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escalar o outro disco 
tenha o mesmo deslocamento. 
Daí, a velocidade de todos os pontos da correia vai ser a mesma, 
assim como os “dentes” das polias. Portanto:
v v
R R
f R f R
R
T
R
T
1 2
1 1 2 2
1 1 2 2
1
1 2
2
=
=
=
=








ω ω
Uma conseqüência imediata é que quanto maior o raio do disco menor 
será sua velocidade angular. 
Ex.: (Unicamp-2005) Em 1885, Michaux lançou o biciclo com uma roda 
dianteira diretamente acionada por pedais (Fig. A). Através do emprego da 
roda dentada, que já tinha sido concebida por Leonardo da Vinci, obteve-se 
melhor aproveitamento da força nos pedais (Fig. B). Considere que um ciclista 
consiga pedalar 40 voltas por minuto em ambas as bicicletas.
Dado: π  3
10 cm
30 cm
25 cm
Figura A Figura B
 
(A) Qual a velocidade de translação do biciclo de Michaux para um diâmetro 
da roda de 1,20 m?
(B) Qual a velocidade de translação para a bicicleta padrão aro 60 (Fig. B)? 
Solução:
(A) No biciclo de Michaux a frequência imposta é exatamente a frequência 
de movimento. Assim:
v = 2 · π ƒ · R ≅ 2 · 3 · 40
60
 · 0,6 ≅ 2,4 m/s
(B) Na bicicleta temos que a velocidade linear (escalar) da coroa dentada 
é a mesma do pinhão.
vcoroa = vpinhão → 2 · π ƒc · 
dc
2
= ωp · 
dp
2
→ 2 · 3\ · 
40
60 · 25 =
= ωp · 10 = 10 rad / s
A velocidade angular do pinhão é a mesma velocidade angular da roda
ωpinhão = ωroda → 10= 
v
R
roda → vroda = 10.0,3 → vroda = 3 m / s
 
Exemplo: (Ufrj-1998) O olho humano retém durante 1/24 de segundo 
as imagens que se formam na retina. Essa memória visual permitiu a 
invenção do cinema. A filmadora bate 24 fotografias (fotogramas) por 
segundo. Uma vez revelado, o filme é projetado à razão de 24 fotogramas 
por segundo. Assim, o fotograma seguinte é projetado no exato instante 
em que o fotograma anterior está desaparecendo de nossa memória visual, 
o que nos dá a sensação de continuidade.
Filma-se um ventilador cujas pás estão girando no sentido horário. 
O ventilador possui quatro pás simetricamente dispostas, uma das quais 
pintadas de cor diferente, como ilustra a figura. Ao projetarmos o filme, 
os fotogramas aparecem na tela na seguinte sequência o que nos dá a 
sensação de que as pás estão girando no sentido anti-horário. 
Física I – Assunto 3
276 Vol. 1
Calcule quantas rotações por segundo, no mínimo, as pás devem estar 
efetuando para que isto ocorra.
Solução: A ilusão de que as pás estão girando no sentido oposto ao 
real é devido ao fato de nosso cérebro interpretar que o movimento, de um 
fotograma para o outro, se dá no sentido do menor deslocamento angular. 
O olho humano tira fotos da realidade de 1/24 a 1/24 segundo e “junta” as 
sucessivas imagens, sempre atribuindo o menor caminho a cada objeto.
Entre dois fotogramas consecutivos, a pá destacada efetua, no mínimo, 
¾ de volta, em um intervalo de tempo de 1/24 s. Portanto a frequência 
mínima de rotação é
ƒ = 
3
4
1
24
3
4
24
1
18= ⋅ = Hz 
2. Cinemática vetorial
Após entendermos todos os conceitos de movimento aplicados a 
movimentos retilíneos ou circulares, vamos aprender como estender cada 
assunto a qualquer movimento. Para isso, precisamos usar os conceitos 
vetoriais das grandezas já previamente apresentadas.
2.1 Vetor posição (s→)
O vetor posição é um vetor com centro na origem de referência e 
extremidade na posição do corpo em questão. Sua análise pode ser 
unidimensional, bidimensional ou tridimensional, como mostram os 
exemplos a seguir:
Análise unidimensional
X (m)
50
s→
|s→|= 5m s→= î
Análise bidimensional
–2
3
y (m)
s→
 
s m
s î s

 
= + − =
= − = −
3 2 13
3 3 2
2 2( )
( , )ou
Análise tridimensional
y (m)
z (m)
x (m)
2 5
3
s→
 
s m
s î î
s



= + + =
= + +
=
2 3 5 38
2 5 3
2 5 3
2 2 2
( , , )
k^
2.2 Vetor deslocamento (DS
→
)
O vetor deslocamento de um corpo entre os instantes t1 e t2 é o vetor 
representado por um segmento orientado de origem em P1 (posição do 
corpo no instante t1) e extremidade em P2 (posição do corpo no instante t2).
P1 (t1)
P2 (t2)
S
DS
DS
→
+
Por definição, o vetor deslocamento é a diferença ente os vetores 
posições de P1 e P2.
x (m)
–
x (m)
P2
P1 DS
→
Observa-se que o módulo do vetor deslocamento tem como valor máximo 
o módulo do deslocamento escalar (já que uma reta é a menor distância entre 
dois pontos). A igualdade só ocorre nos movimentos retilíneos.
2.3 Velocidade vetorial média
É o quociente entre o vetor deslocamento (DS
→
) e o correspondente 
intervalo de tempo.
v
s
t
m
��� � ��
���= ∆
∆
Note que o módulo do vetor velocidade média tem como valor máximo 
o módulo da velocidade escalar média. Esses módulos só serão iguais 
nos movimentos retilíneos porque é a única situação em que coincidem 
os valores do deslocamento escalar e do vetor deslocamento. 
Além disso o vetor velocidade média tem a mesma direção e sentido 
do vetor deslocamento, pois se trata da multiplicação de um vetor por um 
escalar positivo.
2.4 Velocidade vetorial instantânea 
A velocidade vetorial instantânea é o limite da velocidade vetorial para 
um intervalo de tempo tendendo a zero. Matematicamente:
 
v
s
tt
� � ��
���=
→
lim
∆
∆
∆0
Em outras palavras, se quisermos determinar a velocidade vetorial 
instantânea de uma partícula quando esta passa por um ponto P, devemos 
tomar outro ponto Q da trajetória e fazer P tender a Q.
Movimentos circulares e cinemática vetorial
277AFA-EFOMM
d3
→
d1
→
d2
→
P
Q3
Q2
Q1
reta tagente 
em P
sentido do 
movimento
Quanto mais próximo Q está de P, maior será a aproximação do vetor 
deslocamento com a reta tangente a P. 
v
→
P
reta tagente 
em P
sentido do 
movimento
IMPORTANTE: Isso mostra que o vetor velocidade instantânea é 
sempre tangente à trajetória.
2.5 Vetor aceleração
O vetor aceleração média indica a razão entre a variação de velocidade 
vetorial de um corpo e o intervalo de tempo. Lembre-se de que, para que haja 
essa variação de do vetor velocidade, não necessariamente precisa haver 
mudança no módulo (um vetor tem direção e sentido, além do módulo).
a
V
t
v v
tm
��� � ��� � ���
= =
−∆
∆ ∆
0
O vetor aceleração média tem a mesma direção e sentido do vetor 
variação de velocidade (subtração vetorial), pois se trata da multiplicação 
de um vetor por um escalar positivo.
O vetor aceleração instantânea é o limite desse quociente quando o 
intervalo de tempo tende a zero. 
a
V
tm t
��� � ���
=
→
lim
∆
∆
∆0
A aceleração instantânea pode ser subdivida em duas: a aceleração 
tangencial e a aceleração centrípeta. 
2.5.1 Aceleração tangencial
 É responsável pela mudança de intensidade (módulo) do vetor 
velocidade instantânea.
A componente tangencial da aceleração (at
→
) tem sempre a mesma 
direção do vetor velocidade instantânea. O sentido vai depender do tipo 
de movimento – acelerado, retardado ou uniforme.
Uniforme
at
→ 
= 0
v
→
Acelerado
at
→
|at
→
|= ae > 0
v
→
Retardado
at
→
|at
→
|= ae < 0
v
→
2.5.2 Aceleração centrípeta
É responsável pela mudança de direção do vetor velocidade instantânea.
A componente centrípeta da aceleração (a
→
cp ) tem sempre a direção 
radial e sentido apontado para o centro. 
Atenção: esta componente de aceleração é nula somente para 
movimentos retilíneos.
O módulo da aceleração centrípeta é dado pela expressão:
a
v
R
cp

=
2
Demonstração:
v
→
v
→
v
→
v
→
Dv
→
R R
dq
dq
Física I – Assunto 3
278 Vol. 1
∆ ∆
∆
∆
v v d s R d
v

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