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Capítulo 2
Sistemas Numéricos
Operações Aritméticas binárias;
Códigos Digitais 
*
Bases Numéricas
Base 10: nossa rotina
Exemplo:
4392,7810=
Princípio geral:
Base b:
Inteiro
Maior que 0
*
Algarismos em base b
Base b = b algarismos:
Base 1: “contar palitinhos”
Base 10: 0 a 9
Base 8: 0 a 7
Base 5: 0 a 4
Base 2: 0 a 1
Base 16: 0 a 15 necessários 15 símbolos: 
0 a 9
A = 10
B = 11
C = 12
D = 13
E = 14
F = 15
*
Faixa de contagem
Base b, n dígitos:
b=10, n=1: 0 a (10-1)
b=10, n=3: 0 a 103-1 (1000-1=999)
b=2, n=3: 0 a 23-1 (8-1=7=1112) 
b=16, n=2: 0 a 162-1 (256-1=255=FF16)
Exercícios:
Determine a faixa de contagem para cada base b a seguir, com o número de dígitos n determinado:
b = 10, n = 6
b = 2, n = 8
b = 5, n = 3
b = 2, n = 4
b = 4, n = 2
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Conversão entre bases: n 10
Representação na forma genérica
Contas na base 10, resultado na base 10
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Exercícios:
Qual a menor base em que cada número pode estar representado?
1001 – 301 – 702 – 1093 – ECA
Converter da base indicada para a base 10.
123
125
128
1216
10012
10014
7128
2316
ECA16
AB32
101,12
43,28
27,612
A1,416
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Conversão entre bases: 10  n
Divisões sucessivas: quanto cabe em cada potência da nova base?
Exemplo: 265310  base 16        
10 (A) vezes a potência 162 (256x10=2560) 
5 vezes a potência 161 (16x5=80) 
13 (D) vezes a potência 160 (13x1=13)
2560+80+13=2653 
265310=A5D16
2
*
Conversão entre bases: 10  n
*
Exercícios
Converter da base 10 para a base indicada:
B2: números de 0 a 15, nesta ordem
B4: 47
B8: 47
B16: 47
B5: 28
B5: 100
B16:315
B7: 49
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Conversão entre bases: 10  n
Subtrações sucessivas
*
Conversão entre bases: 10  n
Subtrações sucessivas
*
Conversão entre bases: 2 - 2n
Agrupamento de bits
Base 4: 22  grupos de 2 bits
Base 8: 23  grupos de 3 bits
Base 16: 24  grupos de 4 bits
Exemplos:
3014 = 11 00 012
63128 = 110 011 001 0102
3F716 = 0011 1111 01112
*
Exercício
Converta os números binários dados a seguir para as bases 4, 8 e 16.
101101
110111011100011
100111000100111
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Aritmética binária
Soma
Subtração
Divisão
Multiplicação
FÁCIL = só usa 0 e 1!!!
*
Soma binária
Casa menos significativa: soma de 2 dígitos
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=102 = 0 e vai 1
Casas seguinte: podem receber o “vai 1”: soma de 3 dígitos
“veio 1” = 0: igual ao anterior
“veio 1” = 1
1+0+0=1
1+0+1 = 10 = 0 e vai 1
1+1+0 = 10 = 0 e vai 1
1+1+1 = 11 = 1 e vai 1
*
Exemplo
Somar:
6010 = 1111002
4210 = 1010102
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
*
Exercícios
Efetue as somas binárias indicadas a seguir:
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
*
Multiplicação binária
Funciona como a multiplicação decimal
Mais fácil, pois:
1 x A = A
0 x B= 0
Somam-se os resultados (soma binária)
Exemplo:
0
*
Subtração binária
Inicialmente, usaremos:
Números positivos
A – B onde A > B (resultado positivo)
Resultados possíveis
0-0=0
1-1=0
1-0=1
0-1= 1 e “dívida de 1” da casa seguinte “pega emprestado”
*
Exemplo
De: 		15010 = 100101102
Subtrair: 		 4210 = 1010102
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
-1
1
-1
1
-1
1
0
*
Exercícios
Efetue as subtrações binárias dadas a seguir:
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
*
Divisão binária
Estrutura igual à divisão decimal
Só há dois resultados: 0 ou 1
Só há dois “restos” possíveis: 0 ou 1
Subtração binária para calcular resto
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
’
1
’
0
0
1
1
1
1
’
1
1
1
0
’
0
0
1
*
Exercícios
Execute as divisões a seguir em álgebra binária (converta para a base 2 antes de dividir).
45÷9
45÷5
46÷2
93÷2
200÷32
*
Números negativos
Bit de sinal
Módulo do número = binário
Sinal indicado por bit adicional
Subtração complexa
Exemplos:
Bit de sinal + 5 bits significativos
Bit de sinal + 7 bits significativos
*
Números negativos
Complemento de dois
Converte todo o número
Visualização de números negativos não direta
Subtração feita como soma
Princípio básico:
Número finito e fixo de bits
Hodômetro: 
Positivo = andar para frente
Negativo = andar para trás
*
Complemento de 2
Hodômetro
Decimal
Para frente: positivo
Para trás: negativo
4 dígitos:
6 dígitos:
*
Complemento de 2
Princípios básicos:
Número fixo de dígitos
1º dígito é o sinal
Total de dígitos: sinal + maior número possível
Hodômetro binário:
Números em complemento de 2
*
Complemento de 2
Achando o número negativo
Determinar o número de bits da aplicação
Números positivos
Complemento = binário
Números negativos:
Referência = positivo
Complemento de 1: Trocar 0 por 1 e 1 por 0
Complemento de 2: Somar 1 ao complemento de 1
Exemplo: ±3
Mínimo 3 bits
Usaremos 4
+3: positivo
+3 = 0011
-3: negativo
Ref:	0011
C1:	1100
+1
C2:	1101
-3 = 1101
*
Operações em C2
Subtração vira soma:
X – Y = X + (-Y)
Achar C2 de Y e fazer soma 
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Exercício
As operações a seguir:
Estão representadas na base 10
Fazem parte de uma mesma aplicação
Contém os maiores e menores resultados da mesma
Faça todas as operações em C2
23 + 19 = 42
102 – 35 = 67
42 – 67 = –25
– 102 – 25 = –127
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Códigos binários
Baixo nível:
1=aberto	0=fechado
1=sim		0=não
1=+5Vdc	0=0Vdc
Alto nível
Significado de conjunto de bits
Diferentes critérios para diferentes aplicação
Padronização
Dentro de uma aplicação
Mercado mundial (texto, telecomunicações, etc.)
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Código binário
Codificação aritmética
Número convertido para base 2 ou complemento de 2
Codificação não aritmética
Baseada em outros parâmetros
Normalmente, tem uma base aritmética
Exemplo: código de Gray
Regra de formação: de N para N+1, muda apenas 1 bit Exemplo: 9 = 1101	10 = 1111
Base aritmética = números binários
Aplica-se regra de tradução: Binário ⇒ Gray Gray ⇒ Binário
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Conversão binário ⇒ Gray
Comparação
Diferença: 3 bits 1 bit
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Conversão Gray ⇒ binário
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Exercício
Represente os números a seguir em Gray
23
24
4712
4713
Retorne os números em Gray para Binário
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Código BCD
BCD = Binary Coded Decimal
Várias versões
Ponderadas: 8421, 4221, 5421
Não ponderadas: Gray, Excesso de 3 (XS-3)
Base: número decimal
Cada dígito é convertido pelo código
Exemplo: BCD 8421
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BCD ponderados
Nome indica peso de cada casa
BCD 8421
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BCD ponderados
BCD5421: 3 bits da metade 1 = 3 bits da metade 2 		única diferença é o 1º bit.
BCD 4221: metade 2 é “imagem no espelho” da 2 		 4: 1000 x 0111 :5 		 0: 0000 x 1111 :9
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BCD não ponderado
BCD-XS-3: códigos 0000 e 1111 são eliminados 		 longas seqüências de 0 ou 1 não ocorrem
BCD 4221: Gray válido apenas de 0 a 9.
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Exemplos e exercícios
Converta para todos os códigos do exemplo os números decimais:
74
312
3241
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Bit, nibble, byte, palavra
BIT: Menor porção da informação binária Associada a uma variável lógica Obedece princípios da não contradição e 3º excluído
Nibble: grupo de 4 bits
Bite: grupo de 8 bits
Palavra: número de bits processado simultaneamente por um circuito:
Palavras usadas em processadores e computadores:
Primeiros, não comerciais: nibble
Z-80, 8088: 1 Byte
80386: 16 bits
Pentium:
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Códigos alfanuméricos
Princípio similar ao BCD: cada símbolo = n bits
Bits suficientes para letras e símbolos
ASCII
American Standard Code for Information Interchange7 bits padronizados mundialmente (128 códigos)
1 bit para segurança
8º bit usado para aumentar o código (+128 códigos com diversos padrões – ABNT ASCII)
EBCDIC: código mainframe IBM Extended Binary Coded Decimal Interchange Code 
Atenção: os códigos ASCII e ECCDIC são expressos em binário. O uso de números hexadecimais é apenas uma maneira simplificada de expressar o código.
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ASCII – 7 bits
Leitura:
Hexidecimal: linha – coluna
Linha 4, coluna 1 = 4116 = bits 0100 0001 = “A” 
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ASCII – 7 bits
Leitura:
Hexidecimal: linha – coluna
Linha 6, coluna 1 = 6116 = “a” = bits 0110 0001
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ASCII – 7 bits
Leitura:
Hexidecimal: linha – coluna
Linha 4, coluna 1 = 4116 = “A” = bits 0100 0001
Linha 6, coluna 1 = 6116 = “a” = bits 0110 0001
Linha 7, coluna F = 7F16 = comando apagar caractere
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ASCII - extensões
http://czyborra.com/charsets/iso8859.html#ISO-8859-1
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ASCII - extensões
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EBCDIC
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Unicode
Unifica caracteres de todas as línguas
Mais de 1 milhão de caracteres
Até 4 bytes por caractere (UTF-8)
Número de bytes variável (para “economia”)
Símbolos básicos = ASCII 7 bits
Como saber a “fronteira” entre 2 caracteres?
os primeiros bits do código de um caractere dizem quantos bytes o código ocupa 
primeiro bit é 0 (byte menor que 128): byte único 
primeiro byte no intervalo 192 .. 223: dois bytes
https://www.ime.usp.br/~pf/algoritmos/aulas/unicode.html
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Unicode - Exemplos
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Exercícios
Converter o número decimal 296 para:
Binário
Octal
Hexadecimal
Gray
BCD8421
XS-3
BCD5421
BCD4221
BCD-Gray
ASCII
Determine a seqüência de bits que seria necessária para escrever Iesb na memória de um computador que usa código ASCII.