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1 MATEMÁTICA FINANCEIRA INTRODUÇÃO A Matemática Financeira é a parte da Matemática que visa estudar o valor do dinheiro no tempo, isto é: ela fornece instrumentos para o estudo e avaliação das formas de aplicação de dinheiro bem como de pagamentos de empréstimos. I -OPERAÇÕES BÁSICAS 1.1 Formas de apresentação da taxa: Percentual (%) Corresponde a referência da taxa a cem unidades de capital. Exemplos: i = 2% ao mês = 2% a.m i = 0,45% ao dia = 0,45% a.d Unitária Corresponde a referência da taxa a uma unidade de capital. Exemplos: 2% (forma percentual) corresponde a 0,02 na forma unitária. 0,45% (forma percentual) corresponde a 0,0045 na forma unitária. 1.2 Simbologia e convenções adotadas Para efeito de um melhor rendimento do conteúdo , será utilizado a simbologia da calculadora financeira HP 12C, em que: n - número de períodos de capitalização de juros, prazo da operação; i - taxa de juros em cada período de capitalização; PV- valor presente, capital inicial, principal; FV- valor futuro, montante no final de n períodos de capitalização; PMT – pagamentos/recebimentos periódicos de mesmo valor , que ocorrem no final/início de cada período ( série uniforme ou anuidade) Obs.: Quando o prazo da operação é dado considerando-se ano de 360 dias, e por meses de 30 dias, os juros são chamados de comerciais; quando os números de dias corresponde àqueles do ano civil (365 dias) , são chamados de juros exatos. No presente texto , salvo observações em contrário, serão considerados anos/meses comerciais (360/30 dias). 1.3 Fluxo de Caixa O fluxo de caixa de uma operação é uma representação esquemática muito útil na resolução de problemas, e consta de um eixo horizontal no qual é marcado o tempo, a partir de um instante inicial (origem) , a unidade de tempo ( mês, ano, dia, etc...). As entradas de dinheiro num determinado instante são indicadas, por convenção, com setas para cima , e as saídas de dinheiro são indicadas com setas para baixo. 2 DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA entrada de caixa (+) 0 1 2 . . . . . . n tempo saída de caixa ( -) 1.4 Juros Pode ser definido como sendo a remuneração do capital , a qualquer título que são fixados por meio de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo ( ano , mês , dia, etc...) Ex. 10% ao ano = 10% a.a 5% ao trimestre = 5% a.t 0,2% ao dia = 0,2% a.d A obtenção do valor do juros do período, em valores monetários, é sempre feita pela aplicação da taxa de juros sobre o capital aplicado, como exemplo um capital de $100,00 aplicado a uma taxa de juros de 5% a.a , terá no final de um ano , um valor de juros igual a : 100,00 x 5% = 100,00 x 0,05 (5/100) = $ 5,00 1.5 Regimes de Capitalização Regime de Capitalização Simples ( juros simples) - neste regime, apenas o capital inicial ( PV), rende juros. Comporta-se como se fosse uma progressão aritmética (PA) , crescendo o juros de forma linear ao longo do tempo. Os juros somente incidem sobre o capital inicial (PV) , não se registrando juros sobre o saldo de juros acumulados. Exemplo: Um capital de $1.000,00 foi aplicado durante 3 anos à taxa de 10% a. a, pelo regime de juros simples. Juro gerado no 1º ano (1.000,00 x 0,10) = 100,00 Juro gerado no 2º ano (1.000,00 x 0,10) = 100,00 Juro gerado no 3º ano (1.000,00 x 0,10) = 100,00 Logo , após 3 anos este capital renderá de juros $300,00, pois somente o capital aplicado rende juros. Regime de Capitalização Composta ( juros compostos) - neste regime somam-se os juros do período ao capital (PV) para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. . É um comportamento equivalente a uma progressão geométrica (PG). 3 Exemplo: Um capital de $1.000,00 foi aplicado durante 3 anos à taxa de 10% a.a, pelo regime de juros compostos. Juro gerado no 1º ano (1.000,00 x 0,10) = 100,00 Juro gerado no 2º ano (1.100,00 x 0,10) = 110,00 Juro gerado no 3º ano (1.210,00 x 0,10) = 121,00 Logo , após 3 anos este capital renderá de juros $331,00 , pois os juros acumulam-se sobre os juros dos períodos anteriores. 2- REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES – JUROS SIMPLES 2.1 Cálculo do rendimento a juros simples Fórmula : J = PV. i. n Onde: J - juros, rendimento, remuneração ; PV - Capital valor presente, capital inicial, principal; i - taxa de juros em cada período de capitalização; n - número de períodos de capitalização de juros; Exemplo 2.1.1: Calcular os juros de uma aplicação financeira de $3.000,00 aplicados por um ano à taxa de 20% a.a. resolução: J- ? PV - $ 3.000,00 i- 20% a.a (transformando em taxa unitária 0,20) , n – 1 ano J= 3.000,00 x 0,20 x 1 = $600,00 Exemplo 2.1.2 : Qual o rendimento de $10.000,00 aplicados por um mês à taxa de 12% a.a? Resolução: J- ? PV- $10.000,00 n – 1 mês i- 12 % a.a* * As vezes a unidade de tempo da taxa de juros e do período de investimento são diferentes, é necessário igualá-las por meio de ajuste na taxa , i , ou no tempo , n . Como o regime de capitalização é simples, basta converter através de uma multiplicação ou divisão. Convertendo o exemplo pela taxa: J = 10.000,00 x (0,12/12) x 1 = $ 100,00 Convertendo o exemplo pelo prazo J = 10.000,00 x 0,12 x (1/12) = $ 100,00 4 Exemplo 2.1.3 : Um capital de $5.000,00 rendeu $1.200,00 em 180 dias. Qual a taxa de juros simples mensal e anual desta operação ? Resolução : J – 1.200,00 PV - $ 5.000,00 i - ? n – 180 dias 1.200,00 = 5.000,00 x i x 180 i = ( 1.200,00/5.000,00) / 180 i = 0,001333333 como as taxas são expressa em percentual 0,001333333 x 100 = 0,133333 % a . d Ao mês = 0,133333 x 30 = 4,00% a.m Ao ano = 4,00 x 12 = 48,00% a.a Exemplo 2.1.4 : Uma aplicação de $3.000,00 teve um rendimento financeiro de $2.700,00. Para uma taxa de juros simples de 180 % a.a qual o prazo da operação ? Resolução : J - $2.700,00 PV - $ 3.000,00 i = 180% a.a n - ? 2.700,00 = 3.000,00 x 1,8 x n n = (2.700,00/3.000,00) / 1,8 n = 0,50 ano ou 6 meses 2.2 Cálculo do Montante e do Capital O montante , ou valor futuro ( FV) , é o capital inicialmente investido (PV) acrescido dos juros ganhos no período. FV = PV + J FV= PV + PV . i . n Logo a fórmula é FV = PV (1 + i . n) O cálculo do capital a partir do montante é o processo inverso, cuja fórmula é PV= FV/ (1+ i . n) (1+i .n) 0 1 ... n ... 1/(1+i .n) Onde : 5 (1+i .n) Fator que “leva” as grandezas para frente, permite encontrar o Valor Futuro de uma operação ; 1/(1+i .n) Fator que”traz” as grandezas para trás, permite encontrar o Valor Presente de um Montante. Exemplo 2.2.1: Calcular o montante de uma aplicação financeira de $3.000,00 aplicados por um ano à taxa de 20% a.a. Resolução FV - ? PV – $ 3.000,00 i = 20 % a.a n= 1 ano FV = 3.000,00 ( 1 + 0,20 x 1) FV = $3.600,00 Exemplo 2.2.2 : Qual o valor futuro (FV) de $10.000,00 aplicados por um mês à taxa de 12% a.a? Resolução: FV- ?PV- $10.000,00 n – 1 mês i- 12 % a.a Convertendo o exemplo pela taxa: FV = 10.000,00 (1+(0,12/12) x 1) = $10.100,00 Convertendo o exemplo pelo prazo FV = 10.000,00 (1+ 0,12 x (1/12)) = $10.100,00 Exemplo 2.2.3 Qual o capital ( PV) que aplicados à taxa de juros simples de 6% a.s obteve um montante de $1.180,00 após um ano e meio ? Resolução: FV - $1.180,00 PV - ? n – 1,5 ano = 3 semestres i – 6% a.s Convertendo o exemplo pelo prazo: PV = 1.180,00/ ( 1+0,06 x 3) PV = $1.000,00 Convertendo o exemplo pela taxa PV = 1.180,00/(1+(0,06 x 2) 1,5) PV= $1.000,00 Exemplo 2.2.4 Um capital de $5.000,00 após 180 dias obteve um montante de $6.200,00. Qual a taxa de juros simples mensal e anual desta operação ? Resolução : FV – 6.200,00 PV - $ 5.000,00 i - ? n – 180 dias 6.200,00 = 5.000,00(1+ i x 180 ) 6.200,00/5.000,00 = 1+180i 1,24 = 1 + 180i i = 0,001333333 6 como as taxas são expressa em percentual 0,001333333 x 100 = 0,133333 % a . d Ao mês = 0,133333 x 30 = 4,00% a.m Ao ano = 4,00 x 12 = 48,00% a.a Exemplo 2.2.5 Uma aplicação de $3.000,00 teve um valor futuro de $5.700,00. Para uma taxa de juros simples de 180 % a.a qual o prazo da operação ? Resolução : FV - $5.700,00 PV - $ 3.000,00 i = 180% a.a n - ? 5.700,00 = 3.000,00 (1+ 1,8 x n) 5.700,00/3.000,00 = 1 + 1,8n 1,90 = 1+ 1,8n n = 0,50 ano ou 6 meses 2.3 Equivalência de taxas e Capitais Na fórmula de juros simples, sabemos que o prazo deve ser expresso na mesma unidade da taxa, ou vice-versa , logo dizemos que duas taxas são equivalentes a juros simples quando aplicadas num mesmo capital e durante um mesmo prazo derem juros iguais. Em juros simples as taxas equivalentes são proporcionais aos respectivos prazos a que se referem. Exemplo 2.3.1 Em juros simples qual a taxa anual equivalente a 1%a.m? Resolução 1 (0,01) x 12 = 12% a.a Exemplo 2.3.2 Em juros simples qual a taxa mensal equivalente a 9% a.t ? Resolução 9 (0,09) / 3 = 3% a.m Dois capitais são equivalentes quando têm o mesmo valor em uma determinada data de avaliação, ( data focal ) . Porém, no regime de capitalização simples, se for mudada a data focal a equivalência não será mantida, pois o processo de cálculo adotado neste regime de juros não se pode fracionar o prazo da operação. Exemplo 2.3.3 Uma pessoa tem os seguintes compromissos a pagar: $2.000,00 daqui a três meses e $2.500,00 daqui a oito meses. Passando por dificuldades financeiras decide trocar estes débitos por dois pagamentos iguais, um para 10 meses e o outro para 15 meses. Qual o valor destes pagamentos para uma taxa de juros simples de 10% a.m? Resolução: Os dois esquemas de pagamento são financeiramente equivalentes em uma determinada data de avaliação . Se definirmos a data focal como zero e colocando todos os valores para esta data temos: Representação do fluxo de caixa proposto para o momento zero 0 3 8 10 15 2.000 2.500 x x 7 2.000,00/(1+0,10x3)+2.500/(1+0,10x8) = X/(1+0,10x10) + X/(1+0,10x15) 2.927,35 = x /2 + x /2,5 x= 14.636,75/4,5 x= $3.252,61 Se mudarmos a data focal para o 10º mês teremos: Representação do fluxo de caixa proposto para o 10º mês 0 3 8 10 15 2.000 2.500 x x 2.000,00(1+0,10x7) + 2.500,00(1+0,10x2) = x + x/(1+0,10x5) x =$ 3.840,00 Fica assim demonstrado que no regime de juros simples se for mudada a data focal , a equivalência não será mantida. Exemplo 2.3.4 João tem um pagamento daqui a 2 meses no valor de $200,00 e $400,00 daqui a 5 meses, à taxa de juros simples de 5%a.m . Determine o valor de um pagamento único a ser efetuado daqui a 3 meses para que ele possa liquidar a dívida. Resolução Representação do fluxo de caixa proposto 0 2 3 5 200 x 400 x = 200,00(1+0,05x1) + 400,00/(1+0,05x2) x = $573,64 2.4 Contagem de dias entre duas datas Para determinação da data de vencimento e prazo das operações pode-se utilizar a tabela de contagem de dias. Para sua utilização deve-se subtrair o número de dias da data final do número de dias da data inicial, e se a operação ultrapassar um ano e tiver ano bissexto, acrescentar 1 (um) ao resultado encontrado. 8 TABELA CONTAGEM DE DIAS dias janeiro fevereiro março abril maio junho julho agosto setembro outubro novembro dezembro 1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 3 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337 4 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 5 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 6 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 7 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341 8 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 9 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349 16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352 19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353 20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 21 21 52 80 111 141 172 201 233 264 294 325 355 22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357 24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 29 29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 30 30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 31 31 90 151 212 243 304 365 Exemplo 2.4.1 Capital de $ 10.000,00 foi aplicado no dia 12 de fevereiro à taxa juros simples de 6%a.m , e foi resgatado no dia 14 de julho do mesmo ano. Qual foi o valor recebido? Resolução PV = 10.000,00 i = 6% a.m n= ? FV = ? 9 Para achar o prazo da operação utilizando a tabela de contagem de dias Data final (14/07) = 195 Data inicial (12/02) = - 43 Prazo = 152 dias FV = 10.000,00(1+ (0,06/30) x 152) = $ 13.040,00 Exemplo 2.4.2 No dia 26 de maio foi efetuado um empréstimo de $50.000,00 à taxa de juros simples de 24% a.a , para totalmente liquidado em 90 dias. No dia 16 de junho foram pagos $20.000,00 e no dia 11 de julho $15.000,00. Determine a data de vencimento da divida e o valor do saldo a ser liquidado naquela data . Resolução Achando a data : Data final (?) = X Data inicial(26/05) = -146 Prazo = 90 logo X = 146 + 90 = 236 , que na tabela corresponde ao dia 24/08. Para achar o saldo temos : 50.000,00(1 + (0,24/360)x90) – 20.000,00(1 + (0,24/360) x 69*) – 15.000,00( 1+(0,24/360) x 44*)= $16.640,00 *obs.: (24/08) - (16/06) = 69 dias, e (24/08) – (11/07) = 44 dias. EXERCÍCIOS PROPOSTOS1. Qual a taxa anual,semestral, trimestral e mensal de juros simples para uma aplicação de $1.300,00 que produz após um ano o montante de $1.750,00 ? 2. Determinar os juros simples obtidos nas seguintes condições e prazos capital taxa prazo A $2.000,00 1,2 % a.m 5 meses B $3.000,00 21% a.a 2 anos C $2.000,00 1,3% a.m 3 anos D $6.000,00 15%a.t 2,5 anos 3. Maria aplicou $30.000,00 a juros simples, pelo prazo de 6 meses e recebeu $9.000,00 de juros. Qual a taxa mensal da aplicação? 10 4. Pedro aplicou uma certa quantia a juros simples à taxa de 1,8%a.m, pelo prazo de 4 meses. Qual foi o valor aplicado , e o valor dos juros auferidos, sabendo-se que o montante recebido foi de $5.360,00? 5. Ache o capital que, aplicado a juros simples nas condições abaixo, teve os seguintes rendimentos: A) $345.600,00 a 7,2 %a.m , durante 3 meses; B) $11.760,00 , a 100,8% a.a durante 7 meses. 6. Um capital de $18.888,88 é investido no dia 1º de março, à taxa de juros simples de 6%a.m . Em que dia o investidor deverá receber um montante de $24.000,00 7. Calcule as taxas anuais equivalentes, a juros simples , às seguintes taxas: A) 0,3 % a.d B) 2,3 % a.m C) 4% a.b D) 4,5% a.t E) 8% a.q F) 5,8% a.s 8. Calcule as taxas mensais equivalentes, a juros simples, às seguintes taxas: A) 12 % a.a B) 16,8 % a.q C) 6% a.b D) 3,5% a.t E) 8% por 7 meses F) 5,8% a.s 9. Um capital de $3.000,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 7% a.s, e teve um rendimento financeiro de $1.050,00. Por quanto meses este capital ficou aplicado? 10. Por 2 anos um capital de $5.600,00 obteve de juros $1.344,00. Qual foi a taxa de juros mensal auferida por esta aplicação? 11. Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros simples e à taxa de 8% a.a para que duplique? E para que triplique? 12. Uma TV é vendida à vista por $2.400,00, ou a prazo com 20% de entrada mais uma parcela de $2.150,00 dois meses após a compra. Qual a taxa de juros simples mensal desta operação? 13. Em quantos meses um capital de $28.000,00, aplicado à taxa de juros simples de 48% a.a produz um montante de $38.080,00? 11 14. Um capital de $135.000,00 transformou-se em $180.000,00 após 44 dias de aplicação. Calcular a taxa de juros simples mensal desta aplicação. 15. Hoje uma pessoa tem duas dívidas, a primeira, de $8.000,00 vence em 36 dias e a segunda, no valor de $12.000,00, vence em 58 dias. Esta pessoa propõe pagá- las em dois pagamentos iguais dentro de 45 dias e 90 dias respectivamente. À taxa de juros simples de 24%a.a, calcular o valor de cada pagamento , tendo as seguintes datas focais: A) hoje (instante 0); B) 90º dia ; C) 45º dia 16. Uma aplicação financeira de $2.000,00 foi feita no dia 02/6 . Posteriormente foram efetuados dois depósitos adicionais de $500,00 e de $300,00 nos dias 8 e 16 do mesmo mês , e também foi feito um saque no valor de $200,00 no dia 26 do mesmo mês. Inicialmente a taxa de juros simples era de 28%a.a, que baixou no dia 16/6 para 26% a.a. Calcular o saldo disponível desta aplicação no dia 01/07 17. No dia 26/5 foi contratado um empréstimo de $7.000,00 à taxa de juros simples de 24% a.a , para ser totalmente liquidado em 90 dias. No dia 16/6 amortizou-se $3.000,00 e no dia 11/7 amortizou-se $2.500,00. Qual é a data de vencimento deste empréstimo , e quanto deverá ser o saldo pagar nesta data? ( obs. a data focal é 90º dia) 18. Um produtor de feijão, possuidor de um estoque de 30.000 sacas, na expectativa de alta do preço do produto, recusa uma oferta de compra deste estoque ao preço de $5,00 por saca. Seis meses mais tarde , vende o estoque por $12,00 a saca. Para uma taxa de juros simples de 12% a.m , qual o lucro ou prejuízo real este produtor teve por saca? 19. Um capital ficou depositado durante 10 meses à taxa de juros simples de 8% a.m . Findo este prazo , o montante auferido foi aplicado durante 15 meses a juros simples à taxa de 10% a.m. Calcule o valor do capital inicial aplicado, sabendo-se que montante final recebido foi de $1.125.000,00. 20. Silvia aplicou um capital em uma conta remunerada que rende juros simples de 30% a.a . Depois de 3 anos resgatou metade dos juros que ganhou e reaplicou a outra metade por um ano à taxa de juros simples de 32%a.a , obtendo um rendimento de $20,16 nesta última aplicação. Qual foi o capital inicial aplicado por Silvia? 3 - REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA – JUROS COMPOSTOS 3.1 Cálculo do Montante e Capital Se no regime de juros simples o montante cresce linearmente, pois os juros de um determinado período não são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte, no regime de juros compostos o dinheiro cresce exponencialmente 12 em progressão geométrica ao longo do tempo, dado que os rendimentos de cada período são incorporados ao saldo anterior e passam , por sua vez a render juros. Logo a fórmula é FV = PV (1 + i )n O cálculo do capital a partir do montante é o processo inverso, cuja fórmula é PV= FV/ (1 + i )n (1+i)n 0 1 ... n 1/(1+i)n Onde : (1+i)n Fator que “leva” as grandezas para frente, permite encontrar o Valor Futuro de uma operação ; 1/(1+i)n Fator que”traz” as grandezas para trás, permite encontrar o Valor Presente de um Montante. Exemplo 3.1.1 A juros compostos de 10% a.m qual o montante de uma aplicação de $3.000,00 em 5 meses ? Resolução FV= ? PV = 3.000,00 i= 0,10 n = 8 meses FV = 3.000,00( 1 + 0,10) 8 FV = 3.000,00(2,143588810)* FV = $6.430,77 obs. : ao encontrar o fator em fórmulas, deixar no mínimo 06 casas após a vírgula para não distorcer o resultado final. Exemplo 3.1.2 Qual o capital que em 5 anos à taxa de juros compostos de 12%a.a tem um montante de $36.000,00? Resolução FV = 36.000,00 PV= ? i= 0,12 n= 5 anos PV= 36.000,00/(1+ 0,12)5 PV= 36.000,00/1,762341683 PV= $20.427,37 13 Exemplo 3.1.3 Em que prazo um capital de $55.000,00 terá um montante de $110.624,80 com uma taxa de juros compostos de 15%a.m? Resolução FV = 110.624,80 PV = 55.000,00 i= 0,15 n =? 110.624,80 = 55.000,00(1,15)n 110.624,80/55.000,00= (1,15)n 2,01136= (1,15)n log 2,01136 = n . log 1,15 n= log 2,01136/log1,15 n= 5 meses Exemplo 3.1.4 Qual a taxa de juros compostos de um capital de $13.200,00 que foi aplicado por 7 meses , e ao final do período obteve um montante de $35.112,26 ? Resolução FV = 35.112,26 PV = 13.200,00 i= ? n = 7 meses 35.112,26= 13.200,00(1+i)7 35.112,26/13.200,00 = (1+i)7 2,660019697 = (1+i)7 7 660019697,2 = 7 7)1( i 1+i = 7 660019697,2 i= 0,149999989 0,15 x 100 = 15,00% a.m Exemplo 3.1.5 Quanto rende um capital de $3.000,00 aplicado por 10 meses a juros compostos de 2% a.m ? Resolução FV = ? PV = 3.000,00 i = 0,02 n = 10 meses FV = 3.000,00(1,02)10 FV= 3.656,98 J = FV – PV J= 3.656,98 – 3.000,00 = $656,98 Exemplo 3.1.6 Qual a taxa de juros compostos que um capital de $2.000,00 que aplicados por 2 meses obtém um rendimento de $280,00? Resolução FV = (PV + J )2.000,00 + 280,00 = 2.280,00 PV = 2.000,00 i = ? n= 2 meses 2.280,00= 2.000,00(1+i)2 i= )00,000.200,280.2( - 1 = 0,067707825 x 100 = 6,7707825%a.m 14 3.2 Equivalência de Capitais O princípio de equivalência de capitais, já descrito no regime de juros simples, é fundamental e essencial às abordagens aplicadas nos problemas de cálculo financeiro. E , diferentemente do regime de juros simples, na capitalização composta a data focal pode ser mudada, dentro de uma mesma operação, que a equivalência será mantida. Exemplo 3.2.1 Para uma taxa de juros compostos de 10% a.m , demonstrar que o conjunto de capitais do fluxo de caixa abaixo são equivalentes 0 1 2 3 4 5 1.100 1.210 1.331 1.464,10 a) Data focal o instante 0 0 1 2 3 4 5 1.100 1.210 1.331 1.464,10 1.100/1,101 = 1.000,00 1.210/1,102 = 1.000,00 1.331/1,103 = 1.000,00 1.464,10/1,104 = 1.000,00 Todos os capitais são equivalentes na data focal = 0 , porque os seus valores levados àquela data são todos iguais. Se mudarmos a data focal para o 2º mês teremos: 0 1 2 3 4 5 1.100 1.210 1.331 1.464,10 1.100,00(1,10)1= 1.210,00 1.331,00/(1,10) 1 = 1.210,00 1.464,10/(1,10)2 = 1.210,00 Fica constatado que a equivalência de capitais fica mantida. Exemplo 3.2.2 Um empréstimo foi feito à taxa de juros compostos de 5%a.m para ser pago da seguinte maneira: o primeiro pagamento no valor de $400,00 ao final de 6 meses, e o segundo no valor de $800,00 ao final do 10º mês . Porém o empréstimo pode ser liquidado por meio de um único pagamento no valor de $1.641,46. Determine o mês deste pagamento. 15 Resolução pode-se encontrar o prazo de pagamento único se considerar que por equivalência de capitais , as duas formas de pagamento devem ter o mesmo valor presente. Logo 400,00/(1,05)6 + 800,00/(1,05)10 = 1.641,56/(1,05)n (1,05)n = 2,078932566 n = log2,078932566/log1,05 n = 15 meses Exemplo 3.2.3 Uma compra pode ser paga à vista por $1.400,00 ou financiada por meio de uma entrada de 30% e mais dois pagamentos mensais, o segundo sendo 50% maior que o primeiro. Tem-se que o 1º pagamento será efetuado daqui a 4 meses , para uma taxa de juros de 5% a.m , calcular o valor dos pagamentos mensais. Resolução o valor dos pagamentos pode ser encontrado pelo principio de equivalência de capitais, onde o valor à vista deve ser igual ao valor presente do fluxo de pagamento do financiamento. 1.400,00 = 420,00 + X/(1,05)4 + 1,5X/(1,05)5 980,00 = X/1,215506250 + 1,5X/1,276281562 980,00 =3,099540937/1,551328215 X = $490,49 (1º pagamento) 2º pagamento = 490,49 x 1,5 = $735,74 3.3 Convenção Exponencial e Convenção Linear No regime de juros compostos muitas vezes o prazo da operação não corresponde a um número inteiro de períodos a que se refere a taxa de juros, mas a um número fracionário, logo permite-se duas alternativas de cálculo: Cálculo pela convenção linear, onde os juros compostos são usados para o número inteiro de períodos e os juros simples para a parte fracionária de períodos; Cálculo pela convenção exponencial , onde os juros compostos são usados tanto para o número inteiro quanto para a parte fracionária dos períodos Exemplo 3.3.1 Para um capital de $33.000,00 aplicados durante 74 dias à taxa de juros compostos de 5% a.m , calcular o montante utilizando as convenções linear e exponencial. Resolução Pela convenção linear PV = 33.000,00 FV = ? i = 0,05 n= 2 meses (inteiro) e 14 dias ( fração) FV = 33.000,00(1,05)2 x (1+ 0,05 x (14/30)) = $37.231,43 16 Pela convenção exponencial PV = 33.000,00 FV = ? i = 0,05 n= (74/30 ) 2,466666667 FV = 33.000,00(1,05)2,466666667 = $37.220,39 Obs. Nos exercícios futuros, salvo expresso o contrário, os cálculos serão feitos pela convenção exponencial. 3.4 Taxas de juros compostas Um dos problemas mais importantes da matemática financeira é o estudo das taxas, para que se possa distinguir as suas diferentes formas em que se apresenta no dia a dia para tomada de decisão. 3.4.1 Taxas equivalentes e efetivas Vimos na fórmula do valor futuro, FV= PV(1+i)n , e nos exemplos dados, que habitualmente expressamos o prazo , n, de acordo com a unidade de tempo da taxa, ( por exemplo : se i = %a.a e n = 18 meses , expressamos n = 1,5 anos). Pode-se considerar outra situação , na qual temos que escolher uma entre duas taxas, uma anual e outra mensal. Em ambos os problemas temos que converter uma taxa , num período, em outra taxa para outro período, de modo que ambas produzam o mesmo montante. Assim se i1 e i2 forem as taxas e n1 e n2 o referido prazo expresso nas unidades das respectivas taxas, logo devemos ter: PV(1+i1)n1 = PV(1+i2)n2 portanto (1+i1)n1 = (1+i2)n2 Exemplo 3.4.1.1 Em juros compostos qual a taxa efetiva, anual, equivalente a 2% a.m ? if =(1+i)n 0 1 ... 12 Resolução i= (1+0,02)12 = 1,268241795 – 1= 0,268241795 x 100 = 26,8241795%a.a Exemplo 3.4.1.2 Em juros compostos qual a taxa equivalente mensal, à taxa efetiva de 26,8241795%a.a? ie = n i)1( 0 1 ... 12 17 Resolução ie= 12 268241795,01 = 1,02 -1 = 0,02 x 100 = 2,00% a.m Logo se aplicarmos $100,00 a 2,00%a.m de taxa efetiva por um ano ( 100,00(1,02)2 = $126,82) , produzirá o mesmo montante se aplicarmos $100,00 a 26,8241797% a.a pelo mesmo período (100,00(1,268241797)1 = $126,82). Constata-se que as taxas efetivas de 26,8241795%a.a e 2,00% a.m são equivalentes pois produzem o mesmo montante. 3.4.2 Taxas nominais Freqüentemente os juros são capitalizados mais de uma vez no período a que se refere a taxa de juros , isto é : a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização, quando isto ocorre a taxa de juros é chamada de taxa nominal. Ela é bastante usada no mercado financeiro, mas não representa uma taxa efetiva, que é a taxa de juros que deve ser aplicada nos cálculos financeiros. Exemplo 3.4.2.1 sendo a taxa nominal de 12% a.a , com capitalização mensal, qual a taxa efetiva anual correspondente? Resolução in = 0,12 a.a , a capitalização é mensal logo os juros vão ser incorporados 12 vezes , n =12 . podemos aplicar a seguinte fórmula: in = (1+i/n)n , onde i/n é a taxa unitária divido pelo número de vezes em que ela é capitalizada; e o expoente n é o prazo efetivo que se quer. in = (1 +0,12/12)12 = 1,26825030 – 1 = 0,126825030 x 100 = 12,6825030%a.a logo como os juros irão capitalizar mensalmente por 12 períodos a taxa efetiva desta operação é maior do que a taxa nominal . Exemplo 3.4.2.2 Calcular o montante resultante de um investimento de $1.200,00 aplicado por 2 anos à taxa nominal de juros de 6%a.a com capitalização semestral. Resolução FV = ? PV = 1.200,00 i = 0,06 nominal n = 2 anos que corresponde a 4 semestres FV = 1.200,00(1+0,06/2)4 = $1.273,64 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Calcular o montante de uma aplicação de $2.000,00 pelas seguintes taxas efetivas e prazos: a) 3% a.m por 5 meses ; b) 7% a.t por 24meses ; c) 12%a.a por 4 semestres 2. Uma empresa pretende comprar uma máquina daqui a 4 anos no valor de $40.000,00, quanto deverá aplicar hoje para os juros efetivos para esta aplicação forem: a) 13% a.t b) 18%a.a c) 6% a.s d) 1% a.m 18 3. Um investimento resultou em um montante de $43.000,00 em 3 meses, com uma taxa de juros efetiva de 10%a.m, calcular o valor do investimento. 4. Em que prazo um capital de $10.000,00 acumula um montante de $12.762,82 com uma taxa efetiva de 5%a.m ? 5. Um capital de $10.000,00 aplicado por 6 meses teve um montante de $11.596,93 , qual foi a taxa de juros compostos(efetiva) ganha? 6. Para uma taxa efetiva de 48%a.a , calcular as taxas equivalentes a: a) 1 mês : b) 1 trimestre ; c) 20 dias ; d) 4 meses ; e) 1 semestre ; f) 5 meses 7. Para uma taxa efetiva de 2% a.m , calcular as taxas, efetivas, equivalentes a : a) 1 ano ; b) 2 trimestres e meio ; c) 1 semestre ; d) 2 quadrimestres ; e) 75 dias ; f) 1,5 ano 8. Calcular as taxas de juros efetivas mensal , trimestral e semestral , equivalentes à taxa nominal de 12%a.a com capitalização mensal. 9. O Produto Interno Bruto (PIB) de um país cresceu 300% em 12 anos. Qual foi a taxa de crescimento anual média? 10. Uma pessoa precisa de $10.000,00 por 2 anos. Oferecem-lhe a quantia nas seguintes condições : a) a juros nominais de 5% a.a com capitalização trimestral ; b) a juros nominais de 5,375%a.a com capitalização semestral; c) a juros simples de 5.5% a.a . Qual é a melhor oferta? 11. Em quanto tempo um capital duplica de valor se este for aplicado à taxa efetiva de 5%a.s? 12. O valor à vista de um bem é de $6.000,00. A prazo, paga-se uma entrada mais três parcelas mensais de $2.000,00 cada, sendo a primeira daqui a 1 mês . Qual o valor da entrada se a taxa de juros efetiva for de 7%a.m ? 13. Um equipamento de $360.000,00 paga-se uma entrada de 20% mais dois pagamentos mensais consecutivos. Se o primeiro pagamento for de $180.000,00 e a taxa de juros efetiva aplicada é de 10% a.m , qual o valor do segundo pagamento? 14. Um capital de $2.345,00 foi aplicado no dia 24/03, para uma taxa de juros efetiva de 10%a.m , qual foi o valor resgatado no dia 29/09 do mesmo ano? 15. Uma empresa tem o seguinte conjunto de dívida: $2.000,00 com vencimento daqui a 2 meses; $3.000,00 com vencimento daqui a 4 meses , e $1.500,00 com vencimento daqui a 6 meses. Passando por dificuldades financeiras , propõe ao credor a liquidação da dívida em dois pagamentos iguais com vencimento daqui a 8 meses e 10 meses respectivamente. Para uma taxa de juros nominal de 12%a.a , qual o valor destes pagamentos? 19 16. Um empréstimo de $5.000,00 foi feito no dia 14/04 e pago no dia 28/05 do mesmo ano com valor de $5.850,00. Determine a taxa efetiva mensal desta operação. 17. Calcular a taxa nominal anual com capitalização trimestral equivalente à taxa efetiva de 12%a.a 18. Qual a taxa anual efetiva que permite a duplicação de um capital no prazo de 42 meses? 19. Um aparelho de TV é vendido por $1.500,00 à vista, ou por 20% de entrada mais duas parcelas mensais, sendo a 2ª 30% maior do que a 1ª , com vencimento da 1ª trinta dias após a compra. Para uma taxa efetiva de 6%a.m , qual o valor das parcelas? 20. Determinar a taxa mensal de juros compostos, taxa efetiva, que faz com que um capital triplique de valor após dois anos e meio. 4 DESCONTOS O valor nominal , ou valor de resgate, ou seja, o valor definitivo para um título em sua data de vencimento, representa o próprio montante de uma operação, e ao liquidar um titulo antes de seu vencimento envolve um desconto, um premio pela sua antecipação. Logo Desconto é a diferença entre o valor nominal, ou valor futuro, de um título e o seu valor atualizado, descontado, dado n períodos antes de seu vencimento. As operações de desconto podem ser utilizadas tanto no regime de capitalização simples, em operações de curto prazo , quanto no regime de capitalização composta, para operações de longo prazo. E tanto para um regime de capitalização quanto ao outro, o desconto pode ser: a) “por dentro”, dito racional; b) “por fora”, também dito comercial ou bancário. Simbologia FV – Valor nominal, valor de face, valor do título a ser descontado; PV – Valor descontado, valor creditado, valor liquido; D – Valor do desconto; n – Prazo do desconto ou antecipação ; d – Taxa de desconto utilizada na operação. 4.1 Desconto Racional Simples ( “por dentro”) O desconto racional representa exatamente as relações de juros simples descritas anteriormente. O juro incide sobre o capital ( PV) , isto é sobre o valor liquido da operação. A taxa de desconto cobrada representa o custo efetivo de todo o período do desconto. Fórmula: Dr = (FV.d.n)/ (1+d.n) PVr = FV/1+d.n 20 Exemplo 4.1.1 Um titulo de valor nominal de $4.000,00 , com vencimento para um ano , que está sendo liquidado 3 meses antes do seu vencimento. Para uma taxa de desconto de 42% a.a , qual o valor do desconto e o valor descontado desta operação ? Resolução 0 1 ... 9 12 4.000 D = (4.000,00x(0,42/12)x3)/(1+ (0,42/12)x3 ) = $ 380,10 PV = 4.000,00/1+(0,42/12)x3 = 3.619,90 ou FV – D = 4.000,00 – 380,10 = $3.619,90 Exemplo 4.1.2 Determinar a taxa mensal de desconto racional de um título negociado 60 dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a $26.000,00 e valor atual na data do desconto de $ 24.436,10. Resolução: n= 2 meses (60 dias) FV = $ 26.000,00 PV= $ 24.436,10 Sabe-se que no desconto racional o desconto é aplicado sobre o valor atual do título, ou seja,sobre o capital liberado. Logo: d= (PV-FV)/(PV.n) d= (26.000,00-24.436,10)/(24.436,10 x 2) = 0,032 = 3,2 % a.m 4.2 Desconto Comercial Simples ( bancário, ou “ por fora”) Esse tipo de desconto, simplificadamente por incidir sobre o valor nominal (valor resgate) do título, proporciona maior volume de encargos financeiros efetivos nas operações.Observe que, ao contrário dos juros “por dentro”, que calculam os encargos sobre o capital efetivamente liberado na operação, ou seja, sobre o valor presente, o critério “por fora” apura os juros sobre o montante, indicando custos adicionais ao tomador de recursos. A modalidade de desconto “por fora” é amplamente adotada pelo mercado,notadamente em operações de crédito bancário e comercial a curto prazo. O valor desse desconto, genericamente denominado desconto “por fora” ( Df), no regime de juros simples é determinado pelo produto do valor nominal do título , da taxa de desconto periódica “ por fora” contratada na operação, e do prazo de antecipação definido para o desconto . Df = FV x d x n O valor descontado “ por fora” (PV), aplicando- se a definição, é obtido: PV = FV – Df PV = FV – FV. d . n 21 PV = PV (1 – d. n) Exemplos: Para melhor avaliar as diferenças dos tipos de desconto, são utilizados os mesmos exemplos utilizados anteriormente no desconto racional (ou “por dentro”). 4.2.1 Seja um titulo de valor nominal de S 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa de desconto adotada, pede-se calcular o desconto e o valor descontado desta operação. Resolução: Df = FV.d . n Df = 4.000,00 x 0,035 x 3 = $420,00 O maior valor dos juros cobrados pelo título deve-se ao fato, de o desconto “por fora” ser aplicado diretamente sobre o valor nominal ( valor de resgate) e não sobre o valor atual como é característico das operações de desconto racional. Em verdade, o valor do desconto “por fora” equivale, num mesmo momento do tempo, ao montante do desconto “por dentro”, supondo-se as mesmas condições de prazo e taxa. Isto é: Dr = S 380,10 Df = $ 420,00 Para uma taxa de 3,5% a.m. e um período de desconto de 3 meses, conforme estabelecido na ilustração, tem- se: Df = Dr (1 + i x n) Df = 380,10 x (1 + 0,035 x 3) Df = 380,10 x (1,105) Df = $ 420,00 O cálculo do valor descontado é: PV = FV(1 – d x n) PV = 4.000,00 x (1- 0,035 x 3) PV = 4.000,00 x (0,895) PV = $ 3.580,00 Ou PV=FV – D PV = 4.000,00 – 420,00 PV= $3.580,00 Logo, o devedor desse título, descontado pelo desconto comercial, assume encargos maiores que aqueles declarados para a operação. A taxa de juros efetiva desta operação não equivale a taxa de desconto utilizada. Se são pagos $ 420,00 de juros sobre um valor atual de $ 3.580,00, a taxa de juros assume o seguinte percentual efetivo: d = 420,00/3.580,00 = 11,73 % a.t ( ou equivalente a 3,77% a.m pelo regime de juros compostos) . 22 Logo, no desconto “por fora” é fundamental separar a taxa de desconto (d) e a taxa efetiva de juros (i) da operação. Em toda operação de desconto “por fora” há uma taxa implícita (efetiva) de juros superior a taxa declarada. Exemplo 4.2.2 Determinar a taxa de desconto “por fora” de um titulo negociado 60 dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a $ 26.000,00 e valor atual na data do desconto de $ 24.436,10. Resolução: Df = N x d x n Df = 26.000,00 – 24,436,10 = $ 1.563,90 n = 2 meses (60 dias) FV = $ 26.000,00 d = ? 1.563,90 = 26.000,00 x d x 2 1.563,90 = 52.000,00 x d d=0,029440385 ou aproximadamente 2,94% a.m Esta é a taxa de desconto aplicada sobre o valor nominal, ou de face, e não o custo efetivo implícito da operação que será: i = (d . n) / (1-d.n) i =(0,0294 x 2) (1- 0,0294 .2) i = 0,062473 i = 2 062473,01 i = 1,030763 i = 3,07 % a.m Para achar o prazo da operação, como o exemplo 4.2.1 onde temos o valor do desconto, a taxa e o valor nominal , porém desconhecemos o prazo. Ficaria assim: Df = N x d x n 420,00= 4.000,00 x 0,035 x n n = 420,00/(4.000,00 x 0,035) n= 3 Para acharmos o valor nominal de um título, também como exemplo o 4.2.1, onde temos o valor descontado, a taxa , o prazo , porém desconhecemos o seu valor nominal. Temos: PV = 3.580,00 n = 3 meses d = 0,035 logo FV = PV/(1-d . n) FV = 3.580,00/(1- 0,035 x 3) FV = $4.000,00 23 4.3 Desconto composto “por fora” Apresenta raríssimas aplicações práticas e tem como fórmula: Df= FV(1-(1-d)n) Exemplo 4.3.1 Um título com valor nominal de $35.000,00 é antecipado por taxa de desconto composto por fora de 5% a.m , 3 meses antes do seu vencimento. Qual o valor do desconto, e o valor descontado, e a taxa efetiva da operação? Resolução Df = 35.000,00(1 – (1-0,05)3 Df = 35.000,00 x 0,142625 Df = $4.991,88 PV = 35.000,00 – 4.991,88 PV = $30.008,12 Obs.:Para o cálculo da taxa efetiva, observar cálculo da taxa equivalente a juros compostos já descrito anteriormente. i = 5,26% 4.4 Desconto Composto racional ou “por dentro” Utiliza as mesmas relações do regime de juros compostos, tem-se FV quer achar PV Exemplo 4.4.1 Certa pessoa deseja descontar uma nota promissória 3 meses antes do seu vencimento. O seu valor nominal é de $50.000,00 , para uma taxa de desconto racional composto de 4,5% a.m , qual o valor do desconto e o valor líquido recebido? Resolução PV = 50.000,00/(1+ 0,045)3 PV = $43.814,83 D = 50.000,00 – 43.814,83 = $6.185,17 A taxa, por se tratar de um desconto racional, é a própria taxa de desconto considerada. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Calcular os descontos simples e composto, racional e comercial, para as seguintes condições: a) valor nominal $90.000,00 , prazo do desconto é de 4 meses, taxa de desconto 4 % a.m b) valor nominal $67.000,00 prazo do desconto é de 2 trimestres, taxa de desconto 2% a.m 24 2. Um título no valor de $220.000,00 é descontado 2 meses antes de seu vencimento , uma taxa de desconto comercial simples de 24% a.a. Qual a taxa efetiva mensal composta para esta operação. 3. O valor creditado na conta de um cliente é de $32.000,00 , tendo sido considerado um desconto comercial simples de de 20% a.a Para um prazo de desconto de 95 dias, qual o valor nominal deste título? 4. Um título com valor nominal de $32.000,00 , foi descontado 7 meses antes do seu vencimento, tendo sido creditado o valor de $27.000,00. Qual foi a taxa de desconto comercial simples, e a taxa efetiva mensal composta para esta operação? 5. Uma duplicata de $8.000,00 foi descontada em um banco, obtendo um valor descontado de $7.500,00. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples utilizada foi de 2,2% a.m , qual o prazo da operação ? 6. Um banco deseja obter uma taxa efetiva, juros compostos, de 40% a.a em uma operação de 3 meses. Nestas condições qual é a taxa de desconto comercial simples anual a ser cobrada? 7. Um determinado investidor adquiriu por $48.800,00 um título cujo valor de face é de $50.000,00. Sabendo-se que o prazo de vencimento do título era de 49 dias calcule: a) a taxa efetiva, juros compostos, de juros no período; b) a taxa efetiva de juros simples, desconto racional, mensal da operação; e , c) a taxa mensal de desconto comercial simples para a operação. 8. Um título de $13.000,00 que vence em 120 dias foi descontado comercialmente por $11.400,00. Qual a taxa de desconto comercial simples e desconto racional da operação? 9. O portador de um título de $20.000,00 com vencimento em 3 meses tem duas possibilidades: vendê-lo por $19.500,00 a um investidor ou descontá-lo comercialmente em um banco que aplica uma taxa de desconto comercial simples de 1% a.m . Qual transação é mais vantajosa ? 10. Uma nota promissória de $4.500,0 foi descontada racionalmente 60 dias antes do vencimento à taxa simples de 3%a.m . Qual foi o valor líquido recebido pelo portador do título? E se a operação fosse feita por desconto comercial simples ? 5 SÉRIES UNIFORMES São séries de pagamento ou recebimentos iguais, que podem ser realizadas após o período, postecipadas, no início do período, antecipadas, ou séries diferidas onde existe um período de carência para pagamento da primeira parcela. 25 5.1 Tem-se PV quer achar PMT PV 0 1 2 3 4 n pmt pmt pmt pmt Situação de uma série de pagamento postecipada Fórmula : PMT = PV x [(i(1+i)n) / ((1+i)n – 1)] Exemplo 5.1.1 Qual o valor das prestações mensais de um financiamento com principal de $1.000,00, realizado com uma taxa efetiva de juros, regime de capitalização composta, de 8% a.m, para um prazo de quatro meses, com vencimento da primeira prestação 1 mês após a contratação ? Resolução Se o vencimento da primeira prestação é um período após , dá-se umasérie postecipada. PMT = 1.000,00 x [(0,08(1+0,08)4) /((1+0,08)4 – 1 ) ] PMT= $301,92 Exemplo 5.1.2 Qual o valor das prestações mensais de um financiamento com principal de $1.000,00, realizado com uma taxa efetiva de juros, regime de capitalização composta, de 8% a.m, para um prazo de quatro meses, com vencimento da primeira prestação no ato da contratação? Resolução Se o vencimento da primeira prestação é no ato da contratação , dá-se uma série antecipada, deve-se então descapitalizar o principal (PV) um período para após aplicar a fórmula. PV PV 0 1 2 3 mês pmt pmt pmt pmt 1 2 3 4 Pagtos. uniformes PV=1.000,00/1,08 = 925,93 Logo PMT = 925,93 x [(0,08(1+0,08)4) /((1+0,08)4 – 1 ) ] PMT = $279,56 Exemplo 5.1.3 Qual o valor das prestações mensais de um financiamento com principal de $1.000,00, realizado com uma taxa efetiva de juros, regime de capitalização composta, de 8% a.m, para um prazo de quatro meses, com vencimento da primeira prestação ao final do 3º mês após a contratação? 26 Resolução Neste caso o primeiro pagamento acontece com um prazo de carência de dois meses, e as prestações são postecipadas, logo dá-se uma série diferida, precisando levar o capital dois períodos a frente, para após aplicar a fórmula. Logo FV= 1.000,00(1,08)2 FV= 1.116,40 PMT = 1.116,40 x [(0,08(1+0,08)4) /((1+0,08)4 – 1 ) ] PMT = $352,16 Exemplo 5.1.4 Qual o valor das prestações mensais de um financiamento com principal de $1.000,00, realizado com uma taxa efetiva de juros, regime de capitalização composta, de 24% a.a, para um prazo de quatro meses, com vencimento da primeira prestação 1 mês após a contratação ? Resolução Aqui a taxa de juros efetiva está diferente do prazo da operação, pagamentos mensais, logo deve-se transformá-la em taxa equivalente mensal, após o que pode-se aplicar a fórmula. ie= 12 24,01 = 1,8087582%a.m PMT=1.000,00 x [(0,018087582(1+0,018087582)4) /((1+0,018087582)4 – 1 ) ] PMT = $261,41 Exemplo 5.1.5 Qual o valor das prestações mensais de um financiamento com principal de $1.000,00, realizado com uma taxa nominal de juros, com capitalização mensal, de 24% a.a, para um prazo de quatro meses, com vencimento da primeira prestação 1 mês após a contratação ? Resolução Aqui a taxa de juros é nominal, como no exemplo ela é capitalizada mensalmente e as prestações são mensais deve-se dividi-la pelo no de períodos da capitalização para após aplicar a fórmula. 24/12 = 2%a.m PMT = 1.000,00 x [(0,02(1+0,02)4) /((1+0,02)4 – 1 ) ] PMT = $262,62 5.2 Tem-se PMT quer achar PV Fórmula PV = PMT x [((1+i)n – 1)/ (i(1+i)n)] 27 Exemplo 5.2.1 Determinar o valor de um principal de um financiamento efetuado a uma taxa de juros efetiva, regime de juros compostos, de 2% a.m , e que deve ser liquidado em 12 prestações mensais iguais e sucessivas no valor de $500,00 cada , com vencimento da primeira 30 dias após a sua contratação. Resolução PV 0 1 2 ... 12 0 500 500 500 500 Como as prestações vencem ao final do período, tem-se uma série postecipada, e a capitalização taxa e o período da série estão na mesma grandeza, mês, pode-se aplicar diretamente a fórmula. PV = 500,00 x [((1,02)12 -1)/( 0,02(1,02)12)] PV = $5.287,67 Exemplo 5.2.2 Determinar o valor de um principal de um financiamento efetuado a uma taxa de juros efetiva, regime de juros compostos, de 2% a.m , e que deve ser liquidado em 12 prestações mensais iguais e sucessivas no valor de $500,00 cada , com vencimento da primeira no ato da sua contratação. Resolução Neste caso o prazo do primeiro pagamento é no ato da contratação, início da série, logo dá-se uma série antecipada, logo o n = 11 na aplicação da fórmula, com o resultado soma o 1º PMT. PV = 500,00 x [((1,02)11 -1)/( 0,02(1,02)11)] PV = 4.893,42 +500 = $5.393,42 5.3 Tem-se PMT quer achar FV FV 0 1 2 ... n pmt pmt ... pmt Fórmula FV = PMT x [ ((1+i)n -1) / i] Exemplo 5.3.1 Determinar o valor acumulado que se terá após a realização de 5 depósitos anuais com valor de $1.000,00 cada , com uma taxa efetiva de juros de 10% a.a 28 Resolução FV = 1.000,00 x [(1,10)5 – 1)/0,10] FV = $6.105,10 E o saldo imediatamente antes do último depósito? FV = 6.105,10 – 1.000,00 = $5.105,10 5.4 Tem-se FV quer achar PMT Fórmula PMT = FV x [ i/((1+i)n -1)] Exemplo 5.4.1 Determinar o valor dos quatro depósitos semestrais para que se tenha um montante no valor de $10.775,31 após a realização do último do quarto depósito , com uma taxa efetiva de juros de 5% a.s Resolução PMT = 10.775,31 x [(0,05/ ((1,05)4 -1)] PMT = $2.500,00 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1- Determinar o valor das prestações anuais de um financiamento realizado com a taxa efetiva de 8% a.a no regime de juros compostos, sabendo-se que o valor do principal é de $ 1.000,00, e que prazo da operação é de 4 anos 2- Um empresário deseja obter um financiamento para adquirir um equipamento, cujo valor á vista é de $10.000,00. Para diminuir o valor das prestações, ele pretende dar uma entrada de $3.000,00 por ocasião da compra. Determinar o valor das 24 prestações mensais, iguais e sucessivas, para a parte financiada. Sabendo-se que a taxa efetiva é de 15% a.a, capitalizados mensalmente,e que a 1ªprestação ocorre 30 dias após a liberação dos recursos 3- Determinada pessoa assume hoje uma divida de $4.000,00 que devera ser saldada em 4 prestações mensais iguais e consecutivas,vencendo a 1ª um mês após. Achar o valor de cada prestação, usando a taxa de 5,2 % a.m, capitalizados mensalmente. 4- Uma empresa interessada em aumentar sua produção, quer adquirir um equipamento industrial cujo o preço á vista é de $100.000,00. Essa compra poderá ser feita em 12 pagamentos mensais,iguais e consecutivos.Sabendo que a taxa efetiva de juro é de 6% a.m . Calcular o valor de cada pagamento. 5- Um automóvel $15.000,00 á vista, é comprado da seguinte forma : entrada de 30% do seu valor à vista, saldo em 24 prestações iguais,mensais e consecutivas, 29 vencendo a 1ª 30 dias após a compra. Determine o valor das prestações. Sabendo que a taxa de juros é de 2,45% a.m capitalizados mensalmente. 6- O dono de uma agência de viagens quer anunciar a venda de uma excursão em 10 pagamentos mensais,iguais e consecutivos,sendo que o primeiro deve ser pago no ato do fechamento do negócio. Sendo a taxa efetiva de juros de 6% a.m, qual deverá ser valor de cada pagamento, se o preço a vista da excursão é de $8.000,00 7- Um banco de investimentos financia a venda de equipamentos num prazo de 2 anos,com uma taxa efetiva de 3%a.t, no regime de juros compostos. Determinar o valor da prestação trimestral de um equipamento cujo valor á vista é de $ 20.000,00. 8- Um principal de $10.000,00 deve ser liquidado em 4 prestações semestrais iguais e sucessivas. Determiná-las, para uma taxa efetiva de 1,5% a.m . 9- Uma empresa, interessada em aumentar sua produção, quer adquirir um equipamento industrial cujo preço à vista é de $20.000,00. Essa comprapoderá ser feita em 12 pagamentos mensais , iguais e consecutivos, devendo o 1º ser pago no ato. Sabendo que a taxa efetiva de juros é de 6% a.m. , calcular o valor de cada pagamento. 10- Uma piscina é vendida em uma loja por $8.000,00 à vista, ou em 8 pagamentos mensais, iguais e consecutivos, sendo que o 1º dever ser efetuado no ato da compra. Calcule o valor de cada pagamento, sabendo que a taxa efetiva de juro é de 7% a.m. 11- Um financiamento de $1.000,00 de principal deve ser pago em 5 prestações mensais, iguais e sucessivas. Sabendo-se que a taxa efetiva de juros é de 1% a. m. , e admitindo-se meses com 30 dias, determinar o valor da prestação mensal desse financiamento nas seguintes condições : A) O pagto. da 1ª prestação ocorrendo 1 mês após a liberação dos recursos ; B) O pagto.. da 1ª prestação ocorrendo no ato da liberação dos recursos . 12 -Determinada pessoa compra um automóvel pelo qual vai pagar 12 prestações mensais, iguais e consecutivas de $1.000,00 cada , sem entrada, com vencimento da 1ª 30 dias após a compra, sendo a taxa efetiva de juros de 6% a m , achar o preço à vista deste automóvel . 13- As Casas Jambo estão oferecendo um eletrodoméstico através do seguinte plano de pagamento: $500,00 de entrada, e o restante em 6 prestações mensais iguais e consecutivas de $300,00 cada vencendo a primeira 30 dias após a compra. Para uma taxa de juros efetiva de 6% a.m , qual o valor à vista da mercadoria? 14- Uma tv está sendo oferecida, em uma loja, por 8 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de $1.000,00 cada, sendo que o primeiro pagamento deve ser efetuado no ato da compra. Com uma taxa efetiva de juros de 7% a m , ache o preço à vista desta tv. 30 15- Determinar o valor do investimento necessário para garantir um recebimento anual de $10.000,00 no final de cada um dos próximos 8 anos , sabendo-se que esse investimento é remunerado com uma taxa efetiva de 10% a a . 16- Determinar o valor do principal de um financiamento realizado com uma taxa efetiva de 1% a m, e que deve ser liquidado em 12 prestações mensais , iguais e sucessivas de $1.000,00. 17- Uma construtora está vendendo um apartamento com entrada de $60.000,00, e o restante em 12 prestações trimestrais , iguais e consecutivas de $5.000,00 cada, vencendo a primeira um trimestre após a venda. Qual o valor à vista do apartamento sendo de 12% a.t a taxa efetiva de juros? 18- Uma mercadoria está sendo vendida sem entrada em 12 prestações mensais , iguais e consecutivas de $5.000,00 cada , vencendo a primeira um mês após a compra. Achar o valor à vista dessa mercadoria , sendo a taxa efetiva de juros de 73,53% a a . 19- Um empresário compra um equipamento para a sua industria, pagando 8 prestações mensais iguais e consecutivas de $8.000,00 cada, sem entrada. Se a taxa de juros efetiva é de 4% a.m. , qual o preço à vista deste equipamento? 20- Uma pessoa compra , hoje , um terreno , dando $3.000,00 de entrada e o restante em 36 prestações mensais, iguais e consecutivas de $300,00, com vencimento da primeira 30 dias da entrada. Qual o preço à vista deste terreno , supondo um taxa efetiva de jur4os de 6,4% a.m ? 21- Um poupador efetua depósitos mensais, iguais e consecutivos de $1.000,00, em um banco que remunera a uma taxa de juros efetiva de 2% a.m. Qual o valor do capital investido por este poupador após o 6º depósito? 22- Determinar o montante do fluxo de caixa de $1.000,00 com uma taxa de 10% a.a, no regime de juros compostos onde o n = 5 anos . 23 - Um investidor efetua 04 depósitos anuais de $5.000,00, sabendo-se que estes depósitos são remunerados a uma taxa de 8%a.a, no regime de juros compostos, determinar o valor acumulado por este investidor no final do quarto ano nas seguintes condições: A) Imediatamente após a realização do 4º depósito; B) Imediatamente antes da realização do 4º depósito. 24- Determinada pessoa deposita anualmente a quantia de $1.000,00 no final de dezembro de cada ano, em um banco que remunera seus depósitos com uma taxa efetiva de 10% a.a. Assumindo o ano comercial , determinar o saldo credor desta pessoa imediatamente antes do seu 4º depósito anual. 25- Uma instituição financeira remunera seus depósitos na base de 1,5%a.m. no regime de juros compostos, e realiza seus cálculos considerando os meses com 30 31 dias. Um investidor efetua nessa instituição 06 depósitos mensais , iguais e consecutivos de $800,00, ocorrendo o 1º depósito no final do mês de janeiro e o ultimo no final do mês de junho (todos no mesmo ano). Determinar os valores dos saldos acumulados nas seguintes datas: A) Final de junho após o deposito do mês ; B) Final de junho antes do depósito do mês . 26 - Uma pessoa pretende formar um capital com o fim de adquirir uma casa própria . Para isso efetua depósitos de $10.000,00 , mensalmente em um banco que está remunerando o capital com uma taxa de juros de 2%a.m no regime de juros compostos. Quanto terá acumulado na data do %º depósito logo após efetuá-lo? 27- Uma pesoa investe em um banco que paga uma taxa de juros de 2% a.m , efetuado depósitos trimestrais de $100.000,00. Quanto terá acumulado : A) Logo após o 10º deposito? B) Imediatamente antes do 10º depósito? 28- Um comerciante investe a importância de $5.000,00 mensalmente em um banco que paga uma taxa efetiva de juros de 4% a.m. Quanto este comerciante terá de valor acumulado após o 20º depósito? 29- Uma financeira está remunerando o capital na base de 4,5% a.m de taxa efetiva de juros. Se uma pessoa faz depósitos mensais de $1.000,00 , quanto terá acumulado logo após o 15º depósito? 30- Um investidor resolveu efetuar 06 depósitos trimestrais sucessivos de $5.000,00 cada , em um investimento que oferece uma remuneração de 12%a a , de taxa nominal, capitalizada trimestralmente. Determinar: A) O saldo acumulado imediatamente após o seu ultimo deposito . B) O saldo acumulado imediatamente antes do seu último depósito. C) Qual o saldo acumulado imediatamente após o último depósito, trimestral, se a taxa nominal fosse de 12% a.a capitalizada mensalmente? 31- Determinar o valor de seis depósitos mensais iguais e sucessivos, capazes de produzir um montante de $5.000,00 no final do 6º mês, imediatamente após a realização do 6º depósito, sabendo–se que eles são remunerados com uma taxa nominal de 12% a a capitalizadas mensalmente. 32- Um empresário pretende ter, dentro de um ano, um capital de $2.000.000,00 , para montar uma industria. Quanto deverá investir mensalmente , depósitos iguais, em um banco que paga uma taxa de 3% a m , no regime de juros compostos, para que logo após o 12º depósito, atinja o seu objetivo? 33- Uma pessoa deseja fazer uma viagem dentro de 10 meses. Para isso ela deverá ter, à época da viagem, uma quantia de $30.000,00. Quanto ela deverá depositar mensalmente, depósitos iguais , em um banco que está pagando uma taxa de juros de 11% a.t. , no regime de juros compostos, de modo que logo após o 10º depósito, tenha aquela quantia ? 32 34- Quanto devo investir trimestralmente em um banco que paga uma taxa efetiva de juros de $,5% a.t., de modo que , dentro de 2 anos , logo após o último deposito, eu tenha a importância de $500.000,00? ($53.304,83) 35 -Num determinado ano civil, um empresário efetua depósitos mensais, iguais e sucessivos, em um banco que remunera seus depósitos a juros compostos com a taxa de 1,2% a.m.. No final de dezembro desse exercício ototal acumulado pelo empresário, através destes depósitos , é de $100.000,00. Assumindo os meses com 30 dias, determinar o valor dos depósitos mensais na seguintes hipóteses: A) O primeiro depósito ocorreu no inicio do mês de janeiro; B) O primeiro depósito ocorreu no final do mês de abril; C) O primeiro depósito ocorreu no inicio do mês de setembro. 36 - Uma aplicação financeira que remunera seus depósitos com uma taxa nominal de juros de 15% a.a. capitalizados trimestralmente, recebeu de um cliente 06 depósitos trimestrais consecutivos , todos do mesmo valor. Determinar o valor destes depósitos trimestrais para que esse cliente possa retirar desta aplicação a quantia de $20.000,00 no final do 6º trimestre após a efetivação do seu ultimo depósito. 6- AMORTIZAÇÃO 6.1 CONCEITO A amortização de uma dívida é o processo de extinção progressiva da dívida através de pagamentos (prestações) periódicos, calculados segundo diferentes critérios (planos de amortização), de modo a incluir o reembolso do capital e o pagamento do juro correspondente. 6.2 SISTEMA DE PAGAMENTO ÚNICO Neste sistema, o mutuário deve pagar, após um certo prazo, o principal mais o juro correspondente a esse prazo. Esta modalidade de pagamento é utilizada em letras de câmbio, certificados a prazo fixo com renda final, títulos descontados em bancos comerciais etc. Exemplo 6.1.1 Na compra de um imóvel, uma pessoa quer financiar a importância de $300.000,00 em um banco que cobra uma taxa efetiva de juro de 4% a m. Essa pessoa deverá quitar sua dívida dentro de 5 meses, com um único pagamento que incluirá o principal mais o juro composto desse período . Achar o valor do pagamento único e preencher a planilha. Resolução: 1o achar o valor do pagamento único. FV=PV(1+i)n FV=300.000,00(1+0,04)5 FV= 364.995,87 33 2o preencher a planilha n juro amortização prestação Saldo devedor 0 - - - 300.000,00 1 12.000,00 - - 312.000,00 2 12.480,00 - - 324.480,00 3 12.979,20 - - 337.459,20 4 13.498.37 - - 350.957,57 5 14.038,30 300.000,00 364.995,87 0 total 64.995,87 300.000,00 364.995,87 - OBS. As somas das colunas juro, amortização e prestação objetivam apenas conferir os totais, já que elas não têm significado em termos de matemática financeira, em vista de serem disponíveis em épocas distintas. 6.3 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO VARIÁVEIS Neste sistema, o mutuário deve pagar periodicamente parcelas de amortização, combinadas a priori. O juro será sempre calculado sobre o saldo devedor e deverá ser pago totalmente, em conjunto com cada parcela de amortização. Exemplo 6.3.1: Na compra de um imóvel, uma pessoa quer financiar a importância de $300.000,00 em um banco que cobra uma taxa efetiva de juro de 4% a m. Essa pessoa deverá quitar sua dívida com 5 pagamentos mensais, onde as parcelas de amortização serão: 1o mês: $30.000,00 2o mês: $45.000,00 3o mês: $60.000,00 4o mês: $75.000,00 5o mês: $90.000,00 Construir a planilha desse financiamento, achando o valor de cada prestação. Resolução: O juro é calculado mês a mês. Como as parcelas de amortização já estão fixadas, basta somar o juro com a respectiva parcela de amortização para encontrar o valor da prestação, e o saldo devedor é abatido pela amortização do período. n juro amortização prestação Saldo devedor 0 - - - 300.000,00 1 12.000,00 30.000,00 42.000,00 270.000,00 2 10.800,00 45.000,00 55.800,00 225.000,00 3 9.000,00 60.000,00 69.000,00 165.000,00 4 6.600,00 75.000,00 81.600,00 90.000,00 5 3.600,00 90.000,00 93.600,00 0 total 42.000,00 300.000,00 342.000,00 - 34 6.4 SISTEMA AMERICANO Neste sistema, o mutuário obriga-se a restituir o principal em um único pagamento, após certo prazo. Entretanto, periodicamente é pago o juro, de modo que o saldo devedor permaneça sempre igual, até o momento da liquidação da dívida. Como o saldo devedor é constante, a parcela periódica de juro também é sempre igual. No momento da liquidação da dívida, o mutuário restitui ao credor o principal mais o juro do último período. Exemplo 6.4.1 Na compra de um imóvel, uma pessoa quer financiar a importância de $300.000,00 em um banco que cobra uma taxa efetiva de juro de 4% a m. Essa importância será paga de uma só vez, dentro de 5 meses. Construir a planilha desse financiamento. Resolução: Como o juro é pago mensalmente, o saldo devedor permanece constante até o momento da liquidação total da dívida. n juro amortização prestação Saldo devedor 0 - - - 300.000,00 1 12.000,00 - 12.000,00 300.000,00 2 12.000,00 - 12.000,00 300.000,00 3 12.000,00 - 12.000,00 300.000,00 4 12.000,00 - 12.000,00 300.000,00 5 12.000,00 300.000,00 312.000,00 0 total 60.000,00 300.000,00 360.000,00 - 6.5 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) Neste sistema, o mutuário obriga-se a restituir o principal em n prestações, nas quais as cotas de amortização são sempre iguais. As prestações são sempre decrescentes, pois a parcela de amortização é constante, mas a parcela de juro, sempre calculada sobre o saldo devedor, vai diminuindo, de modo que o juro é máximo na primeira prestação e mínimo na última. Exemplo 6.5.1 Na compra de um imóvel, uma pessoa quer financiar a importância de $300.000,00 em um banco que cobra uma taxa efetiva de juro de 4% a m. Essa importância será amortizada através do SAC, em 5 prestações mensais. Preencher a planilha. Resolução : 1o: o valor de cada cota de amortização é encontrado dividindo o total da dívida pelo número de períodos $300.000,00/5 = $60.000,00 35 2o: a prestação = amortização + juro n juro amortização prestação Saldo devedor 0 - - - 300.000,00 1 12.000,00 60.000,00 72.000,00 240.000,00 2 9.600,00 60.000,00 69.600,00 180.000,00 3 7.200,00 60.000,00 67.200,00 120.000,00 4 4.800,00 60.000,00 64.800,00 60.000,00 5 2.400,00 60.000,00 62.400,00 0 total 36.000,00 300.000,00 336.000,00 - 6.6 SISTEMA PRICE OU SISTEMA FRANCÊS Neste sistema o mutuário se obriga a restituir o principal em n prestações iguais, periódicas e sucessivas. Exemplo 6.6.1 Na compra de um imóvel, uma pessoa quer financiar a importância de $300.000,00 em um banco que cobra uma taxa efetiva de juro de 4% a m. Essa importância será amortizada pelo Sistema Price, ou Francês, em 5 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira um mês após a compra. Preencher a planilha deste financiamento. Resolução: 1o: achar o valor da prestação através da fórmula PMT = PV . i(1 + i)n PMT = 67.388,13 (1 + i)n – 1 2o: amortização = prestação – juro n juro amortização prestação Saldo devedor 0 - - - 300.000,00 1 12.000,00 55.388,13 67.388,13 244.611,87 2 9.784,47 57.603,66 67.388,13 187.008,21 3 7.480,32 59.907,81 67.388,13 127.100,40 4 5.084,01 62.304,12 67.388,13 64.796,28 5 2.591,85 64.796,28 67.388,13 0 total 36.940,65 300.000,00 336.940,65 - 6.7 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTA (SAM) É baseado no SAC e no Sistema Price. Neste caso a prestação é igual a média aritmética entre as prestações dos dois outros sistemas, nas mesmas condições. Assim para preencher uma planilha do SAM, necessitamos fazer o estudo inicialmente do SAC e do Sistema Price. 36 Exemplo 6.7.1 Na compra de um imóvel, uma pessoa quer financiar a importânciade $300.000,00 em um banco que cobra uma taxa efetiva de juro de 4% a m. Essa importância será amortizada pelo SAM, em 5 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira um mês após a compra. Preencher a planilha deste financiamento. Resolução: 1o: como este problema já foi resolvido pelo SAC e pelo Sistema Price, nos exemplos anteriores, é só fazer a média aritmética das prestações já encontrada. 1a prestação = (72.000,00 + 67.388,13) : 2 = 69.694,06 2a prestação = (69.600,00 + 67.388,13) : 2 = 68.494,07 3a prestação = (67.200,00 + 67.388,13) : 2 = 67.294,07 4a prestação = (64.800,00 + 67.388,13) : 2 = 66.094,07 5a prestação = (62.400,00 + 67.388,13) : 2 = 64.894,07 2o: amortização = prestação – juro n juro amortização prestação Saldo devedor 0 - - - 300.000,00 1 12.000,00 57.694,06 69.694,06 242.305,94 2 9.692,24 58.801,83 68.494,07 183.504,11 3 7.340,16 59.953,91 67.294,07 123.550,20 4 4.942,01 61.152,06 66.094,07 62.398,14 5 2.495,93 62.398,14 64.894,07 0 total 36.470,34 300.000,00 336.470,34 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Um banco libera para uma empresa um crédito de $120.000,00 para ser devolvido pelo SAC em 6 parcelas trimestrais. Para uma taxa efetiva de juros de 5% a.t , preencha a planilha deste financiamemto. 2. Um imóvel é vendido por $62.500,00, sendo 20% de entrada e o restante financiado pelo SAC em 100 meses com uma taxa de juros efetiva de 1% a.m. Calcule : a) o valor da 1ª e da última prestação; b) a soma das 40 1as prestações ;c) o a soma dos juros pagos de todo financiamento. 3. O valor de $1.500.000,00 é financiado à taxa de juros efetiva de 10 % a.a, para ser amortizado pelo sistema americano em 15 anos. Qual o valor da 5ª prestação, e o valor da última prestação? E o valor dos juros pagos no 5º ano? 4. Um bem no valor de $125.000,00, foi financiado à taxa efetiva de juros de 10%a.a, e ficou convencionado que o devedor amortizaria a dívida junto ao credor em prestações mensais da seguinte forma : $25.000,00 no 1º mês; $30.000,00 no 2º mês; $40.000,00 no 3º mês ; $15.000,00 no 4º mês ; e, $15.000,00 no 5º mês . Construir a planilha de amortização. 5. Um imóvel no valor de $150.000,00 foi financiado à taxa nominal de juros de 12%a.a com capitalização mensal, para a ser pago em 24 prestações mensais pelo sistema de amortização constante. Construir a planilha deste financiamento.
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