APOSTILA DIMENSIONAMENTO PREDIO 4 ANDARES

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CURSO DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL
Prof. LEONARDO DE SOUZA BASTOS 1
DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL
DE UMA
EDIFICAÇÃO DE 4 ANDARES
RIO DE JANEIRO – 2016
PROF. LEONARDO BASTOS (lbastosjdf@hotmail.com)
http://lbastosjdf.wixsite.com/engenharia
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INTRODUÇÃO
O presente trabalho tem como objetivo apresentar de forma simples e prática o
dimensionamento de uma edificação de concreto armado de 4 andares, revisando
conceitualmente todas as Teorias das Estruturas necessárias para este dimensionamento
e apresentando tabelas que auxiliem tais cálculos, de acordo com a atual NBR-118:2014.
A edificação que será dimensionada é um edifício de 4 andares, composto de dois
apartamentos por andar. A planta de arquitetura está ilustrada na Fig (1).
1- LANÇAMENTO DA ESTRUTURA
Ao iniciar um projeto estrutural a primeira tarefa a se fazer é escolher o modelo
estrutural adotado:
• Estrutura convencional: lajes maciças  vigas pilares
• Lajes cogumelos: Lajes pilares
• Lajes nervuradas
• Outros tipos (protendido, pré-moldados, lajes pré-fabricadas, etc.)
Nem sempre é fácil definir qual o melhor tipo de solução para o projeto, pois vários
fatores podem influenciar: vãos necessários, tipo de arquitetura, custos, mão de obra
disponível, localidade, tecnologia disponível, etc. Às vezes, é necessário realizar estudos
envolvendo duas ou mais soluções e verificar qual terá o melhor custo / benefício.
No estudo presente, será adotado a estrutura convencional, isto é, lajes maciças
apoiando-se nas vigas, que se apoiam nos pilares.
Inicialmente é lançada sobre a planta os pilares, buscando a menor interferência
possível na arquitetura. Não posicionando os elementos estruturais nos locais de
aberturas (portas e janelas), nem no meio dos vãos. Esse lançamento nem sempre é
simples, principalmente quando existem variações de plantas entre os diversos andares
(térreo, andar de garagem, pavimentos destinados a lazer, pavimentos tipo, cobertura,
etc). Pode ser necessário em determinados casos a utilização de transições e outras
soluções para atender a arquitetura da edificação. Quando há um caso extremo de
interferência, que não é possível achar uma solução viável, recorre-se ainda a
possibilidade de entrar em contato com o arquiteto e tentar compatibilizar o projeto,
realizando alterações arquitetônicas que sejam possíveis.
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Para lançamento da estrutura é usual trabalhar com programas de CAD,
sobrepondo todas as plantas e verificando a interferência da estrutura (pilares) em todos
os andares. Neste caso, podemos colocar cada planta em um layer diferente, ligando e
desligando cada andar separadamente.
Recentemente, os programas em BIM, facilitaram em muito o lançamento e estudo
das estruturas, onde arquitetura e estrutura podem ser facilmente visualizadas, tanto em
2D quanto em 3D, e feitas as alterações necessárias em ambos projetos. Um desses
programas é o REVIT, da AUTODESK. Neste estudo, a estrutura foi lançada e estudada
com o auxílio deste programa.
Nesta etapa do projeto é ideal certa experiência do projetista estrutural, para prever
as dimensões dos elementos estruturais. Porém, é essencial ter em mente as dimensões
mínimas dos elementos estruturais definidos pelas normas.
A NBR-6118:2014 define que nenhum pilar ou pilar parede,
independentemente de sua forma, pode apresentar dimensão menor que 19 cm.
Em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões mínimas entre 14cm
e 19 cm, desde que os esforços solicitantes no dimensionamento destes pilares sejam
majorados por um coeficiente adicional. (Ver Tab13.1 da NBR-6118:2014).
No projeto exemplo deste curso, iremos adotar a menor dimensão igual a 20 cm,
não sendo necessário, portanto usar nenhum coeficiente adicional de majoração dos
esforços. A fim de facilitar a montagem e execução da estrutura, todos os pilares serão
lançados com uma seção igual a 20x40cm. Na etapa de dimensionamento destes pilares
será verificada a necessidade de ajustes, para mais ou para menos, das seções dos
mesmos.
Pode-se perceber que os pilares P4 e P5 tiveram suas seções alteradas para
20x50 cm, assim eles terão dimensões suficientes para apoiar as vigas que nele chegam
não alinhadas.
Na Figura 1, é mostrado a planta de arquitetura do pavimento tipo, e ao lado o
lançamento dos pilares sobrepostos a essa arquitetura, onde é possível observar que
nenhum pilar está interferindo nas passagens nem prejudicando as esquadrias.
Para o lançamento das vigas, também se faz necessário rever as dimensões
mínimas estabelecidas por norma. A NBR-6118:2014 estabelece que nenhuma viga
pode apresentar largura menor que 12 cm. Um valor mínimo absoluto de 10 cm pode
ser usado em caso excepcional, porém será obrigatório seguir algumas condições em
relação as armaduras e quanto ao lançamento e vibração do concreto.
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Para estimar a altura das vigas é usual adotar inicialmente uma razão de 10% do
vão, respeitando uma altura mínima de 25 cm. É muito importante verificar o pé direito do
pavimento e as alturas das janelas e portas, definidas na arquitetura, afim de garantir que
a altura adotada da viga não interfira nas esquadrias da edificação.
No presente projeto será adotado inicialmente todas as vigas com 15x40cm. Na
etapa do dimensionamento e verificação das mesmas poderemos rever essas medidas
conforme necessário. As vigas de bordo das varandas terão seções iguais a 12x30cm,
com finalidade somente de dar acabamento ao rebaixo necessário para esconder as
tubulações e caixas de passagens existentes.
As vigas irão naturalmente definir os limites de nossas lajes neste projeto. Neste
caso optamos pela utilização das lajes maciças, mas a opção de lajes pré-fabricadas
poderia ser também indicada.
As lajes, igualmente as vigas e pilares, possuem espessuras mínimas que devem
ser respeitadas. A NBR-6118:2014 estabelece os seguintes limites mínimos para as lajes
maciças não protendidas:
a) 7 cm para cobertura não em balanço;
b) 8 cm para lajes de piso não em balanço;
c) 10 cm para lajes em balanço;
d) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN;
e) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN;
Obs: Para lajes protendidas e lajes cogumelos ver limites no item 13.2.4.1 da referida
norma.
No projeto em estudo, poderíamos iniciar com 8 cm de espessura, calcular as
flechas e as armações e verificar se atenderiam. Porém, além da espessura ficar no limite
normativo existe também a questão da acústica, uma laje de 8 cm isola muito pouco
acusticamente os pavimentos. Vamos, portanto, escolher inicialmente uma espessura
igual a 10 cm para todas as lajes, inclusive a laje das varandas em balanço.
Resta também definir o concreto a ser utilizado na obra. Para esse estudo vamos
adotar um concreto com fck=25MPa. No decorrer do curso iremos estudar classe de
agressividade e cobrimentos, onde iremos verificar que o uso de um concreto classe C25
atende as exigências mínimas estabelecidas por norma.
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a) Planta de arquitetura pav tipo b) Locação dos pilares
Figura 1 – Planta de arquitetura e lançamento dos pilares
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a) Planta de forma pavimento tipo b) Corte A – pavimentos tipos
Figura 2 – Plantas pavimentos tipos
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Figura 3 - Corte longitudinal da estrutura
Figura 4 - Perspectiva da estrutura
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2- DIMENSIONAMENTO DAS LAJES
Aproveitando a simetria da edificação, para dimensionamento das lajes e vigas,
podemos dimensionar somente a metade e depois espelhar os detalhamentos obtidos (ou
copiar diretamente quando possível).
Figura 5 – Planta de forma de um trecho do pavimento tipo
As lajes maciças podem ser classificadas quanto diversos fatores: formas
geométricas, tipos de apoios, tipos de armação e direção da armação. As formas
geométricas mais utilizadas são as retangulares, porem, com o a utilização de programas
de computadores atualmente, os mais variados formatos de lajes podem ser utilizados.
Quanto ao posicionamento da armação principal, podemos classificar as lajes em
dois tipos: as lajes armadas em duas direções ou as lajes armadas somente numa
direção.
• Laje armada em uma direção: Um lado da laje é duas vezes maior que o lado
menor. Os esforços solicitantes de maior magnitude ocorrem segundo a direção do
menor vão, chamada de direção principal. Os esforços na direção secundária
podem ser desprezados.
• Laje armada em duas direções: Os esforços nas duas direções são importantes e
devem ser considerados.
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Em relação ao tipo de apoio, ou vinculação nas bordas, podemos ter:
• Bordos Livres;
• Simplesmente apoiadas  pode ser uma viga ou alvenaria, e não há continuidade
na laje. No caso de vigas de concreto de dimensões usuais a rigidez da viga à
torção é pequena, de modo que ela gira e deforma-se, acompanhando as
pequenas rotações das lajes, garantindo a concepção de apoio simples.
• Engastadas, podendo ser engaste perfeito ou engaste elástico. Acontece quando a
laje tem continuidade, ou quando a viga tem dimensões suficientes para garantir o
engaste.
AÇÕES A CONSIDERAR
As ações a serem consideradas numa edificação podem ser estudas, além da
NBR-6118:2014, nas seguintes normas:
• NBR-6120:1980 – Cargas para o cálculo de estruturas de edificações;
• NBR-8681:2003 – Ações e segurança nas estruturas;
• NBR-6123:1988 – Forças devidas ao vento em edificações;
Nas construções usuais, por exemplo a edificação em estudo neste curso, as
cargas podem ser separadas da seguinte forma:
• Ações permanentes:
o Peso Próprio da estrutura (PP);
o Cargas permanentes (CP) revestimentos, impermeabilizações, etc.
• Ações variáveis, também chamadas de carga acidental ou sobrecargas: (SC):
o Pessoas, móveis, veículos (SC)  são consideradas uniformemente
distribuídas sobre os pisos:
o Vento (Vx) e (Vy).
Na NBR-6120:1980, Tabela 2, é definido os valores mínimos de sobrecargas a
serem consideradas num edifício residencial:
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Para a nossa edificação teremos as seguintes cargas que serão aplicadas
superficialmente nas lajes:
Concreto: 2500 / ³ 25 / ³ = =c kg m kN m
PP laje = 0,1 25
2,5 / ²
= ×
= ×
=
laje c
laje
laje
PP h
PP
PP kN m
onde h = espessura da laje (10cm para nosso estudo)
Contra-piso argamassa de cimento e areia + piso cerâmico arg 21 / ³ = kN m
CP =
arg
0,04 21
0,84 / ²
CP 1,0 / m²
= ×
= ×
=
=
CP espessura
CP
CP kN m
kN
Sobrecargas poderíamos, de acordo com a NBR-6120:1980 adotar 1,5 kN/m² para os
quartos e salas e 2,0 kN/m² para as cozinhas e áreas de serviço. No nosso estudo iremos
adotar 2,0 kN/m² para todos os cômodos, simplificando, de forma conservadora o
dimensionamento.
Resumindo, as seguintes cargas superficiais ficaram definidas:
2,5 / ²=lajePP kN m (250kg/m²)
CP 1,0 / m ²= kN (100kg/m²)
2,0 / m ²=SC kN (200kg/m²)
Lembrando que podemos ainda ter alvenarias apoiadas diretamente sobre as lajes,
tal como a Laje L9 do nosso estudo. Neste caso devemos calcular o peso total dessas
alvenarias e distribuir superficialmente sobre a laje, adicionando o valor encontrado na
parcela de carga permanente.
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Figura 6 – Detalhe da laje L9
Portanto, para a L9, é fácil verificar que temos 2,75 + 3,20 = 5,95 m, de alvenaria
apoiados diretamente sobre a laje. Considerando a alvenaria de lajotas furadas, cujo peso
especifico pode ser considerado igual a 18 / ³ =alv kN m , com espessura igual a 15 cm e
uma altura igual halv=2,90m, podemos fazer:
[ ]
[ ]
( )
Área da Laje
(0,15 2,9 18) 5,95
(3,2 3,9)
3,75 / ²
× ×
=
× ×
=
×
=
alv
alv
alv
alv
espessura altura x L
CP
x
CP
CP kN m
Essa carga deve ser adicionada as cargas permanentes da L9.
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COMBINAÇÕES DE CARGAS
O próximo passo é determinar quais combinações de cargas e coeficientes de
segurança que iremos adotar em nosso projeto. Não é objetivo desse curso se aprofundar
no estudo das diversas combinações que podem ser utilizadas no dimensionamento de
uma edificação. Neste estudo iremos adotar apenas duas combinações:
• Combinação Estado Limite Ultimo (ELU)  utilizada para determinar as
armações das peças estruturais.
o Essa combinação está relacionada com o colapso da estrutura ou qualquer
outra forma de ruína.
o Nesta combinação as cargas são majoradas por coeficientes  g (cargas
permanentes) e  q (sobrecargas), que normalmente podem ser tomadas
iguais a 1,4. Quando temos vários tipos de sobrecargas atuando na
edificação, uma pode ser tomada como principal, e as demais secundárias,
que podem ser multiplicadas por um coeficiente de combinação  .
o No nosso estudo iremos adotar  g =  q = 1,4 . Dado que estamos adotando
somente uma carga variável não é necessário utilizar 0 , e podemos
portanto, somar todas as cargas e multiplica-las por um único coeficiente.
Para todas as lajes, com exceção da L9:
1,4( )
1,4(2,5 1,0 2,0)
7,7 / ²
= + +
= + +
=
ELU
ELU
ELU
Q PP CP SC
Q
Q kN m
Para a L9:
1,4( )
1,4(2,5 1,0 3,75 2,0)
12,95 / ²
= + + +
= + + +
=
ELU alv
ELU
ELU
Q PP CP CP SC
Q
Q kN m
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• Combinação Estado Limite de Serviço (ELS)  utilizada para determinar as
flechas das lajes e vigas.
o Em geral, na combinação ELS os coeficientes que multiplicam as cargas
podem ser tomados iguais a 1,0. Porem dependendo do tipo de análise que
se deseja fazer as combinações no estado de serviço podem ser divididas
em combinações quase-permanentes; combinações frequentes ou
combinações raras. Em cada uma delas, as diversas sobrecargas atuantes
podem ser multiplicadas por fatores de combinação 1 ou 2 .
o No nosso estudo, iremos adotar somente uma combinação no estado limite
de serviço, onde não usaremos os coeficientes 1 ou 2 .
Para todas as lajes, com exceção da L9:
1,0( )
1,0(2,5 1,0 2,0)
5,5 / ²
= + +
= + +
=
ELS
ELS
ELS
Q PP CP SC
Q
Q kN m
Para a L9:
1,0( )
1,0(2,5 1,0 3,75 2,0)
9,25 / ²
= + + +
= + + +
=
ELS alv
ELS
ELS
Q PP CP CP SC
Q
Q kN m
CÁLCULO DAS FLECHAS NAS LAJES
A determinação de deformações em lajes é um trabalho bastante complexo, por
estas serem placas. Há basicamente dois métodos: o Elástico e o de ruptura. Neste nosso
estudo iremos apresentar um processo elástico simplificado, usando tabelas fá fornecidas
que irão auxiliar a determinação das deformações nas lajes. Neste método não é
considerado a fissuração nem a fluência que ocorrem no concreto. É baseado nas teorias
de placas delgadas (Teoria de Kirchhoff), onde são utilizadas as equações diferenciais de
deformação da placa e compatibilizações das deformações.
Além de definir o fck do concreto será necessário também definir o modulo de
elasticidade do mesmo. A NBR-6118:2014 fornece procedimentos para determinaçãodesse valor na falta de ensaio experimental, no item 8.2.8.
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Para utilização das tabelas, é necessário classificar a laje de acordo com os casos
abaixo:
Figura 7 – Situações de vinculação das placas isoladas – Fonte Roberto Chust
A flecha pode ser encontrada através da seguinte equação:
4
3
. .
. .100

=
x
cs
Q lf
E h
Onde:
Q = carregamento uniforme distribuído sobre a laje
lx = menor vão da laje
Ecs = módulo de elasticidade secante do concreto (ver NBR-6118:2014 tabela 8.1)
h = espessura da laje
α = coeficiente da encontrado na tabela
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Tabela 1 - Módulo de elasticidade do concreto – Fonte NBR-6118-2014
Obs : tabela válida considerando o granito como agregado graúdo
Para utilização da tabela para cálculo de deformações, é necessário obter o valor de λ,
que é expresso por:
 = y
x
l
l ; onde lx é a menor dimensão da laje, e ly a maior.
Tabela 2 - Coeficiente α - Cálculo de flechas elásticas em lajes – Fonte: Roberto Chust
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Laje L1
Caso 4
lx = 3,25
ly = 3,60
3,60 1,10
3,25
 = =
2,91 =
5,5 / ²=ELSQ kN m
Flecha=0,07cm
Laje L2
Caso 7
lx = 3,60
ly = 5,35
5,35 1,49
3,60
 = =
3,91 =
5,5 / ²=ELSQ kN m
Flecha=0,15cm
Laje L3
Caso 4
lx = 1,75
ly = 3,60
3,60 2,05
1,75
 = =
5,39 =
5,5 / ²=ELSQ kN m
Flecha=0,01cm
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Laje L8
Caso 4
lx = 3,25
ly = 3,90
3,90 1,20
3,25
 = =
3,34 =
5,5 / ²=ELSQ kN m
Flecha=0,09cm
Laje L9
Caso 8
lx = 3,20
ly = 3,90
3,90 1,22
3,20
 = =
2,24 =
9,25 / ²=ELSQ kN m
Flecha=0,09cm
Laje L10
Caso 8
lx = 3,90
ly = 3,90
3,90 1,0
3,90
 = =
1,81 =
5,5 / ²=ELSQ kN m
Flecha=0,10cm
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As flechas encontradas utilizando o modelo proposto, são as flechas elásticas
imediatas, para um somatório de cargas permanentes e sobrecargas (considerando a
totalidade da sobrecarga). O concreto foi considerado em sua fase elástica não fissurado,
não levando em consideração a fluência nem a fissuração, que provocaram aumentos
nestas flechas (deformações lentas).
Para determinar a flecha total ao longo do tempo, podemos simplificadamente
multiplicar a flecha imediata encontrada por um valor  f , que leva em consideração a
fluência do concreto. A determinação deste coeficiente é um pouco trabalhosa, fugindo do
objetivo deste curso. Portanto, como sugestão, o autor do curso propõe adotar um valor
igual a 2,2 para determinação das flechas totais ao longo do tempo neste estudo. (Valor
obtido com a experiência do autor em outros projetos similares a este).  recurso
simplesmente didático para darmos prosseguimento nos estudos.
Flechas limites
A NBR-6118:2014 propoe certos limites as flechas das estruturas (Ver Item 13.3-
Deslocamentos-limites). Para lajes usuais é comum utilizar os limites de aceitabilidade
sensorial, caracterizado por vibrações indesejaveis ou efeito visual desagradavel. Abaixo
segue os limites que serão adotados para os pisos do nosso projeto:
• Para totalidade da carga : vão/250
Para auxiliar os cálculos foi realizado uma planilha no Excel, que realiza os cálculos
das flechas e verifica com a flecha limite, lembrando que o valor  f =2,2 não foi
determinado neste projeto, sendo este apenas uma sugestão do autor.
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Podemos observar que as flechas encontradas são bem inferiores aos limites
estabelecidos. Caso alguma flecha tivesse sido superior ao limite estabelecido
poderiamos utilizar o recurso de dar uma contra-flecha na execução da estrutura. Para
determinar o valor que podemos dar de contra-flecha teriamos que recalcular as flechas
adotando o carregamento igual somente ao peso proprio da estrutura.
Quando o projeto possuir sobrecargas de valores elevados , é necessário também
calcular as flechas somente com o valor da sobrecarga e compara-las ao limite vão/350 ,
estabelecido por norma. Este não é o caso do nosso projeto.
OBTENSÃO DOS ESFORÇOS NA LAJE (MOMENTOS)
Para determinação da quantidade de armação necessária nas lajes é necessário
primeiro obter os esforços (momentos) que estas estão submetidas. Da mesma forma que
utilizamos para obtenção das flechas, para os momentos iremos recorrer ao uso de
tabelas práticas. Neste caso iremos recorrer as Tabelas de Marcus.
Como utilizar as Tabelas de Marcus:
Mx : momento positivo no meio do vão na direção x
My : momento positivo no meio do vão na direção y
Xx : momento negativo no apoio na direção x
Xy : momento negativo no apoio na direção y
Figura 8 – Esforços em lajes continuas
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Utilizando os coeficientes obtidos através das Tabelas de Marcus foi possivel
montar a seguinte tabela no Excel:
Podemos avaliar que os momentos negativos de duas lajes adjacentes sobre o
mesmo apoio não são iguais. A NBR:6118:2014 permite uma compatibilização dos
momentos, ou simplificadamente, a adoção do maior valor do momento negativo em vez
de equilibrar os momentos, artificio este que será utilizado neste trabalho.
Para calcular as armações das lajes precisamos saber quais cobrimentos serão
adotados e para isso é necessário revisar questões normativas referente a esse assunto.
A NBR-6118:2014 , no item 6 – Diretrizes para durabilidade das estruturas de concreto e
no Item 7 – Critérios de projeto que visam a durabilidade , determina uma série de
cuidados e procedimentos que devem ser respeitados para garantir uma qualidade da
estrutura no que se refere a sua durabilidade. É importante que o aluno estude
posteriormente esses item mais profundamente, pois a seguir será mostrado somente os
tópicos mais importantes que são necessários ao nosso projeto.
Primeiramente é necessário classificar a estrutura em relação a taxa de
agressividade para a qual ela estará submetida, para isso recorre-se a Tab. (3).
Tabela 3 – Classes de agressividade ambiental (CAA) – NBR-6118:2014
Nossa estrutura está classificada como Classe II. Podemos verificar qual é a classe
de concreto minima que devemos adotar para a nossa edificação e também a relação
agua/cimento máxima que poderemos utilizar, obtidos através da próxima planilha.
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Tabela 4 – Correspondência entre classe de agressividade e qualidade do concreto NBR-6118:2014
O concreto que adotamos para o nosso projeto, fck=25 MPa atende a classe de
agressividade. Devemos lembrar de colocar nas notas dos projetos (notas de desenho) a
informação sobre a relação água/cimento máxima igual a 0,60.
O cobrimento nominal que deverá ser utilizados cnom é igual ao cobrimento minimo
mais uma tolerancia de execução Δc. A NBR-6118:2014 fornece uma tabela que
estabelece os cobrimentos nominais a serem utilizados:
Tabela 5 – Cobrimentos nominais para Δc=10mm – NBR-6118:2014
De acordo com as tabelas anteriores, iremos adotar cobrimentos para as lajes
iguais a 25mm e para as vigas e pilares iguaisa 30mm. Essas informações deverão
constar nas notas de projeto dos desenhos executivos. Cobrimentos inferiores a este
poderiam ser utiliziados desde que outros controles tivessem sido especificados. É
sugerido uma leitura mais minuciosa desses itens na norma.
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Para determinar as armações das lajes, iremos utilizar uma planilha já elaborada
no Excel que cálcula essas armações automáticamente. No decorrer do curso iremos
retornar o assunto do cálculo das armações, revendo todos os conceitos: dominios de
deformação, equações de equilibrio, linha neutra, momentos resistentes e etc.
Para o cálculo de lajes, a largura da seção deve ser sempre igual a 100cm, pois os
momentos que foram obtidos são momentos por faixas de 1 metro. Os momentos devem
ser fornecidos já majorados, isto é obtidos através de carregamtos multiplicados por
coeficientes de segurança. Desta forma podemos calculas as armações e preencher o
restante da tabela, ficando da seguinte forma:
Lajes em Balanço – Varandas
Para determinação dos momentos nas lajes das varandas, em balanço, devemos
aplicar os carregamentos adicionais recomendados pela NBR-6120:1980: Ao longo dos
parapeitos e balcões devem ser consideradas aplicadas uma carga horizontal de 0,8
kN/m na altura do corrimão e uma carga vertical mínima de 2 kN/m. (ver item 2.2.1.5).
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A) Esquemas de forças varanda B) Momentos varanda
Figura 9 – Esquema de cargas e esforços na varanda
Caso o parapeito da varanda for realizado de alvenaria, a carga vertical deve ser
calculada pois com certeza será superior ao mínimo recomendado de 2 kN/m.
Portanto o momento negativo da varanda obtido foi de 5,8 KN.m/m. O momento de
cálculo será este multiplicado pelo coeficiente de segurança igual a 1,4.
Mdvaranda=8,12 Kn.m/m  As(-) = 2,68 cm²/m (Utilizando tabela Excel)
Verificação cortante em lajes
Neste projeto, não será apresentado as verificações dos cortantes das lajes,
verificação está obrigatória pela norma. As lajes conseguem mobilizar um esquema de
resistência ao cisalhamento fazendo que esse efeito não seja critico, e em lajes planas
apoiadas em vigas, geralmente, somente o concreto é suficiente para resistir ao cortante.
Detalhamento das armações das lajes
As armações acima calculadas devem respeitar as armações mínimas. Para concreto
classe 25, a taxa mínima deverá ser igual a 0,15% (Ver NBR-6118:2014 tabela 17.3).
min
min
min
0,15% da área de concreto
0,15 (10 100)
100
1,5 ² /
=
= ×
=
As
As x
As cm m
Podemos verificar que para o nosso projeto toda a armação positiva calculada para
todos os vãos e direções foi inferior a armação mínima e, portanto, a armação mínima
será adotada para os positivos. Utilizando a Tab. (6), podemos como armação positiva
para todas as lajes Ø6.3 c/20, que fornece uma taxa igual a 1,6 cm²/m, ligeiramente
superior a taxa mínima encontrada.
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Tabela 6 – tabelas auxiliares para taxa de armação
Em relação ao espaçamento máximo a recomendação normativa é que ela seja
inferior 2h ou 20 cm, prevalecendo o menor desses dois valores.
O seguinte desenho esquemático foi realizado para simplificar a definição das
armações negativas nos encontros das lajes, prevalecendo sempre a maior taxa de
armação encontrada (recurso permitido pela NBR-6118:2014).
Figura 10 – Desenho esquemático das armações negativas das lajes
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Comprimento das armações:
• Armações positivas: será adotada armação em todo comprimento da laje,
ancorando as armações nas vigas.
o De acordo com a NBR-6118:2014, nas lajes maciças armadas em uma ou
em duas direções, em que seja dispensada armadura transversal de acordo
com 19.4.1, e quando não houver avaliação explícita dos acréscimos das
armaduras decorrentes da presença dos momentos volventes nas lajes,
toda a armadura positiva deve ser levada até os apoios, não se permitindo
escalonamento desta armadura. A armadura deve ser prolongada no
mínimo 4 cm além do eixo teórico do apoio.
• Armações negativas: A atual NBR-6118:2014 não especifica qual o comprimento
necessário para armação negativa. O ideal é portanto adotar o que a antiga norma
recomendava: adotar 0,25.lx mais o comprimento de ancoragem (lb).
Comprimento de ancoragem básico: Não iremos nos aprofundar no cálculo do
comprimento de ancoragem nessa etapa do curso. Podemos utilizar a planilha de Excel
disponibilizada para determinar este comprimento, ou utilizar tabelas práticas já
elaboradas.
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Tabela 7 – Tabela Comprimento de ancoragem – Prof. Paulo Sérgio - UNESP
Para as nossas lajes, como estamos utilizando barras de Ø6.3, em região de boa
aderência, com ganchos, o lb a ser utilizado será igual a 17cm. (arredondar para 20cm)
Lembrando, que se estivermos com folga na armação, isto é, a armação detalhada
muito superior a armação calculada poderíamos reduzir o tamanho no comprimento de
ancoragem. Não vamos utilizar essa opção em nossas lajes.
Notas de projeto que serão
adicionados nas pranchas de
armação das lajes.
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Segue os detalhamentos das armações principais das lajes:
Figura 11 – ARMAÇÃO INFERIOR LONGITUDINAL
Figura 12 – ARMAÇÃO INFERIOR TRANSVERSAL
Os desenhos completos estão disponibilizados em pdf e dwg.
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Figura 13 – ARMAÇÃO SUPERIOR LONGITUDINAL
Figura 14 – ARMAÇÃO SUPERIOR TRANSVERSAL
Os desenhos completos estão disponibilizados em pdf e dwg.
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Nas pranchas de desenhos, além das armações detalhadas é necessário realizar
uma tabela de barras, para que o construtor consiga comprar a quantidade de aço
requerida e confeccionar os cortes e dobras. Existem rotinas que realizam essa tarefa
diretamente no Autocad. Os programas comerciais de cálculo estrutural também realizam
essa tabela automaticamente. Mas é interessante o aluno tentar montar a tabela de
barras deste pavimento manualmente, afim de entender o processo.
Tabela 8 – Tabela de barras lajes pavimento tipo
Figura 15 – Planta de armação lajes pavimento tipo
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CARGAS DAS LAJES NAS VIGAS COM AUXILIO TABELA DE MARCUS.
Podemos utilizar as cargas obtidas através das Tabelas de Marcus, para isso
devemos lembrar das reações de apoio de duas situações:
Atenção: A planilha abaixo não está automatizada. Ela não verifica as condições de contorno (apoio). Não
usar a esta planilha para outros exemplos.
Direção-x : D: apoio da direita ; E: apoio da esquerda
Direção-y : S: apoio superior ; I: apoio inferior
Desenho esquemático com as cargas das lajes sobre as vigas:
Figura 16 – Cargas das lajes sobre as vigas via Tabela de Marcus
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CARGAS DAS LAJES NAS VIGAS MÉTODO NBR-6118:2014.
Outro método para obtenção das cargas das lajes sobre as vigas é o recomendado
pela NBR-6118:2014. O método se baseia numa análise plástica, onde a laje é dividida
em triângulos ou trapézios. Os seguintes ângulos devem ser utilizados:
o 45o entre dois apoios de mesmo tipo;
o 600 a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado
simplesmente apoiado;
o 900 a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre.
Figura 17 – Regiões da laje para cálculo das reações nas vigas
Figura 18 – Cargas daslajes sobre as vigas via método linhas de ruptura
Para obter as cargas basta calcular as áreas dos trapézios e triângulos, podendo
ser rapidamente determinada em desenho CAD. Multiplica-se a área pela carga
distribuída da laje e divide-se pela largura do vão. As cargas já estão majoradas.
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Peso das alvenarias sobre as vigas
• Cargas de alvenarias diretamente apoiadas sobre as vigas:
Figura 19 – Corte esquemático mostrando a alvenaria
0,15 2,6 18
7,02 /
7,02 / 1,4 9,8 /
= × ×
= × ×
= − − >
= = − − >
alv alv
alv
alv
alv
q espessura altura
q
q kN m ELS
q kN m x kN m ELU
• Peso próprio das vigas:
arg
0,15 0,4 25
1,5 /
1,5 / 1,4 2,1 /
= × ×
= × ×
= − − >
= = − − >
vigas conc
alv
alv
alv
q l ura altura
q
q kN m ELS
q kN m x kN m ELU
Figura 20 - Desenho cotado para facilitar a montagem dos esquemas das vigas
Adotando parede de tijolos furados
revestidos com emboço, com 15 cm
de espessura total.
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FTOOL
O FTOOL é um programa que se destina ao ensino do comportamento estrutural
de pórticos planos. É uma ferramenta simples, unindo em uma única interface recursos
para uma eficiente criação e manipulação do modelo (pré-processamento) aliados a uma
análise da estrutura rápida e transparente e a uma visualização de resultados rápida e
efetiva (pós-processamento).
Iremos utiliza-lo em nosso curso para esquematizar as vigas, aplicar os
carregamentos e obter as deformações (flechas) e os esforços (momento fletor, cortante)
e as reações de apoio.
FLECHA LIMITE PARA AS VIGAS  ver item 13.3 Deslocamentos limites, da
NBR6118:2013, Tabela 13.3
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PEQUENA REVISÃO SOBRE DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO
O dimensionamento de vigas sujeitos a flexão deve ser realizado no Estado Limite
Ultimo (ELU), onde basicamente as cargas estão majoradas e as resistências dos
materiais (aço e concreto) estão minoradas.
É nesta etapa que as resistências dos materiais (aço e concreto) devem ser
minoradas através de coeficientes de segurança.
Para um bom entendimento do assunto o aluno deve recordar alguns conceitos,
principalmente relacionados a forças, tensões e deformações especificas. Neste curso
iremos recordar rapidamente esse assunto. É essencial que o aluno que deseje se
aprofundar em cálculo estrutural busque mais conhecimentos a respeito em outros livros,
apostilas e normas.
Diagrama Simplificado tensão x deformação
Aço
Diagrama Simplificado tensão x deformação
Concreto
Figura 21 – Deformações e tensões numa seção de concreto armado fletida
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O estado limite ultimo da seção fica caracterizado quando a distribuição
de deformações na seção transversal pertencer a um dos domínios definidos
na figura seguinte:
Figura 22 – Domínios de deformação
0
002,07 =yd  para o aço CA-50ª
As forças no aço e no concreto são:
.=st sdR As
0,85 .0,8 .=c cd wR f x b  0,68 . .=c cd wR f x b
As equações de equilíbrio devem ser satisfeitas:
=st cR R
.=d cM R z ou .=d stM R z
Para determinar a quantidade de armação necessária (As), devemos utilizar as
equações acima. Porém, a solução é interativa, visto que temos que determinar a posição
da linha neutra (x) e as deformações do aço e do concreto, descobrindo também a tensão
das barras de aço. Uma forma prática de ser resolver o problema é estimando um limite
de domínio de deformação e resolver as equações. Depois verificar se as deformações
estão de acordo com o domínio escolhido e caso não esteja, devemos começar
novamente, utilizando outro limite de deformação. Existe também a possibilidade de
utilizar tabelas prontas (tipo kx, kz, kmd) para facilitar os cálculos ou utilizar algum
programa computacional para esse fim. FINAL DA APOSTILA SERÁ FORNECIDA UMA
TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE ARMAÇÃO.
Quando da necessidade
de utilizar armação de
compressão deve ser
adicionado mais uma
força ao sistema.
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ESQUEMAS DAS VIGAS NO FTOLL
V12 – 15X40
Estado Limite de Serviço (ELS) Estado Limite Ultimo (ELU)
q = (8,15+6,16+9,8+2,1)/1,4 = 18,72 kN/m q = (8,15+6,16+9,8+2,1) = 26,21 kN/m
Flecha encontrada = 0,16 cm
Flecha total = 0,20 x 2,2 = 0,44 cm
Flecha limite=L/500 =390/500 = 0,72 cm
OK
As armações serão calculadas com auxilio da planilha Excel disponibilizada para os
alunos deste curso. Observando apenas que como a planilha trabalhava com as unidades
em toneladas, foi criado novas células para entrada dos esforços em kN.
*** Cálculo de estribos será apresentado em anexo a esta apostila.
As =2,91cm²
Ø5.0 c/20
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V01 – 15x40
q1 = (4,34+9,8+2,1)/1,4 = 11,6 kN/m x 1,4 = 16,24 kN/m
q2 = (5,68+9,8+2,1)/1,4 = 12,56 kN/m x 1,4 = 17,58 kN/m
q3 = (2,1+9,8+2,1)/1,4 = 10 kN/m x 1,4 = 14,00 kN/m
Estado Limite de Serviço (ELS)
Flecha encontrada = 0,25 cm (flecha imediata para totalidade da carga)
Flecha total = 0,25 x 2,2 = 0,55 cm (ao longo do tempo)
Flecha limite=L/500 = 0,78 cmOK
Estado Limite Ultimo (ELU)
As =0,68cm² As =2,78cm²
As =3,77cm²
Ø5.0 c/20
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V05 – 15x40 ( verificar que recebe a V12 e V14)
q1 = (7,4+7,35+9,8+2,1)/1,4 = 19,03 kN/m x 1,4 = 26,65 kN/m
q2 = (9,85+9,95+9,8+2,1)/1,4 = 22,64 kN/m x 1,4 = 31,70 kN/m
q3 = (9,85+7,08+9,8+2,1)/1,4 = 20,60 kN/m x 1,4 = 28,83 kN/m
q4 = (3,8+7,08+2,1)/1,4 = 9,27 kN/m x 1,4 = 12,98 kN/m
q5 = (3,85+2+2,1)/1,4 = 5,68 kN/m x 1,4 = 7,95 kN/m
q5 = (3,85+9,8+2,1)/1,4 = 11,25 kN/m x 1,4 = 15,75 kN/m
Estado Limite de Serviço (ELS)
Flecha encontrada = 0,22 cm (flecha imediata para totalidade da carga)
Flecha total = 0,22 x 2,2 = 0,48 cm (ao longo do tempo)
Flecha limite=L/500 = 400/500=0,8 cmOK
Estado Limite Ultimo (ELU)
As =1,72cm²
As =4,23cm²
As =2,20cm²
As =2,47cm²
Ø5.0 c/15
Ø5.0 c/20
As =2,50cm²
As =0,6cm²As =1,24cm²
Ø5.0 c/20
Ø5.0 c/20
Ø5.0 c/20
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V07 – 15x40 ( vamos verificar que a seção pode ser reduzida)
q1 = (4,35+9,8+2,1)/1,4 = 11,60 kN/m x 1,4 = 16,24 kN/m
q2 = (5,35+9,8+2,1)/1,4 = 12,32 kN/m x 1,4 = 17,25 kN/m
q3 = (3,98+9,8+2,1)/1,4 = 11,34 kN/m x 1,4 = 15,88 kN/m
Estado Limite de Serviço (ELS)
Flecha encontrada = 0,09 cm (flecha imediata para totalidade da carga)
Flecha total = 0,09 x 2,2 = 0,2 cm (ao longo do tempo)
Flecha limite=L/500 = 380/500=0,76 cmOK
Estado Limite Ultimo (ELU)
OBS : Podemos reparar que a seção 15x40cm está alta, podemos tentar reduzir a seção
para 15x30cm.
As =0,97cm² As =1,50cm²
As =1,17cm²
Ø5.0 c/20
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V07 – 15x30  (reduzimos a seção) alterar a forma
q1 = (4,35+10,2+1,6)/1,4 = 11,60 kN/m x 1,4 = 16,15 kN/m
q2 = (5,35+10,2+1,6)/1,4 = 12,25 kN/m x 1,4 = 17,15 kN/m
q3 = (3,98+10,2+1,6)/1,4 = 11,30 kN/m x 1,4 = 15,80 kN/m
Estado Limite de Serviço (ELS)
Flecha encontrada = 0,20 cm (flecha imediata para totalidade da carga)
Flecha total = 0,20 x 2,2 = 0,44 cm (ao longo do tempo)
Flecha limite=L/500 = 380/500=0,76 cmOK
Estado Limite Ultimo (ELU)
A viga atendeu bem com seção 15x30 cm e podemos adotar essa seção. Deve ser
alterado na forma estrutural.
As =1,38cm² As =2,18cm²
As =1,67cm²
Ø5.0 c/14Ø5.0c/14Ø5.0 c/14
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V09 – 15x30 reduzimos a seção alterar a forma
q1 = (4,85+10,2+1,6)/1,4 = 11,89 kN/m x 1,4 = 16,65 kN/m
q2 = (4,85+10,92+10,2+1,6)/1,4 = 19,69 kN/m x 1,4 = 27,57 kN/m
q3 = (4,75+10,92+10,2+1,6)/1,4 = 19,62 kN/m x 1,4 = 27,47 kN/m
q3 = (4,75+10,2+1,6)/1,4 = 11,82 kN/m x 1,4 = 16,55 kN/m
Estado Limite de Serviço (ELS)
Flecha encontrada = 0,25 cm (flecha imediata para totalidade da carga)
Flecha total = 0,25 x 2,2 = 0,55 cm (ao longo do tempo)
Flecha limite=L/500 = 390/500=0,78 cmOK
Estado Limite Ultimo (ELU)
As =2,18cm²
As =4,11cm²
As =1,52cm²
Ø5.0 c/10Ø5.0 c/10 Ø5.0 c/14Ø5.0 c/14
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V10 – 15x30
q1 = (8,56+12,65+10,2+1,6)/1,4 = 23,58 kN/m x 1,4 = 33,01 kN/m
q2 = (8,40+8,15+10,2+1,6)/1,4 = 20,25 kN/m x 1,4 = 28,35 kN/m
Estado Limite de Serviço (ELS)
Flecha encontrada = 0,40 cm (flecha imediata para totalidade da carga)
Flecha total = 0,40 x 2,2 = 0,88 cm (ao longo do tempo)
Flecha limite=L/500 = 390/500=0,78 cm menor que a encontrada dar contra-flecha
Estado Limite Ultimo (ELU)
As =3,78cm²
As =5,9cm²
As =2,07cm²
Ø6.3 c/10Ø6.3 c/10 Ø6.3 c/14Ø6.3 c/14
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V11 – 15x30 (veremos a seguir que a seção foi insuficiente)
q1 = (12,65+8,4+10,2+1,6)/1,4 = 23,46 kN/m x 1,4 = 32,85 kN/m
Estado Limite de Serviço (ELS)
Flecha encontrada = 0,87 cm (flecha imediata para totalidade da carga)
Flecha total = 0,87 x 2,2 = 1,91 cm (ao longo do tempo)
Flecha limite=L/500 = 390/500=0,78 cm  menor que a encontrada alterar a seção
V11 – 15x40 – seção adotada
q1 = (12,65+8,4+9,8+2,1)/1,4 = 23,54 kN/m x 1,4 = 32,95 kN/m
Flecha encontrada = 0,37 cm (flecha imediata para totalidade da carga)
Flecha total = 0,37 x 2,2 = 0,8 cm (ao longo do tempo)
Flecha limite=L/500 = 390/500=0,78 cm  ligeiramente menor que a encontrada ok
Estado Limite Ultimo (ELU)
As =4,44cm²
Ø5.0 c/20 Ø5.0 c/20
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V14 – É necessário determinar o carregamento devido a escada.
Para calcular os degraus podemos calcular área dos triângulos e dividir pelo
comprimento inclinado, chegando a um acréscimo de espessura de laje equivalente igual
a 8cm.
Laje 12 cm Laje 15 + 8 = 20 cm
1
1 0,12 25 3,00 / ²
= ×
= × =
esc conc
esc
q espessura
q kN m
2
2 0,20 25 5,00 / ²
= ×
= × =
esc conc
esc
q espessura
q kN m
Sobrecarga de escadas – Ver Tabela 2 NBR 6120:1980
Adotar: 3,0 KN/m²
Revestimento: adotar 1,0 kN/m² ( já definido anteriormente para nossa edificação)
Lance de escada Patamar
( )
( )
1
1
5,0 3 1 9,0 /
9,0 1,4 12,6 /
= + + =
= =
ELS
ELU
q kN m
q x kN m
( )
( )
1
1
3,0 3 1 7,0 /
7,0 1,4 9,8 /
= + + =
= =
ELS
ELU
q kN m
q x kN m
Estado limite de serviço (ELS) Deformação no ELS
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Estado limite ultimo (ELU) hipótese 1
V14 – 15x30 – Seção reduzida – alterar forma - (viga que recebe a escada)
q1 = (25,2+1,65+2,1)/1,4 = 20,6 kN/m x 1,4 = 28,95 kN/m
Estado Limite de Serviço (ELS)
Flecha encontrada = 0,15 cm (flecha imediata para totalidade da carga)
Flecha total = 0,15 x 2,2 = 0,33 cm (ao longo do tempo)
Flecha limite=L/500 = 360/500=0,72 cmOK
Estado Limite Ultimo (ELU)
As =2,33cm²
Ø5.0 c/14Ø5.0 c/14
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V06 – 15x30 – tentar com seção reduzida
q1 = (2,0+10,2+1,6)/1,4 = 9,85 kN/m x 1,4 = 13,8 kN/m
q2 = (10,2+1,6)/1,4 = 8,45 kN/m x 1,4 = 11,8 kN/m
Estado Limite de Serviço (ELS)
Flecha encontrada = 1,5 cm (flecha imediata para totalidade da carga)
Flecha total = 1,5 x 2,2 = 3,3 cm (ao longo do tempo)
Flecha limite=L/500 = 495/500=1,65 cm NÃO ACEITAVEL AUMENTAR SEÇÃO
V06 – 15x40
Flecha encontrada = 0,63 cm (flecha imediata para totalidade da carga)
Flecha total = 0,63 x 2,2 = 1,38 cm (ao longo do tempo)
Flecha limite=L/500 = 495/500=1,65 cm  OK – MANTER SEÇÃO 15X40cm
Estado Limite Ultimo (ELU)
As =5,11cm²
Ø5.0 c/20Ø5.0 c/20
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V15 – 15x30 ( só recebe peso próprio e alvenaria)
q1 = (10,2+1,6)/1,4 = 8,43 kN/m x 1,4 = 11,8 kN/m
Estado Limite de Serviço (ELS)
Flecha encontrada = 0,03 cm (flecha imediata para totalidade da carga)
Flecha total = 0,03 x 2,2 = 0,06 cm (ao longo do tempo) <L/500 = 210/500=0,42 cm OK
Estado Limite Ultimo (ELU)
V03 – 15x40 ( só recebe peso próprio e alvenaria + v15)
q1 = (9,8+2,1)/1,4 = 8,50 kN/m x 1,4 = 11,9 kN/m
Estado Limite de Serviço (ELS)
Flecha encontrada = 0,48 cm (flecha imediata para totalidade da carga)
Flecha total = 0,48 x 2,2 = 1,0 cm (ao longo do tempo) <L/500 = 500/500=1,0 cm OK
Estado Limite Ultimo (ELU)
As =0,6cm²
Ø5.0 c/14
As =3,7cm²
Ø5.0 c/20
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V04 – 15x40
q1 = (4,42+9,8+2,1)/1,4 = 11,65 kN/m x 1,4 = 16,3 kN/m
Estado Limite de Serviço (ELS)
Flecha encontrada = 0,61 cm (flecha imediata para totalidade da carga)
Flecha total = 0,61 x 2,2 = 1,34 cm (ao longo do tempo) > L/500 = 500/500=1,0 cm
DAR CONTRA-FLECHA DE 0,50cm
Estado Limite Ultimo (ELU)
As =4,8cm²
Ø5.0 c/20
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V13 – 15x40
q1 = (8,4+9,8+2,1)/1,4 = 14,5 kN/m x 1,4 = 20,3 kN/m
q2 = (8,4+5,88+9,8+2,1)/1,4 = 18,7 kN/m x 1,4 = 26,2 kN/m
q3 = (3,3+9,8+2,1)/1,4 = 10,8 kN/m x 1,4 = 15,2 kN/m
Estado Limite de Serviço (ELS)
Flecha encontrada = 0,25 cm (flecha imediata para totalidade da carga)
Flecha total = 0,25 x 2,2 = 0,55 cm (ao longo do tempo)
LIMITE L/500 = 375/500=0,75 cm  OK
Estado Limite Ultimo (ELU)
As =4,8cm²
Ø5.0 c/10
As =4,7cm² As =1,05cm²
Ø5.0 c/20
Ø5.0 c/20 Ø5.0 c/10
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DETALHAMENTO DAS VIGAS
• Armação mínima de uma viga sujeita à flexão
Tabela 9 – Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas – NBR-6118:2014
• Armação longitudinal máxima
A soma da armação máxima longitudinal (tração + compressão) não pode ser
maior que 4% da área de concreto, detalhada nas regiões fora das emendas.
• Armação de pele obrigatória para vigas com altura superior a 60 cm
Igual a 0,1 % da área de concreto (alma) em cada face da alma da viga, com
espaçamento igual ou inferior a 20 cm, devidamente ancorada nos apoios, não sendo
necessário uma armadura superior a 5 cm²/m por face.
Figura 23 – Armação de pele em vigas ( e<20cm)
• Espaçamentos mínimos das barras
2
( )
0,5
2
( )
1,2





> 

> 
l
l
cm
ev diametro da barra ou feixe de barras
agregado
cm
eh diametro da barra ou feixe de barras
agregado
Figura 24 – Espaçamentos mínimos entre as barras longitudinal de uma viga
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Figura 25 – Desenho simplificado de como determinar o comprimento das barras negativas
Onde:
lb = comprimento de ancoragem
al = translação do momento fletor ;
caso geral 0,5= =al d d altura da viga
Figura 26 – Ancoragem nos apoios
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DETALHAMENTO V1
Obsevações sobre o numero de barras por camada:
DETALHAMENTO V2  V2 simétrica à V1 “espelhar”
Não permitido. Permitido.
Utilizar o diagrama
de momento
transladado para
determinar
comprimento das
barras.
Atenção com os
comprimentos de
transpasse.
Verificar as
ancoragens nos
apoios.
CURSO DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL
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DETALHAMENTO V3 = V4
Sugestão : Quando possivel a armação superior pode ser ancorada de forma reta
extendida para a laje, isso diminui a quantidade de dobras e facilita a montagem da viga.
DETALHAMENTO V5
Apesar dos momentos positivos
serem diferentes podemos
verificar que a quantidade de
armação entre as vigas foi
pequena, justificando igualar as
duas vigas num só desenho.
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DETALHAMENTO V6
DETALHAMENTO V7
V5 completa – foi espelhado
metade do detalhamento.
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DETALHAMENTO V8 V8 simétrica à V7 “espelhar”
DETALHAMENTO V9 = V20
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DETALHAMENTO V10 = V19
DETALHAMENTO V11 = V18
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DETALHAMENTO V12 = V17
DETALHAMENTO V13 = V16
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DETALHAMENTO V14 DETALHAMENTO V15
DETALHAMENTO DO RESERVATÓRIO SUPERIOR
Figura 27 – Perspectiva Reservatório Superior
Planta reservatório Corte AA - Reservatório
Figura 28 – Plantas do reservatório
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• Cobrimentos em reservatórios
A NBR-6118:2014 indica que “Nas superfícies expostas a ambientes agressivos,
como reservatórios, estações de tratamento de água e esgoto, condutos de esgoto,
canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente agressivos,
devem ser atendidos os cobrimentos da classe de agressividade IV”.
Desta forma iremos adotar cobrimento = 4,5 cm no reservatório. Por isso é ideal ter
uma espessura maior, afim de acomodar a armação satisfatóriamente e manter uma boa
altura util no dimensionamento da mesma.
• Cargas na laje do fundo do reservatório:
PP laje = 0,20 25 5,00 / ²= × =lajePP kN m
Revestimento + impermeabilização CP 1,0 / m²= kN
Água 1,40 10 14,00 / ²= × =SC kN m (lamina d´água igual a 1,40m)
1,40 (5,0 1,00 14,00)
28,0 / ²
= × + +
=
res
res
q
q kN m
 ELU
Limite de flecha ( Visual) vão / 350
Caso 1 Figuara 7 Tabela 2
lx = 3,85 ; ly = 5,00 ;
5,00 1,30
3,85
 = = ; 7,36 = ; 21,25 / ²=ELSQ kN m ;
4
3
. .
. .100

=
x
cs
Q lf
E h
• Esforços Tabela de Marcus Caso 1
Lx=5,00 ; Ly=3,85 Ly/Lx = 0,77
Kx=0,260 ; mx=48,48 ; my=28,74  Utilizamos tabela Excel para obtenção de esforços
em lajes via tabela de Marcus.
Mx=15,34 kN.m/m (já majorado);  Asx= 2,37 cm²/m
My=25,88 kN.m/m (já majorado);  Asy= 4,06 cm²/m
min
min
0,15% da área de concreto
0,15 (20 100) 3,0 ² /
100
=
= × =
As
As x cm m
• Armação adotada Utilizamos a tabela Excel para cálculo de armaduras
Direção x : Ø10 c/20
Direção y : Ø10 c/15
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• Cargas do fundo do reservatório nas paredes laterais
• Cargas na laje do teto do reservatório:
PP laje = 0,10 25 2,5 / ²= × =lajePP kN m
Revestimento + impermeabilização CP 1,0 / m²= kN
Sobrecarga 2,0 / ²=SC kN m
1,40 (2,5 1,00 2,0)
7,7 / ²
= × + +
=
res
res
q
q kN m
 ELU
• Peso próprio das paredes:
PP laje = 0,20 1,70 25 8,5 / ²= × =lajePP x kN m
Parede VR1 = VR2  31,5 8,6 8,5= + +q  48,6 /=q kN m
Parede VR3 = VR4  25,3 6,9 8,5= + +q  40,7 /=q kN m
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VR1 = VR2 (20x170)
Diagrama de momento fletor considerando os apoios rotulados.
Diagrama de momento fletor considerando os apoios engastados.
Diagrama de esforço cortante.
Portanto, o maior esforço fletor encontrado é de Md=151,9 kN.m, que utilizando a
planilha Excel para cálculo de armaduras, solicita uma armação igual a As=2,15cm² . Esta
armação é menor que a armadura minima obtida abaixo:
min
min
0,15% da área de concreto
0,15 (20 170) 5,1 ²
100
=
= × =
As
As x cm
Sendo assim, a armadura longitudinal a ser utilizada na parede do reservatório será
igual a armadura minima (5,1cm²) , 5Ø12.5mm.
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Para cálculo do estribos é necessário calcular o empuxo provocado pela água.
Vamos calcular considerando a parede como se fosse uma faixa de viga com 1,0m de
largura ( seção igual a 20x100)
Utilizando novamente a planilha Excel para cálculo de armaduras chegamos num
valor necessário para a armação transversal igual a As=0,32cm² /m. Que é menor que a
armadura minima necessária.
min
0,15 (20 100) 3,0 ² / m
100
= × =As x cm  Armação necessária para cada 1,0m de faixa.
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CARGA DO VENTO - Pequena revisão da NBR-6123:1988
A pressão dinâmica do vento qe é calculada através da Equação (1):
2
e kq 0,613.V= (1)
Sendo (unidades SI): qe em N / m2 e Vk em m / s
Onde Vk é a velocidade característica do vento, para a parte da edificação
considerada. Essa velocidade é variável, em função da altura em relação a superfície do
terreno, aumentando de valor conforme se aproxima do topo da edificação. A expressão
que define Vk é:
k 0 1 2 3V V S S S= (2)
Onde:
0V - é a velocidade básica do vento em m/s;
S1 : Fator topográfico
S2 : Rugosidade do terreno , dimensões da edificação e altura sobre o terreno
S3 : Fator estatístico
Vo representa a velocidade básica do vento, adequada ao local onde a estrutura
será construída. Essa velocidade equivale a uma rajada de 3s, excedida em média uma
vez em 50 anos, a 10 metros acima do terreno, em campo aberto e plano. A NBR 6123
(1988) apresenta um gráfico de isopletas da velocidade básica no Brasil.
Velocidade básica do vento para a
cidade do Rio de Janeiro V0=37m/s² , obtida
através do gráfico de isopletas da NBR-
6123:1988.
O fator topográfico S1 é determinado em
função do tipo de relevo onde a edificação se
encontra. Três situações são contempladas:
terreno plano ou pouco ondulado (S1=1), vales
protegidos de ventos em qualquer direção
(S1=0,9) e taludes ou morros (S1 é uma função
de z, consultar NBR-6123:1988).
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O fator S2 considera o efeito combinado da rugosidade do terreno, da variação da
velocidade do vento com a altura acima do terreno e das dimensões da edificação ou
parte da edificação considerada. O fator S2, é uma função de z, calculado através da
Equação (3):
p
2 r
zS b F ( )
10
= (3)
b : parâmetro meteorológico
Fr : fator de rajada
p : expoente da lei potencial de variação de S2
Tabela 10 - Parâmetros meteorológicos - NBR 6123 (1988).
Categoria Zg (m) Parâmetro Classes
A B C
I 250 b 1,1 1,11 1,12
p 0,06 0,065 0,07
II 300
B 1,00 1,00 1,00
Fr 1,00 0,98 0,95
p 0,085 0,09 0,10
III 350 b 0,94 0,94 0,93
p 0,10 0,105 0,115
IV 420 b 0,86 0,85 0,84
p 0,12 0,125 0,135
V 500 b 0,74 0,73 0,71
p 0,15 0,16 0,175
Parâmetros considerando uma rajada de 3 s.
Consultar NBR-6123:1988 para classificar o terreno e a classe da edificação.
O fator S3 é baseado em conceitos estatísticos e considera o grau de segurança
requerido e a vida útil da edificação. Para um período de recorrência médio de 50 anos,
com probabilidade 63 % o fator S3 pode ser obtido através da Tabela 11.
Tabela 11 - Valores mínimos do fator estatístico S3 - NBR 6123 (1988).
Grupo Descrição S3
1 Edificações cuja ruína total ou parcial pode afetar a
segurança ou possibilidade de socorro a pessoas após uma
tempestade destrutiva (hospitais, quartéis de bombeiros e de
forças de segurança, centrais de comunicação, etc.)
1,10
2 Edificações para hotéis eresidências. Edificações para
comércio e indústria com alto fator de ocupação
1,00
3 Edificações e instalações industriais com baixo fator de
ocupação (depósitos, silos, construções rurais, etc.)
0,95
4 Vedações (telhas, vidros, painéis de vedação, etc.) 0,88
5 Edificações temporárias. Estruturas dos grupos 1 a 3 durante
a construção
0,83
Para outros períodos de recorrência e graus de probabilidade diferentes de 63% consultar a NBR 6123
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Ainda de acordo com a NBR 6123 (1988), a força de arrasto aplicada sobre a
edificação ou parte dela é obtida pela Equação (1):
a a e eF C q A= (4)
Onde:
Ca – Coeficiente de arrasto
Ae – Área frontal efetiva sobre a qual o vento vai atuar
qe – Pressão dinâmica do vento
O coeficiente de arrasto Ca, utilizado na Equação (4), é aplicável a corpos de seção
constante ou fracamente variável. Os coeficientes devem ser determinados
separadamente para cada direção do vento estudada, através das relações h/l1 e l1/l2,
utilizando a Figura 29.
Figura 29 - Coeficiente de arrasto, Ca , em vento de baixa turbulência. NBR 6123 (1988).
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DETERMINAÇÃO DA CARGA DO VENTO
Retornando ao projeto em estudo, podemos definir os seguintes coeficientes e
parametros:
=1S 1,0 (Terreno plano ou pouco ondulado)
S2 Terreno rugosidade categoria V  Classe B
b=0,73 ; p=0,16 ; Fr=0,98
S3 = 1,0 ( tempo de recorrência igual a 50 anos com uma probabilidade de 63%)
Vento frontal
L1 = 25,8 ; L2=7,6  L1/L2 =3,4  h/L1 =0,46 (h=12m)  Ca-y= 1,25
Vento lateral
L1 = 7,6 ; L2=25,8  L1/L2 =0,3  h/L1 =1,6 (h=12m)  Ca-x= 0,75
Com os coeficientes já determinados foi possivel montar a seguinte planilha para
determinar a pressão de vento, devido ao vento frontal, aplicada na edificação.
Vento frontal V(y)
Vento lateral
V(x)
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ESTABILIDADE GLOBAL E EFEITOS DE 2ºORDEM GLOBAL
Toda estrutura de um edifício, independentemente do seu número de pavimentos,
deve ser bem dimensionada para suportar os esforços gerados pelas cargas horizontais.
Porém, além de suportar tais esforços, denominados efeitos de 1ª ordem, é necessário
verificar os acréscimos dos esforços gerados pelas cargas verticais devido aos
deslocamentos que a estrutura sofre, denominados efeitos de 2ª ordem.
a) Estrutura Idealizada b) Estrutura deformada (1ºordem)
c) Momento de 1ºordem d) Momento 2ºordem Impreciso
M1 = H3 x Z3 + H2 x Z2 + H1 x Z1
M2 = q x L x d3 + q x L x d2 + q x L x d1
Questões :
• Como avaliar se M2 é significativo e se
podemos ou não desprezar esse
momento?
• Como podemos calcular M2 (final) com
precisão de forma prática ?
Resposta : Coeficiente γz
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Coeficiente z
O coeficiente γz , criado por Franco e Vasconcelos (1991), é um coeficiente que
amplifica os carregamentos horizontais, numa análise de 1ª ordem, fornecendo esforços
finais de cálculo. Os esforços finais obtidos desta forma incluem os esforços de 2ª ordem
com certa precisão. O coeficiente γz é apresentado também na NBR 6118 (2014), como
um parâmetro avaliador da estrutura e utilizado para obtenção dos esforços finais globais.
A NBR 6118 (2014) sugere que uma solução aproximada para a determinação dos
esforços globais de 2ª ordem consiste na avaliação dos esforços finais (1ª ordem + 2ª
ordem) a partir da majoração adicional dos esforços horizontais da combinação de
carregamento considerada por 0,95γz , sendo esse processo válido somente para γz≤1,3 .
z
t o t,d
1,t o t,d
1
M
1 M
 = ∆
−
(5)
onde:
1,t o t,dM é o momento de tombamento, ou seja , a soma dos momentos detodas as forças horizontais da combinação considerada, com seus
valores de cálculo, em relação à base da estrutura
t o t,dM∆ é a soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes naestrutura, na combinação considerada, com seus valores de cálculo,
pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de
aplicação, obtidos da análise de 1ª ordem
Considera-se que podemos desprezar os efeitos de 2º ordem se for obedecida a
condição γz ≤ 1,1. Se 1,1 < γz ≤ 1,3 podemos multiplicar as cargas horizontais por γz e
obter diretamente os momentos finais ( 1º + 2º ordem) , com precisão.
M2
M1
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Não linearidade física
No estudo da estrutura no estado limite ultimo sabemos que a mesma está em seu
estado fissurado e, portanto, não devemos considerar as inércias das peças estruturais
calculadas como a seção bruta, isto é, I=bh³/12. Há uma perda da rigidez (inércias) das
vigas, lajes e pilares devido a abertura das fissuras, ocasionando maiores deslocamentos
e deformações. Esse efeito de perda de rigidez devido as aberturas de fissuras é
chamado de não linearidade física.
Para levar em conta essa consideração, a NBR-6118:2014 permite utilizar um
processo simplificado, onde se reduz a rigidez das seções alterando o valor E.I de cada
tipo de seção.
Análises realizadas e respectivas características.
Estado
limite
Fase
(E.I)sec
Laje
(E.I)sec
Viga
(E.I)sec
Pilar
Serviço Elástica não
fissurada
Ecs Ic Ecs Ic Ecs Ic
Último Fissurada 0,3 Eci Ic 0,4 Eci Ic 0,8 Eci Ic
Divisão da edificação em pórticos: Nos programas
computacionais podemos
simplesmente alterar o módulo
de elasticidade de cada tipo
de elemento.
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ASSOCIAÇÃO DE PÓRTICOS EM SÉRIE
A carga de vento será aplicada pontualmente no encontro das vigas com os pilares.
Portanto, para calcular a carga de vento basta multiplicar a pressão de vento já
determinada pela área de influencia (altura x largura). As cargas determinadas abaixo
foram majoradas por 1,4.
Pórtico 1 Pórtico 2 Pórtico 3 Pórtico 4
A carga de vento é por andar é calculada
multiplicando a pressão x largura x altura x 1,4
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Pórtico 1 Pórtico 2 Pórtico 3 Pórtico 4
• Anotar as deformadas andar por andar.
• Somar todas as cargas verticas por andar.
γ = =
−
z
1 1,13100,181
837
• Portanto γz > 1,1 e, portanto, devemos multiplicar
a carga de vento por 1,13 ou tentar melhorar a
estrutura. Uma forma de melhorar a estrutura é
tentar girar os pilares, colocando-os na direção
com maior inércia na direção da situação crítica.
Ter atenção de no Ftool definir as
seções dos pilares conforme o pilar
resiste ao momento. Na direção de
sua maior inércia ou menor inércia. 
d : deslocamentos
horizontais
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Re-calculando a estrutura no Ftoll, considerando os pilares deitados, vamos
encontrar novos deslocamentos horizontais.
γ = =
−
z
1 1,0755,71
837
 Com as alterações nos pilares γz < 1,1, e podemos
desprezar os efeitos de 2º ordem. E desta forma não há
necessidade de amplificar por γz os carregamentos
horizontais.
Diagrama de esforço normal – utilizando os pórticos em série – Vento Frontal
Novos
deslocamentos
horizontais
obtidos no Ftoll
Nova forma com
alteração nos
pilares , onde foi
possivel , sem
prejudicar a
arquitetura.
P17 P9 P1 P18 P10 P2 P19 P11 P3 P20 P12 P4
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Diagrama de momento fletor – utilizando os pórticos em série – Vento Frontal
Diagrama de esforço cortante – utilizando os pórticos em série – Vento Frontal
Podemos tambem, simplificadamente, montar os pórticos em separados. Para isso
devemos recalcular as cargas de vento, em função da área de influência de cada pórtico.
OBS :Lembrando que para obter os esforços em cada pilar devemos somar os esforços
encontrados em cada pórtico . E o vento não atua simultaneamente nas duas direçoes.
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Pórtico 01 ( vento frontal +)
Carregamento Diagrama de Esforço Normal
Diagrama de momento fletor Diagrama de cortante
P17 P9 P1
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Pórtico 01 ( vento frontal - )
Carregamento Diagrama de Esforço Normal
Diagrama de momento fletor Diagrama de cortante
P17 P9 P1
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Pórtico 02 ( vento frontal +)
Carregamento Diagrama de Esforço Normal
Diagrama de momento fletor Diagrama de cortante
P18 P10 P2
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Pórtico 02 ( vento frontal -)
Carregamento Diagrama de Esforço Normal
Diagrama de momento fletor Diagrama de cortante
P18 P10 P2
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Pórtico 05 – sem vento
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Pórtico 06 sem vento
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Segue abaixo os esforços obtidos para os pilares P01, P09 e P10, que serão
dimensionados neste curso. Os demais pilares ficam como exercícios aos alunos.
DIMENSIONAMENTO DE PILAR
• No dimensionamento de pilares devemos ter em mente que existem alem dos
momentos de 2º ordem, já estudados na análise global da edificação, os efeitos
localizados de segunda ordem, alem da possibilidade de ocorrer a flambagem.
• Devemos considerar excentricidades acidentais, devido as imperfeições das peças e
dos apoios em sua execução.
• Exentricidades minimas devem ser respeitadas.
• λ = indice de esbeltez do pilar
• λ1= indice de esbeltez limite
• Se λ < λ1 Pilar Curto e não é necessário calcular efeito 2ºordem local
• Se λ1 < λ < 90 Pilar mediamente esbelto e devemos calcular 2ºordem local
• Se 90 < λ < 140 Pilar esbelto e devemos calcular 2ºordem local + fluência
• Se 140 < λ < 200  Pilar muito esbelto e devemos calcular 2ºordem local + fluência
• NUNCA PERMITIR λ > 200
• Para se obter os efeitos de 2ºordem localizados (momentos de 2ºordem locais)
podemos utilizar métodos rigorosos ou métodos aproximados:
o Método geral obrigatório para λ >140
o Método pilar padrão com curvatura aproximada  permitido para λ < 90
o Método pilar padrão com rigidez aproximada permitido para λ < 90
o Método pilar padrão acoplado a diagramas M, N e 1/r  permitido λ < 140
Cada pilar foi obtido uma parcela de carga normal
em cada pórtico longitudinal e transversal
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λ = indice de esbeltez do pilar
 = fll
i
onde fll = comprimento de flambagem e i = raio de giração
=
Ii
A
Para seções retangulares:
12
=
hi
Deve ser verificado para as duas direções.
λ1= indice de esbeltez limite
1
1
90(25 12,5. )
35
 
≤+
= ≥b
e h
onde 1e é a excentricidade de 1ºordem, devido
somente ao momento inicial aplicado ao pilar. 11 =
d
M
e
N
b depende da vinculação dos pilares.
O caso mais comum , são pilares biapoiados, sem cargas transversais significativas:
0,40
0,60 0,40
1,00
 ≥= + ≤
B
b
A
M
M
, onde MA e MB são os momentos no extremo do pilar.
Deve ser adotado para MA o maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado e
para MB o sinal positivo, se tracionar a mesma face que MA, e negativo, em caso
contrário.
No caso de cargas transversais significativas 1,00 =b .
• Outros casos consultar a norma.
Excentricidades acidentais
1
1 1
200100
 = ≥
l
. tg=ae l
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Excentricidades mínimas
min 0,015 0,03= +e h , onde h= altura da seção no pilar.
Excentricidades totais
1 2= + +total ae e e e onde 1 min+ >ae e e
Excentricidades 2º ordem vamos adotar pilar padrão com curvatura aproximada
( )
2
2
0,005
.
10 0,5 .= +
fll
e
h
; onde
.
 = Nd
Ac fcd
Desta forma conseguimos calcular todas as excentricidades necessárias e
podemos obter o momento final que o pilar vai estar submetido:
1 2( )= + +final aM Nd e e e
Utilização de Ábacos:
.
 = Nd
Ac fcd ; 2 =
finalM
bh fcd e
. .
=
Ac fcdAs fyd
Ábaco para flexão
Normal.
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Armadura Mínima
Asmin = 0,004 . Ac
Para pilares 40x20 cm
As = 3,2 cm²
DETALHAMENTO PILARES
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FUNDAÇÕES
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