Pré- Cálculo- Francisco Magalhães Gomes - UNICAMP
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Pré- Cálculo- Francisco Magalhães Gomes - UNICAMP


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Matemática
básica
Francisco Magalhães Gomes
IMECC \u2013 UNICAMP
Campinas, 20 de maio de 2015
Sumário
Sumário i
1 Números reais 1
1.1 Conjuntos de números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Soma, subtração e multiplicação de números reais . . . . . . . . . . . . . 4
A precedência das operações e o uso de parênteses . . . . . . . . . . . . . 5
Propriedades da soma e multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Números negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Divisão e frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
A divisão como um produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Soma e subtração de frações com denominadores iguais . . . . . . . . . . 14
Multiplicação de frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Divisão de frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Frações equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Soma e subtração de frações com denominadores diferentes . . . . . . . 22
Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4 Simplificação de frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Divisores, múltiplos e números primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Máximo divisor comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Simplificação de frações usando o mdc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Simplificação de frações durante o cálculo do produto . . . . . . . . . . . 32
Mínimo múltiplo comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
O uso do mmc na soma e subtração de frações . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.5 Operações com horas, minutos e segundos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.6 A reta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.7 Razões e taxas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Razão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Taxa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.8 Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Crescimento e decrescimento percentual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.9 Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Expoentes negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Simplificação de expressões com potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Notação científica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Operações com números em notação científica . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.10 Raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Quadrados perfeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Raiz enésima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Propriedades das raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Raízes como potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Racionalização de denominadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2 Equações e inequações 87
i
ii Sumário
2.1 Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Solução de equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Formas abreviadas de aplicação das propriedades das equações . . . . . 92
2.2 Proporções e a regra de três . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Grandezas diretamente proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Grandezas inversamente proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Regra de três para grandezas diretamente proporcionais . . . . . . . . . 97
Regra de três para grandezas inversamente proporcionais . . . . . . . . . 101
Problemas complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.3 Regra de três composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.4 Equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Resolução de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Resolução de problemas com o uso de equações lineares . . . . . . . . . . 116
2.5 Sistemas de equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
O método da substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.6 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
União e interseção de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.7 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
União e interseção de intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
2.8 Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Análise das regras do produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Subtração de uma expressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Divisão por uma expressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Inequações do tipo \u201cmaior ou igual\u201d . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Inequações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Resolução de problemas com o uso de inequações lineares . . . . . . . . 146
2.9 Polinômios e expressões algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Soma e subtração de expressões algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Produto de expressões algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Produtos notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Reconhecendo produtos notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
2.10 Equações quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Equações com polinômios na forma fatorada . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Equações com c = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Equações com b = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Equações com todos os coeficientes não nulos . . . . . . . . . . . . . . . . 167
2.11 Inequações quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Conversão de um polinômio quadrático à forma fatorada . . . . . . . . . 174
Solução de inequações do segundo grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
2.12 Equações racionais e irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Domínio de uma expressão algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Operações com expressões fracionárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Equações racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Equações irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
2.13 Inequações racionais e irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Inequações racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Inequações irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
2.14 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Distância na reta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Equações com valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Inequações modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
3 Funções 223
3.1 Coordenadas no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Regiões do plano Cartesiano