(−2)
=
1
5
 
← 𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑦
← 𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑥
 Figura 1.37(a) 
Como mostra a Figura 1.37(a). 
 
(b) A inclinação da reta que passa pelos pontos (-1 , 2) e (2 , 2) é: 
𝑚 =
2−2
2−(−1)
=
0
3
= 0 Figura 1.37(b) 
 
(c) A inclinação da reta que passa pelos pontos (0 , 4) e (1 , -1) é: 
𝑚 =
−1−4
1−0
=
−5
1
= −5 Figura 1.37(c) 
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(d) A inclinação da reta que passa pelos pontos (3 , 4) e (3 , 1) não é definida, já que a divisão por zero 
não é definida. 
𝑚 =
1−4
3−3
=
−3
0
= ∄ Figura 1.37(d) 
 
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 Se (x1 , y1) é um ponto de uma reta de inclinação m e (x , y) é qualquer outro ponto da mesma reta, 
temos: 
𝑦−𝑦1
𝑥−𝑥1
= 𝑚. 
 
 Essa equação, que envolve as variáveis x e y, pode ser escrita como 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 (𝑥 − 𝑥1), que é a 
forma ponto-inclinação da equação de uma reta. 
 
 A equação da reta de inclinação m que passa pelo ponto (x1 , y1) é: 
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 (𝑥 − 𝑥1) 
 
 
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Exemplo 3 
Determine a equação da reta que tem inclinação 3 e passa pelo ponto (1 , -2). 
Solução 
Usando a forma ponto-inclinação com m = 3 e (x1 , y1) = (1 , -2) 
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 (𝑥 − 𝑥1) 
Forma ponto-inclinação 
Substituir valores 
𝑦 − (−2) = 3 (𝑥 − 1) Simplificar 
𝑦 = 3𝑥 − 5 Determinar valor de x 
 
O gráfico desta reta aparece na Figura 1.38. 
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Exemplo 4 
O fluxo de caixa líquido para Ruby Tuesday Inc. foi de 2,51 dólares em 2004 e 2,65 em 2005. 
Utilizando apenas essas informações, escreva uma equação linear para o fluxo de caixa líquido em 
termos do ano. Estime o fluxo de caixa para 2006. 
Solução 
Considere que t = 4 represente o ano de 2004. Neste caso, os dois pares ordenados informados são 
(4 , 2,51) e (5 , 2,65). A inclinação da reta que passa por esses dois pontos é: 
𝑚 =
2,65 − 2,51
5 − 4
= 0,14 
Usando a forma ponto-inclinação, vemos que a equação que relaciona o 
fluxo líquido (y) com o tempo t é a equação 𝑦 = 0,14 𝑡 + 1,95. De acordo 
com essa equação, o fluxo em 2006 (t = 6) será de 2,79 dólares como mostra 
a Figura 1.39 
 
 
 
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I.4 - Funções 
 
 Em muitas relações entre duas variáveis, o valor de uma das variáveis depende do valor da outra 
variável. Considere a relação entre a área e o raio de um círculo. Essa relação é expressa pela equação 
𝐴 = 𝜋 𝑟2. Nesta equação, o valor de A depende do valor r. Por essa razão, dizemos que A é a variável 
dependente, e r é a variável independente. Este tipo de relação define o que será chamado de função. 
 
 Função é uma relação entre duas variáveis, de modo que cada valor da variável independente 
corresponda um e apenas um valor da variável dependente. 
 
 Domínio de uma função é o conjunto de todos os valores da variável independente para os quais a 
função é definida. 
 
 Contradomínio de uma função é o conjunto de todos os valores assumidos pela variável 
dependente. 
 
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 Como mostra a Figura 1.43, podemos pensar em uma função 
como uma máquina na qual são introduzidos valores da variável 
independente e da qual saem valores da variável dependente. 
 É muito comum representar função por meio de equações 
matemáticas, embora formas como tabelas, gráficos e diagramas 
também possam estabelecer uma relação funcional entre duas 
variáveis. 
 
 
 
 
 
USER
Nota
o y, para ser função, só pode ter um resultado para cada x
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 76 
Exemplo 1 
Quais das equações abaixo definem y como uma função de x? 
(a) 𝑥 + 𝑦 = 1 (b) 𝑥2 + 𝑦2 = 1 
(c) 𝑥2 + 𝑦 = 1 (d) 𝑥 + 𝑦2 = 1 
 
Solução 
Para verificar se uma equação define uma função, é aconselhável isolar a variável dependente do lado 
esquerdo. Assim, por exemplo, para verificar se a equação 𝑥 + 𝑦 = 1 define uma função de x, escreve-
se a equação na forma: 𝑦 = 1 − 𝑥. 
 
Observando a equação escrita dessa forma, vemos que a cada valor de x corresponde um e apenas um 
valor de y. Assim, y é uma função de x. 
 
Resumindo as soluções com essa linha de raciocínio teremos: 
 
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Equação Original Equação Modificada Teste: y é uma função de x? 
𝑥 + 𝑦 = 1 𝑦 = 1 − 𝑥 
Sim, a cada valor de x corresponde 
um e apenas um valor de y. 
𝑥2 + 𝑦2 = 1 𝑦 = ±√1 − 𝑥2 
Não, a certos valores de x 
correspondem dois valores de y. 
𝑥2 + 𝑦 = 1 𝑦 = 1 − 𝑥2 
Sim, a cada valor de x corresponde 
um e apenas um valor de y. 
𝑥 + 𝑦2 = 1 𝑦 = ±√1 − 𝑥 
Não, a certos valores de x 
correspondem dois valores de y. 
 
A Figura 1.44 mostra os gráficos das quatro equações deste exemplo. 
 
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O Gráfico de uma Função 
 Ao plotar uma função, é costume associar o eixo horizontal à variável independente. 
 Quando essa convenção é usada, o teste descrito no Exemplo 1 tem uma interpretação gráfica 
conhecida como teste da reta vertical. 
 Se nenhuma reta vertical intercepta o gráfico da equação mais de uma vez, a equação que descreve 
a relação define y como uma função de x. 
 Na Figura 1.44, os gráficos dos itens (a) e (c) passam no teste da reta vertical, mas o mesmo não 
acontece com os gráficos dos itens (b) e (d). 
 
 O domínio de uma função pode ser descrito explicitamente ou pode ser definido de forma implícita 
pela equação usada para descrever a função. Assim, a função dada pela equação 𝑦 =
1
𝑥2−4
 possui um 
domínio implícito formado por todos os valores reais de x, exceto x = 2 e x = -2. 
 Esses dois valores não pertencem ao domínio da função por que a divisão por zero não é definida. 
 
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 Outro tipo de domínio implícito é o usado para evitar raízes pares de números negativos, como 
mostrado no Exemplo 2. 
 
Exemplo 2 
Determine o domínio e o contradomínio da função dada. 
(a) 𝑦 = √𝑥 − 1 (b) 𝑦 = {
1 − 𝑥, 𝑥 < 1
√𝑥 − 1, 𝑥 ≥ 1
 
Solução 
(a) Como √𝑥 − 1 não é definida para 𝑥 − 1 < 0 (ou seja, para x < 1), o 
domínio da função é o intervalo 𝑥 ≥ 1. Para determinar o contradomínio, 
note-se que √𝑥 − 1 não pode assumir valores negativos. Além disso, quando 
x assume todos os valores do seu domínio, y assume todos os valores não 
negativos. Isso significa que o contradomínio é o intervalo 𝑦 ≥ 0. O gráfico 
da função, mostrado na Figura 1.45(a), confirma essas conclusões. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 80 
 (b) Como a função é definida para x < 1 e também para 𝑥 ≥ 1, o domínio é o 
conjunto dos números reais. Dizemos que esta é uma função definida por 
partes, já que diferentes equações são usadas para defini-la em diferentes 
intervalos da variável independente. 
Para 𝑥 ≥ 1, a função se comporta como a do item (a); para x < 1, o valor de 
(1 – x) é positivo. 
Assim, o contradomínio da função é 𝑦 ≥ 0 como mostra a Figura 1.45(b). 
 
 Uma função é biunívoca se a cada valor da variável dependente corresponde 
um e apenas um valor da variável independente. 
 Assim, a função do Exemplo2(a) é biunívoca, mas o mesmo não se pode 
dizer da função do Exemplo 2(b). 
 Geometricamente, uma função é biunívoca se nenhuma reta horizontal intercepta o gráfico da equação 
mais de uma vez. 
 Essa interpretação geométrica constitui o teste da reta horizontal para funções biunívocas. 
 Um gráfico de uma função biunívoca deve satisfazer tanto o teste da reta vertical como o teste da reta 
horizontal. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 81 
Notação de Função 
 Quando utilizamos uma equação para definir uma função, em geral isolamos a variável dependente 
do lado esquerdo. Assim, ao escrever a equação 𝑥 + 2𝑦 = 1 como 𝑦 =
1−𝑥
2
 indicamos que y é a variável 
dependente. 
 Em notação funcional, essa equação assume a forma: 
𝑓(𝑥) =
1−𝑥
2
 (notação de função) 
 
 A variável independente é x e o nome da função é “ f ”. 
 O símbolo f(x) é lido como “f de x”, e representa o valor da variável dependente. 
 Por exemplo: o valor de f para x = 3 é: 
𝑓(3) =
1 − 3
2
=
−2
2
= −1 
 O valor f(x) é chamado de valor funcional, e pertence ao contradomínio de f. 
 Isso significa que o gráfico de f passa necessariamente pelo ponto (3 , f(3)). 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 82 
Exemplo 3 
Determine os valores da função 𝑓(𝑥) = 2 𝑥2 − 4𝑥 + 1 para x = -1 , 0 e 2. A função f é biunívoca? 
Solução 
 
Para x = -1, o valor de f é dado por: 
𝑓(−1) = 2(−1)2 − 4(−1) + 1 = 2 + 4 + 1 = 7 
Para x = 0, o valor de f é dado por: 
𝑓(0) = 2(0)2 − 4(0) + 1 = 0 + 0 + 1 = 1 
Para x = 2, o valor de f é dado por: 
𝑓(2) = 2(2)2 − 4(2) + 1 = 8 − 8 + 1 = 1 
 
Como um mesmo valor de f(x) é obtido para dois valores diferentes de x, a função não é biunívoca 
como ilustra a Figura 1.46. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 83 
Exemplo 4 
Para 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 7, determine: 
(a) 𝑓(𝑥 + ∆𝑥); (b) 
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥
. 
Solução 
(a) Para calcular f(x) no ponto 𝑥 + ∆𝑥, basta substituir x por 𝑥 + ∆𝑥 na equação que define a função: 
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) = (𝑥 + ∆𝑥)2 − 4 (𝑥 + ∆𝑥) + 7
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 ∆𝑥 + ∆𝑥2 − 4𝑥 − 4∆𝑥 + 7
 
(b) Utilizando o resultado do item (a), temos: 
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
 =
[(𝑥 + ∆𝑥)2 − 4 (𝑥 + ∆𝑥) + 7] − [𝑥2 − 4𝑥 + 7 ]
∆𝑥
 =
𝑥2 + 2𝑥 ∆𝑥 + (∆𝑥)2 − 4𝑥 − 4∆𝑥 + 7 − 𝑥2 + 4𝑥 − 7
∆𝑥
 =
2𝑥 ∆𝑥 + (∆𝑥)2 − 4∆𝑥
∆𝑥
 = 2𝑥 − 4 + ∆𝑥 , ∆𝑥 ≠ 0
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 84 
 Embora a letra f represente funções, com muita frequência, e a letra x a variável independente, 
outros símbolos podem ser utilizados. Assim, as equações abaixo definem a mesma função. 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 7
𝑓(𝑡) = 𝑡2 − 4𝑡 + 7
𝑔(𝑠) = 𝑠2 − 4𝑠 + 7
 
 
Combinações de Funções 
 Duas funções podem ser combinadas de várias formas para criar novas funções. Assim, por 
exemplo, se 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3 e 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 1, é possível formar, entre outras, as seguintes funções: 
𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = (2𝑥 − 3) + (𝑥2 + 1) = 𝑥2 + 2𝑥 − 2
𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = (2𝑥 − 3) − (𝑥2 + 1) = −𝑥2 + 2𝑥 − 4
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = (2𝑥 − 3) (𝑥2 + 1) = 2 𝑥3 − 3𝑥2 + 2𝑥 − 3
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
(2𝑥 − 3)
(𝑥2 + 1)
 
Soma 
Diferença 
Produto 
 
Quociente 
 
 Existe também um tipo especial de combinação de duas funções que é chamado de composição; a 
função resultante recebe o nome de função composta. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 85 
 
 
 A função composta dada por (𝑓°𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) é a função que 
resulta da composição de f com g. 
 O domínio de (𝑓°𝑔) é o conjunto de todos os valores de x pertencentes 
ao domínio de g, de modo que g(x) pertença ao domínio de f, como mostra a 
Figura 1.47. 
 
 O exemplo a seguir mostra que a composição de f e g pode não ser igual 
à composição de g e f. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 86 
Exemplo 5 
Para 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3 e 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 1 , determine: 
(a) f(g(x)) (b) g(f(x)). 
Solução 
(a) A composição de f e g é dada por: 
𝑓(𝑔(𝑥)) = 2 (𝑔(𝑥)) − 3
 = 2 (𝑥2 + 1) − 3
 = 2 𝑥2 − 1
 
Calcule f(x) para x = g(x) 
Substitua g(x) por x2 + 1 
Simplifique 
 
(b) A composição de g e f é dada por: 
𝑔(𝑓(𝑥)) = (𝑓(𝑥))2 + 1
 = (2𝑥 − 3)2 + 1
 = 4 𝑥2 − 12𝑥 + 10
 
Calcule g(x) para x = f(x) 
Substitua f(x) por 2 x - 3 
Simplifique 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 87 
Funções Inversas 
 Informalmente, o inverso de uma função f é uma função g, que “desfaz” a trabalho de f. 
 
Sejam f e g duas funções tais que 
 f(g(x)) = x para qualquer x no domínio de g 
e 
 g(f(x)) = x para qualquer x no domínio de f. 
Nessas condições, a função g é a inversa da função f. 
A função g é representada pelo símbolo f -1, que é lido como “inversa de f”. Assim, 
𝑓(𝑓−1(𝑥)) = 𝑥 e 𝑓−1(𝑓(𝑥)) = 𝑥 
O domínio de f deve ser igual ao contradomínio de f -1, e o contradomínio de f deve ser igual ao domínio 
de f -1. 
 
 
USER
Realce
USER
Realce
USER
Realce
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 88 
Exemplo 6 
A lista abaixo mostra várias funções e suas funções inversas. 
Observe que em todos os casos a função inversa “desfaz” a operação executada pela função original. 
(a) 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 𝑓−1(𝑥) =
1
2
 𝑥 
(b) 𝑓(𝑥) =
1
3
 𝑥 𝑓−1(𝑥) = 3 𝑥 
(c) 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 − 5 𝑓−1(𝑥) =
1
2
(𝑥 + 5) 
(d) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 𝑓−1(𝑥) = √𝑥
3
 
(e) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 𝑓−1(𝑥) =
1
𝑥
 
 
Use um programa de plotagem para verificar que os gráficos de f e f-1 são imagens especulares uma da 
outra em relação à reta y = x. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 89 
Exemplo 7 
Determine a função inversa de 𝑓(𝑥) = √2 𝑥 − 3. 
Solução 
Substituir f(x) por y. Em seguida, trocar x e y e explicitar y. 
𝑓(𝑥) = √2 𝑥 − 3 
Escrever função original 
Substituir f(x) por y. 
𝑦 = √2 𝑥 − 3 Substituir x por y e vice-versa 
𝑥 = √2 𝑦 − 3 Elevar os membros ao quadrado 
𝑥2 = 2 𝑦 − 3 Somar 3 aos membros 
𝑥2 + 3 = 2 𝑦 Dividir membros por 2 
𝑥2 + 3
2
= 𝑦 Solução função inversa. 
 
Usando x como variável independente, podemos escrever: 
𝑓−1(𝑥) =
𝑥2+3
2
 , 𝑥 ≥ 0 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 90 
 Depois de determinar o inverso de uma função, é aconselhável verificar se o resultado está correto. 
 
 É possível fazer isso graficamente observando se os gráficos de f e f-1 são imagens especulares uma 
da outra em relação à reta y = x, como na Figura 1.49. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 91 
 Analiticamente, basta determinar f (f -1(x)) e f -1(f(x)). Os dois resultados devem ser iguais a x. 
 
Verifique que 𝑓(𝑓−1(𝑥)) = 𝑥 Verifique que 𝑓−1(𝑓(𝑥)) = 𝑥 
𝑓(𝑓−1(𝑥)) = 𝑓 (
𝑥2 + 3
2
) 𝑓−1(𝑓(𝑥)) = 𝑓−1(√2 𝑥 − 3) 
 = √2 (
𝑥2 + 3
2
) − 3 =
(√2 𝑥 − 3)2 + 3
2
 
 = √𝑥2 =
2𝑥
2
 
 = 𝑥 , 𝑥 ≥ 0 = , 𝑥 ≥ 
3
2
 
 
 
Obs: Para que uma função possua uma função inversa, é preciso que ela seja biunívoca. 
 
USER
Nota
=xnull
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 92 
I.5 – Limites 
O Limite de uma Função 
 Considere uma mola que se rompe as ser submetida a um pesode 10 Kg ou mais. Para determinar 
qual a extensão que a mola pode atingir sem se romper, penduramos pesos cada vez maiores e medimos 
o comprimento s da mola para cada peso w, como mostra a Figura 1.51. 
 Se o comprimento da mola se aproxima de um valor L, dizemos que 
“o limite de s quando w tende para 10 é L”. 
 Um limite matemático se parece com o limite de uma mola. 
 
 A notação de limite é: 
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝐿 
que se lê como “o limite de f(x) quando x tende a c é L. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 93 
Exemplo 1 
Determine lim 𝑥→1(𝑥
2 + 1). 
Solução 
Seja f(x) = x2 + 1. 
 
No gráfico da Figura 1.52, observamos que f(x) se aproxima de 2 quando 
x se aproxima de 1 pela esquerda ou pela direita, de modo que podemos 
escrever lim 𝑥→1(𝑥
2 + 1) = 2. 
 
Analisando a tabela abaixo observamos a mesma tendência: quando x se 
aproxima de 1, f(x) se aproxima de 2. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 94 
Exemplo 2 
Determine lim𝑥→1 𝑓(𝑥) para as seguintes funções: 
(a) 𝑓(𝑥) =
𝑥2−1
𝑥−1
 (b) 𝑓(𝑥) =
|𝑥−1|
𝑥−1
 (c) f(𝑥) = {
𝑥, 𝑥 ≠ 1
0, 𝑥 = 1
 
Solução 
(a) Observando o gráfico de f, que aparece na Figura 1.53(a), vemos que f(x) 
se aproxima de 2 quando x se aproxima de 1 pela esquerda ou pela direita. 
O ponto onde a função não é definida é representado por um pequeno círculo 
vazado. 
Observe que o fato de f(x) não ser definida no ponto x =1 é irrelevante para a 
determinação do limite. 
O limite depende somente dos valores de f(x) nas proximidades de x = 1, não 
do valor da função em x = 1. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 95 
(b) Observando o gráfico de f, que aparece na Figura 1.53(b), vemos que 
f(x) = -1 para qualquer valor de x à esquerda do ponto x = 1 e f(x) = 1para 
qualquer valor de x à direita do ponto x = 1. Assim, f(x) se aproxima de 
valores diferentes quando x se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita. 
Em situações como esta, dizemos que o limite não existe. Essa mesma 
conclusão pode ser confirmada na tabela abaixo. 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 96 
(c) Observando o gráfico de f, que aparece na Figura 1.53c, vemos que f(x) 
se aproxima de 1 quando x se aproxima de 1 pela esquerda ou pela direita. 
Não importa que f(1) = 0; o limite depende dos valores de f(x) nas 
proximidades de x = 1, não do valor da função em x = 1. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 97 
 Os exemplos 1 e 2 revelam alguns fatos importantes: 
 
1. Dizer que o limite de f(x) é L quando x tende a c significa que o valor de f(x) pode tornar-se 
arbitrariamente próximo de L, bastando para isso escolher um valor de x suficientemente 
próximo de c. 
 
2. Para que um limite exista, é preciso que f(x) se aproxime do mesmo valor quando x se 
aproxima de c pela esquerda e pela direita. Se f(x) se aproxima de números diferentes quando 
x se aproxima de c pela direita e pela esquerda, o limite não existe. 
 
3. O valor de f(x) para x = c não tem influência sobre o limite de f(x) quando x tende a c. No 
Exemplo 2(c), o limite de f(x) quando x tende a 1 é igual a 1, embora o valor de f(x) seja 0 
para x = 1. No Exemplo 2(a), o limite de f(x) quando x tende a 1 existe (é igual a 1), embora a 
função não seja definida no ponto x = 1. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 98 
Definição de Limite de uma Função: 
 Se uma função f(x) se aproxima indefinidamente de um número L quando x se aproxima 
indefinidamente de c pela esquerda e pela direita, dizemos que 
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝐿 
que é lido como “o limite de f(x) quando x tende a c é L. 
 
 Muitas vezes, o limite de f(x) quando x tende a c é simplesmente f(c), como no Exemplo 1. 
 
 Sempre que o limite de f(x), quando x tende a c, é dado por lim𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐), o limite pode ser 
calculado por substituição direta. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 99 
Propriedades dos Limites 
 Sejam a e b dois números reais, e seja n um número inteiro positivo. Nesse caso, 
 1. lim𝑥→𝑐 𝑏 = 𝑏 
 2. lim𝑥→𝑐 𝑥 = 𝑐 
 3. lim𝑥→𝑐 𝑥
𝑛 = 𝑐𝑛 
 4. lim𝑥→𝑐 √𝑥
𝑛
= √𝑐
𝑛
 
 Na propriedade 4, se n for par, c deverá ser positivo. 
 
 Assim, podemos generalizar o cálculo de limites para alguns tipos de funções: 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 100 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 101 
Operações com Limites 
 Sejam b e c números reais, n um número inteiro positivo, e f e g funções com os seguintes limites: 
lim𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝐿 e lim𝑥→𝑐 𝑔(𝑥) = 𝐾. Nesse caso, temos: 
1. Multiplicação por um escalar: lim𝑥→𝑐 𝑏 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝐿. 
2. Soma ou Diferença: lim𝑥→𝑐[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = 𝐿 ± 𝐾 
3. Produto: lim𝑥→𝑐[𝑓(𝑥) . 𝑔(𝑥)] = 𝐿 . 𝐾. 
4. Quociente: lim𝑥→𝑐 [
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
] =
𝐿
𝐾
, contanto que 𝐾 ≠ 0. 
5. Potenciação: lim𝑥→𝑐 [𝑓(𝑥)]
𝑛 = 𝐿𝑛 
6. Radiciação: lim𝑥→𝑐 √𝑓(𝑥)
𝑛 = √𝐿
𝑛
 
 
Na propriedade 6, se n for par, L deverá ser positivo. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 102 
Exemplo 3 
Determine o lim𝑥→2(𝑥
2 + 2 𝑥 − 3). 
 
lim
𝑥→2
(𝑥2 + 2 𝑥 − 3) Escrever limite original 
Aplicar propriedade (2). 
lim
𝑥→2
(𝑥2 + 2 𝑥 − 3) = lim
𝑥→2
𝑥2 + lim
𝑥→2
2 𝑥 − lim
𝑥→2
3 Use substituição direta 
 = 22 + 2 (2) − 3 Simplifique 
 = 4 + 4 − 3 
 = 5 Solução completa 
 
 Este exemplo ilustra um resultado que mostra que o limite de qualquer polinômio pode ser 
determinado por substituição direta. 
 Logo, se p é uma função polinomial e c um número real, 
lim
𝑥→𝑐
𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑐) 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 103 
Limites Unilaterais 
 Em alguns casos, uma função tende para valores diferentes quando x tende a c pela esquerda ou 
pela direita. Esse tipo de comportamento pode ser descrito utilizando o conceito de limite unilateral. 
lim
𝑥→𝑐−
𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
lim
𝑥→𝑐+
𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
 
 
Exemplo 4 
Determine o limite quando x tende a zero pela esquerda, e o limite quando x 
tende a zero pela direita da função 𝑓(𝑥) =
|2 𝑥|
𝑥
. 
 
Solução: 
O gráfico da Figura 1.56 mostra que f(x) = -2 para qualquer valor de x < 0. 
lim
𝑥→0−
|2 𝑥|
𝑥
= −2 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 104 
Como f(x) = 2 para qualquer valor de x > 0, o limite pela direita é: 
lim
𝑥→0+
|2 𝑥|
𝑥
= 2 
 
 Os limites laterais são diferentes. 
 Quando isso acontece, o limite de f(x), quando x tende a c, NÃO EXITE. 
 Para que o limite de uma função exista quando x tende a c é preciso que os dois limites unilaterais 
existam e sejam iguais. 
Logo, se f é uma função e c e L são números reais, 
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝐿 
se, e somente se, os limites pela esquerda e pela direita forem iguais a L. 
 
Determine os seguintes limites: 
(a) 𝑙𝑖𝑚𝑥→2−
|𝑥−2|
𝑥−2
 (b) 𝑙𝑖𝑚𝑥→2+
|𝑥−2|
𝑥−2
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 105 
Exemplo 5 
Determine o limite de f(x), quando x tende a 1, da seguinte função: 
𝑓(𝑥) = {
4 − 𝑥, 𝑥 < 1
4𝑥 − 𝑥2, 𝑥 > 1
 
 
Solução 
Os limites laterais são:lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1−
(4 − 𝑥) = 3 
lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1+
(4 𝑥 − 𝑥2) = 3 
 
Como os dois limites unilaterais existem e são iguais a 3, temos: 
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = 3 
O gráfico da Figura 1.57 confirma este resultado. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 106 
Técnicas para Calcular Limites 
 Muitas técnicas, para cálculo de limites, se baseiam no Teorema da Substituição, segundo o qual se 
duas funções coincidem em todos os pontos a não ser em um ponto isolado c, então elas possuem o 
mesmo limite quando 𝑥 → 𝑐. 
 
Teorema da Substituição 
 Seja c um número real e sejam f(x) e g(x) duas funções tais que f(x) = g(x) para qualquer valor de 
𝑥 ≠ 𝑐. Nesse caso, se o limite de g(x) quando x tende a c existe, o limite de f(x) também existe e 
teremos a seguinte condição: 
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑐
𝑔(𝑥) 
 
 Para aplicar o teorema da Substituição podemos utilizar um resultado da álgebra segundo o qual 
para qualquer função polinomial p, p(c) = 0 se e apenas se (x – c) for um dos fatores de p(x). 
 Essa ideia está ilustrada no Exemplo 4. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 107 
Técnica da Substituição de Funções. 
Exemplo 6 
Determine lim𝑥→1
𝑥3−1
𝑥−1
. 
Solução 
Observe que o numerador e o denominador se anulam para x = 1. Isso significa que (x – 1) é um fator 
de ambos, e, portanto, pode ser cancelado para qualquer valor de 𝑥 ≠ 1. 
 
𝑥3 − 1
𝑥 − 1
=
(𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)
(𝑥 − 1)
 Fatore o numerador 
 =
(𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)
(𝑥 − 1)
 
Cancele o fator comum 
(Técnica do Cancelamento) 
 = 𝑥2 + 𝑥 + 1 , 𝑥 ≠ 1 Simplifique 
 
 Assim, a função racional 
𝑥3−1
𝑥−1
 e a função polinomial 𝑥2 + 𝑥 + 1 coincidem em todos os pontos a 
não ser no ponto x = 1, e podemos aplicar o Teorema da Substituição: 
lim
𝑥→1
𝑥3 − 1
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
𝑥2 + 𝑥 + 1 = 12 + 1 + 1 = 3 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 108 
 A Figura 1.54 ilustra graficamente esse resultado. 
 
 Observe que os dois gráficos são idênticos, exceto pelo fato de que o 
gráfico de g contém o ponto (1 , 3), enquanto esse ponto está faltando no 
gráfico de f (círculo vazado). 
 
 
Exercício: 
Determine lim𝑥→2
𝑥3−8
𝑥−2
. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 109 
Exemplo 7 
Determine lim𝑥→−3
𝑥2+𝑥−6
𝑥+3
. 
Solução 
 O método da substituição direta não funciona por que o numerador e o denominador se anulam para x = -3. 
 O fato dos polinômios do numerador e do denominador se anularem para x = -3 
significa que eles possuem um fator comum, x + 3. Assim, para qualquer valor de 
𝑥 ≠ −3, podemos cancelar esse fator, o que nos dá o seguinte: 
lim
𝑥→−3
𝑥2 + 𝑥 − 6
𝑥 + 3
= 
Escrever limite original 
Fatorar numerador. 
 = lim
𝑥→−3
(𝑥 − 2)(𝑥 + 3)
(𝑥 + 3)
 Cancele o valor comum 
 = lim
𝑥→−3
(𝑥 − 2) Substituição direta 
 = −5 Solução completa 
 
 Esse resultado está expresso graficamente na Figura 1.55. Observe que o gráfico de f coincide com 
o gráfico de g(x) = x – 2, exceto no ponto (-3 , -5), que não existe no gráfico de f. 
Exercício: Determine lim𝑥→3
𝑥2+𝑥−12
𝑥−3
. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 110 
Técnica da Racionalização 
Exemplo 8 
Determine lim𝑥→0
√𝑥+1−1
𝑥
. 
Solução 
O método da substituição direta não funciona porque o numerador e o denominador se anulam para 
x = 0. Nesse caso, podemos escrever a fração de outra forma, racionalizando o numerador. 
√𝑥 + 1 − 1
𝑥
= (
√𝑥 + 1 − 1
𝑥
) (
√𝑥 + 1 + 1
√𝑥 + 1 + 1
) Fatorar numerador. 
 = 
(𝑥 + 1) − 1
𝑥 (√𝑥 + 1 + 1)
 Simplificar 
 = 
𝑥
𝑥(√𝑥 + 1 + 1)
=
1
√𝑥 + 1 + 1
, 𝑥 ≠ 0 Fatoração completa 
 
Calculando o limite usando o Teorema da Substituição: 
lim
𝑥→0
√𝑥 + 1 − 1
𝑥
= lim
𝑥→0
1
√𝑥 + 1 + 1
=
1
1 + 1
=
1
2
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 111 
Teorema do Sanduiche 
 Seja o problema de determinar o limite de uma função que está entre duas outras, cada uma das 
quais tendo o mesmo limite em um dado valor de x, como mostrado na Figura abaixo. 
 
Teorema: 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 112 
 Uma aplicação do Teorema do Sanduiche se encontra na solução do Teorema 1.9 relativo aos casos 
especiais de dois limites trigonométricos. 
 
Prova 
 Para evitar confusão entre duas utilizações de x (eixo e ângulo), identificaremos o ângulo pela 
variável 𝜃. Assim, 𝜃 é um ângulo agudo positivo medido em radianos. 
 A Figura abaixo mostra um setor circular entre dois triângulos. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 113 
 A Figura abaixo salienta a área do setor e dos dois triângulos. 
 
 Multiplicando cada expressão, na figura acima por 
2
𝑠𝑒𝑛 𝜃
 , teremos: 
1
cos 𝜃
≥
𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜃
≥ 1 
 Considerando as inequações recíprocas e inversas temos: 
cos 𝜃 ≤
𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝜃
≤ 1 
 Lembrando que [cos 𝜃 = cos(−𝜃)] e ainda que {
(𝑠𝑒𝑛 𝜃)
𝜃
=
[𝑠𝑒𝑛(−𝜃)]
(−𝜃)
}, concluímos que essa 
inequação é válida para todos os valores de 𝜃 no intervalo aberto (−
𝜋
2
 ,
𝜋
2
). 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 114 
 Então, ao aplicarmos o limite nos três membros da inequação anterior teremos: 
lim
𝜃→0
cos 𝜃 ≤ lim
𝜃→0
𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝜃
≤ lim
𝜃→0
1 
1 ≤ lim
𝜃→0
𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝜃
≤ 1 
Aplicando o Teorema do Sanduiche: 
lim
𝜃→0
𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝜃
= 1 
 
 
 Utilizar raciocínio similar para provar o lim𝑥→0
1−𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑥
= 0. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 115 
Expressões Indeterminadas 
 Expressões do tipo 0 0⁄ , 
∞
∞⁄ , ∞ − ∞ , 0 × ∞ , 0
0 , ∞0 são consideradas indeterminadas. 
 Em função destas indeterminações, alguns cálculos de limites necessitam de artifícios algébricos 
para que suas soluções sejam encontradas. 
 
Exemplo 9 
Determinar lim𝑥→−2
𝑥3−3 𝑥+2
𝑥2 − 4
 (=
0
0
 ) 
 Fatora-se o numerador e o denominador fazendo-se, a seguir, as simplificações possíveis. 
 Teremos: 
lim
𝑥→−2
𝑥3 − 3𝑥 + 2
𝑥2 − 4
= 
Escrever limite original 
Fatorar numerador. 
 = lim
𝑥→−2
(𝑥 + 2)(𝑥2 − 2 𝑥 + 1)
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
 Cancele o valor comum 
 = lim
𝑥→−2
(𝑥2 − 2 𝑥 + 1)
(𝑥 − 2)
 Substituição direta 
 = −
9
4
 Solução completa 
USER
Nota
exemplo 11
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 116 
Exemplo 10 
Determinar lim𝑥→0
√𝑥+2−√2
𝑥
 
 
 É utilizado o artifício da racionalização do numerador da função. Então, 
 
lim
𝑥→0
√𝑥 + 2 − √2
𝑥
= 
Escrever limite original 
Racionalizar o numerador. 
 = lim
𝑥→0
(√𝑥 + 2 − √2)(√𝑥 + 2 + √2)
(𝑥)(√𝑥 + 2 + √2)
 Substituir o produto especial 
 = lim
𝑥→−0
(√𝑥 + 2)
2
− (√2)
2
𝑥 (√𝑥 + 2 + √2)
 Simplificar 
 = lim
𝑥→0
1
(√𝑥 + 2 + √2)
 Substituição direta 
 =
1
2√2
 Solução final 
 
 
USER
Nota
exemplo 12null
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte117 
Exemplo 11 
Determinar lim𝑥→1
√𝑥
3 −1
√𝑥−1
 
 
 A solução, nesse caso, é obtida por troca de variáveis: 
𝑥 = 𝑡6 , 𝑡 ≥ 0 
Quando 𝑥 → 1, temos que 𝑡6 → 1 e ainda 𝑡 → 1 , portanto: 
 
lim
𝑥→1
√𝑥
3 − 1
√𝑥 − 1
 = lim
𝑡→1
√𝑡6
3
− 1
√𝑡6 − 1
 
Escrever limite original 
Trocar variáveis. 
 = lim
𝑡→1
𝑡2 − 1
𝑡3 − 1
 
Fatorar numerador e 
denominador 
 = lim
𝑡→1
(𝑡 − 1)(𝑡 + 1)
(𝑡 − 1)(𝑡2 + 𝑡 + 1)
 Cancelar termo comum 
 = lim
𝑡→1
(𝑡 + 1)
(𝑡2 + 𝑡 + 1)
 Substituição direta 
 =
2
3
 Solução final 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 118 
Exemplo 12 
Determinar limℎ→0
(𝑥+ℎ)2−𝑥2
ℎ
 
 
Desenvolve-se o numerador para posteriores simplificações: 
 
lim
ℎ→0
(𝑥 + ℎ)2 − 𝑥2
ℎ
= 
Escrever limite original 
Desenvolver numerador. 
 = lim
ℎ→0
𝑥2 + 2 𝑥 ℎ + ℎ2 − 𝑥2
ℎ
= Simplificar 
 = lim
ℎ→0
2 𝑥 ℎ + ℎ2
ℎ
= Simplificar 
 = lim
ℎ→0
2 𝑥 + ℎ = Substituição direta 
 = 2 𝑥 Solução final 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 119 
Limites envolvendo a base dos Logaritmos Neperianos 
Função Exponencial 
 Se 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, então a função exponencial com base a é dada por: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥. 
 
 
 
 
USER
Nota
e=2,818281828...
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 120 
Função Logaritmo Natural 
 A Função Logaritmo natural, 𝑙𝑛 𝑥, é definida, em relação à função exponencial, como mostrado 
nas figuras abaixo. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 121 
 A função 𝑙𝑛 𝑥 possui as seguintes propriedades básicas: 
 
Seja o teorema dado abaixo: 
 
 
para demonstrar esse Teorema, partiremos da seguinte expressão de limite: 
 
lim
𝑥→0
𝑎𝑥 − 1
𝑥
= ln 𝑎 
USER
Realce
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 122 
 Este tipo de limite se aplica às expressões que se apresentam como: 
"uma exponencial menos um sobre o expoente quando o expoente tende para zero". 
 
- Fazendo uma mudança de variável: 
Considerando 𝑎 > 0 e 𝑦 = 𝑎𝑥 − 1, iremos expressar 
𝑎𝑥−1
𝑥
 como uma função de y, ou seja, 𝑔(𝑦). 
Quando 𝑥 → 0 , implica que 𝑦 → 0. 
 
Logo, para determinarmos x: 
𝑎𝑥 = 𝑦 + 1 
 
Aplicamos a função logaritmo neperiano aos dois lados da expressão acima, obtemos: 
ln 𝑎𝑥 = ln(𝑦 + 1) 
𝑥 ln 𝑎 = ln(𝑦 + 1) 
𝑥 =
ln(𝑦 + 1)
ln 𝑎
 
USER
Realce
USER
Realce
USER
Realce
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 123 
Portanto, a expressão 
𝑎𝑥 − 1
𝑥
 ≡ 
𝑦
ln(𝑦 + 1)
ln 𝑎
 = 
𝑦 ln 𝑎
ln(𝑦 + 1)
 
Dividindo por y a expressão acima, teremos: 
𝑎𝑥 − 1
𝑥
 ≡ 
ln 𝑎
ln(𝑦 + 1)
𝑦
 = 
ln 𝑎
1
𝑦 ln
(𝑦 + 1)
 = 
ln 𝑎
 ln(𝑦 + 1)
1
𝑦
 
Como, 
(𝑦 + 1)
1
𝑦 = 𝑒 
quando 𝑦 → 0 , como pode ser extrapolado por meio da tabela abaixo, teremos: 
y -0,2 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 0,0001 0,001 0,01 0,1 0,2 
𝑔(𝑦) = (𝑦 + 1)
1
𝑦⁄ 3,051758 2,867972 2,731999 2,719642 2,718418 2,718146 2,716924 2,704814 2,593742 2,488320 
 
então, 
lim
𝑦→0
(𝑦 + 1)
1
𝑦 = 𝑒 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 124 
Portanto, 
lim
𝑥→0
𝑎𝑥 − 1
𝑥
 ≡ lim
𝑦→0
 (
ln 𝑎
 ln(𝑦 + 1)
1
𝑦
) = lim
𝑦→0
(
ln 𝑎
ln 𝑒
) = ln 𝑎 
 
Generalizando o resultado obtido acima, podemos escrever: 
lim
𝑥→0
𝑎𝑘𝑥 − 1
𝑥
 ≡ lim
𝑦→0
ln 𝑎𝑘
ln 𝑒
= 𝑘 ln 𝑎 
 
e se o valor de a for a base dos logaritmos neperiano: 
 
lim
𝑥→0
𝑎𝑥 − 1
𝑥
 = lim
𝑥→0
𝑒𝑥 − 1
𝑥
 ≡ lim
𝑦→0
ln 𝑒
ln 𝑒
 = 1 
lim
𝑥→0
𝑎𝑘𝑥 − 1
𝑥
 = lim
𝑥→0
𝑒𝑘𝑥 − 1
𝑥
 ≡ lim
𝑦→0
ln 𝑒𝑘
ln 𝑒
= 𝑘 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 125 
 A partir desses resultados e fazendo mais uma mudança de variáveis para a expressão abaixo, 
quando 𝑦 → 0: 
(𝑦 + 1)
1
𝑦 = 𝑒 
Se, 
𝑦 =
1
ℎ
 → ℎ =
1
𝑦
 
Logo, 
(𝑦 + 1)
1
𝑦 ≡ (
1
ℎ
+ 1)
ℎ
 = (
1 + ℎ
ℎ
)
ℎ
= 𝑒 
quando 𝑦 → 0 ou quando ℎ → ∞ , 
Aplicando Limite no infinito, nos membros à direita, na expressão acima: 
lim
ℎ→∞
(
1
ℎ
+ 1)
ℎ
= lim
ℎ→∞
(
1 + ℎ
ℎ
)
ℎ
= 𝑒 
 
que são as expressões mostradas no Teorema 5.15. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 126 
Exemplo 13 
Determine o limite da função abaixo na condição: lim𝑥→1 𝑓(𝑥). 
𝑓(𝑥) =
5
𝑥−1
2 − 1
𝑠𝑒𝑛 3(𝑥 − 1) 𝑠𝑒𝑛 2(𝑥 − 1)
 
- Fazendo substituição direta: 
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1
5
𝑥−1
2 − 1
𝑠𝑒𝑛 3(𝑥 − 1) 𝑠𝑒𝑛 2(𝑥 − 1)
= lim
𝑥→1
50 − 1
𝑠𝑒𝑛 3(0) 𝑠𝑒𝑛 2(0)
=
0
0
 
 
- Utilizando substituição de funções 
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1
5
𝑥−1
2 − 1
[3(𝑥 − 1) 2(𝑥 − 1)] 𝑠𝑒𝑛 3(𝑥 − 1) 𝑠𝑒𝑛 2(𝑥 − 1)
3(𝑥 − 1) 2(𝑥 − 1)
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 127 
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1
1
2 
5
𝑥−1
2 − 1
(𝑥 − 1)
2
[6(𝑥 − 1)] 
 
𝑠𝑒𝑛 3(𝑥 − 1)
3(𝑥 − 1)
 
𝑠𝑒𝑛 2(𝑥 − 1)
2(𝑥 − 1)
 
 
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) =
1
2 lim𝑥→1
[
5
𝑥−1
2 − 1
(𝑥 − 1)
2
]
lim
𝑥→1
[6(𝑥 − 1)] lim
𝑥→1
[
𝑠𝑒𝑛 3(𝑥 − 1)
3(𝑥 − 1)
] lim
𝑥→1
[
𝑠𝑒𝑛 2(𝑥 − 1)
2(𝑥 − 1)
]
 
 
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) =
1
2 ln
(5)
lim
𝑥→1
[6(𝑥 − 1)] (1) (1)
 
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) =
1
2
 ln(5) 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 128 
Funções que Aumentam ou Diminuem Indefinidamente (Limites Infinitos) 
 Vejamos outro caso da não existência de um limite onde a função aumenta ou diminui 
indefinidamente quando x tende a c. 
 
Limites no Infinito 
Definição 1 
Seja f uma função definida em um intervalo aberto (𝑎 , +∞). Escrevemos, 
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 
quando o número L satisfaz à seguinte condição: 
Para qualquer 𝜀 > 0, existe A > 0 tal que |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖 sempre que x > A. 
 
Definição 2 
Seja f uma função definida em um intervalo aberto (−∞ , 𝑏). Escrevemos, 
lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 
quando o número L satisfaz à seguinte condição: 
Para qualquer 𝜀 > 0, existe B > 0 tal que |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖 sempre que x < B. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 129 
Teoremas 
Se n é um número inteiro positivo, então: 
lim
𝑥→+∞
1
𝑥𝑛
= 0 
lim
𝑥→−∞
1
𝑥𝑛
= 0 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 130 
Exemplo 14 
Determine o lim𝑥→2
3
𝑥−2
. 
Solução 
Como mostra a Figura 1.59, a função f(x) diminui indefinidamente, quando 
x tende a 2 pela esquerda, e aumenta indefinidamente quando x tende a 2 
pela direita. Simbolicamente, podemos escrever que: 
lim
𝑥→2−
3
𝑥 − 2
= −∞ 
e 
lim
𝑥→2+
3
𝑥 − 2
= +∞ 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 131 
Exemplo 15 
Determinar lim𝑥→+∞
2 𝑥−5
𝑥+8
 (
∞
∞
) 
 
lim
𝑥→+∞
2 𝑥 − 5
𝑥 + 8
 = 
Escrever limite original 
Dividir numerador e 
denominador por x. 
 = lim
𝑥→+∞
2 −
5
𝑥
1 +
8
𝑥
 =2 
Substituição direta 
Solução final 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 132 
Exemplo 16 
Determinar lim𝑥→−∞
2𝑥3−3𝑥+5
4𝑥5−2
 (
∞−∞
−∞
) 
 
lim
𝑥→−∞
2𝑥3 − 3𝑥 + 5
4𝑥5 − 2
 = 
Escrever limite original 
Dividir numerador e 
denominador pela maior 
potência de x. 
 = lim
𝑥→−∞
2
𝑥2
−
3
𝑥4
+
5
𝑥5
4 −
2
𝑥5
 Substituição direta 
 =
0
4
= 0 Solução final 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 133 
Exemplo 17 
Determinar lim𝑥→+∞
2𝑥+5
√2𝑥2−5
 
 
lim
𝑥→+∞
2 𝑥 + 5
√2 𝑥2 − 5
 = 
Escrever limite original 
Dividir numerador e 
denominador por x. 
 = lim
𝑥→+∞
2 +
5
𝑥
√2𝑥2 − 5
√𝑥2
⁄
 
Simplificar 
 =
lim
𝑥→+∞
2 +
5
𝑥
lim
𝑥→+∞
√2𝑥
2 − 5
𝑥2
= 
2
√2
= √2 
Simplificar 
Substituição direta 
Solução final 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 134 
Exemplo 18 
Determinar lim𝑥→−∞
2𝑥+5
√2𝑥2−5
 
 
O raciocínio é idêntico ao exemplo anterior. Deve-se observar apenas a divisão por x no denominador 
que deve ser −√𝑥2 uma vez que x, do numerador, é negativo. 
 
lim
𝑥→−∞
2 𝑥 + 5
√2 𝑥2 − 5
 = 
Escrever limite original 
Dividir numerador e 
denominador por x. 
 = lim
𝑥→−∞
2 +
5
𝑥
√2𝑥2 − 5
(−√𝑥2)
⁄
 
Simplificar 
 =
lim
𝑥→−∞
2 +
5
𝑥
lim
𝑥→−∞
−√
2𝑥2 − 5
𝑥2
= −
2
√2
= −√2 
Simplificar 
Substituição direta 
Solução final 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 135 
Exercícios propostos 
Determinar os limites das funções trigonométricas abaixo: 
1) 
lim
𝑥→0
sen 4 𝑥
𝑥
 
2) 
lim
𝑥→0
tan 𝑥
𝑥
 
 
3) 
lim
∆ 𝑥→0
sen [(𝜋 6⁄ ) + ∆ 𝑥] −
1
2⁄
∆ 𝑥
 
4) 
lim
∆ 𝑥→0
cos[𝜋 + ∆ 𝑥] + 1
∆ 𝑥
 
 
5) 
lim
𝑥→0
sen2 𝑥
𝑥
 
6) 
lim
𝑥→0
tan2 𝑥
𝑥
 
7) 
lim
𝑥→0−
cos2 𝑥
𝑥
 
8) 
lim
𝑥→0+
csc 2 𝑥
𝑥
 
9) 
lim
𝑥→0
1 − cos 𝑥
𝑥2
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 136 
I.6 - Continuidade 
 Seja c um número no intervalo (a , b), e seja f uma função cujo domínio contém o intervalo (a , b). 
A função f é contínua no ponto c se as seguintes condições são satisfeitas: 
 1. f(c) existe 
 2. lim𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 
 3. lim𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐). 
 Se f é contínua em todos os pontos do intervalo (a , b), é contínua no intervalo aberto (a , b). 
 
 O gráfico na Figura 1.60 mostra três valores de x para os quais a função f 
não é contínua. 
 1. O ponto x = c1, por que f(c1) não é definida. 
 2. O ponto x = c2, por que lim𝑥→𝑐2 𝑓(𝑥) não existe. 
 3. O ponto x = c3, por que 𝑓(𝑐3) ≠ lim𝑥→𝑐3 𝑓(𝑥). 
 Em todos os outros pontos de intervalo (a , b), o gráfico de f não sofre nenhuma interrupção, o que 
significa ser contínua em todo o intervalo (a , b), com exceção dos pontos c1, c2 e c3. 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 137 
Exemplo 1 
Discuta a continuidade das funções dadas. 
 (a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2 𝑥 + 3 (b) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 
Solução 
As duas funções são funções polinomiais. Logo, são contínuas para qualquer valor de x, como mostra a 
Figura 1.62. 
 
 
 O gráfico de uma função polinomial é 
contínuo para qualquer valor de x e, portanto, não 
apresenta lacunas, saltos ou hiatos. 
 As funções racionais, por outro lado, como 
mostra o Exemplo 2, não precisam ser contínuas 
para todos os valores de x. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 138 
Exemplo 2 
Discuta a continuidade das funções dadas. 
 (a) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 (b) 𝑓(𝑥) =
𝑥2−1
𝑥−1
 (c) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥2+1
 
Solução 
 
Todas essas funções são racionais e são contínuas para todos os valores de x pertencentes ao domínio. 
(a) O domínio de 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 é formado por todos os números reais, exceto x = 0. Assim, essa função é contínua nos 
intervalos (−∞ , 0) 𝑒 (0 , ∞). [Figura 1.63(a)] 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 139 
(b) O domínio de 𝑓(𝑥) =
𝑥2−1
𝑥−1
 é formado por todos os números reais, exceto x = 1. Assim, essa função é contínua 
nos intervalos (−∞ , 1) 𝑒 (1 , ∞). [Figura 1.63(b)] 
(c) O domínio de 𝑓(𝑥) =
1
𝑥2+1
 é o conjunto dos números reais. Assim, essa função é contínua no intervalo (−∞ , ∞). 
[Figura 1.63(c)] 
 
 
 Considere um intervalo aberto I que contém um ponto c. Se uma função f existe no intervalo I 
(exceto possivelmente em c) e é descontínua em c, dizemos que f possui uma descontinuidade em c. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 140 
 As descontinuidades podem ser de dois tipos: removíveis e não removíveis. 
 Dizemos que uma descontinuidade no ponto c é removível se é possível tornar contínua a função f 
mudando a definição de f(c). Por exemplo: a função do Exemplo 2(b) possui uma descontinuidade 
removível no ponto (1 , 2), já que, para remover a descontinuidade, basta definir a função de tal forma 
que f(1) = 2. 
 
 Uma descontinuidade em x = c é não removível se não é possível tornar a função contínua em 
x = c mudando a definição de f em x = c. Por exemplo, a função do Exemplo 2(a) possui uma 
descontinuidade não removível no ponto x=0. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 141 
REFERÊNCIAS 
 Conteúdo deste capítulo foi compilado de: 
 
LARSON, R. & EDWARDS, B. H.; Calculus, 9 ed., Brooks/Cole, Cengage Learning, 2010. 
 
LARSON, R. & EDWARDS, B. H.; com a assistência de FALVO, D. C., Cálculo com Aplicações, 6 ed., Rio de 
Janeiro – RJ, LTC, 2008. 
 
LEITHOLD, L; O Cálculo com Geometria Analítica, São Paulo – SP, Harbra Editora Harper & Row do 
Brasil Ltda, 1977.