Roteiro 3 - Limites e continuidade

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS 
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA 
Profª.: Dra. Selma Helena Marchiori Hashimoto 
 
 
LIMITES DE FUNÇÕES E CONTINUIDADE 
 
1. TANGENTES, ÁREAS E LIMITES 
Os matemáticos do século XVI tinham dois problemas a serem resolvidos: 
1. O Problema da Reta Tangente: Encontrar a inclinação da reta l tangente ao gráfico da 
função f, no ponto P. 
 
 
2. O Problema da Área: Encontrar a área da região R limitada pelo gráfico da função f e o 
eixo-x para a ≤ x ≤ b. 
 
 
O Cálculo Diferencial analisa a taxa de variação de uma função. Portanto, resolve o problema 1. 
O Cálculo Integral envolve um processo de soma generalizada que resolve o problema 2. 
 
 2 
1.1 A Tangente de uma Curva 
 O primeiro passo ao atacar o problema da reta tangente é definir claramente o que significa “reta 
tangente ao gráfico de f no ponto P”. 
 Da geometria sabemos que se o gráfico de f é um arco de uma circunferência então a tangente no 
ponto P pode ser definida como a única reta que intercepta a circunferência apenas no ponto P. 
 Esta definição é perfeitamente adequada para arcos de circunferências, mas fracassa para curvas 
mais gerais. Por exemplo, a figura (a) mostra várias retas interceptando o gráfico de f apenas no ponto 
P, mas nenhuma delas é uma tangente. A figura (b) mostra a tangente a P interceptando o gráfico de f 
em outros pontos. 
 
 
 Existe um outro meio, entretanto, de definir a tangente a uma circunferência que tem uma 
generalização satisfatória para as curvas mais gerais. 
 A figura a seguir ilustra que um segundo ponto Q sobre a circunferência determina uma secante 
que liga os pontos P e Q. 
 
 
 Quando o ponto Q se move em direção a P ao longo da circunferência, a reta secante gira tendo 
o ponto P fixo. 
 Vamos usar esta ideia para definir a tangente de forma mais geral. 
 3 
Definição 1.1: Sejam P e Q pontos sobre uma curva C. A reta tangente à curva C no ponto P, se 
existir, é a posição limite da reta secante que passa por P e Q, quando Q se 
aproxima de P ao longo da curva C. 
 
 Vamos agora determinar como definir a inclinação da reta tangente ao gráfico de uma função f 
em um ponto P, de tal modo que seja consistente com esta noção de tangente a uma curva. 
 
 Considere a figura abaixo: 
 
 
 A inclinação da reta secante é: 
   
h
xfhxf
x
y 00 

 
 
 À medida que o ponto Q se aproxima de P ao longo do gráfico de f, o número h ≠ 0 se aproxima 
de zero. 
 
Então, a tangente ao gráfico de f em P, é a “posição limite” da secante por P e Q quando h se 
aproxima de zero, ou seja, a inclinação da tangente a P é igual ao valor limite da inclinação da reta 
secante quando h se aproxima de zero, e isto é igual ao limite quando h se aproxima de zero de 
   
h
xfhxf 00  . 
 
 4 
Exemplo 1.1: Encontre a inclinação da reta tangente ao gráfico de   2xxf  no ponto (2,4). 
Solução: 
h -1 -0.1 -0.01 -0.001 0.001 0.01 0.1 1 
   
h
fhf 22 
 3 3.9 3.99 3.999 4.001 4.01 4.1 5 
 
Quando h se aproxima de zero para estes valores, a inclinação das secantes parecem aproximar-
se de 4. De fato: 
      220 4422 hhhhfhxf  , e 
    422 20  fxf 
 
 A inclinação da tangente é portanto, 
  44lim
0
  hm h 
 
 
 
Definição 1.2: A inclinação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto   00 , xfx , se 
existir, é o número 
   
h
xfhxf
m
h
00
0
lim
  . 
 
 5 
Exemplo 1.2: Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico de   233  xxxf no ponto 
(1,2). 
Solução: 
  22311 3 f 
      26321311 233  hhhhhhf 
 A inclinação da reta secante que passa por (1,2) é: 
     
0,63
226311 2
23
 hhh
h
hhh
h
fhf
 
 A inclinação da reta tangente é portanto, 
  663lim 2
0
  hhm h 
 Uma equação para a reta tangente que tem a inclinação m = 6 e passa pelo ponto (1,2) é: 
  046162  xyxy . 
 
Exercícios 
1. Use a definição 1.2 para encontrar a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto dado. 
(a)    4,2,23  Pxxf 
(b)    18,3,2 2  Pxxf 
(c)    5,1,32 2  Pxxf 
(d)    6,2,243 2  Pxxxf 
(e)    11,2,33  Pxxf 
(f)    16,2,4  Pxxf 
(g)    1,2,
3
1  Pxxf 
(h)    1,2,4
2
 P
x
xf 
 
2. Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico da função   23xxf  no ponto (-1, 3). 
 
3. Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico da função   2axxf  , no ponto (1, a). 
 
4. Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico da função   xxxf  22 , no ponto em 
que x = 1. 
 
 6 
5. Usando uma calculadora podemos aproximar a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em 
  00 , xfx calculando a inclinação da secante    h
xfhxf 00  para h pequeno. 
(a) Aproxime a inclinação da reta tangente ao gráfico de   xxxf 33  no ponto (2, 2) 
completando a tabela 1.1. 
(b) Use o método dos exemplos 1.1 e 1.2 para calcular a inclinação da reta tangente ao 
gráfico de   xxxf 33  no ponto (2, 2). Compare com a parte (a). 
 
Tabela 1.1 
0x h 
   
h
xfhxf 00  
 0.1 
 0.01 
 0.001 
 0.0001 
 -0.0001 
 -0.001 
 -0.01 
 -0.1 
 
6. Use a tabela 1.2 para aproximar a inclinação da reta tangente ao gráfico de xy sen no ponto 
(0, 0). 
Aplique o método dos exemplos 1.1 e 1.2 para obter uma expressão para o limite que deve ser 
calculado a fim de obter a inclinação da reta tangente. 
 
7. Mostre que a inclinação da reta tangente ao gráfico de   162  xxxf no ponto em que 
x = a é m = 2a + 6. Use esta informação para encontrar o número x em que a inclinação da 
tangente ao gráfico é zero. 
 
8. Seja   xxf  . Complete a tabela 1.2 para o ponto (0, 0). A função valor absoluto tem um 
tangente no ponto (0, 0)? 
 7 
2. LIMITES DE FUNÇÕES 
 
A afirmação 
 xfL
ax lim 
significa que os valores  xf estão tão próximos de L quanto desejarmos para todo x ≠ a, mas 
suficientemente próximo de a. 
 Esta definição não é uma definição rigorosa porque as frases “tão próximos de L quanto 
desejarmos” e “suficientemente próximo de a” são, de algum modo, imprecisas. 
 
Exemplo 2.1: Seja   12  xxf . Então 
  7lim
3
 xfx . 
 Para ver como esta função satisfaz a definição intuitiva de limite dada acima, analisaremos duas 
escolhas diferentes de “tão próximo” de  xf para L = 7. 
Por exemplo, vamos supor que  xf esteja próximo de 7 com um precisão de 0.5, isto é, 
5.7125.6  x 
 Mas, 
25.375.25.625.55.7125.6  xxx . 
Assim, para obter a precisão desejada de ±0,5 em torno de L = 7, restringimos x ao intervalo 
25.375.2  x . 
Agora, se quisermos que  xf esteja próximo de 7 com uma precisão de 0.1, temos 
05.395.21.629.51.7129.6  xxx . 
Portanto, se 05.395.2  x , então  xf está próximo de 7 com precisão de 0.1. 
 
Em geral, dada qualquer precisão desejada de  xf para 7, podemos encontrar um intervalo 
aberto I centrado em 3 tal que, se x pertence ao intervalo I, então o valor  xf difere de 7 por não 
mais do que a precisão prescrita. Assim, dizemos que 
  712lim
3
 xx . 
 
 8 
Exemplo 2.2: A função  
x
x
xf
sen não é definida em x = 0. Entretanto, o limite 
1
sen
lim
0
 x
x
x
. 
 Observe a tabela 1.2: 
Tabela 1.2 
X 
x
xsen
 x 
x
xsen
 
0.8 0.896695 -0.002 0.999999 
0.5 0.958851 -0.005 0.999996 
0.2 0.993347 -0.02 0.999933 
0.08 0.998934 -0.05 0.999583 
0.05 0.999583 -0.08 0.998934 
0.020.999933 -0.2 0.993347 
0.005 0.999996 -0.5 0.958851 
0.002 0.999999 -0.8 0.896695 
 
 
 Esta evidência numérica é consistente com o gráfico de  xf : 
 
 
 
 9 
Exemplo 2.3: Calcule 
 
x
x
x
11
lim
3
0

 . 
Solução: A função    
x
x
xf
11 3  não é definida para x = 0. Mas observando a tabela 1.3 vemos 
que quando x está se aproximando de zero, o valor  xf se aproxima de L = 3. 
Tabela 1.3 
X 
 
x
x 11 3 
 x 
 
x
x 11 3 
 
2.0 13.0 -0.001 2.997 
1.5 9.75 -0.01 2.9701 
1.0 7.0 -0.1 2.71 
0.5 4.75 -0.2 2.44 
0.2 3.64 -0.5 1.75 
0.1 3.31 -1.0 1.0 
0.01 3.0301 -1.5 0.75 
0.001 3.003 -2.0 1.0 
 
 Os dados sugerem que 
 
3
11
lim
3
0
 x
x
x
. 
 Podemos verificar este limite utilizando uma álgebra simples. De fato, 
   
0,33
33113311 2
23233
 xxx
x
xxx
x
xxx
x
x
. 
 Concluímos, portanto que as funções    
x
x
xf
11 3  e   332  xxxg tem os mesmos 
valores, exceto para x = 0, em que  0f não é definida. Assim, os limites quando x se aproxima de 
zero destas duas funções devem ser os mesmos. 
 Nosso limite pode ser calculado como segue: 
    330033lim11lim 2
0
3
0
  xxx
x
xx
 
 Graficamente, temos: 
 
 10 
Exemplo 2.4: Calcule o limite 
6
23
lim
2
2
2 

 xx
xx
x
. 
Solução: Primeiro observemos que para x = 2 obtemos o quociente: 
0
0
624
264
622
2232
2
2



 
que não está definido. 
 Portanto, devemos fatorar o numerador e o denominador, obtendo para x ≠ 2, 
  
   3
1
32
12
6
23
2
2




x
x
xx
xx
xx
xx
. 
 
 Assim, 
5
1
32
12
3
1
lim
6
23
lim
22
2
2




 x
x
xx
xx
xx
 
 
 
 
Exemplo 2.5: Calcule 
x
x
x cos1
sen
lim
2
 . 
Solução: 
 Primeiro observemos que   0sensen 22   e   011cos1   . 
 
 Assim, numerador e denominador são ambos iguais a zero quando x . Temos, então, de 
encontrar uma expressão equivalente para 
x
x
cos1
sen2
 , isto é, 
  
1cos se,cos1
cos1
cos1cos1
cos1
cos1
cos1
sen 22 

 xxx
xx
x
x
x
x
 
 
 Assim, 
    211cos1lim
cos1
sen
lim
2
  xx
x
xx  . 
 
 
 11 
2.1 Limites que não existem 
Exemplo 2.6: O limite 
x
x
x 0
lim não existe. Para ver porque, utilizamos a definição de módulo, 




0 se
0se
xx
xx
x 
 Para reescrever a função  
x
x
xf  como: 
 






0se
0se
x
x
x
x
x
x
xf 
 Se x está próximo de zero e for positivo,   1xf . Mas, se x está próximo de zero e for negativo, 
  1xf . 
 Para que o limite exista quando 0x , os valores de  xf devem se aproximar de um número 
L, quando x se aproxima de zero por qualquer um dos lados. Como não é o que acontece nesse 
exemplo, o limite não existe. 
 
Exemplo 2.7: 


 xx
1
senlim
0
 não existe. 
 De fato, os valores   


x
f
1
senx não se aproximam de um único número L quando 0x . 
 As tabelas 1.4, 1.5 e 1.6 a seguir ilustram as oscilações de  xf numericamente. A tabela 1.4 
sugere que o limite seria 1, a tabela 1.5 sugere que o limite seria 0 e a tabela 1.6 sugere que o limite 
seria 
2
2
. 
 
 Tabela 1.4 
X 


x
1
sen 

2
 1 
5
2
 1 
9
2
 1 
13
2
 1 
17
2
 1 
 
 Tabela 1.5 
x 


x
1
sen 
2
1
 0 
4
1
 0 
6
1
 0 
8
1
 0 
10
1
 0 
 
 Tabela 1.6 
x 


x
1
sen 

4
 
2
2
 
9
4
 
2
2
 
17
4
 1 
25
4
 
2
2
 
25
4
 
2
2
 
 
 
Exercícios 
 
9. Para cada uma das funções dadas pelos seus gráficos, indique se: 
(i)  xf
axlim existe e é igual a 
 af . 
(ii)  xf
axlim existe mas não é igual a 
 af . 
(iii)  xf
axlim
 não existe. 
(a) 
 
 
(b) 
 
 
(c) 
 
10. Calcule o limite, se existir: 
(a)  73lim
2
 xx (b) 
 
x
x
x
93
lim
2
0

 (c) 1
1
lim
2
1 

 h
h
h
 
(d) 
2
6
lim
2
2 

 x
xx
x
 (e) 
xx
x
x cossen
cos1
lim
2
0 

 (f) 
  xx
x
cossec2senlim
2


 
(g) 
1
32
lim
2
1 

 x
xx
x
 (h) 
x
xx
x
cossec
lim
2


 (i) 
h
h
h


93
lim
0
 
 
11. Esboce o gráfico de  xfy  e determine o limite de  xf quando 0x , se existir. Se o 
limite não existir explique o porquê. 
(a)   



0 se22
0 se 2
xx
xx
xf (b)     




0 se2
0 se2
3
2
xx
xx
xf 
(c)    





0 se
11
0 se 33x-
3
2
x
x
x
xx
xf (d)  






0 se
sen
0 se 12
x
x
x
xx
xf 
 
 
 13 
2.2 Definição Formal de Limite 
 Na seção anterior definimos o limite de uma função de maneira informal, dizendo que 
 xfL
ax lim 
Significando que os valores  xf estão tão próximos de L quanto desejarmos, para todo x ≠ a, mas 
suficientemente próximo de a. 
Do ponto de vista da precisão matemática, esta noção informal de limite é problemática. A 
dificuldade repousa no uso da frase “próximo de a”. Uma afirmação matemática precisa pode 
envolver constantes, variáveis, sinal de igual, desigualdades, expressões aritméticas, e assim por 
diante, mas não referências vagas como “proximidade”. 
Para recuperar nossa noção intuitiva de limite com uma linguagem precisa, procedemos da 
seguinte forma: 
1. Em lugar da frase “os valores de  xf estão tão próximos de L quanto desejarmos”, usamos a 
desigualdade 
    Lxf (2.1) 
 
2. Em lugar da frase “para todo x ≠ a, mas suficientemente próximo de a”, usamos a 
desigualdade em que  é um número positivo pequeno 
  ax0 (2.2) 
 A razão da parte esquerda da desigualdade é que não queremos x = a. 
 
3. Para ligar estas duas frases na forma desejada, dizemos que, não importa que  seja dado, 
podemos encontrar um número  tal que se x satisfaz a desigualdade (2.2), então  xf satisfaz 
a desigualdade (2.1). Isto é, queremos dizer que 
  pequenoéLxfquegarantepequenoax  . 
 Estas convenções nos permitem fazer a definição formal de limite. 
 
 14 
Definição 2.1: Seja  xf definida para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto 
possivelmente em a. Dizemos que o número L é o limite da função f quando x se 
aproxima de a, e escrevemos 
 xfL
ax lim 
 se, e somente se, dado qualquer número 0 , existe um número correspondente 
0 , tal que se  ax0 , então    Lxf . 
 
 Em outras palavras,  xfL
ax lim , significa que os valores  xf estão tão próximos de L quanto 
desejarmos (dentro de  unidades) para todo x ≠ a, mas suficientemente próximo de a. 
 
Exemplo 2.8: Demonstre usando a definição 2.1, que   712lim
3
 xx . 
Solução: De acordo com a definição 2.1, L = 7 e a = 3. Além disso, as seguintes desigualdades são 
equivalentes: 
Dado qualquer número pertencente a  
   Lxf 
    712x (2.3) 




32
62
x
x
 
 
2
3
x (2.4) 
 Ainda, de acordo com a definição 2.1, devemos encontrar uma distância  aceitável para cada 
precisão 0 dada, afim de provar que o limite é 7. 
 A equação (2.4) obtida a partirde (2.3) é a chave para isto. 
 De fato, os cálculos acima mostram que 
 
2
3712
  xx . 
 É exatamente esta equivalência que nos mostra como escolher . Com 
2
  , sabemos que se 
 30 x , então a desigualdade 
2
3
x é verdadeira e, portanto, a desigualdade (2.3). 
 
 Formalmente, a demonstração é: 
 15 
 Seja 0 dado. Vamos escolher 
2
  . Segue, então, que se  30 x , então 
 










2
2
3 pois,2
32
62712
x
x
xx
 
 Ou seja, se  30 x , então    712x , como exigido pela definição 2.1. 
 
 
Exemplo 2.9: Prove que   1134lim
2
 xx . 
Solução: Neste caso,   2e11,34  aLxxf . 
 Temos as seguintes desigualdades equivalentes: 
 
 
4
2
24
84
1134










x
x
x
x
Lxf
 
 Dado 0 , escolhemos 
4
  . Segue, então, que se  20 x , então 
 








4
4
4
24
841134
x
xx
 
 Assim, com 
4
  temos que se  20 x , então    1134x . 
 16 
 
Exemplo 2.10: Prove que   374lim 2
2
 xxx . 
Solução: Neste caso, temos que   2e3,742  aLxxxf . Assim, se  é um número positivo 
dado, as seguintes desigualdades são equivalentes: 
 
 
 










2
2
44
374
2
2
2
x
x
xx
xx
Lxf
 
 Se tomarmos   , segue que se  20 x , então    3742 xx . 
 Isto prova que   374lim 2
2
 xxx , de acordo com a definição 2.1. 
 
2.3 Propriedades de Limite 
1. cc
ax
lim , c = constante 
2. ax
ax
lim 
 A afirmação 1 diz que o limite da função constante   cxf  é sempre o número c, independente 
de quem seja a. 
 A afirmação 2 diz que o limite da função linear   xxg  quando x se aproxima de a é o valor da 
função em a, isto é, g(a) = a. 
 O teorema que segue estabelece uma álgebra dos limites, pela qual limites de somas, produtos e 
quocientes de funções podem ser calculados a partir de limites de termos individuais. 
 
Teorema 2.1: Suponhamos que   Lxf
ax
lim e   Mxgax lim , existem. Seja c um número qualquer. 
Então, cada um dos seguintes limites existem com os valores indicados: 
a)          MLxgxfxgxf
axaxax
  limlimlim 
b)       cLxfcxcf
axax
  limlim 
c)            MLxgxfxgxf
axaxax
  limlimlim 
d) 
 
 
 
  0 que desde ,lim
lim
lim 


 MM
L
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
 
 17 
 
Demonstração: Faremos a demonstração das partes a) e b). As duas últimas, embora similares 
às duas primeiras são logicamente mais complexas 
a) Queremos mostrar que, dado 0 , existe um 0 tal que 
         MLxgxfax então, ,0 se 
Para isto, consideremos as hipóteses dadas do problema: 
- Dado 0 , como   Lxf
ax
lim , então existe um número 01  tal que se 
10  ax , então,   1 Lxf . 
- Da mesma forma, dado 0 , como   Mxg
ax
lim , então existe um número 02  tal 
que se 20  ax , então,   2 Mxg . 
Consideramos, então,  como sendo o menor dos números 1 e 2, isto é,  21,min   . 
Assim, utilizando estas informações, temos: 
            
   








2
21
MxgLxf
MxgLxfMLxgxf
 
Isto demonstra que      MLxgxf
ax
lim , ou seja, 
“O limite da soma é a soma dos limites”. 
 
b) Primeiro observemos que se c = 0, então,   cLxcf
ax
lim é exatamente 00lim ax , que é 
obviamente verdadeiro. 
Vamos supor, então, que c ≠ 0. Queremos provar que dado 0 , existe um 0 tal que 
se  ax0 , então,    cLxcf . 
- Mas, por hipótese, temos que dado 0 , existe 0 tal que se  ax0 , então, 
 
c
Lxf
 (lembre-se que c ≠ 0). 
 Assim, dado 0 existe um 0 tal que se  ax0 , então, 
        
c
cLxfcLxfccLxcf . 
Isto mostra que    cLxcf
ax
lim . 
 
 18 
Exemplo 2.11: Calcule  63lim 2
2
 xx . 
Solução:     6lim3lim63lim
2
2
2
2
2   xxx xx (a) 
 6limlim3
2
2
2   xx x (b) 
    6limlimlim3
222   xxx xx (c) 
 
18
6223


 
 
Exemplo 2.12: Calcule 




 21 1
32
lim
x
x
x
. 
Solução: Como o limite do denominador é: 
   2
11
2
1
lim1lim1lim xx
xxx   (a) 
   xx
xxx 111
limlim1lim   (b) 
 
  
2
111


 
O qual é diferente de zero, podemos aplicar a parte (d) para calcular que: 
 
 
 2
1
1
21 1lim
32lim
1
32
lim
x
x
x
x
x
x
x 







 (d) 
 
 
2
3limlim2
11   xx x (a) e (b) 
 
 
2
1
2
312


 
 
Teorema 2.2: (Extensão do teorema 2.1 para potências inteiras de x e funções potência) 
 Suponhamos que   Lxf
ax
lim . Para qualquer inteiro positivo n = 1,2,3,... vale que: 
a) nn
ax
ax lim 
b)       nn
ax
n
ax
Lxfxf   limlim 
 
 19 
Exemplo 2.13: Calcule  xxx
x
473lim 24
2
 . 
Solução: 
 
       
84
242723
lim4lim7lim3473lim
24
2
2
2
4
2
24
2


  xxxxxx xxxx
 
 
Exemplo 2.14: Calcule  323
2
53lim xxx
x
  . 
Solução: 
 
 
     
8
327
25
2
3
2
1
5
31
lim53lim
3
23
3
232
323
2





  

 xxx
xxx
xx
 
 
Exemplo 2.15: Calcule  33
2
17lim  xxx . 
Solução: 
 
    
 
 
125
5
1272
17lim17lim
3
33
33
2
33
2



  xxxx xx
 
 
 
 
Teorema 2.3: Sejam m, n inteiros positivos. Então, 
a) se m é par, m
n
m
n
ax
ax lim , para  a0 ; 
b) se m é ímpar, m
n
m
n
ax
ax lim , para  a . 
 
 20 
Exemplo 2.16: Calcule 


 


2
3
4
3lim xx
x
. 
Solução: Usando os teoremas 2.1 e 2.3, temos: 
    
8
49
8
1
23
4
1
43
lim
1
lim3
3lim3lim
2
3
2
1
2
3
4
2
1
4
2
3
2
1
4
2
3
4







 


 






x
x
xxxx
x
x
xx
 
 
 
Teorema 2.4: (Teorema do Confronto, ou “Sanduíche”) 
Suponha que o limite de  xg e o limite de  xh existam quando ax  , e que 
   xhLxg
axax   limlim . Se a função f satisfaz a desigualdade      xhxfxg  para todo x em um 
intervalo aberto contendo a (exceto possivelmente para x = a), então, 
 
  Lxf
ax
lim 
 
Interpretação Geométrica do Teorema do “Sanduíche”: 
 
 
 
 21 
Exemplo 2.17: Use o teorema do “sanduíche” para mostrar que 0senlim
0
 xx . 
Solução: Usando a desigualdade trigonométrica xx sen e supondo que 0x quando 0x , 
então, podemos calcular 0senlim
0
 xx como segue: 
xxxxx  sensen 
Como xx
xx 00
lim0lim   , pelo teorema do “sanduíche”, fica provado que 0senlim0  xx . 
 
Exemplo 2.18: (Limite Fundamental) Mostre, usando o teorema do “sanduíche”, que 1
sen
lim
0
 x
x
x
 
Solução: Se para x próximo de 0, vale a relação de desigualdade 
1
sen
cos 
x
x
x 
então, quando 0x , temos que 1coslim
0
 xx e 11lim0 x . Assim, podemos concluir, pelo teorema do 
“sanduíche”, que 1
sen
lim
0
 x
x
x
.Exercícios 
12. Considerando   952lim
2
 xx , 
(a) Mostre que    952x , se e somente se, 
2
2
x . 
(b) Encontre um  apropriado para .05.0,4.0,2 
 
13. Considerando   33lim 2
0
 xx , 
(a) Mostre que    332x , se e somente se, x . 
(b) Encontre um  apropriado para 3.0,1,2 . 
 
14. Use as propriedades de limites para calcular: 
(a)  73lim
3
 xx 
(b) 
3
3
lim
2
2 

 x
xx
x
 
(c) 
xx
xx
x 


2
5
2
3
4
2
lim 
(d)  2
4
1lim xx
x
 
(e) 
3
32
lim
2
3 

 x
xx
x
 
(f) 
x
x
x 2sen
tan
lim
0 
(g) 
2
4
lim
4 

 x
x
x
 
(h)
2
3
2
3
7
1
2lim 


  xxx 
 22 
15. Nas questões (a) e (b) suponha que   2lim  xfax e   3lim  xgax e calcule o limite 
especificado. 
(a)    xgxf
ax
3lim (b) 
    
   xfxg
xgxf
ax 4
46
lim
2


 
 
16. Use a desigualdade trigonométrica xx sen para provar que 0senlim
0
 xxx . 
 
17. Use o fato de que 1
sen
lim
0
 x
x
x
 (limite fundamental) para calcular o limite: 
(a) 
x
x
x 2
sen
lim
0 (b) x
x
x 4
tan
lim
0 
 
18. Suponha que   22 11 xxfx  para todo x. Calcule  xf
x 0
lim . 
 
2.4 Limites Laterais 
 Considere o gráfico de uma função  xf 
 
 
 Este gráfico tem a propriedade de que quando x é escolhido próximo de a, mas à direita de a, os 
correspondentes valores da função  xf estão próximos ao número L. Este é o conceito de limite à 
direita, cuja notação é: 
  Lxf
ax
lim 
 
 23 
 Analogamente escrevendo 
  Mxf
ax
lim 
significa que os valores de f(x) estão próximos de M se x está próximo de a pela esquerda (limite à 
esquerda). 
 
Observação: O conceito de limite lateral obedece a definição intuitiva e formal de limite. 
 
Exemplo 2.17: Como   xxf  não é definida para 0x , o limite de x quando 0x não 
existe. Entretanto, podemos escrever que 0lim
0
 xx . 
 
Exemplo 2.18: Para a função  
x
x
xf  quando 0x , como já concluímos 
x
x
x 0
lim não existe. 
Entretanto, seus limites laterais existem. De fato, 
(a) Para 11limlimlim,0
000
   xxx x
x
x
x
x . 
(b) Para   11limlimlim,0
000
   xxx x
x
x
x
x . 
 
Exemplo 2.19: O gráfico a seguir corresponde à função maior inteiro, definida por: 
   . com inteiromaior xnnx  
 
 
 Por exemplo,             ,77,312.1,25.2   etc. 
 24 
 Embora   x
nxlim não exista, ambos limites laterais existem. Por exemplo, 
      1xlime2xlim
2x2x
   ; 
      3lime2lim
22
   xx xx . 
 
Teorema 2.5:  xf
axlim existe, se e somente se, ambos os limites laterais existem e são iguais. Isto 
é,   Lxf
ax
lim se, e somente se,    xfLxf axax    limlim . 
 
Exemplo 2.20: Dada a função 
 




1,2
1,34
2 xx
xx
xf 
calcule o  xf
x 1
lim . 
Solução: A estratégia que utilizamos é a de examinar os limites laterais individualmente. 
 Para calcular o  xf
x 1
lim , observemos que se 1x , então,   34  xxf . Assim, temos, 
    13143lim434lim
11
   xx xx . 
 Analogamente, se 1x , então, 22)( xxf  , tal que 
      112lim22lim 22
1
2
1
   xx xx . 
 Portanto, como os limites laterais existem, e são iguais, concluímos, pelo teorema 2.5, que 
  1lim
1
 xfx 
 
2.5 Limites Infinitos 
 Seja f uma função definida por  
x
xf
1 . Iremos analisar o comportamento numérico desta 
função através das tabelas abaixo. 
 
 (a) Comportamento de f à esquerda de x = 0: 
x -1 -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 
f(x) -1 -10 -100 -1000 -10000 
 Podemos notar que quando  0x , ou seja, por valores menores que zero, os valores da 
função decrescem sem limite. 
 
 25 
 (b) Comportamento de f à direita de x = 0: 
x 1 0.1 0.01 0.001 0.0001 
f(x) 1 10 100 1000 10000 
 Podemos notar que quando  0x , ou seja, por valores maiores que zero, os valores da 
função crescem sem limite. 
 
Baseado neste exemplo, podemos afirmar que quando x está próximo de 0 esta função não tem 
os valores se aproximando de um limite bem definido. Observe o gráfico: 
 
 Analisando, agora, o comportamento da função  
2
1
x
xf  , nas proximidades de x = 0, 
observamos que: 
 (a) Comportamento de f à esquerda de x = 0: 
x -1 -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 
f(x) 1 100 10000 1000000 100000000 
 
 (b) Comportamento de f à direita de x = 0: 
x 1 0.1 0.01 0.001 0.0001 
f(x) 1 100 10000 1000000 100000000 
 
 26 
 Observamos pelas tabelas, que se  0x ou  0x os valores da função crescem sem limite. 
Assim, podemos afirmar, por este exemplo que, quando 0x esta função tem os valores se 
aproximando de um limiar (infinito =  ). Observe o gráfico: 
 
 Neste caso, dizemos que não existe o limite de  
2
1
x
xf  no ponto x = 0, mas denotamos tal 
fato por: 
 20
1
lim
xx
 
 
 Por causa desta notação costuma-se dizer que algumas funções têm limites infinitos e por causa 
deste limite, dizemos também que o gráfico desta função tem uma assíntota vertical, que é uma reta 
cuja equação é dada por x = 0, neste caso. 
 
Definição 2.2: Seja  xf definida para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto 
possivelmente em a. Diz-se que f tem limite infinito, quando x se aproxima de a, 
o que é denotado por: 
   xfaxlim 
 se, para todo número real  > 0,existir um  > 0 tal que se  ax0 , então 
  xf . 
 
Observação: De modo similar, pode-se chegar à conclusão que para a função  
2
1
x
xg  não existe 
limite no ponto x = 0, no entanto pode-se representar um resultado, como descrito anteriormente, por: 
 20
1
lim
xx
. 
 27 
2.6 Limites no Infinito 
 Analisaremos agora o comportamento de  
x
xf
1 , quando x cresce arbitrariamente  x , 
ou quando x decresce arbitrariamente  x : 
 (a) Comportamento de f para x pequenos: 
x -1 -10 -100 -1000 -10000 -100000 
f(x) -1 -0,1 -0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001 
 
 (b) Comportamento de f para x grandes: 
x 1 10 100 1000 10000 100000 
f(x) 1 0,1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 
 
 Pelas tabelas observamos que: 
  0lim  xfx e   0lim  xfx 
 E quando construímos o gráfico de f, observamos que existe uma reta (assíntota) horizontal 
que é a reta y = 0, que nunca toca a função, mas se aproxima dela em  e em  . 
 
 Temos então uma definição geral, englobando tal situação: 
Definição 2.3: Seja  xf definida para todo x em um intervalo  ,a . Escrevemos: 
  Lxf
x
lim 
 quando, para todo número real  > 0,existir um  > 0 tal que    Lxf e 
sempre que x > . 
 28 
Formalizaremos agora o conceito de assíntota horizontal. 
 
Definição 2.4: Dizemos que a reta y = L é uma assíntota horizontal do gráfico de f se: 
  Lxf
x
lim ou   Lxfx lim 
 
 
Exemplo 2.21: Calcule o 
422
13
lim
2
2


 xx
x
x
. 
Solução: Como estamos interessados em valores da variável x tais que x seja grande, porém 0x , 
podemos simplificar a expressão como segue: 
2
3
002
03
42
2
1
3
lim
422
13
lim
2
2
2
2










xx
x
xx
x
xx
 
 A interpretação geométrica deste fato é que a reta horizontal 
2
3y é uma assíntota do gráfico 
da função  
422
13
2
2


xx
x
xf . 
 A figuraa seguir é um esboço do gráfico de f. 
 
 
 29 
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: Quando, no cálculo do limite de uma função, aparecer uma das 
seguintes formas: 


1,,0,0,,,
0
0 00 
que são denominadas expressões indeterminadas, nada se poderá concluir de imediato sobre o limite 
sem um estudo mais aprofundado de cada caso. 
 
 
Exercícios 
20. Para cada função cujo gráfico é o da figura indicada, calcule os limites, se existirem: 
(a) 
 
(i)  xf
x 1
lim (ii)  xf
x 1
lim (iii) 
 xf
x 0
lim 
 
 
(b) 
 
(i)  xf
x 2
lim (ii) 
 xf
x 2
lim (iii)  xf
x 2
lim 
 
 
 
 30 
21. Considere o gráfico de  xf mostrado na figura abaixo. Para que números a, temos: 
 
(a)    afxf
ax
lim ? 
(b)    afxf
ax
lim ? 
(c)  xf
axlim existe? 
(d)  xf
axlim
 existe e é igual a  af ? 
 
22. Calcule o limite, se existir: 
(a) 2lim
2
 xx 
(b) 


  2
3
2
5
0
5lim xx
x
 
(c) 
2
4
lim
4 

 x
x
x
 
(d) 
2
44
lim
2
2 

 x
xx
x
 
(e)   xx
x 3
lim 
(f)   x
x
 1lim3 
(g) 
4
12
lim
3
2


 x
xx
x
 
(h) 
xx
1
lim
0

 
(i) 
4
12
lim
23
4


 xx
xx
x
 
(j) 
1
lim  x
x
x
 
(k) 
x
x
x
1
lim
0

 
 
 
 
23. Seja   



0,1
0,cos
xx
xx
xf 
(a) Calcule  xf
x 0
lim (b) Calcule  xf
x 0
lim (c)  xf
x 0
lim
 existe? 
 
24. Seja  




3,12
3,2
xx
xx
xf . Prove que   5lim
3
 xfx 
 
 31 
25. Seja  







1,
11,
1,2
2 xx
xx
x
xf 
(a) Esboce o gráfico de f. 
(b)  xf
x 1
lim existe? Justifique. 
(c)  xf
x 1
lim existe? Justifique. 
 
 
 
3 CONTINUIDADE 
Quando definimos limite de  xf quando x tende para a, enfatizamos que este limite não é 
necessariamente igual a  af . De fato,  af pode nem mesmo ser definida. 
A partir de agora voltaremos nossa atenção para o caso em que 
   afxf
ax
lim . 
Se isto ocorrer, dizemos que a função f é contínua em x = a. 
 
Definição 3.1: Suponhamos que a função f é definida em um intervalo aberto contendo o número 
a. Então f é contínua em a, se 
   afxf
ax
lim 
Caso contrário, dizemos que f é descontínua em a. 
 
Observações: 
1. A definição de continuidade exige duas coisas: primeiro que  xf
axlim exista, e segundo que a 
função f seja definida no número a. 
2. A definição 3.1 é uma definição de continuidade no número a para funções que são definidas 
sobre um intervalo aberto em torno de a. 
 
 32 
 Geometricamente, continuidade é uma propriedade que garante que o gráfico de f não terá uma 
interrupção (ou será “quebrado”) em   afa, . Cada uma das funções, cujos gráficos são dados a 
seguir, são descontínua em a. 
 
 
 
Exemplo 3.1: Calcule os números x para os quais  
2
42


x
x
xf é contínua. 
Solução: Como 02 x para 2x , então, o valor de  2f não é definido. Dizemos então, que a 
função é descontínua para 2x . 
 Para todos os números 2a temos 
   af
a
a
x
x
xf
axax


  2
4
2
4
limlim
22
 
 Assim, f é contínua para todo 2x . 
 af não é definida 
      existe não limlimlim xfxfxf
axaxax 
  
   xfaf
ax lim 
 33 
 A descontinuidade no número 2 é chamada de descontinuidade removível, pois podemos 
eliminar (remover) a descontinuidade em 2x definindo 
    4lim2
2
  xff x 
 Em outras palavras acrescentamos 2x ao domínio de f definindo a nova função 
 







2,4
2,
2
4
ˆ
2
xse
xse
x
x
xf 
 A função fˆ é, então, contínua para todo x, e concorda com f para 2x . 
 
 
Exemplo 3.2: Outra função com uma descontinuidade removível é  
x
x
xf
sen . 
 Embora  0f é indefinida, já mostramos que 1senlim
0
 x
x
x
 
 Podemos, portanto, “remover” a descontinuidade para 0x , definindo: 
 





0,1
0,
sen
ˆ
xpara
xpara
x
x
xf 
 A função fˆ é, então, contínua para 0x . 
 
Teorema 3.1: Se a função f e g são contínuas para ax  e se c é um número real qualquer, então, 
as seguintes funções são também contínuas em ax  : 
(a) f + g 
 
(b) fc  
(c) gf  
 
(d) 
g
f
, desde que   0ag . 
 
 34 
Teorema 3.2: Para cada inteiro positivo n = 1, 2, 3,..., 
(a) a função   nxxf  é contínua para todo x. 
(b) se a função g é contínua em ax  , a função     nxgxf  é contínua em 
ax  . 
 
 A combinação dos teoremas 3.1 e 3.2 mostra que qualquer polinômio é contínuo para todo x, e 
qualquer função racional é contínua para todo x diferente daquele que anula seu denominador. 
 
Por exemplo: 
(a) O polinômio   72 23  xxxf é contínuo para todo x. 
 
(b) A função racional  
6
73


x
xx
xg é contínua para todo x, com 6x . 
 
(c) A quarta potência de  xg 
   
43
4
6
7






x
xx
xgxh 
é contínua para todo x, com 6x . 
 
 
 
3.1. Continuidade em Intervalos 
 
Definição 3.2: (i) A função f é contínua no intervalo aberto (a, b) se for contínua em cada 
 bax , . 
 (ii) A função f é contínua no intervalo fechado  ba, se for contínua em (a, b), e, 
além disso 
   afxf
ax
lim e    bfxfbx lim 
 
 35 
 A continuidade é definida de modo análogo em intervalos tais como (a, b], [a, ∞), etc. 
 
 
 
Exemplo 3.3: A função   xxf  é contínua no intervalo [0,∞). Em outras palavras 
0,lim  aaxax e  00lim0 fxx  . 
 
Teorema 3.3: Sejam m e n inteiros positivos. A função   mnxxf  é: 
(a) contínua em [0,∞) se m é par; 
(b) contínua em (-∞,∞) se m é ímpar. 
 
Exemplo 3.4: Utilizando os teoremas anteriores, podemos concluir que as seguintes funções são 
contínuas nos intervalos dados 
(a)   xxxf 32  em [0,∞) 
(b)  
x
xx
xf 

1
3
2
2
 em (-∞,1) e (1,∞) 
(c)     32
56 2
3
3
2


xxx
xx
xf em (0,2) e (2,∞) 
 
 
3.1.1 Definição Alternativa de Continuidade 
Teorema 3.4: Seja f uma função definida em um intervalo aberto contendo o número a. Então, f é 
contínua em a se, e somente se, 
   afhaf
h
0lim . 
A função f é contínua em (a, b], mas não em 
[a, b]. 
 36 
Demonstração: Seja axh  . Então, ax  , se, e somente se, 0h . Além disso, 
  xaxaha  , tal que    xfhaf  e 
   xfhaf
axh   limlim0 . 
 Portanto,    afhaf
h
0lim é equivalente a    afxfax lim , que é a definição de continuidade 
(definição 3.1). 
 
Exemplo 3.5: Mostre que a função   xxf sen é contínua para todo x. 
Solução: A função   xxf sen é definida para todo x. Então 
   
 
     
     
 af
a
aa
haha
haha
hahaf
hh
h
hh









sen
0cos1sen
senlimcoscoslimsen
sencoscossenlim
senlimlim
00
0
00
 
 
Teorema 3.5: Seja f uma função contínua em um intervalo aberto contendo o número L. Se o limite 
  Lxg
ax
lim 
 existe, então, 
       Lfxgfxgf
axax
  limlim 
 Este teorema afirma que se a função “de fora” na função composta fog é contínua, 
podemos “passar o limite para dentro da função f”. 
 
Exemplo 3.6: 
(a)        0sen0senlimsensenlim2
0
2
0
   xx xx . 
 Neste caso,   xxf sen e   2xxg   . 
(b) 
2
2
2
1sen
lim
2
1
2
sen
lim
2
sen
lim
000
  x
x
x
x
x
x
xxx
. 
 Neste caso,   xxf  e  
x
x
xg
2
sen . Verifique calculando fog. 
 37 
3.1.2 Teorema do Valor Intermediário 
 
Teorema 3.6: Seja f contínua no intervalo [a, b] com    bfaf  . Seja d um número qualquer 
entre  af e  bf . Então, existe, no mínimo, um número  bac , tal que 
  dcf  . 
 
 O teorema do valor intermediário é um teorema de existência. Ele simplesmente garante que, no 
mínimo, um número c existe que satisfaz a condição   dcf  . Entretanto, não nos diz como 
encontrará este número. 
 
 
 
 
Exemplo 3.7: A função   13  xxf é contínua no intervalo [0,2]. Como   10 f e   32 f , o 
teorema do valor intermediário garante que se d é qualquer “valor intermediário” com 1 < d < 3, existe 
um número  2,0c com   dcf  . Em particular se 
2
5d , então,  
2
5cf . 
Portanto, 
3
33
4
1
4
1
2
5
1  ccc . 
 
 
 38 
Exemplo 3.8: Use o teorema do valor intermediário para resolver a desigualdade xxx 54 23  . 
Solução: Primeiro, convertemos a desigualdade na forma   0xf . 
054 23  xxx 
Assim, seja   xxxxf 54 23  . Com f é um polinômio, f é contínua em   , . Os zeros de f são: 
      515454 223  xxxxxxxxxxf , 
tal que   0xf para x = -1, 0 e 5. 
 A tabela a seguir mostra o sinal de f em cada intervalo. 
Intervalo x  xf Conclusão 
 1, 2x   0142 f    1, em 0 xf 
 0,1 
2
1x 0
8
11
2
1 

f    0,1 em 0 xf 
 5,0 1x   081 f    5,0 em 0xf 
 ,5 6x   0426 f     ,5 em 0xf 
 
Exercícios 
26. Dê os intervalos sobre os quais a função é contínua: 
(a)  
1
1
 xxf (b)   



2,1
2,1
xx
xx
xf (c)  
2
2
2 

xx
x
xf (d)  







21
2
1
214
1
2
x,x
x,x
xx,
xf 
27. A função  
1
12


x
x
xf tem uma descontinuidade removível em x = 1. Determine como 
definir  1f tal que a função seja contínua em 1. 
28. Calcule a constante k que torne a função contínua em x = a: 




2,10
2,
xx
xx
y
k
, a = 2 
29. Use o teorema 3.5 para calcular o limite: 
(a)  53
8
1lim x
x
 (b)  xx   coslim
2
 
30. Resolva a desigualdade   0xf ou   0xf usando o teorema do valor intermediário: 
(a)   86 xx (b) 09 24  xx