Apostila Matemática 10 - Análise Combinatória e Probabilidades
102 pág.

Apostila Matemática 10 - Análise Combinatória e Probabilidades


DisciplinaMatemática54.981 materiais784.967 seguidores
Pré-visualização25 páginas
1
Matemáti ca
Análise combinatória 
e probabilidades
Rua General Celso de Mello Rezende, 301 \u2013 Tel.: (16) 3238·6300
CEP 14095-270 \u2013 Lagoinha \u2013 Ribeirão Preto-SP
www.sistemacoc.com.br
SISTEMA COC DE ENSINO
Direção-Geral: Sandro Bonás
Direção Pedagógica: Zelci C. de Oliveira
Direção Editorial: Roger Trimer
Gerência pedagógica: Luiz 
Fernando Duarte
Gerência Editorial: Osvaldo Govone
Gerência Operacional: Danilo Maurin
Gerência de Relacionamento: Danilo Lippi
Ouvidoria: Regina Gimenes
Conselho Editorial: José Tadeu B. 
Terra, Luiz Fernando Duarte, Osvaldo 
Govone e Zelci C. de Oliveira
PRODUÇÃO EDITORIAL
Autoria: Jeferson Petronilho
Editoria: Clayton Furukawa, José F. Rufato, 
Marina A. Barreto e Paulo S. Adami
Coordenação editorial: Luzia 
H. Fávero F. López
Assistente Editorial: George R. Baldim
Projeto gráfico e direção de 
arte: Matheus C. Sisdeli
Preparação de originais: 
Marisa A. dos Santos e Silva e 
Sebastião S. Rodrigues Neto
Iconografia e licenciamento de 
texto: Cristian N. Zaramella, Marcela 
Pelizaro e Paula de Oliveira Quirino.
Diagramação: DIAGRAMA SOLUÇÕES 
EDITORIAIS LTDA \u2013 EPP
Ilustração: DIAGRAMA SOLUÇÕES 
EDITORIAIS LTDA \u2013 EPP
Revisão: Flávia P. Cruz, Flávio R. Santos, 
José S. Lara, Leda G. de Almeida e 
Maria Cecília R. D. B. Ribeiro.
Capa: LABCOM comunicação total
Fechamento: DIAGRAMA SOLUÇÕES 
EDITORIAIS LTDA \u2013 EPP
CAPÍTULO 01 ANÁLISE COMBINATÓRIA 7
1. Introdução 7
2. Princípio fundamental da contagem (PFC) 9
3. Princípio do desprezo da ordem 18
4. Exercícios caracterizados de contagem 19
5. Fórmulas de contagem 26
CAPÍTULO 02 NÚMEROS BINOMIAIS 29
1. Introdução 29
2. Triângulo de Pascal 32
3. Binômio de Newton 36
CAPÍTULO 03 PROBABILIDADE 42
1. Experimentos aleatórios 42
2. Espaço amostral e evento 42
3. Tipos de eventos 43
4. Probabilidade estatística e probabilidade teórica 44
5. Probabilidade teórica de um evento 44
6. Propriedades das probabilidades 45
7. Probabilidade do evento união 51
8. Probabilidades num espaço amostral não equiprovável 51
9. Probabilidade condicional 55
10. Probabilidade do evento intersecção 55
11. Eventos independentes 56
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 67
Su
m
ár
io
Teoria
PV
-1
3-
11
Análise combinatória e probabilidades
7
Matemáti ca
A análise combinatória é aplicada em diver-
sos campos de atividade, desde o estudo em 
apostas em loterias até o estudo das possíveis 
ligações entre os átomos na Química. Em par-
ticular na Matemática, teremos oportunidade 
de aplicá-la no desenvolvimento dos binômios 
de Newton e na teoria das probabilidades.
1.1. Fatorial
São muito frequentes, na análise combina-
tória, produtos que tenham como fatores 
todos os números inteiros positivos, desde 1 
até um certo n, por exemplo 5 · 4 · 3 · 2 · 1; 
para facilitar, usaremos uma forma abreviada 
para representá-los, o fatorial.
Definição: Sendo n um número natural, 
maior que 1, o fatorial de n (n!) é o produto de 
todos os naturais de n até 1.
Assim n! = n · (n \u2013 1) · (n \u2013 2) · \u2026 · 3 · 2 · 1
O símbolo n! também pode ser lido como 
n fatorial.
Exemplos
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
3! = 3 · 2 · 1
Em particular, definimos: 0! = 1 e 1! = 1
Observação: Ao desenvolver um fatorial, colo-
cando os fatores em ordem decrescente, pode-se 
interropê-lo onde for conveniente, indicando os 
últimos fatores também na notação de fatorial.
Exemplos:
01. 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1! = 7 · 6 · 5! =
 = 7 · 6! = 7 · 6 · 5 · 4! 
02. n! = n · (n \u2013 1)! = n · (n \u2013 1) · (n \u2013 2)!
03. (n + 1)! = (n + 1) · n! = (n + 1) · n · (n \u2013 1)!
Este é um recurso muito utilizado nas simplifi-
cações de expressões com fatoriais:
Exemplo
100
98
100 99 98
98
9 900
!
!
· · !
!
.= =
1. Introdução 
A análise combinatória é a parte da Mate-
mática que estuda a quantidade de possibi-
lidades de ocorrência de um acontecimento, 
sem que haja necessidade de descrevermos 
todas as possibilidades de ocorrência.
Para explicar esse estudo, podemos analisar o 
problema abaixo.
Consideremos a figura abaixo, em que há parte 
da planta de um bairro. Uma pessoa deve cami-
nhar de sua casa à escola onde estuda, usando 
um dos caminhos mais curtos, isto é , ela só po-
derá caminhar \u201cda esquerda para a direita\u201dou 
\u201cde baixo para cima\u201d. Quantos são os possíveis 
caminhos diferentes para esse percurso?
Casa
Escola
Observação: A figura mostra um dos caminhos 
possíveis.
Para resolver esse problema, a primeira ideia é 
tentar descrever todos os caminhos possíveis, 
o que facilmente é descartado dada a grande 
quantidade de possibilidades.
Nos próximos módulos, esse e muitos ou-
tros problemas serão resolvidos por meio de 
regras de contagem, que não exigem a des-
crição das possibilidades, isto é, descobrir 
quantas sem necessariamente saber quais.
CAPÍTULO 01 ANÁLISE COMBINATÓRIA
Análise combinatória e probabilidades
PV
-1
3-
11
8
Matemática
01. Classifique as igualdades como verdadei-
ras (V) ou falsas (F):
a. 3! + 2! = 5!
b. (3!) · (2!) = 6!
c. (3!)2 = 9!
d. 
4
2
!
! = 2!
03. 
Simplificar +(n 1)!
(n\u20131)!
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
02. Simplifique:
a. 8!
6!
b. 7!
5!2!
c. 6!
2!3!
04. Resolver a equação:
20 · (n \u2013 1)! = (n + 1)!
05. UFRN
Se (x + 1)! = 3 (x!), então x é igual a:
a. 1 d. 4
b. 2 e. 5
c. 3
Resolução
a. F, pois 3! = 3 · 2 · 1 = 6, 2! = 2 · 1 = 2 e 
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
b. F, pois 6! = 6 · 5! = 6 · 120 = 720
(3!) · (2!) = 6 · 2 = 12 \u2260 6! = 720
c. F, pois 9! = 9 · 8 · 7 · 6! = 362.880
e (3!)2 = (6)2 = 36
d. F, pois =4!
2!
4·3·2!
2!
 = 12 \u2260 2! = 2
Resolução
a. 8
6
8 7 6
6
56
!
!
· · !
!
= =
b. 7
5 2
7 6 5
5 2
21
!
! !
· · !
! !
= =
c. 6
2 3
6 5 4 3
2 1 3
60
3
!
! !
· · · !
· · !
= =
Resolução
Inicialmente, desenvolvemos (n + 1)! até che-
garmos em (n \u2013 1)!:
( )!
( \u2013 )!
( ) · · ( )!
( )!
( ) ·
n
n
n n n
n
n n
+
=
+ \u2212
\u2212
=
= + =
1
1
1 1
1
1 nn n2 +
Resposta
n2 + n
Resolução
=
+
=
+
20 (n 1)!
(n\u20131)!
(n 1) · n · (n\u20131)!
(n\u20131)!
20 = n2 + n \u21d2 n2 + n \u201320 = 0
n = 4 ou n = \u20135 (não convém)
S = {4}
Resolução
( )! · ! ( ) · ! · !x x x x x
x
+ = \u21d2 + =
=
1 3 1 3
2
Resposta
B
PV
-1
3-
11
Análise combinatória e probabilidades
9
Matemática
06. FCMSC - SP
A solução da equação + \u2212
+
=
(n 2)!(n 2)!
(n 1)!(n\u20131)!
4 é um 
número natural:
a. par. d. divisível por 5.
b. cubo perfeito. e. múltiplo de 3.
c. maior que 10.
07. 
Se + =
x! · (x 1)!
(x \u20131)! · x!
20 , então x vale:
a. \u20136 d. 5
b. \u20135 e. 6
c. 4
2. Princípio fundamental da contagem (PFC)
O PFC é uma regra que permite determinar o número de possibilidades de ocorrência de um 
acontecimento, sem que se descrevam todas as possibilidades. A ideia da regra resulta de uma 
análise apurada de diagramas de árvores.
2.1. Diagrama de árvore 
É chamado de diagrama de árvore o esquema que lembra a estrutura de uma árvore, usado para 
descrever todas as possibilidades de ocorrência de um acontecimento.
Consideremos o acontecimento: uma corrida de que participam apenas três corredores A, B e C.
ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA
C
B
C
A
B
A
B
C
A
C
A
B
A
B
C
1º lugar
(3 possibilidades)
2º lugar
(2 possibilidades)
3º lugar
(1 possibilidade)
Resultados
(6 possibilidades)
Tronco
1ª etapa de 
rami\ufb01cação
2ª etapa de 
rami\ufb01cação
3ª etapa de 
rami\ufb01cação
Analisando o diagrama, percebemos que cada um dos resultados possíveis para a corrida é uma 
\u201cponta\u201dna \u201cárvore\u201d e que