2019325_75616_Dinâmica+-+Cap+14+-+Dinâmica+de+um+ponto+material+Trabalho+e+energia (1)
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TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2015 Curotto, C.L. - UFPR 1
Dinâmica
\u2756Dinâmica de um Ponto 
Material: Trabalho e Energia
\u2756Cap. 14
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Objetivos
\u2756Desenvolver o princípio do trabalho e energia e aplicá-
lo à solução de problemas que envolvem força, 
velocidade e deslocamento.
\u2756Estudar problemas que envolvem potência e 
rendimento.
\u2756Introduzir o conceito de força conservativa e aplicar o 
teorema da conservação da energia para resolver 
problemas de dinâmica.
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14.1 Trabalho de uma Força
Uma força F realiza trabalho sobre um ponto material
quando este sofre um deslocamento na direção da força.
Quantidade escalar:
dU = Fdscosq
Da definição de produto escalar:
dU = Fidr
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14.1 Trabalho de uma Força
dU = Fdscosq
Þ quando 0 £q < 900 , força e deslocamento têm
 mesmo sentido e o trabalho é positivo.
Þ quando 900 <q £1800 , força e deslocamento têm
 sentidos opostos e o trabalho é negativo.
Þ quando q = 900 , força é perpendicular ao
 deslocamento e o trabalho é nulo.
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14.1 Trabalho de uma Força
dU = Fdscosq
A unidade de trabalho no SI é o joule (J) e equivale ao 
produto da unidade de força (N) pela unidade de 
comprimento (m): 1 J = 1 N.m
Apesar do momento ou torque possuir a mesma 
combinação de unidades (N.m) o conceito de momento 
é totalmente distinto desde que
momento é uma grandeza vetorial e
trabalho é uma grandeza escalar.
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14.1 Trabalho de uma Força
dU = Fidr = Fdscosq
dU
U
1
U
2
ò = Fidr =
r
1
r
2
ò F cosq ds
s
1
s
2
ò
U
1-2
= F cosq ds
s
1
s
2
ò
Trabalho de uma força variável
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14.1 Trabalho de uma Força
U
1-2
= F cosq ds
s
1
s
2
ò
U
1-2
= F
c
cosq s
2
- s
1( )
Trabalho de uma força constante com 
deslocamento linear do ponto material
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14.1 Trabalho de uma ForçaU
1-2
= Fidr
r
1
r
2
ò
U
1-2
= -Wj( )i dxi +dyj+dzk( )
r
1
r
2
ò
U
1-2
= -Wdy
y
1
y
2
ò
U
1-2
= -W y
2
- y
1( )
Trabalho da força peso sobre uma partícula
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14.1 Trabalho de uma Força
U
1-2
=-W y
2
- y
1( )
\u2756não interessa a trajetória, 
somente a diferença de altura
\u2756se o ponto material sobe o 
trabalho é negativo
\u2756se o ponto material desce o 
trabalho é positivo
Trabalho da força peso sobre uma partícula
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14.1 Trabalho de uma Força
U
1-2
= F
s
ds
s
1
s
2
ò = ksds
s
1
s
2
ò
U
1-2
=
1
2
k s
2
2 - s
1
2( )
Trabalho da força sobre uma mola
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14.1 Trabalho de uma Força
U
1-2
=
1
2
k s
2
2 - s
1
2( )
Trabalho da força sobre uma mola
sempre positivo pois:
\u2756quando a força distende a mola, 
esta se move na mesma direção 
da força
\u2756quando a força comprime a mola, 
esta também se move na mesma 
direção da força
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14.1 Trabalho de uma Força
U
1-2
= -
1
2
k s
2
2 - s
1
2( )
Trabalho da força da mola sobre uma partícula
sempre negativo pois:
\u2756quando a partícula se move 
distendendo a mola, esta puxa a 
partícula
\u2756quando a partícula se move 
comprimindo a mola, esta 
empurra a partícula
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Exemplo 14.1
Um bloco de 10 kg está em repouso sobre um plano liso
inclinado. Se a mola esta inicialmente distendida 0.5 m,
determine o trabalho total realizado por todas as forças
que agem no bloco quando uma força horizontal
400 N empurra-o 2 m plano acima.P s= =
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Exemplo 14.1 - Solução
Diagrama de forças atuantes
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Exemplo 14.1 - Solução
Trabalho da força horizontal P sobre o bloco:
U
1-2
= Pcosq s
2
- s
1( )
U
P
= 400cos300 2( )\UP = 692.82 J
Trabalho da força da mola F
s
 sobre o bloco:
U
1-2
= -
1
2
k s
2
2 - s
1
2( )
U
s
= -
1
2
30 2.52 -0.52( )\U s = -90.000 J
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Exemplo 14.1 - Solução
Trabalho do peso W sobre o bloco:
U
1-2
= -W y
2
- y
1( )
U
W
= -98.1 2sen300( )\UW = -98.100 J
Trabalho da força normal N
B
 sobre o bloco:
Nulo pois a força é perpendicular ao movimento.
Trabalho total:
U
i=1
n
å
i
=U
T
= 692.82-90.000-98.100\U
T
= 505 J
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14.2 Princípio do Trabalho e Energia
F
tå dss
1
s
2
ò = Ft dss
1
s
2
òå
Lembrando que F
tå =mat :
F
t
ds
s
1
s
2
òå = mat dss
1
s
2
ò
Lembrando que a
t
= vdv / ds:
F
t
ds
s
1
s
2
òå = mvdv
v
1
v
2
ò
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14.2 Princípio do Trabalho e Energia
F
t
ds
s
1
s
2
òå = mvdv
v
1
v
2
ò
F
t
ds
s
1
s
2
òå =
1
2
mv
2
2 -
1
2
mv
1
2
U
1-2å =
1
2
mv
2
2 -
1
2
mv
1
2
T
1
+ U
1-2å =T2
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14.3 Princípio do Trabalho e Energia para um Sistema de Pontos Materiais
Lembrando que:
F
t
ds
s
1
s
2
òå =
1
2
mv
2
2 -
1
2
mv
1
2
1
2
m
i
v
1i
2 + F
it
ds+
s
i1
s
i 2
ò f it dss
i1
s
i 2
ò( ) = 12mivi 2
2
1
2
m
i
v
1i
2å + Fit ds+s
i1
s
i 2
òå f it dss
i1
s
i 2
òå( ) = 12mivi 2
2å
T
1å + U1-2å = T2å
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14.3 ... Sistema de Pontos Materiais Girando em Torno de um Eixo Qualquer
Se o sistema está girando a uma velocidade angular w,
então cada massa m
i
 possui velocidade diferente, dada por:
v
i
=wr
i
E a energia cinética de rotação é dada por:
K =
1
2
m
i
v
i
2å =
1
2
m
i
wr
i( )
2
å =
1
2
m
i
r
i
2å( )w 2
Finalmente:
K =
1
2
I
O
w 2
onde I
O
 é o momento de inércia de massa em relação ao eixo de rotação.
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14.3 ... Sistema de Pontos Materiais em Translação e Girando em Torno do CG
Para um sistema de pontos materiais de massa total m,
e velocidade angular w, a energia cinética total será:
E
c
=
1
2
mv
G
2 +
1
2
I
G
w 2
onde:
I
G
 é o momento de inércia de massa em relação ao
eixo de rotação que passa pelo centro de gravidade;
v
G
 é a velocidade de translação do centro de gravidade.
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14.3 Princípio do Trabalho e Energia para um Sistema de Pontos Materiais
( ) ( )1 2
2 2
2 1
1 2
2 1 2 1
Trabalho do Atrito causado por Escorregamento:
1 1
2 2
Para (constante):
0
E o calor gerado?
c
c
c
c
AU F s s N
Ps Ns mv mv
v v v
Ps Ns
s
P N
s
\uf06d
\uf06d
\uf06d