Geometria do Cone

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1. DEFINIÇÃO DE CONES 
Um cone é um sólido de base circular e apenas um vértice, sendo este oposto 
a base. Por ter um lado curvo, cones não podem ser considerados poliedros. 
 
1.1 TIPOS DE CONE 
No que se trata de cones, podemos classificá-los em dois tipos: cones retos e 
cones oblíquos. 
 
Cones retos são aqueles que estão posicionados diretamente sobre o centro 
da base circular, enquanto cones oblíquos são aqueles que não possuem tal 
característica, sendo assimétricos. 
 
1.2 SÓLIDO DE REVOLUÇÃO 
Uma forma específica de formar um cone é rotacionando um triângulo 
retângulo sobre seu próprio eixo. Dessa forma o cone é um sólido de revolução. 
 
 
1.3 ELEMENTOS DO CONE 
Temos alguns elementos presentes no cone, como mostrado na figura abaixo: 
 
g: geratriz do cone 
h: altura do cone 
r: raio da base 
v: vértice 
 
Podemos fazer algumas relações: 
● Geratriz no cone, hipotenusa no triângulo. 
● Altura no cone, cateto no triângulo. 
● Raio da base no cone, cateto no triângulo. 
 
1.3.1 GERATRIZ 
As geratrizes do cone são os segmentos que forma a parte curva do cone, 
tendo extremidades no vértice e na circunferência. 
 
Observação: No caso do cone reto, as geratrizes são congruentes. 
 
 
 
2. ÁREAS E VOLUME EM UM CONE 
2.1 ÁREA DA BASE 
É expressa pela equação da área da circunferência: 
Ab = .r²π 
Sendo r o raio da circunferência da base. 
2.2 ÁREA LATERAL 
A área lateral do cone é dada pela seguinte expressão: 
Al = .r.gπ 
Sendo r o raio da circunferência da base e g a geratriz do cone​. 
2.3 ÁREA TOTAL 
Pode ser descoberta somando-se a área lateral e a área da base. 
At = Al + Ab ou 
At = .r² + .r.gπ π 
Sendo r o raio da circunferência da base e g a geratriz do cone​. 
3. VOLUME DE UM CONE 
O volume de um cone é tido como do volume de um cilindro, sendo assim 3
1 
pode ser expressa pela seguinte equação: 
Volume = 1/3 π × r² × h 
Sendo r o raio da base circular e h a altura do corpo redondo. 
 
 
 
4. PLANIFICAÇÃO DO CONE 
É possível ter a planificação do cone como na imagem abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. QUESTÕES 
6.1 ​(ENEM 2010) ​Um arquiteto está fazendo um projeto de iluminação de ambiente e 
necessita saber a altura que deverá instalar a luminária ilustrada na figura. 
 
 
Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área circular de 28,26 m2, 
considerando ≅ 3,14, a altura h será igual a:π 
 
RESOLUÇÃO 
Inicia- se procurando o valor do raio(R), utilizando o valor da área (28,26 cm²), dado 
no enunciado 
Fórmula utilizada ( =3,14)π 
 A= R²π 28,26 = 3,14R² 
 28,26/3,14 = R² 
 9=R² 
 R=√9 
 R=3 
Raio encontrado, podemos utilizar a fórmula da geratriz para saber o valor da altura 
(h), que é o objetivo. 
Fórmula utilizada (R=3) 
 G²=h² + r² 5² = h² + 3² 
 25 = h² + 9 
 h² = 25 – 9 
 h² = 16 
 h = √16 
 h = 4 
 
6.2 ​( UFPA 2011) No cone reto a seguir, a geratriz (g) mede 20 cm e a altura mede 
16 cm. Determine seu volume. 
 
 
RESOLUÇÃO 
Primeiro calculamos a medida do raio da base e, para isso, utilizaremos o teorema 
de Pitágoras. (A²+ B²= H²) 
 
G²= H²+R² 
20²=16²+R² 
R²=144 
R= 12 
Com a medida do raio podemos aplicar a fórmula de volume e acharemos o 
respectivo volume do cone. 
V =​ π. R².h 
 3 
V = ​3,14.12².16 
 3 
V=7234,36/3 
V= 2.411,52 cm³ 
Com isso, o volume do cone é de 2.411,52 cm³ 
6.3 A altura de um cone circular reto mede o triplo da medida do raio da base. Se o 
comprimento da circunferência dessa base é 8πcm, então o volume do cone, em 
centímetros cúbicos, é: 
 
RESOLUÇÃO 
Primeiro, deve-se encontrar a medida do diâmetro dessa base. 
Perímetro = P 
Diâmetro = d 
P = π x d 
8π = π x d 
8π/π = d 
8 cm = d 
Em seguida, o enunciado informa que a altura equivale ao triplo do raio. Portanto: 
Raio = r 
Diâmetro = d 
Altura = h 
r = d/2 
r = 8/2 
r = 4 cm 
 
h = 3r 
h = 3x4 
h = 12 cm 
Para encontrar – se o volume, é necessário calcular a área da base. Com a área da 
base, deve – se multiplicar a mesma pela a altura do cone e dividir por 3 (conforme 
fórmula de volume dos cones). 
Área da Base = Ab 
Volume = V 
Raio = r 
Ab = π x r² 
Ab = 314/100 x 4² 
Ab = 314/100 x 16 
Ab = 5024/100CM² 
 
V = (Ab x h)/3 
V = (5024/100 x 12)/3 
V = (60288/100)/3 
V = 60288/300 
V = 15072/75 cm³ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
● https://www.infoescola.com/geometria-espacial/cone/ (acesso em 22/11/2018 
às 15h57) 
● https://pt.wikipedia.org/wiki/Cone​ (acesso em 22/11/2018 às 16h12) 
● http://voupassar.club/cone-formulas/​ (acesso em 22/11/2018 às 16h29) 
● https://brasilescola.uol.com.br/matematica/cone.htm (acesso em 22/11/2018 
às 16h48) 
● https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/cone.htm (acesso em 
22/11/2018 às 18h11) 
● http://www.uel.br/projetos/matessencial/geometria/cone/cone.htm (acesso em 
22/11/2018 às 23h47) 
● https://desenrolado.com/matematica/geometria-espacial/exercicios--cone 
(acesso em 23/11/2018 às 00h08) 
● https://www.qconcursos.com/questoes-do-enem/questoes/4dadad43-7a 
(acesso em 28/11/2018 às 09:34) 
● https://www.infoescola.com/matematica/volume-do-cone/ (acesso em 
30/11/2018 às 20:48)