lista de exercícios

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 
 
 
CAMPUS APUCARANA 
 
1ª Lista de Exercícios - Cálculo 2 – Engenharia Química - Profª Adriana Camila Braga 
 
 
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PR
5) E´ mostrado o mapa de contorno da func¸a˜o f . Use-o para estimar o valor de f(−3, 3)
e f(3,−2).
6) Dois mapas de contorno sa˜o usados na figura. Um e´ de uma func¸a˜o f cujo gra´fico e´
um cone. O outro e´ uma func¸a˜o g cujo gra´fico e´ um parabolo´ide. Qual e´ qual?
7) Fac¸a o mapa de contorno da func¸a˜o mostrando va´rias curvas de n´ıvel.
a) f(x, y) = (y − 2x)2
b) f(x, y) = y − ln(x)
c) f(x, y) = yex
d) f(x, y) =
√
y2 − x2
8) Use um recurso gra´fico para trac¸ar o gra´fico das seguintes func¸o˜es:
a) f(x, y) = e−x
2
+ e−2y
2
b) f(x, y) = xy2 − x3
9) Descreva as superf´ıcies de n´ıvel da func¸a˜o:
a) f(x, y) = x+ 3y + 5z
b) f(x, y) = x2 − y2 + z2
2
10) Fac¸a uma correspondeˆncia entre as func¸o˜es e os seus mapas de contorno:
11) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite na˜o existe.
a) lim
(x,y)→(5,−2)
(x5 + 4x3 − 5xy2)
b) lim
(x,y)→(2,1)
4− xy
x2 + 3y2
c) lim
(x,y)→(0,0)
y4
x4 + 3y4
d) lim
(x,y)→(0,0)
xy cos y
3x2 + y2
e) lim
(x,y)→(0,0)
xy√
x2 + y2
3
f) lim
(x,y)→(0,0)
x2yey
x4 + 4y2
g) lim
(x,y)→(0,0)
x2 + y2√
x2 + y2 + 1− 1
12) Determine o maior conjunto no qual a func¸a˜o e´ cont´ınua.
a) F (x, y) =
1
x2 − y
b) F (x, y) = arctan(x+
√
y)
c) G(x, y) = ln(x2 + y2 − 4)
d) f(x, y, z) =
√
y
x2 − y2 + z2
e) f(x, y) =


x2y3
2x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
1 se (x, y) = (0, 0)
4
Respostas dos exerc´ıcios
1) (a) 4 (b) R2 (c) [0,+∞)
2) (a) e (b) {(x, y, z) | z ≥ x2 + y2}
3) (a) {(x, y) | y ≥ −x} (b) {(x, y) | 1
9
x2 + y2 < 1}
(c) {(x, y) | −1 ≤ x ≤ 1,−1 ≤ y ≤ 1} (d) {(x, y) | y ≥ x2, x 6= ±1}
(e) {(x, y, z) | x2 + y2 + z2 ≤ 1}
5
4)
5) f(−3, 3) ' 56 f(3,−2) ' 35
6) I - parabolo´ide, II - cone
7)
6
8)
9)
a) Famı´lia de planos paralelos.
b) Famı´lia de hiperbolo´ides de uma ou duas folhas com eixo no eixo y.
10) A-IV, B-VI, C-II, D-V, E-III, F-I
11) a) 2025 b) 2
7
c) na˜o existe d) na˜o existe
e) 0 f) na˜o existe g) 2
12) a) {(x, y) | y 6= x2} b) {(x, y) | y ≥ 0} c) {(x, y) | x2 + y2 > 4}
d) {(x, y, z) | y ≥ 0, y 6= √x2 + z2} e) {(x, y) | (x, y) 6= (0, 0)}
7