Vibr Mec 02

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VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 2 - VIBRAÇÃO LIVRE 13 
 
 
 
 
 
2. VIBRAÇÃO LIVRE 
 
 
 
 
 Conforme mostrado no capítulo anterior, muitos sistemas dinâmicos podem ser 
representados por uma equação diferencial de segunda ordem, linear, com coeficientes 
constantes (parâmetros constantes). Estes modelos são denominados modelos de um grau de 
liberdade (1GL), pois os sistemas dinâmicos correspondentes têm seus movimentos definidos 
por apenas uma coordenada, de translação ou de rotação. 
 Neste e nos capítulos seguintes serão analisadas as soluções dessa equação diferencial 
em função dos parâmetros de massa, de rigidez, de amortecimento e da força externa 
excitadora. Inicialmente serão analisadas as soluções da equação homogênea do sistema. Esta 
equação corresponde ao modelo matemático quando as funções excitadoras são nulas. Neste 
caso, estudam-se as vibrações livres que ocorrem devido a condições iniciais não nulas. Pode-
se retirar um sistema de sua condição de equilíbrio e abandoná-lo a um movimento livre de 
duas formas: através de uma posição inicial diferente da posição de equilíbrio ou através de um 
impulso como, por exemplo, através de um martelo de impacto que imprime uma velocidade 
inicial não nula. 
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 2 - VIBRAÇÃO LIVRE 14 
2.1 - MODELO MATEMÁTICO 
 
 Conforme mostrado no capítulo anterior, com a aplicação das leis do movimento e de 
hipóteses simplificadoras pode-se mostrar que muitos sistemas mecânicos possuem um modelo 
matemático representado por: 
 
fxkxcxm 
 (2.1) 
onde 
 m é a massa do modelo; 
 c é o coeficiente de amortecimento do modelo; 
 k é o coeficiente de rigidez do modelo; 
 
)(txx
 é o deslocamento da massa m na direção do movimento; 
 
dt
dx
txx )(
 é a velocidade da massa m na direção do movimento; 
 
2
2
dt
xd
txx )(
 é a aceleração da massa m na direção do movimento e 
 
)(tff
 é a força externa aplicada na massa m na direção do movimento. 
 
 
 
 
Figura 2.1 – Modelo elementar de 1 grau de liberdade. 
 
 O estudo da vibração livre é feito a partir da equação (2.1) tornando nula a força 
externa aplicada, isto é, com f(t) = 0. Portanto, tem-se 
 
0kxxcxm 
 (2.2) 
c 
k 
m f 
x 
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 2 - VIBRAÇÃO LIVRE 15 
 A equação (2.2) é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem. A solução 
geral possui uma das seguintes formas 
 
t
2
t
1
21 eAeAx
 para 
1 2
 (2.3) 
 
t
2
t
1
21 etAeAx
 para 
1 2
 (2.4) 
onde 1 e 2 são as raízes equação da característica do problema, dada por 
 
m c k2 0
 (2.5) 
As constantes de integração A1 e A2 dependem das condições iniciais de posição 
)(0x
 e de 
velocidade 
)(0x
. Resolvendo a equação algébrica (2.5), obtêm-se 
 
m2
ccc
m2
mk4cc 222
2,1
 (2.6) 
onde definiu-se o coeficiente de amortecimento crítico 
c
 através de 
 
c mk2
 (2.7) 
 A partir das raízes dadas por (2.6), são observadas três situações: 
 i - para um coeficiente de amortecimento c tal que 
c mk2
, isto é 
cc
, obtêm-se 
duas raízes complexas e conjugadas dadas por 
 
1 2
24
2,
c i mk c
m
 onde 
1i
 (2.8) 
 Neste caso, o sistema é identificado como subamortecido. 
 ii - para um coeficiente de amortecimento c tal que 
c mk2
, isto é 
cc
, obtêm-se 
duas raízes reais e iguais, dadas por 
 
1 2 2,
c
m
k
m
 (2.9) 
 Neste caso, o sistema é identificado como criticamente amortecido. Observa-se que 
este é um caso limite para a mudança do tipo das raízes, de complexas para reais. 
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 2 - VIBRAÇÃO LIVRE 16 
 iii - para um coeficiente de amortecimento c tal que 
c mk2
, isto é 
cc
, obtêm-se 
duas raízes reais distintas dadas por 
 
1 2
2 4
2,
c c mk
m
 (2.10) 
 Neste caso, o sistema é identificado como sobreamortecido. 
 Para melhor identificar cada um destes três tipos de sistemas, pode-se definir um 
parâmetro adimensional denominado fator de amortecimento, dado pela razão 
 
mk2
c
c
c
 (2.11) 
 Portanto, tem-se < 1 para sistemas subamortecidos, = 1 para sistemas criticamente 
amortecidos e > 1 para sistemas sobreamortecidos. Algumas aplicações requerem fatores de 
amortecimento menores que um. Em outros casos, particularmente no controle de vibrações, 
os sistemas devem ser criticamente amortecidos, ou até mesmo sobreamortecidos. 
 Deve-se observar também que sistemas compostos de materiais metálicos possuem 
fatores de amortecimento muito pequenos, frequentemente menores que 0,1, quando não há 
dispositivos especiais (amortecedores) projetados para aumentar este valor. O amortecimento 
próprio dos materiais é difícil de ser modelado. Por isso, este parâmetro é obtido usualmente 
através de procedimentos experimentais. 
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 2 - VIBRAÇÃO LIVRE 17 
2.2 - SISTEMAS SEM AMORTECIMENTO 
 
 Os sistemas não amortecidos são sistemas irreais. Podem ser analisados como um caso 
particular dos sistemas subamortecidos para os quais o coeficiente de amortecimento é 
admitido nulo, ou seja, c = 0. As raízes da equação característica são complexas conjugadas, 
com parte real nula, conforme se vê em (2.8), e são dadas por 
 
m
k
i21,
 (2.12) 
Sendo as duas raízes distintas, a solução da equação do movimento livre, dada por (2.3), é: 
 tmki
2
t
m
k
i
1 eAeAx
 (2.13) 
ou 
 
t
m
k
Ct
m
k
Cx 21 cossen
 (2.14) 
Impondo que a solução do problema de vibrações livres deva ser real, C1 e C2 devem ser reais 
na forma de solução (2.14) e A1 e A2 devem ser complexos conjugados em (2.13). 
 Define-se então, a partir da solução do problema de vibração livre não amortecido, a 
frequência natural, 
 
n
k
m
 (2.15) 
obtida em rad/s, quando os parâmetros m e k são dados no SI de unidades. Uma unidade 
muito usual para a frequência é o Hz ou c/s. Neste caso, indica-se a frequência natural como 
 
f
k
mn
n
2
1
2
 (2.16) 
O período deste movimento de vibração é dado então por 
 
nn
n
f
12
T
 (2.17) 
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 2 - VIBRAÇÃO LIVRE 18 
 Aplicando as condições iniciais de posição 
)(0x
 e de velocidade 
)(0x
 na solução dada 
por (2.14) e na correspondente derivada no tempo, obtém-se: 
 
n
1
0x
C
)(
 e 
)(0xC2
 (2.18) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.1 - Vibração livre de sistemas não amortecidos. 
 
Aplicando as constantes dadas em (2.18) na solução (2.14), obtém-se 
 
t0xt
0x
x nn
n
cos)(sen
)(
 (2.19) 
ou 
 
)( tsenAx n
 (2.20) 
com a amplitude A e a fase dadas por 
 
2
2
n
2
2
2
1 0x
0x
CCA ])([
)( (2.21) 
e 
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
t
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
u
(t
)
x 
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 2 - VIBRAÇÃO LIVRE 19 
 
)(
)(
tantan
0x
0x
C
C n1
1
21

 (2.22) 
 A figura (2.1) ilustra o movimento de vibração livre sem amortecimento. Pode-se 
observar nesta figura que o movimento corresponde a um movimento harmônico simples. A 
massa oscila na frequência natural 
n
. Os zeros da função (2.20) ocorrem em intervalos de 
tempos iguais à metade do período de oscilação. Os máximos ocorrem em intervalos de 
tempos iguais ao período de oscilação 
nT
. O mesmo ocorre com os mínimos desta função. 
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 2 - VIBRAÇÃO LIVRE 20 
2.3 - SISTEMAS SUBAMORTECIDOS 
 
 Os sistemas subamortecidos são aqueles para os quais o coeficiente de amortecimentoé 
dado por 
c mk2
, o que corresponde a um fator de amortecimento < 1. Então as raízes 
da equação característica, conforme (2.8), são iguais a 
 2
21
m2
c
m
k
i
m2
c
,
 (2.23) 
Aplicando as definições do fator de amortecimento (2.11) e da frequência natural (2.15) nas 
raízes dadas em (2.23), obtém-se 
 
1 2, n di
 (2.24) 
onde define-se a frequência natural amortecida 
 
d n 1
2
 (2.25) 
Assim a solução da equação do movimento livre de sistemas subamortecidos é dada por 
 
ti
2
ti
1
dndn eAeAx
)()(
 (2.26) 
 
)(
ti
2
ti
1
t ddn eAeAex
 (2.27) 
ou com constantes reais C1 e C2, conforme mostrado no item anterior, 
 
)cossen( tCtCex d2d1
tn
 (2.28) 
 Aplicando as condições iniciais de posição 
)(0x
 e de velocidade 
)(0x
 na solução dada 
por (2.28) e na sua velocidade, dada pela correspondente derivada no tempo, obtêm-se: 
 
d
n
1
0x0x
C
)(+)( 
 e 
)(0xC2
 (2.29) 
Então a solução (2.28) é igual a 
 
)(sen tAex d
tn
 (2.30) 
com a amplitude A e a fase dadas por 
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 2 - VIBRAÇÃO LIVRE 21 
 
2
2
d
n 0x
0x0x
A ])([
)(+)( (2.31) 
 
)(+)(
)(
tan
0x0x
0x
n
d1

 (2.32) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.2 - Vibração livre de sistemas subamortecidos. 
 
 A Figura 2.2 ilustra o movimento para três valores do fator de amortecimento, com as 
mesmas condições iniciais. Pode-se observar, nesta figura, que o movimento corresponde ao 
chamado movimento harmônico amortecido. A massa oscila com a frequência natural 
amortecida 
d
, com amplitudes que diminuem exponencialmente a cada ciclo. Os zeros da 
função (2.30) ocorrem em intervalos de tempos iguais à metade do “período” de oscilação. Os 
máximos ocorrem em intervalos de tempos iguais ao período de oscilação 
dT
. O mesmo 
ocorre com os mínimos. Observe que os máximos ou mínimos não são centrados em relação 
aos zeros. 
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
t
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
u
(t
)
FATOR AMORT
0.1
0.2
0.5
x 
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 2 - VIBRAÇÃO LIVRE 22 
2.4 - SISTEMAS CRITICAMENTE AMORTECIDOS 
 
 Os sistemas criticamente amortecidos são aqueles para os quais o coeficiente de 
amortecimento é igual ao crítico, ou seja 
km2cc
, o que corresponde a um fator de 
amortecimento = 1. Então as raízes da equação característica são reais e iguais dadas, a 
partir de (2.9), por 
 
1 2 2,
c
m
 (2.33) 
Usando a definição de fator de amortecimento 
 
mk2cc
 (2.34) 
obtém-se 
 
n21
m
k
m2
mk2
,
 (2.35) 
Como neste caso = 1 , tem-se 
 
1 2, n
 (2.36) 
Como as raízes são iguais, a solução da equação do movimento livre, conforme (2.4), é 
 
t
2
t
1
nn etAeAx
 (2.37) 
 Aplicando as condições iniciais de posição 
)(0x
 e de velocidade 
)(0x
 na solução dada 
por (2.37) e na velocidade, dada pela correspondente derivada no tempo, obtêm-se: 
 
)(0xA1
 e 
n2 0x0xA )(+)(
 (2.38) 
 A Figura 2.3 ilustra o movimento livre para este caso de amortecimento, para 
determinadas condições iniciais. Pode-se observar a partir desta figura que este movimento 
corresponde a um movimento não oscilatório com decaimento exponencial. A massa se 
movimenta a partir da posição inicial em direção à posição de equilíbrio sem realizar 
oscilações. 
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 2 - VIBRAÇÃO LIVRE 23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.3 - Vibração livre de sistemas com amortecimento crítico. 
 
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
t
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
u
(t
)
FATOR AMORT
1
x 
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 2 - VIBRAÇÃO LIVRE 24 
2.5 - SISTEMAS SOBREAMORTECIDOS 
 
 Os sistemas sobreamortecidos são aqueles para os quais o coeficiente de 
amortecimento é dado por 
c mk2
, o que corresponde a um fator de amortecimento > 1. 
Neste caso as raízes da equação característica são reais e distintas. A partir da equação (2.10), 
estas raízes podem ser escritas como 
 
m
k
m2
c
m2
c
2
21,
 (2.39) 
Usando a definição do coeficiente de amortecimento crítico (2.7) e da frequência natural 
(2.15), obtém-se 
 
hn21,
 (2.40) 
onde 
12nh
 
Neste caso, as duas raízes da equação característica são reais, distintas e negativas. A solução 
da equação do movimento livre de sistemas sobre-amortecidos é dada, a partir de (2.3), por 
 
t
2
t
1
hnhn eAeAx
)()(
 (2.41) 
ou 
 
)(
t
2
t
1
t hhn eAeAex
 (2.42) 
onde A1 e A2 são constantes que dependem das condições iniciais. Aplicando as condições 
iniciais de posição 
)(0x
 e de velocidade 
)(0x
 na solução dada por (2.42) e na velocidade, 
dada pela correspondente derivada no tempo, obtém-se: 
 
h
nh
2
h
nh
1
2
0x0x
A
2
0x0x
A
)()()(
)(+)()(


 (2.43) 
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 2 - VIBRAÇÃO LIVRE 25 
Alguns autores preferem escrever esta mesma solução de outra forma 
 
)]cosh()([ tBtsenhBex h2h1
tn
 (2.44) 
onde 
 
h
n
1
0x0x
B
)(+)( 
 e 
)(0xB2
 (2.45) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.4 - Vibração livre de sistemas sobreamortecidos. 
 
 A Figura 2.4 ilustra este movimento para dois valores do fator de amortecimento, com 
determinadas condições iniciais. Pode-se observar que este movimento corresponde a um 
movimento não oscilatório com decaimento exponencial. A massa se movimenta a partir da 
posição inicial em direção à posição de equilíbrio sem realizar oscilações. 
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
t
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
u
(t
)
FATOR AMORT
2
5
x 
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 2 - VIBRAÇÃO LIVRE 26 
2.6 - DECREMENTO LOGARÍTMICO 
 
 Os sistemas subamortecidos, aqueles para os quais o coeficiente de amortecimento é 
dado por 
c mk2
, o que corresponde a um fator de amortecimento < 1, possuem uma 
característica muito importante: a queda da amplitude depende exclusivamente do fator de 
amortecimento. Neste caso, o deslocamento da vibração livre num determinado instante de 
tempo t1, obtido de (2.28), é igual a 
 
)cos( 1d21d1
t
1 tAtsenAex
1n
 (2.46) 
e, num instante t2 =t1+Td, onde Td é o período do movimento amortecido, é dado por 
 
)](cos)([
)(
d1d2d1d1
Tt
2 TtATtsenAex
d1n
 (2.47) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.5 – Decremento logarítmico. 
 
Substituindo o período do movimento amortecido, dado por 
 
Td
d
2
 (2.48) 
0 . 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0 
- 4 
- 3 
- 2 
- 1 
0 
1 
2 
3 
4 
F A T O R A M O R T 
0 . 0 5 u 1 
u 2 
t1 t2 
x(t) 
 
x1 
x2 
VIBRAÇÕES MECÂNICAS - CAPÍTULO 2 - VIBRAÇÃO LIVRE 27 
em (2.47), obtém-se 
 
)](cos)([
)(
2tA2tsenAex 1d21d1
Tt
2
d1n
 (2.49) 
Dividindo (2.46) por (2.49), obtém-se 
 
dnT
2
1 e
x
x
 (2.50) 
Substituindo (2.25) em (2.50), o resultado é igual a 
 
22
dd
1
2
1
T
2
1 ee
x
x (2.51) 
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados de (2.51), tem-se 
 
2
2
1
1
2
x
x
ln
 (2.52) 
onde o parâmetro é chamado decremento logarítmico. Então, rapidamente obtém-se o fator 
de amortecimento em função do decremento logarítmico, através de 
 
2 24
 (2.53) 
Pode-se também tomar o deslocamento xn+1 da vibração livre, num instante tn+1=t1+nTd, e 
mostrar de forma análoga que 
 
n
x
x
ln
1n
1
 (2.54) 
Logo,o decremento logarítmico pode ser obtido através de 
 
1n
1
x
x
ln
n
1
 (2.55)