AP1_PreCalculoEng_2019_1_gabarito (1)

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Gabarito da AP 1 Pre´-Ca´lculo para Engenharia - 2019/1
AP1 – PRE´-CA´LCULO PARA ENGENHARIA –GABARITO – 2019/1
Questa˜o 1 [2,0 pontos]
Considere a equac¸a˜o
√
2x− 4 = 4− |x|..
a) [0,5 ponto] Determine para quais valores de x a expressa˜o
√
2x− 4 esta´ bem definida. Ale´m
disso, sabendo que a raiz quadrada do primeiro membro e´ positiva, avalie os poss´ıveis valores
do segundo membro e de x.
Soluc¸a˜o:
A expressa˜o
√
2x− 4 esta´ bem definida apenas se 2x − 4 ≥ 0, ou seja, se x ≥ 2. Como√
2x− 4 ≥ 0, enta˜o 4 − |x| ≥ 0, e portanto |x| ≤ 4. Sabendo que x ≥ 2, enta˜o |x| ≤ 4 nos da´
2 ≤ x ≤ 4.
b) [1,5 ponto] Resolva a equac¸a˜o.
Soluc¸a˜o:
Vamos elevar ambos os membros de
√
2x− 4 = 4 − |x| ao quadrado: assim, 2x − 4 =
(4− |x|)2 = 16− 8|x|+ |x|2. Sabemos que |x|2 = x2, e pelo item (a) conclum´os que 2 ≤ x ≤ 4.
Portanto, podemos considerar aqui |x| = x. Da´ı, a equac¸a˜o fica
x2 − 10x + 20 = 0.
As soluc¸o˜es desta equac¸a˜o sa˜o x1 = 5−
√
5, que pertence ao intervalo [2, 4], e x2 = 5 +
√
5,
que na˜o pertence ao intervalo [2, 4].
Conclusa˜o: a equac¸a˜o possui uma u´nica soluc¸a˜o, x = 5−
√
5.
Questa˜o 2 [2,0 pontos]
Considere a expressa˜o E(x) =
(x + 3)
(x− 3)(x + 1).
Fac¸a o que se pede:
(a)[0,5 ponto] Encontre os valores de x tais que E(x) = 0.
Soluc¸a˜o:
Note que E(x) = 0, se e somente se, x + 3 = 0.
Assim, x = −3
(b) [1,5 pontos] Complete a tabela abaixo com o estudo do sinal de cada expressa˜o escrita na
tabela. Observe que o estudo do sinal ja´ foi feito para a expressa˜o x + 3.
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x < −3 −3 < x < −1 −1 < x < 3 x > 3
x + 3 −−−− + + + + + + + + +
x− 3 −−− −−− −−− + + +
x + 1 −−− −−− + + + + + +
E(x) = (x+3)
(x−3)(x+1) −−− + + + −−− + + +
(c) [1,0 ponto] Encontre os valores de x tais que E(x) > 0.
Soluc¸a˜o:
Pelo o estudo do sinal feito no item (b), temos que:
E(x) > 0 para x ∈ (−3,−1) ∪ (3,+∞).
Questa˜o 3 [2, ponto](feita) Uma pessoa dividiu o valor de 1400 reais entre duas contas
para investimento. A primeira conta paga 3 por cento de juros, e a segunda paga 4 por cento,
por meˆs. Se ao final do primeiro meˆs a quantidade de juros ganha foi de 50 reais no total, enta˜o
quanto foi investido em cada conta?
Soluc¸a˜o:
Seja x a quantidade investida na primeira conta. Apo´s um meˆs, os juros ganhos desta conta
somaram 0, 03x. O valor investido na segunda conta foi de 1400− x, e os juros ganhos ao final
do meˆs foram de 0, 04(1400 − x) = 56 − 0, 04x. Como o total de ganhos com juros foi de 50
reais, enta˜o
0, 03x + 56− 0, 04x = 50,
isto e´
0, 01x = 6.
Resolvendo a equac¸a˜o, temos x = 600 reais na primeira conta, e 1400 − 600 = 800 na
segunda.
Questa˜o 4 [2,0 pontos]Considere a equac¸a˜o −x2 + 8x + y − 18 = 0. Fac¸a o que se pede:
a. [0,8 ponto] Encontre a equac¸a˜o canoˆnica da para´bola.
b. [1,2 pontos] Determine a equac¸a˜o da reta que passe pelo ve´rtice da para´bola dada no
enunciado e pelo ponto de intersec¸a˜o da para´bola com o eixo Oy.
Soluc¸a˜o:
a) Completando quadrado a equac¸a˜o −x2 + 8x + y − 18 = 0 , obtemos:
−x2 + 8x+ y− 18 = 0⇒ y = x2− 8x+ 18⇒ y = x2− 8x+ 16− 16 + 18⇒ y = (x− 4)2 + 2
Assim, y − 2 = (x− 4)2 e´ a equac¸a˜o canoˆnica da para´bola.
b) Da equac¸a˜o y − 2 = (x− 4)2, conclu´ımos que o ve´rtice da para´bola e´ o ponto V = (4, 2).
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Para determinar os pontos de intersec¸a˜o dessa para´bola com o eixo Oy, fazemos x = 0 na
equac¸a˜o y − 2 = (x− 4)2, obtemos y = 18.
Logo, o ponto A = (0, 18) e´ o ponto de intersec¸a˜o dessa para´bola com o eixo Oy.
Assim, queremos determinar a equac¸a˜o da reta que passa pelos pontos (4, 2) e (0, 18).
O coeficiente angular da reta que passe pelo ve´rtice da para´bola e pelo ponto de intersec¸a˜o
da para´bola com o eixo Oy. e´: m =
18−2
0−(4) = −4
Logo, y − 18 = −4(x− 0). Portanto, y = −4x + 18 e´ a equac¸a˜o da reta .
Questa˜o 5 [2,0 pontos]O volume de um prisma retangular e´ dado pela fo´rmula (a´rea da
base).(altura). Se o volume e´ dado pela expressa˜o polinomial
p(x) = 3x3 + 14x2 − 23x + 6,
faA˜§a o que se pede:
a. [1,0 ponto] Se a altura e´ dada por x + 6, encontre a expressa˜o polinomial que representa
a a´rea da base.
Soluc¸a˜o:
Usando o dispositivo de Briot-Ruffini, dividimos p(x) = 3x3 + 14x2 − 23x + 6 por x + 6,
obtendo assim 3x2 − 4x + 1, que representa a a´rea da base do prisma.
b. [1,0 ponto] Continuando seu trabalho no item acima, fatore completamente o polinoˆmio
dado.
Soluc¸a˜o:
Como 3x2−4x+1, encontrado acima, e´ um polinoˆmio de segundo grau, usamos a Fo´rmula
de Ba´shkara para encontrar suas ra´ızes, obtendo x1 = 1/3 e x2 = 1. Temos 3x
2−4x+1 =
3(x−1)(x−1/3). Portanto, o polinoˆmio do enunciado e´ fatorado completamente da forma
abaixo:
p(x) = 3x3 + 14x2 − 23x + 6 = 3(x− 1)(x− 1/3)(x + 6).
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RASCUNHO
Nome: Matr´ıcula:
Atenc¸a˜o!
• Resoluc¸o˜es feitas nesta folha na˜o sera˜o corrigidas. • Devolver esta folha ao aplicador.