Analise Dimensional - Apresentacao

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ANÁLISE DIMENSIONAL
Grandezas Físicas Fundamentais
Unidade no SI
Comprimento L metro m
Massa M quilograma kg
Tempo T segundo s
kelvin K
I ampère A
candela cd
N mols mol
Grandeza
Física
Símbolo da
Dimensão
Símbolo da Unidade
no SI
Temperatura 
termodinâmica
Corrente 
elétrica
Intensidade 
luminosa
I0
Quantidade 
de matéria
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EXEMPLOS
ALGUMAS FÓRMULAS DIMENSIONAIS
� Velocidade: [v]=LT-1
� Aceleração: [a]=LT-2
� Força: [F]=MLT-2
� Trabalho: [E]=ML2 T-2
� Energia: [E]=ML2 T-2
� Torque: [E]=ML2 T-2
� Potência: [Pot]=ML2 T-3
� Momento: [Q]=ML T-1
� Velocidade angular: [ω]=T
� Freqüência: [f]=T-1
� Carga elétrica : [q]=IT
� Campo elétrico : [E]=MLT-3I
� Potencial elétrico : [U]=ML2T-3I-1
� Resistência elétrica: [R]=ML2T-3I-2
� Campo magnético: [B]=MT-2I-1
� Fluxo magnético [Ф]=ML2T-2I-1
� Calor específico: [c]=L2 T-2 θ-1
� Coeficiente de dilatação [ α ]= θ-1
� Fluxo de calor: [ Ф ]= ML2 T-3
� Intensidade sonora [I]=MT-3
GRANDEZAS FÍSICAS ADIMENSIONAIS
� Coeficientes de atrito
� Índice de refração
� Rendimento
� Nível de intensidade sonora
Principais usos:
� Verificação da homogeneidade de 
fórmulas;
� Previsão de equações físicas;
�Mudança de unidades;
TEOREMA DE BRIDGMAN
� Toda grandeza secundária pode ser 
expressa por um produto de potências 
das grandezas primárias.
� Suponhamos que uma grandeza 
secundária G seja uma função das 
grandezas primárias A, B,C ... Z. O 
teorema de Bridgman diz que se poderá
escrever:
G=KAαBβCγ...Zω
ATENÇÃO!!!
� Todo arco é adimensional.
� Toda função trigonométrica é adimensional
� Todo expoente é adimensional.
� Toda grandeza definida pela razão de duas 
grandezas físicas, de mesma dimensão, é
adimensional.
� Só podemos somar e subtrair grandezas 
físicas de mesma dimensão.
HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL
� Uma equação física verdadeira deve ser 
dimensionalmente homogênea, isto é, 
dever ter em ambos os membros a 
mesma fórmula dimensional.
Homogeneidade das equações
Num movimento oscilatório, a abscissa (x) 
da partícula é dada em função do tempo 
(t) por: X= A + B cos(Ct). Sendo [X]=L, 
obtenha a fórmula dimensional de A, B e 
C. 
Resolução...
� X= A + B cos(Ct)
[ ]
[ ]
[ ][ ] [ ]
[ ]
[ ]
0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 1
0 0
...
...cos( )
A M LT
sendo Ct M L T
C t M L T C T
C M L T
sendo ct adnensional
B M LT
−
=
=
= =
=
=
=
exemplos
2 2
0
V V 2a S= + ∆
2 2
0
[V ] [V ] [2a S]= + ∆
2 2 2 2 2 2L T L T L T− − −= +
2
0 0
a
S S V t t
2
= + +
2
0 0
a
[S] [S ] [V t] [ t ]
2
= + +
1 2 2L L LT T LT T− −= + +
L L L L= + +
1 2 1 2 2(LT ) (LT ) LT L− − −= +
exemplos
� Teorema do Impulso
I Q= ∆
� ��
F 0F t mV mV∆ = −
F 0
[F t] [mV ] [mV ]∆ = −
2 1 1MLT T MLT MLT− − −= −
1 1 1MLT MLT MLT− − −= −
Previsão de fórmulas
� A intensidade da resultante centrípeta é
função apenas da massa, da velocidade 
e do raio da trajetória. Por análise 
dimensional obter, a menos da 
constante adimensional(K), a expressão 
da intensidade da força centrípeta.
Resolução
( ) ( ) ( )2 1
2
1 2 1
2
1
1 1; 2; 1
2
x y z
cp
yx z
x y z y
cp
cp
F Km v r
MLT K M LT L
MLT KM L T
x
y z x y z
y
F Km v r
mvF K
r
− −
− + −
−
  = 
=
=
=

+ = ⇒ = = = −

− = −
=
=
Previsão de fórmulas
� Um cientista, fazendo experiências em 
um laboratório, verifica o período(t) de 
oscilação de um pêndulo simples 
alterando o comprimento do fio(L), a 
massa(m) e considerando a 
gravidade(g) local. Como pode ele, 
usando análise dimensional, obter uma 
fórmula para calcular t, isto é, uma 
função do tipo t=f(L,m,g).
Resolução
1
2
0 0 1 2
0 0 1 2
1
0 2
g
[ ] ( ) ( ) ( )
1 10 0; ;
2 2
2 1
g g
x y z
x y z
x y z z
x y z
t Km l
t M L T M L LT
M L T M L T
x o
y z x z y
z
t Km l Km l
lT K
g
−
+ −
−
=
= =
=
=

+ = ⇒ = = − =

− =
= =
=
EXERCÍCIOS
� (ITA-2009) Sabe-se que o momento angular 
de uma massa pontual é dado pelo produto 
vetorial do vetor posição dessa massa pelo 
seu momento linear. Então, em termos das 
dimensões de comprimento (L), de massa (M), 
e de tempo (T), um momento angular qualquer 
tem sua dimensão dada por dada por
a) L0MT–1. b) LM0T–1. c) LMT–1.
d) L2MT–1. e) L2MT–2.
resolução
EXERCÍCIOS
� (Ita 2008) Define-se intensidade I de uma onda como a razão 
entre a potência que essa onda transporta por unidade de área 
perpendicular à direção dessa propagação. Considere que para 
uma certa onda de amplitude a, freqüência f e velocidade v, que 
se propaga em um meio de densidade ›, foi determinada que a 
intensidade é dada por: Indique quais são os valores 
adequados para x e y, respectivamente.
a) x = 2; y = 2
b) x = 1; y = 2
c) x = 1; y = 1
d) x = - 2 ; y = 2
e) x = - 2; y = - 2
Resolução
Exercícios
� 01- Determine a equação dimensional de 
Capacitância de um capacitor.
[ ]
[ ]
2 2
2 3 1
1 2 4 2
2 3 1
QC Q is IT
U
J ML T
w s TPot Ui U
A A I
U ML T I
ITC M L T I
ML T I
−
− −
− −
− −
= = =
→ = → = = =
=
= =
֏
Exercício 02
(Mackenzie) No estudo de um fenômeno 
da natureza foram envolvidas as 
grandezas A, B,C e D, diferentes entre 
si. A relação entre as grandezas é: 
Se B tem dimensão de massa, C de 
comprimento e D dimensão de tempo, a 
unidade de medida de A no Sistema 
internacional de Unidade é:
a)m/s b) N.s c)J/m d)N e)J 
2 2A BC D−=
resolução
2 2
2 2
2 2
A=BC D
[A]=[B][C] [D]
[A] ML T
−
−
−
=
Portanto “A” representa energia e sua unidade no Sistema 
Internacional é o Joule (J)
Resposta E
Exercício 03
Com relação as grandezas fundamentais 
MLTθI, determine as equações 
dimensionais das seguintes grandezas:
a)Constante Universal dos gases perfeitos 
(R).
b)Resistência elétrica (R).
resolução
2 -2
3
2
-2
2 -2 1 0
a)PV=nRT
[PV]=ML T (trabalho)
ou
F
[PV] V(m ) N.m
A(m )
[n] adimensional
PV=nRT
MLT [R]
[R] ML T I−
= = = τ
=
= Θ
= Θ
2
2n
2 2
2
2 3 2 0
P=Ri
E
Ri
t
ML T
[R]I
T
[R] ML T I
−
− −
=
∆
=
= Θ
exercício
(FUVEST)Um estudante está prestando 
vestibular e não se lembra da fórmula 
correta que relaciona o módulo da 
velocidade V de propagação do som, com 
a pressão P e a massa específica ρ, num 
gás. No entanto, ele se recorda que a 
fórmula é do tipo (vide eq. ao lado) , em 
que C é uma constante adimensional. 
Após um exame da equação dimensional 
ele conclui que os expoentes α e β valem 
respectivamente:
a)1;2 b)1,1 c)2,1 d)2,2 e) 3,2
C.P
V
β
α
=
ρ
resolução
3
2
1 2
2
1 1 2 3 1
1 3 2
C.P
V
[ ] M L
F M L T
[P ] M L T
A L
su b s t itu in d o
[L T ] [M L T ] [M L ]
L T M L T
1 0
3 1; 2
2
re sp.C
β
α
−
−
− −
− α − − β − −
α − α β − − β + − β
=
ρ
ρ =
= = =
=
=
β − =

− β + = α ⇒ β = α =

− β = − α
ITA-2000
A figura abaixo representa um sistema 
experimental utilizado para determinar o volume de 
um líquido por unidade de tempo que escoa 
através de um tubo capilar de comprimento L e 
seção transversal de área A. Os resultados 
mostram que a quantidade desse fluxo depende da 
variação da pressão ao longo do comprimento L do 
tubo por unidade de comprimento (∆P/L), do raio do 
tubo (a) e da viscosidade do fluido (η) na 
temperatura do experimento.Sabe-se que o 
coeficiente de viscosidade (η) de um fluido tem a 
mesma dimensão do produto de uma tensão (força 
por unidade de área) por um comprimento dividido 
por uma velocidade. Recorrendo à análise 
dimensional, podemos concluir que o volume de 
fluido coletado por unidade de tempo é
proporcional a
resolução